Jepet një rrethore e drejtë. Kryqëzimi i një cilindri dhe një koni

Puna diagnostike përbëhet nga dy pjesë, duke përfshirë 19 detyra. Pjesa 1 përmban 8 detyra të një niveli bazë kompleksiteti me një përgjigje të shkurtër. Pjesa 2 përmban 4 detyra të një niveli kompleksiteti të shtuar me një përgjigje të shkurtër dhe 7 detyra të një niveli kompleksiteti të shtuar dhe të lartë me një përgjigje të detajuar.
Për kryerjen e punës diagnostikuese në matematikë janë caktuar 3 orë 55 minuta (235 minuta).
Përgjigjet e detyrave 1-12 shkruhen si një numër i plotë ose një thyesë dhjetore përfundimtare. Shkruani numrat në fushat e përgjigjeve në tekstin e punës dhe më pas transferojini në fletën e përgjigjeve nr. 1. Kur plotësoni detyrat 13-19, duhet të shkruani zgjidhjen e plotë dhe përgjigjen e fletës së përgjigjeve Nr. 2.
Të gjitha formularët plotësohen me bojë të zezë të ndezur. Lejohet përdorimi i stilolapsave me xhel, kapilar ose shatërvan.
Kur përfundoni detyrat, mund të përdorni një draft. Draftet nuk llogariten në vlerësimin e punës.
Pikët që merrni për detyrat e përfunduara përmblidhen.
Ju urojmë suksese!

Kushtet e detyrës

1. Gjeni nëse
2. Për të marrë një imazh të zmadhuar të një llambë në ekran në laborator, përdoret një lente konvergjente me një gjatësi fokale kryesore = 30 cm. Distanca nga thjerrëza në llambë mund të ndryshojë nga 40 në 65 cm, dhe distanca nga lentet në ekran - në rangun nga 75 në 100 cm Imazhi në ekran do të jetë i qartë nëse raporti plotësohet. Specifikoni distancën më të madhe nga lentet që mund të vendoset llamba në mënyrë që imazhi i saj në ekran të jetë i qartë. Shprehni përgjigjen tuaj në centimetra.
3. Anija kalon përgjatë lumit deri në destinacion për 300 km dhe pas parkimit kthehet në pikën e nisjes. Gjeni shpejtësinë e rrymës, nëse shpejtësia e anijes në ujë të qetë është 15 km / orë, parkimi zgjat 5 orë, dhe anija kthehet në pikën e nisjes 50 orë pas largimit nga ajo. Jepni përgjigjen tuaj në km/h.
4. Gjeni vlerën më të vogël të një funksioni në një segment
5. a) Zgjidhe ekuacionin b) Gjeni të gjitha rrënjët e këtij ekuacioni që i përkasin segmentit
6. Jepet një kon rrethor i drejtë me kulm M. Seksioni boshtor i konit - një trekëndësh me një kënd prej 120 ° në kulm M. Gjeneratori i konit është . Përmes pikës M një pjesë e konit është tërhequr pingul me një nga gjeneratorët.
   a) Vërtetoni se trekëndëshi që rezulton është një trekëndësh i mpirë.
   b) Gjeni distancën nga qendra RRETH baza e konit në rrafshin e seksionit.
7. Zgjidheni ekuacionin
8. Rrethi me qendër RRETH prek anash AB trekëndëshi dykëndësh abc, zgjatimet anësore AC dhe vazhdimi i themelimit dielli në pikën N. Pika M- mesi i bazës dielli.
   a) Vërtetoni këtë MN=AC.
   b) Gjeni OS, nëse brinjët e trekëndëshit ABC janë 5, 5 dhe 8.
9. Projekti i biznesit "A" supozon një rritje të shumave të investuara në të me 34,56% në vit gjatë dy viteve të para dhe me 44% në vit në dy vitet e ardhshme. Projekti B supozon rritjen me një numër të plotë konstant n për qind në vit. Gjeni vlerën më të vogël n, sipas të cilit për katër vitet e para projekti "B" do të jetë më fitimprurës se projekti "A".
10. Gjeni të gjitha vlerat e parametrit , , për secilën prej të cilave sistemi i ekuacioneve ka zgjidhjen e vetme
11. Anya luan një lojë: dy numra të ndryshëm natyrorë janë shkruar në tabelë dhe , të dy janë më pak se 1000. Nëse të dy janë numra natyrorë, atëherë Anya bën një lëvizje - ajo zëvendëson të mëparshmet me këta dy numra. Nëse të paktën një nga këta numra nuk është numër natyror, atëherë loja përfundon.
    a) A mund të vazhdojë loja për saktësisht tre lëvizje?
    b) A ka dy numra fillestarë të tillë që loja do të zgjasë të paktën 9 lëvizje?
    c) Anya bëri lëvizjen e parë në lojë. Gjeni raportin më të madh të mundshëm të prodhimit të dy numrave të fituar me produktin

Le të jepet një cilindër rrethor i drejtë, rrafshi horizontal i projeksioneve është paralel me bazën e tij. Kur një cilindër pritet nga një plan në pozicionin e përgjithshëm (supozojmë se rrafshi nuk i pret bazat e cilindrit), vija e kryqëzimit është një elips, vetë seksioni ka formën e një elipsi, projeksioni i tij horizontal përkon me projeksioni i bazës së cilindrit, dhe pjesa e përparme gjithashtu ka formën e një elipsi. Por nëse rrafshi i prerjes bën një kënd të barabartë me 45 ° me boshtin e cilindrit, atëherë seksioni, i cili ka formën e një elipsi, projektohet nga një rreth në atë plan projeksionesh në të cilin seksioni është i prirur në të njëjtën mënyrë. këndi.

Nëse rrafshi i prerjes pret sipërfaqen anësore të cilindrit dhe një nga bazat e tij (Fig. 8.6), atëherë vija e kryqëzimit ka formën e një elipsi jo të plotë (pjesë e një elipse). Projeksioni horizontal i seksionit në këtë rast është pjesë e rrethit (projeksioni i bazës), dhe pjesa ballore është pjesë e elipsit. Rrafshi mund të vendoset pingul me çdo rrafsh projeksioni, atëherë seksioni do të projektohet në këtë plan projeksioni nga një vijë e drejtë (pjesë e gjurmës së rrafshit sekant).

Nëse cilindri është i prerë nga një rrafsh paralel me gjeneratorin, atëherë linjat e kryqëzimit me sipërfaqen anësore janë të drejta, dhe vetë seksioni ka formën e një drejtkëndëshi nëse cilindri është i drejtë, ose një paralelogram nëse cilindri është i prirur.

Siç e dini, si cilindri ashtu edhe koni formohen nga sipërfaqe të rregulluara.

Vija e prerjes (vija e prerjes) e sipërfaqes së sunduar dhe e rrafshit në rastin e përgjithshëm është një kurbë e caktuar, e cila ndërtohet nga pikat e kryqëzimit të gjeneratorëve me rrafshin e sekantit.

Le të jepet kon rrethor i drejtë. Kur e kryqëzojmë me rrafsh, vija e kryqëzimit mund të marrë formën e: trekëndëshit, elipsit, rrethit, parabolës, hiperbolës (Fig. 8.7), në varësi të vendndodhjes së rrafshit.

Një trekëndësh fitohet kur rrafshi i prerjes, duke kaluar konin, kalon nëpër kulmin e tij. Në këtë rast, linjat e kryqëzimit me sipërfaqen anësore janë vija të drejta që kryqëzohen në majë të konit, të cilat së bashku me vijën e kryqëzimit të bazës formojnë një trekëndësh të projektuar në rrafshet e projeksionit me shtrembërim. Nëse rrafshi pret boshtin e konit, atëherë në seksion fitohet një trekëndësh, në të cilin këndi me kulmin që përkon me kulmin e konit do të jetë maksimal për seksionet e trekëndëshit të konit të dhënë. Në këtë rast, seksioni projektohet në planin horizontal të projeksionit (është paralel me bazën e tij) nga një segment i drejtë.

Vija e kryqëzimit të një rrafshi dhe një koni do të jetë një elips nëse rrafshi nuk është paralel me ndonjë nga gjeneratorët e konit. Kjo është e barabartë me faktin se aeroplani kryqëzon të gjithë gjeneratorët (të gjithë sipërfaqen anësore të konit). Nëse rrafshi i prerjes është paralel me bazën e konit, atëherë vija e kryqëzimit është një rreth, vetë seksioni projektohet në planin horizontal të projeksionit pa shtrembërim, dhe në rrafshin ballor - si një segment i vijës së drejtë.

Vija e kryqëzimit do të jetë një parabolë kur rrafshi i sekantit është paralel me vetëm një gjeneratë të konit. Nëse rrafshi i prerjes është paralel me dy gjeneratorë në të njëjtën kohë, atëherë vija e kryqëzimit është një hiperbolë.

Një kon i cunguar fitohet nëse një kon rrethor i drejtë prehet nga një rrafsh paralel me bazën dhe pingul me boshtin e konit, dhe pjesa e sipërme hidhet. Në rastin kur rrafshi horizontal i projeksionit është paralel me bazat e konit të cunguar, këto baza projektohen në rrafshin e projeksionit horizontal pa shtrembërim nga rrathët koncentrikë, dhe projeksioni ballor është një trapez. Kur një kon i cunguar ndërpritet nga një plan, në varësi të vendndodhjes së tij, vija e prerjes mund të marrë formën e një trapezi, elipsi, rrethi, parabole, hiperbole ose pjesë e njërës prej këtyre kthesave, skajet e së cilës janë të lidhura me një vijë e drejtë.

Cilindri V \u003d S kryesor. h

Shembulli 2 Jepet një kon rrethor i drejtë ABC barabrinjës, BO = 10. Gjeni vëllimin e konit.

Zgjidhje

Gjeni rrezen e bazës së konit. C \u003d 60 0, B \u003d 30 0,

Le të OS = A, pastaj BC = 2 A. Sipas teoremës së Pitagorës:

Përgjigje: .

Shembulli 3. Llogaritni vëllimet e figurave të formuara nga rrotullimi i zonave të kufizuara nga vijat e specifikuara.

y2=4x; y=0; x=4.

Kufijtë e integrimit a = 0, b = 4.

V= | =32π

Detyrat

opsioni 1

1. Prerja boshtore e cilindrit është katror, ​​diagonalja e të cilit është 4 dm. Gjeni vëllimin e cilindrit.

2. Diametri i jashtëm i sferës zgavër është 18 cm, trashësia e murit është 3 cm Gjeni vëllimin e mureve të sferës.

X figura e kufizuar me drejtëza y 2 =x, y=0, x=1, x=2.

Opsioni 2

1. Rrezet e tre topave janë 6 cm, 8 cm, 10 cm Përcaktoni rrezen e topit, vëllimi i të cilit është i barabartë me shumën e vëllimeve të këtyre topave.

2. Sipërfaqja e bazës së konit është 9 cm 2, sipërfaqja e përgjithshme e tij është 24 cm 2. Gjeni vëllimin e konit.

3. Njehsoni vëllimin e trupit të formuar nga rrotullimi rreth boshtit O X figura e kufizuar me drejtëza y 2 =2x, y=0, x=2, x=4.

Pyetjet e kontrollit:

1. Shkruani vetitë e vëllimeve të trupave.

2. Shkruani një formulë për llogaritjen e vëllimit të një trupi rrotullues rreth boshtit Oy.

Prezantimi

Rëndësia e temës së kërkimit. Seksionet konike ishin tashmë të njohura për matematikanët e Greqisë së Lashtë (për shembull, Menechmus, shekulli IV para Krishtit); me ndihmën e këtyre kthesave u zgjidhën disa probleme ndërtimi (dyfishimi i kubit, etj.), të cilat rezultuan të paarritshme kur përdorni mjetet më të thjeshta të vizatimit - busullat dhe vizoret. Në studimet e para që na kanë ardhur, gjeometrat grekë përftuan seksione konike duke vizatuar një plan prerës pingul me një nga gjeneratorët, ndërsa, në varësi të këndit të hapjes në majë të konit (d.m.th., këndi më i madh midis gjeneratorëve e një zgavër), vija e kryqëzimit doli të jetë një elips, nëse ky kënd është i mprehtë, është një parabolë, nëse është një kënd i drejtë dhe një hiperbolë, nëse është i mpirë. Puna më e plotë kushtuar këtyre kthesave ishte "Seksionet konike" të Apollonit të Pergës (rreth 200 para Krishtit). Përparime të mëtejshme në teorinë e seksioneve konike lidhen me krijimin në shekullin e 17-të. metodat e reja gjeometrike: projektive (matematicienët francezë J. Desargues, B. Pascal) dhe veçanërisht koordinative (matematicienët francezë R. Descartes, P. Fermat).

Interesi për prerjet konike është mbështetur gjithmonë nga fakti se këto kthesa shpesh gjenden në fenomene të ndryshme natyrore dhe në veprimtarinë njerëzore. Në shkencë, seksionet konike fituan një rëndësi të veçantë pasi astronomi gjerman I. Kepler zbuloi nga vëzhgimet, dhe shkencëtari anglez I. Newton vërtetoi teorikisht ligjet e lëvizjes planetare, njëra prej të cilave thotë se planetët dhe kometat e sistemit diellor lëvizin përgjatë konike. seksione, në njërën nga vatrat e të cilave është Dielli. Shembujt e mëposhtëm u referohen llojeve të caktuara të seksioneve konike: një predhë ose një gur i hedhur në mënyrë të pjerrët në horizont përshkruan një parabolë (forma e saktë e kurbës është disi e shtrembëruar nga rezistenca e ajrit); në disa mekanizma, përdoren ingranazhe eliptike ("ingranazh eliptik"); hiperbola shërben si një grafik i proporcionalitetit të kundërt, i vërejtur shpesh në natyrë (për shembull, ligji Boyle-Mariotte).

Qëllimi i punës:

Studimi i teorisë së prerjeve konike.

Tema e hulumtimit:

Seksione konike.

Qëllimi i studimit:

Studioni teorikisht veçoritë e prerjeve konike.

Objekti i studimit:

Seksione konike.

Lënda e studimit:

Zhvillimi historik i seksioneve konike.

1. Formimi i prerjeve konike dhe llojet e tyre

Seksionet konike janë vija që formohen në seksionin e një koni rrethor të djathtë me plane të ndryshme.

Vini re se një sipërfaqe konike është një sipërfaqe e formuar nga lëvizja e një vije të drejtë që kalon gjatë gjithë kohës përmes një pike fikse (maja e konit) dhe kryqëzon gjatë gjithë kohës një kurbë fikse - një udhëzues (në rastin tonë, një rreth ).

Duke i klasifikuar këto linja sipas natyrës së vendndodhjes së planeve sekante në lidhje me gjeneratorët e konit, përftohen tre lloje kthesash:

I. Lakoret e formuara nga një pjesë e një koni nga rrafshe jo paralele me asnjë nga gjeneratorët. Kthesa të tilla do të jenë rrathë dhe elips të ndryshëm. Këto kthesa quhen kurba eliptike.

II. Lakoret e formuara nga një seksion i një koni me plane, secila prej të cilave është paralele me një nga gjeneratat e konit (Fig. 1b). Vetëm parabolat do të jenë kthesa të tilla.

III. Lakoret e formuara nga një pjesë e një koni nga rrafshet, secila prej të cilave është paralele me dy gjeneratorë (Fig. 1c). kthesa të tilla do të jenë hiperbola.

Nuk mund të ketë më asnjë kurbë të tipit IV, pasi nuk mund të ketë një rrafsh paralel me tre gjeneratorë të një koni në të njëjtën kohë, pasi nuk ka tre gjeneratorë të një koni vetë në të njëjtin rrafsh.

Vini re se koni mund të ndërpritet me plane dhe në mënyrë që të përftohen dy vija të drejta në seksion. Për ta bërë këtë, aeroplanët sekantë duhet të tërhiqen përmes majës së konit.

2. Elipsa

Dy teorema janë të rëndësishme për studimin e vetive të seksioneve konike:

Teorema 1. Le të jepet një kon rrethor i drejtë, i cili zbërthehet nga rrafshet b 1, b 2, b 3, pingul me boshtin e tij. Atëherë të gjithë segmentet e gjeneratorëve të konit ndërmjet çdo çifti rrathësh (të marra në seksion me rrafshet e dhëna) janë të barabartë me njëri-tjetrin, d.m.th. A 1 B 1 \u003d A 2 B 2 \u003d, etj. dhe B 1 C 1 \u003d B 2 C 2 \u003d, etj. Teorema 2. Nëse është dhënë një sipërfaqe sferike dhe një pikë S është jashtë saj, atëherë segmentet e tangjentëve të tërhequr nga pika S në sipërfaqen sferike do të jenë të barabarta me njëri-tjetrin, d.m.th. SA 1 =SA 2 =SA 3 etj.

2.1 Vetia themelore e një elipse

Presim një kon rrethor të drejtë me një rrafsh që kryqëzon të gjithë gjeneratorët e tij.Në seksion, marrim një elips. Le të vizatojmë një rrafsh pingul me rrafshin përmes boshtit të konit.

Ne futim dy topa në kon në mënyrë që, duke u vendosur në anët e kundërta të avionit dhe duke prekur sipërfaqen konike, secila prej tyre prek rrafshin në një pikë.

Lëreni një top të prekë rrafshin në pikën F 1 dhe të prekë konin përgjatë rrethit C 1, dhe tjetri në pikën F 2 dhe të prekë konin përgjatë rrethit C 2 .

Merrni një pikë arbitrare P në elips.

Kjo do të thotë se të gjitha përfundimet e bëra në lidhje me të do të jenë të vlefshme për çdo pikë të elipsit. Le të vizatojmë gjeneratën e OR të konit dhe të shënojmë pikat R 1 dhe R 2 në të cilat ai prek topat e ndërtuar.

Lidhni pikën P me pikat F 1 dhe F 2 . Pastaj PF 1 = PR 1 dhe PF 2 = PR 2, pasi PF 1, PR 1 janë tangjente të tërhequra nga pika P në një top, dhe PF 2, PR 2 janë tangjente të tërhequra nga pika P në një top tjetër (teorema 2) . Duke shtuar të dyja barazitë term pas termi, gjejmë

PF 1 + PF 2 = PR 1 + PR 2 = R 1 R 2 (1)

Kjo marrëdhënie tregon se shuma e distancave (РF 1 dhe РF 2) e një pike arbitrare P të elipsit me dy pika F 1 dhe F 2 është një vlerë konstante për këtë elips (d.m.th., nuk varet nga pozicioni të pikës P në elips).

Pikat F 1 dhe F 2 quhen vatra të elipsës. Pikat në të cilat drejtëza F 1 F 2 pret elipsin quhen kulme të elipsës. Segmenti ndërmjet kulmeve quhet boshti kryesor i elipsës.

Segmenti i gjeneratorit R 1 R 2 është i barabartë në gjatësi me boshtin kryesor të elipsës. Pastaj vetia kryesore e elipsës formulohet si më poshtë: shuma e distancave të një pike arbitrare P të elipsës në vatrat e saj F 1 dhe F 2 është një vlerë konstante për këtë elipsë, e barabartë me gjatësinë e boshtit të saj kryesor.

Vini re se nëse vatrat e elipsës përkojnë, atëherë elipsa është një rreth, d.m.th. një rreth është një rast i veçantë i një elipsi.

2.2 Ekuacioni i elipsit

Për të shkruar ekuacionin e një elipsi, ne duhet ta konsiderojmë elipsin si vendndodhjen e pikave që kanë disa veti që e karakterizojnë këtë vend. Le të marrim si përkufizim vetinë kryesore të elipsës: Elipsa është vendndodhja e pikave në një rrafsh për të cilin shuma e distancave në dy pika fikse F 1 dhe F 2 të këtij plani, të quajtura vatra, është një vlerë konstante e barabartë me gjatësia e boshtit të saj kryesor.

Le të jetë gjatësia e segmentit F 1 F 2 \u003d 2c, dhe gjatësia e boshtit kryesor është 2a. Për të nxjerrë ekuacionin kanonik të elipsës, ne zgjedhim origjinën O të sistemit të koordinatave karteziane në mes të segmentit F 1 F 2 dhe drejtojmë boshtet Ox dhe Oy siç tregohet në figurën 5. (Nëse vatrat përkojnë, atëherë O përkon me F 1 dhe F 2, dhe përtej boshtit Ox mund të merret si çdo aks që kalon nëpër O). Pastaj në sistemin e zgjedhur të koordinatave pikat F 1 (c, 0) dhe F 2 (-c, 0). Natyrisht, 2a > 2c, d.m.th. a>c. Le të jetë M(x, y) një pikë e rrafshit që i përket elipsës. Le të MF 1 =r 1 , MF 2 =r 2 . Sipas përkufizimit të një elipsi, barazia

r 1 +r 2 =2a (2) është kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm për vendndodhjen e pikës M (x, y) në një elips të dhënë. Duke përdorur formulën për distancën midis dy pikave, marrim

r 1 =, r 2 =. Le të kthehemi te barazia (2):

Le të zhvendosim një rrënjë në anën e djathtë të barazisë dhe ta katrorojmë atë:

Duke reduktuar, marrim:

Ne japim të ngjashme, zvogëlojmë me 4 dhe izolojmë radikalin:

Ne katrore

Hapni kllapat dhe shkurtojeni në:

nga ku marrim:

(a 2 -c 2) x 2 + a 2 y 2 \u003d a 2 (a 2 -c 2). (3)

Vini re se një 2 -c 2 >0. Në të vërtetë, r 1 +r 2 është shuma e dy brinjëve të trekëndëshit F 1 MF 2 , dhe F 1 F 2 është brinja e tretë e tij. Prandaj, r 1 +r 2 > F 1 F 2 , ose 2а> 2с, d.m.th. a>c. Shënoni një 2 -c 2 \u003d b 2. Ekuacioni (3) do të duket si: b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 . Le të kryejmë një transformim që sjell ekuacionin e elipsit në formën kanonike (fjalë për fjalë: marrë si mostër), domethënë, ne ndajmë të dy pjesët e ekuacionit me a 2 b 2:

(4) - ekuacioni kanonik i një elipsi.

Meqenëse ekuacioni (4) është një pasojë algjebrike e ekuacionit (2*), atëherë koordinatat x dhe y të çdo pike M të elipsës do të plotësojnë gjithashtu ekuacionin (4). Meqenëse "rrënjët shtesë" mund të shfaqen gjatë transformimeve algjebrike që lidhen me heqjen e radikalëve, është e nevojshme të siguroheni që çdo pikë M, koordinatat e së cilës plotësojnë ekuacionin (4), të jetë e vendosur në këtë elips. Për ta bërë këtë, mjafton të vërtetohet se sasitë r 1 dhe r 2 për secilën pikë plotësojnë relacionin (2). Pra, le të plotësojnë koordinatat x dhe y të pikës M ekuacionin (4). Duke zëvendësuar vlerën e y 2 nga (4) në shprehjen r 1 , pas transformimeve të thjeshta gjejmë se r 1 =. Meqenëse, atëherë r 1 =. Në mënyrë të ngjashme, ne gjejmë se r 2 =. Kështu, për pikën e shqyrtuar M r 1 =, r 2 =, d.m.th. r 1 + r 2 \u003d 2a, prandaj pika M ndodhet në një elips. Madhësitë a dhe b quhen përkatësisht gjysmëboshtet e mëdha dhe të vogla të elipsës.

2.3 Studimi i formës së një elipse sipas barazimit të saj

Le të vendosim formën e elipsës duke përdorur ekuacionin e saj kanonik.

1. Ekuacioni (4) përmban x dhe y vetëm në fuqi çift, kështu që nëse pika (x, y) i përket elipsit, atëherë pikat (x, - y), (-x, y), (-x, - y). Nga kjo rrjedh se elipsa është simetrike për boshtet Ox dhe Oy, si dhe për pikën O (0,0), e cila quhet qendra e elipsës.

2. Gjeni pikat e prerjes së elipsës me boshtet koordinative. Duke vendosur y \u003d 0, gjejmë dy pika A 1 (a, 0) dhe A 2 (-a, 0), në të cilat boshti Ox kryqëzon elipsin. Duke vendosur x=0 në barazimin (4), gjejmë pikat e kryqëzimit të elipsës me boshtin Oy: B 1 (0, b) dhe. B 2 (0, - b) Pikat A 1 , A 2 , B 1 , B 2 quhen kulme elipse.

3. Nga ekuacioni (4) del se çdo term në anën e majtë nuk e kalon unitetin, d.m.th. ka pabarazi dhe ose dhe. Prandaj, të gjitha pikat e elipsit shtrihen brenda drejtkëndëshit të formuar nga vijat e drejta, .

4. Në ekuacionin (4), shuma e termave jonegativë dhe është e barabartë me një. Prandaj, me rritjen e një termi, tjetri do të zvogëlohet, d.m.th. Nëse x rritet, atëherë y zvogëlohet dhe anasjelltas.

Nga sa u tha, rezulton se elipsa ka formën e treguar në Fig. 6 (lakore e mbyllur ovale).

Vini re se nëse a = b, atëherë ekuacioni (4) do të marrë formën x 2 + y 2 = a 2 . Ky është ekuacioni i rrethit. Një elipsë mund të merret nga një rreth me rreze a, nëse ngjeshet një herë përgjatë boshtit Oy. Me një tkurrje të tillë, pika (x; y) do të shkojë në pikën (x; y 1), ku. Duke zëvendësuar rrethin në ekuacion, marrim ekuacionin e elipsit: .

Le të prezantojmë një sasi më shumë që karakterizon formën e elipsës.

Ekscentriciteti i një elipsi është raporti i gjatësisë fokale 2c me gjatësinë 2a të boshtit të saj kryesor.

Ekscentriciteti zakonisht shënohet me e: e = Meqë c< a, то. Заметив, что c 2 = a 2 - b 2 , находим: , отсюда.

Nga barazia e fundit është e lehtë të merret një interpretim gjeometrik i ekscentricitetit të elipsit. Për numra shumë të vegjël, a dhe b janë pothuajse të barabarta, domethënë, elipsa është afër një rrethi. Nëse është afër unitetit, atëherë numri b është shumë i vogël në krahasim me numrin a dhe elipsa është fort e zgjatur përgjatë boshtit kryesor. Kështu, ekscentriciteti i elipsës karakterizon masën e zgjatjes së elipsës.

3. Hiperbola

3.1 Vetia kryesore e hiperbolës

Duke eksploruar hiperbolën me ndihmën e ndërtimeve të ngjashme me ndërtimet e kryera për studimin e elipsës, konstatojmë se hiperbola ka veti të ngjashme me ato të elipsës.

Le të presim një kon rrethor të drejtë me një rrafsh b që kryqëzon të dy rrafshet e tij, d.m.th. paralel me dy gjeneratorë të tij. Seksioni kryq është një hiperbolë. Le të vizatojmë përmes boshtit ST të konit rrafshin ASB, pingul me rrafshin b.

Le të futim dy topa në kon - njëri në njërën nga zgavra e tij, tjetri në tjetrin, në mënyrë që secili prej tyre të prekë sipërfaqen konike dhe rrafshin e seancës. Lëreni topin e parë të prekë rrafshin b në pikën F 1 dhe të prekë sipërfaqen konike përgjatë rrethit UґVґ. Lëreni topin e dytë të prekë rrafshin b në pikën F 2 dhe të prekë sipërfaqen konike përgjatë rrethit UV.

Zgjedhim një pikë arbitrare M në hiperbolë. Le të vizatojmë përmes saj gjeneratën e konit MS dhe të shënojmë pikat d dhe D në të cilat ai prek topin e parë dhe të dytë. Pikën M e lidhim me pikat F 1 , F 2 , të cilat do t'i quajmë fokuse të hiperbolës. Pastaj MF 1 =Md, meqenëse të dy segmentet janë tangjente me topin e parë, të tërhequr nga pika M. Në mënyrë të ngjashme, MF 2 =MD. Duke zbritur term për term nga barazia e parë e dyta, gjejmë

MF 1 -MF 2 \u003d Md-MD \u003d dD,

ku dD është një vlerë konstante (si gjenerata e një koni me baza UґVґ dhe UV), e pavarur nga zgjedhja e pikës M në hiperbolë. Shënoni me P dhe Q pikat në të cilat drejtëza F 1 F 2 pret hiperbolën. Këto pika P dhe Q quhen kulme të hiperbolës. Segmenti PQ quhet bosht real i hiperbolës. Në rrjedhën e gjeometrisë elementare vërtetohet se dD=PQ. Prandaj, MF 1 -MF 2 =PQ.

Nëse pika M do të jetë në atë degë të hiperbolës, pranë së cilës ndodhet fokusi F 1, atëherë MF 2 -MF 1 =PQ. Pastaj më në fund marrim МF 1 -MF 2 =PQ.

Moduli i diferencës midis distancave të një pike arbitrare M të një hiperbole nga vatrat e saj F 1 dhe F 2 është një vlerë konstante e barabartë me gjatësinë e boshtit real të hiperbolës.

3.2 Ekuacioni i një hiperbole

Le të marrim si përkufizim vetinë kryesore të hiperbolës: Hiperbola është një vend i pikave në një rrafsh për të cilin moduli i diferencës në distancë në dy pika fikse F 1 dhe F 2 të këtij plani, të quajtur vatra, është një konstante. vlerë e barabartë me gjatësinë e boshtit të saj real.

Le të jetë gjatësia e segmentit F 1 F 2 \u003d 2c, dhe gjatësia e boshtit real është 2a. Për të nxjerrë ekuacionin kanonik të hiperbolës, zgjedhim origjinën O të sistemit koordinativ kartezian në mes të segmentit F 1 F 2 dhe drejtojmë boshtet Ox dhe Oy siç tregohet në figurën 5. Më pas në sistemin e koordinatave të zgjedhur, pikat F 1 (c, 0) dhe F 2 ( -s, 0). Natyrisht 2a<2с, т.е. а<с. Пусть М (х, у) - точка плоскости, принадлежащая гиперболе. Пусть МF 1 =r 1 , МF 2 =r 2 . Согласно определению гиперболы равенство

r 1 -r 2 \u003d 2a (5) është një kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm për vendndodhjen e pikës M (x, y) në këtë hiperbolë. Duke përdorur formulën për distancën midis dy pikave, marrim

r 1 =, r 2 =. Le të kthehemi te barazia (5):

Le të vendosim në katror të dy anët e ekuacionit

(x + s) 2 + y 2 \u003d 4a 2 ± 4a + (x-c) 2 + y 2

Duke reduktuar, marrim:

2 хс=4а 2 ±4а-2 хс

±4a=4a 2 -4 xs

a 2 x 2 -2a 2 xc + a 2 c 2 + a 2 y 2 \u003d a 4 -2a 2 xc + x 2 c 2

x 2 (c 2 -a 2) - a 2 y 2 \u003d a 2 (c 2 -a 2) (6)

Vini re se c 2 -a 2 >0. Sheno c 2 -a 2 =b 2 . Ekuacioni (6) do të duket si: b 2 x 2 -a 2 y 2 =a 2 b 2 . Ne kryejmë një transformim që sjell ekuacionin e hiperbolës në formën kanonike, domethënë, ne ndajmë të dy pjesët e ekuacionit me a 2 b 2: (7) - ekuacioni kanonik i hiperbolës, madhësitë a dhe b janë, përkatësisht, gjysmëboshtet reale dhe imagjinare të hiperbolës.

Duhet të sigurohemi që ekuacioni (7), i marrë nga shndërrimet algjebrike të ekuacionit (5*), të mos ketë marrë rrënjë të reja. Për ta bërë këtë, mjafton të vërtetohet se për secilën pikë M, koordinatat x dhe y të së cilës plotësojnë ekuacionin (7), vlerat r 1 dhe r 2 plotësojnë relacionin (5). Duke kryer argumente të ngjashme me ato që u bënë gjatë nxjerrjes së formulës së elipsës, gjejmë shprehjet e mëposhtme për r 1 dhe r 2:

Kështu, për pikën e konsideruar M kemi r 1 -r 2 =2a, dhe për këtë arsye ajo ndodhet në hiperbolë.

3.3 Studimi i ekuacionit të hiperbolës

Tani le të përpiqemi, bazuar në shqyrtimin e ekuacionit (7), të marrim një ide për vendndodhjen e hiperbolës.
1. Para së gjithash, ekuacioni (7) tregon se hiperbola është simetrike për të dy boshtet. Kjo shpjegohet me faktin se vetëm shkallët çift të koordinatave përfshihen në ekuacionin e kurbës. 2. Tani shënojmë rajonin e rrafshit ku do të shtrihet kurba. Ekuacioni i hiperbolës, i zgjidhur në lidhje me y, ka formën:

Tregon se y ekziston gjithmonë kur x 2? a 2. Kjo do të thotë se për x? a dhe për x? - dhe ordinata y do të jetë reale, dhe për - a

Më tej, me rritjen e x (dhe më të madhe a), ordinata y gjithashtu do të rritet gjatë gjithë kohës (në veçanti, nga kjo mund të shihet se kurba nuk mund të jetë e valëzuar, d.m.th e tillë që me rritjen e abshisës së x, ordinata y ose rritet ose zvogëlohet) .

3. Qendra e një hiperbole është një pikë në lidhje me të cilën çdo pikë e hiperbolës ka një pikë simetrike me vetveten. Pika O(0,0), origjina, si për elipsin, është qendra e hiperbolës së dhënë nga ekuacioni kanonik. Kjo do të thotë se çdo pikë e hiperbolës ka një pikë simetrike në hiperbolë në lidhje me pikën O. Kjo rrjedh nga simetria e hiperbolës në lidhje me boshtet Ox dhe Oy. Çdo akord i hiperbolës që kalon nëpër qendrën e saj quhet diametri i hiperbolës.

4. Pikat e kryqëzimit të hiperbolës me drejtëzën në të cilën shtrihen vatrat e saj quhen kulme të hiperbolës, kurse segmenti ndërmjet tyre quhet bosht real i hiperbolës. Në këtë rast, boshti real është boshti x. Vini re se boshti real i hiperbolës shpesh quhet si segmenti 2a ashtu edhe vetë drejtëza (boshti Ox) në të cilin shtrihet.

Gjeni pikat e kryqëzimit të hiperbolës me boshtin Oy. Ekuacioni i boshtit y është x=0. Duke zëvendësuar x = 0 në ekuacionin (7), marrim se hiperbola nuk ka pika kryqëzimi me boshtin Oy. Kjo është e kuptueshme, pasi nuk ka pika hiperbole në një shirit me gjerësi 2a, që mbulon boshtin Oy.

Drejtëza pingul me boshtin real të hiperbolës dhe që kalon nga qendra e saj quhet bosht imagjinar i hiperbolës. Në këtë rast, ajo përkon me boshtin y. Pra, në emëruesit e termave me x 2 dhe y 2 në ekuacionin e hiperbolës (7) janë katrorët e gjysmëboshteve reale dhe imagjinare të hiperbolës.

5. Hiperbola e pret drejtëzën y ​​= kx për k< в двух точках. Если k то общих точек у прямой и гиперболы нет.

Dëshmi

Për të përcaktuar koordinatat e pikave të kryqëzimit të hiperbolës dhe drejtëzës y = kx, është e nevojshme të zgjidhet sistemi i ekuacioneve.

Duke eliminuar y, marrim

ose Për b 2 -k 2 a 2 0, pra për k, ekuacioni që rezulton, pra sistemi i zgjidhjeve, nuk ka.

Drejtëzat me barazimet y= dhe y= - quhen asimptota të hiperbolës.

Për b 2 -k 2 a 2 >0, pra për k< система имеет два решения:

Prandaj, çdo vijë e drejtë që kalon nëpër origjinë, me një pjerrësi k< пересекает гиперболу в двух точках. При k = 0 получаем точки пересечения (a; 0) и (- a; 0) - вершины гиперболы.

6. Vetia optike e hiperbolës: rrezet optike që dalin nga një fokus i hiperbolës, të reflektuara prej saj, duket se dalin nga fokusi i dytë.

Ekscentriciteti i hiperbolës është raporti i gjatësisë fokale 2c me gjatësinë 2a të boshtit të saj real?
ato. nga ana e konkavitetit të saj.

3.4 Hiperbola e konjuguar

Së bashku me hiperbolën (7), merret parasysh e ashtuquajtura hiperbola e konjuguar në lidhje me të. Hiperbola e konjuguar përcaktohet nga ekuacioni kanonik.

Në fig. 10 tregon hiperbolën (7) dhe hiperbolën e saj të konjuguar. Hiperbola e konjuguar ka të njëjtat asimptota si ajo e dhënë, por F 1 (0, c),

4. Parabola

4.1 Vetia themelore e një parabole

Le të përcaktojmë vetitë themelore të një parabole. Le të presim një kon rrethor të drejtë me kulm S me një rrafsh paralel me një nga gjeneratorët e tij. Në seksion kemi një parabolë. Le të vizatojmë përmes boshtit ST të konit rrafshin ASB, pingul me rrafshin (Fig. 11). Generatrix SA që shtrihet në të do të jetë paralel me aeroplanin. Le të shkruajmë në kon një sipërfaqe sferike tangjente me konin përgjatë rrethit UV dhe tangjente me rrafshin në pikën F. Vizatoni një vijë përmes pikës F paralelisht me gjeneratorin SA. Pikën e kryqëzimit të saj me gjeneratorin SB e shënojmë me P. Pika F quhet fokusi i parabolës, pika P është kulmi i saj dhe drejtëza PF që kalon nëpër kulm dhe fokus (dhe paralel me gjeneratën SA ) quhet boshti i parabolës. Parabola nuk do të ketë një kulm të dytë - pika e kryqëzimit të boshtit PF me gjeneratorin SA: kjo pikë "shkon në pafundësi". Le ta quajmë direktrix (në përkthim do të thotë "udhëzues") vijën q 1 q 2 të kryqëzimit të rrafshit me rrafshin në të cilin shtrihet rrethi UV. Merrni një pikë arbitrare M në parabolë dhe lidheni atë me kulmin e konit S. Vija MS prek topin në pikën D që shtrihet në rrethin UV. E lidhim pikën M me fokusin F dhe e lëshojmë MK pingul nga pika M në drejtim. Pastaj rezulton se distancat e një pike arbitrare M të parabolës me fokusin (MF) dhe me drejtimin (MK) janë të barabarta me njëra-tjetrën (vetia kryesore e parabolës), d.m.th. MF=MK.

Vërtetim: МF=MD (si tangjente me një top nga një pikë). Le ta shënojmë këndin midis cilësdo prej gjeneratave të konit dhe boshtit ST si q. Le të projektojmë segmentet MD dhe MK në boshtin ST. Segmenti MD formon një projeksion mbi boshtin ST, të barabartë me MDcosc, pasi MD shtrihet në gjeneratën e konit; segmenti MK formon një projeksion mbi boshtin ST, të barabartë me MKsoc, pasi segmenti MK është paralel me gjeneratorin SA. (Në të vërtetë, drejtimi q 1 q 1 është pingul me rrafshin ASB. Prandaj, drejtëza PF e pret direktriksin në pikën L në një kënd të drejtë. Por drejtëzat MK dhe PF shtrihen në të njëjtin rrafsh, dhe MK është gjithashtu pingul në drejtimin). Projeksionet e të dy segmenteve MK dhe MD në boshtin ST janë të barabarta me njëri-tjetrin, pasi një nga skajet e tyre - pika M - është e përbashkët, dhe dy të tjerët D dhe K shtrihen në një plan pingul me boshtin ST (Fig. ). Pastaj МDcosц= MKsоsц ose МD= MK. Prandaj, MF=MK.

Prona 1.(Vetësia qendrore e një parabole).

Distanca nga çdo pikë e parabolës deri në mesin e kordës kryesore është e barabartë me distancën e saj në drejtimin.

Dëshmi.

Pika F - pika e kryqëzimit të vijës QR dhe akordit kryesor. Kjo pikë shtrihet në boshtin e simetrisë Oy. Në të vërtetë, trekëndëshat RNQ dhe ROF janë kongruentë, ashtu si trekëndëshat kënddrejtë

trekëndëshat me këmbë të hershme (NQ=OF, OR=RN). Prandaj, pavarësisht se çfarë pike N marrim, vija QR e ndërtuar përgjatë saj do të presë kordën kryesore në mesin e saj F. Tani është e qartë se trekëndëshi FMQ është dykëndësh. Në të vërtetë, segmenti MR është edhe mesatarja edhe lartësia e këtij trekëndëshi. Kjo nënkupton që MF=MQ.

Prona 2.(Vetia optike e një parabole).

Çdo tangjente me parabolën bën kënde të barabarta me rreze fokale të tërhequr në pikën tangjente dhe rreze që vjen nga pika tangjente dhe e bashkëdrejtuar me boshtin (ose rrezet që dalin nga një fokus i vetëm, të reflektuara nga parabola, do të shkojnë paralel me boshtin).

Dëshmi. Për një pikë N që shtrihet në vetë parabolën, barazia |FN|=|NH| është e vërtetë, dhe për një pikë N" që shtrihet në rajonin e brendshëm të parabolës, |FN"|<|N"H"|. Если теперь провести биссектрису l угла FМК, то для любой отличной от М точки M" прямой l найдём:

|FM"|=|M"K"|>|M"K"|, domethënë pika M" shtrihet në rajonin e jashtëm të parabolës. Pra, e gjithë drejtëza l, përveç pikës M, shtrihet në rajonin e jashtëm, domethënë, rajoni i brendshëm i parabolës shtrihet në njërën anë të l, që do të thotë se l është tangjent me parabolën. Kjo jep vërtetimin e vetive optike të parabolës: këndi 1 është i barabartë me këndin 2, pasi l është përgjysmues i këndit FMK.

4.2 Ekuacioni i një parabole

Bazuar në vetinë kryesore të një parabole, ne formulojmë përkufizimin e saj: një parabolë është një grup i të gjitha pikave në një rrafsh, secila prej të cilave është po aq e largët nga një pikë e caktuar, e quajtur fokusi, dhe një drejtëz e caktuar, e quajtur direktrix. . Distanca nga fokusi F në drejtimin quhet parametri i parabolës dhe shënohet me p (p > 0).

Për të nxjerrë ekuacionin e parabolës, ne zgjedhim sistemin e koordinatave Oxy në mënyrë që boshti Ox të kalojë përmes fokusit F pingul me direktriksin në drejtim nga direktriksi në F, dhe origjina O ndodhet në mes midis fokusit dhe drejtimit. (Fig. 12). Në sistemin e përzgjedhur, fokusi është F(, 0), dhe ekuacioni direktor ka formën x=-, ose x+=0. Le të jetë m (x, y) një pikë arbitrare e parabolës. Lidhni pikën M me F. Vizatoni segmentin MH pingul me drejtimin. Sipas përkufizimit të një parabole, MF = MH. Duke përdorur formulën për distancën midis dy pikave, gjejmë:

Prandaj, duke kuadruar të dyja anët e ekuacionit, marrim

ato. (8) Ekuacioni (8) quhet ekuacioni kanonik i një parabole.

4.3 Studimi i formave të parabolës sipas barazimit të saj

1. Në ekuacionin (8), ndryshorja y përfshihet në një shkallë çift, që do të thotë se parabola është simetrike rreth boshtit Ox; boshti x është boshti i simetrisë së parabolës.

2. Meqenëse c > 0, nga (8) del se x>0. Prandaj, parabola ndodhet në të djathtë të boshtit y.

3. Le të x \u003d 0, pastaj y \u003d 0. Prandaj, parabola kalon përmes origjinës.

4. Me një rritje të pakufizuar në x, moduli y gjithashtu rritet pafundësisht. Parabola y 2 \u003d 2 px ka formën (formën) e treguar në figurën 13. Pika O (0; 0) quhet kulmi i parabolës, segmenti FM \u003d r quhet rrezja fokale e pikës M Ekuacionet y 2 \u003d -2 px, x 2 \u003d - 2 py, x 2 =2 py (p>0) gjithashtu përcaktojnë parabolat.

1.5. Vetia e drejtorisë së seksioneve konike .

Këtu vërtetojmë se çdo seksion konik jo rrethor (jo i degjeneruar) mund të përkufizohet si një grup pikash M, raporti i distancës MF të të cilave nga një pikë fikse F me distancën MP nga një vijë fikse d që nuk kalon. pika F është e barabartë me një vlerë konstante e: ku F - fokusi i seksionit konik, vija e drejtë d është drejtimi, dhe raporti e është ekscentriciteti. (Nëse pika F i përket drejtëzës d, atëherë kushti përcakton grupin e pikave, që është një çift vijash, d.m.th., një seksion konik i degjeneruar; për e = 1, ky çift vijash bashkohet në një vijë. Për të vërtetuar këtë, merrni parasysh konin e formuar nga rrotullimi i drejtëzës l rreth kryqëzimit të saj në pikën O të drejtëzës p, që përbën me l këndin b.< 90є; пусть плоскость р не проходит через вершину конуса и образует с его осью p угол в < 90є (если в = 90є, то плоскость р пересекает конус по окружности).

Le të shkruajmë një top K në kon që prek rrafshin p në pikën F dhe prek konin përgjatë rrethit S. Vijën e kryqëzimit të planit p me rrafshin y të rrethit S shënojmë me d.

Le të lidhim tani një pikë arbitrare M, të shtrirë në drejtëzën A të kryqëzimit të rrafshit p dhe konit, me kulmin O të konit dhe me pikën F, dhe ta hedhim MP pingul nga M në drejtëzën d; shënoni gjithashtu me E pikën e kryqëzimit të gjeneratorit MO të konit me rrethin S.

Për më tepër, MF = ME, si segmente të dy tangjentave të topit K, të tërhequr nga një pikë M.

Më tej, segmenti ME formon me boshtin p të konit një kënd konstant (d.m.th., i pavarur nga zgjedhja e pikës M) kënd 6, dhe segmenti MP formon një kënd konstant β; prandaj, projeksionet e këtyre dy segmenteve në boshtin p janë përkatësisht të barabarta me ME cos b dhe MP cos c.

Por këto projeksione përkojnë, pasi segmentet ME dhe MP kanë një origjinë të përbashkët M, dhe skajet e tyre shtrihen në rrafshin y pingul me boshtin p.

Prandaj, ME cos b = MP cos c, ose, meqenëse ME = MF, MF cos b = MP cos c, prej nga rrjedh se

Është gjithashtu e lehtë të tregohet se nëse pika M e rrafshit p nuk i përket konit, atëherë. Kështu, çdo seksion i një koni rrethor të djathtë mund të përshkruhet si një grup pikash në rrafsh, për të cilat. Nga ana tjetër, duke ndryshuar vlerat e këndeve b dhe c, mund t'i japim ekscentricitetit çdo vlerë e > 0; Më tej, nga konsideratat e ngjashmërisë, nuk është e vështirë të kuptohet se distanca FQ nga fokusi në drejtim është drejtpërdrejt proporcionale me rrezen r të topit K (ose distancën d të rrafshit p nga kulmi O i kon). Mund të tregohet se, kështu, duke zgjedhur distancën d në mënyrë të përshtatshme, ne mund t'i japim distancës FQ çdo vlerë. Prandaj, çdo grup pikash M, për të cilat raporti i distancave nga M në një pikë fikse F dhe në një vijë fikse d ka një vlerë konstante, mund të përshkruhet si një kurbë e përftuar në seksionin e një koni rrethor të djathtë nga një aeroplan. Kjo dëshmon se seksionet konike (jo të degjeneruara) mund të përcaktohen gjithashtu nga vetia e diskutuar në këtë nënseksion.

Kjo veti e seksioneve konike quhet ato pronë e drejtorisë. Është e qartë se nëse c > b, atëherë e< 1; если в = б, то е = 1; наконец, если в < б, то е >1. Nga ana tjetër, është e lehtë të shihet se nëse s > 6, atëherë rrafshi p e pret konin përgjatë një vije të kufizuar të mbyllur; nëse c = b, atëherë rrafshi p e pret konin përgjatë një vije të pakufizuar; nëse në< б, то плоскость р пересекает обе полы конуса и, следовательно, линия пересечения этой плоскости и конуса состоит из двух (неограниченных) частей или ветвей (рис. 17).

Seksioni konik për të cilin e< 1, называется эллипсом; коническое сечение с эксцентриситетом е = 1 называется параболой; коническое сечение, для которого е >1 quhet hiperbolë. Elipset përfshijnë gjithashtu një rreth, i cili nuk mund të specifikohet nga një pronë direktorie; meqenëse për një rreth raporti kthehet në 0 (sepse në këtë rast β \u003d 90º), konsiderohet me kusht që rrethi është një seksion konik me një ekscentricitet prej 0.

6. Elipsa, hiperbola dhe parabola si prerje konike

hiperbola e elipsit të seksionit konik

Matematikani i lashtë grek Menechmus, i cili zbuloi elipsin, hiperbolën dhe parabolën, i përcaktoi ato si seksione të një koni rrethor nga një plan pingul me një nga gjeneratorët. Ai i quajti kthesat rezultuese seksione të koneve me kënd akut, drejtkëndor dhe me kënd të mpirë, në varësi të këndit boshtor të konit. E para, siç do të shohim më poshtë, është një elips, e dyta është një parabolë, e treta është një degë e hiperbolës. Emrat "elips", "hiperbola" dhe "parabola" u prezantuan nga Apollonius. Pothuajse plotësisht (7 nga 8 libra) vepra e Apollonit "Mbi seksionet konike" na ka ardhur. Në këtë vepër, Apollonius merr në konsideratë të dy katet e konit dhe kryqëzon konin me plane që nuk janë domosdoshmërisht pingul me njërin nga gjeneratorët.

Teorema. Seksioni i çdo koni rrethor të drejtë nga një rrafsh (që nuk kalon nëpër kulmin e tij) përcakton një kurbë, e cila mund të jetë vetëm një hiperbolë (Fig. 4), një parabolë (Fig. 5) ose një elips (Fig. 6). Për më tepër, nëse rrafshi kryqëzon vetëm një rrafsh të konit dhe përgjatë një kurbë të mbyllur, atëherë kjo kurbë është një elips; nëse një plan kryqëzon vetëm një rrafsh përgjatë një kurbë të hapur, atëherë kjo kurbë është një parabolë; nëse rrafshi i prerjes kryqëzon të dy rrafshet e konit, atëherë në seksion formohet një hiperbolë.

Një provë elegante e kësaj teoreme u propozua në 1822 nga Dandelin duke përdorur sferat, të cilat tani quhen sfera të luleradhiqes. Le të shohim këtë provë.

Le të shkruajmë në një kon dy sfera që prekin rrafshin e seksionit П nga anë të ndryshme. Shënoni me F1 dhe F2 pikat e kontaktit ndërmjet këtij rrafshi dhe sferave. Le të marrim një pikë arbitrare M në vijën e prerjes së konit nga rrafshi P. Në gjeneratën e konit që kalon nëpër M, shënojmë pikat P1 dhe P2 të shtrira në rrethin k1 dhe k2, përgjatë të cilit sferat prekin kon.

Është e qartë se MF1=MP1 si segmentet e dy tangjenteve në sferën e parë që del nga M; në mënyrë të ngjashme, MF2=MP2. Prandaj, MF1+MF2=MP1+MP2=P1P2. Gjatësia e segmentit P1P2 është e njëjtë për të gjitha pikat M të seksionit tonë: është gjenerata e një koni të cunguar të kufizuar nga plani paralel 1 dhe 11, në të cilin shtrihen rrathët k1 dhe k2. Prandaj, vija e seksionit të konit nga rrafshi P është një elips me vatra F1 dhe F2. Vlefshmëria e kësaj teoreme mund të përcaktohet gjithashtu në bazë të pozicionit të përgjithshëm se kryqëzimi i një sipërfaqeje të rendit të dytë me një plan është një vijë e rendit të dytë.

Letërsia

1. Atanasyan L.S., Bazylev V.T. Gjeometria. Në 2 orë Pjesa 1. Libër mësuesi për nxënësit e fizikës dhe matematikës. ped. in-shoku-M.: Iluminizmi, 1986.

2. Bazylev V.T. etj Gjeometria. Proc. shtesa për studentët e vitit të 1 të fizikës. - mat. fakte ped. në. - shoku-M .: Arsimi, 1974.

3. Pogorelov A.V. Gjeometria. Proc. për 7-11 qeliza. mesatare shkolla - Botimi 4-M.: Iluminizmi, 1993.

4. Historia e matematikës nga kohët e lashta deri në fillim të shekullit të 19-të. Yushkevich A.P. - M.: Nauka, 1970.

5. Boltyansky V.G. Vetitë optike të elipsës, hiperbolës dhe parabolës. // Kuantike. - 1975. - Nr 12. - Me. 19-23.

6. Efremov N.V. Një kurs i shkurtër në gjeometrinë analitike. - M: Nauka, Botimi VI, 1967. - 267 f.

Dokumente të ngjashme

Koncepti i seksioneve konike. Seksionet konike - kryqëzimet e planeve dhe koneve. Llojet e seksioneve konike. Ndërtimi i seksioneve konike. Seksioni konik është vendndodhja e pikave që plotësojnë një ekuacion të rendit të dytë.

abstrakt, shtuar 05.10.2008


"Seksione konike" të Apolonit. Nxjerrja e ekuacionit të kurbës për një seksion të një koni drejtkëndor të rrotullimit. Nxjerrja e ekuacionit për një parabolë, për një elipsë dhe një hiperbolë. Pandryshueshmëria e seksioneve konike. Zhvillimi i mëtejshëm i teorisë së seksioneve konike në veprat e Apollonit.

abstrakt, shtuar 02/04/2010


Koncepti dhe informacioni historik për konin, karakteristikat e elementeve të tij. Karakteristikat e formimit të një koni dhe llojet e seksioneve konike. Ndërtimi i sferës së luleradhiqes dhe parametrat e saj. Zbatimi i vetive të prerjeve konike. Llogaritjet e sipërfaqeve të sipërfaqeve të konit.

prezantim, shtuar 04/08/2012


Koncepti matematikor i një lakore. Ekuacioni i përgjithshëm i lakores së rendit të dytë. Ekuacionet e rrethit, elipsit, hiperbolës dhe parabolës. Boshtet e simetrisë së një hiperbole. Studimi i formës së një parabole. Kurbat e rendit të tretë dhe të katërt. Kaçurrela Anjesi, fletë karteziane.

tezë, shtuar 14.10.2011


Rishikimi dhe karakterizimi i metodave të ndryshme për ndërtimin e seksioneve të poliedrave, përcaktimi i pikave të forta dhe të dobëta të tyre. Metoda e seksioneve ndihmëse si një metodë universale për ndërtimin e seksioneve të poliedrave. Shembuj të zgjidhjes së problemeve në temën e kërkimit.

prezantim, shtuar 19.01.2014


Ekuacioni i përgjithshëm i lakores së rendit të dytë. Hartimi i ekuacioneve të një elipsi, një rrethi, një hiperbole dhe një parabole. Ekscentriciteti i një hiperbole. Fokusi dhe drejtimi i një parabole. Shndërrimi i ekuacionit të përgjithshëm në formën kanonike. Varësia e llojit të kurbës nga invariantet.

prezantim, shtuar 11/10/2014


Elementet e gjeometrisë së trekëndëshit: konjugimi izogonal dhe izotomik, pika dhe vija të shquara. Konikët e lidhur me një trekëndësh: vetitë e seksioneve konike; konike të rrethuara rreth një trekëndëshi dhe të gdhendura në të; aplikim për zgjidhjen e problemeve.

punim afatshkurtër, shtuar 17.06.2012


Elipsa, hiperbola, parabola si kurba të rendit të dytë të përdorura në matematikën e lartë. Koncepti i një lakore të rendit të dytë është një vijë në një rrafsh, e cila në disa sisteme koordinative karteziane përcaktohet nga një ekuacion. Teorema e Pascamlit dhe teorema e Brianchon.

abstrakt, shtuar 26.01.2011


Mbi origjinën e problemit të dyfishimit të kubit (një nga pesë problemet e famshme të antikitetit). Përpjekja e parë e njohur për të zgjidhur problemin, zgjidhja e Archit of Tarentum. Zgjidhja e problemeve në Greqinë e lashtë pas Archytas. Zgjidhje duke përdorur seksionet konike të Menechmus dhe Eratosthenes.

abstrakt, shtuar më 13.04.2014


Llojet kryesore të seksionit të konit. Një seksion i formuar nga një plan që kalon nëpër boshtin e konit (boshtor) dhe përmes majës së tij (trekëndësh). Formimi i një seksioni nga një rrafsh paralel (parabolë), pingul (rreth) dhe jo pingul (elips) me boshtin.

TEKST SHPJEGIMI I MËSIMIT:

Ne vazhdojmë të studiojmë seksionin e gjeometrisë së ngurtë "Trupi i revolucionit".

Trupat e revolucionit përfshijnë: cilindra, kone, topa.

Le të kujtojmë përkufizimet.

Lartësia është distanca nga maja e një figure ose trupi në bazën e figurës (trupit). Përndryshe, një segment që lidh pjesën e sipërme dhe të poshtme të figurës dhe pingul me të.

Mos harroni, për të gjetur sipërfaqen e një rrethi, shumëzoni pi me katrorin e rrezes.

Sipërfaqja e rrethit është e barabartë.

Kujtoni se si të gjeni zonën e një rrethi, duke ditur diametrin? Sepse

le ta vendosim në formulë:

Një kon është gjithashtu një trup revolucioni.

Një kon (më saktë, një kon rrethor) është një trup që përbëhet nga një rreth - baza e konit, një pikë që nuk shtrihet në rrafshin e këtij rrethi - maja e konit dhe të gjitha segmentet që lidhin majën e koni me pikat e bazës.

Le të njihemi me formulën për gjetjen e vëllimit të një koni.

Teorema. Vëllimi i një koni është i barabartë me një të tretën e sipërfaqes bazë të shumëzuar me lartësinë.

Le ta vërtetojmë këtë teoremë.

Jepet: një kon, S është zona e bazës së tij,

h është lartësia e konit

Vërtetoni: V=

Vërtetim: Konsideroni një kon me vëllim V, rreze bazë R, lartësi h dhe kulm në pikën O.

Le të prezantojmë boshtin Ox përmes OM, boshtin e konit. Një seksion arbitrar i një koni nga një plan pingul me boshtin x është një rreth me qendër në pikën

M1 - pika e prerjes së këtij rrafshi me boshtin Ox. Le ta shënojmë rrezen e këtij rrethi si R1, dhe zonën e prerjes tërthore si S(x), ku x është abshisa e pikës M1.

Nga ngjashmëria e trekëndëshave kënddrejtë OM1A1 dhe OMA (ے OM1A1 = ے OMA - drejtëza, ےMOA- e përbashkët, që do të thotë se trekëndëshat janë të ngjashëm në dy kënde) del se

Figura tregon se OM1=x, OM=h

ose prej nga me vetinë e proporcionit gjejmë R1 = .

Meqenëse seksioni është një rreth, atëherë S (x) \u003d πR12, ne zëvendësojmë shprehjen e mëparshme në vend të R1, zona e seksionit është e barabartë me raportin e produktit të katrorit pier me katrorin x me katrorin e lartësisë:

Le të zbatojmë formulën bazë

duke njehsuar vëllimet e trupave, me a=0, b=h, marrim shprehjen (1)

Meqenëse baza e konit është një rreth, sipërfaqja S e bazës së konit do të jetë e barabartë me katrorin pi er

në formulën për llogaritjen e vëllimit të një trupi, ne zëvendësojmë vlerën e katrorit të pier me sipërfaqen e bazës dhe marrim se vëllimi i konit është i barabartë me një të tretën e produktit të zonës. të bazës dhe lartësisë

Teorema është vërtetuar.

Përfundimi i teoremës (formula për vëllimin e një koni të cunguar)

Vëllimi V i një koni të cunguar, lartësia e të cilit është h dhe sipërfaqet e bazave S dhe S1, llogaritet me formulën

Ve është e barabartë me një të tretën e hirit shumëzuar me shumën e sipërfaqeve të bazave dhe rrënjën katrore të prodhimit të sipërfaqeve të bazës.

Zgjidhja e problemeve

Një trekëndësh kënddrejtë me këmbë 3 cm dhe 4 cm rrotullohet rreth hipotenuzës. Përcaktoni vëllimin e trupit që rezulton.

Kur trekëndëshi rrotullohet rreth hipotenuzës, marrim një kon. Kur zgjidhni këtë problem, është e rëndësishme të kuptoni se dy raste janë të mundshme. Në secilën prej tyre, ne zbatojmë formulën për gjetjen e vëllimit të një koni: vëllimi i një koni është i barabartë me një të tretën e produktit të bazës dhe lartësisë.

Në rastin e parë, vizatimi do të duket kështu: jepet një kon. Le të jetë rrezja r = 4, lartësia h = 3

Sipërfaqja e bazës është e barabartë me produktin e π-fishit të katrorit të rrezes

Atëherë vëllimi i konit është i barabartë me një të tretën e produktit prej π-fishi i katrorit të rrezes shumë i lartësisë.

Zëvendësoni vlerën në formulë, rezulton se vëllimi i konit është 16π.

Në rastin e dytë, si kjo: jepet një kon. Le të jetë rrezja r = 3, lartësia h = 4

Vëllimi i një koni është i barabartë me një të tretën e sipërfaqes bazë të shumëzuar me lartësinë:

Sipërfaqja e bazës është e barabartë me produktin e π herë katrorin e rrezes:

Atëherë vëllimi i konit është i barabartë me një të tretën e produktit prej π-fishi i katrorit të rrezes shumë i lartësisë:

Zëvendësoni vlerën në formulë, rezulton se vëllimi i konit është 12π.

Përgjigje: Vëllimi i konit V është 16 π ose 12 π

Detyra 2. Jepet një kon rrethor i drejtë me rreze 6 cm, këndi BCO = 45 .

Gjeni vëllimin e konit.

Zgjidhje: Për këtë detyrë jepet një vizatim i gatshëm.

Le të shkruajmë formulën për gjetjen e vëllimit të një koni:

Ne e shprehim atë në termat e rrezes së bazës R:

Ne gjejmë h \u003d BO nga ndërtimi, - drejtkëndëshe, sepse këndi BOC=90 (shuma e këndeve të një trekëndëshi), këndet në bazë janë të barabartë, pra trekëndëshi ΔBOC është dykëndësh dhe BO=OC=6 cm.