Dota taisna apļveida forma. Cilindra un konusa krustpunkts

Diagnostikas darbs sastāv no divām daļām, tajā skaitā 19 uzdevumiem. 1. daļā ir 8 pamata sarežģītības līmeņa uzdevumi ar īsu atbildi. 2. daļā ir 4 paaugstinātas sarežģītības pakāpes uzdevumi ar īsu atbildi un 7 paaugstinātas un augstas sarežģītības pakāpes uzdevumi ar detalizētu atbildi.
Diagnostiskā darba veikšanai matemātikā atvēlētas 3 stundas 55 minūtes (235 minūtes).
Atbildes uz 1.–12. uzdevumu tiek rakstītas kā vesels skaitlis vai beigu decimāldaļdaļa. Darba tekstā ierakstiet skaitļus atbilžu laukos, un pēc tam pārnesiet tos uz atbilžu lapu Nr. 1. Pildot 13.-19. uzdevumu, ir jāpieraksta pilnais risinājums un atbilde uz atbilžu lapu Nr. 2.
Visas veidlapas ir aizpildītas ar spilgti melnu tinti. Ir atļauts izmantot želejas, kapilārus vai tintes pildspalvas.
Veicot uzdevumus, varat izmantot melnrakstu. Uzmetumi netiek ņemti vērā darba novērtēšanā.
Par izpildītiem uzdevumiem iegūtie punkti tiek summēti.
Vēlam veiksmi!

Uzdevuma nosacījumi

1. Atrodi, ja
2. Lai iegūtu palielinātu spuldzes attēlu uz ekrāna laboratorijā, tiek izmantota konverģējošā lēca ar galveno fokusa attālumu = 30 cm Attālums no objektīva līdz spuldzei var mainīties no 40 līdz 65 cm, un attālums no objektīva līdz ekrānam - diapazonā no 75 līdz 100 cm Attēls uz ekrāna būs skaidrs, ja attiecība tiks ievērota. Norādiet lielāko attālumu no objektīva, kādā spuldzi var novietot, lai tās attēls ekrānā būtu skaidrs. Izsakiet savu atbildi centimetros.
3. Kuģis pa upi virzās uz galamērķi 300 km un pēc stāvēšanas atgriežas izbraukšanas vietā. Atrodiet straumes ātrumu, ja kuģa ātrums stāvā ūdenī ir 15 km/h, stāvvieta ilgst 5 stundas, un kuģis atgriežas izbraukšanas vietā 50 stundas pēc izbraukšanas no tā. Sniedziet atbildi km/h.
4. Atrodiet segmenta funkcijas mazāko vērtību
5. a) Atrisiniet vienādojumu b) Atrodiet visas šī vienādojuma saknes, kas pieder segmentam
6. Dots labais riņķveida konuss ar virsotni M. Konusa aksiālais griezums - trīsstūris ar 120 ° leņķi virsotnē M. Konusa ģenerators ir . Caur punktu M konusa posms tiek novilkts perpendikulāri vienam no ģeneratoriem.
   a) Pierādīt, ka iegūtais trijstūris ir strups trīsstūris.
   b) Atrodiet attālumu no centra O konusa pamatne līdz sekcijas plaknei.
7. Atrisiniet vienādojumu
8. Aplis ar centru O pieskaras sāniem AB vienādsānu trīsstūris abc, sānu pagarinājumi AC un pamatu turpinājums saule punktā N. Punkts M- pamatnes vidusdaļa Sv.
   a) Pierādiet to MN=AC.
   b) Atrast OS, ja trijstūra malas ABC ir 5, 5 un 8.
9. Biznesa projekts "A" paredz tajā ieguldīto summu pieaugumu par 34,56% ik gadu pirmajos divos gados un par 44% gadā nākamo divu gadu laikā. Projekts B pieņem pieaugumu par nemainīgu veselu skaitli n procenti gadā. Atrodiet mazāko vērtību n, saskaņā ar kuru pirmos četrus gadus projekts "B" būs ienesīgāks nekā projekts "A".
10. Atrodiet visas parametra , vērtības, katrai no kurām vienādojumu sistēma ir vienīgais risinājums
11. Anya spēlē spēli: uz tāfeles ir uzrakstīti divi dažādi naturālie skaitļi un , abi ir mazāki par 1000. Ja abi ir naturāli skaitļi, tad Anija veic gājienu - viņa aizstāj iepriekšējos ar šiem diviem skaitļiem. Ja vismaz viens no šiem skaitļiem nav naturāls skaitlis, spēle beidzas.
    a) Vai spēle var turpināties tieši trīs gājienus?
    b) Vai ir divi sākuma skaitļi, lai spēle ilgs vismaz 9 gājienus?
    c) Anya izdarīja pirmo gājienu spēlē. Atrodiet iegūto divu skaitļu reizinājuma lielāko iespējamo attiecību pret reizinājumu

Dots taisnstūrveida cilindrs, kura horizontālā plakne ir paralēla tā pamatnei. Kad cilindru vispārīgā stāvoklī šķērso plakne (pieņemam, ka plakne nekrustojas ar cilindra pamatnēm), krustojuma līnija ir elipse, pašam griezumam ir elipses forma, tā horizontālā projekcija sakrīt ar cilindra pamatnes projekcija, un priekšpusei ir arī elipses forma. Bet, ja griešanas plakne veido leņķi, kas vienāds ar 45 ° ar cilindra asi, tad šķērsgriezums, kuram ir elipses forma, tiek projicēts ar apli uz to projekciju plakni, kurai griezums ir vienāds. leņķis.

Ja griešanas plakne krusto cilindra sānu virsmu un vienu no tā pamatnēm (8.6. att.), tad krustojuma līnijai ir nepilnas elipses (elipses daļas) forma. Sekcijas horizontālā projekcija šajā gadījumā ir daļa no apļa (pamatnes projekcija), un frontālā daļa ir elipses daļa. Plakne var atrasties perpendikulāri jebkurai projekcijas plaknei, tad griezums tiks projicēts uz šo projekcijas plakni ar taisni (sekantās plaknes trases daļa).

Ja cilindru šķērso plakne, kas ir paralēla ģenerātoram, tad krustojuma līnijas ar sānu virsmu ir taisnas, un pašam griezumam ir taisnstūra forma, ja cilindrs ir taisns, vai paralelograms, ja cilindrs ir slīps.

Kā zināms, gan cilindru, gan konusu veido nolīpētas virsmas.

Valdītās virsmas un plaknes krustošanās līnija (griezuma līnija) vispārīgā gadījumā ir noteikta līkne, kas tiek veidota no ģeneratoru krustošanās punktiem ar sekantisko plakni.

Lai tas tiek dots taisns apļveida konuss.Šķērsojot to ar plakni, krustojuma līnija atkarībā no plaknes atrašanās vietas var izpausties kā: trijstūris, elipse, aplis, parabola, hiperbola (8.7. att.).

Trijstūri iegūst, kad griešanas plakne, šķērsojot konusu, iet cauri tā virsotnei. Šajā gadījumā krustošanās līnijas ar sānu virsmu ir taisnas līnijas, kas krustojas konusa augšdaļā, kas kopā ar pamatnes krustojuma līniju veido trīsstūri, kas projicēts uz projekcijas plaknēm ar deformāciju. Ja plakne krusto konusa asi, tad griezumā iegūst trijstūri, kurā dotā konusa trijstūra posmiem leņķis ar virsotni, kas sakrīt ar konusa virsotni, būs maksimālais. Šajā gadījumā posms tiek projicēts uz horizontālās projekcijas plaknes (tā ir paralēla tās pamatnei) ar taisnas līnijas segmentu.

Plaknes un konusa krustošanās līnija būs elipse, ja plakne nav paralēla nevienam no konusa ģeneratoriem. Tas ir līdzvērtīgs faktam, ka plakne šķērso visus ģeneratorus (visu konusa sānu virsmu). Ja griešanas plakne ir paralēla konusa pamatnei, tad krustojuma līnija ir aplis, pats posms tiek projicēts uz horizontālās projekcijas plakni bez kropļojumiem, bet uz frontālās plaknes - kā taisnas līnijas segments.

Krustpunkta līnija būs parabola, ja secīgā plakne ir paralēla tikai vienam konusa ģenerātam. Ja griešanas plakne ir paralēla diviem ģeneratoriem vienlaikus, tad krustojuma līnija ir hiperbola.

Nošķeltu konusu iegūst, ja taisnu riņķveida konusu šķērso plakne, kas ir paralēla pamatnei un ir perpendikulāra konusa asij, un augšējo daļu atmet. Gadījumā, ja horizontālā projekcijas plakne ir paralēla nošķeltā konusa pamatnēm, šīs pamatnes tiek projicētas uz horizontālās projekcijas plakni bez koncentrisku apļu radītiem izkropļojumiem, un frontālā projekcija ir trapecveida. Kad nošķeltu konusu šķērso plakne, atkarībā no tā atrašanās vietas griezuma līnija var būt trapeces, elipses, apļa, parabolas, hiperbolas vai vienas no šīm līknēm, kuru galus savieno taisne.

V cilindrs \u003d S galvenais. h

2. piemērs Dots taisns riņķveida konuss ABC vienādmalu, BO = 10. Atrodiet konusa tilpumu.

Risinājums

Atrodiet konusa pamatnes rādiusu. C \u003d 60 0, B = 30 0,

Ļaujiet OS = a, tad BC = 2 a. Saskaņā ar Pitagora teorēmu:

Atbilde: .

3. piemērs. Aprēķiniet to figūru tilpumus, kas veidojas, rotējot laukumus, ko ierobežo noteiktās līnijas.

y2=4x; y=0; x=4.

Integrācijas robežas a = 0, b = 4.

V= | =32π

Uzdevumi

1. iespēja

1. Cilindra aksiālais šķērsgriezums ir kvadrāts, kura diagonāle ir 4 dm. Atrodiet cilindra tilpumu.

2. Dobas sfēras ārējais diametrs ir 18 cm, sienas biezums ir 3 cm Atrodiet sfēras sienu tilpumu.

X skaitlis, ko ierobežo līnijas y 2 =x, y=0, x=1, x=2.

2. iespēja

1. Trīs bumbiņu rādiusi ir 6 cm, 8 cm, 10 cm Nosakiet lodītes rādiusu, kuras tilpums ir vienāds ar šo lodīšu tilpumu summu.

2. Konusa pamatnes laukums ir 9 cm 2, tā kopējais virsmas laukums ir 24 cm 2. Atrodiet konusa tilpumu.

3. Aprēķināt ķermeņa tilpumu, ko veido rotācija ap O asi X skaitlis, ko ierobežo līnijas y 2 =2x, y=0, x=2, x=4.

Testa jautājumi:

1. Uzrakstiet ķermeņu tilpumu īpašības.

2. Uzrakstiet formulu ap Oy asi apgriezienu ķermeņa tilpuma aprēķināšanai.

Ievads

Pētījuma tēmas atbilstība. Konusveida griezumus zināja jau Senās Grieķijas matemātiķi (piemēram, Menehms, 4. gs. p.m.ē.); ar šo līkņu palīdzību tika atrisinātas dažas konstrukcijas problēmas (kuba dubultošana utt.), kas izrādījās nepieejamas, izmantojot vienkāršākos zīmēšanas rīkus - kompasus un lineālus. Pirmajos līdz mums nonākušajos pētījumos grieķu ģeometri ieguva konusveida griezumus, uzzīmējot griešanas plakni, kas ir perpendikulāra vienam no ģeneratoriem, savukārt atkarībā no atvēruma leņķa konusa augšdaļā (t.i., lielākā leņķa starp ģeneratoriem) viena dobuma), krustojuma līnija izrādījās elipse, ja šis leņķis ir akūts, tā ir parabola, ja tas ir taisns leņķis, un hiperbola, ja tas ir stulbs. Vispilnīgākais darbs, kas veltīts šīm līknēm, bija Pergas Apollonija (apmēram 200. g. p.m.ē.) "Konusa griezumi". Turpmākie sasniegumi konisko griezumu teorijā ir saistīti ar radīšanu 17. gadsimtā. jaunas ģeometriskās metodes: projektīvās (franču matemātiķi J. Desargs, B. Paskāls) un īpaši koordinātiskās (franču matemātiķi R. Dekarts, P. Fermā).

Interesi par konusveida griezumiem vienmēr ir veicinājis fakts, ka šīs līknes bieži sastopamas dažādās dabas parādībās un cilvēka darbībā. Zinātnē īpašu nozīmi konusveida griezumi ieguva pēc tam, kad vācu astronoms I. Keplers atklāja no novērojumiem, un angļu zinātnieks I. Ņūtons teorētiski pamatoja planētu kustības likumus, no kuriem viens apgalvo, ka Saules sistēmas planētas un komētas pārvietojas pa konusu. sadaļas, vienā no kuras perēkļiem ir Saule. Sekojošie piemēri attiecas uz noteiktiem konisku griezumu veidiem: lādiņš vai akmens, kas izmests slīpi pret horizontu, raksturo parabolu (pareizo izliekuma formu nedaudz izkropļo gaisa pretestība); dažos mehānismos tiek izmantoti eliptiskie zobrati (“eliptiskais zobrats”); hiperbola kalpo kā dabā bieži novērotās apgrieztās proporcionalitātes grafiks (piemēram, Boila-Mariota likums).

Mērķis:

Konisko griezumu teorijas izpēte.

Pētījuma tēma:

Konusveida sekcijas.

Pētījuma mērķis:

Teorētiski izpētiet konisko griezumu iezīmes.

Pētījuma objekts:

Konusveida sekcijas.

Studiju priekšmets:

Konisko griezumu vēsturiskā attīstība.

1. Konisko griezumu veidošana un to veidi

Konusveida sekcijas ir līnijas, kas veidojas taisnā apļveida konusa griezumā ar dažādām plaknēm.

Ņemiet vērā, ka koniska virsma ir virsma, ko veido taisnas līnijas kustība, kas visu laiku iet caur fiksētu punktu (konusa augšdaļa) un visu laiku šķērso fiksētu līkni - vadotni (mūsu gadījumā apli). ).

Klasificējot šīs līnijas pēc sekantu plakņu atrašanās vietas attiecībā pret konusa ģeneratoriem, tiek iegūtas trīs veidu līknes:

I. Līknes, ko veido konusa posms plaknēs, kas nav paralēlas nevienam no ģeneratoriem. Šādas līknes būs dažādi apļi un elipses. Šīs līknes sauc par eliptiskām līknēm.

II. Līknes, ko veido konusa posms pa plaknēm, no kurām katra ir paralēla kādai no konusa ģenerātrijām (1.b att.). Šādas līknes būs tikai parabolas.

III. Līknes, ko veido konusa posms pa plaknēm, no kurām katra ir paralēla kādiem diviem ģeneratoriem (1.c att.). šādas līknes būs hiperbolas.

Vairs nevar būt IV tipa līknes, jo nevar būt plakne, kas ir paralēla trim konusa ģeneratoriem vienlaikus, jo paši trīs konusa ģeneratori neatrodas vienā plaknē.

Ņemiet vērā, ka konusu var krustot ar plaknēm un tā, lai griezumā iegūtu divas taisnes. Lai to izdarītu, cauri konusa augšdaļai ir jāizvelk sekanta plaknes.

2. Elipse

Konisko griezumu īpašību izpētei ir svarīgas divas teorēmas:

Teorēma 1. Dots taisns riņķveida konuss, kas ir sadalīts ar plaknēm b 1, b 2, b 3, kas ir perpendikulāras tā asij. Tad visi konusa ģeneratoru segmenti starp jebkuru apļu pāri (iegūti griezumā ar dotajām plaknēm) ir vienādi viens ar otru, t.i. A 1 B 1 \u003d A 2 B 2 \u003d utt. un B 1 C 1 \u003d B 2 C 2 \u003d utt. Teorēma 2. Ja dota sfēriska virsma un kāds punkts S atrodas ārpus tās, tad no punkta S uz sfērisku virsmu novilktie pieskares segmenti būs viens ar otru vienādi, t.i. SA 1 = SA 2 = SA 3 utt.

2.1. Elipses pamatīpašība

Izgriežam taisnu riņķveida konusu ar plakni, kas krusto visus tā ģeneratorus.Sadaļā iegūstam elipsi. Nozīmēsim plakni, kas ir perpendikulāra plaknei caur konusa asi.

Mēs ierakstām divas bumbiņas konusā tā, lai, atrodoties plaknes pretējās pusēs un pieskaroties koniskajai virsmai, katra no tām kādā brīdī pieskaras plaknei.

Ļaujiet vienai bumbiņai pieskarties plaknei punktā F 1 un pieskarties konusam pa apli C 1, bet otrai punktā F 2 un pieskarties konusam pa apli C 2 .

Paņemiet patvaļīgu punktu P uz elipses.

Tas nozīmē, ka visi par to izdarītie secinājumi būs derīgi jebkuram elipses punktam. Uzzīmēsim konusa VAI ģenerātoru un atzīmēsim punktus R 1 un R 2, kuros tas pieskaras konstruētajām bumbiņām.

Savienojiet punktu P ar punktiem F 1 un F 2 . Tad PF 1 = PR 1 un PF 2 = PR 2, jo PF 1, PR 1 ir pieskares, kas novilktas no punkta P vienai lodei, un PF 2, PR 2 ir pieskares, kas novilktas no punkta P citai lodei (2. teorēma) . Saskaitot abas vienādības pēc termiņa, mēs atrodam

PF 1 + PF 2 = PR 1 + PR 2 = R 1 R 2 (1)

Šī sakarība parāda, ka elipses patvaļīga punkta P attālumu summa (РF 1 un РF 2) līdz diviem punktiem F 1 un F 2 ir šīs elipses nemainīgā vērtība (tas ir, tā nav atkarīga no atrašanās vietas no punkta P uz elipses).

Punktus F 1 un F 2 sauc par elipses perēkļiem. Punktus, kuros taisne F 1 F 2 krustojas ar elipsi, sauc par elipses virsotnēm. Segmentu starp virsotnēm sauc par elipses galveno asi.

Ģeneratrix R 1 R 2 segments garumā ir vienāds ar elipses galveno asi. Tad elipses galvenā īpašība tiek formulēta šādi: elipses patvaļīga punkta P attālumu summa līdz tās perēkļiem F 1 un F 2 ir šīs elipses nemainīgā vērtība, kas vienāda ar tās galvenās ass garumu.

Ievērojiet, ja elipses perēkļi sakrīt, tad elipse ir aplis, t.i. aplis ir īpašs elipses gadījums.

2.2 Elipses vienādojums

Lai uzrakstītu elipses vienādojumu, elipse ir jāuzskata par to punktu lokusu, kuriem ir kāda īpašība, kas raksturo šo lokusu. Ņemsim par elipses definīciju galveno īpašību: Elipse ir plaknes punktu lokuss, kuram attālumu summa līdz diviem fiksētiem šīs plaknes punktiem F 1 un F 2, ko sauc par fokusiem, ir nemainīga vērtība, kas vienāda ar tās galvenās ass garums.

Ļaujiet segmenta garumam F 1 F 2 \u003d 2c, un galvenās ass garums ir 2a. Lai iegūtu elipses kanonisko vienādojumu, nogriežņa F 1 F 2 vidū izvēlamies Dekarta koordinātu sistēmas sākumpunktu O un virzām asis Ox un Oy, kā parādīts 5. attēlā. (Ja perēkļi sakrīt, tad O sakrīt ar F 1 un F 2, un aiz ass Ox var uzskatīt par jebkuru asi, kas iet caur O). Tad izvēlētajā koordinātu sistēmā punkti F 1 (c, 0) un F 2 (-c, 0). Acīmredzot 2a > 2c, t.i. a>c. Pieņemsim, ka M(x, y) ir elipsei piederošās plaknes punkts. Pieņemsim, ka МF 1 =r 1 , МF 2 =r 2 . Saskaņā ar elipses definīciju, vienlīdzība

r 1 +r 2 =2a (2) ir nepieciešams un pietiekams nosacījums punkta M (x, y) atrašanās vietai uz dotās elipses. Izmantojot formulu attālumam starp diviem punktiem, mēs iegūstam

r 1 =, r 2 =. Atgriezīsimies pie vienlīdzības (2):

Pārvietosim vienu sakni uz vienādības labo pusi un kvadrātā:

Samazinot, mēs iegūstam:

Mēs dodam līdzīgus, samazinām par 4 un izolējam radikāli:

Mēs kvadrātā

Atveriet iekavas un saīsiniet līdz:

no kurienes mēs iegūstam:

(a 2 -c 2) x 2 + a 2 y 2 \u003d a 2 (a 2 - c 2). (3)

Ņemiet vērā, ka a 2 -c 2 >0. Patiešām, r 1 + r 2 ir trijstūra F 1 MF 2 divu malu summa, un F 1 F 2 ir tā trešā mala. Tāpēc r 1 +r 2 > F 1 F 2, vai 2а>2с, t.i. a>c. Apzīmējiet a 2 -c 2 \u003d b 2. Vienādojums (3) izskatīsies šādi: b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 . Veiksim transformāciju, kas ienes elipses vienādojumu kanoniskajā (burtiski: ņemts par paraugu) formā, proti, abas vienādojuma daļas sadalām ar a 2 b 2:

(4) - elipses kanoniskais vienādojums.

Tā kā (4) vienādojums ir (2*) vienādojuma algebriskas sekas, tad jebkura elipses punkta M x un y koordinātas apmierinās arī (4) vienādojumu. Tā kā algebrisko transformāciju laikā, kas saistītas ar atbrīvošanos no radikāļiem, var parādīties “papildus saknes”, ir jāpārliecinās, ka uz šīs elipses atrodas jebkurš punkts M, kura koordinātes atbilst vienādojumu (4). Lai to izdarītu, pietiek pierādīt, ka lielumi r 1 un r 2 katram punktam apmierina sakarību (2). Tātad, ļaujiet punkta M x un y koordinātām izpildīt vienādojumu (4). Aizvietojot y 2 vērtību no (4) izteiksmē r 1 , pēc vienkāršām transformācijām mēs atklājam, ka r 1 =. Kopš, tad r 1 =. Gluži līdzīgi mēs atklājam, ka r 2 =. Tādējādi aplūkotajam punktam M r 1 =, r 2 =, t.i. r 1 + r 2 \u003d 2a, tāpēc punkts M atrodas uz elipses. Lielumus a un b sauc attiecīgi par elipses lielo un mazo pusasi.

2.3 Elipses formas izpēte pēc tās vienādojuma

Noteiksim elipses formu, izmantojot tās kanonisko vienādojumu.

1. (4) vienādojums satur x un y tikai pāra pakāpēs, tātad, ja punkts (x, y) pieder elipsei, tad punkti (x, - y), (-x, y), (-x, - y). No tā izriet, ka elipse ir simetriska pret asīm Ox un Oy, kā arī pret punktu O (0,0), ko sauc par elipses centru.

2. Atrodiet elipses krustošanās punktus ar koordinātu asīm. Ieliekot y \u003d 0, mēs atrodam divus punktus A 1 (a, 0) un A 2 (-a, 0), kuros Vērša ass krustojas ar elipsi. Ievietojot (4) vienādojumā x=0, atrodam elipses krustošanās punktus ar Oy asi: B 1 (0, b) un. B 2 (0, - b) Punktus A 1 , A 2 , B 1 , B 2 sauc par elipses virsotnēm.

3. No (4) vienādojuma izriet, ka katrs vārds kreisajā pusē nepārsniedz vienību, t.i. ir nevienlīdzības un vai un. Tāpēc visi elipses punkti atrodas taisnstūrī, ko veido taisnas līnijas, .

4. (4) vienādojumā nenegatīvo vārdu un summa ir vienāda ar vienu. Tāpēc, vienam termiņam palielinoties, otram samazināsies, t.i. Ja x palielinās, tad y samazinās un otrādi.

No teiktā izriet, ka elipsei ir tāda forma, kā parādīts attēlā. 6 (ovāla slēgta līkne).

Ņemiet vērā, ka, ja a = b, tad (4) vienādojums būs x 2 + y 2 = a 2 . Šis ir apļa vienādojums. Elipsi var iegūt no apļa ar rādiusu a, ja to vienreiz saspiež pa Oy asi. Ar šādu kontrakciju punkts (x; y) nonāks punktā (x; y 1), kur. Aizvietojot apli vienādojumā, iegūstam elipses vienādojumu: .

Ieviesīsim vēl vienu lielumu, kas raksturo elipses formu.

Elipses ekscentriskums ir fokusa attāluma 2c attiecība pret tās galvenās ass garumu 2a.

Ekscentriskumu parasti apzīmē ar e: e = Kopš c< a, то. Заметив, что c 2 = a 2 - b 2 , находим: , отсюда.

No pēdējās vienādības ir viegli iegūt elipses ekscentricitātes ģeometrisku interpretāciju. Ļoti maziem skaitļiem a un b ir gandrīz vienādi, tas ir, elipse ir tuvu aplim. Ja tas ir tuvu vienotībai, tad skaitlis b ir ļoti mazs, salīdzinot ar skaitli a, un elipse ir stipri izstiepta gar galveno asi. Tādējādi elipses ekscentriskums raksturo elipses pagarinājuma mēru.

3. Hiperbola

3.1 Hiperbolas galvenā īpašība

Izpētot hiperbolu ar konstrukcijām, kas līdzīgas elipses izpētei veiktajām konstrukcijām, mēs atklājam, ka hiperbolai ir līdzīgas īpašības kā elipsei.

Nogriezīsim taisnu riņķveida konusu ar plakni b, kas krusto abas tā plaknes, t.i. paralēli diviem tā ģeneratoriem. Šķērsgriezums ir hiperbola. Novelkam caur konusa asi ST plakni ASB, kas ir perpendikulāra plaknei b.

Ieraksim konusā divas bumbiņas - vienu vienā tā dobumā, otru otrā tā, lai katra no tām pieskartos koniskajai virsmai un sekances plaknei. Ļaujiet pirmajai bumbiņai pieskarties plaknei b punktā F 1 un pieskarties koniskajai virsmai gar apli UґVґ. Ļaujiet otrajai bumbiņai pieskarties plaknei b punktā F 2 un pieskarties koniskajai virsmai gar apli UV.

Uz hiperbolas izvēlamies patvaļīgu punktu M. Izvelkam caur to konusa MS ģenerātoru un atzīmēsim punktus d un D, ​​kuros tas pieskaras pirmajai un otrajai lodei. Punktu M savienojam ar punktiem F 1 , F 2 , kurus sauksim par hiperbolas fokusiem. Tad MF 1 =Md, jo abi posmi ir pieskares pirmajai lodei, kas novilkta no punkta M. Tāpat MF 2 =MD. Atskaitot terminu pa vārdam no pirmās vienādības otrās, mēs atrodam

MF 1 -MF 2 \u003d Md-MD \u003d dD,

kur dD ir nemainīga vērtība (kā konusa ģenerātors ar bāzēm UґVґ un UV), neatkarīgi no hiperbolas punkta M izvēles. Ar P un Q apzīmē punktus, kuros taisne F 1 F 2 krustojas ar hiperbolu. Šos punktus P un Q sauc par hiperbolas virsotnēm. Segmentu PQ sauc par hiperbolas reālo asi. Elementārās ģeometrijas gaitā ir pierādīts, ka dD=PQ. Tāpēc MF 1 -MF 2 =PQ.

Ja punkts M atradīsies tajā hiperbolas atzarā, kura tuvumā atrodas fokuss F 1, tad MF 2 -MF 1 =PQ. Tad beidzot iegūstam МF 1 -MF 2 =PQ.

Atšķirības modulis starp patvaļīga hiperbolas punkta M attālumiem no tā perēkļiem F 1 un F 2 ir nemainīga vērtība, kas vienāda ar hiperbolas reālās ass garumu.

3.2. Hiperbolas vienādojums

Ņemsim par hiperbolas definīciju galveno īpašību: Hiperbola ir punktu lokuss plaknē, kuram attālumu starpības modulis līdz diviem fiksētiem šīs plaknes punktiem F 1 un F 2, ko sauc par fokusiem, ir konstante. vērtība ir vienāda ar tās reālās ass garumu.

Ļaujiet segmenta garumam F 1 F 2 \u003d 2c, un reālās ass garums ir 2a. Lai atvasinātu hiperbolas kanonisko vienādojumu, nogriežņa F 1 F 2 vidū izvēlamies Dekarta koordinātu sistēmas sākumpunktu O un virzām asis Ox un Oy, kā parādīts 5. attēlā. Pēc tam izvēlētajā koordinātu sistēmā punkti F 1 (c, 0) un F 2 (-s, 0). Acīmredzot 2a<2с, т.е. а<с. Пусть М (х, у) - точка плоскости, принадлежащая гиперболе. Пусть МF 1 =r 1 , МF 2 =r 2 . Согласно определению гиперболы равенство

r 1 -r 2 \u003d 2a (5) ir nepieciešams un pietiekams nosacījums punkta M (x, y) atrašanās vietai uz šīs hiperbolas. Izmantojot formulu attālumam starp diviem punktiem, mēs iegūstam

r 1 =, r 2 =. Atgriezīsimies pie vienlīdzības (5):

Kvadrātēsim abas vienādojuma puses

(x + s) 2 + y 2 \u003d 4a 2 ± 4a + (x-c) 2 + y 2

Samazinot, mēs iegūstam:

2 хс=4а 2 ±4а-2 хс

±4a=4a 2 -4 xs

a 2 x 2 -2a 2 xc + a 2 c 2 + a 2 y 2 \u003d a 4 -2a 2 xc + x 2 c 2

x 2 (c 2 -a 2) - a 2 y 2 \u003d a 2 (c 2 -a 2) (6)

Ņemiet vērā, ka c 2 -a 2 >0. Apzīmē c 2 -a 2 =b 2 . (6) vienādojums izskatīsies šādi: b 2 x 2 -a 2 y 2 =a 2 b 2 . Veicam transformāciju, kas hiperbolas vienādojumu nogādā kanoniskā formā, proti, abas vienādojuma daļas sadalām ar a 2 b 2: (7) - hiperbolas kanoniskais vienādojums, lielumi a un b ir attiecīgi hiperbolas reālās un iedomātās pusass.

Jāpārliecinās, ka vienādojums (7), kas iegūts ar vienādojuma (5*) algebriskām transformācijām, nav ieguvis jaunas saknes. Lai to izdarītu, pietiek pierādīt, ka katram punktam M, kura koordinātas x un y atbilst (7) vienādojumam, vērtības r 1 un r 2 apmierina sakarību (5). Veicot argumentus, kas ir līdzīgi tiem, kas tika izteikti, atvasinot elipses formulu, mēs atrodam šādas izteiksmes r 1 un r 2:

Tādējādi aplūkotajam punktam M mums ir r 1 -r 2 =2a, un tāpēc tas atrodas uz hiperbolas.

3.3. Hiperbolas vienādojuma izpēte

Tagad mēģināsim, pamatojoties uz (7) vienādojumu, lai iegūtu priekšstatu par hiperbolas atrašanās vietu.
1. Pirmkārt, vienādojums (7) parāda, ka hiperbola ir simetriska pret abām asīm. Tas izskaidrojams ar to, ka līknes vienādojumā ir iekļautas tikai pāra koordinātu pakāpes. 2. Tagad mēs atzīmējam plaknes apgabalu, kurā atradīsies līkne. Hiperbolas vienādojumam, kas atrisināts attiecībā pret y, ir šāda forma:

Tas parāda, ka y vienmēr pastāv, kad x 2? a 2. Tas nozīmē, ka x? a un x? - un y-ordināta būs reāla, un - a

Turklāt, palielinoties x (un lielākam a), arī y-ordināta visu laiku pieaugs (jo īpaši no tā var redzēt, ka līkne nevar būt viļņota, t.i., tāda, ka, palielinoties x abscisai, y-ordināta vai nu palielinās, vai samazinās) .

3. Hiperbolas centrs ir punkts, attiecībā pret kuru katram hiperbolas punktam ir simetrisks punkts sev. Punkts O(0,0), sākuma punkts, tāpat kā elipsei, ir kanoniskā vienādojuma dotās hiperbolas centrs. Tas nozīmē, ka katram hiperbolas punktam ir simetrisks punkts uz hiperbolas attiecībā pret punktu O. Tas izriet no hiperbolas simetrijas attiecībā pret asīm Ox un Oy. Jebkuru hiperbolas hordu, kas iet caur tās centru, sauc par hiperbolas diametru.

4. Hiperbolas krustošanās punktus ar taisni, uz kuras atrodas tās perēkļi, sauc par hiperbolas virsotnēm, bet nogriežņu starp tiem sauc par hiperbolas reālo asi. Šajā gadījumā reālā ass ir x ass. Ņemiet vērā, ka hiperbolas reālo asi bieži sauc gan par segmentu 2a, gan pašu taisni (Vērša asi), uz kuras tā atrodas.

Atrodiet hiperbolas krustošanās punktus ar Oy asi. Y-ass vienādojums ir x=0. Aizvietojot x = 0 vienādojumā (7), mēs iegūstam, ka hiperbolai nav krustošanās punktu ar Oy asi. Tas ir saprotams, jo 2a platuma joslā, kas aptver Oy asi, nav hiperbolu punktu.

Līniju, kas ir perpendikulāra hiperbolas reālajai asij un iet caur tās centru, sauc par hiperbolas iedomāto asi. Šajā gadījumā tas sakrīt ar y asi. Tātad terminu saucējos ar x 2 un y 2 hiperbolas vienādojumā (7) ir hiperbolas reālās un iedomātās pusass kvadrāti.

5. Hiperbola šķērso taisni y = kx k< в двух точках. Если k то общих точек у прямой и гиперболы нет.

Pierādījums

Lai noteiktu hiperbolas un taisnes y = kx krustošanās punktu koordinātas, ir jāatrisina vienādojumu sistēma

Likvidējot y, mēs saņemam

vai Ja b 2 -k 2 a 2 0, tas ir, k, iegūtā vienādojuma un līdz ar to arī risinājumu sistēmas nav.

Taisnes līnijas ar vienādojumu y= un y= - sauc par hiperbolas asimptotēm.

B 2 -k 2 a 2 >0, tas ir, k< система имеет два решения:

Tāpēc katra taisne, kas iet caur izcelsmi, ar slīpumu k< пересекает гиперболу в двух точках. При k = 0 получаем точки пересечения (a; 0) и (- a; 0) - вершины гиперболы.

6. Hiperbolas optiskā īpašība: optiskie stari, kas izplūst no viena hiperbolas fokusa un atspoguļojas no tā, šķiet, izplūst no otrā fokusa.

Hiperbolas ekscentriskums ir fokusa attāluma 2c attiecība pret tās reālās ass garumu 2a?
tie. no tās ieliekuma puses.

3.4. Konjugētā hiperbola

Kopā ar hiperbolu (7) tiek aplūkota tā sauktā konjugētā hiperbola attiecībā pret to. Konjugētā hiperbola tiek definēta ar kanonisko vienādojumu.

Uz att. 10 parādīta hiperbola (7) un tās konjugētā hiperbola. Konjugātajai hiperbolai ir tādas pašas asimptotes kā dotajai, bet F 1 (0, c),

4. Parabola

4.1. Parabolas pamatīpašība

Noskaidrosim parabolas pamatīpašības. Nogriezīsim taisnu riņķveida konusu ar virsotni S pa plakni, kas ir paralēla vienam no tā ģeneratoriem. Sadaļā mēs iegūstam parabolu. Novelkam caur konusa asi ST plaknei perpendikulāri plakni ASB (11. att.). Tajā esošais ģenerārijs SA būs paralēls plaknei. Ieraksim konusā sfērisku virsmu, kas pieskaras konusam gar apli UV un pieskaras plaknei punktā F. Novelciet līniju caur punktu F paralēli ģeneratoram SA. Tā krustošanās punktu ar ģenerātoru SB apzīmē ar P. Punktu F sauc par parabolas fokusu, punktu P sauc par tā virsotni un taisni PF, kas iet caur virsotni un fokusu (un paralēli ģenerātoram SA ) sauc par parabolas asi. Parabolai nebūs otrās virsotnes - PF ass krustošanās punkta ar ģenerātoru SA: šis punkts "iet uz bezgalību". Sauksim par virzienu (tulkojumā nozīmē "vadītājs") plaknes krustpunkta līniju q 1 q 2 ar plakni, kurā atrodas aplis UV. Paņemiet parabolas patvaļīgu punktu M un savienojiet to ar konusa S virsotni. Taisne MS pieskaras bumbiņai punktā D, kas atrodas uz apļa UV. Mēs savienojam punktu M ar fokusu F un nolaižam perpendikulāru MK no punkta M uz virzienu. Tad izrādās, ka parabolas patvaļīga punkta M attālumi līdz fokusam (MF) un virzienam (MK) ir vienādi viens ar otru (parabolas galvenā īpašība), t.i. MF=MK.

Pierādījums: МF=MD (kā bumbiņas pieskares no viena punkta). Leņķi starp jebkuru no konusa ģenerātiem un ST asi apzīmēsim kā q. Projicēsim segmentus MD un MK uz ST asi. Segments MD veido projekciju uz ST asi, kas vienāda ar MDcosc, jo MD atrodas uz konusa ģenerātora; segments MK veido projekciju uz ST asi, kas vienāda ar MKsoc, jo segments MK ir paralēls ģeneratoram SA. (Tiešām, virziens q 1 q 1 ir perpendikulārs plaknei ASB. Tāpēc taisne PF krusto virzienu punktā L taisnā leņķī. Taču taisnes MK un PF atrodas vienā plaknē, un arī MK ir perpendikulāra uz virzienu). Abu segmentu MK un MD projekcijas uz ST asi ir vienādas, jo viens no to galiem - punkts M - ir kopīgs, bet pārējie divi D un K atrodas plaknē, kas ir perpendikulāra ST asij (att. ). Tad МDcosц= MKsоsц vai МD= MK. Tāpēc MF=MK.

1. īpašums.(Parabolas fokusa īpašība).

Attālums no jebkura parabolas punkta līdz galvenā akorda vidum ir vienāds ar tā attālumu līdz virzienam.

Pierādījums.

Punkts F - līnijas QR un galvenā akorda krustošanās punkts. Šis punkts atrodas uz simetrijas ass Oy. Patiešām, trīsstūri RNQ un ROF ir kongruenti, tāpat kā taisnleņķa trijstūri

trīsstūri ar agrīnām kājām (NQ=OF, OR=RN). Tāpēc neatkarīgi no tā, kādu punktu N mēs ņemtu, gar to konstruētā taisne QR krustos galveno hordu tās vidū. Tagad ir skaidrs, ka trīsstūris FMQ ir vienādsānu. Patiešām, segments MR ir gan šī trīsstūra mediāna, gan augstums. Tas nozīmē, ka MF=MQ.

2. īpašums.(Parabolas optiskā īpašība).

Jebkura parabolas pieskare veido vienādus leņķus ar fokusa rādiusu, kas novilkts uz pieskares punktu, un staru, kas nāk no pieskares punkta un ir vērsts kopā ar asi (vai stari, kas iznāk no viena fokusa, atstarojoties no parabolas, aiziet paralēli asij).

Pierādījums. Punktam N, kas atrodas uz pašas parabolas, ir taisnība |FN|=|NH|, bet punktam N", kas atrodas parabolas iekšējā apgabalā, |FN"|<|N"H"|. Если теперь провести биссектрису l угла FМК, то для любой отличной от М точки M" прямой l найдём:

|FM"|=|M"K"|>|M"K"|, tas ir, punkts M atrodas parabolas ārējā apgabalā. Tātad visa taisne l, izņemot punktu M, atrodas ārējā apgabalā, tas ir, parabolas iekšējais apgabals atrodas vienā pusē no l, kas nozīmē, ka l ir pieskares parabolai. Tas pierāda parabolas optisko īpašību: leņķis 1 ir vienāds ar leņķi 2, jo l ir leņķa FMK bisektrise.

4.2. Parabolas vienādojums

Pamatojoties uz parabolas galveno īpašību, mēs formulējam tās definīciju: parabola ir visu plaknes punktu kopa, no kuriem katrs atrodas vienādā attālumā no noteiktā punkta, ko sauc par fokusu, un no noteiktas taisnes, ko sauc par virzienu. . Attālumu no fokusa F līdz virzienam sauc par parabolas parametru un apzīmē ar p (p > 0).

Lai iegūtu parabolas vienādojumu, mēs izvēlamies Oxy koordinātu sistēmu tā, lai Ox ass iet caur fokusu F perpendikulāri virzienam virzienā no virziena uz F, un izcelsme O atrodas vidū starp fokusu un virzienu. (12. att.). Izvēlētajā sistēmā fokuss ir F(, 0), un virziena vienādojumam ir forma x=- vai x+=0. Lai m (x, y) ir patvaļīgs parabolas punkts. Savienojiet punktu M ar F. Uzzīmējiet nogriezni MH perpendikulāri virzienam. Saskaņā ar parabolas definīciju MF = MH. Izmantojot formulu attālumam starp diviem punktiem, mēs atrodam:

Tāpēc, sadalot abas vienādojuma puses kvadrātā, mēs iegūstam

tie. (8) Vienādojumu (8) sauc par parabolas kanonisko vienādojumu.

4.3. Parabolas formu izpēte pēc tās vienādojuma

1. (8) vienādojumā mainīgais y ir iekļauts pāra pakāpē, kas nozīmē, ka parabola ir simetriska ap Vērša asi; x ass ir parabolas simetrijas ass.

2. Tā kā c > 0, no (8) izriet, ka x>0. Tāpēc parabola atrodas pa labi no y ass.

3. Ļaujiet x \u003d 0, tad y \u003d 0. Tāpēc parabola iet caur izcelsmi.

4. Neierobežoti palielinot x, arī modulis y bezgalīgi palielinās. Parabolai y 2 \u003d 2 px ir tāda forma (forma), kas parādīta 13. attēlā. Punktu O (0; 0) sauc par parabolas virsotni, segmentu FM \u003d r sauc par punkta M fokusa rādiusu. . Vienādojumi y 2 \u003d -2 px, x 2 \u003d - 2 py, x 2 =2 py (p>0) arī definē parabolas.

1.5. Konisko sekciju direktorija īpašums .

Šeit mēs pierādam, ka katru neapļveida (nedeģenerētu) konusa griezumu var definēt kā punktu kopu M, kuras attāluma MF no fiksēta punkta F attiecība pret attālumu MP no fiksētas līnijas d, kas neiet cauri. punkts F ir vienāds ar nemainīgu vērtību e: kur F - konusveida sekcijas fokuss, taisne d ir virziens, un attiecība e ir ekscentriskums. (Ja punkts F pieder pie taisnes d, tad nosacījums nosaka punktu kopu, kas ir līniju pāris, t.i., deģenerēts konusa griezums; ja e = 1, šis līniju pāris saplūst vienā taisnē. Lai pierādītu ņem vērā konusu, ko veido taisnes l rotācija ap punktu, kas to šķērso taisnes p punktā O, kas ar l veido leņķi b< 90є; пусть плоскость р не проходит через вершину конуса и образует с его осью p угол в < 90є (если в = 90є, то плоскость р пересекает конус по окружности).

Ieraksim bumbiņu K konusā, kas skar plakni p punktā F un pieskaras konusam gar apli S. Plaknes p krustošanās līniju ar apļa S plakni y apzīmējam ar d.

Tagad savienosim patvaļīgu punktu M, kas atrodas uz plaknes p un konusa krustpunkta taisnes A, ar konusa virsotni O un ar punktu F, un nometīsim perpendikulāru MP no M uz taisni d; ar E apzīmē arī konusa ģeneratora MO krustpunktu ar apli S.

Turklāt MF = ME kā divu lodītes K pieskares segmenti, kas novilkti no viena punkta M.

Tālāk nogrieznis ME ar konusa asi p veido nemainīgu (t.i., neatkarīgi no punkta M izvēles) leņķi 6, bet segments MP – konstantu leņķi β; tāpēc šo divu segmentu projekcijas uz p asi ir attiecīgi vienādas ar ME cos b un MP cos c.

Taču šīs projekcijas sakrīt, jo segmentiem ME un MP ir kopīga izcelsme M, un to gali atrodas y plaknē, kas ir perpendikulāra p asij.

Tāpēc ME cos b = MP cos c vai, tā kā ME = MF, MF cos b = MP cos c, no kā izriet, ka

Ir arī viegli parādīt, ka, ja plaknes p punkts M nepieder pie konusa, tad. Tādējādi katru taisnā riņķveida konusa posmu var aprakstīt kā plaknes punktu kopu, kurai. Savukārt, mainot leņķu b un c vērtības, ekscentriskumam varam piešķirt jebkuru vērtību e > 0; Turklāt, ņemot vērā līdzības apsvērumus, nav grūti saprast, ka attālums FQ no fokusa līdz virzienam ir tieši proporcionāls lodes K rādiusam r (vai plaknes p attālumam d no virsotnes O. konuss). Var parādīt, ka, attiecīgi izvēloties attālumu d, attālumam FQ varam piešķirt jebkuru vērtību. Tāpēc katru punktu kopu M, kurai attālumu attiecībai no M līdz fiksētam punktam F un līdz fiksētai līnijai d ir nemainīga vērtība, var aprakstīt kā līkni, kas iegūta taisna riņķa konusa griezumā ar lidmašīna. Tas pierāda, ka (nedeģenerētas) konusveida sekcijas var definēt arī ar šajā apakšnodaļā apskatīto īpašību.

Šo konisko sekciju īpašību sauc par tām direktorija īpašums. Skaidrs, ka ja c > b, tad e< 1; если в = б, то е = 1; наконец, если в < б, то е >1. No otras puses, ir viegli redzēt, ka, ja s > 6, tad plakne p šķērso konusu pa slēgtu ierobežotu līniju; ja c = b, tad plakne p šķērso konusu pa neierobežotu taisni; ja iekšā< б, то плоскость р пересекает обе полы конуса и, следовательно, линия пересечения этой плоскости и конуса состоит из двух (неограниченных) частей или ветвей (рис. 17).

Koniskā daļa, kurai e< 1, называется эллипсом; коническое сечение с эксцентриситетом е = 1 называется параболой; коническое сечение, для которого е >1 sauc par hiperbolu. Elipses ietver arī apli, ko nevar norādīt ar direktorija rekvizītu; tā kā aplim attiecība kļūst par 0 (jo šajā gadījumā β \u003d 90º), tad nosacīti tiek uzskatīts, ka aplis ir konusa griezums ar ekscentricitāti 0.

6. Elipse, hiperbola un parabola kā konusa griezumi

koniska griezuma elipses hiperbola

Sengrieķu matemātiķis Menehms, kurš atklāja elipsi, hiperbolu un parabolu, tos definēja kā riņķveida konusa posmus plaknē, kas ir perpendikulāra vienam no ģeneratoriem. Viņš nosauca iegūtās līknes par akūtu leņķu, taisnstūrveida un neasu leņķu konusu sekcijām atkarībā no konusa aksiālā leņķa. Pirmā, kā redzēsim tālāk, ir elipse, otrā ir parabola, trešā ir viena hiperbolas atzara. Nosaukumus "elipse", "hiperbola" un "parabola" ieviesa Apollonijs. Gandrīz pilnībā (7 no 8 grāmatām) pie mums ir nonācis Apollonija darbs "Par konusveida griezumiem". Šajā darbā Apolonijs aplūko abus konusa stāvus un šķērso konusu ar plaknēm, kas ne vienmēr ir perpendikulāras vienam no ģeneratoriem.

Teorēma. Jebkura taisna riņķveida konusa griezums pa plakni (neiziet cauri tās virsotnei) nosaka līkni, kas var būt tikai hiperbola (4. att.), parabola (5. att.) vai elipse (6. att.). Turklāt, ja plakne šķērso tikai vienu konusa plakni un pa slēgtu līkni, tad šī līkne ir elipse; ja plakne pa atvērtu līkni krusto tikai vienu plakni, tad šī līkne ir parabola; ja griešanas plakne krusto abas konusa plaknes, tad griezumā veidojas hiperbola.

Elegantu šīs teorēmas pierādījumu 1822. gadā piedāvāja Dandelins, izmantojot sfēras, kuras tagad sauc par Dandelina sfērām. Apskatīsim šo pierādījumu.

Ieraksim konusā divas sfēras, kas no dažādām pusēm pieskaras griezuma П plaknei. Ar F1 un F2 apzīmē šīs plaknes un sfēru saskares punktus. Ņemsim patvaļīgu punktu M konusa griezuma taisnē ar plakni P. Uz konusa ģenerātora, kas iet caur M, atzīmējam punktus P1 un P2, kas atrodas uz riņķa k1 un k2, pa kuriem sfēras pieskaras konuss.

Ir skaidrs, ka MF1=MP1 kā divu pieskares segmenti pirmajai sfērai, kas iziet no M; līdzīgi, MF2=MP2. Tāpēc MF1+MF2=MP1+MP2=P1P2. Nozares P1P2 garums ir vienāds visiem mūsu posma punktiem M: tas ir nošķelta konusa ģenerātors, ko ierobežo paralēlas plaknes 1 un 11, kurā atrodas apļi k1 un k2. Tāpēc konusa griezuma līnija pēc plaknes P ir elipse ar perēkļiem F1 un F2. Šīs teorēmas pamatotību var noteikt arī, pamatojoties uz vispārējo nostāju, ka otrās kārtas virsmas krustojums ar plakni ir otrās kārtas taisne.

Literatūra

1. Atanasjans L.S., Baziļevs V.T. Ģeometrija. 2 stundās.1.daļa.Mācību grāmata fizikas un matemātikas studentiem. ped. biedrs-M.: Apgaismība, 1986.

2. Baziļevs V.T. utt Ģeometrija. Proc. pabalsts fizikas 1.kursa studentiem. - paklājs. fakti ped. iekšā. - biedrs-M .: Izglītība, 1974.

3. Pogorelovs A.V. Ģeometrija. Proc. 7-11 šūnām. vid. skola - 4. izd.-M.: Apgaismība, 1993. gads.

4. Matemātikas vēsture no seniem laikiem līdz 19. gadsimta sākumam. Juškevičs A.P. - M.: Nauka, 1970. gads.

5. Boltjanskis V.G. Elipses, hiperbolas un parabolas optiskās īpašības. // Kvants. - 1975. - 12.nr. - Ar. 19-23.

6. Efremovs N.V. Īss analītiskās ģeometrijas kurss. - M: Nauka, 6. izdevums, 1967. - 267 lpp.

Līdzīgi dokumenti

Konisko griezumu jēdziens. Konusveida sekcijas - plakņu un konusu krustojumi. Konisko griezumu veidi. Konisko sekciju konstrukcija. Koniskā daļa ir to punktu lokuss, kas atbilst otrās kārtas vienādojumam.

anotācija, pievienota 05.10.2008


Apollonija "konusa griezumi". Taisnstūra apgriezienu konusa griezuma līknes vienādojuma atvasināšana. Parabolas, elipses un hiperbolas vienādojuma atvasināšana. Konisko griezumu nemainība. Konisko griezumu teorijas tālāka attīstība Apollonija darbos.

abstrakts, pievienots 02.04.2010


Jēdziens un vēsturiskā informācija par konusu, tā elementu īpašībām. Konusa veidošanās iezīmes un konisko sekciju veidi. Dandelīnas sfēras uzbūve un tās parametri. Konisko griezumu īpašību pielietojums. Konusa virsmu laukumu aprēķini.

prezentācija, pievienota 04.08.2012


Līknes matemātiskais jēdziens. Otrās kārtas līknes vispārējais vienādojums. Apļa, elipses, hiperbolas un parabolas vienādojumi. Hiperbolas simetrijas asis. Parabolas formas izpēte. Trešās un ceturtās kārtas līknes. Anjesi čokurošanās, Dekarta loksne.

diplomdarbs, pievienots 14.10.2011


Dažādu daudzskaldņu posmu konstruēšanas metožu apskats un raksturojums, to stipro un vājo pušu noteikšana. Palīggriezumu metode kā universāla metode daudzskaldņu sekciju konstruēšanai. Problēmu risināšanas piemēri par pētāmo tēmu.

prezentācija, pievienota 19.01.2014


Otrās kārtas līknes vispārējais vienādojums. Elipses, apļa, hiperbolas un parabolas vienādojumu sastādīšana. Hiperbolas ekscentriskums. Parabolas fokuss un virziens. Vispārējā vienādojuma pārveidošana kanoniskajā formā. Līknes veida atkarība no invariantiem.

prezentācija, pievienota 10.11.2014


Trijstūra ģeometrijas elementi: izogonāla un izotomiska konjugācija, ievērojami punkti un līnijas. Ar trīsstūri saistītie konusi: konusveida griezumu īpašības; ap trijstūri apvilkti un tajā ierakstīti konusi; pielietojums problēmu risināšanai.

kursa darbs, pievienots 17.06.2012


Elipse, hiperbola, parabola kā otrās kārtas līknes, ko izmanto augstākajā matemātikā. Otrās kārtas līknes jēdziens ir taisne uz plaknes, kuru kādā Dekarta koordinātu sistēmā nosaka vienādojums. Paskamla teorēma un Brianšona teorēma.

abstrakts, pievienots 26.01.2011


Par kuba dubultošanas problēmas izcelsmi (viena no piecām slavenajām senatnes problēmām). Pirmais zināmais mēģinājums atrisināt problēmu, Archit of Tarentum risinājums. Problēmu risināšana Senajā Grieķijā pēc Architas. Risinājumi, izmantojot Menechmus un Eratosthenes konusveida sekcijas.

abstrakts, pievienots 13.04.2014


Galvenie konusa sekcijas veidi. Iecirknis, ko veido plakne, kas iet caur konusa asi (aksiāli) un tā virsotni (trijstūris). Iecirkņa veidošana ar plakni, kas ir paralēla (parabola), perpendikulāra (aplis) un nav perpendikulāra (elipse) pret asi.

NODARBĪBAS TEKSTS SKAIDROJUMS:

Turpinām pētīt cietās ģeometrijas sadaļu "Revolūcijas ķermenis".

Revolūcijas korpusos ietilpst: cilindri, konusi, bumbiņas.

Atcerēsimies definīcijas.

Augstums ir attālums no figūras vai ķermeņa augšdaļas līdz figūras (ķermeņa) pamatnei. Pretējā gadījumā segments, kas savieno figūras augšējo un apakšējo daļu un ir tai perpendikulārs.

Atcerieties, lai atrastu apļa laukumu, reiziniet pi ar rādiusa kvadrātu.

Apļa laukums ir vienāds.

Atcerieties, kā atrast apļa laukumu, zinot diametru? Jo

ievietosim to formulā:

Konuss ir arī revolūcijas ķermenis.

Konuss (precīzāk apļveida konuss) ir ķermenis, kas sastāv no apļa - konusa pamatnes, punkta, kas neatrodas šī apļa plaknē - konusa augšdaļas un visiem segmentiem, kas savieno konusa augšdaļu. konuss ar pamatnes punktiem.

Iepazīsimies ar konusa tilpuma atrašanas formulu.

Teorēma. Konusa tilpums ir vienāds ar vienu trešdaļu no bāzes laukuma, kas reizināts ar augstumu.

Pierādīsim šo teorēmu.

Ņemot vērā: konuss, S ir tā pamatnes laukums,

h ir konusa augstums

Pierādīt: V=

Pierādījums: Apsveriet konusu ar tilpumu V, pamatnes rādiusu R, augstumu h un virsotni punktā O.

Ieviesīsim asi Ox caur OM, konusa asi. Patvaļīgs konusa griezums ar plakni, kas ir perpendikulāra x asij, ir aplis, kura centrs ir punktā

M1 - šīs plaknes krustošanās punkts ar Ox asi. Apzīmēsim šī riņķa rādiusu kā R1 un šķērsgriezuma laukumu kā S(x), kur x ir punkta M1 abscisa.

No taisnleņķa trīsstūru OM1A1 un OMA līdzības (ے OM1A1 = ے OMA - taisnas līnijas, ےMOA-kopīgs, kas nozīmē, ka trijstūri ir līdzīgi divos leņķos) izriet, ka

Attēlā redzams, ka OM1=x, OM=h

vai kur pēc proporcijas īpašības atrodam R1 = .

Tā kā sadaļa ir aplis, tad S (x) \u003d πR12, R1 vietā aizstājam iepriekšējo izteiksmi, šķērsgriezuma laukums ir vienāds ar pi er kvadrāta x reizinājuma attiecību pret augstuma kvadrātu:

Pielietosim pamatformulu

aprēķinot ķermeņu tilpumus, ar a=0, b=h, iegūstam izteiksmi (1)

Tā kā konusa pamatne ir aplis, tad konusa pamatnes laukums S būs vienāds ar pi er kvadrātu

ķermeņa tilpuma aprēķināšanas formulā mēs aizvietojam pi er kvadrāta vērtību ar pamatnes laukumu un iegūstam, ka konusa tilpums ir vienāds ar vienu trešdaļu no laukuma reizinājuma. no pamatnes un augstuma

Teorēma ir pierādīta.

Teorēmas (nošķelta konusa tilpuma formula) secinājums

Nošķelta konusa tilpumu V, kura augstums ir h, un pamatu S un S1 laukumus aprēķina pēc formulas

Ve ir vienāds ar vienu trešdaļu pelnu, kas reizināts ar pamatu laukumu summu un pamatnes laukumu reizinājuma kvadrātsakni.

Problēmu risināšana

Ap hipotenūzu griežas taisnleņķa trīsstūris ar 3 cm un 4 cm kājām. Nosakiet iegūtā ķermeņa tilpumu.

Kad trīsstūris griežas ap hipotenūzu, mēs iegūstam konusu. Risinot šo problēmu, ir svarīgi saprast, ka ir iespējami divi gadījumi. Katrā no tiem mēs izmantojam formulu konusa tilpuma noteikšanai: konusa tilpums ir vienāds ar vienu trešdaļu no pamatnes un augstuma reizinājuma.

Pirmajā gadījumā zīmējums izskatīsies šādi: tiek dots konuss. Lai rādiuss r = 4, augstums h = 3

Pamatnes laukums ir vienāds ar π reizinājumu ar rādiusa kvadrātu

Tad konusa tilpums ir vienāds ar vienu trešdaļu no reizinājuma, kas reizināts ar rādiusa kvadrātu un augstumu.

Aizvietojiet vērtību formulā, izrādās, ka konusa tilpums ir 16π.

Otrajā gadījumā šādi: dots konuss. Lai rādiuss r = 3, augstums h = 4

Konusa tilpums ir vienāds ar vienu trešdaļu no pamatlaukuma, kas reizināts ar augstumu:

Pamatnes laukums ir vienāds ar π reizinājumu ar rādiusa kvadrātu:

Tad konusa tilpums ir vienāds ar vienu trešdaļu no reizinājuma, kas reizināts ar rādiusa kvadrātu un augstumu:

Formulā aizstājiet vērtību, izrādās, ka konusa tilpums ir 12π.

Atbilde: Konusa V tilpums ir 16 π vai 12 π

2. uzdevums. Dots taisns apļveida konuss ar rādiusu 6 cm, leņķis BCO = 45 .

Atrodiet konusa tilpumu.

Risinājums: šim uzdevumam tiek dots gatavs zīmējums.

Uzrakstīsim formulu konusa tilpuma noteikšanai:

Mēs to izsakām ar bāzes R rādiusu:

Mēs atrodam h \u003d BO pēc konstrukcijas, - taisnstūrveida, jo leņķis BOC=90 (trijstūra leņķu summa), leņķi pie pamatnes ir vienādi, tātad trijstūris ΔBOC ir vienādsānu un BO=OC=6 cm.