Niekończące się liczby. Niemożliwe figury w realnym świecie

Na pierwszy rzut oka wydaje się, że niemożliwe figury mogą istnieć tylko na płaszczyźnie. W rzeczywistości niesamowite postacie można ucieleśnić w przestrzeni trójwymiarowej, ale dla „tego samego efektu” trzeba spojrzeć na nie z określonego punktu.

Zniekształcona perspektywa jest częstym zjawiskiem w malarstwie antycznym. Gdzieś wynikało to z niemożności zbudowania obrazu przez artystów, gdzieś - oznaką obojętności na realizm, który preferowano od symboliki. Świat materialny został częściowo zrehabilitowany w renesansie. Mistrzowie renesansu zaczęli badać perspektywę i odkrywać gry z przestrzenią.

Jeden z obrazów niemożliwej postaci pochodzi z XVI wieku - na obrazie Pietera Brueghela Starszego „Czterdzieści na szubienicy” ta sama szubienica wygląda podejrzanie.

Niemożliwe postacie XX wieku zyskały wielką sławę. Szwedzki artysta Oskar Rutesvärd namalował trójkąt złożony z sześcianów w 1934 roku „Opus 1”, a kilka lat później – „Opus 2B”, w którym zmniejszyła się liczba sześcianów. Sam artysta zauważa, że ​​za najcenniejsze w opracowywaniu postaci, którego podjął się jeszcze w latach szkolnych, należy uznać nie tworzenie samych rysunków, ale umiejętność zrozumienia, że ​​to, co jest rysowane, jest paradoksalne i sprzeczne z prawa geometrii euklidesowej.

Moja pierwsza figura niemożliwa pojawiła się przypadkiem, kiedy w 1934 roku na ostatnich zajęciach w gimnazjum „drapałem” w podręczniku do gramatyki łacińskiej, rysując w nim figury geometryczne.

Oskara Ruteswarda „Rysunki niemożliwe”

W latach 50. XX wieku brytyjski matematyk Roger Penrose opublikował artykuł poświęcony osobliwościom percepcji form przestrzennych przedstawionych na płaszczyźnie. Artykuł ukazał się w British Journal of Psychology, który wiele mówi o naturze figur niemożliwych. Najważniejsze w nich nie jest nawet paradoksalna geometria, ale to, jak nasz umysł postrzega takie zjawiska. Z reguły zrozumienie, co dokładnie jest „nie tak” z figurą, zajmuje kilka sekund.

Dzięki Rogerowi Penrose'owi na figury te spojrzano z punktu widzenia nauki, jako na obiekty o szczególnych cechach topologicznych. Australijska rzeźba, o której była mowa powyżej, jest po prostu niemożliwym trójkątem Penrose'a, w którym wszystkie elementy są prawdziwe, ale obraz nie składa się na integralność, jaka może istnieć w trójwymiarowym świecie. Trójkąt Penrose'a wprowadza w błąd z fałszywą perspektywą.

Tajemnicze postacie stały się źródłem inspiracji zarówno dla fizyków, jak i matematyków oraz artystów. Zainspirowany artykułem Penrose'a grafik Maurits Escher stworzył kilka litografii, które uczyniły go sławnym jako iluzjonista, a następnie kontynuował eksperymenty z przestrzennymi zniekształceniami na płaszczyźnie.

Niemożliwy widelec

Niemożliwy trójząb, bliwet, a nawet, jak to się nazywa, „diabelski widelec”, to figura z trzema okrągłymi zębami na jednym końcu i prostokątnymi na drugim. Okazuje się, że obiekt jest całkiem normalny w prawej i lewej części, ale w kompleksie okazuje się jednolitym szaleństwem.

Efekt ten uzyskano dzięki temu, że trudno jednoznacznie stwierdzić, gdzie jest pierwszy plan, a gdzie tło.

Irracjonalny sześcian

Niemożliwy sześcian (znany również jako sześcian Eschera) pojawił się na litografii Belvedere Mauritsa Eschera. Wydaje się, że samo istnienie tego sześcianu narusza wszystkie podstawowe prawa geometryczne. Odpowiedź, jak zawsze w przypadku niemożliwych figur, jest dość prosta: ludzkie oko ma tendencję do postrzegania obrazów dwuwymiarowych jako obiektów trójwymiarowych.

Tymczasem w trzech wymiarach niemożliwy sześcian wyglądałby tak, a od pewnego momentu wyglądałby tak samo jak na powyższym obrazku.

Figury niemożliwe cieszą się dużym zainteresowaniem psychologów, kognitywistów i biologów ewolucyjnych, pomagając dowiedzieć się więcej o naszym widzeniu i rozumowaniu przestrzennym. Dzisiaj technologie komputerowe, rzeczywistość wirtualna i projekcje poszerzają możliwości, dzięki czemu można z nowym zainteresowaniem spojrzeć na sprzeczne obiekty.

Oprócz klasycznych przykładów, które podaliśmy, istnieje wiele innych opcji figur niemożliwych, a artyści i matematycy wymyślają nowe paradoksalne opcje. Rzeźbiarze i architekci stosują rozwiązania, które mogą wydawać się niewiarygodne, choć ich wygląd zależy od kierunku patrzenia widza (jak obiecał Escher – względność!).

Nie trzeba być zawodowym architektem, aby spróbować swoich sił w tworzeniu objętościowych niemożliwości. Istnieją origami niemożliwych figur - można to powtórzyć w domu, pobierając puste miejsce.

Przydatne zasoby

• Impossible World - zasób w języku rosyjskim i angielskim ze słynnymi obrazami, setkami przykładów niemożliwych postaci i programami do samodzielnego tworzenia niesamowitych.
• MC Escher - oficjalna strona M.K. Escher, założona przez MC Escher Company (angielski i holenderski).
• - twórczość artysty, artykuły, biografia (język rosyjski).

Co to są liczby niemożliwe?
Wpisując takie pytanie w wyszukiwarkę uzyskamy odpowiedź: „Figura niemożliwa to jeden z rodzajów złudzeń optycznych, figura, która na pierwszy rzut oka wydaje się rzutem zwykłego trójwymiarowego obiektu, przy bliższym zbadanie, które stają się widoczne przeciwstawne połączenia elementów figury. Powstaje złudzenie niemożliwości istnienia takiej postaci w przestrzeni trójwymiarowej. (Wikipedia)”
Myślę, że taka odpowiedź nie wystarczy nam do przedstawienia i zrozumienia tego pojęcia, więc spróbujmy lepiej przestudiować to zagadnienie. I zacznijmy od historii.

Historia
W malarstwie starożytnym można spotkać tak częste zjawisko, jak zniekształcona perspektywa. To ona stworzyła iluzję niemożliwości istnienia przedmiotu. Na obrazie Pietera Brueghela Starszego „Czterdzieści na szubienicy” taką postacią jest sama szubienica. Ale w tamtych czasach tworzenie takich „bajek” nie było fantazją, a raczej nieumiejętnością zbudowania właściwej perspektywy.

Wielkie zainteresowanie figurami niemożliwymi obudziło się w XX wieku.

Szwedzki artysta Oskar Rutesvärd, zafascynowany tworzeniem czegoś paradoksalnego i sprzecznego z prawami geometrii euklidesowej, stworzył takie dzieła: trójkąt z sześcianów „Opus 1”, a później „Opus 2B”.

W latach 50. XX wieku brytyjski matematyk Roger Penrose opublikował artykuł poświęcony osobliwościom percepcji form przestrzennych przedstawionych na płaszczyźnie. Artykuł zainteresował szerokie grono osób: psychologowie zaczęli badać, jak nasz umysł postrzega takie zjawiska, naukowcy przyjrzeli się tym niemożliwym figurom jako obiektom o szczególnych cechach topologicznych. Pojawiła się sztuka niemożliwa lub imposybilizm - kierunek w sztuce, który polega na tworzeniu złudzeń optycznych i figur niemożliwych.

Artykuł Penrose'a zainspirował Mauritsa Eschera do stworzenia kilku litografii, które przyniosły mu sławę artysty iluzjonisty. Jednym z jego najbardziej znanych dzieł jest Teoria względności. Escher przedstawił model „nieskończonych schodów” Penrose'a.

Roger Penrose i jego ojciec Lionel Penrose wynaleźli schody, które obracają się o 90 stopni i zamykają. Dlatego osoba, gdyby chciała się na nią wspiąć, nie mogłaby wznieść się wyżej. Poniższy rysunek pokazuje, że pies i człowiek znajdują się na tym samym poziomie, co dodatkowo potęguje obraz niemożliwości. Jeśli znaki idą zgodnie z ruchem wskazówek zegara, będą stale spadać, a jeśli idą w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, będą rosły.

Nie sposób nie zauważyć niemożliwej kostki Eschera, co wydaje się niemożliwe, ponieważ ludzkie oko często postrzega dwuwymiarowe obrazy jako obiekty trójwymiarowe (więcej o Escherze można przeczytać).

A także klasyczny przykład figury niemożliwej - Trójząb. Jest to figura z trzema okrągłymi zębami na jednym końcu i prostokątnymi na drugim. Efekt ten uzyskano dzięki temu, że trudno jednoznacznie stwierdzić, gdzie jest pierwszy plan, a gdzie tło.

Obecnie trwa proces tworzenia figur niemożliwych. Poniżej kilka z nich (nazwisko twórcy znajduje się pod rysunkiem).

A także nie sposób nie zauważyć pięknych niemożliwych postaci stworzonych przez naszego rodaka Omska Anatolija Konenkę. Na przykład:

Czy w prawdziwym życiu można zobaczyć „figury niemożliwe”?

Wielu powie, że niemożliwe figury są naprawdę nierealne i nie da się ich odtworzyć. Inni będą argumentować, że rysunek przedstawiony na kartce papieru jest rzutem trójwymiarowej figury na płaszczyznę. Dlatego każda figura narysowana na kartce papieru musi istnieć w przestrzeni trójwymiarowej. Więc kto ma rację?

Druga będzie bliższa prawidłowej odpowiedzi. Rzeczywiście, „takie” postacie można zobaczyć w rzeczywistości, wystarczy spojrzeć na nie z pewnego punktu. Możesz to zweryfikować za pomocą poniższych zdjęć.

Jerry Andrus i jego niemożliwa kostka:

Niemożliwe sprzęgło biegów, również wcielone w rzeczywistość przez Jerry'ego Andrusa.

Rzeźba trójkąta Penrose'a (Perth, Australia), którego wszystkie boki są do siebie prostopadłe.

A tak wygląda rzeźba z drugiej strony.

Jeśli lubisz figury niemożliwe, możesz je podziwiać

Figura niemożliwa to jeden z rodzajów złudzeń optycznych, figura, która na pierwszy rzut oka wydaje się być projekcją zwykłego trójwymiarowego przedmiotu,

przy bliższym przyjrzeniu się, które stają się widoczne sprzeczne połączenia elementów figury. Powstaje złudzenie niemożliwości istnienia takiej postaci w przestrzeni trójwymiarowej.

Niemożliwe figury

Najbardziej znane niemożliwe figury to niemożliwy trójkąt, niekończące się schody i niemożliwy trójząb.

Niemożliwy trójkąt Perrose'a

Iluzja Reutersvarda (Reutersvard, 1934)

Zauważ też, że zmiana organizacji figura-podstawa umożliwiła dostrzeżenie centralnie położonej „gwiazdy”.
_________

Niemożliwa kostka Eschera

W rzeczywistości wszystkie niemożliwe liczby mogą istnieć w prawdziwym świecie. Tak więc wszystkie obiekty narysowane na papierze są rzutami obiektów trójwymiarowych, dlatego możliwe jest stworzenie takiego trójwymiarowego obiektu, który rzutowany na płaszczyznę będzie wyglądał niemożliwie. Patrząc na taki obiekt z pewnego punktu, będzie on również wyglądał na niemożliwy, ale patrząc z dowolnego innego punktu, efekt niemożliwości zostanie utracony.

13-metrowa aluminiowa rzeźba niemożliwego trójkąta została wzniesiona w 1999 roku w mieście Perth (Australia). Tutaj niemożliwy trójkąt został przedstawiony w najbardziej ogólnej formie - w postaci trzech belek połączonych ze sobą pod kątem prostym.

Widelec diabła
Wśród wszystkich figur niemożliwych szczególne miejsce zajmuje niemożliwy trójząb („diabelski widelec”).

Jeśli zamkniesz prawą stronę trójzębu dłonią, zobaczymy bardzo realny obraz - trzy okrągłe zęby. Jeśli zamkniemy dolną część trójzębu, zobaczymy również prawdziwy obraz - dwa prostokątne zęby. Ale jeśli weźmiemy pod uwagę całą figurę jako całość, okazuje się, że trzy okrągłe zęby stopniowo zamieniają się w dwa prostokątne.

W ten sposób widać, że pierwszy plan i tło tego rysunku są w konflikcie. Oznacza to, że to, co pierwotnie było na pierwszym planie, wraca, a tło (środkowy ząb) czołga się do przodu. Oprócz zmiany pierwszego planu i tła ten rysunek ma jeszcze jeden efekt - płaskie krawędzie prawej strony trójzębu stają się okrągłe po lewej stronie.

Efekt niemożliwości uzyskuje się dzięki temu, że nasz mózg analizuje kontur sylwetki i próbuje policzyć ilość zębów. Mózg porównuje liczbę zębów figury w lewej i prawej części obrazu, co powoduje poczucie niemożliwości figury. Gdyby figura miała znacznie większą liczbę zębów (na przykład 7 lub 8), ten paradoks byłby mniej wyraźny.

Niektóre książki twierdzą, że niemożliwy trójząb należy do klasy niemożliwych postaci, których nie można odtworzyć w prawdziwym świecie. Właściwie tak nie jest. WSZYSTKIE niemożliwe figury można zobaczyć w prawdziwym świecie, ale będą wyglądać na niemożliwe tylko z jednego punktu widzenia.

______________

niemożliwy słoń


Ile nóg ma słoń?

Psycholog ze Stanford, Roger Shepard, wykorzystał pomysł trójzębu do swojego obrazu niemożliwego słonia.

______________

Schody Penrose'a(niekończące się schody, niemożliwe schody)

Nieskończone schody to jedna z najbardziej znanych klasycznych niemożliwości.

Jest to konstrukcja klatki schodowej, w której w przypadku ruchu wzdłuż niej w jednym kierunku (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara na rysunku do artykułu) osoba będzie się podnosić w nieskończoność, a poruszając się w przeciwnym kierunku, będzie stale schodzić.

Innymi słowy, widzimy schody prowadzące, jak się wydaje, w górę lub w dół, ale jednocześnie idący po nich człowiek nie wznosi się ani nie opada. Po ukończeniu swojej wizualnej trasy znajdzie się na początku ścieżki. Gdybyś naprawdę musiał wejść po tej drabinie, wspinałbyś się po niej bez celu nieskończoną liczbę razy. Można to nazwać niekończącą się syzyfową pracą!

Odkąd Penrose'owie opublikowali tę figurę, pojawiała się ona w druku częściej niż jakikolwiek inny niemożliwy przedmiot. „Schody bez końca” można znaleźć w książkach o grach, łamigłówkach, iluzjach, podręcznikach psychologii i nie tylko.

„Wzlot i zejście”

„Endless Stairway” został z powodzeniem wykorzystany przez artystę Mauritsa K. Eschera, tym razem w jego uroczej litografii Ascending and Descent z 1960 roku.
Na tym rysunku, który odzwierciedla wszystkie możliwości postaci Penrose'a, dość rozpoznawalne Niekończące Schody są starannie wpisane w dach klasztoru. Zakapturzeni mnisi poruszają się po schodach w sposób ciągły w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara i przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Idą ku sobie niemożliwą drogą. Nigdy nie udaje im się wejść w górę ani w dół.

W związku z tym The Endless Stair był częściej kojarzony z Escherem, który je przerysował, niż z Penrosesami, którzy je wymyślili.

Ile jest półek?

Gdzie są otwarte drzwi?

Na zewnątrz czy w środku?

Na płótnach dawnych mistrzów sporadycznie pojawiały się postacie niemożliwe, jak na przykład szubienica na obrazie Pietera Brueghela (Starszego)
„Sroka na szubienicy” (1568)

__________

Niemożliwy łuk

Jos de Mey jest flamandzkim artystą, który studiował w Królewskiej Akademii Sztuk Pięknych w Gandawie (Belgia), a następnie przez 39 lat uczył studentów projektowania wnętrz i koloru. Od 1968 roku skupił się na rysowaniu. Najbardziej znany jest ze skrupulatnego i realistycznego wykonywania niemożliwych konstrukcji.

Najsłynniejsze niemożliwe postacie w twórczości artysty Maurice'a Eschera. Rozważając takie rysunki, każdy szczegół wydaje się całkiem prawdopodobny, jednak przy próbie prześledzenia linii okazuje się, że ta linia nie jest już na przykład zewnętrznym narożnikiem ściany, ale wewnętrznym.

"Względność"

Ta litografia autorstwa holenderskiego artysty Eschera została po raz pierwszy wydrukowana w 1953 roku.

Litografia przedstawia paradoksalny świat, w którym nie obowiązują prawa rzeczywistości. Trzy rzeczywistości są zjednoczone w jednym świecie, trzy siły grawitacji są skierowane prostopadle do siebie.

Powstała struktura architektoniczna, rzeczywistości są połączone schodami. Dla ludzi żyjących w tym świecie, ale w różnych płaszczyznach rzeczywistości, ta sama drabina będzie skierowana w górę lub w dół.

"Wodospad"

Ta litografia autorstwa holenderskiego artysty Eschera została po raz pierwszy wydrukowana w październiku 1961 roku.

Ta praca Eschera przedstawia paradoks - spadająca woda z wodospadu kontroluje koło, które kieruje wodę na szczyt wodospadu. Wodospad ma strukturę „niemożliwego” trójkąta Penrose'a: litografia powstała na podstawie artykułu w British Journal of Psychology.

Projekt składa się z trzech poprzeczek ułożonych jedna na drugiej pod kątem prostym. Wodospad na litografii działa jak perpetuum mobile. Wydaje się również, że obie wieże są takie same; właściwie ten po prawej, jedno piętro poniżej lewej wieży.

Cóż, bardziej nowoczesna praca: o)
Niekończąca się fotografia

Niesamowita konstrukcja

Szachownica

zdjęcia do góry nogami

Co widzisz: ogromną wronę ze zdobyczą czy rybaka w łodzi, rybę i wyspę z drzewami?

Rasputina i Stalina

Młodość i starość

_________________

Szlachetna i królowa

___________________

Zły i zabawny

Sama nazwa jest myląca: „forma niemożliwa”. Jak jakakolwiek forma może być niemożliwa? Jeśli ktoś narysuje daną figurę, to ona istnieje. Rzeczywiście, można je rysować, ale nie tworzyć w trzech wymiarach.

Niemożliwe figury jest rodzajem złudzenia optycznego. Kiedy patrzymy na rysunek w 2D, nasz mózg automatycznie interpretuje przedstawiony element jako obiekt 3D, próbując zrozumieć rodzaje i symbole. Ale w tym przypadku są rysowane z niekonsekwencjami przestrzennymi, tworząc głębię, której nie ma – lub nie może być – w prawdziwym życiu. Podświadomy umysł stara się przetworzyć rysunki, które są „błędne”, próbując przekształcić je w coś prawdziwego i zrozumiałego. Ale on nie może.

Czy jesteś zaskoczony? Przyjrzyjmy się niektórym niemożliwym kształtom i sposobom ich narysowania. Pomoże ci to lepiej zrozumieć, czym one są i jak działają.

Najbardziej znane niemożliwe kształty

Wyobraźmy sobie cztery ze wszystkich najsłynniejszych postaci niemożliwych:

• Trójkąt Penrose'a (lub zwany także tribarem),
• schody penrose'a,
• pudełko optyczne
• niemożliwy trójząb.

Trójkąt Penrose'a Schody Penrose'a

Wszystkie dają okazję zarówno do wartościowej eksploracji procesów percepcyjnych człowieka, jak i do wniesienia radości i uroku. Takie prace ujawniają niekończącą się fascynację ludzkości kreatywnością i niezwykłością. Te przykłady mogą również pomóc nam zrozumieć, że nasze własne postrzeganie może być ograniczone lub różnić się od postrzegania tej samej rzeczy przez inną osobę.

Jak narysować niemożliwe figury?

Wyobraź sobie, co następuje. Chciałeś spróbować swoich sił w rysowaniu, aby odtworzyć niemożliwy kształt. To nie jest zaskakujące. Pamiętasz, jak fajnie było jako dziecko, gdy ktoś po raz pierwszy pokazał ci, jak narysować sześcian? Narysujesz jeden kwadrat, potem drugi, który był w połowie pierwszego, a następnie połączysz je ukośnymi liniami. A oto sześcian dla Ciebie!

Chociaż istnieje wiele skomplikowanych, niemożliwych kształtów, które byłyby trudne dla większości ludzi, możesz użyć jednej prostej metody, aby stworzyć jeden z wielu popularnych kształtów: kwadraty, trójkąty, gwiazdy i pięciokąty. Narysujmy trójkąt.

• Narysuj trójkąt.
• Przedłuż linię z każdego rogu.
• Narysuj inną linię z każdego z tych rozszerzeń, które rozciągają się lekko w rogach.
• Prawie skończyliśmy! Na końcu każdej linii narysuj krótki kąt 45 stopni, który jest wyrównany z przeciwną stroną.
• A teraz najprzyjemniejsza część: połącz linie, a otrzymasz niemożliwy kształt!

Skorzystaj z tego podstawowego zestawu instrukcji, aby stworzyć niemożliwe kształty z innych kształtów. To powinno być całkiem łatwe.

Jak niemożliwe kształty inspirują sztukę

Niemożliwe przedmioty są fascynujące. Możesz je studiować przez długi czas, śledząc ich linie, próbując dokładnie dowiedzieć się, gdzie dokładnie „sztuczka” polega na tym, że wyglądają jak prawdziwe, a jednocześnie nierealne. Nic dziwnego, że często inspirują artystów do ich odtwarzania. Być może najbardziej znanym artystą w świecie konstrukcji niemożliwych jest M. C. Escher.

Mauritsa Eschera- urodzony w Holandii, wybitny holenderski grafik, znany na całym świecie jako mistrz iluzji graficznych.

Wyprodukował około 450 litografii, drzeworytów i drzeworytów w ciągu swojego życia, a także ponad 2000 rysunków i szkiców. Był zafascynowany przedmiotami niemożliwymi i pomógł spopularyzować trójkąt Penrose'a, który umieścił w wielu swoich pracach.