ტრიგონომეტრიაში მნიშვნელოვანი კონცეფციაარის ბრუნვის კუთხე. ქვემოთ ჩვენ თანმიმდევრულად მივცემთ იდეას მონაცვლეობის შესახებ და გავაცნობთ ყველა დაკავშირებულ კონცეფციას. დავიწყოთ იმით ზოგადი იდეაშემობრუნების შესახებ, ვთქვათ სრული რევოლუციის შესახებ. შემდეგ გადავიდეთ ბრუნვის კუთხის კონცეფციაზე და განვიხილოთ მისი ძირითადი მახასიათებლები, როგორიცაა ბრუნვის მიმართულება და სიდიდე. და ბოლოს, ჩვენ ვაძლევთ ფიგურის ბრუნვის განმარტებას წერტილის გარშემო. ტექსტში მთლიან თეორიას ახსნა-განმარტებითი მაგალითებითა და გრაფიკული ილუსტრაციებით შემოგთავაზებთ.
გვერდის ნავიგაცია.
რას ჰქვია წერტილის ბრუნვა წერტილის გარშემო?
დაუყოვნებლივ აღვნიშნოთ, რომ ფრაზასთან ერთად „როტაცია წერტილის ირგვლივ“, ჩვენ ასევე გამოვიყენებთ ფრაზებს „როტაცია წერტილის ირგვლივ“ და „როტაცია წერტილის გარშემო“, რაც ერთსა და იმავეს ნიშნავს.
წარმოგიდგინოთ წერტილის გარშემო წერტილის შემობრუნების კონცეფცია.
პირველი, მოდით განვსაზღვროთ ბრუნვის ცენტრი.
განმარტება.
წერტილი, რომლის გარშემოც ხდება ბრუნვა, ეწოდება ბრუნვის ცენტრი.
ახლა ვთქვათ რა ხდება წერტილის ბრუნვის შედეგად.
A გარკვეული წერტილის შემობრუნების შედეგად O ბრუნვის ცენტრთან მიმართებაში, მიიღება A 1 წერტილი (რომელიც გარკვეული რიცხვის შემთხვევაში შეიძლება ემთხვეოდეს A-ს), ხოლო A 1 წერტილი დევს წრეზე a. ცენტრი OA რადიუსის O წერტილში. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, როდესაც ბრუნავს O წერტილთან მიმართებაში, A წერტილი მიდის A 1 წერტილში, რომელიც მდებარეობს წრეზე, რომლის ცენტრი O წერტილით OA რადიუსით.
ითვლება, რომ წერტილი O, თავის გარშემო მობრუნებისას, იქცევა საკუთარ თავში. ანუ O ბრუნვის ცენტრის გარშემო ბრუნვის შედეგად O წერტილი იქცევა თავის თავში.
აღსანიშნავია ისიც, რომ A წერტილის ბრუნვა O წერტილის გარშემო უნდა ჩაითვალოს გადაადგილებად A წერტილის მოძრაობის შედეგად წრეში ცენტრით OA რადიუსის O წერტილში.
სიცხადისთვის მივცემთ A წერტილის ბრუნვის ილუსტრაციას O წერტილის ირგვლივ; ქვემოთ მოყვანილ ფიგურებში ჩვენ ვაჩვენებთ A წერტილის მოძრაობას A1 წერტილამდე ისრის გამოყენებით.
სრული შემობრუნება
შესაძლებელია A წერტილის შემობრუნება O ბრუნვის ცენტრთან მიმართებაში, ისე, რომ A წერტილი, წრის ყველა წერტილის გავლის შემდეგ, იყოს იმავე ადგილას. ამ შემთხვევაში ისინი ამბობენ, რომ A წერტილი მოძრაობდა O წერტილის გარშემო.
მოდით მივცეთ სრული რევოლუციის გრაფიკული ილუსტრაცია.
თუ არ გაჩერდებით ერთ რევოლუციაზე, მაგრამ გააგრძელებთ წერტილის მოძრაობას წრის გარშემო, მაშინ შეგიძლიათ შეასრულოთ ორი, სამი და ასე შემდეგ სრული რევოლუცია. ქვემოთ მოცემული ნახაზი მარჯვნივ გვიჩვენებს, თუ როგორ შეიძლება ორის დამზადება სრული რევოლუციები, ხოლო მარცხნივ - სამი შემობრუნება.
ბრუნვის კუთხის კონცეფცია
პირველ აბზაცში შემოტანილი წერტილის ბრუნვის კონცეფციიდან ირკვევა, რომ O წერტილის გარშემო A წერტილის ბრუნვის უსასრულო რაოდენობა არსებობს. მართლაც, წრეზე ნებისმიერი წერტილი, რომელსაც აქვს ცენტრი OA რადიუსის O წერტილში, შეიძლება ჩაითვალოს A 1 წერტილად, რომელიც მიიღება A წერტილის ბრუნვის შედეგად. ამიტომ, ერთი ბრუნის მეორისგან განსხვავების მიზნით, წარმოგიდგენთ ბრუნვის კუთხის კონცეფცია.
ბრუნვის კუთხის ერთ-ერთი მახასიათებელია ბრუნვის მიმართულება. ბრუნვის მიმართულება განსაზღვრავს წერტილის ბრუნვას საათის ისრის მიმართულებით თუ საწინააღმდეგო ისრის მიმართულებით.
ბრუნვის კუთხის კიდევ ერთი მახასიათებელია მისი სიდიდე. ბრუნვის კუთხეები იზომება იმავე ერთეულებში, როგორც: გრადუსი და რადიანები ყველაზე გავრცელებულია. აქვე უნდა აღინიშნოს, რომ ბრუნვის კუთხე შეიძლება იყოს გამოხატული გრადუსით ნებისმიერი რეალური რიცხვით მინუს უსასრულობამდე პლუს უსასრულობამდე, გეომეტრიის კუთხისგან განსხვავებით, რომლის მნიშვნელობა გრადუსებში დადებითია და არ აღემატება 180-ს.
როგორც წესი, გამოიყენება ბრუნვის კუთხეების აღსანიშნავად მცირე ასობერძნული ანბანი: ა.შ. მიუთითოს დიდი რაოდენობითბრუნვის კუთხეები, ერთი ასო სუბსკრიპტებით ხშირად გამოიყენება, მაგალითად, 
.
ახლა მოდით ვისაუბროთ ბრუნვის კუთხის მახასიათებლებზე უფრო დეტალურად და თანმიმდევრობით.
შემობრუნების მიმართულება
A და A 1 წერტილები მონიშნული იყოს წრეზე ცენტრით O წერტილში. A წერტილიდან A 1-მდე შეგიძლიათ მიხვიდეთ O ცენტრის გარშემო საათის ისრის ან საწინააღმდეგო ისრის მიმართულებით მობრუნებით. ლოგიკურია, რომ ეს მონაცვლეები განსხვავებულად მივიჩნიოთ.
მოდით ილუსტრაციით ბრუნვა დადებითი და უარყოფითი მიმართულებით. ქვემოთ მოყვანილი ნახაზი გვიჩვენებს ბრუნვას დადებითი მიმართულებით მარცხნივ, ხოლო უარყოფითი მიმართულებით მარჯვნივ.
ბრუნვის კუთხის მნიშვნელობა, თვითნებური მნიშვნელობის კუთხე
ბრუნვის ცენტრის გარდა წერტილის ბრუნვის კუთხე მთლიანად განისაზღვრება მისი სიდიდის მითითებით; მეორეს მხრივ, ბრუნვის კუთხის სიდიდით შეიძლება ვიმსჯელოთ, როგორ განხორციელდა ეს ბრუნვა.
როგორც ზემოთ აღვნიშნეთ, ბრუნვის კუთხე გრადუსებში გამოიხატება რიცხვით −∞-დან +∞-მდე. ამ შემთხვევაში, პლუს ნიშანი შეესაბამება საათის ისრის ბრუნვას, ხოლო მინუს ნიშანი - საათის ისრის საწინააღმდეგოდ.
ახლა რჩება კორესპონდენციის დადგენა ბრუნვის კუთხის მნიშვნელობასა და ბრუნვას შორის, რომელსაც იგი შეესაბამება.
დავიწყოთ ნულოვანი გრადუსიანი ბრუნვის კუთხით. ბრუნვის ეს კუთხე შეესაბამება A წერტილის მოძრაობას თავისკენ. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, როდესაც ბრუნავს 0 გრადუსით O წერტილის გარშემო, წერტილი A რჩება ადგილზე.
ჩვენ ვაგრძელებთ A წერტილის ბრუნვას O წერტილის გარშემო, რომელშიც ბრუნვა ხდება ნახევარი ბრუნის განმავლობაში. ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ A წერტილი მიდის A 1 წერტილში. ამ შემთხვევაში, AOA 1 კუთხის აბსოლუტური მნიშვნელობა გრადუსებში არ აღემატება 180-ს. თუ როტაცია მოხდა დადებითი მიმართულებით, მაშინ განიხილება ბრუნვის კუთხე ღირებულების ტოლიკუთხე AOA 1, და თუ როტაცია მოხდა უარყოფითი მიმართულებით, მაშინ მისი მნიშვნელობა განიხილება AOA 1 კუთხის ტოლფასი მინუს ნიშნით. მაგალითად, აქ არის სურათი, სადაც ნაჩვენებია ბრუნვის კუთხეები 30, 180 და −150 გრადუსი.
ბრუნვის კუთხეები 180 გრადუსზე მეტი და −180 გრადუსზე ნაკლები განისაზღვრება შემდეგი საკმაოდ აშკარაზე დაყრდნობით თანმიმდევრული შემობრუნების თვისებები: A წერტილის რამდენიმე თანმიმდევრული ბრუნი O ცენტრის გარშემო უდრის ერთ ბრუნს, რომლის სიდიდე უდრის ამ ბრუნთა სიდიდეების ჯამს.
მოდით მოვიყვანოთ მაგალითი, რომელიც ასახავს ამ თვისებას. მოდით მოვატრიალოთ A წერტილი O წერტილთან მიმართებაში 45 გრადუსით, შემდეგ კი ეს წერტილი 60 გრადუსით, რის შემდეგაც ამ წერტილს ვატრიალებთ −35 გრადუსით. მოდი ავღნიშნოთ ამ მოხვევის დროს შუალედური წერტილები, როგორც A 1, A 2 და A 3. იმავე A 3 წერტილამდე შეგვეძლო მივსულიყავით A წერტილის ერთი ბრუნვის შესრულებით 45+60+(−35)=70 გრადუსიანი კუთხით.
ამრიგად, ჩვენ წარმოვადგენთ ბრუნვის კუთხეებს, რომლებიც აღემატება 180 გრადუსს, როგორც რამდენიმე თანმიმდევრული ბრუნი კუთხით, რომელთა ჯამი იძლევა საწყისი ბრუნვის კუთხის მნიშვნელობას. მაგალითად, 279 გრადუსიანი ბრუნვის კუთხე შეესაბამება 180 და 99 გრადუსის თანმიმდევრულ ბრუნვას, ანუ 90, 90, 90 და 9 გრადუსს, ან 180, 180 და −81 გრადუსს, ან 279 თანმიმდევრულ ბრუნვას 1 გრადუსით.
−180 გრადუსზე ნაკლები ბრუნვის კუთხეები განისაზღვრება ანალოგიურად. მაგალითად, −520 გრადუსიანი ბრუნვის კუთხე შეიძლება განიმარტოს, როგორც წერტილის თანმიმდევრული ბრუნი −180, −180 და −160 გრადუსით.
შეაჯამეთ. ჩვენ განვსაზღვრეთ ბრუნვის კუთხე, რომლის მნიშვნელობა გრადუსებში გამოიხატება −∞-დან +∞-მდე ინტერვალიდან რაიმე რეალური რიცხვით. ტრიგონომეტრიაში ჩვენ კონკრეტულად ვიმუშავებთ ბრუნვის კუთხეებთან, თუმცა სიტყვა "როტაცია" ხშირად გამოტოვებულია და ისინი უბრალოდ ამბობენ "კუთხეს". ამრიგად, ტრიგონომეტრიაში ვიმუშავებთ თვითნებური სიდიდის კუთხეებთან, რომლებშიც ვგულისხმობთ ბრუნვის კუთხეებს.
ამ პუნქტის დასასრულებლად აღვნიშნავთ, რომ სრული ბრუნი დადებითი მიმართულებით შეესაბამება ბრუნვის კუთხეს 360 გრადუსი (ან 2 π რადიანი), ხოლო უარყოფითი მიმართულებით - ბრუნვის კუთხე -360 გრადუსი (ან −2 π rad) . ამ შემთხვევაში, მოსახერხებელია დიდი ბრუნვის კუთხეების წარმოდგენა სრული ბრუნვის გარკვეული რაოდენობის სახით და სხვა ბრუნვის კუთხით, რომელიც მერყეობს -180-დან 180 გრადუსამდე. მაგალითად, ავიღოთ ბრუნვის კუთხე 1340 გრადუსი. ადვილი წარმოსადგენია 1340, როგორც 360·4+(−100) . ანუ, საწყისი ბრუნვის კუთხე შეესაბამება 4 სრულ შემობრუნებას დადებითი მიმართულებით და შემდგომ ბრუნვას -100 გრადუსით. კიდევ ერთი მაგალითი: −745 გრადუსიანი ბრუნვის კუთხე შეიძლება განიმარტოს, როგორც ორი ბრუნი საათის ისრის საწინააღმდეგოდ, რასაც მოჰყვება ბრუნი −25 გრადუსით, ვინაიდან −745=(−360) 2+(−25) .
დაატრიალეთ ფორმა წერტილის გარშემო კუთხით
წერტილის ბრუნვის კონცეფცია ადვილად ვრცელდება ნებისმიერი ფორმის კუთხით როტაცია წერტილის გარშემო (ჩვენ ვსაუბრობთისეთი ბრუნვის შესახებ, რომ წერტილი, რომლის გარშემოც ბრუნვა ხორციელდება და ფიგურაც, რომელიც ბრუნავს, ერთ სიბრტყეშია).
ფიგურის ბრუნვაში ვგულისხმობთ ფიგურის ყველა წერტილის ბრუნვას მოცემული წერტილის გარშემო მოცემული კუთხით.
მაგალითად, მოდით ილუსტრაციულად ვაჩვენოთ შემდეგი მოქმედება: მოვატრიალოთ AB სეგმენტი O წერტილის მიმართ კუთხით; ეს სეგმენტი, როდესაც ბრუნავს, გადაიქცევა A 1 B 1 სეგმენტად.
ბიბლიოგრაფია.
- Ალგებრა:სახელმძღვანელო მე-9 კლასისთვის. საშ. სკოლა/იუ. ნ.მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა; რედ. S. A. Telyakovsky.- M.: განათლება, 1990.- 272 გვ.: ill.- isbn 5-09-002727-7
- ბაშმაკოვი M.I.ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი: სახელმძღვანელო. 10-11 კლასებისთვის. საშ. სკოლა - მე-3 გამოცემა. - მ.: განათლება, 1993. - 351გვ.: ავად. - ISBN 5-09-004617-4.
- Ალგებრადა ანალიზის დასაწყისი: პროკ. 10-11 კლასებისთვის. ზოგადი განათლება ინსტიტუტები / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn და სხვები; რედ. A. N. Kolmogorov. - 14th ed. - M.: განათლება, 2004. - 384 გვ.: ავადმყოფი - ISBN 5-09-013651-3.
- გუსევი V.A., Mordkovich A.G.მათემატიკა (სახელმძღვანელო ტექნიკურ სასწავლებლებში შესვლისთვის): პროკ. შემწეობა.- მ. უმაღლესი სკოლა, 1984.-351გვ., ილ.
თემა: სინათლის ჩარევის და დიფრაქციის ფენომენებზე დაკვირვება.
სამუშაოს მიზანი: ექსპერიმენტულად შეისწავლეთ ინტერფერენციის და დიფრაქციის ფენომენი.
აღჭურვილობა:
- სათვალეები საპნის ხსნარით;
- მავთულის ბეჭედი სახელურით;
- ნეილონის ქსოვილი;
- CD;
- ინკანდესენტური ნათურა;
- კალიპერები;
- ორი მინის ფირფიტა;
- დანა;
- პინცეტი;
- ნეილონის ქსოვილი.
თეორიული ნაწილი
ჩარევა არის ნებისმიერი ბუნების ტალღებისთვის დამახასიათებელი ფენომენი: მექანიკური, ელექტრომაგნიტური. ტალღური ჩარევა არის სივრცეში ორი (ან რამდენიმე) ტალღის დამატება, რომლის დროსაც მიღებული ტალღა ძლიერდება ან სუსტდება სხვადასხვა წერტილში. სტაბილური ჩარევის ნიმუშის შესაქმნელად საჭიროა თანმიმდევრული (შესაბამისი) ტალღის წყაროები. ტალღებს, რომლებსაც აქვთ იგივე სიხშირე და მუდმივი ფაზის სხვაობა, ეწოდება თანმიმდევრული.
მაქსიმალური პირობები Δd = ± kλმინიმალური პირობები, Δd = ± (2k + 1)λ/2სადაც კ =0; ± 1; ± 2; ± 3;...(ტალღის გზის სხვაობა ტოლია ნახევარტალღების ლუწი რიცხვისა
ჩარევის ნიმუში არის გაზრდილი და შემცირებული სინათლის ინტენსივობის სფეროების რეგულარული მონაცვლეობა. სინათლის ჩარევა არის სინათლის გამოსხივების ენერგიის სივრცითი გადანაწილება, როდესაც ორი ან მეტი სინათლის ტალღა გადანაწილებულია. შესაბამისად, სინათლის ჩარევისა და დიფრაქციის ფენომენებში დაცულია ენერგიის შენარჩუნების კანონი. ჩარევის რეგიონში სინათლის ენერგია გადანაწილდება მხოლოდ სხვა სახის ენერგიად გარდაქმნის გარეშე. ენერგიის ზრდა ჩარევის ნიმუშის ზოგიერთ წერტილში მთლიან სინათლის ენერგიასთან შედარებით კომპენსირდება მისი შემცირებით სხვა წერტილებში (მთლიანი სინათლის ენერგია არის ორი სინათლის სხივის სინათლის ენერგია დამოუკიდებელი წყაროებიდან).
მსუბუქი ზოლები შეესაბამება ენერგიის მაქსიმუმებს, მუქი ზოლები ენერგეტიკულ მინიმუმებს.
დიფრაქცია არის ტალღის გადახრის ფენომენი სწორხაზოვანი გავრცელებისგან, როდესაც გადის პატარა ხვრელებს და იხრება პატარა დაბრკოლებებზე. დიფრაქციის გამოვლინების პირობა: დ< λ, სად დ- დაბრკოლების ზომა, λ - ტალღის სიგრძე. დაბრკოლებების (ხვრელების) ზომები უნდა იყოს უფრო მცირე ან ტალღის სიგრძესთან შედარებით. ამ ფენომენის (დიფრაქციის) არსებობა ზღუდავს გეომეტრიული ოპტიკის კანონების გამოყენების ფარგლებს და არის ოპტიკური ინსტრუმენტების გარჩევადობის ლიმიტის მიზეზი. დიფრაქციული ბადე არის ოპტიკური მოწყობილობა, რომელიც წარმოადგენს პერიოდულ სტრუქტურას დიდი რიცხვირეგულარულად განლაგებული ელემენტები, რომლებზეც ხდება სინათლის დიფრაქცია. კონკრეტული და მუდმივი პროფილის დარტყმები მოცემული დიფრაქციული ბადეზე მეორდება იმავე ინტერვალში დ(გისოსის პერიოდი). დიფრაქციული ბადეების უნარი, გამოყოს მასზე მოხვედრილი სინათლის სხივი ტალღის სიგრძის მიხედვით, მისი მთავარი თვისებაა. არსებობს ამრეკლავი და გამჭვირვალე დიფრაქციული ბადეები. IN თანამედროვე მოწყობილობებიძირითადად გამოიყენება ამრეკლი დიფრაქციული ბადეები. დიფრაქციის მაქსიმუმის დაკვირვების პირობა: d sin(φ) = ± kλ
გამოყენების ინსტრუქცია
1. ჩაყარეთ მავთულის ჩარჩო საპნის ხსნარში. დააკვირდით და დახაზეთ ჩარევის ნიმუში საპნის ფილმში. როდესაც ფილმი განათებულია თეთრი შუქით (ფანჯრიდან ან ნათურიდან), ხდება შეფერილობა მსუბუქი ზოლები: ზევით - ლურჯი ფერი, ქვემოთ – წითელში. გამოიყენეთ მინის მილი საპნის ბუშტის გასაბერად. თვალი ადევნე მას. თეთრი შუქით განათებისას შეინიშნება ფერადი ჩარევის რგოლების წარმოქმნა. როგორც ფილმის სისქე მცირდება, რგოლები ფართოვდება და ქვევით მოძრაობს.
Უპასუხე კითხვებს:
- რატომ ბუშტიისინი ცისარტყელას ფერისაა?
- რა ფორმა აქვს ცისარტყელას ზოლებს?
- რატომ იცვლება ბუშტის ფერი მუდმივად?
2. შუშის თეფშები კარგად გაწურეთ, დააწყვეთ და თითებით გაწურეთ. კონტაქტური ზედაპირების არასრულყოფილი ფორმის გამო, ფირფიტებს შორის წარმოიქმნება თხელი ჰაერის სიცარიელე, რაც იძლევა კაშკაშა მოლურჯო რგოლის ფორმის ან დახურულ არარეგულარული ფორმის ზოლებს. როდესაც იცვლება ფირფიტების შეკუმშვის ძალა, იცვლება ზოლების მდებარეობა და ფორმა როგორც ასახულ, ისე გადაცემულ შუქზე. დახაზეთ სურათები, რომლებსაც ხედავთ.
Უპასუხე კითხვებს:
- რატომ შეიმჩნევა კაშკაშა ცისარტყელას ფერის რგოლისებრი ან არარეგულარული ფორმის ზოლები გარკვეულ ადგილებში, სადაც ფირფიტები ეხება?
- რატომ იცვლება წარმოქმნილი ჩარევის ფარდების ფორმა და მდებარეობა წნევის ცვლილებით?
3. მოათავსეთ CD ჰორიზონტალურად თვალის დონეზე. რას აკვირდები? ახსენით დაკვირვებული მოვლენები. აღწერეთ ჩარევის ნიმუში.
4. გადახედე ნეილონის ქსოვილიდამწვარი ნათურის ძაფზე. ქსოვილის ღერძის გარშემო ბრუნვით, მიაღწიეთ მკაფიო დიფრაქციის შაბლონს მარჯვენა კუთხით გადაკვეთილი ორი დიფრაქციული ზოლის სახით. დახაზეთ დაკვირვებული დიფრაქციული ჯვარი.
5. დააკვირდით ორ დიფრაქციულ შაბლონს დამწვარი ნათურის ძაფის ნახვისას კალიბრის ყბებით წარმოქმნილ ჭრილში (ნაჭრის სიგანე 0,05 მმ და 0,8 მმ). აღწერეთ ჩარევის ნიმუშის ხასიათის ცვლილება, როდესაც კალიბრი შეუფერხებლად ბრუნავს ვერტიკალური ღერძის გარშემო (0,8 მმ ჭრილის სიგანე). გაიმეორეთ ეს ექსპერიმენტი ორი პირით, დაჭერით ისინი ერთმანეთს. აღწერეთ ჩარევის ნიმუშის ბუნება
ჩაწერეთ თქვენი დასკვნები. მიუთითეთ რომელ ექსპერიმენტებში დაფიქსირდა ჩარევის ფენომენი? დიფრაქცია?
