Środek regularnej piramidy. piramidy

Definicja

Piramida jest wielościanem złożonym z wielokąta \(A_1A_2...A_n\) i \(n\) trójkątów ze wspólnym wierzchołkiem \(P\) (nieleżącym w płaszczyźnie wielokąta) i przeciwległymi bokami pokrywającymi się z bokami wielokąt.
Oznaczenie: \(PA_1A_2...A_n\) .
Przykład: pięciokątna piramida \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .

Trójkąty \(PA_1A_2, \ PA_2A_3\) itd. zwany twarze boczne piramidy, segmenty \(PA_1, PA_2\) itp. - boczne żebra, wielokąt \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – podstawa, punkt \(P\) – szczyt.

Wysokość Piramidy to prostopadłe spuszczone ze szczytu piramidy do płaszczyzny podstawy.

Nazywa się piramidę z trójkątem u podstawy czworościan.

Piramida nazywa się prawidłowy, jeśli jego podstawą jest wielokąt foremny i spełniony jest jeden z poniższych warunków:

\((a)\) boczne krawędzie ostrosłupa są równe;

\((b)\) wysokość ostrosłupa przechodzi przez środek okręgu opisanego w pobliżu podstawy;

\((c)\) żebra boczne są nachylone do płaszczyzny podstawy pod tym samym kątem.

\((d)\) ściany boczne są nachylone do płaszczyzny podstawy pod tym samym kątem.

regularny czworościan jest trójkątną piramidą, której wszystkie ściany są równymi trójkątami równobocznymi.

Twierdzenie

Warunki \((a), (b), (c), (d)\) są równoważne.

Dowód

Narysuj wysokość piramidy \(PH\) . Niech \(\alpha\) będzie płaszczyzną podstawy ostrosłupa.

1) Udowodnijmy, że \((a)\) implikuje \((b)\) . Niech \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

Dlatego \(PH\perp \alpha\) , to \(PH\) jest prostopadłe do dowolnej prostej leżącej na tej płaszczyźnie, więc trójkąty są prostokątne. Więc te trójkąty są równe we wspólnej nodze \(PH\) i przeciwprostokątnej \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Więc \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Oznacza to, że punkty \(A_1, A_2, ..., A_n\) są w tej samej odległości od punktu \(H\) , a więc leżą na tym samym okręgu o promieniu \(A_1H\) . Okrąg ten z definicji jest opisany na wielokącie \(A_1A_2...A_n\) .

2) Udowodnijmy, że \((b)\) implikuje \((c)\) .

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) prostokątny i równy na dwóch nogach. Stąd też ich kąty są równe, zatem \(\kąt PA_1H=\kąt PA_2H=...=\kąt PA_nH\).

3) Udowodnijmy, że \((c)\) implikuje \((a)\) .

Podobnie jak w punkcie pierwszym, trójkąty \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) prostokątny i wzdłuż nogi oraz kąt ostry. Oznacza to, że ich przeciwprostokątne są również równe, czyli \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

4) Udowodnijmy, że \((b)\) implikuje \((d)\) .

Dlatego w wielokącie foremnym środki okręgów wpisanych i opisanych pokrywają się (mówiąc ogólnie, punkt ten nazywany jest środkiem wielokąta foremnego), wtedy \(H\) jest środkiem okręgu wpisanego. Narysujmy prostopadłe od punktu \(H\) do boków podstawy: \(HK_1, HK_2\) itd. Są to promienie wpisanego okręgu (z definicji). Wtedy, zgodnie z TTP, (\(PH\) to prostopadła do płaszczyzny, \(HK_1, HK_2\), itd. to rzuty prostopadłe do boków) skośna \(PK_1, PK_2\), itd. prostopadle do boków \(A_1A_2, A_2A_3\) itp. odpowiednio. A więc z definicji \(\kąt PK_1H, \kąt PK_2H\) równe kątom między ścianami bocznymi a podstawą. Dlatego trójkąty \(PK_1H, PK_2H, ...\) są równe (jako prostokątne na dwóch ramionach), to kąty \(\kąt PK_1H, \kąt PK_2H, ...\) są równe.

5) Udowodnijmy, że \((d)\) implikuje \((b)\) .

Podobnie jak w czwartym punkcie, trójkąty \(PK_1H, PK_2H, ...\) są równe (jako prostokąt wzdłuż ramienia i kąt ostry), co oznacza, że ​​odcinki \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) są równe. Stąd z definicji \(H\) jest środkiem okręgu wpisanego w podstawę. Lecz odkąd w przypadku wielokątów foremnych środki okręgów wpisanych i opisanych pokrywają się, wtedy \(H\) jest środkiem okręgu opisanego. Chtd.

Konsekwencja

Ściany boczne regularnej piramidy są równymi trójkątami równoramiennymi.

Definicja

Nazywa się wysokość ściany bocznej piramidy foremnej, rysowanej od jej wierzchołka apotema.
Apotemy wszystkich ścian bocznych regularnej piramidy są sobie równe, a także są medianami i dwusiecznymi.

Ważne notatki

1. Wysokość regularnej trójkątnej piramidy spada do punktu przecięcia wysokości (lub dwusiecznych lub środkowych) podstawy (podstawa jest regularnym trójkątem).

2. Wysokość regularnej czworokątnej piramidy spada do punktu przecięcia przekątnych podstawy (podstawa jest kwadratem).

3. Wysokość regularnej sześciokątnej piramidy spada do punktu przecięcia przekątnych podstawy (podstawa jest sześciokątem foremnym).

4. Wysokość piramidy jest prostopadła do dowolnej linii prostej leżącej u podstawy.

Definicja

Piramida nazywa się prostokątny jeśli jedna z jego krawędzi bocznych jest prostopadła do płaszczyzny podstawy.

Ważne notatki

1. W przypadku piramidy prostokątnej krawędź prostopadła do podstawy jest wysokością piramidy. Oznacza to, że \(SR\) to wysokość.

2. Ponieważ \(SR\) prostopadle do dowolnej prostej od podstawy \(\trójkąt SRM, \trójkąt SRP\) są trójkątami prostokątnymi.

3. Trójkąty \(\trójkąt SRN, \trójkąt SRK\) są również prostokątne.
Oznacza to, że każdy trójkąt utworzony przez tę krawędź i przekątną wychodzącą z wierzchołka tej krawędzi, która leży u podstawy, będzie prostokątny.

\[(\Large(\text(Objętość i pole powierzchni piramidy)))\]

Twierdzenie

Objętość piramidy jest równa jednej trzeciej iloczynu pola podstawy i wysokości piramidy: \

Konsekwencje

Niech \(a\) będzie bokiem podstawy, \(h\) będzie wysokością ostrosłupa.

1. Objętość regularnej trójkątnej piramidy wynosi \(V_(\text(trójkąt prostokątny pir.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. Objętość regularnej czworokątnej piramidy wynosi \(V_(\text(prawy.cztery.stos.))=\dfrac13a^2h\).

3. Objętość regularnej sześciokątnej piramidy wynosi \(V_(\text(right.hex.pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. Objętość regularnego czworościanu wynosi \(V_(\text(prawy tetra.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

Twierdzenie

Pole powierzchni bocznej regularnej piramidy jest równe połowie iloczynu obwodu podstawy i apotemu.

\[(\Duża(\text(Ścięta piramida)))\]

Definicja

Rozważmy dowolną piramidę \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Narysujmy płaszczyznę równoległą do podstawy ostrosłupa przez pewien punkt leżący na bocznej krawędzi ostrosłupa. Ta płaszczyzna podzieli piramidę na dwa wielościany, z których jeden jest piramidą (\(PB_1B_2...B_n\) ), a drugi nazywa się ścięta piramida(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).

Ścięta piramida ma dwie podstawy - wielokąty \(A_1A_2...A_n\) i \(B_1B_2...B_n\) , które są do siebie podobne.

Wysokość ostrosłupa ściętego jest prostopadłą poprowadzoną od pewnego punktu górnej podstawy do płaszczyzny dolnej podstawy.

Ważne notatki

1. Wszystkie ściany boczne ściętej piramidy są trapezami.

2. Segmentem łączącym środki podstaw regularnej ściętej piramidy (czyli piramidy otrzymanej przez przekrój regularnej piramidy) jest wysokość.

piramidy

Rozważmy dowolną płaszczyznę α, dowolny n-gon wypukły A 1 A 2 ... Jakiś , znajdujący się na tej płaszczyźnie, oraz punkt S, który nie leży na płaszczyźnie α .

Definicja 1. Piramida ( n - piramida węglowa) nazwij figurę utworzoną z odcinków łączących punkt S ze wszystkimi punktami wielokąta A 1 A 2 ... Jakiś (Rys. 1) .

Uwaga 1. Przypomnij sobie, że wielokąt A 1 A 2 ... Jakiś składa się z zamkniętej linii łamanej A 1 A 2 ... Jakiś i część płaszczyzny przez nią ograniczona.

Definicja 2.

czworościany. Regularne czworościany

Definicja 5. Dowolna trójkątna piramida nazywana jest czworościanem.

Oświadczenie. Dla każdej regularnej trójkątnej piramidy przeciwległe krawędzie są parami prostopadłe.

Dowód. Rozważ regularną trójkątną piramidę SABC i parę jej przeciwległych krawędzi, takich jak AC i BS . Niech D oznacza środek krawędzi AC . Ponieważ odcinki BD i SD są środkowymi w trójkątach równoramiennych ABC i ASC , to BD i SD są prostopadłe do krawędzi AC (rys. 4).

gdzie litera D oznacza środek krawędzi AC (ryc. 6).

Z twierdzenia Pitagorasa z trójkąta BSO znajdujemy

Odpowiedź.

Wzory na objętość, pole powierzchni bocznej i całkowitej piramidy

Wprowadzamy następującą notację

Wtedy prawdziwe są następujące rzeczy wzory do obliczania objętości, pola powierzchni bocznej i pełnej piramidy:

Ten samouczek wideo pomoże użytkownikom zorientować się w temacie Piramida. Prawidłowa piramida. W tej lekcji zapoznamy się z pojęciem piramidy, podamy jej definicję. Zastanów się, czym jest zwykła piramida i jakie ma właściwości. Następnie udowodnimy twierdzenie na powierzchni bocznej ostrosłupa foremnego.

W tej lekcji zapoznamy się z pojęciem piramidy, podamy jej definicję.

Rozważ wielokąt A 1 A 2...Jakiś, która leży na płaszczyźnie α, oraz punkt P, która nie leży w płaszczyźnie α (rys. 1). Połączmy kropkę P ze szczytami 1, 2, 3, … Jakiś. Dostawać n trójkąty: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R i tak dalej.

Definicja. Wielościan RA 1 A 2 ... A n, złożony z n-Gon A 1 A 2...Jakiś oraz n trójkąty RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 , tzw n- piramida węglowa. Ryż. 1.

Ryż. 1

Rozważ czworokątną piramidę PABCD(Rys. 2).

R- wierzchołek piramidy.

ABCD- podstawa piramidy.

RA- boczne żebro.

AB- krawędź podstawy.

Z punktu R upuścić pion RN na płaszczyźnie naziemnej ABCD. Prostopadła narysowana jest wysokością piramidy.

Ryż. 2

Całkowita powierzchnia piramidy składa się z powierzchni bocznej, czyli powierzchni wszystkich ścian bocznych i powierzchni podstawy:

S pełny \u003d S strona + S główna

Piramidę nazywamy poprawną, jeśli:

• jego podstawą jest regularny wielokąt;
• odcinek łączący wierzchołek piramidy ze środkiem podstawy to jej wysokość.

Wyjaśnienie na przykładzie regularnej czworokątnej piramidy

Rozważ regularną czworokątną piramidę PABCD(Rys. 3).

R- wierzchołek piramidy. podstawa piramidy ABCD- regularny czworobok, czyli kwadrat. Kropka O, punkt przecięcia przekątnych, jest środkiem kwadratu. Oznacza, RO jest wysokością piramidy.

Ryż. 3

Wyjaśnienie: po prawej n-gon, środek okręgu wpisanego i środek okręgu opisanego pokrywają się. To centrum nazywa się środkiem wielokąta. Czasami mówią, że góra jest rzutowana na środek.

Nazywa się wysokość ściany bocznej piramidy foremnej, rysowanej od jej wierzchołka apotema i oznaczone he a.

1. wszystkie krawędzie boczne piramidy foremnej są równe;

2. ściany boczne są równymi trójkątami równoramiennymi.

Udowodnijmy te własności na przykładzie regularnej czworokątnej piramidy.

Dany: RABCD- regularna czworokątna piramida,

ABCD- plac,

RO jest wysokością piramidy.

Udowodnić:

1. RA = PB = PC = PD

2.∆ATP = ∆BCP = ∆CDP = ∆DAP Patrz rys. cztery.

Ryż. cztery

Dowód.

RO jest wysokością piramidy. To znaczy prosto RO prostopadle do płaszczyzny ABC, a więc bezpośrednio AO, VO, SO oraz ROBIĆ leżąc w nim. A więc trójkąty ROA, ROV, ROS, ROD- prostokątny.

Rozważ kwadrat ABCD. Z własności kwadratu wynika, że AO = BO = CO = ROBIĆ.

Następnie trójkąty prostokątne ROA, ROV, ROS, ROD noga RO- ogólne i nogi AO, VO, SO oraz ROBIĆ równe, więc te trójkąty są równe na dwóch nogach. Z równości trójkątów wynika równość odcinków, RA = PB = PC = PD. Udowodniono punkt 1.

Segmenty AB oraz Słońce są równe, ponieważ są bokami tego samego kwadratu, RA = RV = PC. A więc trójkąty AVR oraz magnetowid - równoramienne i równe z trzech stron.

Podobnie otrzymujemy, że trójkąty ABP, BCP, CDP, DAP są równoramienne i równe, co należało udowodnić w punkcie 2.

Pole powierzchni bocznej regularnej piramidy jest równe połowie iloczynu obwodu podstawy i apothem:

Jako dowód wybieramy regularną trójkątną piramidę.

Dany: RAVY jest regularną trójkątną piramidą.

AB = BC = AC.

RO- Wysokość.

Udowodnić: . Patrz Ryc. pięć.

Ryż. pięć

Dowód.

RAVY jest regularną trójkątną piramidą. To znaczy AB= AC = pne. Pozwalać O- środek trójkąta ABC, następnie RO jest wysokością piramidy. Podstawą piramidy jest trójkąt równoboczny. ABC. Zauważ, że .

trójkąty RAV, RVS, RSA- równe trójkąty równoramienne (według właściwości). Trójkątna piramida ma trzy ściany boczne: RAV, RVS, RSA. Tak więc obszar bocznej powierzchni piramidy wynosi:

Strona S = 3S RAB

Twierdzenie zostało udowodnione.

Promień koła wpisanego w podstawę regularnej czworokątnej piramidy wynosi 3 m, wysokość piramidy wynosi 4 m. Znajdź pole powierzchni bocznej piramidy.

Dany: regularna czworokątna piramida ABCD,

ABCD- plac,

r= 3m,

RO- wysokość piramidy,

RO= 4 m.

Odnaleźć: strona S. Patrz Ryc. 6.

Ryż. 6

Decyzja.

Zgodnie z udowodnionym twierdzeniem, .

Najpierw znajdź bok podstawy AB. Wiemy, że promień koła wpisanego w podstawę ostrosłupa prawidłowego czworokątnego wynosi 3 m.

następnie m.

Znajdź obwód kwadratu ABCD o boku 6 m:

Rozważ trójkąt BCD. Pozwalać M- środkowa strona DC. Jak O- środek BD, tom).

Trójkąt DPC- równoramienne. M- środek DC. To znaczy, RM- mediana, a więc wysokość w trójkącie DPC. Następnie RM- apotem piramidy.

RO jest wysokością piramidy. Potem prosto RO prostopadle do płaszczyzny ABC, a więc bezpośredni OM leżąc w nim. Znajdźmy apotem RM z trójkąta prostokątnego ROM.

Teraz możemy znaleźć boczną powierzchnię piramidy:

Odpowiedź: 60 m2.

Promień okręgu opisanego w pobliżu podstawy ostrosłupa foremnego trójkątnego wynosi m. Pole powierzchni bocznej wynosi 18 m2. Znajdź długość apotemu.

Dany: ABCP- regularna trójkątna piramida,

AB = BC = SA,

R= m,

bok P = 18 m 2.

Odnaleźć: . Patrz Ryc. 7.

Ryż. 7

Decyzja.

W prawym trójkącie ABC dany promień okręgu opisanego. Znajdźmy stronę AB ten trójkąt za pomocą twierdzenia o sinusach.

Znając bok regularnego trójkąta (m), znajdujemy jego obwód.

Zgodnie z twierdzeniem o powierzchni bocznej regularnej piramidy, gdzie he a- apotem piramidy. Następnie:

Odpowiedź: 4m.

Zbadaliśmy więc, czym jest piramida, czym jest piramida foremna, udowodniliśmy twierdzenie na powierzchni bocznej piramidy foremnej. W następnej lekcji zapoznamy się ze ściętą piramidą.

Bibliografia

1. Geometria. Klasa 10-11: podręcznik dla uczniów placówek oświatowych (poziom podstawowy i profilowy) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - wydanie 5, ks. i dodatkowe - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: chory.
2. Geometria. Klasa 10-11: Podręcznik dla szkół ogólnokształcących / Sharygin I. F. - M .: Drop, 1999. - 208 s.: chory.
3. Geometria. Klasa 10: Podręcznik dla szkół ogólnokształcących z pogłębionym i profilowym studium matematyki / E. V. Potoskuev, LI Zvalich. - wyd. 6, stereotyp. - M.: Drop, 008. - 233 s.: chory.

1. Portal internetowy „Yaklass” ()
2. Portal internetowy „Festiwal Idei Pedagogicznych „Pierwszy września” ()
3. Portal internetowy „Slideshare.net” ()

Praca domowa

1. Czy wielokąt foremny może być podstawą nieregularnej piramidy?
2. Udowodnij, że nie przecinające się krawędzie ostrosłupa foremnego są prostopadłe.
3. Znajdź wartość kąta dwuściennego przy boku podstawy regularnej czworokątnej piramidy, jeśli apotem piramidy jest równy bokowi jej podstawy.
4. RAVY jest regularną trójkątną piramidą. Skonstruuj kąt liniowy kąta dwuściennego u podstawy ostrosłupa.

Kiedy człowiek słyszy słowo „piramida”, od razu przypomina sobie majestatyczne budowle egipskie. Jednak starożytni kamienni giganci są tylko jednym z przedstawicieli klasy piramid. W tym artykule rozważymy z geometrycznego punktu widzenia właściwości regularnej czworokątnej piramidy.

Czym ogólnie jest piramida?

W geometrii jest rozumiany jako trójwymiarowa figura, którą można otrzymać łącząc wszystkie wierzchołki wielokąta płaskiego z jednym pojedynczym punktem leżącym na innej płaszczyźnie niż ten wielokąt. Poniższy rysunek przedstawia 4 figury, które spełniają tę definicję.

Widzimy, że pierwsza figura ma trójkątną podstawę, druga - czworokątną. Dwa ostatnie są reprezentowane przez pięcio- i sześciokątną podstawę. Jednak boczna powierzchnia wszystkich piramid jest utworzona przez trójkąty. Ich liczba jest dokładnie równa liczbie boków lub wierzchołków wielokąta u podstawy.

Szczególnym typem piramid, różniącym się od innych przedstawicieli klasy idealną symetrią, są piramidy regularne. Aby figura była poprawna, muszą być spełnione dwa warunki:

• podstawa musi być regularnym wielokątem;
• powierzchnia boczna figury powinna składać się z równych trójkątów równoramiennych.

Zauważ, że drugi obowiązkowy warunek można zastąpić innym: prostopadła poprowadzona do podstawy od góry piramidy (punkt przecięcia bocznych trójkątów) musi przecinać tę podstawę w jej geometrycznym środku.

Przejdźmy teraz do tematu artykułu i zastanówmy się, jakie właściwości charakteryzuje regularna czworokątna piramida. Najpierw pokażmy na rysunku, jak wygląda ta figura.

Jego podstawą jest kwadrat. Boki reprezentują 4 identyczne trójkąty równoramienne (mogą być również równoboczne z pewnym stosunkiem długości boku kwadratu do wysokości figury). Wysokość obniżona ze szczytu piramidy przetnie kwadrat w jego środku (punkt przecięcia przekątnych).

Ta piramida ma 5 ścian (kwadrat i cztery trójkąty), 5 wierzchołków (cztery z nich należą do podstawy) i 8 krawędzi. czwartego rzędu, przechodząc przez wysokość piramidy, przekłada ją na siebie, obracając się o 90 o .

Egipskie piramidy w Gizie są regularnymi czworokątami.

Cztery podstawowe parametry liniowe

Rozpocznijmy rozważenie właściwości matematycznych regularnej czworokątnej piramidy od wzorów na wysokość, długość boku podstawy, krawędzi bocznej i apotem. Powiedzmy od razu, że wszystkie te wielkości są ze sobą powiązane, więc wystarczy znać tylko dwie z nich, aby jednoznacznie obliczyć pozostałe dwie.

Załóżmy, że znana jest wysokość h piramidy i długość a boku kwadratowej podstawy, to krawędź boczna b będzie równa:

b = √ (za 2 / 2 + h 2)

Teraz podajemy wzór na długość a b apotem (wysokość trójkąta obniżona do boku podstawy):

za b = √ (za 2 / 4 + godz 2)

Oczywiście krawędź boczna b jest zawsze większa niż apotem a b .

Obu wyrażeń można użyć do określenia wszystkich czterech charakterystyk liniowych, jeśli znane są pozostałe dwa parametry, na przykład a b i h.

Pole i objętość figury

Są to jeszcze dwie ważne właściwości regularnej czworokątnej piramidy. Podstawa figury ma pole:

Każdy uczeń zna tę formułę. Obszar powierzchni bocznej, który jest utworzony przez cztery identyczne trójkąty, można określić za pomocą apotemu a b piramidy w następujący sposób:

Jeśli a b jest nieznane, można je określić za pomocą wzorów z poprzedniego akapitu poprzez wysokość h lub krawędź b.

Całkowita powierzchnia rozważanej figury jest sumą obszarów S o i S b:

S = S o + S b = za 2 + 2 × za × za b = za (a + 2 × za b)

Obliczona powierzchnia wszystkich ścian piramidy jest pokazana na poniższym rysunku jako jej przeciągnięcie.

Opis właściwości regularnej czworokątnej piramidy nie będzie kompletny, jeśli nie weźmie się pod uwagę wzoru na określenie jej objętości. Ta wartość dla rozważanej piramidy jest obliczana w następujący sposób:

Oznacza to, że V jest równe trzeciej części iloczynu wysokości figury i pola jej podstawy.

Właściwości regularnej ściętej czworokątnej piramidy

Możesz zdobyć tę figurę z oryginalnej piramidy. Aby to zrobić, konieczne jest odcięcie górnej części piramidy za pomocą płaszczyzny. Figura pozostająca pod płaszczyzną cięcia będzie nazywana ściętą piramidą.

Najwygodniej jest badać cechy ściętej piramidy, jeśli jej podstawy są równoległe do siebie. W tym przypadku dolna i górna podstawa będą podobnymi wielokątami. Ponieważ podstawa w czworokątnej regularnej piramidzie jest kwadratem, przekrój utworzony podczas cięcia będzie również kwadratem, ale o mniejszym rozmiarze.

Boczną powierzchnię ściętej figury tworzą nie trójkąty, ale trapezy równoramienne.

Jedną z ważnych właściwości tej piramidy jest jej objętość, którą oblicza się według wzoru:

V = 1/3 × h × (S o1 + S o2 + √ (S o1 × So2))

Tutaj h to odległość między podstawami figury, So1, So2 to pola dolnej i górnej podstawy.

• apotem- wysokość bocznej powierzchni regularnej piramidy, która jest rysowana od jej szczytu (dodatkowo apotem jest długością prostopadłej, która jest obniżona od środka regularnego wielokąta do 1 jego boków);
• twarze boczne (ASB, BSC, CSD, DSA) - trójkąty zbiegające się u góry;
• boczne żebra ( JAK , BS , CS , DS ) - wspólne boki ścian bocznych;
• szczycie piramidy (vs) - punkt łączący krawędzie boczne i nie leżący w płaszczyźnie podstawy;
• Wysokość ( WIĘC ) - odcinek prostopadłościanu, który jest poprowadzony przez wierzchołek ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy (końce takiego odcinka będą wierzchołkiem ostrosłupa i podstawą prostopadłej);
• przekątna piramidy- przekrój ostrosłupa przechodzący przez wierzchołek i przekątną podstawy;
• baza (ABCD) jest wielokątem, do którego nie należy wierzchołek piramidy.

właściwości piramidy.

1. Gdy wszystkie krawędzie boczne są tego samego rozmiaru, to:

• w pobliżu podstawy piramidy łatwo jest opisać okrąg, podczas gdy wierzchołek piramidy zostanie zrzutowany na środek tego koła;
• żebra boczne tworzą równe kąty z płaszczyzną podstawy;
• ponadto odwrotność jest również prawdziwa, tj. gdy krawędzie boczne tworzą równe kąty z płaszczyzną podstawy lub gdy można opisać okrąg w pobliżu podstawy ostrosłupa, a wierzchołek ostrosłupa zostanie zrzutowany na środek tego okręgu, to wszystkie boczne krawędzie ostrosłupa mają ten sam rozmiar.

2. Gdy ściany boczne mają kąt nachylenia do płaszczyzny podstawy o tej samej wartości, to:

• w pobliżu podstawy piramidy łatwo jest opisać okrąg, podczas gdy wierzchołek piramidy będzie rzutowany na środek tego koła;
• wysokości ścian bocznych są jednakowej długości;
• pole powierzchni bocznej wynosi ½ iloczynu obwodu podstawy i wysokości powierzchni bocznej.

3. W pobliżu piramidy można opisać kulę, jeśli podstawą piramidy jest wielokąt, wokół którego można opisać okrąg (warunek konieczny i wystarczający). Środek kuli będzie punktem przecięcia płaszczyzn przechodzących przez środki prostopadłych do nich krawędzi piramidy. Z twierdzenia tego wnioskujemy, że kulę można opisać zarówno wokół dowolnego trójkąta, jak i wokół dowolnego regularnego ostrosłupa.

4. Kulę można wpisać w ostrosłup, jeżeli dwusieczne dwusiecznych kątów wewnętrznych ostrosłupa przecinają się w 1. punkcie (warunek konieczny i wystarczający). Ten punkt stanie się środkiem kuli.

Najprostsza piramida.

W zależności od liczby rogów podstawy piramidy są one podzielone na trójkątne, czworokątne i tak dalej.

Piramida będzie trójkątny, czworokątny, i tak dalej, gdy podstawą piramidy jest trójkąt, czworokąt i tak dalej. Trójkątna piramida to czworościan - czworościan. Czworokątny - pięciościan i tak dalej.