Co oznacza funkcja parzysta? Parzystość funkcji

Funkcjonować jest jednym z najważniejszych pojęć matematycznych. Funkcja - zależność zmiennej w ze zmiennej x, jeśli każda wartość X pasuje do jednej wartości w. zmienny X nazywana zmienną niezależną lub argumentem. zmienny w nazywamy zmienną zależną. Wszystkie wartości zmiennej niezależnej (variable x) tworzą dziedzinę funkcji. Wszystkie wartości, które przyjmuje zmienna zależna (variable y), tworzą zakres funkcji.

Wykres funkcji nazywają zbiór wszystkich punktów płaszczyzny współrzędnych, których odcięte są równe wartościom argumentu, a rzędne są równe odpowiednim wartościom funkcji, to znaczy wartościom zmienna jest wykreślana wzdłuż osi odciętych x, a wartości zmiennej są wykreślane wzdłuż osi y y. Aby wykreślić funkcję, musisz znać jej właściwości. Główne właściwości funkcji zostaną omówione poniżej!

Aby wykreślić wykres funkcji, zalecamy skorzystanie z naszego programu - Graphing Functions Online. Jeśli masz jakieś pytania podczas studiowania materiału na tej stronie, zawsze możesz je zadać na naszym forum. Również na forum otrzymasz pomoc w rozwiązywaniu problemów z matematyki, chemii, geometrii, teorii prawdopodobieństwa i wielu innych przedmiotów!

Podstawowe własności funkcji.

1) Zakres funkcji i zakres funkcji.

Zasięg funkcji to zbiór wszystkich prawidłowych wartości argumentu x(zmienny x) dla której funkcja y = f(x) zdefiniowane.
Zakres funkcji to zbiór wszystkich wartości rzeczywistych yże funkcja akceptuje.

W matematyce elementarnej funkcje bada się tylko na zbiorze liczb rzeczywistych.

2) Zera funkcji.

Wartości X, w którym y=0, nazywa się zera funkcji. Są to odcięte punktów przecięcia wykresu funkcji z osią x.

3) Przedziały stałości znaku funkcji.

Takimi przedziałami wartości są przedziały stałości znaku funkcji x, na którym wartości funkcji y wywoływane są tylko pozytywne lub tylko negatywne przedziały stałości znaku funkcji.

4) Monotoniczność funkcji.

Funkcja rosnąca (w pewnym przedziale) to taka funkcja, w której większej wartości argumentu z tego przedziału odpowiada większa wartość funkcji.

Funkcja malejąca (w pewnym przedziale) - funkcja, w której większej wartości argumentu z tego przedziału odpowiada mniejsza wartość funkcji.

5) Funkcje parzyste (nieparzyste)..

Funkcja parzysta to funkcja, której dziedzina definicji jest symetryczna względem pochodzenia i dla dowolnego X f(-x) = f(x). Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi y.

Funkcja nieparzysta to funkcja, której dziedzina definicji jest symetryczna względem pochodzenia i dla dowolnego X z dziedziny definicji równość fa(-x) = - fa(x). Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku.

Nawet funkcja
1) Dziedzina definicji jest symetryczna względem punktu (0; 0), to znaczy, jeśli punkt a należy do dziedziny definicji, to punkt -a należy również do dziedziny definicji.
2) Dla dowolnej wartości x f(-x)=f(x)
3) Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi Oy.

dziwna funkcja ma następujące właściwości:
1) Dziedzina definicji jest symetryczna względem punktu (0; 0).
2) o dowolnej wartości x, która należy do dziedziny definicji, czyli równości f(-x)=-f(x)
3) Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku (0; 0).

Nie każda funkcja jest parzysta lub nieparzysta. Funkcje ogólny widok nie są ani parzyste, ani nieparzyste.

6) Ograniczone i nieograniczone funkcje.

Funkcję nazywamy ograniczoną, jeśli istnieje dodatnia liczba M taka, że ​​|f(x)| ≤ M dla wszystkich wartości x . Jeśli nie ma takiej liczby, to funkcja jest nieograniczona.

7) Okresowość funkcji.

Funkcja f(x) jest okresowa, jeśli istnieje niezerowa liczba T taka, że ​​dla dowolnego x z dziedziny funkcji f(x+T) = f(x). Ta najmniejsza liczba nazywana jest okresem funkcji. Wszystkie funkcje trygonometryczne są okresowe. (Wzory trygonometryczne).

Funkcjonować f nazywamy okresową, jeśli istnieje taka liczba, że ​​dla any x z dziedziny definicji równość f(x)=f(x-T)=f(x+T). T jest okresem funkcji.

Każda funkcja okresowa ma nieskończoną liczbę okresów. W praktyce zwykle bierze się pod uwagę najmniejszy dodatni okres.

Wartości funkcji okresowej są powtarzane po przedziale równym okresowi. Jest to używane podczas kreślenia wykresów.

Badania funkcji.

1) D(y) - Dziedzina definicji: zbiór wszystkich tych wartości zmiennej x. przy których wyrażenia algebraiczne f(x) i g(x) mają sens.

Jeżeli funkcja jest dana formułą, to dziedziną definicji są wszystkie wartości zmiennej niezależnej, dla których formuła ma sens.

2) Właściwości funkcji: parzysta/nieparzysta, okresowość:

dziwne oraz nawet nazywane są funkcjami, których wykresy są symetryczne względem zmiany znaku argumentu.

dziwna funkcja- funkcja zmieniająca wartość na przeciwną, gdy zmienia się znak zmiennej niezależnej (symetrycznie względem środka współrzędnych).

Nawet funkcja- funkcja, która nie zmienia swojej wartości, gdy zmienia się znak zmiennej niezależnej (symetrycznie względem osi y).

Ani funkcja parzysta, ani nieparzysta (funkcja ogólna) jest funkcją, która nie ma symetrii. Ta kategoria obejmuje funkcje, które nie mieszczą się w poprzednich 2 kategoriach.

Funkcje, które nie należą do żadnej z powyższych kategorii, są wywoływane ani parzyste, ani nieparzyste(lub funkcje ogólne).

Dziwne funkcje

Nieparzysta potęga, gdzie jest dowolną liczbą całkowitą.

Nawet funkcje

Parzysta potęga, gdzie jest dowolną liczbą całkowitą.

Funkcja okresowa jest funkcją, która powtarza swoje wartości w pewnych regularnych odstępach czasu argumentu, tj. nie zmienia swojej wartości, gdy do argumentu zostanie dodana pewna stała liczba różna od zera ( Kropka funkcje) w całej dziedzinie definicji.

3) Zera (pierwiastki) funkcji to punkty, w których ona znika.

Znalezienie punktu przecięcia wykresu z osią Ojej. Aby to zrobić, musisz obliczyć wartość f(0). Znajdź także punkty przecięcia wykresu z osią Wół, po co szukać pierwiastków równania f(x) = 0 (lub upewnij się, że nie ma korzeni).

Punkty, w których wykres przecina oś, nazywamy zera funkcji. Aby znaleźć miejsca zerowe funkcji, musisz rozwiązać równanie, czyli znaleźć te wartości x, dla którego funkcja znika.

4) Odstępy stałości znaków, znaki w nich.

Przedziały, w których funkcja f(x) zachowuje swój znak.

Przedział stałości jest przedziałem w każdym punkcie, w którym funkcja jest dodatnia lub ujemna.

POWYŻEJ osi x.

PONIŻEJ osi.

5) Ciągłość (punkty nieciągłości, charakter nieciągłości, asymptoty).

funkcja ciągła- funkcja bez "skoków", czyli taka, w której małe zmiany argumentu prowadzą do małych zmian wartości funkcji.

Usuwalne punkty przerwania

Jeśli granica funkcji istnieć, ale funkcja nie jest w tym momencie zdefiniowana lub granica nie odpowiada wartości funkcji w tym momencie:

,

wtedy punkt jest nazywany punkt przerwania funkcje (w analizie złożonej usuwalny punkt osobliwy).

Jeśli „skorygujemy” funkcję w punkcie usuwalnej nieciągłości i postawimy , to otrzymujemy funkcję ciągłą w tym punkcie. Taka operacja na funkcji nazywa się rozszerzenie funkcji na ciągłą lub rozszerzenie funkcji przez ciągłość, co uzasadnia nazwę punktu, jako punkty jednorazowy luka.

Punkty nieciągłości pierwszego i drugiego rodzaju

Jeżeli funkcja ma nieciągłość w danym punkcie (to znaczy granica funkcji w danym punkcie jest nieobecna lub nie pokrywa się z wartością funkcji w danym punkcie), to dla funkcji numerycznych możliwe są dwie opcje związane z istnieniem funkcji liczbowych jednostronne granice:

jeśli obie granice jednostronne istnieją i są skończone, to taki punkt nazywamy punkt krytyczny pierwszego rodzaju. Usuwalne punkty nieciągłości to punkty nieciągłości pierwszego rodzaju;

jeżeli przynajmniej jedna z granic jednostronnych nie istnieje lub nie jest wartością skończoną, to taki punkt nazywamy punkt krytyczny drugiego rodzaju.

Asymptota - prosto, który ma tę właściwość, że odległość od punktu krzywej do tego prosto dąży do zera, gdy punkt przesuwa się wzdłuż gałęzi do nieskończoności.

pionowy

Asymptota pionowa - linia graniczna .

Z reguły wyznaczając asymptotę pionową, szukają nie jednej granicy, ale dwóch jednostronnych (lewej i prawej). Ma to na celu określenie, jak zachowuje się funkcja, gdy zbliża się do asymptoty pionowej z różnych kierunków. Na przykład:

Poziomy

Asymptota pozioma - prosto gatunku, z zastrzeżeniem istnienia limit

.

skośny

Ukośna asymptota - prosto gatunku, z zastrzeżeniem istnienia granice

Uwaga: funkcja może mieć nie więcej niż dwie asymptoty ukośne (poziome).

Uwaga: jeśli co najmniej jedna z dwóch wymienionych powyżej granic nie istnieje (lub jest równa ), to asymptota ukośna w punkcie (lub ) nie istnieje.

jeśli w punkcie 2.), to , a granicę wyznacza wzór na asymptotę poziomą, .

6) Znajdowanie przedziałów monotoniczności. Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f(x) (czyli interwały wzrostu i spadku). Dokonuje się tego, badając znak pochodnej f(x). Aby to zrobić, znajdź pochodną f(x) i rozwiąż nierówność f(x)0. Na przedziałach, w których ta nierówność jest spełniona, funkcja f(x) wzrasta. Gdzie zachodzi odwrotna nierówność f(x)0, funkcja f(x) maleje.

Znalezienie ekstremum lokalnego. Po znalezieniu przedziałów monotoniczności możemy od razu wyznaczyć punkty ekstremum lokalnego, w których wzrost zastąpiony jest spadkiem, są lokalne maksima, a gdzie spadek zastąpiony jest wzrostem, lokalne minima. Oblicz wartość funkcji w tych punktach. Jeśli funkcja ma punkty krytyczne, które nie są lokalnymi punktami ekstremalnymi, warto obliczyć wartość funkcji również w tych punktach.

Znalezienie największej i najmniejszej wartości funkcji y = f(x) na odcinku(kontynuacja)

Hide Show

Sposoby ustawiania funkcji

Niech funkcja będzie dana wzorem: y=2x^(2)-3 . Przypisując dowolną wartość zmiennej niezależnej x , możesz użyć tego wzoru do obliczenia odpowiednich wartości zmiennej zależnej y . Na przykład, jeśli x=-0,5 , to korzystając ze wzoru, otrzymujemy, że odpowiednią wartością y jest y=2 \cdot (-0,5)^(2)-3=-2,5 .

Biorąc pod uwagę dowolną wartość przyjmowaną przez argument x we ​​wzorze y=2x^(2)-3 , można obliczyć tylko jedną odpowiadającą jej wartość funkcji. Funkcję można przedstawić w postaci tabeli:

Korzystając z tej tabeli, możesz dowiedzieć się, że dla wartości argumentu -1 będzie odpowiadać wartość funkcji -3; a wartość x=2 będzie odpowiadać y=0 i tak dalej. Należy również wiedzieć, że każda wartość argumentu w tabeli odpowiada tylko jednej wartości funkcji.

Więcej funkcji można ustawić za pomocą wykresów. Za pomocą wykresu ustala się, która wartość funkcji koreluje z określoną wartością x. Najczęściej będzie to przybliżona wartość funkcji.

Funkcja parzysta i nieparzysta

Funkcja jest nawet funkcja, gdy f(-x)=f(x) dla dowolnego x z dziedziny. Taka funkcja będzie symetryczna względem osi Oy.

Funkcja jest dziwna funkcja gdy f(-x)=-f(x) dla dowolnego x w dziedzinie. Taka funkcja będzie symetryczna względem początku O (0;0) .

Funkcja jest nawet nie, ani dziwne i zadzwoniłem ogólna funkcja gdy nie ma symetrii względem osi lub pochodzenia.

Sprawdzamy następującą funkcję parzystości:

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) z symetryczną dziedziną definicji pochodzenia. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).

Stąd funkcja f(x)=3x^(3)-7x^(7) jest nieparzysta.

Funkcja okresowa

Funkcja y=f(x) , w której dziedzinie f(x+T)=f(x-T)=f(x) jest prawdziwe dla dowolnego x, nazywa się funkcja okresowa z okresem T \neq 0 .

Powtórzenie wykresu funkcji na dowolnym odcinku osi odciętych, który ma długość T .

Przedziały, w których funkcja jest dodatnia, czyli f (x) > 0 - to odcinki osi odciętych, które odpowiadają punktom wykresu funkcji leżącym powyżej osi odciętych.

f(x) > 0 na (x_(1); x_(2)) \cup (x_(3); +\infty)

Luki, w których funkcja jest ujemna, tj. f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \cup (x_(2); x_(3))

Ograniczenie funkcji

ograniczona od dołu zwyczajowo wywołuje się funkcję y=f(x), x \in X, gdy istnieje liczba A, dla której zachodzi nierówność f(x) \geq A dla dowolnego x \in X .

Przykład funkcji ograniczonej poniżej: y=\sqrt(1+x^(2)) since y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 for any x .

ograniczona od góry funkcja y=f(x), x \in X jest wywoływana, jeśli istnieje liczba B, dla której zachodzi nierówność f(x) \neq B dla dowolnego x \in X .

Przykład funkcji ograniczonej poniżej: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1] ponieważ y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 dla dowolnego x \in [-1;1] .

Ograniczony zwyczajowo wywołuje się funkcję y=f(x), x \in X, gdy istnieje liczba K > 0, dla której nierówność \left | f(x) \prawo | \neq K dla dowolnego x \w X .

Przykład funkcji ograniczonej: y=\sin x jest ograniczona na całej osi liczbowej, ponieważ \lewo | \sin x \prawo | \neq 1.

Funkcja rosnąca i malejąca

Zwyczajowo mówi się o funkcji, która rośnie w rozpatrywanym przedziale jako funkcja rosnąca gdy większa wartość x będzie odpowiadać większej wartości funkcji y=f(x) . Stąd okazuje się, że biorąc z rozważanego przedziału dwie dowolne wartości argumentu x_(1) i x_(2) , oraz x_(1) > x_(2) , będzie to y(x_(1)) > y(x_(2)) .

Nazywa się funkcję, która maleje w rozpatrywanym przedziale funkcja malejąca gdy większa wartość x będzie odpowiadać mniejszej wartości funkcji y(x) . Stąd okazuje się, że biorąc z rozważanego przedziału dwie dowolne wartości argumentu x_(1) i x_(2) , oraz x_(1) > x_(2) , będzie to y(x_(1))< y(x_{2}) .

Korzenie funkcji zwyczajowo nazywa się punkty, w których funkcja F=y(x) przecina oś odciętych (otrzymuje się je w wyniku rozwiązania równania y(x)=0 ).

a) Jeżeli funkcja parzysta rośnie dla x > 0, to maleje dla x< 0

b) Gdy funkcja parzysta maleje dla x > 0, to rośnie dla x< 0

c) Gdy funkcja nieparzysta rośnie dla x > 0, to rośnie również dla x< 0

d) Gdy funkcja nieparzysta maleje dla x > 0, to będzie również maleć dla x< 0

Ekstrema funkcji

Punkt minimalny funkcji y=f(x) zwyczajowo nazywa się taki punkt x=x_(0) , w którym w jego sąsiedztwie będą inne punkty (oprócz punktu x=x_(0) ), i dla nich wtedy nierówność f( x) > fa (x_(0)) . y_(min) - oznaczenie funkcji w punkcie min.

Punkt maksymalny funkcji y=f(x) zwyczajowo nazywa się taki punkt x=x_(0) , w którym w sąsiedztwie będą inne punkty (oprócz punktu x=x_(0) ), a następnie nierówność f(x) będzie z nich zadowolony< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Warunek konieczny

Zgodnie z twierdzeniem Fermata: f"(x)=0, to gdy funkcja f(x) , która jest różniczkowalna w punkcie x_(0) , to w tym punkcie pojawi się ekstremum.

Stan wystarczający

1. Gdy znak pochodnej zmieni się z plusa na minus, to x_(0) będzie punktem minimalnym;
2. x_(0) - będzie punktem maksymalnym tylko wtedy, gdy pochodna zmieni znak z minusa na plus przy przechodzeniu przez punkt stacjonarny x_(0) .

Największa i najmniejsza wartość funkcji w przedziale

Kroki obliczeniowe:

1. Szukam pochodnej f"(x) ;
2. Znajdowane są punkty stacjonarne i krytyczne funkcji oraz wybierane są punkty należące do przedziału;
3. Wartości funkcji f(x) znajdują się w punktach stacjonarnych i krytycznych oraz na końcach odcinka. Najmniejszy z wyników będzie najmniejsza wartość funkcji, i więcej - największy.

nawet, jeśli dla wszystkich \(x\) z jego dziedziny jest prawdą: \(f(-x)=f(x)\) .

Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi \(y\):

Przykład: funkcja \(f(x)=x^2+\cos x\) jest parzysta, ponieważ \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\).

\(\blacktriangleright\) Funkcja \(f(x)\) jest wywoływana dziwne, jeśli dla wszystkich \(x\) z jego dziedziny jest prawdą: \(f(-x)=-f(x)\) .

Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem pochodzenia:

Przykład: funkcja \(f(x)=x^3+x\) jest nieparzysta, ponieważ \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\).

\(\blacktriangleright\) Funkcje, które nie są ani parzyste, ani nieparzyste, nazywane są funkcjami ogólnymi. Taką funkcję zawsze można jednoznacznie przedstawić jako sumę funkcji parzystej i nieparzystej.

Na przykład funkcja \(f(x)=x^2-x\) jest sumą funkcji parzystej \(f_1=x^2\) i funkcji nieparzystej \(f_2=-x\) .

\(\czarnytrójkątw prawo\) Niektóre właściwości:

1) Iloczyn i iloraz dwóch funkcji o tej samej parzystości jest funkcją parzystą.

2) Iloczyn i iloraz dwóch funkcji o różnej parzystości jest funkcją nieparzystą.

3) Suma i różnica funkcji parzystych jest funkcją parzystą.

4) Suma i różnica funkcji nieparzystych jest funkcją nieparzystą.

5) Jeśli \(f(x)\) jest funkcją parzystą, to równanie \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\) ) ma unikalny pierwiastek wtedy i tylko wtedy, gdy \(x =0\) .

6) Jeśli \(f(x)\) jest funkcją parzystą lub nieparzystą, a równanie \(f(x)=0\) ma pierwiastek \(x=b\) , to równanie to musi mieć drugie pierwiastek \(x =-b\) .

\(\blacktriangleright\) Funkcję \(f(x)\) nazywamy okresową na \(X\), jeśli dla pewnej liczby \(T\ne 0\) mamy \(f(x)=f(x+ T) \) , gdzie \(x, x+T\in X\) . Najmniejszy \(T\) , dla którego zachodzi ta równość, nazywany jest głównym (podstawowym) okresem funkcji.

Funkcja okresowa ma dowolną liczbę postaci \(nT\) , gdzie \(n\in \mathbb(Z)\) będzie również kropką.

Przykład: każda funkcja trygonometryczna jest okresowa;
dla funkcji \(f(x)=\sin x\) i \(f(x)=\cos x\) okres główny to \(2\pi\) , dla funkcji \(f(x)= \mathrm( tg)\,x\) i \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x\) główny okres to \(\pi\) .

Aby wykreślić funkcję okresową, można wykreślić jej wykres na dowolnym odcinku o długości \(T\) (główny okres); wówczas wykres całej funkcji uzupełnia się przesuwając skonstruowaną część o całkowitą liczbę okresów w prawo i w lewo:

\(\blacktriangleright\) Dziedziną \(D(f)\) funkcji \(f(x)\) jest zbiór składający się ze wszystkich wartości argumentu \(x\), dla których funkcja ma sens (definiuje).

Przykład: funkcja \(f(x)=\sqrt x+1\) ma dziedzinę definicji: \(x\in

Zadanie 1 #6364

Poziom zadania: równy jednolitemu egzaminowi państwowemu

Dla jakich wartości parametru \(a\) równanie

ma unikalne rozwiązanie?

Zauważ, że ponieważ \(x^2\) i \(\cos x\) są funkcjami parzystymi, jeśli równanie ma pierwiastek \(x_0\) , będzie miało również pierwiastek \(-x_0\) .
Rzeczywiście, niech \(x_0\) będzie pierwiastkiem, czyli równością \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\) prawidłowy. Podstaw \(-x_0\) : \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a ^2=0\).

Zatem jeśli \(x_0\ne 0\) , to równanie będzie już miało co najmniej dwa pierwiastki. Dlatego \(x_0=0\) . Następnie:

Otrzymaliśmy dwie wartości parametrów \(a\) . Zauważ, że wykorzystaliśmy fakt, że \(x=0\) jest dokładnie pierwiastkiem pierwotnego równania. Ale nigdy nie wykorzystaliśmy faktu, że jest jedyny. Dlatego konieczne jest podstawienie otrzymanych wartości parametru \(a\) do pierwotnego równania i sprawdzenie, dla którego dokładnie \(a\) pierwiastek \(x=0\) rzeczywiście będzie unikalny.

1) Jeżeli \(a=0\) , to równanie przyjmie postać \(2x^2=0\) . Oczywiście to równanie ma tylko jeden pierwiastek \(x=0\) . Dlatego wartość \(a=0\) nam odpowiada.

2) Jeżeli \(a=-\mathrm(tg)\,1\) , to równanie przyjmuje postać \ Zapisujemy równanie w postaci \ Jak \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\), następnie \(-\mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\). Dlatego wartości prawej strony równania (*) należą do przedziału \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\).

Skoro \(x^2\geqslant 0\) , to lewa strona równania (*) jest większa lub równa \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .

Zatem równość (*) może być spełniona tylko wtedy, gdy obie strony równania są równe \(\mathrm(tg)^2\,1\) . A to oznacza, że \[\begin(przypadki) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(przypadki) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(przypadki) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Zatem wartość \(a=-\mathrm(tg)\,1\) nam odpowiada.

Odpowiedź:

\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)

Zadanie 2 #3923

Poziom zadania: równy jednolitemu egzaminowi państwowemu

Znajdź wszystkie wartości parametru \(a\) , dla każdego z nich wykres funkcji \

symetryczne względem pochodzenia.

Jeśli wykres funkcji jest symetryczny względem początku, to taka funkcja jest nieparzysta, to znaczy \(f(-x)=-f(x)\) jest spełnione dla dowolnego \(x\) z dziedzina funkcji. Dlatego wymagane jest znalezienie tych wartości parametrów, dla których \(f(-x)=-f(x).\)

\[\begin(wyrównane) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \strzałka w prawo\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \strzałka w prawo\\ \strzałka w prawo\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \strzałka w prawo \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Strzałka w prawo\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(wyrównane)\]

Ostatnie równanie musi zachodzić dla wszystkich \(x\) z dziedziny \(f(x)\) , stąd \(\sin(2\pi a)=0 \Strzałka w prawo a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).

Odpowiedź:

\(\dfrac n2, n\w\mathbb(Z)\)

Zadanie 3 #3069

Poziom zadania: równy jednolitemu egzaminowi państwowemu

Znajdź wszystkie wartości parametru \(a\) , dla każdego z których równanie \ ma 4 rozwiązania, gdzie \(f\) jest parzystą funkcją okresową z okresem \(T=\dfrac(16)3\) zdefiniowany na całej linii rzeczywistej , oraz \(f(x)=ax^2\) for \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)

(Zadanie od subskrybentów)

Ponieważ \(f(x)\) jest funkcją parzystą, jej wykres jest symetryczny względem osi y, więc gdy \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\)\(f(x)=ax^2\) . Tym samym o godz \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\), a to jest odcinek o długości \(\dfrac(16)3\) , funkcja \(f(x)=ax^2\) .

1) Niech \(a>0\) . Wówczas wykres funkcji \(f(x)\) będzie wyglądał następująco:


Wtedy, aby równanie miało 4 rozwiązania, konieczne jest, aby wykres \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) przechodził przez punkt \(A\) :


W konsekwencji, \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(zebrany)\begin(wyrównany) &9(a+2)=32a\\ &9(a +2)=-32a \end(wyrównane) \end(zebrane)\right. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(zebrany)\begin(wyrównany) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(wyrównany) \end( zebrane)\po prawej.\] Ponieważ \(a>0\) , to \(a=\dfrac(18)(23)\) jest w porządku.

2) Niech \(a<0\) . Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:


Potrzebujemy wykresu \(g(x)\) przechodzącego przez punkt \(B\): \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(zebrany)\begin(wyrównany) &a=\dfrac(18)(23 )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(wyrównane) \end(zebrane)\right.\] Ponieważ<0\) , то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\) .

3) Przypadek, w którym \(a=0\) nie jest odpowiedni, ponieważ wtedy \(f(x)=0\) dla wszystkich \(x\) , \(g(x)=2\sqrtx\) i The równanie będzie miało tylko 1 pierwiastek.

Odpowiedź:

\(a\in \left\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\right\)\)

Zadanie 4 #3072

Poziom zadania: równy jednolitemu egzaminowi państwowemu

Znajdź wszystkie wartości \(a\) , dla każdego z nich równanie \

ma co najmniej jeden pierwiastek.

(Zadanie od subskrybentów)

Zapisujemy równanie w postaci \ i rozważ dwie funkcje: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) i \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ) .
Funkcja \(g(x)\) jest parzysta, ma punkt minimalny \(x=0\) (i \(g(0)=49\) ).
Funkcja \(f(x)\) dla \(x>0\) jest malejąca, a dla \(x<0\) – возрастающей, следовательно, \(x=0\) – точка максимума.
Rzeczywiście, dla \(x>0\) drugi moduł rozwinie się dodatnio (\(|x|=x\) ), więc niezależnie od tego, jak rozwinie się pierwszy moduł, \(f(x)\) będzie równe \ ( kx+A\) , gdzie \(A\) jest wyrażeniem z \(a\) , a \(k\) jest równe albo \(-9\) albo \(-3\) . Dla \(x<0\) наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(3\) , либо \(9\) .
Znajdź wartość \(f\) w punkcie maksymalnym: \

Aby równanie miało co najmniej jedno rozwiązanie, konieczne jest, aby wykresy funkcji \(f\) i \(g\) miały co najmniej jeden punkt przecięcia. Dlatego potrzebujesz: \ \\]

Odpowiedź:

\(a\w \(-7\)\szklanka\)

Zadanie 5 #3912

Poziom zadania: równy jednolitemu egzaminowi państwowemu

Znajdź wszystkie wartości parametru \(a\) , dla każdego z których równanie \

ma sześć różnych rozwiązań.

Dokonajmy podstawienia \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) . Wtedy równanie przybierze postać \ Stopniowo będziemy wypisywać warunki, w których pierwotne równanie będzie miało sześć rozwiązań.
Zauważ, że równanie kwadratowe \((*)\) może mieć co najwyżej dwa rozwiązania. Każde równanie sześcienne \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) może mieć nie więcej niż trzy rozwiązania. Zatem, jeśli równanie \((*)\) ma dwa różne rozwiązania (dodatnie!, ponieważ \(t\) musi być większe od zera) \(t_1\) i \(t_2\) , to po dokonaniu odwrotności podstawienia otrzymujemy: \[\lewo[\begin(zebrane)\begin(wyrównane) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\end(wyrównane)\end(zebrane)\right.\] Ponieważ dowolna liczba dodatnia może być do pewnego stopnia reprezentowana jako \(\sqrt2\), na przykład \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), to pierwsze równanie zbioru zostanie przepisane w postaci \ Jak już powiedzieliśmy, każde równanie sześcienne ma nie więcej niż trzy rozwiązania, dlatego każde równanie ze zbioru będzie miało nie więcej niż trzy rozwiązania. Oznacza to, że cały zbiór będzie miał nie więcej niż sześć rozwiązań.
Oznacza to, że aby oryginalne równanie miało sześć rozwiązań, równanie kwadratowe \((*)\) musi mieć dwa różne rozwiązania, a każde wynikowe równanie sześcienne (ze zbioru) musi mieć trzy różne rozwiązania (a nie jedno rozwiązanie jednego równania powinno pokrywać się z którym - lub decyzją drugiego!)
Oczywiście, jeśli równanie kwadratowe \((*)\) ma jedno rozwiązanie, to nie otrzymamy sześciu rozwiązań pierwotnego równania.

W ten sposób plan rozwiązania staje się jasny. Wypiszmy punkt po punkcie warunki, które muszą być spełnione.

1) Aby równanie \((*)\) miało dwa różne rozwiązania, jego wyróżnik musi być dodatni: \

2) Potrzebujemy również, aby oba pierwiastki były dodatnie (ponieważ \(t>0\) ). Jeśli iloczyn dwóch pierwiastków jest dodatni, a ich suma jest dodatnia, to same pierwiastki będą dodatnie. Dlatego potrzebujesz: \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]

W ten sposób zapewniliśmy sobie już dwa różne pierwiastki dodatnie \(t_1\) i \(t_2\) .

3) Spójrzmy na to równanie \ Dla jakiego \(t\) będzie miał trzy różne rozwiązania?
Rozważmy funkcję \(f(x)=x^3-3x^2+4\) .
Można pomnożyć: \ Dlatego jego zera to: \(x=-1;2\) .
Jeśli znajdziemy pochodną \(f"(x)=3x^2-6x\) , to otrzymamy dwa skrajne punkty \(x_(max)=0, x_(min)=2\) .
Dlatego wykres wygląda następująco:


Widzimy, że dowolna linia pozioma \(y=k\) , gdzie \(0 \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t\) ma trzy różne rozwiązania, konieczne jest, aby \(0<\log_ {\sqrt2}t<4\) .
Potrzebujesz zatem: \[\begin(przypadki) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\] Zauważmy też od razu, że jeśli liczby \(t_1\) i \(t_2\) są różne, to liczby \(\log_(\sqrt2)t_1\) i \(\log_(\sqrt2)t_2\) będą być różne, więc równania \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\) oraz \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\) będą miały inne korzenie.
System \((**)\) można przepisać w następujący sposób: \[\begin(przypadki) 1

W ten sposób ustaliliśmy, że oba pierwiastki równania \((*)\) muszą leżeć w przedziale \((1;4)\) . Jak napisać ten warunek?
Nie będziemy jawnie wypisywać korzeni.
Rozważmy funkcję \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) . Jego wykresem jest parabola z gałęziami skierowanymi w górę, która ma dwa punkty przecięcia z osią odciętych (warunek ten napisaliśmy w akapicie 1)). Jak powinien wyglądać jego wykres, aby punkty przecięcia z osią odciętych znajdowały się w przedziale \((1;4)\) ? Więc:


Po pierwsze, wartości \(g(1)\) i \(g(4)\) funkcji w punktach \(1\) i \(4\) muszą być dodatnie, a po drugie wierzchołek parabola \(t_0\ ) musi również znajdować się w przedziale \((1;4)\) . Dlatego system można zapisać: \[\begin(przypadki) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4\(a\) zawsze ma co najmniej jeden pierwiastek \(x=0\) . Tak więc, aby spełnić warunek problemu, konieczne jest, aby równanie \

miał cztery różne niezerowe pierwiastki, reprezentujące wraz z \(x=0\) postęp arytmetyczny.

Zauważ, że funkcja \(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\) jest parzysta, więc jeśli \(x_0\) jest pierwiastkiem równania \((* )\ ) , wtedy \(-x_0\) będzie również jego korzeniem. Wtedy konieczne jest, aby pierwiastkami tego równania były liczby uporządkowane rosnąco: \(-2d, -d, d, 2d\) (wtedy \(d>0\) ). Wtedy te pięć liczb utworzy ciąg arytmetyczny (z różnicą \(d\) ).

Aby te pierwiastki były liczbami \(-2d, -d, d, 2d\) , konieczne jest, aby liczby \(d^(\,2), 4d^(\,2)\) były pierwiastkami równanie \(25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0\) . Następnie z twierdzenia Viety:

Zapisujemy równanie w postaci \ i rozważ dwie funkcje: \(g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)\) i \(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\) .
Funkcja \(g(x)\) ma punkt maksymalny \(x=0\) (i \(g_(\text(top))=g(0)=-a^2+20a-4\)):
\(g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x\). Pochodna zerowa: \(x=0\) . Dla \(x<0\) имеем: \(g">0\) , dla \(x>0\) : \(g"<0\) .
Funkcja \(f(x)\) dla \(x>0\) jest rosnąca, a dla \(x<0\) – убывающей, следовательно, \(x=0\) – точка минимума.
Rzeczywiście, dla \(x>0\) pierwszy moduł rozwinie się dodatnio (\(|x|=x\) ), więc niezależnie od tego, jak rozwinie się drugi moduł, \(f(x)\) będzie równe \ ( kx+A\) , gdzie \(A\) jest wyrażeniem z \(a\) , a \(k\) jest albo \(13-10=3\) albo \(13+10=23\) . Dla \(x<0\) наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(-3\) , либо \(-23\) .
Znajdźmy wartość \(f\) w punkcie minimalnym: \

Aby równanie miało co najmniej jedno rozwiązanie, konieczne jest, aby wykresy funkcji \(f\) i \(g\) miały co najmniej jeden punkt przecięcia. Dlatego potrzebujesz: \ Rozwiązując ten zestaw systemów, otrzymujemy odpowiedź: \\]

Odpowiedź:

\(a\w \(-2\)\szklanka\)

Definicja 1. Funkcja jest wywoływana nawet (dziwne ) jeśli razem z każdą wartością zmiennej
oznaczający - X również należy
i równość

Zatem funkcja może być parzysta lub nieparzysta tylko wtedy, gdy jej dziedzina definicji jest symetryczna względem początku współrzędnych na prostej rzeczywistej (liczby X oraz - X jednocześnie należeć
). Na przykład funkcja
nie jest ani parzysta, ani nieparzysta, ponieważ jest dziedziną definicji
niesymetryczne względem pochodzenia.

Funkcjonować
nawet, ponieważ
symetryczne względem początku współrzędnych i.

Funkcjonować
dziwne bo
oraz
.

Funkcjonować
nie jest ani parzysta, ani nieparzysta, ponieważ chociaż
i jest symetryczny względem pochodzenia, równości (11.1) nie są spełnione. Na przykład,.

Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi jednostka organizacyjna, ponieważ jeśli punkt

należy również do wykresu. Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku, ponieważ jeśli
należy do wykresu, to punkt
należy również do wykresu.

Podczas udowadniania, czy funkcja jest parzysta czy nieparzysta, przydatne są następujące stwierdzenia.

Twierdzenie 1. a) Suma dwóch funkcji parzystych (nieparzystych) jest funkcją parzystą (nieparzystą).

b) Iloczyn dwóch funkcji parzystych (nieparzystych) jest funkcją parzystą.

c) Iloczyn funkcji parzystej i nieparzystej jest funkcją nieparzystą.

d) Jeśli f jest parzystą funkcją na zbiorze X i funkcja g zdefiniowany na planie
, a następnie funkcja
- nawet.

e) Jeśli f jest nieparzystą funkcją na zbiorze X i funkcja g zdefiniowany na planie
a parzysty (nieparzysty), to funkcja
- nawet dziwne).

Dowód. Udowodnijmy na przykład b) id).

b) Niech
oraz
są nawet funkcjami. A zatem. Przypadek funkcji nieparzystych jest rozpatrywany podobnie
oraz
.

d) Niech f jest funkcją parzystą. Następnie.

Pozostałe twierdzenia twierdzenia są dowodzone w podobny sposób. Twierdzenie zostało udowodnione.

Twierdzenie 2. Dowolna funkcja
, zdefiniowany na zbiorze X, który jest symetryczny względem pochodzenia, można przedstawić jako sumę funkcji parzystej i nieparzystej.

Dowód. Funkcjonować
można zapisać w postaci

.

Funkcjonować
jest parzysta, ponieważ
i funkcja
jest dziwne, ponieważ. W ten sposób,
, gdzie
- nawet i
jest funkcją nieparzystą. Twierdzenie zostało udowodnione.

Definicja 2. Funkcja
zwany czasopismo jeśli jest liczba
, takie, że dla dowolnego
liczby
oraz
również należą do dziedziny definicji
i równości

Taki numer T zwany Kropka Funkcje
.

Definicja 1 implikuje, że jeśli T– okres funkcji
, a następnie numer T także jest okresem funkcji
(bo przy wymianie T na - T zachowana równość). Za pomocą metody indukcji matematycznej można wykazać, że jeśli T– okres funkcji f, potem i
, to także kropka. Wynika z tego, że jeśli funkcja ma okres, to ma nieskończenie wiele okresów.

Definicja 3. Nazywa się najmniejszy z dodatnich okresów funkcji Główny Kropka.

Twierdzenie 3. Jeśli T jest głównym okresem funkcji f, to pozostałe okresy są jego wielokrotnościami.

Dowód. Załóżmy odwrotnie, to znaczy, że istnieje kropka Funkcje f (>0), a nie wielokrotność T. Następnie dzielenie na T z resztą otrzymujemy
, gdzie
. dlatego

to znaczy – okres funkcji f, oraz
, co jest sprzeczne z faktem, że T jest głównym okresem funkcji f. Twierdzenie twierdzenia wynika z otrzymanej sprzeczności. Twierdzenie zostało udowodnione.

Powszechnie wiadomo, że funkcje trygonometryczne są okresowe. Główny okres
oraz
równa się
,
oraz
. Znajdź okres funkcji
. Pozwalać
jest okresem tej funkcji. Następnie

(jak
.

ororor
.

Oznaczający T, wyznaczona z pierwszej równości, nie może być kropką, ponieważ zależy od X, tj. jest funkcją X, nie jest liczbą stałą. Okres jest określany na podstawie drugiej równości:
. Okresów jest nieskończenie wiele
najmniejszy dodatni okres uzyskuje się, gdy
:
. Jest to główny okres funkcji
.

Przykładem bardziej złożonej funkcji okresowej jest funkcja Dirichleta

Zauważ, że jeśli T jest zatem liczbą wymierną
oraz
są liczbami wymiernymi pod wymiernymi X i irracjonalne, gdy irracjonalne X. dlatego

dla dowolnej liczby wymiernej T. Dlatego każda liczba wymierna T jest okresem funkcji Dirichleta. Jest oczywiste, że ta funkcja nie ma głównego okresu, ponieważ istnieją dodatnie liczby wymierne dowolnie bliskie zeru (na przykład liczbę wymierną można utworzyć, wybierając n dowolnie bliskie zeru).

Twierdzenie 4. Jeśli funkcja f ustawić na zestawie X i ma okres T i funkcja g ustawić na zestawie
, to funkcja zespolona
też ma okres T.

Dowód. Mamy zatem

to znaczy, że twierdzenie twierdzenia zostało udowodnione.

Na przykład od sałata x ma okres
, a następnie funkcje
mieć okres
.

Definicja 4. Wywoływane są funkcje, które nie są okresowe nieokresowe .