Dzielenie ułamków zwykłych: zasady, przykłady, rozwiązania. Dzielenie ułamka przez liczbę naturalną

Teraz, gdy nauczyliśmy się dodawać i mnożyć poszczególne ułamki, możemy zająć się bardziej złożonymi strukturami. Na przykład, co jeśli dodawanie, odejmowanie i mnożenie ułamków występuje w jednym zadaniu?

Przede wszystkim musisz zamienić wszystkie ułamki na niewłaściwe. Następnie kolejno wykonujemy wymagane czynności - w takiej samej kolejności, jak w przypadku zwykłych liczb. Mianowicie:

1. Najpierw przeprowadzane jest potęgowanie - pozbądź się wszystkich wyrażeń zawierających wykładniki;
2. Następnie - dzielenie i mnożenie;
3. Ostatnim krokiem jest dodawanie i odejmowanie.

Oczywiście, jeśli w wyrażeniu znajdują się nawiasy, zmienia się kolejność działań - wszystko, co znajduje się w nawiasach, musi zostać uwzględnione w pierwszej kolejności. I pamiętaj o ułamkach niewłaściwych: musisz zaznaczyć całą część dopiero wtedy, gdy wszystkie inne czynności zostały już zakończone.

Przetłumaczmy wszystkie ułamki z pierwszego wyrażenia na niewłaściwe, a następnie wykonajmy następujące czynności:

Teraz znajdźmy wartość drugiego wyrażenia. Nie ma ułamków z częścią całkowitą, ale są nawiasy, więc najpierw wykonujemy dodawanie, a dopiero potem dzielenie. Zauważ, że 14 = 7 2 . Następnie:

Na koniec rozważ trzeci przykład. Są tu nawiasy i stopień - lepiej liczyć je osobno. Biorąc pod uwagę, że 9 = 3 3 , mamy:

Zwróć uwagę na ostatni przykład. Aby podnieść ułamek do potęgi, musisz osobno podnieść licznik do tej potęgi i osobno mianownik.

Możesz zdecydować inaczej. Jeśli przypomnimy sobie definicję stopnia, problem zostanie zredukowany do zwykłego mnożenia ułamków:

Ułamki wielopiętrowe

Do tej pory rozważaliśmy tylko „czyste” ułamki, w których licznik i mianownik są liczbami zwykłymi. Jest to zgodne z definicją ułamka liczbowego podaną w pierwszej lekcji.

Ale co, jeśli bardziej złożony obiekt zostanie umieszczony w liczniku lub mianowniku? Na przykład inny ułamek liczbowy? Takie konstrukcje zdarzają się dość często, zwłaszcza podczas pracy z długimi wyrażeniami. Oto kilka przykładów:

Jest tylko jedna zasada pracy z ułamkami wielokondygnacyjnymi: musisz się ich natychmiast pozbyć. Usuwanie „dodatkowych” pięter jest dość proste, jeśli pamięta się, że kreska ułamkowa oznacza standardową operację dzielenia. Dlatego dowolny ułamek można przepisać w następujący sposób:

Korzystając z tego faktu i postępując zgodnie z procedurą, możemy łatwo sprowadzić dowolny ułamek wielokondygnacyjny do zwykłego. Spójrz na przykłady:

Zadanie. Konwertuj ułamki wielopiętrowe na zwykłe:

W każdym przypadku przepisujemy główny ułamek, zastępując linię podziału znakiem podziału. Pamiętaj też, że każdą liczbę całkowitą można przedstawić jako ułamek o mianowniku równym 1. Oznacza to, że 12 = 12/1; 3 = 3/1. Otrzymujemy:

W ostatnim przykładzie ułamki zostały zredukowane przed końcowym mnożeniem.

Specyfika pracy z ułamkami wielokondygnacyjnymi

We frakcjach wielokondygnacyjnych jest jedna subtelność, o której zawsze należy pamiętać, w przeciwnym razie możesz uzyskać błędną odpowiedź, nawet jeśli wszystkie obliczenia były poprawne. Spójrz:

1. W liczniku jest osobna liczba 7, aw mianowniku - ułamek 12/5;
2. Licznik to ułamek 7/12, a mianownik to pojedyncza liczba 5.

Tak więc, w przypadku jednej płyty, otrzymaliśmy dwie zupełnie różne interpretacje. Jeśli policzysz, odpowiedzi również będą inne:

Aby zapis był zawsze odczytywany jednoznacznie, zastosuj prostą zasadę: linia podziału głównego ułamka musi być dłuższa niż linia zagnieżdżona. Najlepiej kilka razy.

Jeśli zastosujesz się do tej zasady, powyższe ułamki należy zapisać w następujący sposób:

Tak, prawdopodobnie jest brzydki i zajmuje za dużo miejsca. Ale policzysz poprawnie. Na koniec kilka przykładów, w których naprawdę występują ułamki wielopoziomowe:

Zadanie. Znajdź wartości wyrażeń:

Popracujmy więc nad pierwszym przykładem. Zamieńmy wszystkie ułamki na niewłaściwe, a następnie wykonajmy działania dodawania i dzielenia:

Zróbmy to samo z drugim przykładem. Zamień wszystkie ułamki na niewłaściwe i wykonaj wymagane działania. Aby nie zanudzać czytelnika, pominę kilka oczywistych wyliczeń. Mamy:

Ponieważ licznik i mianownik ułamków głównych zawierają sumy, reguła zapisu ułamków wielopoziomowych jest przestrzegana automatycznie. Również w ostatnim przykładzie celowo zostawiliśmy liczbę 46/1 w postaci ułamka, aby wykonać dzielenie.

Zauważam też, że w obu przykładach kreska ułamkowa faktycznie zastępuje nawiasy: najpierw znaleźliśmy sumę, a dopiero potem iloraz.

Ktoś powie, że przejście do ułamków niewłaściwych w drugim przykładzie było ewidentnie zbędne. Być może tak właśnie jest. Ale w ten sposób zabezpieczamy się przed błędami, bo następnym razem przykład może okazać się dużo bardziej skomplikowany. Sam wybierz, co jest ważniejsze: szybkość czy niezawodność.

Ułamek to jedna lub więcej części całości, która jest zwykle traktowana jako jednostka (1). Podobnie jak w przypadku liczb naturalnych, możesz wykonywać wszystkie podstawowe operacje arytmetyczne na ułamkach (dodawanie, odejmowanie, dzielenie, mnożenie), w tym celu musisz znać funkcje pracy z ułamkami i rozróżniać ich rodzaje. Istnieje kilka rodzajów ułamków: dziesiętne i zwykłe lub proste. Każdy rodzaj ułamków ma swoją specyfikę, ale kiedy już raz dokładnie zrozumiesz, jak sobie z nimi radzić, będziesz w stanie rozwiązać dowolne przykłady z ułamkami, ponieważ poznasz podstawowe zasady wykonywania obliczeń arytmetycznych na ułamkach. Przyjrzyjmy się przykładom dzielenia ułamka przez liczbę całkowitą przy użyciu różnych typów ułamków.

Jak podzielić ułamek przez liczbę naturalną?
Zwykłe lub proste ułamki nazywane są ułamkami, które są zapisywane jako taki stosunek liczb, w którym dywidenda (licznik) jest wskazana na górze ułamka, a dzielnik (mianownik) ułamka jest wskazany poniżej. Jak podzielić taki ułamek przez liczbę całkowitą? Spójrzmy na przykład! Powiedzmy, że musimy podzielić 8/12 przez 2.

W tym celu musimy wykonać szereg czynności:
Tak więc, jeśli staniemy przed zadaniem podzielenia ułamka przez liczbę całkowitą, schemat rozwiązania będzie wyglądał mniej więcej tak:

Podobnie możesz podzielić dowolny zwykły (prosty) ułamek przez liczbę całkowitą.

Jak podzielić ułamek dziesiętny przez liczbę całkowitą?
Ułamek dziesiętny to ułamek, który otrzymuje się dzieląc jednostkę na dziesięć, tysiąc itd. części. Operacje arytmetyczne na ułamkach dziesiętnych są dość proste.

Rozważ przykład dzielenia ułamka przez liczbę całkowitą. Powiedzmy, że musimy podzielić ułamek dziesiętny 0,925 przez liczbę naturalną 5.

Podsumowując, skupimy się na dwóch głównych punktach, które są ważne podczas wykonywania operacji dzielenia ułamków dziesiętnych przez liczbę całkowitą:

• aby podzielić ułamek dziesiętny przez liczbę naturalną, stosuje się podział na kolumnę;
  
• przecinek jest umieszczany w prywatnym, gdy dzielenie części całkowitej dywidendy jest zakończone.
  

Stosując te proste zasady, zawsze możesz łatwo podzielić dowolną liczbę dziesiętną lub ułamkową przez liczbę całkowitą.

) i mianownik przez mianownik (otrzymujemy mianownik iloczynu).

Wzór na mnożenie ułamków:

Na przykład:

Przed przystąpieniem do mnożenia liczników i mianowników należy sprawdzić możliwość redukcji ułamka. Jeśli uda ci się zmniejszyć ułamek, łatwiej będzie ci kontynuować obliczenia.

Dzielenie ułamka zwykłego przez ułamek zwykły.

Dzielenie ułamków z wykorzystaniem liczby naturalnej.

To nie jest takie straszne, jak się wydaje. Podobnie jak w przypadku dodawania zamieniamy liczbę całkowitą na ułamek z jednostką w mianowniku. Na przykład:

Mnożenie ułamków mieszanych.

Zasady mnożenia ułamków zwykłych (mieszane):

• zamień ułamki mieszane na niewłaściwe;
• pomnożyć liczniki i mianowniki ułamków;
• zmniejszamy ułamek;
• jeśli otrzymamy ułamek niewłaściwy, to zamieniamy ułamek niewłaściwy na mieszany.

Uwaga! Aby pomnożyć ułamek mieszany przez inny ułamek mieszany, należy najpierw doprowadzić je do postaci ułamków niewłaściwych, a następnie pomnożyć zgodnie z zasadą mnożenia ułamków zwykłych.

Drugi sposób mnożenia ułamka przez liczbę naturalną.

Bardziej wygodne jest użycie drugiej metody mnożenia ułamka zwykłego przez liczbę.

Uwaga! Aby pomnożyć ułamek przez liczbę naturalną, należy podzielić mianownik ułamka przez tę liczbę i pozostawić licznik bez zmian.

Z powyższego przykładu widać, że ta opcja jest wygodniejsza w użyciu, gdy mianownik ułamka dzieli się bez reszty przez liczbę naturalną.

Ułamki wielopoziomowe.

W liceum często spotyka się trzypiętrowe (lub więcej) frakcje. Przykład:

Aby doprowadzić taki ułamek do jego zwykłej postaci, stosuje się podział przez 2 punkty:

Uwaga! Podczas dzielenia ułamków bardzo ważna jest kolejność dzielenia. Uważaj, tutaj łatwo się pomylić.

Uwaga, na przykład:

Dzieląc jeden przez dowolny ułamek, wynikiem będzie ten sam ułamek, tylko odwrócony:

Praktyczne wskazówki dotyczące mnożenia i dzielenia ułamków zwykłych:

1. Najważniejszą rzeczą w pracy z wyrażeniami ułamkowymi jest dokładność i uważność. Wszystkie obliczenia wykonuj ostrożnie i dokładnie, skoncentrowanie i wyraźnie. Lepiej napisać kilka dodatkowych linijek w szkicu, niż pogubić się w obliczeniach w głowie.

2. W zadaniach z różnymi typami ułamków - przejdź do rodzaju ułamków zwykłych.

3. Skracamy wszystkie ułamki do momentu, gdy redukcja nie jest już możliwa.

4. Wielopoziomowe wyrażenia ułamkowe wprowadzamy do zwykłych, stosując dzielenie przez 2 punkty.

5. Dzielimy jednostkę na ułamek w naszym umyśle, po prostu obracając ułamek.

Treść lekcji

Dodawanie ułamków o tych samych mianownikach

Dodawanie ułamków jest dwojakiego rodzaju:

1. Dodawanie ułamków o tych samych mianownikach
2. Dodawanie ułamków o różnych mianownikach

Zacznijmy od dodawania ułamków o tych samych mianownikach. Tutaj wszystko jest proste. Aby dodać ułamki o tych samych mianownikach, musisz dodać ich liczniki i pozostawić niezmieniony mianownik. Na przykład dodajmy ułamki i . Dodajemy liczniki, a mianownik pozostawiamy bez zmian:

Ten przykład można łatwo zrozumieć, jeśli pomyślimy o pizzy podzielonej na cztery części. Jeśli dodasz pizzę do pizzy, otrzymasz pizzę:

Przykład 2 Dodaj ułamki i .

Odpowiedzią jest ułamek niewłaściwy. Jeśli nadejdzie koniec zadania, zwyczajowo pozbywa się ułamków niewłaściwych. Aby pozbyć się ułamka niewłaściwego, musisz wybrać w nim całą część. W naszym przypadku część całkowitą przydziela się łatwo - dwa podzielone przez dwa równa się jeden:

Ten przykład można łatwo zrozumieć, jeśli pomyślimy o pizzy podzielonej na dwie części. Jeśli dodasz więcej pizz do pizzy, otrzymasz jedną całą pizzę:

Przykład 3. Dodaj ułamki i .

Ponownie dodaj liczniki i pozostaw mianownik bez zmian:

Ten przykład można łatwo zrozumieć, jeśli pomyślimy o pizzy podzielonej na trzy części. Jeśli dodasz więcej pizz do pizzy, otrzymasz pizze:

Przykład 4 Znajdź wartość wyrażenia

Ten przykład jest rozwiązany dokładnie w taki sam sposób, jak poprzednie. Liczniki należy dodać, a mianownik pozostawić bez zmian:

Spróbujmy przedstawić nasze rozwiązanie za pomocą obrazu. Jeśli dodasz pizze do pizzy i dodasz więcej pizz, otrzymasz 1 całą pizzę i więcej pizz.

Jak widać, dodawanie ułamków o tych samych mianownikach nie jest trudne. Wystarczy zrozumieć następujące zasady:

1. Aby dodać ułamki o tym samym mianowniku, musisz dodać ich liczniki i pozostawić niezmieniony mianownik;

Dodawanie ułamków o różnych mianownikach

Teraz nauczymy się dodawać ułamki o różnych mianownikach. Podczas dodawania ułamków mianowniki tych ułamków muszą być takie same. Ale nie zawsze są takie same.

Na przykład ułamki można dodawać, ponieważ mają te same mianowniki.

Ale ułamków nie można dodawać od razu, ponieważ ułamki te mają różne mianowniki. W takich przypadkach ułamki należy sprowadzić do tego samego (wspólnego) mianownika.

Istnieje kilka sposobów sprowadzenia ułamków do tego samego mianownika. Dzisiaj rozważymy tylko jedną z nich, ponieważ pozostałe metody mogą wydawać się skomplikowane dla początkującego.

Istota tej metody polega na tym, że poszukuje się pierwszego (LCM) mianownika obu ułamków. Następnie LCM dzieli się przez mianownik pierwszego ułamka i uzyskuje się pierwszy dodatkowy czynnik. To samo robią z drugim ułamkiem - LCM dzieli się przez mianownik drugiego ułamka i uzyskuje się drugi dodatkowy czynnik.

Następnie liczniki i mianowniki ułamków mnoży się przez ich dodatkowe czynniki. W wyniku tych działań ułamki o różnych mianownikach zamieniają się w ułamki o tych samych mianownikach. I już wiemy, jak dodawać takie ułamki.

Przykład 1. Dodaj ułamki i

Przede wszystkim znajdujemy najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników obu ułamków. Mianownikiem pierwszego ułamka jest liczba 3, a mianownikiem drugiego ułamka jest liczba 2. Najmniejszą wspólną wielokrotnością tych liczb jest 6

LCM (2 i 3) = 6

Wróćmy teraz do ułamków i . Najpierw dzielimy LCM przez mianownik pierwszego ułamka i otrzymujemy pierwszy dodatkowy czynnik. LCM to liczba 6, a mianownikiem pierwszego ułamka jest liczba 3. Podziel 6 przez 3, otrzymamy 2.

Wynikowa liczba 2 jest pierwszym dodatkowym czynnikiem. Zapisujemy to do pierwszego ułamka. Aby to zrobić, wykonujemy małą ukośną linię nad ułamkiem i zapisujemy nad nim znaleziony dodatkowy czynnik:

To samo robimy z drugim ułamkiem. Dzielimy LCM przez mianownik drugiego ułamka i otrzymujemy drugi dodatkowy czynnik. LCM to liczba 6, a mianownikiem drugiego ułamka jest liczba 2. Podziel 6 przez 2, otrzymamy 3.

Wynikowa liczba 3 jest drugim dodatkowym czynnikiem. Zapisujemy to do drugiego ułamka. Ponownie tworzymy małą ukośną linię nad drugą frakcją i piszemy nad nią znaleziony dodatkowy czynnik:

Teraz wszyscy jesteśmy gotowi do dodania. Pozostaje pomnożyć liczniki i mianowniki ułamków przez ich dodatkowe czynniki:

Przyjrzyj się uważnie, do czego doszliśmy. Doszliśmy do wniosku, że ułamki o różnych mianownikach zamieniły się w ułamki o tych samych mianownikach. I już wiemy, jak dodawać takie ułamki. Uzupełnijmy ten przykład do końca:

Tak kończy się przykład. Aby dodać, okazuje się.

Spróbujmy przedstawić nasze rozwiązanie za pomocą obrazu. Jeśli dodasz pizze do pizzy, otrzymasz jedną całą pizzę i kolejną szóstą pizzy:

Sprowadzanie ułamków do tego samego (wspólnego) mianownika można również przedstawić za pomocą rysunku. Sprowadzając ułamki i do wspólnego mianownika, otrzymujemy ułamki i . Te dwie frakcje będą reprezentowane przez te same kawałki pizzy. Jedyną różnicą będzie to, że tym razem zostaną one podzielone na równe części (sprowadzone do tego samego mianownika).

Pierwszy rysunek przedstawia ułamek (cztery kawałki z sześciu), a drugi obraz przedstawia ułamek (trzy kawałki z sześciu). Łącząc te elementy, otrzymujemy (siedem elementów z sześciu). Ten ułamek jest niepoprawny, więc podkreśliliśmy w nim część całkowitą. Rezultatem była (jedna cała pizza i kolejna szósta pizza).

Zauważ, że namalowaliśmy ten przykład zbyt szczegółowo. W instytucjach edukacyjnych nie ma zwyczaju pisania w tak szczegółowy sposób. Musisz być w stanie szybko znaleźć LCM obu mianowników i dodatkowych do nich czynników, a także szybko pomnożyć dodatkowe czynniki znalezione przez twoje liczniki i mianowniki. W szkole musielibyśmy napisać ten przykład w następujący sposób:

Ale jest też druga strona medalu. Jeśli na pierwszych etapach nauki matematyki nie robi się szczegółowych notatek, to tego rodzaju pytania „Skąd ta liczba?”, „Dlaczego ułamki nagle zamieniają się w zupełnie inne ułamki? «.

Aby ułatwić dodawanie ułamków o różnych mianownikach, możesz skorzystać z następujących instrukcji krok po kroku:

1. Znajdź LCM mianowników ułamków;
2. Podziel LCM przez mianownik każdego ułamka i uzyskaj dodatkowy mnożnik dla każdego ułamka;
3. Pomnóż liczniki i mianowniki ułamków przez ich dodatkowe czynniki;
4. Dodaj ułamki, które mają te same mianowniki;
5. Jeśli odpowiedź okazała się ułamkiem niewłaściwym, wybierz całą jego część;

Przykład 2 Znajdź wartość wyrażenia .

Skorzystajmy z instrukcji powyżej.

Krok 1. Znajdź LCM mianowników ułamków

Znajdź LCM mianowników obu ułamków. Mianownikami ułamków są liczby 2, 3 i 4

Krok 2. Podziel LCM przez mianownik każdego ułamka i uzyskaj dodatkowy mnożnik dla każdego ułamka

Podziel LCM przez mianownik pierwszego ułamka. LCM to liczba 12, a mianownikiem pierwszego ułamka jest liczba 2. Dzieląc 12 przez 2, otrzymujemy 6. Mamy pierwszy dodatkowy czynnik 6. Zapisujemy go nad pierwszym ułamkiem:

Teraz dzielimy LCM przez mianownik drugiego ułamka. LCM to liczba 12, a mianownikiem drugiego ułamka jest liczba 3. Dzieląc 12 przez 3, otrzymujemy 4. Otrzymaliśmy drugi dodatkowy czynnik 4. Zapisujemy go nad drugim ułamkiem:

Teraz dzielimy LCM przez mianownik trzeciego ułamka. LCM to liczba 12, a mianownikiem trzeciego ułamka jest liczba 4. Dzielimy 12 przez 4, otrzymujemy 3. Otrzymujemy trzeci dodatkowy czynnik 3. Zapisujemy go nad trzecim ułamkiem:

Krok 3. Pomnóż liczniki i mianowniki ułamków przez dodatkowe czynniki

Mnożymy liczniki i mianowniki przez nasze dodatkowe czynniki:

Krok 4. Dodaj ułamki o tych samych mianownikach

Doszliśmy do wniosku, że ułamki o różnych mianownikach zamieniły się w ułamki o tych samych (wspólnych) mianownikach. Pozostaje dodać te ułamki. dodać:

Dodanie nie zmieściło się w jednym wierszu, więc pozostałe wyrażenie przenieśliśmy do następnego wiersza. To jest dozwolone w matematyce. Gdy wyrażenie nie mieści się w jednym wierszu, jest przenoszone do następnego wiersza i konieczne jest postawienie znaku równości (=) na końcu pierwszego wiersza i na początku nowego wiersza. Znak równości w drugim wierszu wskazuje, że jest to kontynuacja wyrażenia znajdującego się w pierwszym wierszu.

Krok 5. Jeśli odpowiedź okazała się ułamkiem niewłaściwym, wybierz w nim całą część

Nasza odpowiedź to ułamek niewłaściwy. Musimy wyróżnić całą jego część. Wyróżniamy:

Mam odpowiedź

Odejmowanie ułamków o tych samych mianownikach

Istnieją dwa rodzaje odejmowania ułamków:

1. Odejmowanie ułamków o tych samych mianownikach
2. Odejmowanie ułamków o różnych mianownikach

Najpierw nauczmy się odejmować ułamki o tych samych mianownikach. Tutaj wszystko jest proste. Aby odjąć inny ułamek od jednego ułamka, musisz odjąć licznik drugiego ułamka od licznika pierwszego ułamka i pozostawić ten sam mianownik.

Na przykład znajdźmy wartość wyrażenia . Aby rozwiązać ten przykład, należy od licznika pierwszego ułamka odjąć licznik drugiego ułamka i pozostawić niezmieniony mianownik. Zróbmy to:

Ten przykład można łatwo zrozumieć, jeśli pomyślimy o pizzy podzielonej na cztery części. Jeśli wycinasz pizze z pizzy, otrzymujesz pizze:

Przykład 2 Znajdź wartość wyrażenia .

Ponownie od licznika pierwszego ułamka odejmij licznik drugiego ułamka i pozostaw mianownik niezmieniony:

Ten przykład można łatwo zrozumieć, jeśli pomyślimy o pizzy podzielonej na trzy części. Jeśli wycinasz pizze z pizzy, otrzymujesz pizze:

Przykład 3 Znajdź wartość wyrażenia

Ten przykład jest rozwiązany dokładnie w taki sam sposób, jak poprzednie. Od licznika pierwszego ułamka należy odjąć liczniki pozostałych ułamków:

Jak widać, nie ma nic skomplikowanego w odejmowaniu ułamków o tych samych mianownikach. Wystarczy zrozumieć następujące zasady:

1. Aby odjąć inny ułamek od jednego ułamka, należy od licznika pierwszego ułamka odjąć licznik drugiego ułamka, a mianownik pozostawić niezmieniony;
2. Jeśli odpowiedź okazała się ułamkiem niewłaściwym, musisz wybrać w nim całą część.

Odejmowanie ułamków o różnych mianownikach

Na przykład ułamek można odjąć od ułamka, ponieważ ułamki te mają te same mianowniki. Ale ułamka nie można odjąć od ułamka, ponieważ ułamki te mają różne mianowniki. W takich przypadkach ułamki należy sprowadzić do tego samego (wspólnego) mianownika.

Wspólny mianownik znajduje się zgodnie z tą samą zasadą, której użyliśmy przy dodawaniu ułamków o różnych mianownikach. Przede wszystkim znajdź LCM mianowników obu ułamków. Następnie LCM dzieli się przez mianownik pierwszego ułamka i uzyskuje się pierwszy dodatkowy czynnik, który jest zapisywany na pierwszym ułamku. Podobnie LCM dzieli się przez mianownik drugiego ułamka i uzyskuje się drugi dodatkowy czynnik, który jest zapisywany na drugim ułamku.

Ułamki są następnie mnożone przez ich dodatkowe czynniki. W wyniku tych operacji ułamki o różnych mianownikach zamieniają się w ułamki o tych samych mianownikach. I wiemy już, jak odejmować takie ułamki.

Przykład 1 Znajdź wartość wyrażenia:

Te ułamki mają różne mianowniki, więc musisz sprowadzić je do tego samego (wspólnego) mianownika.

Najpierw znajdujemy LCM mianowników obu ułamków. Mianownikiem pierwszego ułamka jest liczba 3, a mianownikiem drugiego ułamka jest liczba 4. Najmniejszą wspólną wielokrotnością tych liczb jest 12

LCM (3 i 4) = 12

Wróćmy teraz do ułamków i

Znajdźmy dodatkowy czynnik dla pierwszego ułamka. Aby to zrobić, dzielimy LCM przez mianownik pierwszego ułamka. LCM to liczba 12, a mianownikiem pierwszego ułamka jest liczba 3. Dzieląc 12 przez 3, otrzymujemy 4. Zapisujemy cztery nad pierwszym ułamkiem:

To samo robimy z drugim ułamkiem. Dzielimy LCM przez mianownik drugiego ułamka. LCM to liczba 12, a mianownikiem drugiego ułamka jest liczba 4. Podziel 12 przez 4, otrzymamy 3. Napisz potrójną część na drugim ułamku:

Teraz wszyscy jesteśmy gotowi do odejmowania. Pozostaje pomnożyć ułamki przez ich dodatkowe czynniki:

Doszliśmy do wniosku, że ułamki o różnych mianownikach zamieniły się w ułamki o tych samych mianownikach. I wiemy już, jak odejmować takie ułamki. Uzupełnijmy ten przykład do końca:

Mam odpowiedź

Spróbujmy przedstawić nasze rozwiązanie za pomocą obrazu. Jeśli kroisz pizzę z pizzy, otrzymujesz pizze.

To jest szczegółowa wersja rozwiązania. Będąc w szkole, musielibyśmy rozwiązać ten przykład w krótszy sposób. Takie rozwiązanie wyglądałoby tak:

Redukcję ułamków zwykłych i do wspólnego mianownika można również przedstawić za pomocą obrazu. Sprowadzając te ułamki do wspólnego mianownika, otrzymujemy ułamki i . Te ułamki będą reprezentowane przez te same kawałki pizzy, ale tym razem zostaną podzielone na te same ułamki (sprowadzone do tego samego mianownika):

Pierwszy rysunek przedstawia ułamek (osiem sztuk z dwunastu), a drugi rysunek przedstawia ułamek (trzy sztuki z dwunastu). Odcinając trzy kawałki z ośmiu kawałków, otrzymujemy pięć kawałków z dwunastu. Ułamek opisuje te pięć kawałków.

Przykład 2 Znajdź wartość wyrażenia

Te ułamki mają różne mianowniki, więc najpierw trzeba je sprowadzić do tego samego (wspólnego) mianownika.

Znajdź LCM mianowników tych ułamków.

Mianownikami ułamków są liczby 10, 3 i 5. Najmniejszą wspólną wielokrotnością tych liczb jest 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Teraz znajdujemy dodatkowe czynniki dla każdej frakcji. Aby to zrobić, dzielimy LCM przez mianownik każdego ułamka.

Znajdźmy dodatkowy czynnik dla pierwszego ułamka. LCM to liczba 30, a mianownikiem pierwszego ułamka jest liczba 10. Dzieląc 30 przez 10, otrzymujemy pierwszy dodatkowy czynnik 3. Zapisujemy go nad pierwszym ułamkiem:

Teraz znajdujemy dodatkowy czynnik dla drugiego ułamka. Podziel LCM przez mianownik drugiego ułamka. LCM to liczba 30, a mianownikiem drugiego ułamka jest liczba 3. Dzieląc 30 przez 3, otrzymujemy drugi dodatkowy czynnik 10. Zapisujemy go nad drugim ułamkiem:

Teraz znajdujemy dodatkowy czynnik dla trzeciego ułamka. Podziel LCM przez mianownik trzeciego ułamka. LCM to liczba 30, a mianownikiem trzeciego ułamka jest liczba 5. Dzieląc 30 przez 5, otrzymujemy trzeci dodatkowy czynnik 6. Zapisujemy go nad trzecim ułamkiem:

Teraz wszystko jest gotowe do odejmowania. Pozostaje pomnożyć ułamki przez ich dodatkowe czynniki:

Doszliśmy do wniosku, że ułamki o różnych mianownikach zamieniły się w ułamki o tych samych (wspólnych) mianownikach. I wiemy już, jak odejmować takie ułamki. Zakończmy ten przykład.

Kontynuacja przykładu nie zmieści się w jednej linii, więc przenosimy kontynuację do następnej linii. Nie zapomnij o znaku równości (=) w nowej linii:

Odpowiedź okazała się poprawnym ułamkiem i wszystko wydaje się nam pasować, ale jest to zbyt uciążliwe i brzydkie. Powinniśmy to ułatwić. Co można zrobić? Możesz zmniejszyć ten ułamek.

Aby skrócić ułamek, musisz podzielić jego licznik i mianownik przez (gcd) liczby 20 i 30.

Tak więc znajdujemy NWD liczb 20 i 30:

Teraz wracamy do naszego przykładu i dzielimy licznik i mianownik ułamka przez znaleziony NWD, czyli przez 10

Mam odpowiedź

Mnożenie ułamka przez liczbę

Aby pomnożyć ułamek przez liczbę, musisz pomnożyć licznik danego ułamka przez tę liczbę, a mianownik pozostawić bez zmian.

Przykład 1. Pomnóż ułamek przez liczbę 1.

Pomnóż licznik ułamka przez liczbę 1

Wejście można rozumieć jako zajęcie połowy 1 raz. Na przykład, jeśli weźmiesz pizzę 1 raz, dostaniesz pizzę

Z praw mnożenia wiemy, że jeśli zamienimy mnożnik i mnożnik, to iloczyn się nie zmieni. Jeśli wyrażenie jest zapisane jako , to iloczyn nadal będzie równy . Ponownie działa zasada mnożenia liczby całkowitej i ułamka:

Wpis ten można rozumieć jako zajęcie połowy jednostki. Na przykład, jeśli jest 1 cała pizza i weźmiemy połowę, to będziemy mieli pizzę:

Przykład 2. Znajdź wartość wyrażenia

Pomnóż licznik ułamka przez 4

Odpowiedzią jest ułamek niewłaściwy. Weźmy całą jego część:

Wyrażenie można rozumieć jako zabieranie dwóch ćwiartek 4 razy. Na przykład, jeśli weźmiesz pizze 4 razy, otrzymasz dwie całe pizze.

A jeśli zamienimy miejscami mnożnik i mnożnik, otrzymamy wyrażenie. Będzie to również równe 2. To wyrażenie można rozumieć jako wzięcie dwóch pizz z czterech całych pizz:

Mnożenie ułamków zwykłych

Aby pomnożyć ułamki, musisz pomnożyć ich liczniki i mianowniki. Jeśli odpowiedzią jest ułamek niewłaściwy, musisz zaznaczyć w nim całą część.

Przykład 1 Znajdź wartość wyrażenia .

Mam odpowiedź. Pożądane jest zmniejszenie tej frakcji. Ułamek można zmniejszyć o 2. Wtedy ostateczne rozwiązanie przybierze następującą postać:

Wyrażenie można rozumieć jako wzięcie pizzy z połowy pizzy. Powiedzmy, że mamy pół pizzy:

Jak wziąć dwie trzecie z tej połowy? Najpierw musisz podzielić tę połowę na trzy równe części:

I weź dwa z tych trzech kawałków:

Dostaniemy pizzę. Przypomnij sobie, jak wygląda pizza podzielona na trzy części:

Jeden kawałek tej pizzy i dwa kawałki, które wzięliśmy, będą miały takie same wymiary:

Innymi słowy, mówimy o tym samym rozmiarze pizzy. Dlatego wartość wyrażenia wynosi

Przykład 2. Znajdź wartość wyrażenia

Pomnóż licznik pierwszego ułamka przez licznik drugiego ułamka, a mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego ułamka:

Odpowiedzią jest ułamek niewłaściwy. Weźmy całą jego część:

Przykład 3 Znajdź wartość wyrażenia

Pomnóż licznik pierwszego ułamka przez licznik drugiego ułamka, a mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego ułamka:

Odpowiedź okazała się poprawnym ułamkiem, ale dobrze będzie, jeśli zostanie zmniejszony. Aby zmniejszyć ten ułamek, musisz podzielić licznik i mianownik tego ułamka przez największy wspólny dzielnik (NWD) liczb 105 i 450.

Znajdźmy więc NWD liczb 105 i 450:

Teraz dzielimy licznik i mianownik naszej odpowiedzi na NWD, którą teraz znaleźliśmy, czyli przez 15

Reprezentowanie liczby całkowitej jako ułamka

Każdą liczbę całkowitą można przedstawić w postaci ułamka. Na przykład liczbę 5 można przedstawić jako . Od tego pięć nie zmieni swojego znaczenia, ponieważ wyrażenie oznacza „liczbę pięć podzieloną przez jeden”, a to, jak wiecie, jest równe pięciu:

Odwróć liczby

Teraz zapoznamy się z bardzo ciekawym tematem z matematyki. Nazywa się to „liczbami odwróconymi”.

Definicja. Odwróć do numerua jest liczbą, która pomnożona przeza daje jednostkę.

Podstawmy w tej definicji zamiast zmiennej a numer 5 i spróbuj przeczytać definicję:

Odwróć do numeru 5 jest liczbą, która pomnożona przez 5 daje jednostkę.

Czy można znaleźć liczbę, która po pomnożeniu przez 5 daje jeden? Okazuje się, że możesz. Przedstawmy pięć jako ułamek:

Następnie pomnóż ten ułamek przez siebie, po prostu zamień licznik i mianownik. Innymi słowy, pomnóżmy ułamek sam przez siebie, tylko odwrócony:

Co z tego wyniknie? Jeśli będziemy kontynuować rozwiązywanie tego przykładu, otrzymamy jeden:

Oznacza to, że odwrotność liczby 5 jest liczbą, ponieważ po pomnożeniu 5 przez jeden otrzymuje się jeden.

Odwrotność można również znaleźć dla dowolnej innej liczby całkowitej.

Możesz także znaleźć odwrotność dla dowolnego innego ułamka. Aby to zrobić, wystarczy go odwrócić.

Dzielenie ułamka przez liczbę

Powiedzmy, że mamy pół pizzy:

Podzielmy to równo między dwie osoby. Ile pizzy dostanie każdy?

Można zauważyć, że po podzieleniu połowy pizzy otrzymano dwa równe kawałki, z których każdy składa się na pizzę. Więc każdy dostaje pizzę.

Dzielenie ułamków odbywa się za pomocą odwrotności. Odwrotności pozwalają zastąpić dzielenie mnożeniem.

Aby podzielić ułamek przez liczbę, musisz pomnożyć ten ułamek przez odwrotność dzielnika.

Korzystając z tej zasady, zapiszemy podział naszej połowy pizzy na dwie części.

Musisz więc podzielić ułamek przez liczbę 2. Tutaj dzielna to ułamek, a dzielnik to 2.

Aby podzielić ułamek przez liczbę 2, musisz pomnożyć ten ułamek przez odwrotność dzielnika 2. Odwrotność dzielnika 2 to ułamek. Więc musisz pomnożyć przez

§ 87. Dodawanie ułamków.

Dodawanie ułamków ma wiele podobieństw do dodawania liczb całkowitych. Dodawanie ułamków to czynność polegająca na tym, że kilka podanych liczb (wyrazów) łączy się w jedną liczbę (sumę), która zawiera wszystkie jednostki i ułamki jednostek wyrazów.

Rozpatrzymy po kolei trzy przypadki:

1. Dodawanie ułamków o tych samych mianownikach.
2. Dodawanie ułamków o różnych mianownikach.
3. Dodawanie liczb mieszanych.

1. Dodawanie ułamków o tych samych mianownikach.

Rozważmy przykład: 1 / 5 + 2 / 5 .

Weź odcinek AB (ryc. 17), weź go jako jednostkę i podziel na 5 równych części, wtedy część AC tego segmentu będzie równa 1/5 odcinka AB, a część tego samego segmentu CD będzie równy 2/5 AB.

Z rysunku widać, że jeśli weźmiemy odcinek AD, to będzie on równy 3/5 AB; ale odcinek AD jest dokładnie sumą odcinków AC i CD. Możemy więc napisać:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Biorąc pod uwagę te warunki i otrzymaną kwotę, widzimy, że licznik sumy uzyskano przez dodanie liczników warunków, a mianownik pozostał niezmieniony.

Otrzymujemy stąd następującą regułę: Aby dodać ułamki o tych samych mianownikach, musisz dodać ich liczniki i pozostawić ten sam mianownik.

Rozważ przykład:

2. Dodawanie ułamków o różnych mianownikach.

Dodajmy ułamki: 3/4 + 3/8 Najpierw trzeba je sprowadzić do najniższego wspólnego mianownika:

Link pośredni 6/8 + 3/8 nie mógł zostać napisany; napisaliśmy to tutaj dla większej przejrzystości.

Tak więc, aby dodać ułamki o różnych mianownikach, należy najpierw doprowadzić je do najniższego wspólnego mianownika, dodać ich liczniki i podpisać wspólny mianownik.

Rozważmy przykład (na odpowiednich ułamkach napiszemy dodatkowe czynniki):

3. Dodawanie liczb mieszanych.

Dodajmy liczby: 2 3 / 8 + 3 5 / 6.

Najpierw sprowadźmy części ułamkowe naszych liczb do wspólnego mianownika i przepiszmy je ponownie:

Teraz dodaj kolejno części całkowite i ułamkowe:

§ 88. Odejmowanie ułamków zwykłych.

Odejmowanie ułamków jest definiowane w taki sam sposób jak odejmowanie liczb całkowitych. Jest to działanie, dzięki któremu, biorąc pod uwagę sumę dwóch wyrazów i jednego z nich, znajduje się inny wyraz. Rozpatrzmy po kolei trzy przypadki:

1. Odejmowanie ułamków o tych samych mianownikach.
2. Odejmowanie ułamków o różnych mianownikach.
3. Odejmowanie liczb mieszanych.

1. Odejmowanie ułamków o tych samych mianownikach.

Rozważ przykład:

13 / 15 - 4 / 15

Weźmy odcinek AB (ryc. 18), weźmy go jako jednostkę i podzielmy na 15 równych części; wtedy część AC tego odcinka będzie wynosić 1/15 AB, a część AD tego samego odcinka będzie odpowiadać 13/15 AB. Odłóżmy na bok kolejny odcinek ED, równy 4/15 AB.

Musimy odjąć 4/15 od 13/15. Na rysunku oznacza to, że odcinek ED należy odjąć od odcinka AD. W rezultacie pozostanie odcinek AE, który stanowi 9/15 segmentu AB. Możemy więc napisać:

Z wykonanego przez nas przykładu wynika, że ​​licznik różnicy uzyskano przez odjęcie liczników, a mianownik pozostał ten sam.

Dlatego, aby odjąć ułamki o tych samych mianownikach, musisz odjąć licznik odejmowanej części od licznika odjętego i pozostawić ten sam mianownik.

2. Odejmowanie ułamków o różnych mianownikach.

Przykład. 3/4 - 5/8

Najpierw sprowadźmy te ułamki do najmniejszego wspólnego mianownika:

Link pośredni 6 / 8 - 5 / 8 jest tutaj zapisany dla jasności, ale można go pominąć w przyszłości.

Tak więc, aby odjąć ułamek od ułamka, należy najpierw doprowadzić je do najmniejszego wspólnego mianownika, następnie odjąć licznik odejmowania od licznika odliczenia i podpisać wspólny mianownik pod ich różnicą.

Rozważ przykład:

3. Odejmowanie liczb mieszanych.

Przykład. 10 3 / 4 - 7 2 / 3 .

Sprowadźmy części ułamkowe miniuendy i odejmowanej części do najniższego wspólnego mianownika:

Od całości odjęliśmy całość, a od ułamka ułamek. Ale zdarzają się przypadki, gdy ułamkowa część odejmowania jest większa niż ułamkowa część odejmowania. W takich przypadkach musisz wziąć jedną jednostkę z całkowitej części zredukowanej, podzielić ją na te części, w których wyrażona jest część ułamkowa, i dodać do części ułamkowej zredukowanej. Następnie odejmowanie zostanie wykonane w taki sam sposób, jak w poprzednim przykładzie:

§ 89. Mnożenie ułamków zwykłych.

Studiując mnożenie ułamków, rozważymy następujące pytania:

1. Mnożenie ułamka przez liczbę całkowitą.
2. Znalezienie ułamka podanej liczby.
3. Mnożenie liczby całkowitej przez ułamek.
4. Mnożenie ułamka przez ułamek.
5. Mnożenie liczb mieszanych.
6. Pojęcie interesu.
7. Znajdowanie procentów podanej liczby. Rozważmy je po kolei.

1. Mnożenie ułamka przez liczbę całkowitą.

Mnożenie ułamka przez liczbę całkowitą ma takie samo znaczenie jak mnożenie liczby całkowitej przez liczbę całkowitą. Mnożenie ułamka (mnożnika) przez liczbę całkowitą (mnożnik) oznacza złożenie sumy identycznych wyrazów, w których każdy wyraz jest równy mnożnikowi, a liczba wyrazów jest równa mnożnikowi.

Tak więc, jeśli chcesz pomnożyć 1/9 przez 7, możesz to zrobić w następujący sposób:

Wynik uzyskaliśmy z łatwością, ponieważ czynność została zredukowana do dodawania ułamków o tych samych mianownikach. W konsekwencji,

Rozważenie tego działania pokazuje, że pomnożenie ułamka przez liczbę całkowitą jest równoważne zwiększeniu tego ułamka tyle razy, ile jest jednostek w liczbie całkowitej. A ponieważ wzrost ułamka osiąga się albo przez zwiększenie jego licznika

lub zmniejszając jego mianownik , to możemy albo pomnożyć licznik przez liczbę całkowitą, albo podzielić przez nią mianownik, jeśli taki podział jest możliwy.

Stąd otrzymujemy regułę:

Aby pomnożyć ułamek przez liczbę całkowitą, musisz pomnożyć licznik przez tę liczbę całkowitą i pozostawić mianownik bez zmian lub, jeśli to możliwe, podzielić mianownik przez tę liczbę, pozostawiając licznik bez zmian.

Podczas mnożenia możliwe są skróty, na przykład:

2. Znalezienie ułamka podanej liczby. Istnieje wiele problemów, w których musisz znaleźć lub obliczyć część danej liczby. Różnica między tymi zadaniami a innymi polega na tym, że podają liczbę niektórych obiektów lub jednostki miary i musisz znaleźć część tej liczby, która jest tutaj również wskazana przez określony ułamek. Aby ułatwić zrozumienie, najpierw podamy przykłady takich problemów, a następnie przedstawimy metodę ich rozwiązania.

Zadanie 1. Miałem 60 rubli; 1/3 tych pieniędzy wydałam na zakup książek. Ile kosztowały książki?

Zadanie 2. Pociąg musi pokonać odległość między miastami A i B, równą 300 km. Pokonał już 2/3 tego dystansu. Ile to jest kilometrów?

Zadanie 3. We wsi jest 400 domów, z czego 3/4 to murowane, reszta to drewniane. Ile jest domów murowanych?

Oto niektóre z wielu problemów, z którymi musimy się uporać, aby znaleźć ułamek danej liczby. Nazywa się je zwykle problemami ze znalezieniem ułamka danej liczby.

Rozwiązanie problemu 1. Od 60 rubli. 1/3 wydałam na książki; Aby więc znaleźć koszt książek, musisz podzielić liczbę 60 przez 3:

Rozwiązanie zadania 2. Znaczenie problemu polega na tym, że musisz znaleźć 2/3 z 300 km. Oblicz pierwszą 1/3 z 300; osiąga się to dzieląc 300 km przez 3:

300: 3 = 100 (czyli 1/3 z 300).

Aby znaleźć dwie trzecie z 300, musisz podwoić wynikowy iloraz, czyli pomnożyć przez 2:

100 x 2 = 200 (czyli 2/3 z 300).

Rozwiązanie problemu 3. Tutaj musisz określić liczbę domów murowanych, które wynoszą 3/4 z 400. Najpierw znajdźmy 1/4 z 400,

400: 4 = 100 (czyli 1/4 z 400).

Aby obliczyć trzy czwarte z 400, wynikowy iloraz należy potroić, to znaczy pomnożyć przez 3:

100 x 3 = 300 (czyli 3/4 z 400).

Na podstawie rozwiązania tych problemów możemy wyprowadzić następującą regułę:

Aby znaleźć wartość ułamka danej liczby, należy podzielić tę liczbę przez mianownik ułamka i pomnożyć otrzymany iloraz przez jego licznik.

3. Mnożenie liczby całkowitej przez ułamek.

Wcześniej (§ 26) ustalono, że mnożenie liczb całkowitych należy rozumieć jako dodawanie identycznych wyrazów (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20). W tym akapicie (ust. 1) ustalono, że pomnożenie ułamka przez liczbę całkowitą oznacza znalezienie sumy identycznych wyrazów równej temu ułamkowi.

W obu przypadkach mnożenie polegało na znalezieniu sumy identycznych wyrazów.

Teraz przechodzimy do mnożenia liczby całkowitej przez ułamek. Tutaj spotkamy się np. z mnożeniem: 9 2/3. Jest całkiem oczywiste, że poprzednia definicja mnożenia nie ma zastosowania w tym przypadku. Wynika to jasno z faktu, że takiego mnożenia nie możemy zastąpić dodawaniem równych liczb.

Z tego powodu będziemy musieli podać nową definicję mnożenia, czyli innymi słowy odpowiedzieć na pytanie, co należy rozumieć przez mnożenie przez ułamek, jak należy rozumieć to działanie.

Znaczenie mnożenia liczby całkowitej przez ułamek wynika z następującej definicji: pomnożyć liczbę całkowitą (mnożnik) przez ułamek (mnożnik) oznacza znaleźć ten ułamek mnożnika.

Mianowicie pomnożenie 9 przez 2/3 oznacza znalezienie 2/3 z dziewięciu jednostek. W poprzednim akapicie takie problemy zostały rozwiązane; więc łatwo się domyślić, że otrzymamy 6.

Ale teraz pojawia się interesujące i ważne pytanie: dlaczego tak pozornie różne działania, jak znalezienie sumy równych liczb i znalezienie ułamka liczby, nazywane są tym samym słowem „mnożenie” w arytmetyce?

Dzieje się tak, ponieważ poprzednia czynność (kilkakrotne powtórzenie liczby z wyrazami) i nowa czynność (znalezienie ułamka liczby) dają odpowiedź na jednorodne pytania. Oznacza to, że wychodzimy tutaj z rozważań, że jednorodne pytania lub zadania rozwiązuje się za pomocą jednego i tego samego działania.

Aby to zrozumieć, rozważmy następujący problem: „1 m tkaniny kosztuje 50 rubli. Ile kosztują 4 metry takiej tkaniny?

Ten problem rozwiązuje się, mnożąc liczbę rubli (50) przez liczbę metrów (4), tj. 50 x 4 = 200 (rubli).

Weźmy ten sam problem, ale w nim ilość tkaniny zostanie wyrażona jako liczba ułamkowa: „1 m tkaniny kosztuje 50 rubli. Ile będzie kosztować 3/4 m takiego materiału?

Ten problem należy również rozwiązać, mnożąc liczbę rubli (50) przez liczbę metrów (3/4).

Możesz też kilka razy zmienić w nim liczby bez zmiany znaczenia problemu, na przykład wziąć 9/10 m lub 2 3/10 m itp.

Ponieważ problemy te mają tę samą treść i różnią się tylko liczbami, działania stosowane w ich rozwiązaniu nazywamy tym samym słowem - mnożeniem.

Jak mnoży się liczbę całkowitą przez ułamek?

Weźmy liczby napotkane w ostatnim zadaniu:

Zgodnie z definicją musimy znaleźć 3/4 z 50. Najpierw znajdujemy 1/4 z 50, a następnie 3/4.

1/4 z 50 to 50/4;

3/4 z 50 to .

W konsekwencji.

Rozważmy inny przykład: 12 5 / 8 = ?

1/8 z 12 to 12/8,

5/8 liczby 12 to .

W konsekwencji,

Stąd otrzymujemy regułę:

Aby pomnożyć liczbę całkowitą przez ułamek, musisz pomnożyć liczbę całkowitą przez licznik ułamka i uczynić ten iloczyn licznikiem, a mianownik danego ułamka podpisać jako mianownik.

Piszemy tę regułę za pomocą liter:

Aby ta zasada była całkowicie jasna, należy pamiętać, że ułamek można traktować jako iloraz. Dlatego warto porównać znalezioną regułę z regułą mnożenia liczby przez iloraz, o której mowa w § 38

Należy pamiętać, że przed wykonaniem mnożenia należy zrobić (jeśli to możliwe) cięcia, na przykład:

4. Mnożenie ułamka przez ułamek. Mnożenie ułamka przez ułamek ma takie samo znaczenie jak mnożenie liczby całkowitej przez ułamek, to znaczy mnożąc ułamek przez ułamek, musisz znaleźć ułamek w mnożniku z pierwszego ułamka (mnożnik).

Mianowicie pomnożenie 3/4 przez 1/2 (pół) oznacza znalezienie połowy z 3/4.

Jak pomnożyć ułamek przez ułamek?

Weźmy przykład: 3/4 razy 5/7. Oznacza to, że musisz znaleźć 5 / 7 z 3 / 4 . Znajdź najpierw 1/7 z 3/4, a następnie 5/7

1/7 z 3/4 byłoby wyrażone w ten sposób:

5/7 cyfry 3/4 wyrażą się następująco:

W ten sposób,

Inny przykład: 5/8 razy 4/9.

1/9 z 5/8 to ,

4/9 numery 5/8 są .

W ten sposób,

Z tych przykładów można wywnioskować następującą regułę:

Aby pomnożyć ułamek przez ułamek, musisz pomnożyć licznik przez licznik, a mianownik przez mianownik i uczynić pierwszy iloczyn licznikiem, a drugi iloczyn mianownikiem iloczynu.

Regułę tę można ogólnie zapisać w następujący sposób:

Podczas mnożenia konieczne jest dokonanie (jeśli to możliwe) redukcji. Rozważ przykłady:

5. Mnożenie liczb mieszanych. Ponieważ liczby mieszane można łatwo zastąpić ułamkami niewłaściwymi, okoliczność ta jest zwykle stosowana przy mnożeniu liczb mieszanych. Oznacza to, że w przypadkach, gdy mnożnik, mnożnik lub oba czynniki są wyrażone jako liczby mieszane, wówczas są one zastępowane ułamkami niewłaściwymi. Pomnóż na przykład liczby mieszane: 2 1/2 i 3 1/5. Każdy z nich zamieniamy na ułamek niewłaściwy, a następnie otrzymane ułamki będziemy mnożyć zgodnie z zasadą mnożenia ułamka przez ułamek:

Reguła. Aby pomnożyć liczby mieszane, należy je najpierw zamienić na ułamki niewłaściwe, a następnie pomnożyć zgodnie z zasadą mnożenia ułamka przez ułamek.

Uwaga. Jeżeli jeden z czynników jest liczbą całkowitą, to mnożenie można przeprowadzić na podstawie prawa dystrybucji w następujący sposób:

6. Pojęcie interesu. Rozwiązując problemy i wykonując różne praktyczne obliczenia, używamy wszelkiego rodzaju ułamków. Trzeba jednak pamiętać, że wiele wielkości dopuszcza nie jakiekolwiek, ale naturalne podpodziały. Na przykład możesz wziąć jedną setną (1/100) rubla, będzie to grosz, dwie setne to 2 kopiejki, trzy setne to 3 kopiejki. Możesz wziąć 1/10 rubla, będzie to „10 kopiejek lub dziesięciocentówka. Możesz wziąć ćwierć rubla, tj. 25 kopiejek, pół rubla, tj. 50 kopiejek (pięćdziesiąt kopiejek). Ale oni praktycznie nie Weźmy na przykład 2/7 rubla, ponieważ rubel nie dzieli się na części siódme.

Jednostka miary wagi, czyli kilogram, pozwala przede wszystkim na podziały dziesiętne, np. 1/10 kg, czy 100 g. Oraz takie ułamki kilograma jak 1/6, 1/11, 1/ 13 to rzadkość.

Ogólnie rzecz biorąc, nasze (metryczne) miary są dziesiętne i pozwalają na podziały dziesiętne.

Należy jednak zauważyć, że niezwykle przydatne i wygodne w wielu różnych przypadkach jest stosowanie tej samej (jednolitej) metody podziału wielkości. Wieloletnie doświadczenie pokazało, że takim dobrze uzasadnionym podziałem jest podział „setkowy”. Rozważmy kilka przykładów związanych z najróżniejszymi obszarami ludzkiej praktyki.

1. Cena książek spadła o 12/100 poprzedniej ceny.

Przykład. Poprzednia cena książki to 10 rubli. Spadła o 1 rubel. 20 kop.

2. Kasy oszczędnościowe wypłacają w ciągu roku deponentom 2/100 kwoty włożonej na oszczędności.

Przykład. Do kasy wkłada się 500 rubli, dochód z tej kwoty za rok wynosi 10 rubli.

3. Liczba absolwentów jednej szkoły wynosiła 5/100 ogółu uczniów.

PRZYKŁAD W szkole uczyło się zaledwie 1200 uczniów, z czego 60 ukończyło szkołę.

Setna część liczby nazywa się procentem..

Słowo „procent” zostało zapożyczone z języka łacińskiego, a jego rdzeń „cent” oznacza sto. Wraz z przyimkiem (pro centum) słowo to oznacza „za sto”. Znaczenie tego wyrażenia wynika z faktu, że początkowo w starożytnym Rzymie oprocentowaniem były pieniądze, które dłużnik płacił pożyczkodawcy „za każdą setkę”. Słowo „cent” słychać w tak znanych słowach: centner (sto kilogramów), centymetr (mówią centymetr).

Na przykład, zamiast mówić, że fabryka wyprodukowała 1/100 wszystkich produktów wyprodukowanych przez nią w ciągu ostatniego miesiąca, powiemy tak: fabryka wyprodukowała jeden procent odrzutów w ciągu ostatniego miesiąca. Zamiast mówić: zakład wyprodukował o 4/100 więcej wyrobów niż zakładał plan, powiemy: zakład przekroczył plan o 4 proc.

Powyższe przykłady można wyrazić inaczej:

1. Cena książek spadła o 12 procent w stosunku do poprzedniej ceny.

2. Kasy oszczędnościowe wypłacają deponentom 2 procent rocznie od kwoty zgromadzonych oszczędności.

3. Liczba absolwentów jednej szkoły wynosiła 5 procent liczby wszystkich uczniów w szkole.

Aby skrócić literę, zwykle pisze się znak% zamiast słowa „procent”.

Należy jednak pamiętać, że znak % zwykle nie jest zapisywany w obliczeniach, można go zapisać w opisie zadania iw wyniku końcowym. Podczas wykonywania obliczeń należy zapisać ułamek o mianowniku 100 zamiast liczby całkowitej z tą ikoną.

Musisz umieć zamienić liczbę całkowitą z określoną ikoną na ułamek o mianowniku 100:

I odwrotnie, musisz przyzwyczaić się do pisania liczby całkowitej ze wskazaną ikoną zamiast ułamka o mianowniku 100:

7. Znajdowanie procentów podanej liczby.

Zadanie 1. Szkoła otrzymała 200 metrów sześciennych. m drewna opałowego, z czego drewno brzozowe stanowi 30%. Ile było drewna brzozowego?

Sens tego problemu polega na tym, że brzozowe drewno opałowe stanowiło tylko część drewna opałowego dostarczonego do szkoły i ta część jest wyrażona jako ułamek 30/100. Mamy więc do czynienia z zadaniem znalezienia ułamka liczby. Aby go rozwiązać, musimy pomnożyć 200 przez 30/100 (zadania polegające na znalezieniu ułamka liczby rozwiązuje się, mnożąc liczbę przez ułamek.).

Więc 30% z 200 równa się 60.

Występujący w tym problemie ułamek 30/100 można pomniejszyć o 10. Redukcję tę można by przeprowadzić od samego początku; rozwiązanie problemu nie uległoby zmianie.

Zadanie 2. W obozie przebywało 300 dzieci w różnym wieku. Dzieci w wieku 11 lat stanowiły 21%, dzieci w wieku 12 lat – 61%, a wreszcie 13-latków – 18%. Ile dzieci w każdym wieku było w obozie?

W tym zadaniu należy wykonać trzy obliczenia, czyli kolejno znaleźć liczbę dzieci w wieku 11 lat, następnie 12 lat, a na końcu 13 lat.

Tak więc tutaj konieczne będzie trzykrotne znalezienie ułamka liczby. Zróbmy to:

1) Ile dzieci miało 11 lat?

2) Ile dzieci miało 12 lat?

3) Ile dzieci miało 13 lat?

Po rozwiązaniu problemu warto dodać znalezione liczby; ich suma powinna wynosić 300:

63 + 183 + 54 = 300

Należy również zwrócić uwagę na to, że suma procentów podanych w warunku problemu wynosi 100:

21% + 61% + 18% = 100%

Sugeruje to, że ogólną liczbę dzieci w obozie przyjęto jako 100%.

3 da cha 3. Robotnik otrzymywał 1200 rubli miesięcznie. Z tego 65% wydał na jedzenie, 6% na mieszkanie i ogrzewanie, 4% na gaz, prąd i radio, 10% na potrzeby kulturalne, a 15% zaoszczędził. Ile pieniędzy wydano na potrzeby wskazane w zadaniu?

Aby rozwiązać ten problem, musisz 5 razy znaleźć ułamek liczby 1200. Zróbmy to.

1) Ile pieniędzy wydaje się na jedzenie? Zadanie mówi, że wydatek ten to 65% wszystkich zarobków, czyli 65/100 z liczby 1200. Zróbmy obliczenia:

2) Ile zapłacono za mieszkanie z ogrzewaniem? Argumentując podobnie jak poprzednio, dochodzimy do następującego obliczenia:

3) Ile zapłaciłeś za gaz, prąd i radio?

4) Ile pieniędzy wydaje się na potrzeby kulturalne?

5) Ile pieniędzy zaoszczędził pracownik?

W celu weryfikacji warto dodać liczby znalezione w tych 5 pytaniach. Kwota powinna wynosić 1200 rubli. Wszystkie zarobki są traktowane jako 100%, co łatwo sprawdzić, sumując wartości procentowe podane w opisie problemu.

Rozwiązaliśmy trzy problemy. Pomimo tego, że zadania te dotyczyły różnych rzeczy (dostawa drewna opałowego do szkoły, liczba dzieci w różnym wieku, wydatki pracownika), rozwiązywano je w ten sam sposób. Stało się tak, ponieważ we wszystkich zadaniach trzeba było znaleźć kilka procent podanych liczb.

§ 90. Dzielenie ułamków.

Studiując podział ułamków, rozważymy następujące pytania:

1. Podziel liczbę całkowitą przez liczbę całkowitą.
2. Dzielenie ułamka przez liczbę całkowitą
3. Dzielenie liczby całkowitej przez ułamek.
4. Dzielenie ułamka przez ułamek.
5. Dzielenie liczb mieszanych.
6. Znalezienie liczby na podstawie jej ułamka.
7. Znalezienie liczby według jej procentu.

Rozważmy je po kolei.

1. Podziel liczbę całkowitą przez liczbę całkowitą.

Jak wskazano w części dotyczącej liczb całkowitych, dzielenie jest działaniem polegającym na tym, że biorąc pod uwagę iloczyn dwóch czynników (dzielna) i jednego z tych czynników (dzielnik), znajduje się inny czynnik.

Dzielenie liczby całkowitej przez liczbę całkowitą rozważaliśmy w dziale liczb całkowitych. Spotkaliśmy tam dwa przypadki dzielenia: dzielenie bez reszty, czyli „całkowicie” (150: 10 = 15), oraz dzielenie z resztą (100: 9 = 11 i 1 w reszcie). Można zatem powiedzieć, że w dziedzinie liczb całkowitych dokładny podział nie zawsze jest możliwy, ponieważ dzielna nie zawsze jest iloczynem dzielnika i liczby całkowitej. Po wprowadzeniu mnożenia przez ułamek możemy uznać za możliwy dowolny przypadek dzielenia liczb całkowitych (wykluczone jest tylko dzielenie przez zero).

Na przykład dzielenie 7 przez 12 oznacza znalezienie liczby, której iloczyn razy 12 wyniósłby 7. Ta liczba jest ułamkiem 7/12, ponieważ 7/12 12 = 7. Inny przykład: 14: 25 = 14/25, ponieważ 14/25 25 = 14.

Tak więc, aby podzielić liczbę całkowitą przez liczbę całkowitą, musisz utworzyć ułamek, którego licznik jest równy dywidendzie, a mianownik jest dzielnikiem.

2. Dzielenie ułamka przez liczbę całkowitą.

Podziel ułamek 6/7 przez 3. Zgodnie z podaną powyżej definicją podziału mamy tutaj iloczyn (6/7) i jeden z dzielników (3); należy znaleźć taki drugi czynnik, który po pomnożeniu przez 3 dałby danemu produktowi 6/7. Oczywiście powinien być trzy razy mniejszy niż ten produkt. Oznacza to, że postawione przed nami zadanie polegało na 3-krotnym zmniejszeniu ułamka 6/7.

Wiemy już, że skrócenie ułamka można wykonać albo zmniejszając jego licznik, albo zwiększając jego mianownik. Dlatego możesz napisać:

W tym przypadku licznik 6 jest podzielny przez 3, więc licznik należy zmniejszyć 3 razy.

Weźmy inny przykład: 5 / 8 podzielone przez 2. Tutaj licznik 5 nie jest podzielny przez 2, co oznacza, że ​​mianownik będzie musiał zostać pomnożony przez tę liczbę:

Na tej podstawie możemy sformułować regułę: Aby podzielić ułamek przez liczbę całkowitą, musisz podzielić licznik ułamka przez tę liczbę całkowitą(Jeśli to możliwe), pozostawiając ten sam mianownik lub pomnóż mianownik ułamka przez tę liczbę, pozostawiając ten sam licznik.

3. Dzielenie liczby całkowitej przez ułamek.

Niech trzeba będzie podzielić 5 przez 1/2, czyli znaleźć liczbę, która po pomnożeniu przez 1/2 da iloczyn 5. Oczywiście liczba ta musi być większa od 5, bo 1/2 to ułamek właściwy, a przy mnożeniu liczby przez ułamek właściwy iloczyn musi być mniejszy niż mnożna. Dla jasności napiszmy nasze działania w następujący sposób: 5: 1 / 2 = X , więc x 1/2 \u003d 5.

Musimy znaleźć taką liczbę X , co pomnożone przez 1/2 dałoby 5. Ponieważ pomnożenie pewnej liczby przez 1/2 oznacza znalezienie 1/2 tej liczby, to zatem 1/2 nieznanej liczby X to 5 i liczba całkowita X dwa razy więcej, tj. 5 2 \u003d 10.

Więc 5: 1/2 = 5 2 = 10

Sprawdźmy:

Rozważmy jeszcze jeden przykład. Niech będzie wymagane dzielenie 6 przez 2 / 3 . Spróbujmy najpierw znaleźć pożądany wynik za pomocą rysunku (ryc. 19).

Ryc.19

Narysuj odcinek AB równy 6 pewnym jednostkom i podziel każdą jednostkę na 3 równe części. W każdej jednostce trzy trzecie (3/3) w całym segmencie AB jest 6 razy większe, tj. e. 18/3. Łączymy za pomocą małych nawiasów 18 uzyskanych segmentów po 2; Będzie tylko 9 segmentów. Oznacza to, że ułamek 2/3 jest zawarty w jednostkach b 9 razy, czyli innymi słowy ułamek 2/3 jest 9 razy mniejszy niż 6 jednostek całkowitych. W konsekwencji,

Jak uzyskać ten wynik bez rysunku za pomocą samych obliczeń? Będziemy argumentować w następujący sposób: wymagane jest podzielenie 6 przez 2/3, tj. Należy odpowiedzieć na pytanie, ile razy 2/3 zawiera się w 6. Dowiedzmy się najpierw: ile razy jest 1/3 zawarte w 6? W całej jednostce - 3 trzecie, aw 6 jednostkach - 6 razy więcej, tj. 18 trzecich; aby znaleźć tę liczbę, musimy pomnożyć 6 przez 3. Stąd 1/3 mieści się w jednostkach b 18 razy, a 2/3 mieści się w jednostkach b nie 18 razy, ale o połowę mniej, czyli 18: 2 = 9 Dlatego dzieląc 6 przez 2 / 3 zrobiliśmy co następuje:

Stąd otrzymujemy regułę dzielenia liczby całkowitej przez ułamek. Aby podzielić liczbę całkowitą przez ułamek, należy tę liczbę całkowitą pomnożyć przez mianownik danego ułamka i czyniąc ten iloczyn licznikiem podzielić przez licznik danego ułamka.

Piszemy regułę za pomocą liter:

Aby ta zasada była całkowicie jasna, należy pamiętać, że ułamek można traktować jako iloraz. Dlatego warto porównać znalezioną regułę z regułą dzielenia liczby przez iloraz, o której mowa w § 38. Zauważ, że uzyskano tam ten sam wzór.

Podczas dzielenia możliwe są skróty, na przykład:

4. Dzielenie ułamka przez ułamek.

Niech będzie wymagane podzielenie 3/4 przez 3/8. Co będzie oznaczać liczbę, która zostanie uzyskana w wyniku dzielenia? Odpowie na pytanie, ile razy ułamek 3/8 zawiera się w ułamku 3/4. Aby zrozumieć ten problem, zróbmy rysunek (ryc. 20).

Weź odcinek AB, weź go jako całość, podziel go na 4 równe części i zaznacz 3 takie części. Odcinek AC będzie równy 3/4 odcinka AB. Podzielmy teraz każdy z czterech początkowych odcinków na pół, wtedy odcinek AB zostanie podzielony na 8 równych części, a każda taka część będzie równa 1/8 odcinka AB. Łączymy 3 takie odcinki łukami, wtedy każdy z odcinków AD i DC będzie równy 3/8 odcinka AB. Rysunek pokazuje, że odcinek równy 3/8 zawiera się w odcinku równym 3/4 dokładnie 2 razy; Zatem wynik dzielenia można zapisać w następujący sposób:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Rozważmy jeszcze jeden przykład. Niech będzie wymagane podzielenie 15/16 przez 3/32:

Możemy rozumować w ten sposób: musimy znaleźć liczbę, która po pomnożeniu przez 3/32 da iloczyn równy 15/16. Zapiszmy obliczenia w ten sposób:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 nieznany numer X makijaż 15/16

1/32 nieznany numer X jest ,

32/32 numery X makijaż .

W konsekwencji,

Zatem, aby podzielić ułamek przez ułamek, należy pomnożyć licznik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego, pomnożyć mianownik pierwszego ułamka przez licznik drugiego i zrobić pierwszy iloczyn licznikiem, a drugi mianownik.

Napiszmy regułę za pomocą liter:

Podczas dzielenia możliwe są skróty, na przykład:

5. Dzielenie liczb mieszanych.

Podczas dzielenia liczb mieszanych należy je najpierw zamienić na ułamki niewłaściwe, a następnie powstałe ułamki podzielić zgodnie z zasadami dzielenia liczb ułamkowych. Rozważ przykład:

Zamień liczby mieszane na ułamki niewłaściwe:

Teraz podzielmy się:

Zatem aby podzielić liczby mieszane, należy je zamienić na ułamki niewłaściwe, a następnie podzielić zgodnie z regułą dzielenia ułamków zwykłych.

6. Znalezienie liczby na podstawie jej ułamka.

Wśród różnych zadań na ułamkach zdarzają się czasem takie, w których podawana jest wartość jakiegoś ułamka nieznanej liczby i wymagane jest znalezienie tej liczby. Ten typ problemu będzie odwrotny do problemu znalezienia ułamka danej liczby; tam podano liczbę i należało znaleźć jakiś ułamek tej liczby, tutaj podano ułamek liczby i trzeba było znaleźć samą tę liczbę. Ta idea stanie się jeszcze jaśniejsza, jeśli przejdziemy do rozwiązania tego typu problemu.

Zadanie 1. Pierwszego dnia szklarze oszkleli 50 okien, co stanowi 1/3 wszystkich okien budowanego domu. Ile okien jest w tym domu?

Decyzja. Problem mówi, że 50 przeszklonych okien to 1/3 wszystkich okien w domu, co oznacza, że ​​w sumie okien jest 3 razy więcej, tj.

Dom miał 150 okien.

Zadanie 2. W sklepie sprzedano 1500 kg mąki, co stanowi 3/8 całkowitego zapasu mąki w sklepie. Jaka była początkowa dostawa mąki do sklepu?

Decyzja. Ze stanu problemu wynika, że ​​sprzedane 1500 kg mąki stanowi 3/8 całego zapasu; oznacza to, że 1/8 tego zapasu będzie 3 razy mniejsza, tj. aby to obliczyć, musisz zmniejszyć 1500 o 3 razy:

1500: 3 = 500 (to 1/8 akcji).

Oczywiście cały zapas będzie 8 razy większy. W konsekwencji,

500 8 \u003d 4000 (kg).

Początkowy zapas mąki w sklepie wynosił 4000 kg.

Z rozważań nad tym problemem można wywnioskować następującą regułę.

Aby znaleźć liczbę przez daną wartość jej ułamka, wystarczy podzielić tę wartość przez licznik ułamka i pomnożyć wynik przez mianownik ułamka.

Rozwiązaliśmy dwa zadania polegające na znalezieniu liczby z podaniem jej ułamka. Problemy takie, jak widać szczególnie dobrze z ostatniego, rozwiązuje się za pomocą dwóch działań: dzielenia (po znalezieniu jednej części) i mnożenia (po znalezieniu całej liczby).

Jednak po przestudiowaniu dzielenia ułamków, powyższe problemy można rozwiązać za pomocą jednej czynności, a mianowicie: dzielenia przez ułamek.

Na przykład ostatnie zadanie można rozwiązać w jednej akcji w następujący sposób:

W przyszłości rozwiążemy problem znalezienia liczby przez jej ułamek w jednej akcji - dzieleniu.

7. Znalezienie liczby według jej procentu.

W tych zadaniach będziesz musiał znaleźć liczbę, znając kilka procent tej liczby.

Zadanie 1. Na początku tego roku otrzymałem z kasy oszczędnościowej 60 rubli. dochód z kwoty, którą rok temu odłożyłem na oszczędności. Ile pieniędzy włożyłem do kasy oszczędnościowej? (Kasy dają deponentom 2% dochodu rocznie.)

Znaczenie problemu polega na tym, że pewna suma pieniędzy została przeze mnie włożona do kasy oszczędnościowej i leżała tam przez rok. Po roku otrzymałem od niej 60 rubli. dochód, który stanowi 2/100 wpłaconych przeze mnie pieniędzy. Ile pieniędzy wpłaciłem?

Dlatego znając część tych pieniędzy, wyrażoną na dwa sposoby (w rublach i ułamkach), musimy znaleźć całą, nieznaną jeszcze kwotę. Jest to zwykły problem polegający na znalezieniu liczby na podstawie jej ułamka. Następujące zadania są rozwiązywane przez podział:

Tak więc 3000 rubli zostało wrzuconych do kasy oszczędnościowej.

Zadanie 2. W ciągu dwóch tygodni rybacy zrealizowali miesięczny plan o 64%, przygotowując 512 ton ryb. Jaki był ich plan?

Ze stanu problemu wiadomo, że rybacy zrealizowali część planu. Ta część to 512 ton, co stanowi 64% planu. Ile ton ryb trzeba odłowić zgodnie z planem, nie wiemy. Rozwiązanie problemu będzie polegało na znalezieniu tej liczby.

Takie zadania rozwiązuje się, dzieląc:

Czyli zgodnie z planem trzeba przygotować 800 ton ryb.

Zadanie 3. Pociąg jechał z Rygi do Moskwy. Kiedy minął 276. kilometr, jeden z pasażerów zapytał przejeżdżającego konduktora, ile podróży już przebyli. Na to konduktor odpowiedział: „Przebyliśmy już 30% całej podróży”. Jaka jest odległość z Ryga do Moskwa?

Ze stanu problemu wynika, że ​​30% podróży z Rygi do Moskwy to 276 km. Musimy znaleźć całą odległość między tymi miastami, czyli dla tej części znaleźć całość:

§ 91. Liczby odwrotne. Zastąpienie dzielenia mnożeniem.

Weź ułamek 2/3 i przestaw licznik na miejsce mianownika, otrzymamy 3/2. Mamy ułamek, odwrotność tego.

Aby otrzymać ułamek odwrotny danego ułamka, należy w miejsce mianownika wstawić jego licznik, a w miejsce licznika mianownik. W ten sposób możemy otrzymać ułamek będący odwrotnością dowolnego ułamka. Na przykład:

3 / 4 , wstecz 4 / 3 ; 5 / 6 , odwróć 6 / 5

Nazywamy dwa ułamki, które mają tę właściwość, że licznik pierwszego jest mianownikiem drugiego, a mianownik pierwszego jest licznikiem drugiego wzajemnie odwrotne.

Zastanówmy się teraz, jaki ułamek będzie odwrotnością 1/2. Oczywiście będzie to 2/1 lub po prostu 2. Szukając odwrotności tego, otrzymaliśmy liczbę całkowitą. I ten przypadek nie jest odosobniony; wręcz przeciwnie, dla wszystkich ułamków o liczniku 1 (jeden) odwrotności będą liczbami całkowitymi, na przykład:

1/3, odwrotność 3; 1 / 5, odwróć 5

Ponieważ przy znajdowaniu odwrotności spotkaliśmy się również z liczbami całkowitymi, w przyszłości nie będziemy mówić o odwrotnościach, ale o odwrotnościach.

Zastanówmy się, jak napisać odwrotność liczby całkowitej. W przypadku ułamków jest to rozwiązane po prostu: musisz umieścić mianownik w miejscu licznika. W ten sam sposób możesz uzyskać odwrotność liczby całkowitej, ponieważ dowolna liczba całkowita może mieć mianownik 1. Dlatego odwrotność 7 będzie wynosić 1/7, ponieważ 7 \u003d 7/1; dla liczby 10 odwrotność wynosi 1/10, ponieważ 10 = 10/1

Pomysł ten można wyrazić w inny sposób: odwrotność danej liczby uzyskuje się dzieląc jedynkę przez daną liczbę. To stwierdzenie jest prawdziwe nie tylko dla liczb całkowitych, ale także dla ułamków zwykłych. Rzeczywiście, jeśli chcesz napisać liczbę będącą odwrotnością ułamka 5/9, to możemy wziąć 1 i podzielić przez 5/9, tj.

Teraz zwróćmy uwagę na jedną własność wzajemnie odwrotne liczby, które będą nam przydatne: iloczyn wzajemnie odwrotnych liczb jest równy jeden. Rzeczywiście:

Korzystając z tej właściwości, możemy znaleźć odwrotności w następujący sposób. Znajdźmy odwrotność liczby 8.

Oznaczmy to literą X , potem 8 X = 1, stąd X = 1 / 8 . Znajdźmy inną liczbę, odwrotność 7/12, oznaczmy ją literą X , potem 7 / 12 X = 1, stąd X = 1:7 / 12 lub X = 12 / 7 .

Wprowadziliśmy tutaj pojęcie liczb odwrotnych, aby nieco uzupełnić informacje o dzieleniu ułamków zwykłych.

Kiedy dzielimy liczbę 6 przez 3/5, wykonujemy następujące czynności:

Zwróć szczególną uwagę na wyrażenie i porównaj je z podanym: .

Jeśli weźmiemy wyrażenie osobno, bez związku z poprzednim, nie można rozwiązać pytania, skąd się wzięło: z dzielenia 6 przez 3/5 lub z mnożenia 6 przez 5/3. W obu przypadkach wynik jest taki sam. Więc możemy powiedzieć że dzielenie jednej liczby przez inną można zastąpić przez pomnożenie dzielnej przez odwrotność dzielnika.

Przykłady, które podajemy poniżej, w pełni potwierdzają ten wniosek.