Ciparu sistēmu pamatjēdzieni

Ciparu sistēma ir noteikumu un paņēmienu kopums skaitļu rakstīšanai, izmantojot ciparu rakstzīmju kopu. Ciparu skaitu, kas nepieciešams skaitļa ierakstīšanai sistēmā, sauc par skaitļu sistēmas bāzi. Sistēmas bāze ir rakstīta pa labi no skaitļa indeksā: ; ; utt.

Ir divu veidu skaitļu sistēmas:

pozicionāls, kad katra skaitļa cipara vērtību nosaka tā atrašanās vieta skaitļa apzīmējumā;

nepozicionāls, kad cipara vērtība skaitļā nav atkarīga no tā vietas skaitļa apzīmējumā.

Nepozicionālas skaitļu sistēmas piemērs ir romiešu sistēma: skaitļi IX, IV, XV utt. Pozicionālās skaitļu sistēmas piemērs ir decimālā sistēma, ko izmanto ikdienā.

Jebkuru veselu skaitli pozicionālajā sistēmā var uzrakstīt kā polinomu:

kur S ir skaitļu sistēmas bāze;

Dotā skaitļu sistēmā ierakstīta skaitļa cipari;

n ir skaitļa ciparu skaits.

Piemērs. Numurs ir uzrakstīts polinoma formā šādi:

Skaitļu sistēmu veidi

Romiešu ciparu sistēma ir nepozicionāla sistēma. Ciparu rakstīšanai tiek izmantoti latīņu alfabēta burti. Šajā gadījumā burts I vienmēr nozīmē vienu, burts V nozīmē piecus, X nozīmē desmit, L nozīmē piecdesmit, C nozīmē simts, D nozīmē pieci simti, M nozīmē tūkstoti utt. Piemēram, skaitlis 264 ir rakstīts kā CCLXIV. Rakstot skaitļus romiešu ciparu sistēmā, skaitļa vērtība ir tajā iekļauto ciparu algebriskā summa. Šajā gadījumā cipari skaitļa ierakstā parasti seko to vērtību dilstošā secībā, un nav atļauts blakus rakstīt vairāk par trim vienādiem cipariem. Gadījumā, ja ciparam ar lielāku vērtību seko cipars ar mazāku vērtību, tā ieguldījums skaitļa vērtībā kopumā ir negatīvs. Tipiski piemēri, kas ilustrē vispārīgos noteikumus skaitļu rakstīšanai romiešu ciparu sistēmā, ir parādīti tabulā.

2. tabula. Ciparu rakstīšana romiešu ciparu sistēmā

		III
	VII	VIII
	XIII	XVIII	XIX	XXII
XXXIV	XXXIX			XXIX
200	438	649	999	1207
	CDXXXVIII	DCXLIX	CMXCIX	MCCVII
2045	3555	3678	3900	3999
MMXLV	MMMDLV	MMMDCLXXVIII	MMMCM	MMMCMXCIX

Romiešu sistēmas trūkums ir formālu noteikumu trūkums skaitļu rakstīšanai un attiecīgi aritmētisko darbību ar daudzciparu skaitļiem. Neērtību un lielās sarežģītības dēļ romiešu ciparu sistēma pašlaik tiek izmantota tur, kur tas ir patiešām ērti: literatūrā (nodaļu numerācija), dokumentos (pasu sērija, vērtspapīri utt.), dekoratīviem nolūkiem uz pulksteņa ciparnīcas un vairāki citi gadījumi.

Decimālskaitļu sistēma šobrīd ir vispazīstamākā un lietotākā. Decimālskaitļu sistēmas izgudrojums ir viens no galvenajiem cilvēka domāšanas sasniegumiem. Bez tā modernās tehnoloģijas diez vai varētu pastāvēt, nemaz nerunājot par rašanos. Iemesls, kāpēc decimālo skaitļu sistēma ir kļuvusi vispārpieņemta, nepavisam nav matemātisks. Cilvēki ir pieraduši skaitīt decimāldaļās, jo viņiem uz rokas ir 10 pirksti.

Senais decimālciparu attēls (1. att.) nav nejaušs: katrs cipars apzīmē skaitli pēc leņķu skaita tajā. Piemēram, 0 - nav stūru, 1 - viens stūris, 2 - divi stūri utt. Decimālciparu rakstībā ir notikušas būtiskas izmaiņas. Mūsu izmantotā forma tika izveidota 16. gadsimtā.

Decimālā sistēma pirmo reizi parādījās Indijā aptuveni mūsu ēras 6. gadsimtā. Indijas numerācijā tika izmantotas deviņas ciparu rakstzīmes un nulle, lai norādītu tukšu vietu. Pirmajos Indijas manuskriptos, kas nonākuši līdz mums, skaitļi tika rakstīti apgrieztā secībā - nozīmīgākā figūra tika novietota labajā pusē. Bet drīz vien kļuva par noteikumu šādu figūru novietot kreisajā pusē. Īpaša nozīme tika piešķirta nulles simbolam, kas tika ieviests pozicionālajam apzīmējumam. Indijas numerācija, ieskaitot nulli, ir nonākusi līdz mūsu laikam. Eiropā hinduistu decimālās aritmētikas metodes kļuva plaši izplatītas 13. gadsimta sākumā. pateicoties itāļu matemātiķa Leonardo no Pizas (Fibonači) darbam. Eiropieši Indijas numuru sistēmu aizņēmās no arābiem, nosaucot to par arābu valodu. Šis vēsturiski nepareizais nosaukums ir saglabāts līdz mūsdienām.

Decimālā sistēma izmanto desmit ciparus - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 un 9, kā arī simbolus "+" un "-", lai apzīmētu skaitļa zīmi un komatu vai punktu, lai atdalītu veselo skaitļu un daļskaitļu daļu numurus.

Datori izmanto bināro skaitļu sistēmu, tās bāze ir skaitlis 2. Lai rakstītu skaitļus šajā sistēmā, tiek izmantoti tikai divi cipari - 0 un 1. Pretēji izplatītajam nepareizajam priekšstatam, bināro skaitļu sistēmu izgudroja nevis datorkonstruktori, bet gan matemātiķi un filozofi ilgi pirms datoru parādīšanās, septiņpadsmitajā un deviņpadsmitajā gadsimtā. Pirmā publicētā diskusija par bināro skaitļu sistēmu ir spāņu priesteris Huans Karamuels Lobkovics (1670). Vispārēju uzmanību šai sistēmai piesaistīja vācu matemātiķa Gotfrīda Vilhelma Leibnica raksts, kas publicēts 1703. gadā. Tajā tika izskaidrotas saskaitīšanas, atņemšanas, reizināšanas un dalīšanas binārās darbības. Leibnics neieteica šo sistēmu izmantot praktiskiem aprēķiniem, bet uzsvēra tās nozīmi teorētiskajos pētījumos. Laika gaitā binārā skaitļu sistēma kļūst plaši pazīstama un attīstās.

Binārās sistēmas izvēle izmantošanai datortehnoloģijās ir izskaidrojama ar to, ka elektroniskie elementi - trigeri, kas veido datora mikroshēmas, var būt tikai divos darba stāvokļos.

Ar binārās kodēšanas sistēmas palīdzību var ierakstīt jebkādus datus un zināšanas. To ir viegli saprast, ja atceraties informācijas kodēšanas un pārsūtīšanas principu, izmantojot Morzes kodu. Telegrāfa operators, izmantojot tikai divas šī alfabēta rakstzīmes - punktus un domuzīmes, var pārraidīt gandrīz jebkuru tekstu.

Binārā sistēma ir ērta datoram, bet neērta cilvēkam: skaitļi ir gari un grūti pierakstāmi un iegaumējami. Protams, jūs varat pārvērst skaitli decimāldaļās un ierakstīt to šādā formā, un pēc tam, kad tas ir jātulko atpakaļ, taču visi šie tulkojumi ir laikietilpīgi. Tāpēc tiek izmantotas skaitļu sistēmas, kas ir saistītas ar bināro - oktālo un heksadecimālo. Lai šajās sistēmās rakstītu ciparus, ir nepieciešami attiecīgi 8 un 16 cipari. Heksadecimālajā sistēmā pirmie 10 cipari ir kopīgi, un pēc tam tiek izmantoti lielie latīņu burti. Heksadecimālais cipars A atbilst decimālskaitļam 10, heksadecimāls B atbilst decimāldaļai 11 un tā tālāk. Šo sistēmu izmantošana ir izskaidrojama ar to, ka pāreja uz skaitļa rakstīšanu jebkurā no šīm sistēmām no tā binārā apzīmējuma ir ļoti vienkārša. Zemāk ir atbilstības tabula starp skaitļiem, kas rakstīti dažādās sistēmās.

3. tabula. Dažādās skaitļu sistēmās rakstīto skaitļu atbilstība

Decimālzīme	Binārs	oktāls	Heksadecimāls
	001
	010
	011
	100
	101
	110
	111
	1000
	1001
	1010
	1011
	1100
	1101		D http://viagrasstore.net/generic-viagra-soft/
	1110
	1111
	10000

Noteikumi skaitļu pārveidošanai no vienas skaitļu sistēmas citā

Skaitļu pārvēršana no vienas skaitļu sistēmas citā ir svarīga mašīnas aritmētikas daļa. Apsveriet tulkošanas pamatnoteikumus.

1. Lai bināro skaitli pārvērstu par decimāldaļu, tas jāraksta kā polinoms, kas sastāv no skaitļa ciparu un atbilstošās skaitļa 2 pakāpes reizinājumiem, un jāaprēķina pēc decimāldaļaritmētikas noteikumiem:

Tulkojot, ir ērti izmantot divu pakāpju tabulu:

4. tabula. 2. pilnvaras

n (grāds)
											1024

Piemērs. Konvertējiet skaitli decimālskaitļu sistēmā.

2. Lai oktālo skaitli pārvērstu decimālskaitlī, tas jāraksta kā polinoms, kas sastāv no skaitļa ciparu un atbilstošās skaitļa 8 pakāpības reizinājumiem, un jāaprēķina pēc decimāldaļaritmētikas likumiem:

Tulkojot, ir ērti izmantot astoņu pakāpju tabulu:

5. tabula. 8. pilnvaras

n (grāds)

Kalkulators ļauj pārvērst veselus un daļskaitļus no vienas skaitļu sistēmas citā. Ciparu sistēmas bāze nedrīkst būt mazāka par 2 un lielāka par 36 (galu galā 10 cipari un 26 latīņu burti). Cipari nedrīkst pārsniegt 30 rakstzīmes. Lai ievadītu daļskaitļus, izmantojiet simbolu. vai, . Lai konvertētu skaitļus no vienas sistēmas uz citu, pirmajā laukā ievadiet sākotnējo skaitli, otrajā laukā - sākotnējās skaitļu sistēmas bāzi un trešajā laukā tās skaitļu sistēmas bāzi, kurā vēlaties konvertēt skaitli, pēc tam noklikšķiniet uz pogas "Saņemt ierakstu".

oriģinālais numurs ierakstīts 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 36 35 - skaitļu sistēma.

Es gribu ierakstīt skaitļa ierakstu 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 - skaitļu sistēma.

Iegūstiet ierakstu

Tulkojumi pabeigti: 3722471

Tas var arī interesēt:

• Patiesības tabulas kalkulators. SDNF. SKNF. Žegalkina polinoms

Skaitļu sistēmas

Skaitļu sistēmas ir sadalītas divos veidos: pozicionāls un nav pozicionāls. Mēs izmantojam arābu sistēmu, tā ir pozicionāla, un ir arī romiešu sistēma - tā vienkārši nav pozicionāla. Pozicionālās sistēmās cipara pozīcija skaitļā unikāli nosaka šī skaitļa vērtību. To ir viegli saprast, aplūkojot kāda skaitļa piemēru.

1. piemērs. Ņemsim skaitli 5921 decimālo skaitļu sistēmā. Mēs numurējam numuru no labās puses uz kreiso, sākot no nulles:

Skaitli 5921 var uzrakstīt šādā formā: 5921 = 5000+900+20+1 = 5 10 3 +9 10 2 +2 10 1 +1 10 0 . Skaitlis 10 ir pazīme, kas nosaka skaitļu sistēmu. Dotā skaitļa pozīcijas vērtības tiek ņemtas par grādiem.

2. piemērs. Apsveriet reālo decimālskaitli 1234,567. Mēs to numurējam, sākot no skaitļa nulles pozīcijas no decimāldaļas uz kreiso un pa labi:

Skaitli 1234,567 var uzrakstīt šādi: 1234,567 = 1000+200+30+4+0,5+0,06+0,007 = 1 10 3 +2 10 2 +3 10 1 +4 10 0 +5 10 -1 -2 + 6 +7 10 -3 .

Skaitļu pārvēršana no vienas skaitļu sistēmas citā

Vienkāršākais veids, kā skaitļus pārtulkot no vienas skaitļu sistēmas citā, ir vispirms skaitļu pārvērst decimālskaitļu sistēmā un pēc tam iegūto rezultātu vajadzīgajā skaitļu sistēmā.

Skaitļu pārvēršana no jebkuras skaitļu sistēmas uz decimālo skaitļu sistēmu

Lai pārvērstu skaitli no jebkuras skaitļu sistēmas decimāldaļās, pietiek ar tā ciparu numurēšanu, sākot no nulles (cipara, kas atrodas pa kreisi no komata), līdzīgi kā 1. vai 2. piemērā. Atradīsim ciparu reizinājumu summu. no skaitļa pēc skaitļu sistēmas bāzes līdz šī cipara pozīcijas pakāpei:

1. Konvertējiet skaitli 1001101.1101 2 par decimālo skaitļu sistēmu.
Risinājums: 10011.1101 2 = 1 2 4 +0 2 3 +0 2 2 +1 2 1 +1 2 0 +1 2 -1 +1 2 -2 +0 2 -3 +1 2 - 4 = 16 + 2 + 1 + 0,5 +0,25+0,0625 = 19,8125 10
Atbilde: 10011.1101 2 = 19.8125 10

2. Konvertējiet skaitli E8F.2D 16 par decimālo skaitļu sistēmu.
Risinājums: E8F.2D 16 = 14 16 2 +8 16 1 +15 16 0 +2 16 -1 +13 16 -2 = 3584+128+15+0,125+0,05078125 = 3727,17578125 10
Atbilde: E8F.2D 16 = 3727.17578125 10

Skaitļu pārvēršana no decimālskaitļu sistēmas uz citu skaitļu sistēmu

Lai pārvērstu skaitļus no decimālskaitļu sistēmas uz citu skaitļu sistēmu, skaitļa veselā un daļskaitļa daļas ir jātulko atsevišķi.

Skaitļa veselās daļas pārvēršana no decimālskaitļu sistēmas uz citu skaitļu sistēmu

Veselo skaitļu daļu no decimālo skaitļu sistēmas pārvērš citā skaitļu sistēmā, secīgi dalot skaitļa veselo skaitļa daļu ar skaitļu sistēmas bāzi, līdz tiek iegūta vesela skaitļa atlikums, kas ir mazāks par skaitļu sistēmas bāzi. Pārsūtīšanas rezultāts būs ieraksts no mirstīgajām atliekām, sākot ar pēdējo.

3. Pārvērst skaitli 273 10 uz oktālo skaitļu sistēmu.
Risinājums: 273/8 = 34 un atlikums 1, 34/8 = 4 un atlikums 2, 4 ir mazāks par 8, tāpēc aprēķins ir pabeigts. Ieraksts no paliekām izskatīsies šādi: 421
Pārbaude: 4 8 2 +2 8 1 +1 8 0 = 256+16+1 = 273 = 273 , rezultāts ir tāds pats. Tātad tulkojums ir pareizs.
Atbilde: 273 10 = 421 8

Apskatīsim pareizo decimālo daļu tulkošanu dažādās skaitļu sistēmās.

Skaitļa daļdaļas pārvēršana no decimālskaitļu sistēmas uz citu skaitļu sistēmu

Atcerieties, ka pareiza decimāldaļdaļa ir reāls skaitlis ar nulles vesela skaitļa daļu. Lai pārvērstu šādu skaitli skaitļu sistēmā ar bāzi N, jums ir konsekventi jāreizina skaitlis ar N, līdz daļējā daļa ir nulles vai tiek iegūts nepieciešamais ciparu skaits. Ja reizināšanas laikā tiek iegūts skaitlis ar veselu skaitļa daļu, kas nav nulle, tad veselā skaitļa daļa tālāk netiek ņemta vērā, jo tā tiek secīgi ievadīta rezultātā.

4. Konvertējiet skaitli 0,125 10 binārā skaitļu sistēmā.
Risinājums: 0,125 2 = 0,25 (0 ir vesela skaitļa daļa, kas būs rezultāta pirmais cipars), 0,25 2 = 0,5 (0 ir rezultāta otrais cipars), 0,5 2 = 1,0 (1 ir rezultāta trešais cipars , un tā kā daļēja daļa ir nulle , tulkojums ir pabeigts).
Atbilde: 0.125 10 = 0.001 2

Apzīmējums ir skaitļa rakstīšanas metode, izmantojot noteiktu speciālo rakstzīmju (ciparu) kopu.

Apzīmējums:

• sniedz priekšstatu par skaitļu kopu (veselu un/vai reālu);

• piešķir katram skaitlim unikālu attēlojumu (vai vismaz standarta attēlojumu);

• parāda skaitļa algebrisko un aritmētisko struktūru.

Tiek izsaukta skaitļa rakstīšana kādā skaitļu sistēmā numura kods.

Tiek izsaukta viena pozīcija skaitļa displejā izlāde, tātad pozīcijas numurs ir ranga numurs.

Tiek izsaukts skaitļa ciparu skaits bitu dziļums un atbilst tā garumam.

Skaitļu sistēmas iedala pozicionāls un nepozicionāls. Pozīciju skaitļu sistēmas ir sadalītas

uz viendabīgs un sajaukts.

oktālo skaitļu sistēma, heksadecimālā skaitļu sistēma un citas skaitļu sistēmas.

Skaitļu sistēmu tulkošana. Skaitļus var pārvērst no vienas skaitļu sistēmas citā.

Ciparu atbilstības tabula dažādās skaitļu sistēmās.

Pakalpojuma uzdevums. Pakalpojums ir paredzēts skaitļu tulkošanai no vienas numuru sistēmas uz citu tiešsaistē. Lai to izdarītu, atlasiet tās sistēmas bāzi, no kuras vēlaties tulkot numuru. Ar komatu var ievadīt gan veselus skaitļus, gan skaitļus.

Varat ievadīt veselus skaitļus, piemēram, 34, vai daļskaitļus, piemēram, 637,333. Daļskaitļiem ir norādīta tulkojuma precizitāte aiz komata.

Ar šo kalkulatoru tiek izmantoti arī šādi elementi:

Veidi, kā attēlot skaitļus

Binārs (binārie) skaitļi - katrs cipars nozīmē viena bita vērtību (0 vai 1), nozīmīgākais bits vienmēr tiek rakstīts kreisajā pusē, burts “b” tiek likts aiz cipara. Lai atvieglotu uztveri, piezīmju grāmatiņas var atdalīt ar atstarpēm. Piemēram, 1010 0101b.
Heksadecimāls (heksadecimālie) skaitļi - katra tetrada tiek attēlota ar vienu rakstzīmi 0...9, A, B, ..., F. Šādu attēlojumu var apzīmēt dažādi, šeit pēc pēdējās tiek lietota tikai rakstzīme "h". heksadecimālais cipars. Piemēram, A5h. Programmu tekstos vienu un to pašu skaitli var apzīmēt gan kā 0xA5, gan 0A5h atkarībā no programmēšanas valodas sintakses. Pa kreisi no nozīmīgākā heksadecimālā cipara, kas attēlots ar burtu, tiek pievienota nenozīmīga nulle (0), lai atšķirtu ciparus un simboliskus nosaukumus.
Decimālzīmes (decimālskaitļi) - katrs baits (vārds, dubultvārds) tiek attēlots ar parastu skaitli, un decimāldaļskaitļa zīme (burts "d") parasti tiek izlaista. Iepriekšējo piemēru baita decimālvērtība ir 165. Atšķirībā no binārā un heksadecimālā pieraksta, decimāldaļās ir grūti garīgi noteikt katra bita vērtību, kas dažreiz ir jādara.
Octal (oktālie) skaitļi - katrs bitu trīskāršs (atdalīšana sākas no mazāknozīmīgākā) tiek uzrakstīts kā skaitlis 0-7, beigās tiek likta zīme "o". Tas pats skaitlis būtu rakstīts kā 245o. Oktālā sistēma ir neērta, jo baitu nevar sadalīt vienādi.

Algoritms skaitļu pārveidošanai no vienas skaitļu sistēmas citā

Veselu decimālo skaitļu pārvēršana uz jebkuru citu skaitļu sistēmu tiek veikta, dalot skaitli ar jaunās skaitļu sistēmas bāzi, līdz atlikums atstāj skaitli, kas ir mazāks par jaunās skaitļu sistēmas bāzi. Jaunais numurs tiek rakstīts kā sadalījuma atlikums, sākot ar pēdējo.
Pareizās decimāldaļdaļas pārvēršana citā PSS tiek veikta, reizinot tikai skaitļa daļdaļu ar jaunās skaitļu sistēmas bāzi, līdz daļdaļā paliek visas nulles vai līdz tiek sasniegta norādītā tulkošanas precizitāte. Katras reizināšanas darbības rezultātā veidojas viens jaunā skaitļa cipars, sākot no lielākā.
Nepareizas daļskaitļa tulkošana tiek veikta saskaņā ar 1. un 2. noteikumu. Veselo skaitļu un daļskaitļu daļas raksta kopā, atdalot ar komatu.

1. piemērs.



Tulkošana no 2 līdz 8 līdz 16 skaitļu sistēma.
Šīs sistēmas ir divas reizes, tāpēc tulkošana tiek veikta, izmantojot atbilstības tabulu (skatīt zemāk).

Lai pārvērstu skaitli no binārās skaitļu sistēmas par oktālo (heksadecimālo) skaitli, ir nepieciešams binārais skaitlis sadalīt grupās pa trim (heksadecimāliem četriem) cipariem no komata pa labi un pa kreisi, galējās grupas papildinot ar nullēm. ja nepieciešams. Katra grupa tiek aizstāta ar atbilstošo oktālo vai heksadecimālo ciparu.

2. piemērs. 1010111010.1011 = 1.010.111.010.101.1 = 1272.51 8
šeit 001=1; 010=2; 111=7; 010=2; 101=5; 001=1

Pārveidojot uz heksadecimālu, jums ir jāsadala skaitlis daļās, katrā pa četriem cipariem, ievērojot tos pašus noteikumus.
3. piemērs. 1010111010.1011 = 10.1011.1010.1011 = 2B12.13 HEX
šeit 0010=2; 1011=B; 1010=12; 1011=13

Skaitļu pārvēršana no 2, 8 un 16 uz decimālo sistēmu tiek veikta, sadalot skaitli atsevišķos un reizinot to ar sistēmas bāzi (no kuras tiek tulkots skaitlis), kas palielināta līdz pakāpei, kas atbilst tā kārtas skaitlim. tulkotajā numurā. Šajā gadījumā skaitļi tiek numurēti pa kreisi no komata (pirmajam skaitlim ir skaitlis 0), palielinoties, un pa labi ar samazināšanos (ti, ar negatīvu zīmi). Iegūtie rezultāti tiek summēti.

4. piemērs.
Piemērs konvertēšanai no binārās uz decimālo skaitļu sistēmu.

1010010.101 2 = 1 2 6 +0 2 5 +1 2 4 +0 2 3 +0 2 2 +1 2 1 +0 2 0 + 1 2 -1 +0 2 - 2 +1 2 -3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0,5+0+0,125 = 82,625 10 Piemērs pārvēršanai no oktālās uz decimālo skaitļu sistēmu. 108,5 8 = 1* 8 2 +0 8 1 +8 8 0 + 5 8 -1 = 64+0+8+0,625 = 72,625 10 Piemērs konvertēšanai no heksadecimālās uz decimālo skaitļu sistēmu. 108,5 16 = 1 16 2 +0 16 1 +8 16 0 + 5 16 -1 = 256+0+8+0,3125 = 264,3125 10

Vēlreiz atkārtojam algoritmu skaitļu tulkošanai no vienas skaitļu sistēmas uz citu PSS

1. No decimālskaitļu sistēmas:
   • dala skaitli ar tulkojamās skaitļu sistēmas bāzi;
   • pēc skaitļa veselās daļas dalīšanas atrod atlikušo daļu;
   • pierakstiet visus atlikumus no dalīšanas apgrieztā secībā;
2. No binārās sistēmas
   • Lai konvertētu uz decimālo skaitļu sistēmu, jāatrod 2. bāzes reizinājumu summa ar atbilstošo izlādes pakāpi;
   • Lai skaitli pārvērstu par oktālu, skaitlis jāsadala trijās.
     Piemēram, 1000110 = 1000 110 = 106 8
   • Lai pārvērstu skaitli no bināra uz heksadecimālu, skaitlis jāsadala 4 ciparu grupās.
     Piemēram, 1000110 = 100 0110 = 46 16

Sistēmu sauc par pozicionālo., kuram cipara nozīme vai svars ir atkarīgs no tā atrašanās vietas ciparā. Attiecības starp sistēmām ir izteiktas tabulā.
Ciparu sistēmu atbilstības tabula:

Binārais SS	Heksadecimālais SS
0000	0
0001	1
0010	2
0011	3
0100	4
0101	5
0110	6
0111	7
1000	8
1001	9
1010	A
1011	B
1100	C
1101	D
1110	E
1111	F

Tabula konvertēšanai uz oktālo skaitļu sistēmu

2. piemērs. Pārvērtiet skaitli 100.12 no decimāldaļas uz oktālu un otrādi. Paskaidrojiet neatbilstību iemeslus.
Risinājums.
1. posms. .

Atlikušo daļu raksta apgrieztā secībā. Mēs iegūstam skaitli 8. skaitļu sistēmā: 144
100 = 144 8

Lai tulkotu skaitļa daļējo daļu, mēs secīgi reizinām daļskaitli ar bāzi 8. Rezultātā katru reizi pierakstām reizinājuma veselo skaitļu daļu.
0,12*8 = 0,96 (visa daļa 0 )
0,96*8 = 7,68 (visa daļa 7 )
0,68*8 = 5,44 (visa daļa 5 )
0,44*8 = 3,52 (visa daļa 3 )
Mēs iegūstam numuru 8. skaitļu sistēmā: 0753.
0.12 = 0.753 8

100,12 10 = 144,0753 8

2. posms. Skaitļa pārvēršana no decimāldaļas uz oktālu.
Apgrieztā konvertēšana no astotnieka uz decimāldaļu.

Lai tulkotu veselo skaitļu daļu, skaitļa cipars jāreizina ar atbilstošo cipara pakāpi.
144 = 8 2 *1 + 8 1 *4 + 8 0 *4 = 64 + 32 + 4 = 100

Lai tulkotu daļdaļu, skaitļa cipars ir jāsadala ar atbilstošo cipara pakāpi
0753 = 8 -1 *0 + 8 -2 *7 + 8 -3 *5 + 8 -4 *3 = 0.119873046875 = 0.1199

144,0753 8 = 100,96 10
Atšķirība 0,0001 (100,12 - 100,1199) rodas noapaļošanas kļūdas dēļ, pārvēršot par oktālu. Šo kļūdu var samazināt, ja ņemam lielāku ciparu skaitu (piemēram, nevis 4, bet 8).

Ciparu sistēma (angļu ciparu sistēma vai numerācijas sistēma) - simboliska skaitļu rakstīšanas metode, kas attēlo skaitļus, izmantojot rakstītas rakstzīmes

Kas ir skaitļu sistēmas bāze un bāze?

Definīcija: Skaitļu sistēmas pamats ir dažādu rakstzīmju vai simbolu skaits, kas
tiek izmantoti, lai šajā sistēmā attēlotu ciparus.
Par bāzi tiek ņemts jebkurš naturāls skaitlis - 2, 3, 4, 16 utt. Tas ir, ir bezgalīgs
daudzas pozicionālās sistēmas. Piemēram, decimāldaļas sistēmai bāze ir 10.

Bāzes noteikšana ir ļoti vienkārša, jums vienkārši jāpārrēķina nozīmīgo ciparu skaits sistēmā. Vienkārši sakot, šis ir skaitlis, no kura sākas skaitļa otrais cipars. Piemēram, mēs izmantojam skaitļus 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Tie ir tieši 10, tāpēc arī mūsu skaitļu sistēmas bāze ir 10, un skaitļu sistēma ir sauc par “decimāldaļu”. Iepriekš minētajā piemērā tiek izmantoti skaitļi 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (palīgskaitļi 10, 100, 1000, 10000 utt. netiek skaitīti). Ir arī 10 galvenie cipari, un skaitļu sistēma ir decimāldaļa.

Sistēmas bāze ir ciparu secība, ko izmanto rakstīšanai. Nevienā sistēmā nav cipara, kas vienāds ar sistēmas bāzi.

Kā jūs varat uzminēt, cik daudz ir skaitļu, var būt tik daudz skaitļu sistēmu bāzu. Bet tiek izmantotas tikai ērtākās numuru sistēmu bāzes. Kāpēc, jūsuprāt, visizplatītākās cilvēku skaitļu sistēmas bāze ir 10? Jā, tieši tāpēc, ka mums uz rokām ir 10 pirksti. "Bet uz vienas rokas ir tikai pieci pirksti," daži sacīs, un viņiem būs taisnība. Cilvēces vēsturē ir zināmi pieckāršu skaitļu sistēmu piemēri. "Un ar kājām - divdesmit pirkstiem" - teiks citi, un viņiem arī būs pilnīga taisnība. Tā domāja maiji. To pat var redzēt viņu skaitļos.

Decimālskaitļu sistēma

Mēs visi esam pieraduši skaitot izmantot skaitļus un skaitļus, kas mums pazīstami no bērnības. Viens, divi, trīs, četri utt. Mūsu ikdienas skaitļu sistēmā ir tikai desmit cipari (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), no kuriem mēs veidojam jebkurus skaitļus. Sasniedzot desmit, mēs pievienojam vienu ciparam pa kreisi un atkal sākam skaitīt no nulles galējā labajā ciparā. Šo skaitļu sistēmu sauc par decimāldaļu.

Nav grūti uzminēt, ka mūsu senči to izvēlējās, jo abu roku pirkstu skaits ir desmit. Bet kādas vēl ir skaitļu sistēmas? Vai vienmēr tika izmantota decimālā sistēma, vai arī bija citas?

Skaitļu sistēmu rašanās vēsture

Pirms nulles izgudrošanas skaitļu rakstīšanai tika izmantotas īpašas zīmes. Katrai tautai bija savs. Piemēram, Senajā Romā dominēja nepozicionāla skaitļu sistēma.

Skaitļu sistēmu sauc par nepozicionālu, ja cipara vērtība nav atkarīga no tā ieņemtās vietas. Par vismodernākajām skaitļu sistēmām tika uzskatītas skaitļu sistēmas, ko izmantoja Krievijā un Senajā Grieķijā.

Tajos lielus skaitļus apzīmēja ar burtiem, bet pievienojot papildu zīmes (1 - a, 100 - i utt.). Vēl viena nepozicionāla skaitļu sistēma tika izmantota senajā Babilonā. Savā sistēmā Babilonijas iedzīvotāji izmantoja ierakstu ar “diviem stāviem” un tikai trīs zīmes: viens Babilonijas skaitļu sistēmā vienam, desmit Babilonijas skaitļu sistēmā un nulle Babilonijas skaitļu sistēmā – nulle.

Pozīciju skaitļu sistēmas

Pozicionālās sistēmas ir kļuvušas par soli uz priekšu. Tagad decimāldaļa ir uzvarējusi visur, bet ir arī citas sistēmas, ko bieži izmanto lietišķajās zinātnēs. Šādas skaitļu sistēmas piemērs ir binārā skaitļu sistēma.
Binārā skaitļu sistēma

Tieši uz tā sazinās datori un visa elektronika jūsu mājās. Šajā skaitļu sistēmā tiek izmantoti tikai divi cipari: 0 un 1. Jautāsiet, kāpēc nebija iespējams iemācīt datoram skaitīt līdz desmit, kā cilvēkam? Atbilde slēpjas virspusē.

Mašīnai ir viegli iemācīt atšķirt divas rakstzīmes: ieslēgts nozīmē 1, izslēgts nozīmē 0; ir strāva - 1, nav strāvas - 0. Bija mēģinājumi izgatavot mašīnas, kas varētu atšķirt lielāku skaitu ciparu. Bet visi izrādījās neuzticami, datori vienmēr bija sajaukti: vai nu pie viņiem atnāca 1, vai 2.

Mums apkārt ir daudz dažādu skaitļu sistēmu. Katrs no tiem ir noderīgs savā jomā. Un atbilde uz jautājumu, kuru un kad lietot, paliek pie mums.