ทำการวัดที่จำเป็นและหาเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยม การหาเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมด้วยวิธีต่างๆ

หนึ่งในรูปทรงเรขาคณิตพื้นฐานคือรูปสามเหลี่ยม มันเกิดขึ้นเมื่อสามส่วนของเส้นตัดกัน ส่วนของเส้นตรงเหล่านี้ก่อตัวเป็นด้านข้างของรูป และจุดตัดกันเรียกว่าจุดยอด นักเรียนทุกคนที่เรียนวิชาเรขาคณิตจะต้องสามารถหาเส้นรอบรูปของรูปนี้ได้ ทักษะที่ได้รับจะเป็นประโยชน์สำหรับหลาย ๆ คนในวัยผู้ใหญ่ เช่น จะเป็นประโยชน์กับนักเรียน วิศวกร ผู้สร้าง

มีหลายวิธีในการหาเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยม ตัวเลือกของสูตรที่คุณต้องการขึ้นอยู่กับแหล่งข้อมูลที่มีอยู่ ในการเขียนค่านี้ในคำศัพท์ทางคณิตศาสตร์จะใช้การกำหนดพิเศษ - P. พิจารณาว่าเส้นรอบวงคืออะไรซึ่งเป็นวิธีการหลักในการคำนวณสำหรับรูปสามเหลี่ยมประเภทต่างๆ

วิธีหาเส้นรอบรูปของรูปร่างที่ง่ายที่สุดคือถ้าคุณมีข้อมูลทุกด้าน ในกรณีนี้จะใช้สูตรต่อไปนี้:

ตัวอักษร "P" หมายถึงค่าของเส้นรอบวง ในทางกลับกัน "a", "b" และ "c" คือความยาวของด้าน

เมื่อทราบขนาดของปริมาณทั้งสามแล้ว ก็เพียงพอแล้วที่จะได้ผลรวมซึ่งก็คือเส้นรอบรูป

ทางเลือกอื่น

ในปัญหาทางคณิตศาสตร์ ความยาวที่กำหนดทั้งหมดแทบจะไม่มีใครรู้ ในกรณีเช่นนี้ ขอแนะนำให้ใช้วิธีอื่นในการค้นหาค่าที่ต้องการ เมื่อเงื่อนไขระบุความยาวของเส้นตรงสองเส้นรวมถึงมุมระหว่างเส้นตรง การคำนวณจะทำผ่านการค้นหาเส้นที่สาม ในการหาตัวเลขนี้ คุณต้องหาค่ารากที่สองโดยใช้สูตร:

.

ปริมณฑลทั้งสองด้าน

ในการคำนวณเส้นรอบวง ไม่จำเป็นต้องรู้ข้อมูลทั้งหมดของรูปทรงเรขาคณิต พิจารณาวิธีการคำนวณทั้งสองด้าน

สามเหลี่ยมหน้าจั่ว

รูปสามเหลี่ยมเรียกว่าหน้าจั่ว ถ้าด้านอย่างน้อยสองด้านมีความยาวเท่ากัน เรียกว่าด้านข้างและด้านที่สามเรียกว่าฐาน เส้นที่เท่ากันสร้างมุมยอด ลักษณะเด่นของสามเหลี่ยมหน้าจั่วคือการมีแกนสมมาตรหนึ่งแกน Axis เป็นเส้นแนวตั้งที่เริ่มต้นจากมุมบนและสิ้นสุดที่กึ่งกลางของฐาน ที่แกนกลาง แกนสมมาตรประกอบด้วยแนวคิดต่อไปนี้:

• เส้นแบ่งครึ่งมุมจุดยอด;
• ค่ามัธยฐานถึงฐาน
• ความสูงของสามเหลี่ยม
• ตั้งฉากมัธยฐาน

ในการกำหนดขอบเขตของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ให้ใช้สูตร

ในกรณีนี้ คุณจำเป็นต้องรู้เพียงสองปริมาณเท่านั้น: ฐานและความยาวของด้านหนึ่ง การกำหนด "2a" หมายถึงการคูณความยาวของด้านด้วย 2 คุณต้องเพิ่มค่าของฐาน - "b" เพื่อให้ได้ผลลัพธ์

ในกรณีพิเศษ เมื่อความยาวของฐานของสามเหลี่ยมหน้าจั่วเท่ากับเส้นข้างของสามเหลี่ยม สามารถใช้วิธีที่ง่ายกว่านี้ได้ มันแสดงในสูตรต่อไปนี้:

เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ก็เพียงพอที่จะคูณจำนวนนี้ด้วยสาม สูตรนี้ใช้เพื่อหาเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมปกติ

วิดีโอที่มีประโยชน์: ปัญหาเกี่ยวกับเส้นรอบวงของรูปสามเหลี่ยม

สามเหลี่ยม

ความแตกต่างที่สำคัญระหว่างรูปสามเหลี่ยมมุมฉากกับรูปทรงเรขาคณิตอื่นๆ ของหมวดหมู่นี้คือ การมีมุม 90° บนพื้นฐานนี้จะกำหนดประเภทของตัวเลข ก่อนที่จะพิจารณาวิธีหาเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมมุมฉาก ควรสังเกตว่าค่านี้สำหรับรูปทรงเรขาคณิตแบนใดๆ คือผลรวมของทุกด้าน ดังนั้น ในกรณีนี้ วิธีที่ง่ายที่สุดในการหาผลลัพธ์คือการรวมค่าทั้งสามเข้าด้วยกัน

ในคำศัพท์ทางวิทยาศาสตร์ ด้านที่อยู่ติดกับมุมฉากเรียกว่า "ขา" และด้านตรงข้ามกับมุม 90º คือด้านตรงข้ามมุมฉาก คุณสมบัติของตัวเลขนี้ได้รับการศึกษาโดย Pythagoras นักวิทยาศาสตร์ชาวกรีกโบราณ ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของขา

.

ตามทฤษฎีบทนี้ มีสูตรอื่นที่อธิบายวิธีหาเส้นรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมที่กำหนดสองด้านที่ทราบ คุณสามารถคำนวณเส้นรอบวงด้วยความยาวของขาที่ระบุโดยใช้วิธีต่อไปนี้

.

หากต้องการทราบเส้นรอบวงโดยมีข้อมูลเกี่ยวกับขนาดของขาข้างหนึ่งและด้านตรงข้ามมุมฉาก คุณต้องกำหนดความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากที่สอง เพื่อจุดประสงค์นี้จะใช้สูตรต่อไปนี้:

.

นอกจากนี้เส้นรอบวงของประเภทรูปที่อธิบายจะถูกกำหนดโดยไม่มีข้อมูลเกี่ยวกับขนาดของขา

คุณจะต้องทราบความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากรวมถึงมุมที่อยู่ติดกับด้านนั้นด้วย รู้ความยาวของขาข้างใดข้างหนึ่ง ถ้ามีมุมอยู่ติดกัน เส้นรอบวงของรูปจะคำนวณโดยสูตร:

.

ข้อมูลเบื้องต้น

เส้นรอบรูปของรูปทรงเรขาคณิตแบนๆ ในระนาบถูกกำหนดเป็นผลรวมของความยาวของทุกด้าน สามเหลี่ยมนี้ไม่มีข้อยกเว้น ขั้นแรกให้แนวคิดเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมรวมถึงประเภทของรูปสามเหลี่ยมขึ้นอยู่กับด้านข้าง

คำจำกัดความ 1

เราจะเรียกรูปสามเหลี่ยมว่ารูปทรงเรขาคณิตซึ่งประกอบด้วยจุดสามจุดที่เชื่อมต่อกันด้วยส่วน (รูปที่ 1)

คำจำกัดความ 2

จุดภายในคำจำกัดความ 1 จะเรียกว่าจุดยอดของสามเหลี่ยม

นิยาม 3

ส่วนที่อยู่ในกรอบของคำจำกัดความ 1 จะเรียกว่าด้านของสามเหลี่ยม

แน่นอนว่าสามเหลี่ยมใดๆ จะมี 3 จุดและ 3 ด้าน

ขึ้นอยู่กับอัตราส่วนของด้านต่างๆ สามเหลี่ยมแบ่งออกเป็นด้านไม่เท่า ด้านเท่า และด้านเท่า

ความหมาย 4

สามเหลี่ยมได้รับการกล่าวขานว่าเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าหากไม่มีด้านใดด้านหนึ่งเท่ากัน

คำจำกัดความ 5

เราจะเรียกสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ถ้าด้านสองด้านเท่ากัน แต่ไม่เท่ากับด้านที่สาม

คำจำกัดความ 6

สามเหลี่ยมเรียกว่าด้านเท่าถ้าทุกด้านเท่ากัน

คุณสามารถดูรูปสามเหลี่ยมเหล่านี้ได้ทุกประเภทในรูปที่ 2

จะหาเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมด้านเท่าได้อย่างไร?

ให้เราได้รับสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีด้านยาวเท่ากับ $α$, $β$ และ $γ$

บทสรุป:ในการหาเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมด้านเท่า ให้บวกความยาวด้านทั้งหมดเข้าด้วยกัน

ตัวอย่างที่ 1

หาเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมด้านเท่าเท่ากับ $34$ cm, $12$ cm และ $11$ cm

$P=34+12+11=57$ ซม

คำตอบ: $57 ดู

ตัวอย่างที่ 2

หาเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีขาเท่ากับ $6$ และ $8$ ซม.

อันดับแรก เราจะหาความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมนี้โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส เขียนแทนด้วย $α$ แล้ว

$α=10$ ตามกฎการคำนวณเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมด้านเท่า เราได้รับ

$P=10+8+6=24$ ซม

คำตอบ: $24 ดู

จะหาเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมหน้าจั่วได้อย่างไร?

ให้เราได้รับสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีความยาวด้านเท่ากับ $α$ และความยาวของฐานจะเท่ากับ $β$

ตามนิยามของเส้นรอบรูปของรูปทรงเรขาคณิตแบน เราได้รับสิ่งนั้น

$P=α+α+β=2α+β$

บทสรุป:ในการหาเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ให้เพิ่มความยาวด้านสองเท่าของความยาวของฐาน

ตัวอย่างที่ 3

หาเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ถ้าด้านของมันคือ $12$ cm และฐานของมันคือ $11$ cm

จากตัวอย่างข้างต้นจะเห็นว่า

$P=2\cdot 12+11=35$ ซม

คำตอบ: $35 ดู

ตัวอย่างที่ 4

หาเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ถ้าความสูงที่ลากถึงฐานคือ $8$ ซม. และฐานคือ $12$ ซม.

พิจารณาตัวเลขตามเงื่อนไขของปัญหา:

เนื่องจากสามเหลี่ยมเป็นหน้าจั่ว $BD$ จึงเป็นค่ามัธยฐานด้วย ดังนั้น $AD=6$ ซม.

โดยทฤษฎีบทปีทาโกรัส จากสามเหลี่ยม $ADB$ เราพบด้าน เขียนแทนด้วย $α$ แล้ว

ตามกฎการคำนวณเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมหน้าจั่วเราจะได้

$P=2\cdot 10+12=32$ ซม

คำตอบ: $32 ดู

จะหาเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมด้านเท่าได้อย่างไร?

ให้เราได้รับสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีความยาวของทุกด้านเท่ากับ $α$

ตามนิยามของเส้นรอบรูปของรูปทรงเรขาคณิตแบน เราได้รับสิ่งนั้น

$P=α+α+α=3α$

บทสรุป:ในการหาเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมด้านเท่า ให้คูณความยาวด้านของสามเหลี่ยมด้วย $3$

ตัวอย่างที่ 5

หาเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมด้านเท่าถ้าด้านของมันเท่ากับ $12$ ซม.

จากตัวอย่างข้างต้นจะเห็นว่า

$P=3\cdot 12=36$ ซม

P=a+b+c วิธีหาเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยม: ทุกคนรู้ว่าเส้นรอบวงนั้นหาได้ง่าย คุณแค่ต้องบวกด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมเข้าด้วยกัน อย่างไรก็ตาม มีวิธีอื่นๆ อีกหลายวิธีในการหาผลรวมของความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยม ขั้นตอนที่ 1 กำหนดรัศมีของวงกลมที่เขียนไว้ในรูปสามเหลี่ยมและพื้นที่ของวงกลม ให้หาเส้นรอบรูปโดยใช้สูตร P=2S/r ขั้นตอนที่ 2 หากคุณทราบมุมสองมุม เช่น α และ β ด้านประชิด และความยาวของด้านนี้ ในการหาเส้นรอบรูป ให้ใช้สูตร a+sinα∙а/(sin(180°-α- β)) + บาปβ∙а /(บาป(180°-α-β)). ขั้นตอนที่ 3 ถ้าเงื่อนไขระบุด้านประชิดและมุม β ระหว่างด้านทั้งสอง ให้พิจารณาทฤษฎีบทโคไซน์เมื่อหาเส้นรอบรูป จากนั้น P=a+b+√(a^2+b^2-2∙a∙b∙cosβ) โดยที่ a^2 และ b^2 คือกำลังสองของความยาวของด้านที่อยู่ติดกัน นิพจน์ใต้รากคือความยาวของด้านที่สามที่ไม่ทราบ ซึ่งแสดงผ่านทฤษฎีบทโคไซน์ ขั้นตอนที่ 4 สำหรับสามเหลี่ยมหน้าจั่ว สูตรเส้นรอบรูปจะใช้รูปแบบ P=2a+b โดยที่ a คือด้าน และ b คือฐาน ขั้นตอนที่ 5 คำนวณเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมปกติโดยใช้สูตร P=3a ขั้นตอนที่ 6 ค้นหาเส้นรอบรูปโดยใช้รัศมีของวงกลมที่เขียนไว้ในรูปสามเหลี่ยมหรือเส้นรอบวง ดังนั้น สำหรับรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ให้จำและใช้สูตร P=6r√3=3R√3 โดยที่ r คือรัศมีของวงกลมที่เขียนไว้ และ R คือรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบ ขั้นตอนที่ 7 สำหรับสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ใช้สูตร P=2R(2sinα+sinβ) โดยที่ α คือมุมที่ฐาน และ β คือมุมตรงข้ามฐาน

รูปสามเหลี่ยมใด ๆ จะเท่ากับผลบวกของความยาวของด้านทั้งสาม สูตรทั่วไปในการหาเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมคือ:

พี = ก + ข + ค

ที่ไหน พีคือเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยม ก, ขและ ค- ด้านข้างของเขา

หาได้โดยการนำความยาวของด้านมาบวกกันเป็นอนุกรม หรือโดยการคูณความยาวของด้านด้วย 2 แล้วนำความยาวของฐานไปบวกกัน สูตรทั่วไปในการหาเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมหน้าจั่วจะมีลักษณะดังนี้:

พี = 2ก + ข

ที่ไหน พีคือเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ก- ด้านใดด้านหนึ่ง ข- ฐาน.

คุณสามารถค้นหาได้โดยนำความยาวของด้านมาบวกกันเป็นอนุกรมหรือคูณความยาวของด้านใดๆ ด้วย 3 สูตรทั่วไปในการหาเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมด้านเท่าจะมีลักษณะดังนี้:

พี = 3ก

ที่ไหน พีคือเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมด้านเท่า ก- ด้านใดด้านหนึ่ง

สี่เหลี่ยม

ในการวัดพื้นที่ของสามเหลี่ยม คุณสามารถเปรียบเทียบกับสี่เหลี่ยมด้านขนาน พิจารณารูปสามเหลี่ยม เอบีซี:

หากคุณนำสามเหลี่ยมที่มีขนาดเท่ากันมาต่อเข้าด้วยกันเพื่อให้ได้รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน คุณจะได้รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีความสูงและฐานเท่ากันกับรูปสามเหลี่ยมนี้:

ในกรณีนี้ ด้านทั่วไปของสามเหลี่ยมที่พับเข้าหากันคือเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เกิดขึ้น จากคุณสมบัติของสี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นที่ทราบกันดีว่าเส้นทแยงมุมจะแบ่งสี่เหลี่ยมด้านขนานออกเป็นสองสามเหลี่ยมเท่าๆ กันเสมอ ซึ่งหมายความว่าพื้นที่ของสามเหลี่ยมแต่ละอันจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

เนื่องจากพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากับผลคูณของฐานและความสูง พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลิตภัณฑ์นี้ ดังนั้นสำหรับ Δ เอบีซีพื้นที่จะเท่ากับ

พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉาก:

รูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่เท่ากันสองรูปสามารถพับเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าได้หากด้านตรงข้ามมุมฉากพิงกัน เนื่องจากพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่ากับผลคูณของด้านที่อยู่ติดกัน พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่กำหนดคือ:

จากนี้เราสามารถสรุปได้ว่าพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ เท่ากับผลคูณของขาหารด้วย 2

จากตัวอย่างดังกล่าวสรุปได้ว่า พื้นที่ของสามเหลี่ยมใด ๆ เท่ากับผลคูณของความยาวของฐานและความสูงที่ลดลงถึงฐาน หารด้วย 2. สูตรทั่วไปในการหาพื้นที่สามเหลี่ยมจะมีลักษณะดังนี้:

ที่ไหน สคือพื้นที่ของสามเหลี่ยม ก- รากฐานของมัน ฮะ- ความสูงลดลงถึงฐาน ก.

เส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมใดๆ คือความยาวของเส้นที่ลากเส้นรอบรูป ในการคำนวณ คุณต้องทราบผลรวมของทุกด้านของรูปหลายเหลี่ยมนี้

การคำนวณจากค่าที่กำหนดของความยาวด้าน

เมื่อทราบค่าของพวกเขาแล้วก็ไม่ใช่เรื่องยากที่จะทำ ระบุพารามิเตอร์เหล่านี้ด้วยตัวอักษร m, n, k และปริมณฑลด้วยตัวอักษร P เราได้สูตรสำหรับการคำนวณ: P = m + n + k ภารกิจ: เป็นที่ทราบกันว่ารูปสามเหลี่ยมมีด้าน 13.5 เดซิเมตร, 12.1 เดซิเมตรและยาว 4.2 เดซิเมตร ค้นหาปริมณฑล เราแก้ปัญหา: ถ้าด้านของรูปหลายเหลี่ยมนี้คือ a = 13.5 dm, b = 12.1 dm, c = 4.2 dm แล้ว P = 29.8 dm คำตอบ: P = 29.8 dm.

เส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมที่มีด้านเท่ากันสองด้าน

สามเหลี่ยมดังกล่าวเรียกว่าสามเหลี่ยมหน้าจั่ว หากด้านที่เท่ากันเหล่านี้ยาว 1 เซนติเมตร และด้านที่สามยาว b เซนติเมตร ก็จะหาเส้นรอบรูปได้ง่าย: P \u003d b + 2a งาน: สามเหลี่ยมมีสองด้าน 10 เดซิเมตร ฐานคือ 12 เดซิเมตร หา P. Solution: ให้ด้าน a = c = 10 dm, ฐาน b = 12 dm ผลรวมของด้าน P \u003d 10 dm + 12 dm + 10 dm \u003d 32 dm คำตอบ: P = 32 เดซิเมตร

เส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมด้านเท่า

ถ้าด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมมีจำนวนหน่วยเท่ากัน จะเรียกว่า สามเหลี่ยมด้านเท่า ชื่ออื่นถูกต้อง หาเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมปกติโดยใช้สูตร: P \u003d a + a + a \u003d 3 a งาน: เรามีที่ดินรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ด้านหนึ่งยาว 6 เมตร หาความยาวของรั้วที่สามารถปิดล้อมบริเวณนี้ได้ วิธีแก้ไข: ถ้าด้านของรูปหลายเหลี่ยมนี้คือ a= 6 ม. ความยาวของรั้วคือ P = 3 6 = 18 (ม.) คำตอบ: P = 18 ม.

สามเหลี่ยมที่มีมุม 90°

เรียกว่าสี่เหลี่ยมผืนผ้า การมีมุมฉากทำให้สามารถหาด้านที่ไม่รู้จักโดยใช้นิยามของฟังก์ชันตรีโกณมิติและทฤษฎีบทพีทาโกรัส ด้านที่ยาวที่สุดเรียกว่าด้านตรงข้ามมุมฉากและเขียนแทนด้วย c มีอีกสองด้านคือ a และ b ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส เรามี c 2 = a 2 + b 2 . ขา a \u003d √ (c 2 - b 2) และ b \u003d √ (c 2 - a 2) เมื่อทราบความยาวของสองขา a และ b เราจะคำนวณด้านตรงข้ามมุมฉาก จากนั้นเราจะหาผลบวกของด้านต่างๆ ของรูปโดยการบวกค่าเหล่านี้ งาน: ขาของสามเหลี่ยมมุมฉากมีความยาว 8.3 เซนติเมตร และ 6.2 เซนติเมตร ต้องคำนวณปริมณฑลของสามเหลี่ยม เราแก้ปัญหา: สมมติว่าขา a = 8.3 ซม., b = 6.2 ซม. ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส ด้านตรงข้ามมุมฉาก c = √ (8.3 2 + 6.2 2) = √ (68.89 + 38.44) = √107 .33 = 10.4 ( ซม.). P = 24.9 (ซม.) หรือ P \u003d 8.3 + 6.2 + √ (8.3 2 + 6.2 2) \u003d 24.9 (ซม.) คำตอบ: P = 24.9 ซม. ค่าของรากถูกนำมาด้วยความแม่นยำหนึ่งในสิบ หากเราทราบค่าของด้านตรงข้ามมุมฉากและขา เราจะได้ค่าของ P โดยการคำนวณ P \u003d √ (c 2 - b 2) + b + c ภารกิจที่ 2: ผืนดินที่ทำมุม 90 องศา 12 กม. ขาข้างหนึ่ง - 8 กม. ถ้าเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว 4 กิโลเมตรต่อชั่วโมง จะใช้เวลาเดินรอบพื้นที่ทั้งหมดนานแค่ไหน? วิธีแก้ปัญหา: ถ้าส่วนที่ใหญ่ที่สุดคือ 12 กม. ส่วนเล็กกว่าคือ b = 8 กม. ดังนั้นความยาวของเส้นทางทั้งหมดจะเป็น P = 8 + 12 + √ (12 2 - 8 2) = 20 + √80 = 20 + 8.9 = 28.9 (กม.) หาเวลาหารระยะทางด้วยความเร็ว. 28.9:4 = 7.225 (ซ) คำตอบ: คุณสามารถเดินทางได้ภายใน 7.3 ชั่วโมง เรารับค่าของรากที่สองและคำตอบของสิบที่ใกล้ที่สุด เป็นไปได้ที่จะหาผลบวกของด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากโดยพิจารณาจากด้านใดด้านหนึ่งและค่าของมุมแหลมมุมใดมุมหนึ่ง เมื่อทราบความยาวของขา b และค่าของมุมตรงข้าม β เราจะพบด้านที่ไม่รู้จัก a = b/ tg β ค้นหาด้านตรงข้ามมุมฉาก c = a: sinα เส้นรอบวงของตัวเลขดังกล่าวพบได้โดยการเพิ่มค่าที่ได้รับ P = a + a/ sinα + a/ tg α หรือ P = a(1 / sin α+ 1+1 / tg α) งาน: ในรูปสี่เหลี่ยม Δ ABC ที่มีมุมฉาก C ขา BC มีความยาว 10 ม. มุม A คือ 29 องศา เราต้องหาผลบวกของด้าน Δ ABC วิธีแก้ปัญหา: เราระบุขาที่ทราบ BC = a = 10 ม. มุมที่อยู่ตรงข้าม ∟А = α = 30° จากนั้นขา AC = b = 10: 0.58 = 17.2 (m) ด้านตรงข้ามมุมฉาก AB = c = 10 : 0.5 = 20 (ม.) หน้า \u003d 10 + 17.2 + 20 \u003d 47.2 (ม.) หรือ P \u003d 10 (1 + 1.72 + 2) \u003d 47.2 ม. เรามี: P \u003d 47.2 ม. เรารับค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติด้วยความแม่นยำหนึ่งในร้อย เราปัดเศษค่าความยาวของด้านและ เส้นรอบวงถึงหนึ่งในสิบ เมื่อมีค่าของขา α และมุมรวม β เราจะพบว่าขาที่สองมีค่าเท่ากับอะไร: b = a tg β ด้านตรงข้ามมุมฉากในกรณีนี้จะเท่ากับขาหารด้วยโคไซน์ของมุม β เราหาเส้นรอบรูปได้จากสูตร P = a + a tg β + a: cos β = (tg β + 1+1: cos β) งาน: ขาของสามเหลี่ยมที่มีมุม 90 องศาคือ 18 ซม. มุมรวมคือ 40 องศา หา P. Solution: แสดงว่าขาที่ทราบ BC = 18 cm, ∟β = 40° จากนั้นขาที่ไม่รู้จัก AC = b = 18 0.83 = 14.9 (ซม.), ด้านตรงข้ามมุมฉาก AB = c = 18: 0.77 = 23.4 (ซม.) ผลรวมด้านข้างของรูปคือ P = 56.3 (ซม.) หรือ P \u003d (1 + 1.3 + 0.83) * 18 \u003d 56.3 ซม. คำตอบ: P \u003d 56.3 ซม. หากทราบความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก c และบางมุม α ขาจะเท่ากับผลคูณของ ด้านตรงข้ามมุมฉากสำหรับอันแรก - โดยไซน์และอันที่สอง - โดยโคไซน์ของมุมนี้ เส้นรอบรูปของรูปนี้คือ P = (sin α + 1+ cos α)*c งาน: ด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉาก AB = 9.1 เซนติเมตร และมุมคือ 50 องศา หาผลรวมด้านของรูปนี้. วิธีแก้ปัญหา: แสดงด้านตรงข้ามมุมฉาก: AB = c = 9.1 cm, ∟A= α = 50° แล้วขาข้างหนึ่ง BC มีความยาว a = 9.1 0.77 = 7 (ซม.), ขา AC = b = 9 .1 0.64 = 5.8 (ซม.) ดังนั้น เส้นรอบรูปของรูปหลายเหลี่ยมนี้คือ P = 9.1 + 7 + 5.8 = 21.9 (ซม.) หรือ P = 9.1 (1 + 0.77 + 0.64) = 21.9 (ซม.) คำตอบ: P = 21.9 เซนติเมตร

รูปสามเหลี่ยมโดยพลการซึ่งไม่ทราบด้านใดด้านหนึ่ง

ถ้าเรามีค่าของสองด้าน a และ c และมุมระหว่างด้านเหล่านี้ γ เราจะหาค่าที่สามด้วยทฤษฎีบทโคไซน์: b 2 \u003d c 2 + a 2 - 2 ac cos β โดยที่ β คือมุมที่อยู่ระหว่างด้าน a และ c จากนั้นเราจะหาปริมณฑล งาน: Δ ABC มีส่วน AB ที่มีความยาว 15 dm ส่วน AC ซึ่งมีความยาว 30.5 dm ค่าของมุมระหว่างด้านเหล่านี้คือ 35 องศา คำนวณผลรวมของด้าน Δ ABC วิธีแก้ปัญหา: ใช้ทฤษฎีบทโคไซน์ เราคำนวณความยาวของด้านที่สาม ก่อนคริสต์ศักราช 2 \u003d 30.5 2 + 15 2 - 2 30.5 15 0.82 \u003d 930.25 + 225 - 750.3 \u003d 404.95 BC = 20.1 ซม. P = 30.5 + 15 + 20.1 = 65.6 (dm) เรามี: P = 65.6 dm

ผลรวมของด้านของสามเหลี่ยมโดยพลการซึ่งไม่ทราบความยาวของด้านทั้งสอง

เมื่อเราทราบความยาวของเพียงส่วนเดียวและค่าของมุมสองมุม เราสามารถหาความยาวของด้านที่ไม่รู้จักสองด้านโดยใช้ทฤษฎีบทไซน์: "ในรูปสามเหลี่ยม ด้านต่างๆ จะเป็นสัดส่วนกับค่าของไซน์ของ มุมตรงข้าม" โดยที่ b = (a * บาป β) / บาป ก. ในทำนองเดียวกัน c = (a บาป γ): บาป ก เส้นรอบวงในกรณีนี้คือ P \u003d a + (a sin β) / sin a + (a sin γ) / sin a งาน: เรามี Δ ABC ในนั้นความยาวของด้าน BC คือ 8.5 มม. ค่าของมุม C คือ 47 ° และมุม B คือ 35 องศา หาผลรวมด้านของรูปนี้. วิธีแก้ปัญหา: แสดงความยาวด้าน BC = a = 8.5 มม., AC = b, AB = c, ∟ A = α= 47°, ∟B = β = 35°, ∟ C = γ = 180° - (47° + 35° ) = 180° - 82° = 98°. จากอัตราส่วนที่ได้จากทฤษฎีบทไซน์ เราพบขา AC = b = (8.5 0.57): 0.73= 6.7 (มม.), AB = c = (7 0.99): 0.73 = 9.5 (มม.) ดังนั้น ผลรวมของด้านของรูปหลายเหลี่ยมนี้คือ P = 8.5 มม. + 5.5 มม. + 9.5 มม. = 23.5 มม. ตอบ: P = 23.5 มม. ในกรณีที่มีเพียงความยาวของส่วนเดียวและค่าของมุมที่อยู่ติดกันสองมุม เราจะคำนวณมุมตรงข้ามกับด้านที่ทราบก่อน มุมทั้งหมดของรูปนี้รวมกันได้ 180 องศา ดังนั้น ∟A = 180° - (∟B + ∟C) จากนั้นเราจะหาส่วนที่ไม่รู้จักโดยใช้ทฤษฎีบทไซน์ งาน: เรามี Δ ABC มีส่วน BC เท่ากับ 10 ซม. มุม B เท่ากับ 48 องศา มุม C เท่ากับ 56 องศา หาผลบวกของด้าน Δ ABC วิธีแก้ปัญหา: ขั้นแรก หาค่าของมุม A ด้านตรงข้าม BC ∟A = 180° - (48° + 56°) = 76° ตอนนี้ด้วยทฤษฎีบทไซน์ เราคำนวณความยาวของด้าน AC \u003d 10 0.74: 0.97 \u003d 7.6 (ซม.) AB = BC * บาป C / บาป A = 8.6 เส้นรอบวงของสามเหลี่ยม P \u003d 10 + 8.6 + 7.6 \u003d 26.2 (ซม.) ผลลัพธ์: P = 26.2 ซม.

การคำนวณเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมโดยใช้รัศมีของวงกลมที่เขียนไว้

บางครั้งไม่ทราบด้านใดด้านหนึ่งจากสภาพของปัญหา แต่มีค่าของพื้นที่สามเหลี่ยมและรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ ปริมาณเหล่านี้สัมพันธ์กัน: S = r p เมื่อทราบค่าของพื้นที่สามเหลี่ยม รัศมี r เราสามารถหาค่าครึ่งวงกลม p เราพบว่า p = S:r งาน: พล็อตมีพื้นที่ 24 ม. 2 รัศมี r คือ 3 ม. ค้นหาจำนวนต้นไม้ที่ต้องปลูกเท่า ๆ กันตามแนวที่ล้อมรอบแปลงนี้หากควรมีระยะห่าง 2 เมตรระหว่างสองต้น เพื่อนบ้าน วิธีแก้ปัญหา: เราพบผลรวมของด้านข้างของตัวเลขดังนี้ P \u003d 2 24: 3 \u003d 16 (m) จากนั้นเราหารด้วยสอง 16:2= 8. ทั้งหมด: 8 ต้น

ผลรวมด้านของสามเหลี่ยมในพิกัดคาร์ทีเซียน

จุดยอด Δ ABC มีพิกัด: A (x 1; y 1), B (x 2; y 2), C(x 3; y 3) ค้นหากำลังสองของแต่ละด้าน AB 2 = (x 1 - x 2) 2 + (y 1 - y 2) 2 ; ก่อนคริสต์ศักราช 2 \u003d (x 2 - x 3) 2 + (y 2 - y 3) 2; AC 2 \u003d (x 1 - x 3) 2 + (y 1 - y 3) 2. หากต้องการหาเส้นรอบรูป ให้เพิ่มส่วนทั้งหมดเข้าด้วยกัน งาน: พิกัดของจุดยอด Δ ABC: B (3; 0), A (1; -3), C (2; 5) หาผลรวมด้านของรูปนี้. วิธีแก้ปัญหา: ใส่ค่าของพิกัดที่เกี่ยวข้องลงในสูตรปริมณฑล เราจะได้ P = √(4 + 9) + √(1 + 25) + √(1 + 64) = √13 + √26 + √65 = 3.6 + 5.1 + 8.0 = 16.6. เรามี: P = 16.6 หากตัวเลขไม่ได้อยู่บนระนาบ แต่อยู่ในอวกาศ จุดยอดแต่ละจุดจะมีสามพิกัด ดังนั้นสูตรหาผลรวมด้านจะมีอีกหนึ่งพจน์

วิธีเวกเตอร์

หากกำหนดรูปร่างตามพิกัดจุดยอด เส้นรอบรูปสามารถคำนวณได้โดยใช้วิธีเวกเตอร์ เวกเตอร์คือส่วนของเส้นตรงที่มีทิศทาง โมดูลัส (ความยาว) แสดงด้วยสัญลักษณ์ ǀᾱǀ ระยะห่างระหว่างจุดคือความยาวของเวกเตอร์ที่สอดคล้องกัน หรือโมดูลัสของเวกเตอร์ พิจารณารูปสามเหลี่ยมที่วางอยู่บนระนาบ ถ้าจุดยอดมีพิกัด A (x 1; y 1), M (x 2; y 2), T (x 3; y 3) เราจะหาความยาวของด้านแต่ละด้านตามสูตร: ǀAMǀ = √ ( (x 1 - x 2 ) 2 + (y 1 - y 2) 2), ǀMTǀ = √ ((x 2 - x 3) 2 + (y 2 - y 3) 2), ǀATǀ = √ ((x 1 - x 3) 2 + ( 1 - 3) 2). เราได้เส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมโดยเพิ่มความยาวของเวกเตอร์ ในทำนองเดียวกัน หาผลรวมด้านของสามเหลี่ยมในอวกาศ