V tejto lekcii sa pozrieme na ďalšie dve operácie s vektormi: krížový súčin vektorov a zmiešaný súčin vektorov (okamžitý odkaz pre tých, ktorí to potrebujú). Nevadí, občas sa stane, že pre úplné šťastie sa navyše bodový súčin vektorov, je potrebné stále viac a viac. Taká je vektorová závislosť. Niekto môže mať dojem, že sa dostávame do džungle analytickej geometrie. To nie je pravda. V tejto časti vyššej matematiky je vo všeobecnosti málo palivového dreva, snáď až na dosť pre Pinocchia. V skutočnosti je materiál veľmi bežný a jednoduchý - sotva ťažší ako ten istý skalárny produkt, dokonca bude menej typických úloh. Hlavnou vecou v analytickej geometrii, ako mnohí vidia alebo už videli, je NEMÝLIŤ SA VÝPOČTOV. Opakujte ako kúzlo a budete šťastní =)

Ak sa vektory lesknú niekde ďaleko, ako blesky na obzore, nevadí, začnite lekciou Vektory pre figuríny obnoviť alebo znovu získať základné vedomosti o vektoroch. Pripravenejší čitatelia sa môžu zoznámiť s informáciami selektívne, snažil som sa zhromaždiť čo najkompletnejšiu zbierku príkladov, ktoré sa často nachádzajú v praktickej práci

Čo ti urobí radosť? Keď som bol malý, vedel som žonglovať s dvoma a dokonca aj s tromi loptičkami. Dobre to dopadlo. Teraz nie je potrebné vôbec žonglovať, pretože zvážime iba priestorové vektory a ploché vektory s dvoma súradnicami budú vynechané. prečo? Takto sa zrodili tieto akcie – vektor a zmiešaný súčin vektorov sú definované a fungujú v trojrozmernom priestore. Už jednoduchšie!

V tejto operácii, rovnakým spôsobom ako v skalárnom súčine, dva vektory. Nech sú to nezničiteľné písmená.

Samotná akcia označené nasledujúcim spôsobom: . Sú aj iné možnosti, ale ja som zvyknutý takto označovať krížový súčin vektorov v hranatých zátvorkách krížikom.

A hneď otázka: ak je v bodový súčin vektorov sú zapojené dva vektory a tu sa teda dva vektory tiež vynásobia v čom je rozdiel? Jasný rozdiel predovšetkým vo VÝSLEDKU:

Výsledkom skalárneho súčinu vektorov je ČÍSLO:

Výsledkom krížového súčinu vektorov je VEKTOR: , čiže vektory vynásobíme a opäť dostaneme vektor. Uzavretý klub. Odtiaľ vlastne pochádza aj názov operácie. V rôznej náučnej literatúre sa môžu označenia aj líšiť, ja použijem písmeno .

Definícia krížového produktu

Najprv bude definícia s obrázkom, potom komentáre.

Definícia: krížový súčin nekolineárne vektory, prijaté v tomto poradí, sa nazýva VEKTOR, dĺžkačo je číselne rovná ploche rovnobežníka, postavené na týchto vektoroch; vektor ortogonálne k vektorom a je nasmerovaný tak, aby základ mal správnu orientáciu:

Rozoberáme definíciu podľa kostí, je tam veľa zaujímavých vecí!

Môžeme teda zdôrazniť nasledujúce dôležité body:

1) Zdrojové vektory označené červenými šípkami podľa definície nie kolineárne. O niečo neskôr bude vhodné zvážiť prípad kolineárnych vektorov.

2) Nasnímané vektory v prísnom poradí: – "a" sa vynásobí "byť", nie "byť" na "a". Výsledok násobenia vektorov je VECTOR , ktorý je označený modrou farbou. Ak sa vektory vynásobia v opačnom poradí, dostaneme vektor rovnakej dĺžky a opačného smeru (karmínová farba). Teda rovnosť .

3) Teraz sa zoznámime s geometrickým významom vektorového súčinu. Toto je veľmi dôležitý bod! DĹŽKA modrého vektora (a teda karmínového vektora ) sa numericky rovná PLOHE rovnobežníka postaveného na vektoroch . Na obrázku je tento rovnobežník vytieňovaný čiernou farbou.

Poznámka : výkres je schematický a nominálna dĺžka krížového produktu sa samozrejme nerovná ploche rovnobežníka.

Pripomíname si jeden z geometrických vzorcov: plocha rovnobežníka sa rovná súčinu susedných strán a sínusu uhla medzi nimi. Preto na základe vyššie uvedeného platí vzorec na výpočet DĹŽKY vektorového produktu:

Zdôrazňujem, že vo vzorci hovoríme o DĹŽKE vektora, a nie o vektore samotnom. Aký je praktický význam? A význam je taký, že v problémoch analytickej geometrie sa oblasť rovnobežníka často nachádza prostredníctvom konceptu vektorového produktu:

Dostávame druhý dôležitý vzorec. Uhlopriečka rovnobežníka (červená bodkovaná čiara) ho rozdeľuje na dva rovnaké trojuholníky. Preto oblasť trojuholníka postavená na vektoroch (červené tieňovanie) možno nájsť podľa vzorca:

4) Nemenej dôležitým faktom je, že vektor je ortogonálny k vektorom, tj . Samozrejme, opačne orientovaný vektor (karmínová šípka) je tiež ortogonálny k pôvodným vektorom.

5) Vektor smeruje tak, že základ Má správny orientácia. V lekcii o prechod na nový základ Hovoril som podrobne o rovinná orientácia a teraz zistíme, aká je orientácia priestoru. Vysvetlím na vašich prstoch pravá ruka. Mentálne kombinovať ukazovák s vektorom a prostredník s vektorom. Prstenník a malíček zatlačte do dlane. Ako výsledok palec- vektorový produkt sa vyhľadá. Toto je správne orientovaný základ (je na obrázku). Teraz vymeňte vektory ( ukazovákom a prostredníkom) v dôsledku toho sa na niektorých miestach palec otočí a vektorový produkt sa už bude pozerať nadol. To je tiež správne orientovaný základ. Možno máte otázku: aký základ má ľavicová orientácia? "Priraďte" rovnaké prsty ľavá ruka vectors a získajte ľavú základňu a orientáciu ľavého priestoru (v tomto prípade bude palec umiestnený v smere spodného vektora). Obrazne povedané, tieto základy „krútia“ alebo orientujú priestor v rôznych smeroch. A tento koncept by sa nemal považovať za niečo pritiahnuté za vlasy alebo abstraktné - napríklad najbežnejšie zrkadlo mení orientáciu priestoru a ak „vytiahnete odrazený predmet zo zrkadla“, vo všeobecnosti to nebude možné. skombinujte ho s „originálom“. Mimochodom, priložte tri prsty k zrkadlu a analyzujte odraz ;-)

... aké je dobré, že o tom teraz viete orientované vpravo a vľavo základy, lebo vyjadrenia niektorých lektorov o zmene orientácie sú hrozné =)

Vektorový súčin kolineárnych vektorov

Definícia bola podrobne vypracovaná, zostáva zistiť, čo sa stane, keď sú vektory kolineárne. Ak sú vektory kolineárne, potom môžu byť umiestnené na jednej priamke a náš rovnobežník sa tiež „zloží“ do jednej priamky. Oblasť takých, ako hovoria matematici, degenerovať rovnobežník je nulový. To isté vyplýva zo vzorca - sínus nuly alebo 180 stupňov sa rovná nule, čo znamená, že plocha je nula

Teda ak , tak a . Upozorňujeme, že samotný krížový súčin sa rovná nulovému vektoru, ale v praxi sa to často zanedbáva a píše sa, že sa tiež rovná nule.

Špeciálnym prípadom je vektorový súčin vektora a samotného:

Pomocou krížového produktu môžete skontrolovať kolinearitu trojrozmerných vektorov a okrem iného budeme analyzovať aj tento problém.

Na riešenie praktických príkladov môže byť potrebné trigonometrická tabuľka nájsť z neho hodnoty sínusov.

No, založme oheň:

Príklad 1

a) Nájdite dĺžku vektorového súčinu vektorov ak

b) Nájdite oblasť rovnobežníka postaveného na vektoroch, ak

Riešenie: Nie, toto nie je preklep, zámerne som urobil počiatočné údaje v položkách podmienky rovnaké. Pretože dizajn riešení bude iný!

a) Podľa podmienky je potrebné nájsť dĺžka vektor (vektorový súčin). Podľa zodpovedajúceho vzorca:

Odpoveď:

Keďže sa pýtali na dĺžku, tak v odpovedi uvádzame rozmer - jednotky.

b) Podľa stavu sa vyžaduje nájsť námestie rovnobežník postavený na vektoroch. Plocha tohto rovnobežníka sa číselne rovná dĺžke krížového produktu:

Odpoveď:

Upozorňujeme, že v odpovedi o vektorovom produkte sa vôbec nehovorí, na čo sa nás pýtali oblasť postavy, respektíve rozmer je štvorcových jednotiek.

Vždy sa pozrieme na to, ČO sa má podľa podmienky nájsť, a na základe toho formulujeme jasný odpoveď. Môže sa to zdať ako doslovnosť, ale doslovníkov je medzi učiteľmi dosť a úloha s dobrými šancami sa vráti na prepracovanie. Aj keď to nie je obzvlášť napätá hnidopicha - ak je odpoveď nesprávna, potom má človek dojem, že osoba nerozumie jednoduchým veciam a / alebo nepochopila podstatu úlohy. Tento moment treba mať vždy pod kontrolou, riešiť akýkoľvek problém vo vyššej matematike, ale aj v iných predmetoch.

Kam zmizlo veľké písmeno „en“? V zásade by sa to dalo dodatočne prilepiť k riešeniu, ale v záujme skrátenia záznamu som to neurobil. Dúfam, že to každý chápe a je to označenie toho istého.

Populárny príklad riešenia „urob si sám“:

Príklad 2

Nájdite oblasť trojuholníka postaveného na vektoroch, ak

Vzorec na nájdenie oblasti trojuholníka cez vektorový produkt je uvedený v komentároch k definícii. Riešenie a odpoveď na konci hodiny.

V praxi je úloha naozaj veľmi bežná, trojuholníky sa dajú vo všeobecnosti mučiť.

Na vyriešenie iných problémov potrebujeme:

Vlastnosti krížového súčinu vektorov

Niektoré vlastnosti vektorového súčinu sme už zvážili, do tohto zoznamu ich však zaradím.

Pre ľubovoľné vektory a ľubovoľné číslo platia nasledujúce vlastnosti:

1) V iných zdrojoch informácií sa táto položka zvyčajne nerozlišuje vo vlastnostiach, ale z praktického hľadiska je veľmi dôležitá. Tak nech je.

2) - o majetku sa hovorí aj vyššie, niekedy je tzv antikomutatívnosť. Inými slovami, na poradí vektorov záleží.

3) - kombinácia resp asociatívne zákony o vektorových produktoch. Konštanty sú ľahko vyňaté z limitov vektorového súčinu. Ozaj, čo tam robia?

4) - distribúcia resp distribúcia zákony o vektorových produktoch. Problémy nie sú ani s otváraním zátvoriek.

Ako ukážku zvážte krátky príklad:

Príklad 3

Nájdite ak

Riešenie: Podľa podmienky je opäť potrebné nájsť dĺžku vektorového súčinu. Namaľujeme našu miniatúru:

(1) Podľa asociatívnych zákonov vyberáme konštanty za hranice vektorového súčinu.

(2) Vyberieme konštantu z modulu, zatiaľ čo modul „žerie“ znamienko mínus. Dĺžka nemôže byť záporná.

(3) Čo nasleduje, je jasné.

Odpoveď:

Je čas hodiť drevo do ohňa:

Príklad 4

Vypočítajte obsah trojuholníka postaveného na vektoroch, ak

Riešenie: Nájdite oblasť trojuholníka pomocou vzorca . Háčik je v tom, že samotné vektory „ce“ a „te“ sú reprezentované ako súčty vektorov. Algoritmus je tu štandardný a trochu pripomína príklady č. 3 a 4 z lekcie. Bodový súčin vektorov. Pre prehľadnosť si to rozložme do troch krokov:

1) V prvom kroku vyjadríme vektorový produkt prostredníctvom vektorového produktu, v skutočnosti, vyjadriť vektor v termínoch vektora. O dĺžke zatiaľ nepadlo ani slovo!

(1) Dosadíme výrazy vektorov .

(2) Pomocou distributívnych zákonov otvárame zátvorky podľa pravidla násobenia polynómov.

(3) Pomocou asociatívnych zákonov odstránime všetky konštanty za vektorovými súčinmi. S malými skúsenosťami je možné vykonať akcie 2 a 3 súčasne.

(4) Prvý a posledný člen sa rovnajú nule (vektor nula) kvôli príjemnej vlastnosti . V druhom termíne používame vlastnosť antikomutativity vektorového produktu:

(5) Uvádzame podobné výrazy.

V dôsledku toho sa ukázalo, že vektor je vyjadrený prostredníctvom vektora, čo bolo potrebné na dosiahnutie:

2) V druhom kroku nájdeme dĺžku vektorového súčinu, ktorý potrebujeme. Táto akcia je podobná ako v príklade 3:

3) Nájdite oblasť požadovaného trojuholníka:

Kroky 2-3 riešenia by mohli byť usporiadané v jednej línii.

Odpoveď:

Uvažovaný problém je v testoch celkom bežný, tu je príklad nezávislého riešenia:

Príklad 5

Nájdite ak

Krátke riešenie a odpoveď na konci hodiny. Pozrime sa, ako pozorní ste boli pri štúdiu predchádzajúcich príkladov ;-)

Krížový súčin vektorov v súradniciach

uvedené na ortonormálnom základe , sa vyjadruje vzorcom:

Vzorec je naozaj jednoduchý: súradnicové vektory napíšeme do horného riadku determinantu, súradnice vektorov „zabalíme“ do druhého a tretieho riadku a dáme v prísnom poradí- najprv súradnice vektora "ve", potom súradnice vektora "double-ve". Ak je potrebné vynásobiť vektory v inom poradí, riadky by sa mali tiež vymeniť:

Príklad 10

Skontrolujte, či sú nasledujúce priestorové vektory kolineárne:
a)
b)

Riešenie: Test je založený na jednom z tvrdení v tejto lekcii: ak sú vektory kolineárne, ich krížový súčin je nula (nulový vektor): .

a) Nájdite vektorový súčin:

Takže vektory nie sú kolineárne.

b) Nájdite vektorový súčin:

Odpoveď: a) nie kolineárne, b)

Tu sú snáď všetky základné informácie o vektorovom súčine vektorov.

Táto časť nebude príliš veľká, pretože existuje len málo problémov, kde sa používa zmiešaný súčin vektorov. V skutočnosti bude všetko spočívať na definícii, geometrickom význame a niekoľkých pracovných vzorcoch.

Zmiešaný súčin vektorov je súčinom troch vektorov:

Takto sa zoradili ako vlak a čakajú, nevedia sa dočkať, kým sa spočítajú.

Najprv opäť definícia a obrázok:

Definícia: Zmiešaný produkt nekoplanárne vektory, prijaté v tomto poradí, sa volá objem rovnobežnostena, postavené na týchto vektoroch, vybavené znamienkom „+“, ak je základ pravý, a znamienkom „-“, ak je základ ľavý.

Urobme kresbu. Pre nás neviditeľné čiary sú nakreslené bodkovanou čiarou:

Poďme sa ponoriť do definície:

2) Nasnímané vektory v určitom poradí, to znamená, že permutácia vektorov v produkte, ako by ste mohli hádať, nezostane bez následkov.

3) Pred komentovaním geometrického významu si všimnem zrejmú skutočnosť: zmiešaný súčin vektorov je ČÍSLO: . Vo vzdelávacej literatúre môže byť dizajn trochu odlišný, zvykol som označovať zmiešaný produkt a výsledok výpočtov písmenom „pe“.

Podľa definície zmiešaný produkt je objem kvádra, postavený na vektoroch (postava je nakreslená červenými vektormi a čiernymi čiarami). To znamená, že číslo sa rovná objemu daného rovnobežnostena.

Poznámka : Výkres je schematický.

4) Nezaťažujme sa opäť pojmom orientácia základne a priestoru. Význam záverečnej časti je, že k objemu možno pridať znamienko mínus. Zjednodušene povedané, zmiešaný produkt môže byť negatívny: .

Vzorec na výpočet objemu kvádra postaveného na vektoroch priamo vyplýva z definície.

7.1. Definícia krížového produktu

Tri nekoplanárne vektory a , b a c , brané v uvedenom poradí, tvoria pravú trojicu, ak od konca tretieho vektora c najkratšiu odbočku z prvého vektora a do druhého vektora b vidíme proti smeru hodinových ručičiek a ľavý v smere hodinových ručičiek (pozri obr. . 16).

Vektorový súčin vektora a a vektora b sa nazýva vektor c, ktorý:

1. Kolmo na vektory a a b, teda c ^ a a c ^ b;

2. Má dĺžku, ktorá sa číselne rovná ploche rovnobežníka postaveného na vektoroch a ab ako na bokoch (pozri obr. 17), t.j.

3. Vektory a , b a c tvoria pravú trojicu.

Vektorový súčin je označený axb alebo [a,b]. Z definície vektorového produktu priamo vyplývajú nasledujúce vzťahy medzi orts, j a k(pozri obr. 18):

i x j \u003d k, j x k \u003d i, k x i \u003d j.
Dokážme to napríklad i xj \u003d k.

1) k ^ i , k ^ j;

2) |k |=1, ale | i x j| = |i | |J| sin(90°)=1;

3) vektory i, ja k tvoria pravú trojicu (pozri obr. 16).

7.2. Vlastnosti krížových produktov

1. Pri preusporiadaní faktorov vektorový súčin zmení znamienko, t.j. a xb \u003d (b xa) (pozri obr. 19).

Vektory a xb a b xa sú kolineárne, majú rovnaké moduly (plocha rovnobežníka zostáva nezmenená), ale sú opačne orientované (trojice a, b, a xb a a, b, b x a opačnej orientácie). Teda axb = -(bxa).

2. Vektorový súčin má kombinačnú vlastnosť vzhľadom na skalárny faktor, t.j. l ​​(a xb) \u003d (la) x b \u003d a x (l b).

Nech l >0. Vektor l (a xb) je kolmý na vektory a a b. vektor ( l a) x b je tiež kolmá na vektory a a b(vektory a, l ale ležia v rovnakej rovine). Takže vektory l(a xb) a ( l a) x b kolineárne. Je zrejmé, že ich smery sa zhodujú. Majú rovnakú dĺžku:

Preto l(a xb)= l a xb. Dokazuje sa to podobne aj pre l<0.

3. Dva nenulové vektory a a b sú kolineárne vtedy a len vtedy, ak sa ich vektorový súčin rovná nulovému vektoru, t.j. a ||b<=>a xb \u003d 0.

Konkrétne i*i=j*j=k*k=0.

4. Vektorový súčin má distribučnú vlastnosť:

(a+b) xs = a xs + b xs .

Prijmite bez dôkazu.

7.3. Vyjadrenie krížového produktu z hľadiska súradníc

Použijeme vektorovú tabuľku krížových produktov i , j a k:

ak sa smer najkratšej cesty z prvého vektora do druhého zhoduje so smerom šípky, potom sa súčin rovná tretiemu vektoru, ak sa nezhoduje, tretí vektor sa berie so znamienkom mínus.

Nech dva vektory a =a x i +a y j+az k a b=bx i+ podľa j+bz k. Nájdite vektorový súčin týchto vektorov ich vynásobením ako polynómy (podľa vlastností vektorového súčinu):

Výsledný vzorec možno napísať ešte kratšie:

keďže pravá strana rovnosti (7.1) zodpovedá rozšíreniu determinantu tretieho rádu z hľadiska prvkov prvého radu Rovnosť (7.2) je ľahko zapamätateľná.

7.4. Niektoré aplikácie krížového produktu

Stanovenie kolinearity vektorov

Nájdenie oblasti rovnobežníka a trojuholníka

Podľa definície krížového súčinu vektorov a a b |a xb | =| a | * |b |sin g , teda S par = |a x b |. A preto D S \u003d 1/2 | a x b |.

Určenie momentu sily okolo bodu

Nech v bode A pôsobí sila F = AB nechaj to tak O- nejaký bod v priestore (pozri obr. 20).

Z fyziky je známe, že krútiaci moment F vzhľadom na bod O nazývaný vektor M , ktorý prechádza cez bod O a:

1) kolmo na rovinu prechádzajúcu bodmi O, A, B;

2) číselne sa rovná súčinu sily a ramena

3) tvorí pravú trojicu s vektormi OA a A B .

Preto M \u003d OA x F.

Nájdenie lineárnej rýchlosti otáčania

Rýchlosť v bod M tuhého telesa rotujúceho uhlovou rýchlosťou w okolo pevnej osi, je určený Eulerovým vzorcom v \u003d w x r, kde r \u003d OM, kde O je nejaký pevný bod osi (pozri obr. 21).

Predtým, ako uvedieme pojem vektorového súčinu, prejdime k otázke orientácie usporiadanej trojice vektorov a → , b → , c → v trojrozmernom priestore.

Na začiatok odložme vektory a → , b → , c → z jedného bodu. Orientácia trojice a → , b → , c → je pravá alebo ľavá v závislosti od smeru vektora c → . Zo smeru, v ktorom je najkratší obrat z vektora a → do b → od konca vektora c → , sa určí tvar trojice a → , b → , c →.

Ak je najkratšia rotácia proti smeru hodinových ručičiek, potom sa nazýva trojica vektorov a → , b → , c → správny ak v smere hodinových ručičiek - vľavo.

Ďalej zoberte dva nekolineárne vektory a → a b → . Odložme potom vektory A B → = a → a A C → = b → z bodu A. Zostrojme vektor A D → = c → , ktorý je súčasne kolmý na A B → aj A C → . Pri konštrukcii vektora A D → = c → teda môžeme urobiť dve veci a dať mu buď jeden smer alebo opačný (pozri obrázok).

Usporiadaná trojica vektorov a → , b → , c → môže byť, ako sme zistili, pravá alebo ľavá v závislosti od smeru vektora.

Z vyššie uvedeného môžeme zaviesť definíciu vektorového súčinu. Táto definícia je uvedená pre dva vektory definované v pravouhlom súradnicovom systéme trojrozmerného priestoru.

Definícia 1

Vektorový súčin dvoch vektorov a → a b → budeme volať taký vektor daný v pravouhlom súradnicovom systéme trojrozmerného priestoru tak, že:

• ak sú vektory a → a b → kolineárne, bude to nula;
• bude kolmá na vektor a →​​ aj vektor b → t.j. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• jeho dĺžka je určená vzorcom: c → = a → b → sin ∠ a → , b → ;
• trojica vektorov a → , b → , c → má rovnakú orientáciu ako daný súradnicový systém.

Krížový súčin vektorov a → a b → má nasledujúci zápis: a → × b → .

Súradnice krížových produktov

Keďže každý vektor má v súradnicovom systéme určité súradnice, je možné zaviesť druhú definíciu vektorového súčinu, ktorá vám umožní nájsť jeho súradnice z daných súradníc vektorov.

Definícia 2

V pravouhlom súradnicovom systéme trojrozmerného priestoru vektorový súčin dvoch vektorov a → = (a x ; a y ; a z) a b → = (b x ; b y ; b z) nazývame vektor c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , kde i → , j → , k → sú súradnicové vektory.

Vektorový súčin možno znázorniť ako determinant štvorcovej matice tretieho rádu, kde prvý riadok sú orta vektory i → , j → , k → , druhý riadok obsahuje súradnice vektora a → a tretí riadok sú súradnice vektora b → v danom pravouhlom súradnicovom systéme, tento determinant matice vyzerá takto: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Rozšírením tohto determinantu o prvky prvého riadku dostaneme rovnosť: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b x b y k → = = ( a → × b → a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Vlastnosti krížových produktov

Je známe, že vektorový súčin v súradniciach je reprezentovaný ako determinant matice c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , potom na zákl. vlastnosti determinantu matrice nasledujúci Vlastnosti vektorového produktu:

1. antikomutatívnosť a → × b → = - b → × a → ;
2. distributivita a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → alebo a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. asociativita λ a → × b → = λ a → × b → alebo a → × (λ b →) = λ a → × b → , kde λ je ľubovoľné reálne číslo.

Tieto vlastnosti nemajú zložité dôkazy.

Môžeme napríklad dokázať antikomutatívnosť vektorového súčinu.

Dôkaz antikomutatívnosti

Podľa definície a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z a b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . A ak sa vymenia dva riadky matice, potom by sa hodnota determinantu matice mala zmeniť na opačnú, teda a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , čo a dokazuje antikomutatívnosť vektorového súčinu.

Vektorový produkt – príklady a riešenia

Vo väčšine prípadov ide o tri typy úloh.

V úlohách prvého typu sa zvyčajne udávajú dĺžky dvoch vektorov a uhol medzi nimi, ale musíte nájsť dĺžku krížového produktu. V tomto prípade použite nasledujúci vzorec c → = a → b → sin ∠ a → , b → .

Príklad 1

Nájdite dĺžku krížového súčinu vektorov a → a b → ak je známe a → = 3 , b → = 5 , ∠ a → , b → = π 4 .

Riešenie

Pomocou definície dĺžky vektorového súčinu vektorov a → a b → riešime tento problém: a → × b → = a → b → sin ∠ a → , b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2 .

odpoveď: 15 2 2 .

Úlohy druhého typu majú súvislosť so súradnicami vektorov, obsahujú vektorový súčin, jeho dĺžku atď. sa hľadajú cez známe súradnice daných vektorov a → = (a x ; a y ; a z) a b → = (b x ; b y ; b z) .

Pre tento typ úloh môžete vyriešiť veľa možností úloh. Napríklad nie súradnice vektorov a → a b → , ale ich expanzie v súradnicových vektoroch tvaru b → = b x i → + b y j → + b z k → a c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , alebo vektory a → a b → môžu byť dané súradnicami ich počiatočné a koncové body.

Zvážte nasledujúce príklady.

Príklad 2

V pravouhlom súradnicovom systéme sú nastavené dva vektory a → = (2 ; 1 ; - 3) , b → = (0 ; - 1 ; 1) . Nájdite ich vektorový produkt.

Riešenie

Podľa druhej definície nájdeme vektorový súčin dvoch vektorov v daných súradniciach: a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Ak vektorový súčin zapíšeme cez maticový determinant, potom riešenie tohto príkladu je nasledovné: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

odpoveď: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Príklad 3

Nájdite dĺžku krížového súčinu vektorov i → - j → a i → + j → + k → , kde i → , j → , k → - orty pravouhlého karteziánskeho súradnicového systému.

Riešenie

Najprv nájdime súradnice daného vektorového súčinu i → - j → × i → + j → + k → v danom pravouhlom súradnicovom systéme.

Je známe, že vektory i → - j → a i → + j → + k → majú súradnice (1 ; - 1 ; 0) a (1 ; 1; 1). Nájdite dĺžku vektorového súčinu pomocou maticového determinantu, potom máme i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Preto vektorový súčin i → - j → × i → + j → + k → má súradnice (- 1 ; - 1 ; 2) v danom súradnicovom systéme.

Dĺžku vektorového súčinu zistíme podľa vzorca (pozri časť o zisťovaní dĺžky vektora): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

odpoveď: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

Príklad 4

Súradnice troch bodov A (1, 0, 1), B (0, 2, 3) ​​, C (1, 4, 2) sú uvedené v pravouhlom karteziánskom súradnicovom systéme. Nájdite nejaký vektor kolmý na A B → a A C → súčasne.

Riešenie

Vektory A B → a AC → majú nasledujúce súradnice (-1; 2; 2) a (0; 4; 1). Keď sme našli vektorový súčin vektorov A B → a A C → , je zrejmé, že ide o kolmý vektor podľa definície k A B → aj A C → , to znamená, že je riešením nášho problému. Nájdite to A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

odpoveď: - 6 i → + j → - 4 k → . je jedným z kolmých vektorov.

Úlohy tretieho typu sú zamerané na využitie vlastností vektorového súčinu vektorov. Po jeho aplikácii získame riešenie daného problému.

Príklad 5

Vektory a → a b → sú kolmé a ich dĺžky sú 3 a 4. Nájdite dĺžku krížového produktu 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → .

Riešenie

Vlastnosťou distributivity vektorového súčinu môžeme napísať 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Vlastnosťou asociatívnosti vyberáme číselné koeficienty za znamienkom vektorových súčinov v poslednom výraze: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Vektorové produkty a → × a → a b → × b → sa rovnajú 0, pretože a → × a → = a → a → sin 0 = 0 a b → × b → = b → b → sin 0 = 0 , potom 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a → . .

Z antikomutatívnosti vektorového súčinu vyplýva - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b → . .

Pomocou vlastností vektorového súčinu získame rovnosť 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

Podľa podmienky sú vektory a → a b → kolmé, to znamená, že uhol medzi nimi je rovný π 2 . Teraz zostáva len nahradiť nájdené hodnoty do zodpovedajúcich vzorcov: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = = 5 a → × b → = 5 a → b → hriech (a →, b →) = 5 3 4 sin π 2 = 60.

odpoveď: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60 .

Dĺžka krížového súčinu vektorov je podľa definície a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Pretože je už známe (zo školského kurzu), že plocha trojuholníka sa rovná polovici súčinu dĺžok jeho dvoch strán vynásobených sínusom uhla medzi týmito stranami. Preto sa dĺžka vektorového súčinu rovná ploche rovnobežníka - zdvojeného trojuholníka, konkrétne súčinu strán vo forme vektorov a → a b → , odložených z jedného bodu sínusom. uhla medzi nimi sin ∠ a → , b → .

Toto je geometrický význam vektorového súčinu.

Fyzikálny význam vektorového produktu

V mechanike, jednom z odvetví fyziky, môžete vďaka vektorovému súčinu určiť moment sily vzhľadom na bod v priestore.

Definícia 3

Pod momentom sily F → , pôsobiacim na bod B , relatívne k bodu A budeme rozumieť nasledujúci vektorový súčin A B → × F → .

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Uhol medzi vektormi

Aby sme mohli zaviesť pojem krížového súčinu dvoch vektorov, musíme sa najprv zaoberať takým pojmom, akým je uhol medzi týmito vektormi.

Dajme nám dva vektory $\overline(α)$ a $\overline(β)$. Zoberme si nejaký bod $O$ v priestore a odložme z neho vektory $\overline(α)=\overline(OA)$ a $\overline(β)=\overline(OB)$, potom uhol $AOB $ budeme nazývať uhol medzi týmito vektormi (obr. 1).

Zápis: $∠(\overline(α),\overline(β))$

Koncept krížového súčinu vektorov a vzorec na nájdenie

Definícia 1

Vektorový súčin dvoch vektorov je vektor kolmý na oba dané vektory a jeho dĺžka sa bude rovnať súčinu dĺžok týchto vektorov so sínusom uhla medzi týmito vektormi a tento vektor s dvoma počiatočnými má rovnakú orientácia ako karteziánsky súradnicový systém.

Zápis: $\overline(α)х\overline(β)$.

Matematicky to vyzerá takto:

1. $|\overline(α)x\overline(β)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin⁡∠(\overline(α),\overline(β))$
2. $\overline(α)x\overline(β)⊥\overline(α)$, $\overline(α)x\overline(β)⊥\overline(β)$
3. $(\overline(α)x\overline(β),\overline(α),\overline(β))$ a $(\overline(i),\overline(j),\overline(k))$ sú rovnako orientované (obr. 2)

Je zrejmé, že vonkajší súčin vektorov sa bude rovnať nulovému vektoru v dvoch prípadoch:

1. Ak je dĺžka jedného alebo oboch vektorov nulová.
2. Ak je uhol medzi týmito vektormi rovný $180^\circ$ alebo $0^\circ$ (pretože v tomto prípade je sínus rovný nule).

Aby ste jasne videli, ako sa nájde krížový súčin vektorov, zvážte nasledujúce príklady riešení.

Príklad 1

Nájdite dĺžku vektora $\overline(δ)$, ktorý bude výsledkom krížového súčinu vektorov, so súradnicami $\overline(α)=(0,4,0)$ a $\overline(β) =(3,0,0 )$.

Riešenie.

Znázornime tieto vektory v priestore kartézskych súradníc (obr. 3):

Obrázok 3. Vektory v priestore kartézskych súradníc. Author24 - online výmena študentských prác

Vidíme, že tieto vektory ležia na osiach $Ox$ a $Oy$. Preto bude uhol medzi nimi rovný $90^\circ$. Nájdite dĺžky týchto vektorov:

$|\overline(α)|=\sqrt(0+16+0)=4$

$|\overline(β)|=\sqrt(9+0+0)=3$

Potom podľa definície 1 získame modul $|\overline(δ)|$

$|\overline(δ)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin90^\circ=4\cdot 3\cdot 1=12$

Odpoveď: 12 $.

Výpočet krížového súčinu podľa súradníc vektorov

Definícia 1 okamžite naznačuje spôsob, ako nájsť krížový súčin pre dva vektory. Keďže vektor má okrem hodnoty aj smer, nie je možné ho nájsť iba pomocou skalárnej hodnoty. Ale okrem toho existuje ďalší spôsob, ako nájsť vektory, ktoré nám boli dané, pomocou súradníc.

Dajme nám vektory $\overline(α)$ a $\overline(β)$, ktoré budú mať súradnice $(α_1,α_2,α_3)$ a $(β_1,β_2,β_3)$. Potom vektor krížového produktu (konkrétne jeho súradnice) možno nájsť podľa nasledujúceho vzorca:

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix)$

V opačnom prípade rozšírením determinantu získame nasledujúce súradnice

$\overline(α)х\overline(β)=(α_2 β_3-α_3 β_2,α_3 β_1-α_1 β_3,α_1 β_2-α_2 β_1)$

Príklad 2

Nájdite vektor krížového súčinu kolineárnych vektorov $\overline(α)$ a $\overline(β)$ so súradnicami $(0,3,3)$ a $(-1,2,6)$.

Riešenie.

Použime vzorec uvedený vyššie. Získajte

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\0&3&3\\-1&2&6\end(vmatrix)=(18 -6)\overline(i)-(0+3)\overline(j)+(0+3)\overline(k)=12\overline(i)-3\overline(j)+3\overline(k )=(12,-3,3)$

Odpoveď: $(12,-3,3)$.

Vlastnosti krížového súčinu vektorov

Pre ľubovoľne zmiešané tri vektory $\overline(α)$, $\overline(β)$ a $\overline(γ)$, ako aj $r∈R$, platia nasledujúce vlastnosti:

Príklad 3

Nájdite oblasť rovnobežníka, ktorého vrcholy majú súradnice $(3,0,0)$, $(0,0,0)$, $(0,8,0)$ a $(3,8,0) $.

Riešenie.

Najprv nakreslite tento rovnobežník v súradnicovom priestore (obr. 5):

Obrázok 5. Rovnobežník v súradnicovom priestore. Author24 - online výmena študentských prác

Vidíme, že dve strany tohto rovnobežníka sú skonštruované pomocou kolineárnych vektorov so súradnicami $\overline(α)=(3,0,0)$ a $\overline(β)=(0,8,0)$. Pomocou štvrtej vlastnosti dostaneme:

$S=|\overline(α)x\overline(β)|$

Nájdite vektor $\overline(α)х\overline(β)$:

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\3&0&0\\0&8&0\end(vmatrix)=0\overline (i)-0\overline(j)+24\overline(k)=(0,0,24)$

V dôsledku toho

$S=|\overline(α)x\overline(β)|=\sqrt(0+0+24^2)=24$

Je zrejmé, že v prípade krížového produktu záleží na poradí, v ktorom sú vektory prijaté, navyše,

Priamo z definície tiež vyplýva, že pre akýkoľvek skalárny faktor k (číslo) platí:

Krížový súčin kolineárnych vektorov sa rovná nulovému vektoru. Krížový súčin dvoch vektorov je navyše nulový vtedy a len vtedy, ak sú kolineárne. (V prípade, že jeden z nich je nulový vektor, je potrebné pamätať na to, že nulový vektor je podľa definície kolineárny s ľubovoľným vektorom).

Vektorový produkt má distribučný majetok, teda

Vyjadrenie krížového produktu v zmysle súradníc vektorov.

Nech sú dané dva vektory

(ako zistiť súradnice vektora podľa súradníc jeho začiatku a konca - pozri článok Bodový súčin vektorov, odsek Alternatívna definícia bodového súčinu, alebo výpočet bodového súčinu dvoch vektorov daných ich súradnicami.)

Prečo potrebujete vektorový produkt?

Existuje mnoho spôsobov, ako použiť krížový súčin, napríklad, ako už bolo napísané vyššie, výpočtom krížového súčinu dvoch vektorov môžete zistiť, či sú kolineárne.

Alebo sa dá použiť ako spôsob výpočtu plochy rovnobežníka vytvoreného z týchto vektorov. Na základe definície je dĺžka výsledného vektora oblasťou tohto rovnobežníka.

Obrovské množstvo aplikácií tiež existuje v oblasti elektriny a magnetizmu.

Online kalkulačka vektorového produktu.

Ak chcete pomocou tejto kalkulačky nájsť skalárny súčin dvoch vektorov, musíte zadať súradnice prvého vektora do prvého riadku v poradí a druhého vektora do druhého. Súradnice vektorov možno vypočítať z ich počiatočných a koncových súradníc (pozri článok Bodový súčin vektorov , položka Alternatívna definícia bodového súčinu alebo výpočet bodového súčinu dvoch vektorov vzhľadom na ich súradnice.)