Dato je pravo kružno. Presjek cilindra i konusa

Dijagnostički rad se sastoji iz dva dijela, uključujući 19 zadataka. Prvi dio sadrži 8 zadataka osnovnog nivoa složenosti sa kratkim odgovorom. Drugi dio sadrži 4 zadatka povećanog stepena složenosti sa kratkim odgovorom i 7 zadataka povećanog i visokog stepena složenosti sa detaljnim odgovorom.
Za izvođenje dijagnostičkog rada iz matematike predviđeno je 3 sata 55 minuta (235 minuta).
Odgovori na zadatke 1-12 zapisuju se kao cijeli broj ili konačni decimalni razlomak. Upišite brojeve u polja za odgovore u tekstu rada, a zatim ih prenesite u list za odgovore br. 1. Prilikom ispunjavanja zadataka 13-19 potrebno je zapisati kompletno rješenje i odgovor na list za odgovore br. 2.
Svi obrasci su ispunjeni jarkim crnim mastilom. Dozvoljena je upotreba gel, kapilarnih ili nalivpera.
Prilikom izvršavanja zadataka možete koristiti nacrt. Radni nacrti se ne računaju u ocjenu rada.
Bodovi koje dobijete za obavljene zadatke se zbrajaju.
Želimo vam uspjeh!

Uslovi zadatka

1. Pronađite ako
2. Za dobijanje uvećane slike sijalice na ekranu u laboratoriji koristi se konvergentno sočivo sa glavnom žižnom daljinom = 30 cm. Udaljenost od sočiva do sijalice može varirati od 40 do 65 cm, a udaljenost od sočiva do ekrana - u rasponu od 75 do 100 cm Slika na ekranu će biti jasna ako je odnos ispunjen. Odredite najveću udaljenost od sočiva na koju se sijalica može postaviti tako da njena slika na ekranu bude jasna. Izrazite svoj odgovor u centimetrima.
3. Brod prolazi rijekom do odredišta 300 km i nakon parkiranja vraća se na polazište. Nađite brzinu struje, ako je brzina broda u mirnoj vodi 15 km/h, parkiranje traje 5 sati, a brod se vraća na polazište 50 sati nakon što ga napusti. Odgovor dajte u km/h.
4. Pronađite najmanju vrijednost funkcije na segmentu
5. a) Riješite jednačinu b) Pronađite sve korijene ove jednačine koji pripadaju segmentu
6. Dat je pravi kružni konus sa vrhom M. Aksijalni presjek konusa - trokut s uglom od 120 ° na vrhu M. Konusni generator je . Kroz tačku M presjek stošca je nacrtan okomito na jedan od generatora.
   a) Dokažite da je dobijeni trokut tupokutni trokut.
   b) Pronađite udaljenost od centra O osnovicu stošca u ravninu presjeka.
7. Riješite jednačinu
8. Krug sa centrom O dodiruje stranu AB jednakokraki trougao abc, bočne ekstenzije AC i nastavak osnivanja sunce u tački N. Dot M- sredina baze Ned.
   a) Dokažite to MN=AC.
   b) Nađi OS, ako su stranice trougla ABC su 5, 5 i 8.
9. Poslovni projekat "A" pretpostavlja povećanje iznosa uloženih u njega za 34,56% godišnje tokom prve dve godine i za 44% godišnje u naredne dve godine. Projekat B pretpostavlja rast konstantnim cijelim brojem n posto godišnje. Pronađite najmanju vrijednost n, u okviru koje će prve četiri godine projekat "B" biti isplativiji od projekta "A".
10. Pronađite sve vrijednosti parametra , , za svaku od kojih je sistem jednadžbi ima jedino rešenje
11. Anya igra igru: na tabli su napisana dva različita prirodna broja i , oba su manja od 1000. Ako su oba prirodna broja, onda Anya napravi potez - ona zamjenjuje prethodne sa ova dva broja. Ako barem jedan od ovih brojeva nije prirodan broj, igra se završava.
    a) Može li partija trajati tačno tri poteza?
    b) Postoje li dva početna broja takva da će partija trajati najmanje 9 poteza?
    c) Anya je napravila prvi potez u igri. Odrediti najveći mogući omjer umnoška dobijena dva broja i proizvoda

Neka je zadan pravi kružni cilindar, horizontalna ravan projekcija je paralelna sa njegovom bazom. Kada je cilindar presječen ravninom u općem položaju (pretpostavljamo da ravan ne siječe osnove cilindra), linija presjeka je elipsa, sam presjek ima oblik elipse, njegova horizontalna projekcija se poklapa sa projekcija osnove cilindra, a prednji dio također ima oblik elipse. Ali ako rezna ravnina čini kut jednak 45 ° s osom cilindra, tada se presjek, koji ima oblik elipse, projicira kružnicom na onu ravninu projekcija na koju je presjek nagnut u istom ugao.

Ako rezna ravnina siječe bočnu površinu cilindra i jednu od njegovih osnova (slika 8.6), tada linija presjeka ima oblik nepotpune elipse (dio elipse). Horizontalna projekcija presjeka u ovom slučaju je dio kružnice (projekcija osnove), a frontalna je dio elipse. Ravan se može locirati okomito na bilo koju ravan projekcije, tada će se presek projicirati na ovu ravan projekcije pravom linijom (deo traga presečne ravni).

Ako je cilindar presječen ravninom koja je paralelna generatrisi, tada su linije presjeka sa bočnom površinom ravne, a sam presjek ima oblik pravokutnika ako je cilindar ravan, odnosno paralelograma ako je cilindar nagnut.

Kao što znate, i cilindar i konus su formirani od ravnih površina.

Linija preseka (linija preseka) ravnane površine i ravni u opštem slučaju je određena kriva, koja se konstruiše iz tačaka preseka generatora sa sekantnom ravninom.

Neka se da pravi kružni konus. Prilikom ukrštanja s ravninom, linija presjeka može imati oblik: trougla, elipse, kružnice, parabole, hiperbole (slika 8.7), ovisno o lokaciji ravnine.

Trokut se dobije kada rezna ravan, koja prelazi konus, prođe kroz njegov vrh. U ovom slučaju, linije presjeka sa bočnom površinom su prave linije koje se sijeku na vrhu konusa, koje zajedno sa linijom presjeka baze tvore trokut projektovan na projekcijske ravnine sa izobličenjem. Ako ravan siječe os konusa, onda se u presjeku dobije trokut u kojem će ugao sa vrhom koji se poklapa sa vrhom konusa biti maksimalan za presjeke trokuta datog konusa. U ovom slučaju, presjek se projektuje na vodoravnu projekcijsku ravan (ona je paralelna s njegovom bazom) odsječkom prave linije.

Linija presjeka ravnine i konusa bit će elipsa ako ravan nije paralelna ni sa jednim od generatora konusa. Ovo je ekvivalentno činjenici da ravan siječe sve generatore (cijela bočna površina konusa). Ako je rezna ravnina paralelna s osnovom konusa, tada je linija presjeka kružnica, sam presjek se projektuje na vodoravnu ravninu projekcije bez izobličenja, a na frontalnu ravninu - kao segment prave linije.

Linija presjeka će biti parabola kada je sekantna ravan paralelna samo sa jednom generatricom konusa. Ako je rezna ravan paralelna sa dva generatora u isto vrijeme, tada je linija presjeka hiperbola.

Skraćeni konus se dobija ako se pravi kružni konus presječe ravninom koja je paralelna osnovici i okomita na os konusa, a gornji dio se odbaci. U slučaju kada je horizontalna projekcijska ravan paralelna sa osnovama krnjeg konusa, ove osnove se koncentričnim kružnicama projektuju na horizontalnu projekcijsku ravan bez izobličenja, a frontalna projekcija je trapez. Kada se skraćeni konus presječe ravninom, ovisno o njegovoj lokaciji, linija reza može imati oblik trapeza, elipse, kružnice, parabole, hiperbole ili dijela jedne od ovih krivulja, čiji su krajevi povezani duž.

V cilindar \u003d S glavni. h

Primjer 2 Dat je pravi kružni konus ABC jednakostraničan, BO = 10. Pronađite zapreminu konusa.

Rješenje

Pronađite poluprečnik osnove stošca. C = 60 0, B = 30 0,

Neka OS = a, tada je BC = 2 a. Prema Pitagorinoj teoremi:

odgovor: .

Primjer 3. Izračunajte zapremine figura koje nastaju rotacijom površina ograničenih navedenim linijama.

y2=4x; y=0; x=4.

Granice integracije a = 0, b = 4.

V= | =32π

Zadaci

Opcija 1

1. Aksijalni presjek cilindra je kvadrat čija je dijagonala 4 dm. Pronađite zapreminu cilindra.

2. Spoljni prečnik šuplje kugle je 18 cm, debljina zida je 3 cm.Nađite zapreminu zidova kugle.

X lik ograničen linijama y 2 =x, y=0, x=1, x=2.

Opcija 2

1. Poluprečniki tri loptice su 6 cm, 8 cm, 10 cm Odrediti poluprečnik kuglice čija je zapremina jednaka zbiru zapremina ovih kuglica.

2. Površina osnove stošca je 9 cm 2, njegova ukupna površina je 24 cm 2. Pronađite zapreminu konusa.

3. Izračunajte volumen tijela nastalog rotacijom oko O ose X lik ograničen linijama y 2 =2x, y=0, x=2, x=4.

Test pitanja:

1. Napišite svojstva zapremina tijela.

2. Napišite formulu za izračunavanje volumena tijela okretanja oko ose Oy.

Uvod

Relevantnost teme istraživanja. Konusni preseci su već bili poznati matematičarima antičke Grčke (na primer, Menehmus, 4. vek pne); uz pomoć ovih krivulja riješeni su neki konstrukcijski problemi (udvostručavanje kocke i sl.), koji su se pokazali nedostupnima pri korištenju najjednostavnijih alata za crtanje - šestara i ravnala. U prvim studijama koje su došle do nas, grčki geometri su konusne presjeke dobijali povlačenjem ravni sečenja okomito na jedan od generatora, dok je, u zavisnosti od ugla otvaranja na vrhu konusa (tj. najvećeg ugla između generatora). jedne šupljine), linija presjeka se pokazala kao elipsa, ako je ovaj ugao oštar, to je parabola, ako je pravi ugao, i hiperbola, ako je tup. Najkompletniji rad posvećen ovim krivuljama bio je "Konični preseci" Apolonija iz Perge (oko 200. godine pne). Dalji napredak u teoriji konusnih presjeka povezan je sa stvaranjem u 17. stoljeću. nove geometrijske metode: projektivne (francuski matematičari J. Desargues, B. Pascal) i posebno koordinatne (francuski matematičari R. Descartes, P. Fermat).

Interes za konusne presjeke je oduvijek potkrijepljen činjenicom da se te krivulje često nalaze u raznim prirodnim pojavama i u ljudskoj djelatnosti. U nauci su konusni presjeci dobili poseban značaj nakon što je njemački astronom I. Kepler otkrio iz posmatranja, a engleski naučnik I. Newton teorijski potkrijepio zakone kretanja planeta, od kojih jedan glasi da se planete i komete Sunčevog sistema kreću duž konusa. sekcije, u jednom iz čijeg je žarišta Sunce. Sljedeći primjeri se odnose na određene vrste konusnih presjeka: projektil ili kamen bačen koso na horizont opisuje parabolu (pravilan oblik krivulje je donekle izobličen otporom zraka); u nekim mehanizmima koriste se eliptični zupčanici („eliptični zupčanici“); hiperbola služi kao graf inverzne proporcionalnosti, koji se često opaža u prirodi (na primjer, Boyle-Mariotteov zakon).

Cilj:

Proučavanje teorije konusnih presjeka.

Tema istraživanja:

Konusni presjeci.

Svrha studije:

Teorijski proučiti karakteristike konusnih presjeka.

Predmet studija:

Konusni presjeci.

Predmet studija:

Istorijski razvoj konusnih presjeka.

1. Formiranje konusnih presjeka i njihovi tipovi

Konusni presjeci su linije koje se formiraju u presjeku pravog kružnog konusa s različitim ravnima.

Imajte na umu da je konusna površina površina nastala kretanjem prave linije koja cijelo vrijeme prolazi kroz fiksnu tačku (vrh konusa) i cijelo vrijeme siječe fiksnu krivulju - vodilicu (u našem slučaju kružnicu ).

Klasificirajući ove linije prema prirodi položaja sekantne ravnine u odnosu na generatore stošca, dobijaju se tri vrste krivulja:

I. Krive formirane presjekom konusa ravninama koje nisu paralelne ni sa jednim od generatora. Takve krive će biti različite kružnice i elipse. Ove krive se nazivaju eliptične krive.

II. Krivulje formirane presjekom konusa ravninama, od kojih je svaka paralelna s jednom od generatriksa stošca (slika 1b). Takve krive će biti samo parabole.

III. Krivulje formirane presjekom konusa ravninama, od kojih je svaka paralelna s neka dva generatora (slika 1c). takve krive će biti hiperbole.

Više ne može postojati nikakva krivulja tipa IV, jer ne može postojati ravan paralelna sa tri generatora stošca odjednom, jer tri generatora stošca ne leže u istoj ravni.

Imajte na umu da se konus može preseći ravnima i tako da se u preseku dobiju dve prave. Da biste to učinili, sekantne ravnine moraju biti povučene kroz vrh konusa.

2. Elipsa

Za proučavanje svojstava konusnih presjeka važne su dvije teoreme:

Teorema 1. Neka je dat ravan kružni konus koji je raščlanjen ravnima b 1, b 2, b 3, okomitim na njegovu osu. Tada su svi segmenti konusnih generatora između bilo kojeg para kružnica (dobijenih u presjeku sa datim ravnima) jednaki jedni drugima, tj. A 1 B 1 \u003d A 2 B 2 \u003d itd. i B 1 C 1 \u003d B 2 C 2 \u003d itd. Teorema 2. Ako je data sferna površina i neka tačka S je izvan nje, tada će segmenti tangenti povučeni iz tačke S na sfernu površinu biti međusobno jednaki, tj. SA 1 =SA 2 =SA 3 itd.

2.1 Osnovno svojstvo elipse

Isječemo pravi kružni konus sa ravninom koja siječe sve njegove tvorbe.U presjeku dobijamo elipsu. Nacrtajmo ravan okomitu na ravan kroz osu konusa.

U konus upisujemo dvije kugle tako da, budući da se nalaze na suprotnim stranama ravnine i dodiruju konusnu površinu, svaka od njih dodirne ravan u nekoj tački.

Neka jedna lopta dodirne ravan u tački F 1 i dodirne konus duž kružnice C 1, a druga u tački F 2 i dodirne konus duž kružnice C 2 .

Uzmite proizvoljnu tačku P na elipsi.

To znači da će svi zaključci doneseni o tome vrijediti za bilo koju tačku elipse. Nacrtajmo generatricu OR konusa i označimo tačke R 1 i R 2 u kojima on dodiruje konstruisane kuglice.

Spojiti tačku P sa tačkama F 1 i F 2 . Tada su PF 1 = PR 1 i PF 2 = PR 2, pošto su PF 1, PR 1 tangente povučene iz tačke P na jednu loptu, a PF 2, PR 2 su tangente povučene iz tačke P na drugu loptu (teorema 2 ) . Sabirajući obje jednakosti pojam po član, nalazimo

PF 1 + PF 2 = PR 1 + PR 2 = R 1 R 2 (1)

Ovaj odnos pokazuje da je zbir udaljenosti (RF 1 i RF 2) proizvoljne tačke P elipse do dve tačke F 1 i F 2 konstantna vrednost za ovu elipsu (tj. ne zavisi od položaja tačke P na elipsi).

Tačke F 1 i F 2 nazivaju se fokusi elipse. Tačke u kojima prava F 1 F 2 seče elipsu nazivaju se vrhovi elipse. Segment između vrhova naziva se glavna os elipse.

Segment generatrike R 1 R 2 je po dužini jednak glavnoj osi elipse. Tada se glavno svojstvo elipse formulira na sljedeći način: zbir udaljenosti proizvoljne tačke P elipse do njenih žarišta F 1 i F 2 je konstantna vrijednost za ovu elipsu, jednaka dužini njene glavne ose.

Imajte na umu da ako se žarišta elipse poklapaju, onda je elipsa kružnica, tj. krug je poseban slučaj elipse.

2.2 Jednačina elipse

Da bismo napisali jednačinu elipse, elipsu moramo uzeti u obzir kao lokus tačaka koje imaju neko svojstvo koje karakteriše ovaj lokus. Uzmimo glavno svojstvo elipse kao njenu definiciju: elipsa je mjesto tačaka u ravni za koje je zbir udaljenosti do dvije fiksne tačke F 1 i F 2 ove ravni, koje se nazivaju fokusi, konstantna vrijednost jednaka dužina njegove glavne ose.

Neka je dužina segmenta F 1 F 2 \u003d 2c, a dužina glavne ose 2a. Za izvođenje kanonske jednačine elipse biramo ishodište O kartezijanskog koordinatnog sistema u sredini segmenta F 1 F 2 i usmjeravamo ose Ox i Oy kao što je prikazano na slici 5. (Ako se žarišta poklapaju, onda O se poklapa sa F 1 i F 2, a izvan ose Ox se može uzeti kao bilo koja osa koja prolazi kroz O). Zatim u odabranom koordinatnom sistemu tačke F 1 (c, 0) i F 2 (-c, 0). Očigledno, 2a > 2c, tj. a>c. Neka je M(x, y) tačka ravni koja pripada elipsi. Neka je MF 1 =r 1 , MF 2 =r 2 . Prema definiciji elipse, jednakost

r 1 +r 2 =2a (2) je neophodan i dovoljan uslov za lokaciju tačke M (x, y) na datoj elipsi. Koristeći formulu za udaljenost između dvije tačke, dobijamo

r 1 =, r 2 =. Vratimo se na jednakost (2):

Pomaknimo jedan korijen na desnu stranu jednakosti i kvadriramo ga:

Smanjenjem dobijamo:

Dajemo slične, smanjimo za 4 i izolujemo radikal:

We square

Otvorite zagrade i skratite na:

odakle dobijamo:

(a 2 -c 2) x 2 + a 2 y 2 \u003d a 2 (a 2 -c 2). (3)

Imajte na umu da je 2 -c 2 >0. Zaista, r 1 +r 2 je zbir dviju stranica trougla F 1 MF 2 , a F 1 F 2 je njegova treća stranica. Dakle, r 1 +r 2 > F 1 F 2 , ili 2a>2s, tj. a>c. Označimo a 2 -c 2 \u003d b 2. Jednačina (3) će izgledati ovako: b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 . Izvršimo transformaciju koja dovodi jednadžbu elipse u kanonski (bukvalno: uzet kao uzorak) oblik, naime, podijelimo oba dijela jednačine sa 2 b 2:

(4) - kanonska jednadžba elipse.

Pošto je jednačina (4) algebarska posljedica jednačine (2*), tada će x i y koordinate bilo koje tačke M elipse također zadovoljiti jednačinu (4). Budući da se „dodatni korijeni“ mogu pojaviti tijekom algebarskih transformacija povezanih sa uklanjanjem radikala, potrebno je osigurati da se svaka tačka M, čije koordinate zadovoljavaju jednačinu (4), nalazi na ovoj elipsi. Da bismo to učinili, dovoljno je dokazati da veličine r 1 i r 2 za svaku tačku zadovoljavaju relaciju (2). Dakle, neka x i y koordinate tačke M zadovoljavaju jednačinu (4). Zamjenom vrijednosti y 2 iz (4) u izraz r 1 , nakon jednostavnih transformacija nalazimo da je r 1 =. Pošto je onda r 1 =. Sasvim slično nalazimo da je r 2 =. Dakle, za razmatranu tačku M r 1 =, r 2 =, tj. r 1 + r 2 \u003d 2a, stoga se tačka M nalazi na elipsi. Veličine a i b nazivaju se glavna i mala poluos elipse, respektivno.

2.3 Proučavanje oblika elipse prema njenoj jednačini

Uspostavimo oblik elipse koristeći njenu kanonsku jednadžbu.

1. Jednačina (4) sadrži x i y samo u parnim potencijama, pa ako tačka (x, y) pripada elipsi, tada tačke (x, - y), (-x, y), (-x, - y). Iz toga slijedi da je elipsa simetrična oko osa Ox i Oy, kao i oko tačke O (0,0), koja se naziva središte elipse.

2. Naći tačke preseka elipse sa koordinatnim osa. Stavljajući y \u003d 0, nalazimo dvije točke A 1 (a, 0) i A 2 (-a, 0), u kojima os Ox siječe elipsu. Stavljajući x=0 u jednačinu (4), nalazimo tačke preseka elipse sa Oy osom: B 1 (0, b) i. B 2 (0, - b) Tačke A 1 , A 2 , B 1 , B 2 nazivaju se vrhovi elipse.

3. Iz jednačine (4) slijedi da svaki član na lijevoj strani ne prelazi jedinicu, tj. postoje nejednakosti i ili i. Dakle, sve točke elipse leže unutar pravokutnika formiranog od pravih linija, .

4. U jednačini (4), zbir nenegativnih članova i jednak je jedan. Dakle, kako se jedan pojam povećava, drugi će se smanjivati, tj. Ako se x povećava, onda se y smanjuje i obrnuto.

Iz rečenog proizilazi da elipsa ima oblik prikazan na sl. 6 (ovalna zatvorena kriva).

Imajte na umu da ako je a = b, tada će jednačina (4) imati oblik x 2 + y 2 = a 2 . Ovo je jednačina kružnice. Elipsa se može dobiti iz kruga poluprečnika a, ako se jednom komprimuje duž ose Oy. Sa takvom kontrakcijom, tačka (x; y) će ići do tačke (x; y 1), gde. Zamjenom kružnice u jednačinu dobijamo jednačinu elipse: .

Hajde da uvedemo još jednu veličinu koja karakteriše oblik elipse.

Ekscentricitet elipse je omjer žižne daljine 2c i dužine 2a njene glavne ose.

Ekscentricitet se obično označava sa e: e = Pošto c< a, то. Заметив, что c 2 = a 2 - b 2 , находим: , отсюда.

Iz posljednje jednakosti lako je dobiti geometrijsku interpretaciju ekscentriciteta elipse. Za vrlo male brojeve, a i b su skoro jednaki, odnosno elipsa je blizu kružnice. Ako je blizu jedinice, onda je broj b vrlo mali u odnosu na broj a, a elipsa je jako izdužena duž glavne ose. Dakle, ekscentricitet elipse karakterizira mjeru elongacije elipse.

3. Hiperbola

3.1 Glavno svojstvo hiperbole

Istražujući hiperbolu uz pomoć konstrukcija sličnih konstrukcijama koje se izvode za proučavanje elipse, otkrivamo da hiperbola ima svojstva slična onima elipse.

Odsijecimo ravan kružni konus ravninom b koja siječe obje njegove ravni, tj. paralelno sa dva njegova generatora. Poprečni presjek je hiperbola. Povučemo kroz os ST konusa ravan ASB, okomitu na ravan b.

Upišimo dvije kugle u stožac – jednu u jednu njegovu šupljinu, drugu u drugu, tako da svaka dodiruje stožastu površinu i sekuntnu ravan. Neka prva lopta dodirne ravan b u tački F 1 i dodirne konusnu površinu duž kružnice U´V´. Neka druga kugla dodirne ravan b u tački F 2 i dodirne konusnu površinu duž kruga UV.

Na hiperboli biramo proizvoljnu tačku M. Kroz nju povučemo generatricu konusa MS i označimo tačke d i D u kojima dodiruje prvu i drugu kuglicu. Tačku M povezujemo sa tačkama F 1 , F 2 , koje ćemo nazvati fokusima hiperbole. Tada je MF 1 =Md, pošto su oba segmenta tangenta na prvu loptu, povučenu iz tačke M. Slično, MF 2 =MD. Oduzimajući član po član od prve jednakosti drugu, nalazimo

MF 1 -MF 2 \u003d Md-MD \u003d dD,

gde je dD konstantna vrednost (kao generatriksa konusa sa bazama U´V´ i UV), nezavisna od izbora tačke M na hiperboli. Označimo sa P i Q tačke u kojima prava F 1 F 2 seče hiperbolu. Ove tačke P i Q nazivaju se vrhovi hiperbole. Segment PQ naziva se realna os hiperbole. U toku elementarne geometrije dokazuje se da je dD=PQ. Dakle, MF 1 -MF 2 =PQ.

Ako će tačka M biti na onoj grani hiperbole, u blizini koje se nalazi fokus F 1, onda je MF 2 -MF 1 =PQ. Tada konačno dobijamo MF 1 -MF 2 =PQ.

Modul razlike između udaljenosti proizvoljne tačke M hiperbole od njenih žarišta F 1 i F 2 je konstantna vrijednost jednaka dužini realne ose hiperbole.

3.2 Jednačina hiperbole

Uzmimo glavno svojstvo hiperbole kao njegovu definiciju: Hiperbola je lokus tačaka u ravni za koji je modul razlike udaljenosti do dvije fiksne tačke F 1 i F 2 ove ravni, koje se nazivaju fokusi, konstanta vrijednost jednaka dužini njegove realne ose.

Neka je dužina segmenta F 1 F 2 \u003d 2c, a dužina realne ose 2a. Za izvođenje kanonske jednačine hiperbole biramo ishodište O Dekartovog koordinatnog sistema u sredini segmenta F 1 F 2 i usmeravamo ose Ox i Oy kao što je prikazano na slici 5. Zatim u izabranom koordinatnom sistemu, tačke F 1 (c, 0) i F 2 ( -s, 0). Očigledno 2a<2с, т.е. а<с. Пусть М (х, у) - точка плоскости, принадлежащая гиперболе. Пусть МF 1 =r 1 , МF 2 =r 2 . Согласно определению гиперболы равенство

r 1 -r 2 \u003d 2a (5) je neophodan i dovoljan uslov za lokaciju tačke M (x, y) na ovoj hiperboli. Koristeći formulu za udaljenost između dvije tačke, dobijamo

r 1 =, r 2 =. Vratimo se na jednakost (5):

Kvadirajmo obje strane jednadžbe

(x + s) 2 + y 2 \u003d 4a 2 ± 4a + (x-c) 2 + y 2

Smanjenjem dobijamo:

2 hs=4a 2 ±4a-2 hs

±4a=4a 2 -4 xs

a 2 x 2 -2a 2 xc + a 2 c 2 + a 2 y 2 \u003d a 4 -2a 2 xc + x 2 c 2

x 2 (c 2 -a 2) - a 2 y 2 \u003d a 2 (c 2 -a 2) (6)

Imajte na umu da je c 2 -a 2 >0. Označimo c 2 -a 2 =b 2 . Jednačina (6) će izgledati ovako: b 2 x 2 -a 2 y 2 =a 2 b 2 . Izvodimo transformaciju koja dovodi jednadžbu hiperbole u kanonski oblik, naime, dijelimo oba dijela jednačine sa a 2 b 2: (7) - kanonska jednadžba hiperbole, veličine a i b su realna i imaginarna poluos hiperbole.

Moramo biti sigurni da jednačina (7), dobijena algebarskim transformacijama jednačine (5*), nije dobila nove korijene. Da bismo to učinili, dovoljno je dokazati da za svaku tačku M, čije koordinate x i y zadovoljavaju jednačinu (7), vrijednosti r 1 i r 2 zadovoljavaju odnos (5). Provodeći argumente slične onima koji su izneseni prilikom izvođenja formule elipse, nalazimo sljedeće izraze za r 1 i r 2:

Dakle, za razmatranu tačku M imamo r 1 -r 2 =2a, pa se stoga nalazi na hiperboli.

3.3 Proučavanje jednačine hiperbole

Pokušajmo sada, na osnovu razmatranja jednadžbe (7), dobiti predstavu o lokaciji hiperbole.
1. Kao prvo, jednačina (7) pokazuje da je hiperbola simetrična oko obje ose. Ovo se objašnjava činjenicom da su samo parni stepeni koordinata uključeni u jednadžbu krive. 2. Sada označavamo oblast ravni u kojoj će ležati kriva. Jednadžba hiperbole, riješena s obzirom na y, ima oblik:

To pokazuje da y uvijek postoji kada je x 2? a 2 . To znači da za x? a i za x? - i ordinata y će biti realna, a za - a

Nadalje, s povećanjem x (i većim a), y-ordinata će također rasti cijelo vrijeme (posebno, iz ovoga se vidi da kriva ne može biti valovita, tj. takva da s rastom apscise od x, ordinata y se ili povećava ili smanjuje) .

3. Centar hiperbole je tačka u odnosu na koju svaka tačka hiperbole ima tačku na sebi simetričnu. Tačka O(0,0), ishodište, kao i za elipsu, je centar hiperbole date kanonskom jednačinom. To znači da svaka tačka hiperbole ima simetričnu tačku na hiperboli u odnosu na tačku O. To proizilazi iz simetrije hiperbole u odnosu na ose Ox i Oy. Svaka tetiva hiperbole koja prolazi kroz njen centar naziva se prečnik hiperbole.

4. Točke presjeka hiperbole sa pravom na kojoj leže njena žarišta nazivaju se vrhovi hiperbole, a segment između njih naziva se realna os hiperbole. U ovom slučaju, realna os je x-osa. Imajte na umu da se realna os hiperbole često naziva i segment 2a i sama prava linija (os Ox) na kojoj ona leži.

Naći presečne tačke hiperbole sa Oy osom. Jednačina y-ose je x=0. Zamjenom x = 0 u jednačinu (7) dobijamo da hiperbola nema tačaka preseka sa Oy osom. To je razumljivo, jer u traci širine 2a, koja pokriva osu Oy, nema tačaka hiperbole.

Prava koja je okomita na realnu osu hiperbole i koja prolazi kroz njeno središte naziva se imaginarna os hiperbole. U ovom slučaju, ona se poklapa sa y-osom. Dakle, u nazivnicima članova sa x 2 i y 2 u jednadžbi hiperbole (7) nalaze se kvadrati realne i imaginarne poluosi hiperbole.

5. Hiperbola siječe pravu y = kx za k< в двух точках. Если k то общих точек у прямой и гиперболы нет.

Dokaz

Da bi se odredile koordinate tačaka preseka hiperbole i prave y = kx, potrebno je rešiti sistem jednačina

Eliminišući y, dobijamo

ili Za b 2 -k 2 a 2 0, odnosno za k, rezultirajuća jednačina, a samim tim i sistem rješenja, nema.

Prave linije sa jednadžbama y= i y= - nazivaju se asimptote hiperbole.

Za b 2 -k 2 a 2 >0, odnosno za k< система имеет два решения:

Dakle, svaka prava linija koja prolazi kroz ishodište, sa nagibom k< пересекает гиперболу в двух точках. При k = 0 получаем точки пересечения (a; 0) и (- a; 0) - вершины гиперболы.

6. Optičko svojstvo hiperbole: optičke zrake koje izlaze iz jednog fokusa hiperbole, reflektovane od njega, izgledaju kao da izlaze iz drugog fokusa.

Ekscentricitet hiperbole je omjer žižne daljine 2c i dužine 2a njene realne ose?
one. sa strane njegove konkavnosti.

3.4 Konjugirana hiperbola

Uz hiperbolu (7) razmatra se i takozvana konjugirana hiperbola u odnosu na nju. Konjugirana hiperbola je definirana kanonskom jednadžbom.

Na sl. 10 prikazuje hiperbolu (7) i njenu konjugiranu hiperbolu. Konjugirana hiperbola ima iste asimptote kao i data, ali F 1 (0, c),

4. Parabola

4.1 Osnovno svojstvo parabole

Ustanovimo osnovna svojstva parabole. Isecimo pravi kružni konus sa vrhom S ravninom koja je paralelna jednom od njegovih generatora. U sekciji dobijamo parabolu. Povučemo kroz os ST konusa ravan ASB, okomitu na ravan (slika 11). Generatorica SA koja leži u njemu bit će paralelna s ravninom. Upišimo u konus sfernu površinu tangentu na konus duž kruga UV i tangentu na ravan u tački F. Povucite pravu kroz tačku F paralelnu sa generatorom SA. Tačku njenog preseka sa generatricom SB označavamo sa P. Tačka F se naziva fokus parabole, tačka P je njen vrh, a prava PF koja prolazi kroz vrh i fokus (i paralelna sa generatricom SA ) naziva se osa parabole. Parabola neće imati drugi vrh - tačku preseka PF ose sa generatricom SA: ova tačka "ide u beskonačnost". Nazovimo direktrisu (u prevodu znači "vodič") pravu q 1 q 2 preseka ravni sa ravninom u kojoj leži kružnica UV. Uzmite proizvoljnu tačku M na paraboli i povežite je sa vrhom konusa S. Prava MS dodiruje loptu u tački D koja leži na kružnici UV. Tačku M povezujemo sa fokusom F i ispuštamo okomitu MK iz tačke M na direktrisu. Tada se ispostavlja da su udaljenosti proizvoljne tačke M parabole do fokusa (MF) i do direktrise (MK) jednake jedna drugoj (glavno svojstvo parabole), tj. MF=MK.

Dokaz: MF=MD (kao tangente na loptu iz jedne tačke). Označimo ugao između bilo koje generatrike konusa i ST ose kao q. Projektujmo segmente MD i MK na ST osu. Segment MD formira projekciju na ST osu, jednaku MDcosc, pošto MD leži na generatrisi konusa; segment MK formira projekciju na ST osu, jednaku MKsoc, pošto je segment MK paralelan sa generatricom SA. (Zaista, direktrisa q 1 q 1 je okomita na ravan ASB. Dakle, prava PF siječe direktrisu u tački L pod pravim uglom. Ali prave MK i PF leže u istoj ravni, a MK je također okomita na direktrisu). Projekcije oba segmenta MK i MD na ST osu su međusobno jednake, jer je jedan njihov kraj - tačka M - zajednički, a druga dva D i K leže u ravni okomitoj na ST osu (Sl. ). Tada je MDcosc= MKsosc ili MD= MK. Dakle, MF=MK.

Nekretnina 1.(Fokalno svojstvo parabole).

Udaljenost od bilo koje tačke parabole do sredine glavne tetive jednaka je njenoj udaljenosti od direktrise.

Dokaz.

Tačka F - tačka preseka linije QR i glavnog akorda. Ova tačka leži na osi simetrije Oy. Zaista, trouglovi RNQ i ROF su kongruentni, baš kao i pravougli trouglovi

trouglovi sa ranim kracima (NQ=OF, OR=RN). Dakle, bez obzira koju tačku N uzmemo, linija QR konstruisana duž nje će preseći glavnu tetivu u njenoj sredini F. Sada je jasno da je trougao FMQ jednakokrak. Zaista, segment MR je i medijana i visina ovog trougla. Ovo implicira da je MF=MQ.

Nekretnina 2.(Optičko svojstvo parabole).

Bilo koja tangenta na parabolu čini jednake uglove sa žarišnim radijusom povučenim u tačku tangente i zrakom koji dolazi iz tačke tangente i kousmerava sa osom (ili će zrake koje izlaze iz jednog fokusa, reflektovane od parabole, otići paralelno sa osom).

Dokaz. Za tačku N koja leži na samoj paraboli, jednakost |FN|=|NH| je tačna, a za tačku N" koja leži u unutrašnjem delu parabole, |FN"|<|N"H"|. Если теперь провести биссектрису l угла FМК, то для любой отличной от М точки M" прямой l найдём:

|FM"|=|M"K"|>|M"K"|, odnosno tačka M" leži u spoljašnjem delu parabole. Dakle, cijela prava l, osim tačke M, leži u vanjskom području, odnosno unutrašnje područje parabole leži na jednoj strani l, što znači da je l tangenta na parabolu. Ovo daje dokaz optičkog svojstva parabole: ugao 1 jednak je uglu 2, pošto je l simetrala ugla FMK.

4.2 Jednačina parabole

Na osnovu glavnog svojstva parabole, formulišemo njenu definiciju: parabola je skup svih tačaka u ravni, od kojih je svaka jednako udaljena od date tačke, koja se zove fokus, i date prave linije, koja se zove direktrisa . Udaljenost od fokusa F do direktrise naziva se parametar parabole i označava se sa p (p > 0).

Za izvođenje jednadžbe parabole biramo Oxy koordinatni sistem tako da os Ox prolazi kroz fokus F okomito na direktrisu u smjeru od direktrise do F, a ishodište O nalazi se u sredini između fokusa i direktrise (Sl. 12). U odabranom sistemu fokus je F(, 0), a jednadžba direktrise ima oblik x=- ili x+=0. Neka je m (x, y) proizvoljna tačka parabole. Povežite tačku M sa F. Nacrtajte segment MH okomito na direktrisu. Prema definiciji parabole, MF = MH. Koristeći formulu za udaljenost između dvije tačke, nalazimo:

Dakle, kvadriranjem obe strane jednačine dobijamo

one. (8) Jednačina (8) se zove kanonska jednačina parabole.

4.3 Proučavanje oblika parabole prema njenoj jednačini

1. U jednačini (8), varijabla y je uključena u parnom stepenu, što znači da je parabola simetrična oko ose Ox; x-osa je osa simetrije parabole.

2. Kako je c > 0, iz (8) slijedi da je x>0. Dakle, parabola se nalazi desno od y-ose.

3. Neka je x = 0, zatim y = 0. Dakle, parabola prolazi kroz ishodište.

4. Sa neograničenim povećanjem x, modul y se također povećava neograničeno. Parabola y 2 = 2 px ima oblik (oblik) prikazan na slici 13. Tačka O (0; 0) naziva se vrh parabole, segment FM \u003d r naziva se žarišni polumjer tačke M Jednačine y 2 = -2 px, x 2 = 2 py, x 2 =2 py (p>0) također definiraju parabole.

1.5. Svojstvo imenika konusnih presjeka .

Ovdje dokazujemo da se svaki nekružni (nedegenerirani) konusni presjek može definirati kao skup tačaka M, čiji je omjer udaljenosti MF od fiksne tačke F do udaljenosti MP od fiksne prave d koja ne prolazi kroz tačka F je jednaka konstantnoj vrijednosti e: gdje je F - fokus konusnog presjeka, prava d je direktrisa, a omjer e je ekscentricitet. (Ako tačka F pripada pravoj d, tada uslov određuje skup tačaka, koji je par pravih, tj. degenerisani konusni presek; za e = 1, ovaj par pravih se spaja u jednu pravu. Da bi se dokazalo ovo, uzmimo u obzir konus formiran rotacijom prave l oko preseka u tački O prave p, koji sa l čini ugao b< 90є; пусть плоскость р не проходит через вершину конуса и образует с его осью p угол в < 90є (если в = 90є, то плоскость р пересекает конус по окружности).

Upišimo kuglu K u konus koji dodiruje ravan p u tački F i dodiruje konus duž kružnice S. Liniju preseka ravni p sa ravninom y kružnice S označavamo sa d.

Povežimo sada proizvoljnu tačku M, koja leži na pravoj A preseka ravni p i konusa, sa vrhom O konusa i sa tačkom F, i ispustimo okomitu MP iz M na pravu d; sa E označimo i točku preseka generatora MO konusa sa kružnicom S.

Štaviše, MF = ME, kao segmenti dve tangente lopte K, povučene iz jedne tačke M.

Dalje, segment ME formira sa osom p konusa konstantan (tj. nezavisan od izbora tačke M) ugao 6, a segment MP formira konstantni ugao β; stoga su projekcije ova dva segmenta na osu p jednake ME cos b i MP cos c.

Ali ove projekcije se poklapaju, budući da segmenti ME i MP imaju zajedničko ishodište M, a njihovi krajevi leže u y-ravni okomitoj na p-osu.

Prema tome, ME cos b = MP cos c, ili, pošto je ME = MF, MF cos b = MP cos c, iz čega slijedi da

Takođe je lako pokazati da ako tačka M ravni p ne pripada konusu, onda. Dakle, svaki odsječak pravog kružnog konusa može se opisati kao skup tačaka u ravni, za koje. S druge strane, promjenom vrijednosti uglova b i c, možemo dati ekscentricitet bilo koju vrijednost e > 0; Nadalje, iz razmatranja sličnosti, nije teško razumjeti da je udaljenost FQ od fokusa do direktrise direktno proporcionalna polumjeru r lopte K (ili udaljenosti d ravnine p od vrha O od konus). Može se pokazati da, na taj način, odgovarajućim odabirom udaljenosti d, možemo dati udaljenosti FQ bilo koju vrijednost. Prema tome, svaki skup tačaka M, za koji odnos udaljenosti od M do fiksne tačke F i do fiksne prave d ima konstantnu vrednost, može se opisati kao kriva dobijena u preseku pravog kružnog konusa pomoću a avion. Ovo dokazuje da (nedegenerisani) konusni presjeci također mogu biti definirani svojstvom o kojem se raspravlja u ovom pododjeljku.

Ovo svojstvo konusnih presjeka naziva se oni imenik svojstvo. Jasno je da ako je c > b, onda e< 1; если в = б, то е = 1; наконец, если в < б, то е >1. S druge strane, lako je vidjeti da ako je s > 6, tada ravan p siječe konus duž zatvorene ograničene linije; ako je c = b, tada ravan p siječe konus duž neograničene linije; ako u< б, то плоскость р пересекает обе полы конуса и, следовательно, линия пересечения этой плоскости и конуса состоит из двух (неограниченных) частей или ветвей (рис. 17).

Konusni presjek za koji e< 1, называется эллипсом; коническое сечение с эксцентриситетом е = 1 называется параболой; коническое сечение, для которого е >1 se naziva hiperbola. Elipse također uključuju krug, koji ne može biti specificiran svojstvom direktorija; budući da se za krug omjer pretvara u 0 (jer je u ovom slučaju β \u003d 90º), uvjetno se smatra da je krug konusni presjek s ekscentricitetom od 0.

6. Elipsa, hiperbola i parabola kao konusni presjeci

hiperbola elipse konusnog presjeka

Drevni grčki matematičar Menehmus, koji je otkrio elipsu, hiperbolu i parabolu, definirao ih je kao presjeke kružnog konusa ravninom koja je okomita na jedan od generatora. Dobivene krivulje nazvao je presjecima oštrokutnih, pravokutnih i tupokutnih konusa, ovisno o aksijalnom kutu konusa. Prva, kao što ćemo vidjeti u nastavku, je elipsa, druga je parabola, treća je jedna grana hiperbole. Nazive "elipsa", "hiperbola" i "parabola" uveo je Apolonije. Gotovo u potpunosti (7 od 8 knjiga) Apolonijevo djelo "O konusnim presjecima" došlo je do nas. U ovom radu Apolonije razmatra oba poda konusa i siječe konus ravninama koje nisu nužno okomite na jedan od generatora.

Teorema. Presjek bilo kojeg ravnog kružnog konusa ravninom (koja ne prolazi kroz njegov vrh) definira krivu, koja može biti samo hiperbola (slika 4), parabola (slika 5) ili elipsa (slika 6). Štaviše, ako ravan siječe samo jednu ravan stošca i duž zatvorene krive, onda je ova kriva elipsa; ako ravan siječe samo jednu ravan duž otvorene krive, tada je ova kriva parabola; ako rezna ravan siječe obje ravni konusa, tada se u presjeku formira hiperbola.

Elegantan dokaz ove teoreme predložio je 1822. Dandelin koristeći sfere, koje se danas nazivaju Dandelinove sfere. Pogledajmo ovaj dokaz.

Upišimo u konus dvije sfere koje dodiruju ravan presjeka P sa različitih strana. Sa F1 i F2 označimo dodirne tačke između ove ravni i sfera. Uzmimo proizvoljnu tačku M na liniji presjeka stošca ravninom P. Na generatrici stošca koji prolazi kroz M, označavamo tačke P1 i P2 koje leže na kružnici k1 i k2, duž kojih se kugle dodiruju kornet.

Jasno je da je MF1=MP1 kao segmenti dvije tangente na prvu sferu koja izlazi iz M; slično, MF2=MP2. Dakle, MF1+MF2=MP1+MP2=P1P2. Dužina segmenta P1P2 je ista za sve tačke M našeg preseka: to je generatrisa skraćenog konusa ograničenog paralelnim ravnima 1 i 11, u kojima leže kružnice k1 i k2. Stoga je linija presjeka stošca ravninom P elipsa sa žarištima F1 i F2. Valjanost ove teoreme se takođe može utvrditi na osnovu opšteg stava da je presek površine drugog reda ravninom prava drugog reda.

Književnost

1. Atanasyan L.S., Bazylev V.T. Geometrija. U 2 sata Dio 1. Udžbenik za studente fizike i matematike. ped. u drug-M.: Prosvjeta, 1986.

2. Bazylev V.T. itd. Geometrija. Proc. dodatak za studente 1. godine fizike. - mat. činjenice ped. in. - drug-M .: Obrazovanje, 1974.

3. Pogorelov A.V. Geometrija. Proc. za 7-11 ćelija. avg. škola - 4. izd.-M.: Prosvjeta, 1993.

4. Istorija matematike od antičkih vremena do početka 19. veka. Yushkevich A.P. - M.: Nauka, 1970.

5. Boltyansky V.G. Optička svojstva elipse, hiperbole i parabole. // Quantum. - 1975. - br. 12. - Sa. 19 - 23.

6. Efremov N.V. Kratki kurs analitičke geometrije. - M: Nauka, 6. izdanje, 1967. - 267 str.

Slični dokumenti

Koncept konusnih presjeka. Konusni presjeci - sjecišta ravnina i konusa. Vrste konusnih presjeka. Konstrukcija konusnih presjeka. Konusni presjek je mjesto tačaka koje zadovoljavaju jednačinu drugog reda.

sažetak, dodan 05.10.2008


"Konični preseci" Apolonija. Izvođenje jednadžbe krivulje za presjek pravokutnog stošca okretanja. Izvođenje jednadžbe za parabolu, za elipsu i hiperbolu. Invarijantnost konusnih presjeka. Dalji razvoj teorije konusnih presjeka u djelima Apolonija.

sažetak, dodan 04.02.2010


Pojam i povijesni podaci o konusu, karakteristike njegovih elemenata. Značajke formiranja konusa i vrste konusnih presjeka. Konstrukcija Dandelinove sfere i njeni parametri. Primjena svojstava konusnih presjeka. Proračuni površina konusa.

prezentacija, dodano 04.08.2012


Matematički koncept krive. Opća jednadžba krive drugog reda. Jednačine kružnice, elipse, hiperbole i parabole. Osi simetrije hiperbole. Proučavanje oblika parabole. Krivulje trećeg i četvrtog reda. Anjesi curl, kartezijanski list.

teza, dodana 14.10.2011


Pregled i karakterizacija različitih metoda za konstruisanje presjeka poliedara, određivanje njihovih snaga i slabosti. Metoda pomoćnih presjeka kao univerzalna metoda za konstruisanje presjeka poliedara. Primjeri rješavanja problema na temu istraživanja.

prezentacija, dodano 19.01.2014


Opća jednadžba krive drugog reda. Sastavljanje jednadžbi elipse, kružnice, hiperbole i parabole. Ekscentricitet hiperbole. Fokus i direktrisa parabole. Transformacija opšte jednadžbe u kanonski oblik. Ovisnost tipa krive o invarijantama.

prezentacija, dodano 10.11.2014


Elementi geometrije trougla: izogonalna i izotomska konjugacija, izuzetne tačke i linije. Konici povezani s trouglom: svojstva konusnih presjeka; konike opisane oko trougla i upisane u njega; aplikacija za rješavanje problema.

seminarski rad, dodan 17.06.2012


Elipsa, hiperbola, parabola kao krive drugog reda koje se koriste u višoj matematici. Koncept krive drugog reda je prava na ravni, koja je u nekom Dekartovom koordinatnom sistemu određena jednačinom. Pascamlova teorema i Brianchonova teorema.

sažetak, dodan 26.01.2011


O poreklu problema udvostručavanja kocke (jedan od pet poznatih problema antike). Prvi poznati pokušaj rješavanja problema, rješenje Arhita iz Tarenta. Rješavanje problema u staroj Grčkoj nakon Arhita. Rješenja koja koriste konusne presjeke Menehma i Eratostena.

sažetak, dodan 13.04.2014


Glavne vrste presjeka konusa. Presjek formiran ravninom koja prolazi kroz os konusa (aksijalno) i kroz njegov vrh (trokut). Formiranje presjeka ravninom koja je paralelna (parabola), okomita (krug) a ne okomita (elipsa) na osu.

TEKST OBJAŠNJENJE ČASA:

Nastavljamo s proučavanjem dijela geometrije čvrstog tijela "Tijelo revolucije".

Tijela revolucije uključuju: cilindre, čunjeve, kugle.

Prisjetimo se definicija.

Visina je udaljenost od vrha figure ili tijela do osnove figure (tijela). Inače, segment koji povezuje gornji i donji dio figure i okomit na njega.

Zapamtite, da biste pronašli površinu kruga, pomnožite pi s kvadratom radijusa.

Površina kruga je jednaka.

Prisjetite se kako pronaći površinu kruga, znajući prečnik? Jer

stavimo to u formulu:

Konus je takođe telo revolucije.

Konus (tačnije, kružni konus) je tijelo koje se sastoji od kruga - osnove stošca, tačke koja ne leži u ravni ove kružnice - vrha stošca i svih segmenata koji povezuju vrh konusa. konus sa tačkama osnove.

Hajde da se upoznamo sa formulom za pronalaženje zapremine konusa.

Teorema. Zapremina konusa jednaka je jednoj trećini površine osnove pomnožene sa visinom.

Dokažimo ovu teoremu.

Dato je: konus, S je površina njegove baze,

h je visina konusa

Dokazati: V=

Dokaz: Razmotrimo konus zapremine V, poluprečnika osnove R, visine h i vrha u tački O.

Uvedemo os Ox kroz OM, os konusa. Proizvoljni presjek konusa ravninom okomitom na os x je kružnica sa središtem u tački

M1 - tačka preseka ove ravni sa osom Ox. Označimo poluprečnik ove kružnice kao R1, a površinu poprečnog presjeka kao S(x), gdje je x apscisa tačke M1.

Iz sličnosti pravokutnih trouglova OM1A1 i OMA (ے OM1A1 = ے OMA - prave linije, ےMOA-zajednička, što znači da su trouglovi slični po dva ugla) slijedi da

Slika pokazuje da je OM1=x, OM=h

ili odakle po svojstvu proporcije nalazimo R1 = .

Budući da je presjek kružnica, tada S (x) = πR12, zamjenjujemo prethodni izraz umjesto R1, površina presjeka je jednaka omjeru umnožaka kvadrata piera na kvadrat x i kvadrata visine:

Primijenimo osnovnu formulu

računajući zapremine tela, sa a=0, b=h, dobijamo izraz (1)

Budući da je osnova stošca kružnica, površina S osnove stošca će biti jednaka kvadratu

u formuli za izračunavanje volumena tijela vrijednost kvadrata pier zamjenjujemo površinom baze i dobivamo da je volumen stošca jednak jednoj trećini proizvoda površine od osnove i visine

Teorema je dokazana.

Posljedica teoreme (formula za volumen krnjeg stošca)

Volumen V krnjeg stošca, čija je visina h, i površine osnova S i S1, izračunava se po formuli

Ve je jednako jednoj trećini pepela pomnoženog sa zbrojem površina baza i kvadratnog korijena proizvoda površina baze.

Rješavanje problema

Pravokutni trokut sa katetama 3 cm i 4 cm rotira oko hipotenuze. Odredite volumen rezultirajućeg tijela.

Kada se trokut rotira oko hipotenuze, dobijamo konus. Prilikom rješavanja ovog problema važno je shvatiti da su moguća dva slučaja. U svakom od njih primjenjujemo formulu za pronalaženje volumena stošca: zapremina stošca jednaka je jednoj trećini umnoška baze i visine

U prvom slučaju, crtež će izgledati ovako: dat je konus. Neka je poluprečnik r = 4, visina h = 3

Površina baze jednaka je proizvodu π puta kvadrata polumjera

Tada je zapremina stošca jednaka jednoj trećini proizvoda π puta kvadrata polumjera puta visine.

Zamijenite vrijednost u formuli, ispada da je volumen konusa 16π.

U drugom slučaju, ovako: dat je konus. Neka je poluprečnik r = 3, visina h = 4

Zapremina stošca jednaka je jednoj trećini površine osnove pomnožene sa visinom:

Površina baze jednaka je proizvodu π puta kvadrata polumjera:

Tada je zapremina stošca jednaka jednoj trećini proizvoda π puta kvadrata polumjera puta visine:

Zamijenite vrijednost u formuli, ispada da je volumen konusa 12π.

Odgovor: Zapremina konusa V je 16 π ili 12 π

Zadatak 2. Dat je pravi kružni konus poluprečnika 6 cm, ugao BCO = 45 .

Pronađite zapreminu konusa.

Rješenje: Za ovaj zadatak je dat gotov crtež.

Napišimo formulu za pronalaženje zapremine konusa:

Izražavamo ga u terminima radijusa baze R:

Nalazimo h \u003d BO po konstrukciji, - pravokutni, jer ugao BOC=90 (zbir uglova trougla), uglovi u osnovi su jednaki, pa je trougao ΔBOC jednakokraki i BO=OC=6 cm.