Funkcja y jest logarytmem x do podstawy a. Wielka encyklopedia ropy i gazu

Logarytm rzeczywisty

Logarytm dziennika liczb rzeczywistych a b ma sens z src="/pictures/wiki/files/55/7cd1159e49fee8eff61027c9cde84a53.png" border="0">.

Najczęściej używane są następujące rodzaje logarytmów.

Jeśli uznamy liczbę logarytmiczną za zmienną, otrzymamy funkcja logarytmiczna, na przykład: . Ta funkcja jest zdefiniowana po prawej stronie osi liczbowej: x> 0 , jest tam ciągła i różniczkowalna (patrz rys. 1).

Nieruchomości

logarytmy naturalne

Dla równości

(1)

W szczególności,

Ten szereg jest zbieżny szybciej, a ponadto lewa strona wzoru może teraz wyrażać logarytm dowolnej liczby dodatniej.

Związek z logarytmem dziesiętnym: .

Logarytmy dziesiętne

Ryż. 2. Skala dziennika

Logarytmy o podstawie 10 (symbol: lg a) przed wynalezieniem kalkulatorów były szeroko stosowane do obliczeń. Niejednolita skala logarytmów dziesiętnych jest również powszechnie stosowana w suwakach logarytmicznych. Podobna skala jest szeroko stosowana w różnych dziedzinach nauki, np.:

• Chemia - aktywność jonów wodorowych ().
• Teoria muzyki - skala muzyczna w odniesieniu do częstotliwości dźwięków muzycznych.

Skala logarytmiczna jest również szeroko stosowana do identyfikacji wykładnika w zależnościach wykładniczych oraz współczynnika w wykładniku. Jednocześnie wykres wykreślony w skali logarytmicznej wzdłuż jednej lub dwóch osi przyjmuje postać linii prostej, która jest łatwiejsza do zbadania.

Złożony logarytm

Funkcja wielowartościowa

Powierzchnia Riemanna

Złożona funkcja logarytmiczna jest przykładem powierzchni Riemanna; jego urojona część (ryc. 3) składa się z nieskończonej liczby gałęzi skręconych jak spirala. Ta powierzchnia jest po prostu połączona; jego jedyne zero (pierwszego rzędu) uzyskuje się przez z= 1 , punkty specjalne: z= 0 i (punkty rozgałęzień nieskończonego rzędu).

Powierzchnia Riemanna logarytmu jest uniwersalnym pokryciem płaszczyzny zespolonej bez punktu 0 .

Zarys historyczny

Logarytm rzeczywisty

Zapotrzebowanie na złożone obliczenia w XVI wieku szybko rosło, a wiele trudności wiązało się z mnożeniem i dzieleniem liczb wielocyfrowych. Pod koniec stulecia kilku matematyków niemal jednocześnie wpadło na pomysł: zastąpić czasochłonne mnożenie prostym dodawaniem, porównując postępy geometryczne i arytmetyczne za pomocą specjalnych tablic, podczas gdy geometryczna będzie tą oryginalną. Wtedy dzielenie jest automatycznie zastępowane nieporównywalnie prostszym i pewniejszym odejmowaniem. Jako pierwszy opublikował ten pomysł w swojej książce Całka arytmetyczna»Michael Stiefel, który jednak nie podjął poważnych wysiłków w celu realizacji swojego pomysłu.

W latach dwudziestych XVII wieku Edmund Wingate i William Oughtred wynaleźli pierwszy suwak logarytmiczny, przed pojawieniem się kalkulatorów kieszonkowych, nieodzownego narzędzia inżyniera.

Bliskie współczesnemu rozumienie logarytmu - jako operacji odwrotnej do potęgowania - pojawiło się po raz pierwszy u Wallisa i Johanna Bernoulliego, a ostatecznie zostało zalegalizowane przez Eulera w XVIII wieku. W książce „Wprowadzenie do analizy nieskończoności” () Euler podał współczesne definicje zarówno funkcji wykładniczych, jak i logarytmicznych, rozszerzył je na szeregi potęgowe, a zwłaszcza zwrócił uwagę na rolę logarytmu naturalnego.

Euler ma również tę zaletę, że rozszerza funkcję logarytmiczną na dziedzinę zespoloną.

Złożony logarytm

Pierwsze próby rozszerzenia logarytmów na liczby zespolone podjęli na przełomie XVII i XVIII wieku Leibniz i Johann Bernoulli, nie udało im się jednak stworzyć teorii holistycznej – przede wszystkim z tego powodu, że sama koncepcja logarytmu nie była jeszcze jasno zdefiniowane. Dyskusja na ten temat toczyła się najpierw między Leibnizem a Bernoullim, aw połowie XVIII wieku między d'Alembertem a Eulerem. Bernoulli i d'Alembert uważali, że konieczne jest zdefiniowanie log(-x) = log(x). Kompletna teoria logarytmów liczb ujemnych i zespolonych została opublikowana przez Eulera w latach 1747-1751 i zasadniczo nie różni się od współczesnej.

Chociaż spór trwał nadal (D'Alembert bronił swojego punktu widzenia i szczegółowo argumentował go w artykule w swojej Encyklopedii oraz w innych pracach), punkt widzenia Eulera szybko zyskał powszechne uznanie.

Tablice logarytmiczne

Tablice logarytmiczne

Z własności logarytmu wynika, że ​​zamiast czasochłonnego mnożenia liczb wielocyfrowych, wystarczy znaleźć (według tablic) i dodać ich logarytmy, a następnie wykonać potencjację korzystając z tych samych tablic, czyli znajdź wartość wyniku przez jego logarytm. Dzielenie różni się tylko tym, że odejmowane są logarytmy. Laplace powiedział, że wynalezienie logarytmów „przedłużyło życie astronomów”, znacznie przyspieszając proces obliczeń.

Podczas przesuwania przecinka dziesiętnego w liczbie do n cyfr, wartość logarytmu dziesiętnego tej liczby jest zmieniana o n. Na przykład lg8314.63 = lg8.31463 + 3 . Wynika z tego, że wystarczy sporządzić tablicę logarytmów dziesiętnych dla liczb z zakresu od 1 do 10.

Pierwsze tablice logarytmów zostały opublikowane przez Johna Napiera () i zawierały tylko logarytmy funkcji trygonometrycznych iz błędami. Niezależnie od niego Jost Burgi, przyjaciel Keplera, opublikował swoje tablice (). W 1617 roku profesor matematyki z Oksfordu, Henry Briggs, opublikował tabele, które zawierały już logarytmy dziesiętne samych liczb, od 1 do 1000, z 8 (później 14) cyframi. Ale były też błędy w tabelach Briggsa. Pierwsze bezbłędne wydanie oparte na tablicach Vegi () ukazało się dopiero w 1857 roku w Berlinie (tablice Bremivera).

W Rosji pierwsze tablice logarytmów zostały opublikowane w 1703 r. Z udziałem L. F. Magnickiego. W ZSRR opublikowano kilka zbiorów tablic logarytmów.

• Bradis V. M. Czterocyfrowe tablice matematyczne. wydanie 44, M., 1973.

Lekcja algebry w 10 klasie

Temat: "Funkcja logarytmiczna, jej właściwości i wykres"

Cele:

edukacyjny: Wprowadź pojęcie funkcji logarytmicznej korzystając z wcześniejszych doświadczeń, podaj definicję. Poznaj podstawowe własności funkcji logarytmicznej. Wykształcenie umiejętności wykonywania konstrukcji wykresu funkcji logarytmicznej.

Rozwój: Rozwiń umiejętność podkreślania najważniejszej rzeczy, porównywania, uogólniania. Kształtowanie kultury graficznej studentów.

Edukacyjny: Pokaż związek matematyki z otaczającą rzeczywistością. Kształtowanie umiejętności komunikacyjnych, dialogu, umiejętności pracy w zespole.

Rodzaj lekcji:Łączny

Metody nauczania: Częściowe wyszukiwanie, dialog.

Podczas zajęć.

1. Aktualizacja przeszłych doświadczeń:

Studentom proponuje się ćwiczenia ustne z wykorzystaniem definicji logarytmu, jego właściwości, wzorów przejścia do nowej podstawy, rozwiązywania najprostszych równań logarytmicznych i wykładniczych, przykładów znajdowania zakresu dopuszczalnych wartości dla wyrażeń logarytmicznych

ćwiczenia ustnepraca ustna.

1) Oblicz korzystając z definicji logarytmu: dziennik 2 8; dziennik 4 16;.

2) Oblicz używając podstawowej tożsamości logarytmicznej:

3) Rozwiąż równanie korzystając z definicji:

4) Dowiedz się, dla jakich wartości x wyrażenie ma sens:

5) Znajdź wartość wyrażenia, korzystając z właściwości logarytmów:

2. Studiowanie tematu. Studenci są proszeni o rozwiązanie równań wykładniczych: 2 x \u003d y; () x = y. wyrażając x w kategoriach y . W wyniku tej pracy uzyskuje się wzory, które definiują funkcje nieznane studentom. ,. Pytanie : „Jak nazwałbyś tę funkcję?” uczniowie twierdzą, że jest logarytmiczna, ponieważ zmienna jest pod znakiem logarytmu:

Pytanie . Zdefiniuj funkcję. Definicja: Funkcja określona wzorem y=log a x nazywamy logarytmicznym o podstawie a (a>0, i 1)

III. Badania funkcji y=log a x

Niedawno wprowadziliśmy pojęcie logarytmu liczby dodatniej względem podstawy a, która jest dodatnia i różna od 1. Dla dowolnej liczby dodatniej można znaleźć logarytm o podanej podstawie. Ale wtedy powinieneś również pomyśleć o funkcji takiej jak y=log topór, oraz o jego grafice i właściwościach.Funkcja dana wzorem y=log a x nazywamy logarytmicznym o podstawie a (a>0, i 1)

Główne właściwości funkcji logarytmicznej:

1. Dziedziną definicji funkcji logarytmicznej będzie cały zbiór dodatnich liczb rzeczywistych. Dla zwięzłości jest to również określane jakoR+. Właściwość oczywista, ponieważ każda liczba dodatnia ma logarytm o podstawie a.D(f)=R+

2. Obszarem wartości funkcji logarytmicznej będzie cały zbiór liczb rzeczywistych.mi(f)= (-∞; +∞)

3 . Wykres funkcji logarytmicznej zawsze przechodzi przez punkt (1; 0).

4 . Łlogarytmiczna funkcja wiekuem na a>1 i malejący o 0<х<1.

5 . Funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta. Funkcja logarytmiczna - funkcja postaci ogólneja.

6 . Funkcja nie ma punktów maksymalnych i minimalnych, jest ciągła w dziedzinie definicji.

Poniższy rysunek jest wykresem malejącej funkcji logarytmicznej - (0

Jeśli zbudujesz funkcje wykładnicze i logarytmiczne o tych samych podstawach na tej samej osi współrzędnych, wówczas wykresy tych funkcji będą symetryczne względem linii prostej y \u003d x. To stwierdzenie jest pokazane na poniższym rysunku.

Powyższe stwierdzenie będzie prawdziwe zarówno dla rosnących, jak i malejących funkcji logarytmicznych i wykładniczych.

Rozważmy przykład: znajdź dziedzinę funkcji logarytmicznej f(x) = log 8 (4 - 5x).

Na podstawie własności funkcji logarytmicznej dziedziną definicji jest cały zbiór dodatnich liczb rzeczywistych R+. Wtedy dana funkcja zostanie zdefiniowana dla takiego x, dla którego 4 - 5x>0. Rozwiązujemy tę nierówność i otrzymujemy x<0.8. Таким образом, получается, что областью определения функции f(x) = log 8 (4 - 5*x) będzie przedziałem (-∞;0,8)

Wykresy funkcji logarytmicznej w programie GeoGebra

Wykresy funkcji logarytmicznej
1) logarytm naturalny y = ln (x)
2) logarytm dziesiętny y = lg (x)
3) logarytm o podstawie 2 y = ld (x)

V. Naprawa tematu

Stosując uzyskane właściwości funkcji logarytmicznej, rozwiążemy następujące zadania:

1. Znajdź dziedzinę funkcji: y=log 8 (4-5x);y=log 0,5 (2x+8);

3. Schematycznie skonstruuj wykresy funkcji: y \u003d log 2 (x + 2) -3 y \u003d log 2 (x) +2

Ministerstwo Edukacji i Polityki Młodzieżowej Republiki Czuwaski

Państwowy Autonomiczny Specjalista

instytucja edukacyjna Republiki Czuwaski

„Czeboksary College Technologii Transportu i Budownictwa”

(GAPOU „Czeboksary Technikum TransStroyTech”

Ministerstwo Edukacji Czuwaszji)

Rozwój metodyczny

ODP. 01 Matematyka

„Funkcja logarytmiczna. Właściwości i wykres »

Czeboksary - 2016

Nota wyjaśniająca………………………………………………………………………………………………. .………………………………………… ……………………….….…3

Teoretyczne uzasadnienie i metodyczna implementacja…………….….................................4-10

Wniosek…………………………………………………………….......................... .........................………....jedenaście

Zgłoszenia ………………………………………………………………………………………….. .............………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Notatka wyjaśniająca

Opracowanie metodologiczne modułu lekcyjnego w dyscyplinie „Matematyka” na temat „Funkcja logarytmiczna. Właściwości i wykres” z działu „Pierwiastki, stopnie i logarytmy” jest opracowywany na podstawie Programu pracy z matematyki i planu kalendarzowo-tematycznego. Tematy lekcji są powiązane treścią, głównymi postanowieniami.

Celem studiowania tego tematu jest poznanie pojęcia funkcji logarytmicznej, zbadanie jej podstawowych właściwości, nauczenie się wykreślania funkcji logarytmicznej i nauczenie się dostrzegania spirali logarytmicznej w otaczającym nas świecie.

Materiał programowy tej lekcji oparty jest na znajomości matematyki. Opracowanie metodologiczne modułu lekcji zostało opracowane w celu prowadzenia zajęć teoretycznych na temat: „Funkcja logarytmiczna. Właściwości i wykres” -1 godz. Podczas zajęć praktycznych studenci utrwalają swoją wiedzę: definicje funkcji, ich własności i wykresy, przekształcenia grafu, funkcje ciągłe i okresowe, funkcje odwrotne i ich wykresy, funkcje logarytmiczne.

Rozwój metodologiczny ma na celu zapewnienie studentom pomocy metodologicznej w badaniu modułu lekcji na temat „Funkcja logarytmiczna. Właściwości i wykres. W ramach samodzielnej pracy pozalekcyjnej uczniowie mogą przygotować wiadomość na temat „Logarytmy i ich zastosowanie w przyrodzie i technice”, krzyżówki i rebusy z wykorzystaniem dodatkowych źródeł. Wiedza edukacyjna i kompetencje zawodowe zdobyte w ramach studiowania tematu "Funkcje logarytmiczne, ich własności i wykresy" zostaną wykorzystane w studiowaniu działów: "Równania i nierówności" oraz "Początki analizy matematycznej".

Struktura lekcji dydaktycznej:

Temat:« Funkcja logarytmiczna. Właściwości i wykres »

Rodzaj lekcji: Połączone.

Cele Lekcji:

Edukacyjny- kształtowanie wiedzy w zakresie przyswajania pojęcia funkcji logarytmicznej, własności funkcji logarytmicznej; używać wykresów do rozwiązywania problemów.

Edukacyjny- rozwój operacji umysłowych poprzez konkretyzację, rozwój pamięci wzrokowej, potrzebę samokształcenia, sprzyjanie rozwojowi procesów poznawczych.

Edukacyjny- wychowanie aktywności poznawczej, poczucia odpowiedzialności, wzajemnego szacunku, wzajemnego zrozumienia, pewności siebie; wspieranie kultury komunikacji; kształtowanie świadomej postawy i zainteresowania nauką.

Środki edukacji:

Rozwój metodologiczny na ten temat;

Komputer osobisty;

Podręcznik Sh.A Alimov „Algebra i początek analizy” klasa 10-11. Wydawnictwo „Oświecenie”.

Połączenia wewnętrzne: funkcja wykładnicza i funkcja logarytmiczna.

Połączenia interdyscyplinarne: algebry i analizy matematycznej.

Studentmusisz wiedzieć:

definicja funkcji logarytmicznej;

własności funkcji logarytmicznej;

wykres funkcji logarytmicznej.

Studentpowinien być w stanie:

wykonywać przekształcenia wyrażeń zawierających logarytmy;

znaleźć logarytm liczby, zastosować właściwości logarytmów przy logarytmowaniu;

określić położenie punktu na wykresie za pomocą jego współrzędnych i odwrotnie;

stosować właściwości funkcji logarytmicznej podczas kreślenia wykresów;

Wykonaj przekształcenia wykresów.

Plan lekcji

1. Moment organizacyjny (1 min).

2. Ustalenie celu i zadań lekcji. Motywacja aktywności edukacyjnej uczniów (1 min).

3. Etap aktualizacji podstawowej wiedzy i umiejętności (3 min).

4. Sprawdzenie pracy domowej (2 min).

5. Etap przyswajania nowej wiedzy (10 min).

6. Etap utrwalania nowej wiedzy (15 min).

7. Kontrola przerobionego materiału na lekcji (10 min).

8. Podsumowanie (2 min).

9. Etap informowania uczniów o zadaniach domowych (1 min).

Podczas zajęć:

1. Moment organizacyjny.

Obejmuje powitanie przez prowadzącego zajęcia, przygotowanie sali do lekcji, sprawdzenie obecności nieobecnych.

2. Ustalenie celów i zadań lekcji.

Dzisiaj porozmawiamy o koncepcji funkcji logarytmicznej, narysujemy wykres funkcji i zbadamy jej właściwości.

3. Etap aktualizacji podstawowej wiedzy i umiejętności.

Realizowany jest w formie pracy czołowej z klasą.

Jaka była ostatnia funkcja, którą badaliśmy? Naszkicuj to na tablicy.

Zdefiniuj funkcję wykładniczą.

Jaki jest pierwiastek równania wykładniczego?

Jaka jest definicja logarytmu?

Jakie są własności logarytmów?

Jaka jest podstawowa tożsamość logarytmiczna?

4. Sprawdzanie pracy domowej.

Uczniowie otwierają zeszyty i pokazują rozwiązane ćwiczenia. Zadawaj pytania, które pojawiają się podczas odrabiania lekcji.

5. Etap przyswajania nowej wiedzy.

Nauczyciel: Otwórz zeszyty, zapisz dzisiejszą datę i temat lekcji „Funkcja logarytmiczna, jej właściwości i wykres”.

Definicja: Funkcja logarytmiczna jest funkcją formy

Gdzie jest dana liczba, .

Rozważ konstrukcję wykresu tej funkcji na konkretnym przykładzie.

Konstruujemy wykresy funkcji i .

Uwaga 1: Funkcja logarytmiczna jest odwrotnością funkcji wykładniczej, gdzie . Dlatego ich wykresy są symetryczne względem dwusiecznej kątów współrzędnych I i III (ryc. 1).

Na podstawie definicji logarytmu i rodzaju wykresów ujawniamy własności funkcji logarytmicznej:

1) Dziedzina definicji: , ponieważ z definicji logarytmu x>0.

2) Zakres wartości funkcji: .

3) Logarytm jednostki jest równy zero, logarytm podstawy jest równy jeden: , .

4) Funkcja , rośnie w przedziale (rys. 1).

5) Funkcja , zmniejszenie przedziału (rys. 1).

6) Przedziały stałości znaku:

Jeśli , to o ; w ;

Jeśli , to o godzinie ;

Uwaga 2: Wykres dowolnej funkcji logarytmicznej zawsze przechodzi przez punkt (1; 0).

Twierdzenie: Jeśli , gdzie , więc .

6. Etap utrwalania nowej wiedzy.

Nauczyciel: Rozwiązujemy zadania nr 318 - nr 322 (nieparzyste) (§18Alimov Sh.A. „Algebra i początek analizy”, klasa 10-11).

1) ponieważ funkcja jest rosnąca.

3) , ponieważ funkcja jest malejąca.

1) , ponieważ i .

3) , ponieważ i .

1) , ponieważ , , więc .

3) , ponieważ 10> 1, , to .

1) malejąca

3) wzrasta.

7. Podsumowanie.

- Dzisiaj wykonaliśmy dobrą robotę na lekcji! Czego nowego nauczyłeś się na dzisiejszej lekcji?

(Nowy rodzaj funkcji - funkcja logarytmiczna)

Sformułuj definicję funkcji logarytmicznej.

(Funkcja y = logax, (a > 0, a ≠ 1) nazywana jest funkcją logarytmiczną)

Dobrze zrobiony! Prawidłowy! Nazwij właściwości funkcji logarytmicznej.

(dziedzina funkcji, zbiór wartości funkcji, monotoniczność, stałość)

8. Kontrola materiału poznanego na lekcji.

Nauczyciel: Dowiedzmy się, jak dobrze nauczyłeś się tematu „Funkcja logarytmiczna. Właściwości i wykres. W tym celu napiszemy pracę testową (Załącznik 1). Praca składa się z czterech zadań, które należy rozwiązać wykorzystując własności funkcji logarytmicznej. Masz 10 minut na rozwiązanie testu.

9. Etap informowania uczniów o zadaniu domowym.

Na tablicy iw pamiętnikach pisze: Alimov Sh.A. "Algebra i początek analizy" 10-11 kl. §18 #318 - #322 (parzysty)

Wniosek

W trakcie korzystania z metodologicznego rozwoju osiągnęliśmy wszystkie założone cele i zadania. W tym opracowaniu metodologicznym uwzględniono wszystkie właściwości funkcji logarytmicznej, dzięki czemu uczniowie nauczyli się wykonywać przekształcenia wyrażeń zawierających logarytmy i budować wykresy funkcji logarytmicznych. Realizacja zadań praktycznych pomaga utrwalić przerabiany materiał, a kontrola sprawdzania wiedzy i umiejętności pozwoli nauczycielom i uczniom przekonać się, jak efektywna była ich praca na lekcji. Rozwój metodologiczny umożliwia studentom uzyskanie ciekawych i pouczających informacji na dany temat, uogólnienie i usystematyzowanie wiedzy, zastosowanie własności logarytmów i funkcji logarytmicznej przy rozwiązywaniu różnych równań i nierówności logarytmicznych.

Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V., Fedorova N.E., Shabunin M.I. - M. Edukacja, 2011.

Nikolsky S. M., Potapov M. K., Reshetnikov NN i wsp. Algebra i początki analizy matematycznej (poziom podstawowy i profilowy). 10 komórek - M., 2006.

Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Federova N.E. i inni, wyd. Żyżczenko A.B. Algebra i początki analizy matematycznej (poziom podstawowy i profilowy). 10 komórek - M., 2005.

Lisichkin V. T. Matematyka w problemach z rozwiązaniami: podręcznik / V. T. Lisichkin, I. L. Soloveychik. - wyd. 3, wymazane. - Sankt Petersburg. [i inni] : Lan, 2011 (Archangielsk). - 464 s.

Zasoby internetowe:

http://school- collection.edu.ru - Elektroniczny podręcznik „Matematyka w

szkoła, XXI wiek.

http://fcior.edu.ru - materiały informacyjne, szkoleniowe i kontrolne.

www.school-collection.edu.ru — ujednolicony zbiór cyfrowych zasobów edukacyjnych.

Aplikacje

Opcja 1.

Opcja 2.

Kryteria oceny:

Ocena „3” (dostateczna) jest umieszczana za dowolne 2 poprawnie wykonane przykłady.

Ocenę „4” (dobry) przyznaje się, jeśli 3 dowolne przykłady zostaną wykonane poprawnie.

Ocenę „5” (doskonały) wystawia się za wszystkie 4 poprawnie wykonane przykłady.

Pojęcie funkcji logarytmicznej

Najpierw przypomnijmy sobie, czym jest logarytm.

Definicja 1

Logarytm liczby $b\w R$ do podstawy $a$ ($a>0,\ a\ne 1$) to liczba $c$, do której należy podnieść liczbę $a$, aby otrzymać liczbę $b$.

Rozważmy funkcję wykładniczą $f\left(x\right)=a^x$, gdzie $a >1$. Funkcja ta jest rosnąca, ciągła i odwzorowuje oś rzeczywistą na przedział $(0,+\infty)$. Wtedy, z twierdzenia o istnieniu odwrotnej funkcji ciągłej, w zbiorze $Y=(0,+\infty)$ ma ona funkcję odwrotną $x=f^(-1)(y)$, która jest również ciągła i rośnie w $Y $ i odwzorowuje przedział $(0,+\infty)$ na całą oś rzeczywistą. Ta funkcja odwrotna jest nazywana funkcją logarytmiczną o podstawie $a\ (a >1)$ i jest oznaczona jako $y=((log)_a x\ )$.

Rozważmy teraz funkcję wykładniczą $f\left(x\right)=a^x$, gdzie $0

W ten sposób zdefiniowaliśmy funkcję logarytmiczną dla wszystkich możliwych wartości podstawy $a$. Rozpatrzmy te dwa przypadki oddzielnie.

1%24"> Funkcja $y=((log)_a x\ ),\ a >1$

Rozważać nieruchomości ta funkcja.

Nie ma przecięć z osią $Oy$.

Funkcja jest dodatnia dla $x\in (1,+\infty)$ i ujemna dla $x\in (0,1)$

$y"=\frac(1)(xlna)$;

Minimalne i maksymalne punkty:

Funkcja rośnie w całej dziedzinie definicji;

$y^("")=-\frac(1)(x^2lna)$;

\[-\frac(1)(x^2lna)Funkcja jest wypukła na całej dziedzinie definicji;

$(\mathop(lim)_(x\to 0) y\ )=-\infty ,\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty) y\ )=+\infty ,\ $;

Wykres funkcji (rys. 1).

Rysunek 1. Wykres funkcji $y=((log)_a x\ ),\ a >1$

Funkcja $y=((log)_a x\ ), \ 0

Rozważ właściwości tej funkcji.

Dziedziną definicji jest przedział $(0,+\infty)$;

Zakres wartości to wszystkie liczby rzeczywiste;

Funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.

Punkty przecięcia z osiami współrzędnych:

Nie ma przecięć z osią $Oy$.

Dla $y=0$, $((log)_a x\ )=0,\ x=1.$ Przecięcie z osią $Ox$: (1,0).

Funkcja jest dodatnia dla $x\in (0,1)$ i ujemna dla $x\in (1,+\infty)$

$y"=\frac(1)(xlna)$;

Minimalne i maksymalne punkty:

\[\frac(1)(xlna)=0-root\ no\]

Nie ma punktów maksymalnych ani minimalnych.

$y^("")=-\frac(1)(x^2lna)$;

Przedziały wypukłości i wklęsłości:

\[-\frac(1)(x^2lna)>0\]

Wykres funkcji (rys. 2).

Przykłady badań i konstrukcji funkcji logarytmicznych

Przykład 1

Zbadaj i wykreśl funkcję $y=2-((log)_2 x\ )$

Dziedziną definicji jest przedział $(0,+\infty)$;

Zakres wartości to wszystkie liczby rzeczywiste;

Funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.

Punkty przecięcia z osiami współrzędnych:

Nie ma przecięć z osią $Oy$.

Dla $y=0$, $2-((log)_2 x\ )=0,\ x=4.$ Przecięcie z osią $Ox$: (4,0).

Funkcja jest dodatnia dla $x\in (0,4)$ i ujemna dla $x\in (4,+\infty)$

$y"=-\frac(1)(xln2)$;

Minimalne i maksymalne punkty:

\[-\frac(1)(xln2)=0-roots\ no\]

Nie ma punktów maksymalnych ani minimalnych.

Funkcja maleje w całej dziedzinie definicji;

$y^("")=\frac(1)(x^2ln2)$;

Przedziały wypukłości i wklęsłości:

\[\frac(1)(x^2ln2) >0\]

Funkcja jest wklęsła w całej dziedzinie definicji;

$(\mathop(lim)_(x\to 0) y\ )=+\infty ,\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty) y\ )=-\infty ,\ $;

Rysunek 3

Rodzaj lekcji: nauka nowego materiału.

Cele Lekcji:

• tworzyć reprezentację funkcji logarytmicznej, jej podstawowe własności;
• ukształtować umiejętność wykreślenia wykresu funkcji logarytmicznej;
• promowanie rozwoju umiejętności identyfikowania właściwości funkcji logarytmicznej zgodnie z harmonogramem;
• rozwijanie umiejętności pracy z tekstem, umiejętności analizowania informacji, umiejętności ich systematyzowania, oceniania, wykorzystywania;
• rozwój umiejętności pracy w parach, mikrogrupach (umiejętności komunikacyjne, dialog, wspólne podejmowanie decyzji)

Zastosowana technologia: technologia do rozwoju krytycznego myślenia, technologia do pracy we współpracy

Stosowane techniki: prawda, fałsz, INSERT, klaster, cinquain

Lekcja wykorzystuje elementy technologii do rozwoju krytycznego myślenia, aby rozwinąć umiejętność identyfikowania luk w swojej wiedzy i umiejętnościach podczas rozwiązywania nowego problemu, oceniania zapotrzebowania na tę lub inną informację do swojej działalności, wyszukiwania informacji, samodzielnego opanowania wiedza niezbędna do rozwiązywania zadań poznawczych i komunikacyjnych. Ten typ myślenia pomaga krytycznie odnosić się do wszelkich stwierdzeń, nie brać niczego za pewnik bez dowodów, być otwartym na nową wiedzę, idee, sposoby.

Percepcja informacji przebiega w trzech etapach, co odpowiada następującym etapom lekcji:

• etap przygotowawczy - nabór;
• postrzeganie nowego - etap semantyczny (lub etap realizacji znaczenia);
• etapem refleksji jest zawłaszczanie informacji.

Uczniowie pracują w grupach, porównują swoje założenia z informacjami uzyskanymi w trakcie pracy z podręcznikiem, wykreślają funkcje i opisy ich własności, wprowadzają zmiany do proponowanej tabeli „Czy wierzysz, że…”, dzielą się przemyśleniami z klasą, omówić odpowiedzi na każde pytanie. Na etapie wywołania wyjaśnia się, w jakich przypadkach, podczas wykonywania jakich zadań, można zastosować właściwości funkcji logarytmicznej. Na etapie zrozumienia treści trwają prace nad rozpoznaniem wykresów funkcji logarytmicznych, znalezieniem dziedziny definicji oraz wyznaczeniem monotoniczności funkcji.

Aby poszerzyć wiedzę na badany temat, studentom proponuje się tekst „Zastosowanie funkcji logarytmicznej w przyrodzie i technologii”. Używamy, aby utrzymać zainteresowanie tematem. Uczniowie pracują w grupach, tworząc klastry „Zastosowanie funkcji logarytmicznej”. Następnie klastry są bronione i dyskutowane.

Sinkwine jest wykorzystywana jako kreatywna forma refleksji, która rozwija umiejętność streszczania informacji, wyrażania złożonych idei, uczuć i idei w kilku słowach.

Ekwipunek: Prezentacja PowerPoint, tablica interaktywna, materiały informacyjne (karty, materiały tekstowe, tabele), kartki w klatce.

Podczas zajęć

Etap wezwania:

Wprowadzenie nauczyciela. Pracujemy nad opanowaniem tematu „Logarytmy”. Co obecnie wiemy i możemy zrobić?

Odpowiedzi uczniów.

Wiemy Słowa kluczowe: definicja, własności logarytmu, podstawowa tożsamość logarytmiczna, wzory przejścia do nowej podstawy, obszary zastosowań logarytmów.

wiemy jak: obliczać logarytmy, rozwiązywać najprostsze równania logarytmiczne, wykonywać przekształcenia logarytmów.

Jakie pojęcie jest ściśle związane z pojęciem logarytmu? (z pojęciem stopnia, ponieważ logarytm jest wykładnikiem)

Zadanie dla studentów. Posługując się pojęciem logarytmu, uzupełnij dowolne dwie tabele > 1 i o godz 0 < a< 1 (Załącznik nr 1)

Sprawdzanie pracy grup.

Jakie wyrażenia są pokazane? (równania wykładnicze, funkcje wykładnicze)

Zadanie dla studentów. Rozwiązywanie równań wykładniczych za pomocą wyrażenia zmiennego X przez zmienną w.

W wyniku tej pracy uzyskuje się następujące wzory:

W otrzymanych wyrażeniach zamieniamy miejscami X oraz w. Co się z nami stało?

Jak nazwałbyś te funkcje? (logarytmiczny, ponieważ zmienna jest pod znakiem logarytmu). Jak napisać tę funkcję w postaci ogólnej?

Temat naszej lekcji to „Funkcja logarytmiczna, jej właściwości i wykres”.

Funkcja logarytmiczna jest funkcją postaci , gdzie a- podany numer, a>0, a≠1.

Naszym zadaniem jest nauczyć się budować i eksplorować wykresy funkcji logarytmicznych, stosować ich własności.

Na stołach leżą karty z pytaniami. Wszystkie zaczynają się od słów „Czy wierzysz, że…”

Odpowiedź na pytanie może brzmieć tylko „tak” lub „nie”. Jeśli „tak”, to po prawej stronie pytania w pierwszej kolumnie umieść znak „+”, jeśli „nie”, to znak „-”. W razie wątpliwości wstaw znak „?”.

Pracujcie w parach. Czas pracy 3 minuty. (Załącznik nr 2)

Po wysłuchaniu odpowiedzi uczniów następuje wypełnienie pierwszej kolumny tabeli przestawnej na tablicy.

Etap rozumienia treści(10 minut).

Podsumowując pracę pytaniami z tabeli, nauczyciel przygotowuje uczniów do przekonania, że ​​odpowiadając na pytania, nie wiemy jeszcze, czy mamy rację, czy nie.

Zadanie dla grup. Odpowiedzi na pytania można znaleźć, studiując tekst §4 s. 240-242. Ale proponuję nie tylko przeczytać tekst, ale wybrać jedną z czterech otrzymanych wcześniej funkcji: wykreślić jej wykres i zidentyfikować z wykresu właściwości funkcji logarytmicznej. Każdy członek grupy robi to w zeszycie. Następnie na dużym arkuszu w komórce budowany jest wykres funkcji. Po zakończeniu pracy przedstawiciel każdej grupy będzie bronił swojej pracy.

Przydział do grup. Uogólnij właściwości funkcji dla > 1 oraz 0 < a< 1 (Załącznik nr 3)

Oś jednostka organizacyjna jest pionową asymptotą wykresu funkcji logarytmicznej, aw przypadku kiedy a>1, aw przypadku gdy 0.

Wykres funkcji przechodzi przez punkt o współrzędnych (1;0)

Przydział do grup. Udowodnij, że funkcje wykładnicze i logarytmiczne są wzajemnie odwrotne.

Uczniowie w tym samym układzie współrzędnych przedstawiają wykres funkcji logarytmicznej i wykładniczej

Rozważ jednocześnie dwie funkcje: wykładniczą y = x i logarytmiczne y = log x.

Rysunek 2 przedstawia schematycznie wykresy funkcji y = x oraz y = log x w przypadku gdy a>1.

Rycina 3 przedstawia schematycznie wykresy funkcji y = x oraz y = log x w przypadku gdy 0 < a < 1.

Poniższe twierdzenia są prawdziwe.

• Wykres funkcji y = log x symetryczny do wykresu funkcji y \u003d ax względem linii prostej y = x.
• Zestaw wartości funkcji y = x jest zestawem y>0 i dziedzina funkcji y = log x jest zestawem x>0.
• Oś Oh gdzie jest asymptotą poziomą wykresu funkcji y = x i oś jednostka organizacyjna jest pionową asymptotą wykresu funkcji y = log x.
• Funkcjonować y = x wzrasta z a>1 i funkcja y = log x wzrasta również z a>1. Funkcjonować y = x maleje o godz 0<а<1 i funkcja y = log x maleje również z 0<а<1

Dlatego orientacyjnie y = x i logarytmiczne y = log x funkcje są wzajemnie odwrotne.

Wykres funkcji y = log x nazwano krzywą logarytmiczną, chociaż w rzeczywistości nie można było wymyślić nowej nazwy. W końcu jest to ten sam wykładnik, który służy jako wykres funkcji wykładniczej, tylko inaczej położony na płaszczyźnie współrzędnych.

Etap refleksji. Wstępne podsumowanie.

Wróćmy do pytań omówionych na początku lekcji i omówmy wyniki.. Zobaczymy, może nasze zdanie po pracy się zmieniło.

Uczniowie w grupach porównują swoje założenia z informacjami uzyskanymi w trakcie pracy z podręcznikiem, wykreślają funkcje i opisy ich własności, wprowadzają zmiany w tabeli, dzielą się przemyśleniami z klasą i omawiają odpowiedzi na każde pytanie.

Etap wezwania.

Jak myślisz, w jakich przypadkach, podczas wykonywania jakich zadań, można zastosować właściwości funkcji logarytmicznej?

Zamierzone odpowiedzi studenta: rozwiązywanie równań logarytmicznych, nierówności, porównywanie wyrażeń numerycznych zawierających logarytmy, konstruowanie, przekształcanie i badanie bardziej złożonych funkcji logarytmicznych.

Etap rozumienia treści.

Praca o rozpoznawaniu wykresów funkcji logarytmicznych, znajdowaniu dziedziny definicji, wyznaczaniu monotoniczności funkcji. (Załącznik nr 4)

Odpowiedzi.

1	2	3	4	5	6	7
1)a, 2)b, 3)c	1) a, 2) c, 3) a	a, w	w	PNE	a)< б) >	a)<0 б) <0

Aby poszerzyć wiedzę na badany temat, studentom proponuje się tekst „Zastosowanie funkcji logarytmicznej w przyrodzie i technologii”. (Załącznik nr 5) Używamy metoda technologiczna „Klaster” utrzymać zainteresowanie tematem.

„Czy ta funkcja ma zastosowanie w otaczającym nas świecie?”, odpowiemy na to pytanie po pracy nad tekstem o spirali logarytmicznej.

Kompilacja klastra „Zastosowanie funkcji logarytmicznej”. Studenci pracują w grupach, tworząc klastry. Następnie klastry są bronione i dyskutowane.

Przykład klastra.

Odbicie

• O czym nie miałeś pojęcia aż do dzisiejszej lekcji, a co teraz jest dla ciebie jasne?
• Czego dowiedziałeś się o funkcji logarytmicznej i jej zastosowaniach?
• Jakie trudności napotkałeś podczas wykonywania zadań?
• Zaznacz pytanie, które jest dla ciebie mniej jasne.
• Jakie informacje Cię interesują?
• Skomponuj „funkcję logarytmiczną” syncwine
• Oceń pracę swojej grupy (Załącznik nr 6 „Arkusz oceny wyników grupy”)

Sincwine.

1. funkcja logarytmiczna
2. Nieograniczony, monotonny
3. Odkrywaj, porównuj, rozwiązuj nierówności
4. Właściwości zależą od wartości podstawy funkcji logarytmicznej
5. Wystawca

Praca domowa:§ 4 s. 240-243, nr 69-75 (parzyste)

Literatura:

1. Azevich A.I. Dwadzieścia lekcji harmonii: kurs nauk humanistycznych i matematyki . - M.: School-Press, 1998.-160 s.: il. (Biblioteka czasopisma „Matematyka w Szkole”. Wydanie 7.)
2. Zair-Bek S.I. Rozwój krytycznego myślenia w klasie: przewodnik dla nauczycieli kształcenia ogólnego. instytucje. - M. Edukacja, 2011. - 223 s.
3. Kolyagin Yu.M. Algebra i początki analizy. Klasa 10: podręcznik. dla edukacji ogólnej instytucje: poziom podstawowy i profilowy. – M.: Oświecenie, 2010.
4. Korchagin V.V. USE-2009. Matematyka. Tematyczne zadania szkoleniowe. – M.: Eksmo, 2009.
5. USE-2008. Matematyka. Tematyczne zadania szkoleniowe / Koreshkova T.A. i inne - M.: Eksmo, 2008.