Definicja
Piramida jest wielościanem złożonym z wielokąta \(A_1A_2...A_n\) i \(n\) trójkątów ze wspólnym wierzchołkiem \(P\) (nieleżącym w płaszczyźnie wielokąta) i przeciwległymi bokami pokrywającymi się z bokami wielokąt.
Oznaczenie: \(PA_1A_2...A_n\) .
Przykład: pięciokątna piramida \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .
Trójkąty \(PA_1A_2, \ PA_2A_3\) itd. zwany twarze boczne piramidy, segmenty \(PA_1, PA_2\) itp. - boczne żebra, wielokąt \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – podstawa, punkt \(P\) – szczyt.
Wysokość Piramidy to prostopadłe spuszczone ze szczytu piramidy do płaszczyzny podstawy.
Nazywa się piramidę z trójkątem u podstawy czworościan.
Piramida nazywa się prawidłowy, jeśli jego podstawą jest wielokąt foremny i spełniony jest jeden z poniższych warunków:
\((a)\) boczne krawędzie ostrosłupa są równe;
\((b)\) wysokość ostrosłupa przechodzi przez środek okręgu opisanego w pobliżu podstawy;
\((c)\) żebra boczne są nachylone do płaszczyzny podstawy pod tym samym kątem.
\((d)\) ściany boczne są nachylone do płaszczyzny podstawy pod tym samym kątem.
regularny czworościan jest trójkątną piramidą, której wszystkie ściany są równymi trójkątami równobocznymi.
Twierdzenie
Warunki \((a), (b), (c), (d)\) są równoważne.
Dowód
Narysuj wysokość piramidy \(PH\) . Niech \(\alpha\) będzie płaszczyzną podstawy ostrosłupa.
1) Udowodnijmy, że \((a)\) implikuje \((b)\) . Niech \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
Dlatego \(PH\perp \alpha\) , to \(PH\) jest prostopadłe do dowolnej prostej leżącej na tej płaszczyźnie, więc trójkąty są prostokątne. Więc te trójkąty są równe we wspólnej nodze \(PH\) i przeciwprostokątnej \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Więc \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Oznacza to, że punkty \(A_1, A_2, ..., A_n\) są w tej samej odległości od punktu \(H\) , a więc leżą na tym samym okręgu o promieniu \(A_1H\) . Okrąg ten z definicji jest opisany na wielokącie \(A_1A_2...A_n\) .
2) Udowodnijmy, że \((b)\) implikuje \((c)\) .
\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) prostokątny i równy na dwóch nogach. Stąd też ich kąty są równe, zatem \(\kąt PA_1H=\kąt PA_2H=...=\kąt PA_nH\).
3) Udowodnijmy, że \((c)\) implikuje \((a)\) .
Podobnie jak w punkcie pierwszym, trójkąty \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) prostokątny i wzdłuż nogi oraz kąt ostry. Oznacza to, że ich przeciwprostokątne są również równe, czyli \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
4) Udowodnijmy, że \((b)\) implikuje \((d)\) .
Dlatego w wielokącie foremnym środki okręgów wpisanych i opisanych pokrywają się (mówiąc ogólnie, punkt ten nazywany jest środkiem wielokąta foremnego), wtedy \(H\) jest środkiem okręgu wpisanego. Narysujmy prostopadłe od punktu \(H\) do boków podstawy: \(HK_1, HK_2\) itd. Są to promienie wpisanego okręgu (z definicji). Wtedy, zgodnie z TTP, (\(PH\) to prostopadła do płaszczyzny, \(HK_1, HK_2\), itd. to rzuty prostopadłe do boków) skośna \(PK_1, PK_2\), itd. prostopadle do boków \(A_1A_2, A_2A_3\) itp. odpowiednio. A więc z definicji \(\kąt PK_1H, \kąt PK_2H\) równe kątom między ścianami bocznymi a podstawą. Dlatego trójkąty \(PK_1H, PK_2H, ...\) są równe (jako prostokątne na dwóch ramionach), to kąty \(\kąt PK_1H, \kąt PK_2H, ...\) są równe.
5) Udowodnijmy, że \((d)\) implikuje \((b)\) .
Podobnie jak w czwartym punkcie, trójkąty \(PK_1H, PK_2H, ...\) są równe (jako prostokąt wzdłuż ramienia i kąt ostry), co oznacza, że odcinki \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) są równe. Stąd z definicji \(H\) jest środkiem okręgu wpisanego w podstawę. Lecz odkąd w przypadku wielokątów foremnych środki okręgów wpisanych i opisanych pokrywają się, wtedy \(H\) jest środkiem okręgu opisanego. Chtd.
Konsekwencja
Ściany boczne regularnej piramidy są równymi trójkątami równoramiennymi.
Definicja
Nazywa się wysokość ściany bocznej piramidy foremnej, rysowanej od jej wierzchołka apotema.
Apotemy wszystkich ścian bocznych regularnej piramidy są sobie równe, a także są medianami i dwusiecznymi.
Ważne notatki
1. Wysokość regularnej trójkątnej piramidy spada do punktu przecięcia wysokości (lub dwusiecznych lub środkowych) podstawy (podstawa jest regularnym trójkątem).
2. Wysokość regularnej czworokątnej piramidy spada do punktu przecięcia przekątnych podstawy (podstawa jest kwadratem).
3. Wysokość regularnej sześciokątnej piramidy spada do punktu przecięcia przekątnych podstawy (podstawa jest sześciokątem foremnym).
4. Wysokość piramidy jest prostopadła do dowolnej linii prostej leżącej u podstawy.
Definicja
Piramida nazywa się prostokątny jeśli jedna z jego krawędzi bocznych jest prostopadła do płaszczyzny podstawy.
Ważne notatki
1. W przypadku piramidy prostokątnej krawędź prostopadła do podstawy jest wysokością piramidy. Oznacza to, że \(SR\) to wysokość.
2. Ponieważ \(SR\) prostopadle do dowolnej prostej od podstawy \(\trójkąt SRM, \trójkąt SRP\) są trójkątami prostokątnymi.
3. Trójkąty \(\trójkąt SRN, \trójkąt SRK\) są również prostokątne.
Oznacza to, że każdy trójkąt utworzony przez tę krawędź i przekątną wychodzącą z wierzchołka tej krawędzi, która leży u podstawy, będzie prostokątny.
\[(\Large(\text(Objętość i pole powierzchni piramidy)))\]
Twierdzenie
Objętość piramidy jest równa jednej trzeciej iloczynu pola podstawy i wysokości piramidy: \
Konsekwencje
Niech \(a\) będzie bokiem podstawy, \(h\) będzie wysokością ostrosłupa.
1. Objętość regularnej trójkątnej piramidy wynosi \(V_(\text(trójkąt prostokątny pir.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),
2. Objętość regularnej czworokątnej piramidy wynosi \(V_(\text(prawy.cztery.stos.))=\dfrac13a^2h\).
3. Objętość regularnej sześciokątnej piramidy wynosi \(V_(\text(right.hex.pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).
4. Objętość regularnego czworościanu wynosi \(V_(\text(prawy tetra.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).
Twierdzenie
Pole powierzchni bocznej regularnej piramidy jest równe połowie iloczynu obwodu podstawy i apotemu.
\[(\Duża(\text(Ścięta piramida)))\]
Definicja
Rozważmy dowolną piramidę \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Narysujmy płaszczyznę równoległą do podstawy ostrosłupa przez pewien punkt leżący na bocznej krawędzi ostrosłupa. Ta płaszczyzna podzieli piramidę na dwa wielościany, z których jeden jest piramidą (\(PB_1B_2...B_n\) ), a drugi nazywa się ścięta piramida(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).
Ścięta piramida ma dwie podstawy - wielokąty \(A_1A_2...A_n\) i \(B_1B_2...B_n\) , które są do siebie podobne.
Wysokość ostrosłupa ściętego jest prostopadłą poprowadzoną od pewnego punktu górnej podstawy do płaszczyzny dolnej podstawy.
Ważne notatki
1. Wszystkie ściany boczne ściętej piramidy są trapezami.
2. Segmentem łączącym środki podstaw regularnej ściętej piramidy (czyli piramidy otrzymanej przez przekrój regularnej piramidy) jest wysokość.
Ten samouczek wideo pomoże użytkownikom zorientować się w temacie Piramida. Prawidłowa piramida. W tej lekcji zapoznamy się z pojęciem piramidy, podamy jej definicję. Zastanów się, czym jest zwykła piramida i jakie ma właściwości. Następnie udowodnimy twierdzenie na powierzchni bocznej ostrosłupa foremnego.
W tej lekcji zapoznamy się z pojęciem piramidy, podamy jej definicję.
Rozważ wielokąt A 1 A 2...Jakiś, która leży na płaszczyźnie α, oraz punkt P, która nie leży w płaszczyźnie α (rys. 1). Połączmy kropkę P ze szczytami 1, 2, 3, … Jakiś. Dostawać n trójkąty: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R i tak dalej.
Definicja. Wielościan RA 1 A 2 ... A n, złożony z n-Gon A 1 A 2...Jakiś oraz n trójkąty RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 , tzw n- piramida węglowa. Ryż. 1.
Ryż. 1
Rozważ czworokątną piramidę PABCD(Rys. 2).
R- wierzchołek piramidy.
ABCD- podstawa piramidy.
RA- boczne żebro.
AB- krawędź podstawy.
Z punktu R upuścić pion RN na płaszczyźnie naziemnej ABCD. Prostopadła narysowana jest wysokością piramidy.
Ryż. 2
Całkowita powierzchnia piramidy składa się z powierzchni bocznej, czyli powierzchni wszystkich ścian bocznych i powierzchni podstawy:
S pełny \u003d S strona + S główna
Piramidę nazywamy poprawną, jeśli:
- jego podstawą jest regularny wielokąt;
- odcinek łączący wierzchołek piramidy ze środkiem podstawy to jej wysokość.
Wyjaśnienie na przykładzie regularnej czworokątnej piramidy
Rozważ regularną czworokątną piramidę PABCD(Rys. 3).
R- wierzchołek piramidy. podstawa piramidy ABCD- regularny czworobok, czyli kwadrat. Kropka O, punkt przecięcia przekątnych, jest środkiem kwadratu. Oznacza, RO jest wysokością piramidy.
Ryż. 3
Wyjaśnienie: po prawej n-gon, środek okręgu wpisanego i środek okręgu opisanego pokrywają się. To centrum nazywa się środkiem wielokąta. Czasami mówią, że góra jest rzutowana na środek.
Nazywa się wysokość ściany bocznej piramidy foremnej, rysowanej od jej wierzchołka apotema i oznaczone he a.
1. wszystkie krawędzie boczne piramidy foremnej są równe;
2. ściany boczne są równymi trójkątami równoramiennymi.
Udowodnijmy te własności na przykładzie regularnej czworokątnej piramidy.
Dany: RABCD- regularna czworokątna piramida,
ABCD- plac,
RO jest wysokością piramidy.
Udowodnić:
1. RA = PB = PC = PD
2.∆ATP = ∆BCP = ∆CDP = ∆DAP Patrz rys. cztery.
Ryż. cztery
Dowód.
RO jest wysokością piramidy. To znaczy prosto RO prostopadle do płaszczyzny ABC, a więc bezpośrednio AO, VO, SO oraz ROBIĆ leżąc w nim. A więc trójkąty ROA, ROV, ROS, ROD- prostokątny.
Rozważ kwadrat ABCD. Z własności kwadratu wynika, że AO = BO = CO = ROBIĆ.
Następnie trójkąty prostokątne ROA, ROV, ROS, ROD noga RO- ogólne i nogi AO, VO, SO oraz ROBIĆ równe, więc te trójkąty są równe na dwóch nogach. Z równości trójkątów wynika równość odcinków, RA = PB = PC = PD. Udowodniono punkt 1.
Segmenty AB oraz Słońce są równe, ponieważ są bokami tego samego kwadratu, RA = RV = PC. A więc trójkąty AVR oraz magnetowid - równoramienne i równe z trzech stron.
Podobnie otrzymujemy, że trójkąty ABP, BCP, CDP, DAP są równoramienne i równe, co należało udowodnić w punkcie 2.
Pole powierzchni bocznej regularnej piramidy jest równe połowie iloczynu obwodu podstawy i apothem:
Jako dowód wybieramy regularną trójkątną piramidę.
Dany: RAVY jest regularną trójkątną piramidą.
AB = BC = AC.
RO- Wysokość.
Udowodnić: 
. Patrz Ryc. pięć.
Ryż. pięć
Dowód.
RAVY jest regularną trójkątną piramidą. To znaczy AB= AC = pne. Pozwalać O- środek trójkąta ABC, następnie RO jest wysokością piramidy. Podstawą piramidy jest trójkąt równoboczny. ABC. Zauważ, że 
.
trójkąty RAV, RVS, RSA- równe trójkąty równoramienne (według właściwości). Trójkątna piramida ma trzy ściany boczne: RAV, RVS, RSA. Tak więc obszar bocznej powierzchni piramidy wynosi:
Strona S = 3S RAB
Twierdzenie zostało udowodnione.
Promień koła wpisanego w podstawę regularnej czworokątnej piramidy wynosi 3 m, wysokość piramidy wynosi 4 m. Znajdź pole powierzchni bocznej piramidy.
Dany: regularna czworokątna piramida ABCD,
ABCD- plac,
r= 3m,
RO- wysokość piramidy,
RO= 4 m.
Odnaleźć: strona S. Patrz Ryc. 6.
Ryż. 6
Decyzja.
Zgodnie z udowodnionym twierdzeniem, .
Najpierw znajdź bok podstawy AB. Wiemy, że promień koła wpisanego w podstawę ostrosłupa prawidłowego czworokątnego wynosi 3 m.
następnie m.
Znajdź obwód kwadratu ABCD o boku 6 m:
Rozważ trójkąt BCD. Pozwalać M- środkowa strona DC. Jak O- środek BD, następnie 
(m).
Trójkąt DPC- równoramienne. M- środek DC. To znaczy, RM- mediana, a więc wysokość w trójkącie DPC. Następnie RM- apotem piramidy.
RO jest wysokością piramidy. Potem prosto RO prostopadle do płaszczyzny ABC, a więc bezpośredni OM leżąc w nim. Znajdźmy apotem RM z trójkąta prostokątnego ROM.
Teraz możemy znaleźć boczną powierzchnię piramidy:
Odpowiedź: 60 m2.
Promień okręgu opisanego w pobliżu podstawy ostrosłupa foremnego trójkątnego wynosi m. Pole powierzchni bocznej wynosi 18 m2. Znajdź długość apotemu.
Dany: ABCP- regularna trójkątna piramida,
AB = BC = SA,
R= m,
bok P = 18 m 2.
Odnaleźć: . Patrz Ryc. 7.
Ryż. 7
Decyzja.
W prawym trójkącie ABC dany promień okręgu opisanego. Znajdźmy stronę AB ten trójkąt za pomocą twierdzenia o sinusach.
Znając bok regularnego trójkąta (m), znajdujemy jego obwód.
Zgodnie z twierdzeniem o powierzchni bocznej regularnej piramidy, gdzie he a- apotem piramidy. Następnie:
Odpowiedź: 4m.
Zbadaliśmy więc, czym jest piramida, czym jest piramida foremna, udowodniliśmy twierdzenie na powierzchni bocznej piramidy foremnej. W następnej lekcji zapoznamy się ze ściętą piramidą.
Bibliografia
- Geometria. Klasa 10-11: podręcznik dla uczniów placówek oświatowych (poziom podstawowy i profilowy) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - wydanie 5, ks. i dodatkowe - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: chory.
- Geometria. Klasa 10-11: Podręcznik dla szkół ogólnokształcących / Sharygin I. F. - M .: Drop, 1999. - 208 s.: chory.
- Geometria. Klasa 10: Podręcznik dla szkół ogólnokształcących z pogłębionym i profilowym studium matematyki / E. V. Potoskuev, LI Zvalich. - wyd. 6, stereotyp. - M.: Drop, 008. - 233 s.: chory.
- Portal internetowy „Yaklass” ()
- Portal internetowy „Festiwal Idei Pedagogicznych „Pierwszy września” ()
- Portal internetowy „Slideshare.net” ()
Praca domowa
- Czy wielokąt foremny może być podstawą nieregularnej piramidy?
- Udowodnij, że nie przecinające się krawędzie ostrosłupa foremnego są prostopadłe.
- Znajdź wartość kąta dwuściennego przy boku podstawy regularnej czworokątnej piramidy, jeśli apotem piramidy jest równy bokowi jej podstawy.
- RAVY jest regularną trójkątną piramidą. Skonstruuj kąt liniowy kąta dwuściennego u podstawy ostrosłupa.
Wprowadzenie
Kiedy zaczęliśmy studiować figury stereometryczne, poruszyliśmy temat „Piramida”. Spodobał nam się ten motyw, ponieważ piramida jest bardzo często wykorzystywana w architekturze. A ponieważ nasz przyszły zawód architekta, zainspirowany tą postacią, myślimy, że będzie w stanie popchnąć nas do wielkich projektów.
Siła konstrukcji architektonicznych, ich najważniejsza jakość. Wiążąc wytrzymałość po pierwsze z materiałami, z których są wykonane, a po drugie z cechami rozwiązań konstrukcyjnych okazuje się, że wytrzymałość konstrukcji jest bezpośrednio związana z podstawowym dla niej kształtem geometrycznym.
Innymi słowy, mówimy o figurze geometrycznej, którą można uznać za model odpowiedniej formy architektonicznej. Okazuje się, że kształt geometryczny decyduje również o wytrzymałości konstrukcji architektonicznej.
Piramidy egipskie od dawna uważane są za najtrwalszą budowlę architektoniczną. Jak wiecie, mają kształt regularnych czworokątnych piramid.
To właśnie ten geometryczny kształt zapewnia największą stabilność dzięki dużej powierzchni podstawy. Z drugiej strony kształt piramidy sprawia, że masa maleje wraz ze wzrostem wysokości nad ziemią. To właśnie te dwie właściwości sprawiają, że piramida jest stabilna, a zatem wytrzymała w warunkach grawitacji.
Cel projektu: dowiedz się czegoś nowego o piramidach, pogłębij wiedzę i znajdź praktyczne zastosowania.
Aby osiągnąć ten cel, konieczne było rozwiązanie następujących zadań:
Poznaj historyczne informacje o piramidzie
Rozważ piramidę jako figurę geometryczną
Znajdź zastosowanie w życiu i architekturze
Znajdź podobieństwa i różnice między piramidami znajdującymi się w różnych częściach świata
Część teoretyczna
Informacje historyczne
Początek geometrii piramidy został położony w starożytnym Egipcie i Babilonie, ale był aktywnie rozwijany w starożytnej Grecji. Pierwszym, który ustalił, jaka jest objętość piramidy, był Demokryt, a udowodnił to Eudoksos z Knidos. Starożytny grecki matematyk Euklides usystematyzował wiedzę o piramidzie w XII tomie swoich „Początków”, a także przedstawił pierwszą definicję piramidy: figura cielesna ograniczona płaszczyznami, które zbiegają się z jednej płaszczyzny w jednym punkcie.
Grobowce egipskich faraonów. Największe z nich - piramidy Cheopsa, Chefrena i Mikerina w El Gizie w starożytności uważane były za jeden z Siedmiu Cudów Świata. Wzniesienie piramidy, w której już Grecy i Rzymianie widzieli pomnik bezprecedensowej pychy królów i okrucieństwa, które skazywało cały lud Egiptu na bezsensowną budowę, było najważniejszym aktem kultowym i miało wyrażać podobno mistyczna tożsamość kraju i jego władcy. Ludność kraju pracowała przy budowie grobowca w części roku wolnej od prac rolniczych. Szereg tekstów świadczy o uwadze i trosce, jaką sami królowie (choć późniejsi) przykładali do budowy swojego grobowca i jego budowniczych. Wiadomo również o szczególnych odznaczeniach kultowych, jakimi okazała się sama piramida.
Podstawowe koncepcje
Piramida Nazywa się wielościan, którego podstawą jest wielokąt, a pozostałe ściany to trójkąty mające wspólny wierzchołek.
Apotem- wysokość ściany bocznej piramidy foremnej, rysowana od jej wierzchołka;
Twarze boczne- trójkąty zbiegające się u góry;
Boczne żebra- wspólne boki ścian bocznych;
szczycie piramidy- punkt łączący krawędzie boczne i nie leżący w płaszczyźnie podstawy;
Wysokość- odcinek prostopadłej poprowadzonej przez wierzchołek ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy (końce tego odcinka to wierzchołek ostrosłupa i podstawa prostopadłej);
Przekątna przekrój piramidy- przekrój ostrosłupa przechodzący przez wierzchołek i przekątną podstawy;
Baza- wielokąt, który nie należy do wierzchołka piramidy.
Główne właściwości prawidłowej piramidy
Krawędzie boczne, ściany boczne i apotemy są odpowiednio równe.
Kąty dwuścienne u podstawy są równe.
Kąty dwuścienne na krawędziach bocznych są równe.
Każdy punkt wysokości jest jednakowo oddalony od wszystkich wierzchołków podstawy.
Każdy punkt wysokości jest jednakowo oddalony od wszystkich ścian bocznych.
Podstawowe formuły piramidy
Obszar bocznej i pełnej powierzchni piramidy.
Pole powierzchni bocznej piramidy (pełnej i ściętej) to suma pól wszystkich jej ścian bocznych, pole powierzchni całkowitej to suma pól wszystkich jej ścian.
Twierdzenie: Pole powierzchni bocznej regularnej piramidy jest równe połowie iloczynu obwodu podstawy i wierzchołka piramidy.
p- obwód podstawy;
h- apotem.
Obszar bocznych i pełnych powierzchni ściętej piramidy.
p1, p 2 - obwody podstawy;
h- apotem.
R- całkowita powierzchnia regularnej ściętej piramidy;
strona S- pole powierzchni bocznej regularnej ściętej piramidy;
S1 + S2- obszar bazowy
Objętość piramidy
Formularz Skala objętości jest używana do wszelkiego rodzaju piramid.
H jest wysokością piramidy.
Kąty piramidy
Kąty utworzone przez ścianę boczną i podstawę piramidy nazywane są kątami dwuściennymi u podstawy piramidy.
Kąt dwuścienny tworzą dwie prostopadłe.
Aby określić ten kąt, często trzeba użyć twierdzenia o trzech prostopadłych.
Nazywamy kąty utworzone przez krawędź boczną i jej rzut na płaszczyznę podstawy kąty między krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy.
Nazywa się kąt utworzony przez dwie ściany boczne kąt dwuścienny na bocznej krawędzi ostrosłupa.
Nazywa się kąt, który tworzą dwie boczne krawędzie jednej ściany piramidy rogu na szczycie piramidy.
Sekcje piramidy
Powierzchnia piramidy jest powierzchnią wielościanu. Każda z jego ścian jest płaszczyzną, więc przekrój ostrosłupa określony przez sieczną płaszczyznę jest linią łamaną składającą się z oddzielnych prostych.
Przekrój poprzeczny
Nazywa się przekrój ostrosłupa przez płaszczyznę przechodzącą przez dwie krawędzie boczne, które nie leżą na tej samej ścianie sekcja diagonalna piramidy.
Sekcje równoległe
Twierdzenie:
Jeśli piramidę przecina płaszczyzna równoległa do podstawy, to krawędzie boczne i wysokości piramidy są podzielone przez tę płaszczyznę na proporcjonalne części;
Przekrój tej płaszczyzny jest wielokątem podobnym do podstawy;
Obszary przekroju i podstawy są ze sobą powiązane jako kwadraty ich odległości od wierzchołka.
Rodzaje piramid
Prawidłowa piramida- piramida, której podstawą jest regularny wielokąt, a wierzchołek piramidy jest rzutowany na środek podstawy.
We właściwej piramidzie:
1. żebra boczne są równe
2. ściany boczne są równe
3. apotemy są równe
4. kąty dwuścienne u podstawy są równe
5. kąty dwuścienne na krawędziach bocznych są równe
6. każdy punkt wysokości jest jednakowo oddalony od wszystkich wierzchołków podstawy
7. każdy punkt wysokości jest jednakowo oddalony od wszystkich ścian bocznych
Ścięta piramida- część piramidy zamknięta między jej podstawą a płaszczyzną cięcia równoległą do podstawy.
Nazywa się podstawę i odpowiednią sekcję ściętej piramidy podstawy ściętej piramidy.
Prostopadłą poprowadzoną z dowolnego punktu jednej podstawy do płaszczyzny drugiej nazywamy wysokość ściętej piramidy.
Zadania
nr 1. W regularnym czworokątnym ostrosłupie punkt O jest środkiem podstawy, SO=8 cm, BD=30 cm Znajdź krawędź boczną SA.
Rozwiązywanie problemów
nr 1. W regularnej piramidzie wszystkie ściany i krawędzie są równe.
Rozważmy OSB: prostokątny prostokąt OSB, ponieważ.
SB 2 \u003d SO 2 + OB 2
SB2=64+225=289
Piramida w architekturze
Piramida - monumentalna konstrukcja w postaci zwykłej regularnej piramidy geometrycznej, w której boki zbiegają się w jednym punkcie. Zgodnie z przeznaczeniem funkcjonalnym piramidy w starożytności były miejscem pochówku lub kultu. Podstawa piramidy może być trójkątna, czworokątna lub wielokątna z dowolną liczbą wierzchołków, ale najczęstszą wersją jest podstawa czworokątna.
Znana jest znaczna liczba piramid zbudowanych przez różne kultury starożytnego świata, głównie jako świątynie lub pomniki. Największe piramidy to piramidy egipskie.
Na całej Ziemi można zobaczyć budowle architektoniczne w formie piramid. Budynki piramid przypominają czasy starożytne i wyglądają bardzo pięknie.
Piramidy egipskie to największe zabytki architektury starożytnego Egiptu, wśród których jednym z „siedmiu cudów świata” jest piramida Cheopsa. Od podnóża do szczytu osiąga 137,3 m, a przed utratą szczytu jego wysokość wynosiła 146,7 m.
Budynek rozgłośni radiowej w stolicy Słowacji, przypominający odwróconą piramidę, powstał w 1983 roku. Oprócz pomieszczeń biurowych i usługowych, wewnątrz bryły mieści się dość przestronna sala koncertowa, w której znajdują się jedne z największych organów na Słowacji .
Luwr, który „jest cichy i majestatyczny jak piramida”, przeszedł wiele zmian na przestrzeni wieków, zanim stał się największym muzeum na świecie. Narodził się jako twierdza, wzniesiona przez Filipa Augusta w 1190 roku, która wkrótce przekształciła się w rezydencję królewską. W 1793 roku pałac stał się muzeum. Zbiory wzbogacane są poprzez zapisy lub zakupy.
Podczas rozwiązywania problemu C2 metodą współrzędnych wielu uczniów napotyka ten sam problem. Nie potrafią obliczyć współrzędne punktu zawarte w formule iloczynu skalarnego. Największe trudności są piramidy. A jeśli punkty bazowe są uważane za mniej więcej normalne, to szczyty to istne piekło.
Dzisiaj zajmiemy się regularną czworokątną piramidą. Istnieje również trójkątna piramida (tzw. czworościan). Jest to bardziej złożony projekt, więc zostanie mu poświęcona osobna lekcja.
Zacznijmy od definicji:
Zwykła piramida to taka, w której:
- Podstawą jest regularny wielokąt: trójkąt, kwadrat itp.;
- Wysokość poprowadzona do podstawy przechodzi przez jej środek.
W szczególności podstawą czworokątnej piramidy jest plac. Zupełnie jak Cheops, tylko trochę mniejszy.
Poniżej znajdują się obliczenia dla ostrosłupa ze wszystkimi krawędziami równymi 1. Jeśli tak nie jest w przypadku twojego problemu, obliczenia się nie zmienią - zmienią się tylko liczby.
Wierzchołki czworokątnej piramidy
Niech więc będzie dana regularna czworokątna piramida SABCD, gdzie S jest wierzchołkiem, a podstawą ABCD jest kwadrat. Wszystkie krawędzie są równe 1. Należy wprowadzić układ współrzędnych i znaleźć współrzędne wszystkich punktów. Mamy:
Wprowadzamy układ współrzędnych z początkiem w punkcie A:
- Oś OX jest skierowana równolegle do krawędzi AB;
- Oś OY - równoległa do AD . Ponieważ ABCD jest kwadratem, AB ⊥ AD ;
- Ostatecznie oś OZ jest skierowana w górę, prostopadle do płaszczyzny ABCD.
Teraz rozważymy współrzędne. Dodatkowa konstrukcja: SH - wysokość wyciągnięta do podstawy. Dla wygody wyjmiemy podstawę piramidy na osobnej figurze. Ponieważ punkty A , B , C i D leżą na płaszczyźnie OXY, ich współrzędna wynosi z = 0. Mamy:
- A = (0; 0; 0) - pokrywa się z początkiem;
- B = (1; 0; 0) - krok po 1 wzdłuż osi OX od początku układu współrzędnych;
- C = (1; 1; 0) - krok co 1 wzdłuż osi OX i co 1 wzdłuż osi OY;
- D = (0; 1; 0) - krok tylko wzdłuż osi OY.
- H \u003d (0,5; 0,5; 0) - środek kwadratu, środek odcinka AC.
Pozostaje znaleźć współrzędne punktu S. Zauważ, że współrzędne x i y punktów S i H są takie same, ponieważ leżą na linii prostej równoległej do osi OZ. Pozostaje znaleźć współrzędną z dla punktu S .
Rozważmy trójkąty ASH i ABH:
- AS = AB = 1 według warunku;
- Kąt AHS = AHB = 90°, ponieważ SH to wysokość, a AH ⊥ HB to przekątne kwadratu;
- Strona AH - wspólna.
Zatem trójkąty prostokątne ASH i ABH równy jedna noga i jedna przeciwprostokątna. Więc SH = BH = 0,5 BD . Ale BD jest przekątną kwadratu o boku 1. Zatem mamy:
Współrzędne całkowite punktu S:
Podsumowując, zapisujemy współrzędne wszystkich wierzchołków regularnej prostokątnej piramidy:
Co zrobić, gdy żebra są różne
Ale co, jeśli boczne krawędzie piramidy nie są równe krawędziom podstawy? W takim przypadku rozważ trójkąt AHS:
Trójkąt AHS- prostokątny, a przeciwprostokątna AS jest także krawędzią boczną oryginalnej piramidy SABCD . Noga AH jest łatwa do rozważenia: AH = 0,5 AC. Znajdź pozostałą nogę SH zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa. Będzie to współrzędna z dla punktu S.
Zadanie. Biorąc pod uwagę regularną czworokątną piramidę SABCD , u podstawy której leży kwadrat o boku 1. Krawędź boczna BS = 3. Znajdź współrzędne punktu S .
Znamy już współrzędne x i y tego punktu: x = y = 0,5. Wynika to z dwóch faktów:
- Rzutem punktu S na płaszczyznę OXY jest punkt H;
- Jednocześnie punkt H jest środkiem kwadratu ABCD, którego wszystkie boki są równe 1.
Pozostaje znaleźć współrzędną punktu S. Rozważmy trójkąt AHS. Jest prostokątny, z przeciwprostokątną AS = BS = 3, ramię AH jest połową przekątnej. Do dalszych obliczeń potrzebujemy jego długości:
Twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta AHS : AH 2 + SH 2 = AS 2 . Mamy:
Zatem współrzędne punktu S:
Kiedy człowiek słyszy słowo „piramida”, od razu przypomina sobie majestatyczne budowle egipskie. Jednak starożytni kamienni giganci są tylko jednym z przedstawicieli klasy piramid. W tym artykule rozważymy z geometrycznego punktu widzenia właściwości regularnej czworokątnej piramidy.
Czym ogólnie jest piramida?
W geometrii jest rozumiany jako trójwymiarowa figura, którą można otrzymać łącząc wszystkie wierzchołki wielokąta płaskiego z jednym pojedynczym punktem leżącym na innej płaszczyźnie niż ten wielokąt. Poniższy rysunek przedstawia 4 figury, które spełniają tę definicję.
Widzimy, że pierwsza figura ma trójkątną podstawę, druga - czworokątną. Dwa ostatnie są reprezentowane przez pięcio- i sześciokątną podstawę. Jednak boczna powierzchnia wszystkich piramid jest utworzona przez trójkąty. Ich liczba jest dokładnie równa liczbie boków lub wierzchołków wielokąta u podstawy.
Szczególnym typem piramid, różniącym się od innych przedstawicieli klasy idealną symetrią, są piramidy regularne. Aby figura była poprawna, muszą być spełnione dwa warunki:
- podstawa musi być regularnym wielokątem;
- powierzchnia boczna figury powinna składać się z równych trójkątów równoramiennych.
Zauważ, że drugi obowiązkowy warunek można zastąpić innym: prostopadła poprowadzona do podstawy od góry piramidy (punkt przecięcia bocznych trójkątów) musi przecinać tę podstawę w jej geometrycznym środku.
Przejdźmy teraz do tematu artykułu i zastanówmy się, jakie właściwości charakteryzuje regularna czworokątna piramida. Najpierw pokażmy na rysunku, jak wygląda ta figura.
Jego podstawą jest kwadrat. Boki reprezentują 4 identyczne trójkąty równoramienne (mogą być również równoboczne z pewnym stosunkiem długości boku kwadratu do wysokości figury). Wysokość obniżona ze szczytu piramidy przetnie kwadrat w jego środku (punkt przecięcia przekątnych).
Ta piramida ma 5 ścian (kwadrat i cztery trójkąty), 5 wierzchołków (cztery z nich należą do podstawy) i 8 krawędzi. czwartego rzędu, przechodząc przez wysokość piramidy, przekłada ją na siebie, obracając się o 90 o .
Egipskie piramidy w Gizie są regularnymi czworokątami.
Cztery podstawowe parametry liniowe
Rozpocznijmy rozważenie właściwości matematycznych regularnej czworokątnej piramidy od wzorów na wysokość, długość boku podstawy, krawędzi bocznej i apotem. Powiedzmy od razu, że wszystkie te wielkości są ze sobą powiązane, więc wystarczy znać tylko dwie z nich, aby jednoznacznie obliczyć pozostałe dwie.
Załóżmy, że znana jest wysokość h piramidy i długość a boku kwadratowej podstawy, to krawędź boczna b będzie równa:
b = √ (za 2 / 2 + h 2)
Teraz podajemy wzór na długość a b apotem (wysokość trójkąta obniżona do boku podstawy):
za b = √ (za 2 / 4 + godz 2)
Oczywiście krawędź boczna b jest zawsze większa niż apotem a b .
Obu wyrażeń można użyć do określenia wszystkich czterech charakterystyk liniowych, jeśli znane są pozostałe dwa parametry, na przykład a b i h.
Pole i objętość figury
Są to jeszcze dwie ważne właściwości regularnej czworokątnej piramidy. Podstawa figury ma pole:
Każdy uczeń zna tę formułę. Obszar powierzchni bocznej, który jest utworzony przez cztery identyczne trójkąty, można określić za pomocą apotemu a b piramidy w następujący sposób:
Jeśli a b jest nieznane, można je określić za pomocą wzorów z poprzedniego akapitu poprzez wysokość h lub krawędź b.
Całkowita powierzchnia rozważanej figury jest sumą obszarów S o i S b:
S = S o + S b = za 2 + 2 × za × za b = za (a + 2 × za b)
Obliczona powierzchnia wszystkich ścian piramidy jest pokazana na poniższym rysunku jako jej przeciągnięcie.
Opis właściwości regularnej czworokątnej piramidy nie będzie kompletny, jeśli nie weźmie się pod uwagę wzoru na określenie jej objętości. Ta wartość dla rozważanej piramidy jest obliczana w następujący sposób:
Oznacza to, że V jest równe trzeciej części iloczynu wysokości figury i pola jej podstawy.
Właściwości regularnej ściętej czworokątnej piramidy
Możesz zdobyć tę figurę z oryginalnej piramidy. Aby to zrobić, konieczne jest odcięcie górnej części piramidy za pomocą płaszczyzny. Figura pozostająca pod płaszczyzną cięcia będzie nazywana ściętą piramidą.
Najwygodniej jest badać cechy ściętej piramidy, jeśli jej podstawy są równoległe do siebie. W tym przypadku dolna i górna podstawa będą podobnymi wielokątami. Ponieważ podstawa w czworokątnej regularnej piramidzie jest kwadratem, przekrój utworzony podczas cięcia będzie również kwadratem, ale o mniejszym rozmiarze.
Boczną powierzchnię ściętej figury tworzą nie trójkąty, ale trapezy równoramienne.
Jedną z ważnych właściwości tej piramidy jest jej objętość, którą oblicza się według wzoru:
V = 1/3 × h × (S o1 + S o2 + √ (S o1 × So2))
Tutaj h to odległość między podstawami figury, So1, So2 to pola dolnej i górnej podstawy.
