Elementy dwuścienne. Kąt dwuścienny

Pojęcie kąta dwuściennego

Aby wprowadzić pojęcie kąta dwuściennego, najpierw przypomnijmy sobie jeden z aksjomatów stereometrii.

Dowolną płaszczyznę można podzielić na dwie półpłaszczyzny prostej $a$ leżącej na tej płaszczyźnie. W tym przypadku punkty leżące na tej samej półpłaszczyźnie leżą po tej samej stronie prostej $a$, a punkty leżące na różnych półpłaszczyznach leżą po przeciwnych stronach prostej $a$ (rys. 1 ).

Obrazek 1.

Zasada konstruowania kąta dwuściennego opiera się na tym aksjomacie.

Definicja 1

Postać nazywa się kąt dwuścienny jeśli składa się z prostej i dwóch półpłaszczyzn tej prostej, które nie należą do tej samej płaszczyzny.

W tym przypadku nazywane są półpłaszczyzny kąta dwuściennego twarze, a prosta oddzielająca półpłaszczyzny - krawędź dwuścienna(Rys. 1).

Rysunek 2. Kąt dwuścienny

Stopniowa miara kąta dwuściennego

Definicja 2

Wybieramy dowolny punkt $A$ na krawędzi. Kąt między dwiema liniami leżącymi w różnych półpłaszczyznach, prostopadłymi do krawędzi i przecinającymi się w punkcie $A$, nazywa się kąt liniowy kąt dwuścienny(Rys. 3).

Rysunek 3

Oczywiście każdy kąt dwuścienny ma nieskończoną liczbę kątów liniowych.

Twierdzenie 1

Wszystkie kąty liniowe jednego kąta dwuściennego są sobie równe.

Dowód.

Rozważmy dwa kąty liniowe $AOB$ i $A_1(OB)_1$ (rys. 4).

Rysunek 4

Ponieważ promienie $OA$ i $(OA)_1$ leżą w tej samej półpłaszczyźnie $\alpha $ i są prostopadłe do jednej prostej, są współkierunkowe. Ponieważ promienie $OB$ i $(OB)_1$ leżą w tej samej półpłaszczyźnie $\beta $ i są prostopadłe do jednej prostej, są współkierunkowe. w konsekwencji

\[\kąt AOB=\kąt A_1(OB)_1\]

Ze względu na dowolność wyboru kątów liniowych. Wszystkie kąty liniowe jednego kąta dwuściennego są sobie równe.

Twierdzenie zostało udowodnione.

Definicja 3

Miara stopnia kąta dwuściennego jest miarą kąta liniowego kąta dwuściennego.

Przykłady zadań

Przykład 1

Dajmy sobie dane dwie nieprostopadłe płaszczyzny $\alpha $ i $\beta $, które przecinają się wzdłuż prostej $m$. Punkt $A$ należy do płaszczyzny $\beta $. $AB$ jest prostopadłą do prostej $m$. $AC$ jest prostopadła do płaszczyzny $\alpha $ (punkt $C$ należy do $\alpha $). Udowodnij, że kąt $ABC$ jest kątem liniowym kąta dwuściennego.

Dowód.

Narysujmy obraz zgodnie ze stanem problemu (ryc. 5).

Rysunek 5

Aby to udowodnić, przypomnijmy sobie następujące twierdzenie

Twierdzenie 2: Prosta przechodząca przez podstawę pochylonej, prostopadła do niej, jest prostopadła do jej rzutu.

Ponieważ $AC$ jest prostopadła do płaszczyzny $\alpha $, to punkt $C$ jest rzutem punktu $A$ na płaszczyznę $\alpha $. Stąd $BC$ jest rzutem ukośnego $AB$. Zgodnie z Twierdzeniem 2 $BC$ jest prostopadła do krawędzi kąta dwuściennego.

Wtedy kąt $ABC$ spełnia wszystkie wymagania dla określenia kąta liniowego kąta dwuściennego.

Przykład 2

Kąt dwuścienny wynosi $30^\circ$. Na jednej ze ścian leży punkt $A$, który jest oddalony od drugiej ściany o 4$ cm. Znajdź odległość od punktu $A$ do krawędzi kąta dwuściennego.

Decyzja.

Spójrzmy na rysunek 5.

Z założenia mamy $AC=4\ cm$.

Z definicji miary stopnia kąta dwuściennego wynika, że ​​kąt $ABC$ jest równy $30^\circ$.

Trójkąt $ABC$ jest trójkątem prostokątnym. Z definicji sinusa kąta ostrego

\[\frac(AC)(AB)=sin(30)^0\] \[\frac(5)(AB)=\frac(1)(2)\] \

Cel lekcji: wprowadzenie pojęcia kąta dwuściennego i jego kąta liniowego.

Zadania:

Edukacyjny: rozważać zadania związane z zastosowaniem tych pojęć, kształtować konstruktywną umiejętność znajdowania kąta między płaszczyznami;

Rozwój: rozwój twórczego myślenia uczniów, rozwój osobisty uczniów, rozwój mowy uczniów;

Edukacyjny: wychowanie kultury pracy umysłowej, kultury komunikacyjnej, kultury refleksyjnej.

Rodzaj lekcji: lekcja zdobywania nowej wiedzy

Metody nauczania: wyjaśniający i ilustrujący

Ekwipunek: komputer, tablica interaktywna.

Literatura:

Geometria. Klasy 10-11: podręcznik. na 10-11 komórek. ogólne wykształcenie instytucje: podstawowe i profilowe. poziomy / [L. S. Atanasyan, VF Butuzov, SB Kadomtsev i inni] - wyd. - M. : Edukacja, 2009. - 255 s.

Plan lekcji:

Moment organizacyjny (2 min)

Aktualizowanie wiedzy (5 min)

Nauka nowego materiału (12 min)

Konsolidacja badanego materiału (21 min)

Praca domowa (2 minuty)

Podsumowanie (3 minuty)

Podczas zajęć:

1. Moment organizacyjny.

Obejmuje powitanie przez prowadzącego zajęcia, przygotowanie sali do lekcji, sprawdzenie obecności nieobecnych.

2. Aktualizacja podstawowej wiedzy.

Nauczyciel: Na ostatniej lekcji napisałeś niezależną pracę. Ogólnie praca została dobrze napisana. Teraz powtórzmy trochę. Jak nazywa się kąt na płaszczyźnie?

Student: Kąt w płaszczyźnie to figura utworzona przez dwa promienie wychodzące z jednego punktu.

Nauczyciel: Jak nazywa się kąt między liniami w przestrzeni?

Student: Kąt między dwiema przecinającymi się liniami w przestrzeni jest najmniejszym z kątów utworzonych przez promienie tych linii z wierzchołkiem w punkcie ich przecięcia.

Student: Kąt między przecinającymi się liniami to odpowiednio kąt między przecinającymi się liniami równoległymi do danych.

Nauczyciel: Jak nazywa się kąt między prostą a płaszczyzną?

Student: Kąt między linią a płaszczyznąNazywa się dowolny kąt między linią prostą a jej rzutem na tę płaszczyznę.

3. Badanie nowego materiału.

Nauczyciel: W stereometrii wraz z takimi kątami rozważany jest inny rodzaj kątów - kąty dwuścienne. Pewnie już odgadliście, jaki jest temat dzisiejszej lekcji, więc otwórzcie zeszyty, zapiszcie dzisiejszą datę i temat lekcji.

Pisanie na tablicy iw zeszytach:

10.12.14.

Kąt dwuścienny.

Nauczyciel : Wprowadzając pojęcie kąta dwuściennego należy przypomnieć, że każda prosta poprowadzona w danej płaszczyźnie dzieli tę płaszczyznę na dwie półpłaszczyzny(Rys. 1a)

Nauczyciel : Wyobraź sobie, że zagięliśmy płaszczyznę wzdłuż linii prostej, tak że dwie półpłaszczyzny z granicą okazały się nie leżeć już w tej samej płaszczyźnie (ryc. 1, b). Wynikowa liczba to kąt dwuścienny. Kąt dwuścienny to figura utworzona przez linię prostą i dwie półpłaszczyzny o wspólnej granicy, które nie należą do tej samej płaszczyzny. Półpłaszczyzny tworzące kąt dwuścienny nazywane są jego ścianami. Kąt dwuścienny ma dwie ściany, stąd nazwa - kąt dwuścienny. Linia prosta - wspólna granica półpłaszczyzn - nazywana jest krawędzią kąta dwuściennego. Zapisz definicję w zeszycie.

Kąt dwuścienny to figura utworzona przez linię prostą i dwie półpłaszczyzny o wspólnej granicy, które nie należą do tej samej płaszczyzny.

Nauczyciel : W życiu codziennym często spotykamy przedmioty, które mają kształt kąta dwuściennego. Daj przykłady.

Student : Półotwarty folder.

Student : Ściana pokoju wraz z podłogą.

Student : Dwuspadowe dachy budynków.

Nauczyciel : Prawidłowo. A takich przykładów jest wiele.

Nauczyciel : Jak wiesz, kąty na płaszczyźnie są mierzone w stopniach. Pewnie masz pytanie, ale jak mierzy się kąty dwuścienne? Odbywa się to w następujący sposób.Zaznaczamy jakiś punkt na krawędzi kąta dwuściennego i na każdej ścianie od tego punktu rysujemy promień prostopadły do ​​krawędzi. Kąt utworzony przez te promienie nazywany jest kątem liniowym kąta dwuściennego. Wykonaj rysunek w zeszytach.

Pisanie na tablicy iw zeszytach.

O ∈ a, AO ⊥ a, VO ⊥ a, SABD- kąt dwuścienny,∠ AOBjest kątem liniowym kąta dwuściennego.

Nauczyciel : Wszystkie kąty liniowe kąta dwuściennego są równe. Zrób sobie coś takiego.

Nauczyciel : Udowodnijmy to. Rozważmy dwa kąty liniowe AOB iPQR. Promienie OA iQPleżą na tej samej twarzy i są prostopadłeOK, co oznacza, że ​​są wyrównane. Podobnie promienie OB iQRwspółreżyserowany. Oznacza,∠ AOB= ∠ PQR(jak kąty o bokach współkierunkowych).

Nauczyciel : Cóż, teraz odpowiedź na nasze pytanie brzmi: jak mierzony jest kąt dwuścienny.Miara stopnia kąta dwuściennego jest miarą stopnia jego kąta liniowego. Przerysuj rysunki kąta dwuściennego ostrego, prostego i rozwartego z podręcznika na stronie 48.

4. Konsolidacja badanego materiału.

Nauczyciel : Wykonaj rysunki do zadań.

№ 1 . Biorąc pod uwagę: ΔABC, AC = BC, AB leży na płaszczyźnieα, płyta CD ⊥ α, C∉ a. Skonstruuj kąt liniowy kąta dwuściennegoCABD.

Student : Decyzja:CM ⊥ AB, DC ⊥ AB.∠ cmd - pożądany.

№ 2. Biorąc pod uwagę: ΔABC, ∠ C= 90°, BC leży płaskoα, AO⊥ α, A∈ α.

Skonstruuj kąt liniowy kąta dwuściennegoAVSO.

Student : Decyzja:AB ⊥ pne, JSC⊥ Słońce oznacza system operacyjny⊥ Słońce.∠ ACO - pożądany.

№ 3 . Biorąc pod uwagę: ΔABC, ∠ C \u003d 90 °, AB leży w płaszczyźnieα, płyta CD⊥ α, C∉ a. Budowaćliniowy kąt dwuściennyDABC.

Student : Decyzja: CK ⊥ AB, DC ⊥ AB,DK ⊥ AB oznacza∠ DKC - pożądany.

№ 4 . Dany:DABC- czworościan,ROBIĆ⊥ ABC.Konstrukcja kąta liniowego kąta dwuściennegoABCD.

Student : Decyzja:DM ⊥ słońce,ROBIĆ ⊥ BC oznacza OM⊥ słońce;∠ OMD - pożądany.

5. Podsumowanie.

Nauczyciel: Czego nowego nauczyłeś się na dzisiejszej lekcji?

Studenci : To, co nazywa się kątem dwuściennym, kątem liniowym, jak mierzony jest kąt dwuścienny.

Nauczyciel : Co powtórzyłeś?

Studenci : Jak nazywa się kąt na płaszczyźnie; kąt między liniami.

6. Praca domowa.

Zapisywanie na tablicy iw dzienniczkach: poz. 22, nr 167, nr 170.

TEKSTOWE WYJAŚNIENIE LEKCJI:

W planimetrii głównymi obiektami są linie, odcinki, promienie i punkty. Promienie wychodzące z jednego punktu tworzą jeden z ich geometrycznych kształtów - kąt.

Wiemy, że kąt liniowy jest mierzony w stopniach i radianach.

W stereometrii do obiektów dodaje się płaszczyznę. Figura utworzona przez linię prostą a i dwie półpłaszczyzny o wspólnej granicy a, które nie należą do tej samej płaszczyzny w geometrii, nazywamy kątem dwuściennym. Półpłaszczyzny to ściany kąta dwuściennego. Linia prosta a jest krawędzią kąta dwuściennego.

Kąt dwuścienny, podobnie jak kąt liniowy, można nazwać, zmierzyć, zbudować. Tego właśnie dowiemy się podczas tej lekcji.

Znajdź kąt dwuścienny na modelu czworościanu ABCD.

Kąt dwuścienny o krawędzi AB nazywa się CABD, gdzie punkty C i D należą do różnych ścian kąta, a krawędź AB nazywana jest środkiem

Wokół nas jest bardzo dużo obiektów z elementami w postaci kąta dwuściennego.

W wielu miastach w parkach zainstalowano specjalne ławki do pojednania. Ławka wykonana jest w postaci dwóch nachylonych płaszczyzn zbiegających się w kierunku środka.

W budowie domów często stosuje się tzw. dach dwuspadowy. Dach tego domu wykonany jest w formie dwuściennego kąta 90 stopni.

Kąt dwuścienny jest również mierzony w stopniach lub radianach, ale jak go zmierzyć.

Warto zauważyć, że dachy domów leżą na krokwiach. A skrzynia krokwi tworzy dwa połacie dachu pod danym kątem.

Przenieśmy obraz na rysunek. Na rysunku, aby znaleźć kąt dwuścienny, na jego krawędzi zaznaczony jest punkt B. Z tego punktu dwie belki BA i BC są rysowane prostopadle do krawędzi kąta. Kąt ABC utworzony przez te promienie nazywany jest kątem liniowym kąta dwuściennego.

Miara stopnia kąta dwuściennego jest równa mierze stopnia jego kąta liniowego.

Zmierzmy kąt AOB.

Miara stopnia danego kąta dwuściennego wynosi sześćdziesiąt stopni.

Kąty liniowe dla kąta dwuściennego można narysować w nieskończonej liczbie, ważne jest, aby wiedzieć, że wszystkie są równe.

Rozważmy dwa kąty liniowe AOB i A1O1B1. Promienie OA i O1A1 leżą na tej samej ścianie i są prostopadłe do prostej OO1, więc są skierowane w tym samym kierunku. Promienie OB i O1B1 są również współkierowane. Dlatego kąt AOB jest równy kątowi A1O1B1 jako kąty o bokach współkierunkowych.

Tak więc kąt dwuścienny charakteryzuje się kątem liniowym, a kąty liniowe są ostre, rozwarte i proste. Rozważ modele kątów dwuściennych.

Kąt rozwarty to taki, którego kąt liniowy wynosi od 90 do 180 stopni.

Kąt prosty, jeśli jego kąt liniowy wynosi 90 stopni.

Kąt ostry, jeśli jego kąt liniowy mieści się w przedziale od 0 do 90 stopni.

Udowodnijmy jedną z ważnych własności kąta liniowego.

Płaszczyzna kąta liniowego jest prostopadła do krawędzi kąta dwuściennego.

Niech kąt AOB będzie kątem liniowym danego kąta dwuściennego. Z konstrukcji promienie AO i OB są prostopadłe do prostej a.

Płaszczyzna AOB przechodzi przez dwie przecinające się proste AO i OB zgodnie z twierdzeniem: Płaszczyzna przechodzi przez dwie przecinające się proste, w dodatku tylko jedną.

Prosta a jest prostopadła do dwóch przecinających się prostych leżących na tej płaszczyźnie, co oznacza, że ​​ze znaku prostopadłości prostej i płaszczyzny prosta a jest prostopadła do płaszczyzny AOB.

Aby rozwiązać problemy, ważna jest umiejętność zbudowania kąta liniowego o zadanym kącie dwuściennym. Skonstruuj kąt liniowy kąta dwuściennego z krawędzią AB dla czworościanu ABCD.

Mówimy o kącie dwuściennym, który jest utworzony po pierwsze przez krawędź AB, jedną ściankę ABD, drugą ściankę ABC.

Oto jeden ze sposobów budowania.

Narysujmy prostopadłą od punktu D do płaszczyzny ABC, zaznaczmy punkt M jako podstawę prostopadłej. Przypomnijmy, że w czworościanie podstawa prostopadłej pokrywa się ze środkiem okręgu wpisanego w podstawę czworościanu.

Narysuj nachylenie od punktu D prostopadle do krawędzi AB, zaznacz punkt N jako podstawę nachylenia.

W trójkącie DMN odcinek NM będzie rzutami ukośnej DN na płaszczyznę ABC. Zgodnie z twierdzeniem o trzech prostopadłych krawędź AB będzie prostopadła do rzutu NM.

Oznacza to, że boki kąta DNM są prostopadłe do krawędzi AB, co oznacza, że ​​kąt konstrukcyjny DNM jest wymaganym kątem liniowym.

Rozważ przykład rozwiązania problemu obliczania kąta dwuściennego.

Trójkąt równoramienny ABC i trójkąt foremny ADB nie leżą w tej samej płaszczyźnie. Odcinek CD jest prostopadły do ​​płaszczyzny ADB. Znajdź kąt dwuścienny DABC, jeśli AC=CB=2cm, AB=4cm.

Kąt dwuścienny DABC jest równy jego kątowi liniowemu. Zbudujmy ten róg.

Narysujmy ukośną SM prostopadłą do krawędzi AB, ponieważ trójkąt ACB jest równoramienny, to punkt M pokryje się ze środkiem krawędzi AB.

Prosta CD jest prostopadła do płaszczyzny ADB, co oznacza, że ​​jest prostopadła do prostej DM leżącej na tej płaszczyźnie. A odcinek MD jest rzutem ukośnego SM na płaszczyznę ADB.

Linia AB jest konstrukcyjnie prostopadła do skośnej CM, co oznacza, że ​​z twierdzenia o trzech prostopadłych jest prostopadła do rzutu MD.

Zatem dwie prostopadłe CM i DM leżą na krawędzi AB. Tworzą więc kąt liniowy СMD kąta dwuściennego DABC. I pozostaje nam znaleźć go z prawego trójkąta СDM.

Ponieważ odcinek SM jest medianą i wysokością trójkąta równoramiennego ASV, to zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa noga SM ma 4 cm.

Z trójkąta prostokątnego DMB, zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa, noga DM jest równa dwóm pierwiastkom z trzech.

Cosinus kąta wychodzącego z trójkąta prostokątnego jest równy stosunkowi sąsiedniej nogi MD do przeciwprostokątnej CM i jest równy trzem pierwiastkom z trzech na dwa. Zatem kąt CMD wynosi 30 stopni.

Aby skorzystać z podglądu prezentacji, załóż konto Google (konto) i zaloguj się: https://accounts.google.com

Podpisy slajdów:

PODWÓJNY KĄT Nauczyciel matematyki Szkoła średnia GOU nr 10 Eremenko M.A.

Główne cele lekcji: Wprowadzenie pojęcia kąta dwuściennego i jego kąta liniowego Rozważ zadania dotyczące zastosowania tych pojęć

Definicja: Kąt dwuścienny to figura utworzona przez dwie półpłaszczyzny ze wspólną linią graniczną.

Wartość kąta dwuściennego jest wartością jego kąta liniowego. AF ⊥ CD BF ⊥ CD AFB to kąt liniowy kąta dwuściennego ACD B

Udowodnijmy, że wszystkie kąty liniowe kąta dwuściennego są sobie równe. Rozważmy dwa kąty liniowe AOB i A 1 OB 1 . Promienie OA i OA 1 leżą na tej samej ścianie i są prostopadłe do OO 1, więc są skierowane w tym samym kierunku. Promienie OB i OB 1 są również współkierowane. Dlatego ∠ AOB = ∠ A 1 OB 1 (jako kąty o bokach współkierunkowych).

Przykłady kątów dwuściennych:

Definicja: Kąt między dwiema przecinającymi się płaszczyznami jest najmniejszym z kątów dwuściennych utworzonych przez te płaszczyzny.

Zadanie 1: W sześcianie A ... D 1 znajdź kąt między płaszczyznami ABC i CDD 1 . Odpowiedź: 90o.

Zadanie 2: W sześcianie A ... D 1 znajdź kąt między płaszczyznami ABC i CDA 1 . Odpowiedź: 45o.

Zadanie 3: W sześcianie A ... D 1 znajdź kąt między płaszczyznami ABC i BDD 1 . Odpowiedź: 90o.

Zadanie 4: W sześcianie A ... D 1 znajdź kąt między płaszczyznami ACC 1 i BDD 1 . Odpowiedź: 90o.

Zadanie 5: W sześcianie A ... D 1 znajdź kąt między płaszczyznami BC 1 D i BA 1 D . Rozwiązanie: Niech O będzie środkiem B D. A 1 OC 1 to kąt liniowy kąta dwuściennego A 1 B D C 1 .

Zadanie 6: W czworościanie DABC wszystkie krawędzie są równe, punkt M jest środkiem krawędzi AC. Udowodnij, że ∠DMB jest kątem liniowym kąta dwuściennego BACD .

Rozwiązanie: Trójkąty ABC i ADC są regularne, więc BM ⊥ AC i DM ⊥ AC, stąd ∠ DMB jest kątem liniowym kąta dwuściennego DACB .

Zadanie 7: Z wierzchołka B trójkąta ABC, którego bok AC leży w płaszczyźnie α, poprowadzono prostopadłą do tej płaszczyzny BB 1. Znajdź odległość od punktu B do prostej AC i do płaszczyzny αjeśli AB=2, ∠BAC=150 0, a kąt dwuścienny BACB 1 wynosi 45 0 .

Rozwiązanie: ABC jest trójkątem rozwartokątnym o kącie rozwartym A, więc podstawa wysokości BK leży na przedłużeniu boku AC. VC to odległość od punktu B do AC. BB 1 - odległość od punktu B do płaszczyzny α

2) Skoro AS ⊥VK, to AS⊥KV 1 (z twierdzenia odwrotnie do twierdzenia o trzech prostopadłych). Zatem ∠VKV 1 jest kątem liniowym kąta dwuściennego BACB 1 i ∠VKV 1 =45 0 . 3) ∆VAK: ∠A=30 0 , VK=VA sin 30 0 , VK =1. ∆VKV 1: VV 1 \u003d VK grzech 45 0, VV 1 \u003d