W matematyce i statystyce przeciętny arytmetyczne (lub łatwo przeciętny) zbioru liczb to suma wszystkich liczb w tym zbiorze podzielona przez ich liczbę. Średnia arytmetyczna jest szczególnie ogólną i najpowszechniejszą reprezentacją średniej.

Będziesz potrzebować

• Wiedza z matematyki.

Instrukcja

1. Niech dany będzie zbiór czterech liczb. Trzeba odkryć przeciętny oznaczający ten zestaw. Aby to zrobić, najpierw znajdujemy sumę wszystkich tych liczb. Liczby te są możliwe 1, 3, 8, 7. Ich suma jest równa S = 1 + 3 + 8 + 7 = 19. Zbiór liczb musi składać się z liczb tego samego znaku, inaczej sens w obliczaniu wartości średniej zgubiony.

2. Przeciętny oznaczający zbiór liczb jest równy sumie liczb S podzielonej przez liczbę tych liczb. To znaczy, okazuje się, że przeciętny oznaczający równa się: 19/4 = 4,75.

3. Dla zestawu liczb możliwe jest również wykrycie nie tylko przeciętny arytmetyczne, ale przeciętny geometryczny. Średnia geometryczna kilku regularnych liczb rzeczywistych to liczba, która może zastąpić dowolną z tych liczb, aby ich iloczyn się nie zmienił. Średniej geometrycznej G szuka się według wzoru: pierwiastek N-tego stopnia iloczynu zbioru liczb, gdzie N jest liczbą w zbiorze. Spójrzmy na ten sam zestaw liczb: 1, 3, 8, 7. Znajdźmy je przeciętny geometryczny. Aby to zrobić, obliczamy iloczyn: 1 * 3 * 8 * 7 = 168. Teraz z liczby 168 musisz wyodrębnić pierwiastek czwartego stopnia: G = (168) ^ 1/4 = 3,61. Zatem przeciętny geometryczny zbiór liczb to 3,61.

Przeciętnyśrednia geometryczna jest używana rzadziej niż średnia arytmetyczna, ale może być przydatna do obliczania średniej wartości wskaźników zmieniających się w czasie (wynagrodzenie pojedynczego pracownika, dynamika wyników w nauce itp.).

Będziesz potrzebować

• Kalkulator inżynierski

Instrukcja

1. Aby znaleźć średnią geometryczną szeregu liczb, musisz najpierw pomnożyć wszystkie te liczby. Powiedzmy, że masz zestaw pięciu wskaźników: 12, 3, 6, 9 i 4. Pomnóżmy wszystkie te liczby: 12x3x6x9x4 = 7776.

2. Teraz z uzyskanej liczby należy wyodrębnić pierwiastek stopnia równego liczbie elementów szeregu. W naszym przypadku z liczby 7776 konieczne będzie wyodrębnienie piątego pierwiastka za pomocą kalkulatora inżynierskiego. Liczba uzyskana po tej operacji - w tym przypadku liczba 6 - będzie średnią geometryczną dla początkowej grupy liczb.

3. Jeśli nie masz pod ręką kalkulatora inżynierskiego, możesz obliczyć średnią geometryczną szeregu liczb z obsługą funkcji CPGEOM w Excelu lub za pomocą jednego z kalkulatorów online, które są specjalnie przygotowane do obliczania średnich geometrycznych.

Uwaga!
Jeśli chcesz znaleźć średnią geometryczną każdej z 2 liczb, nie potrzebujesz kalkulatora inżynierskiego: możesz wyodrębnić pierwiastek drugiego stopnia (pierwiastek kwadratowy) z dowolnej liczby za pomocą najzwyklejszego kalkulatora.

Pomocna rada
W przeciwieństwie do średniej arytmetycznej, średnia geometryczna nie podlega tak silnemu wpływowi ogromnych odchyleń i fluktuacji pomiędzy poszczególnymi wartościami w badanym zbiorze wskaźników.

Przeciętny wartość jest jednym z zestawień zbioru liczb. Reprezentuje liczbę, która nie może znajdować się poza zakresem określonym przez największą i najmniejszą wartość w tym zestawie liczb. Przeciętny wartość arytmetyczna jest szczególnie często stosowaną odmianą średnich.

Instrukcja

1. Dodaj wszystkie liczby ze zbioru i podziel je przez liczbę wyrazów, aby uzyskać średnią arytmetyczną. W zależności od pewnych warunków obliczeniowych czasem łatwiej jest podzielić dowolną liczbę przez liczbę wartości zbioru i zsumować sumę.

2. Użyj, powiedzmy, kalkulatora dołączonego do systemu Windows, jeśli obliczenie średniej arytmetycznej w twojej głowie nie jest możliwe. Można go otworzyć za pomocą okna dialogowego uruchamiania programu. Aby to zrobić, naciśnij „palące się klawisze” WIN + R lub kliknij przycisk „Start” i wybierz polecenie „Uruchom” z menu głównego. Następnie wpisz calc w polu wejściowym i naciśnij Enter na klawiaturze lub kliknij przycisk „OK”. To samo można zrobić za pomocą menu głównego - otwórz je, przejdź do sekcji „Wszystkie programy” i segmentów „Typowe” i wybierz wiersz „Kalkulator”.

3. Wprowadź wszystkie liczby w zestawie krokami, naciskając klawisz Plus na klawiaturze po wszystkich (oprócz ostatniej) lub klikając odpowiedni przycisk w interfejsie kalkulatora. Wprowadzanie cyfr jest również dozwolone zarówno z klawiatury, jak i poprzez klikanie odpowiednich przycisków interfejsu.

4. Naciśnij klawisz ukośnika lub kliknij tę ikonę w interfejsie kalkulatora po wprowadzeniu ostatniej ustawionej wartości i wpisz liczbę cyfr w sekwencji. Następnie naciśnij znak równości, a kalkulator obliczy i wyświetli średnią arytmetyczną.

5. Dozwolone jest używanie w tym samym celu edytora arkuszy kalkulacyjnych Microsoft Excel. W takim przypadku uruchom edytor i wprowadź wszystkie wartości sekwencji liczb do sąsiednich komórek. Jeśli po wprowadzeniu całej liczby naciśniesz klawisz Enter lub klawisz strzałki w dół lub w prawo, edytor sam przeniesie fokus wprowadzania do sąsiedniej komórki.

6. Zaznacz wszystkie wprowadzone wartości, aw lewym dolnym rogu okna edytora (na pasku stanu) zobaczysz średnią arytmetyczną dla zaznaczonych komórek.

7. Kliknij komórkę obok ostatnio wprowadzonej liczby, jeśli wolisz zobaczyć tylko średnią arytmetyczną. Rozwiń listę rozwijaną z obrazem greckiej litery sigma (Σ) w grupie poleceń „Edycja” w zakładce „Podstawowe”. Wybierz linię " Przeciętny”, a edytor wstawi w wybranej komórce formułę niezbędną do obliczenia średniej arytmetycznej. Naciśnij klawisz Enter, a wartość zostanie obliczona.

Średnia arytmetyczna jest jedną z miar skłonności centralnej szeroko stosowaną w matematyce i obliczeniach statystycznych. Znalezienie średniej arytmetycznej dla kilku wartości jest bardzo łatwe, ale każde zadanie ma swoje niuanse, które trzeba znać, aby wykonać poprawne obliczenia.

Jaka jest średnia arytmetyczna

Średnia arytmetyczna określa średnią wartość dla każdej początkowej tablicy liczb. Innymi słowy, z pewnego zestawu liczb wybierana jest wartość uniwersalna dla wszystkich elementów, której matematyczne porównanie ze wszystkimi elementami jest w przybliżeniu równe. Średnia arytmetyczna jest preferowana przy sporządzaniu sprawozdań finansowych i statystycznych lub przy obliczaniu ilościowych wyników podobnych umiejętności.

Jak znaleźć średnią arytmetyczną

Poszukiwanie średniej arytmetycznej dla tablicy liczb należy rozpocząć od wyznaczenia sumy algebraicznej tych wartości. Na przykład, jeśli tablica zawiera liczby 23, 43, 10, 74 i 34, to ich suma algebraiczna wyniesie 184. Podczas pisania średnia arytmetyczna jest oznaczona literą? (mu) lub x (x z myślnikiem). Następnie sumę algebraiczną należy podzielić przez liczbę liczb w tablicy. W tym przykładzie było pięć liczb, więc średnia arytmetyczna wyniesie 184/5 i wyniesie 36,8.

Funkcje pracy z liczbami ujemnymi

Jeśli tablica zawiera liczby ujemne, to średnia arytmetyczna jest znajdowana przy użyciu podobnego algorytmu. Różnica występuje tylko podczas obliczeń w środowisku programistycznym lub gdy w zadaniu są dodatkowe dane. W takich przypadkach znalezienie średniej arytmetycznej liczb o różnych znakach sprowadza się do trzech kroków: 1. Znajdowanie ogólnej średniej arytmetycznej w standardowy sposób; 2. Znajdowanie średniej arytmetycznej liczb ujemnych.3. Obliczanie średniej arytmetycznej liczb dodatnich Wyniki dowolnej akcji są zapisywane oddzielone przecinkami.

Ułamki naturalne i dziesiętne

Jeśli tablica liczb jest reprezentowana przez ułamki dziesiętne, rozwiązanie następuje zgodnie z metodą obliczania średniej arytmetycznej liczb całkowitych, ale suma jest zmniejszana zgodnie z wymaganiami problemu dla dokładności wyniku. , należy je sprowadzić do wspólnego mianownika, czyli tego, który jest pomnożony przez liczbę liczb w tablicy. Licznik wyniku będzie sumą zredukowanych liczników początkowych elementów ułamkowych.

Średnia geometryczna liczb zależy nie tylko od bezwzględnej wartości samych liczb, ale także od ich liczby. Nie można pomylić średniej geometrycznej i średniej arytmetycznej liczb, ponieważ można je znaleźć według różnych metodologii. Średnia geometryczna jest zawsze mniejsza lub równa średniej arytmetycznej.

Będziesz potrzebować

• Kalkulator inżynierski.

Instrukcja

1. Weź pod uwagę, że w ogólnym przypadku średnia geometryczna liczb znajduje się przez pomnożenie tych liczb i wyodrębnienie z nich pierwiastka stopnia odpowiadającego liczbie liczb. Powiedzmy, że jeśli chcesz znaleźć średnią geometryczną pięciu liczb, to z produktu konieczne będzie wyodrębnienie pierwiastka piątego stopnia.

2. Aby znaleźć średnią geometryczną 2 liczb, użyj podstawowej zasady. Znajdź ich iloczyn, a następnie wyciągnij z niego pierwiastek kwadratowy z faktu, że liczba to dwa, co odpowiada stopniowi pierwiastka. Powiedzmy, że aby znaleźć średnią geometryczną liczb 16 i 4, znajdź ich iloczyn 16 4=64. Z otrzymanej liczby wyodrębnij pierwiastek kwadratowy? 64 = 8. To będzie pożądana wartość. Należy pamiętać, że średnia arytmetyczna tych 2 liczb jest większa i równa się 10. Jeśli pierwiastek nie zostanie wzięty w całości, zaokrąglij sumę do pożądanej kolejności.

3. Aby znaleźć średnią geometryczną więcej niż 2 liczb, skorzystaj również z podstawowej zasady. Aby to zrobić, znajdź iloczyn wszystkich liczb, dla których musisz znaleźć średnią geometryczną. Z otrzymanego produktu wyodrębnij pierwiastek stopnia równego liczbie liczb. Powiedzmy, że aby znaleźć średnią geometryczną liczb 2, 4 i 64, znajdź ich iloczyn. 2 4 64=512. Z faktu, że trzeba znaleźć sumę średniej geometrycznej z 3 liczb, które wyodrębniają pierwiastek trzeciego stopnia z iloczynu. Trudno to zrobić ustnie, więc użyj kalkulatora inżynierskiego. Aby to zrobić, ma przycisk „x^y”. Wybierz numer 512, naciśnij przycisk „x^y”, następnie wybierz numer 3 i naciśnij przycisk „1/x”, aby znaleźć wartość 1/3, naciśnij przycisk „=”. Otrzymujemy wynik podniesienia 512 do potęgi 1/3, co odpowiada pierwiastkowi trzeciego stopnia. Uzyskaj 512^1/3=8. To jest średnia geometryczna liczb 2,4 i 64.

4. Przy wsparciu kalkulatora inżynierskiego możliwe jest wykrycie średniej geometrycznej inną metodą. Znajdź przycisk dziennika na klawiaturze. Następnie weź logarytm wszystkich liczb, znajdź ich sumę i podziel przez liczbę liczb. Z otrzymanej liczby weź antylogarytm. Będzie to średnia geometryczna liczb. Powiedzmy, że aby znaleźć średnią geometryczną tych samych liczb 2, 4 i 64, wykonaj zestaw operacji na kalkulatorze. Wybierz numer 2, następnie naciśnij przycisk log, naciśnij przycisk „+”, wybierz numer 4 i ponownie naciśnij log i „+”, wybierz 64, naciśnij log i „=”. Wynik będzie liczbą równą sumie logarytmów dziesiętnych liczb 2, 4 i 64. Podziel wynikową liczbę przez 3, z faktu, że jest to liczba liczb, przez którą poszukuje się średniej geometrycznej. Z sumy weź antylogarytm, przełączając przycisk rejestru i użyj tego samego klucza dziennika. Wynikiem będzie liczba 8, jest to pożądana średnia geometryczna.

Uwaga!
Wartość średnia nie może być większa od największej liczby w zbiorze i mniejsza od najmniejszej.

Pomocna rada
W statystyce matematycznej średnią wartość wielkości nazywa się oczekiwaniem matematycznym.

Metoda średnich

3.1 Istota i znaczenie średnich w statystyce. Rodzaje średnich

Średnia wartość w statystyce nazywa się uogólnioną charakterystykę jakościowo jednorodnych zjawisk i procesów według jakiegoś zmiennego atrybutu, która pokazuje poziom atrybutu, odniesiony do jednostki populacji. Średnia wartość abstrakcja, bo charakteryzuje wartość atrybutu dla jakiejś bezosobowej jednostki populacji.Istotaśredniej wielkości polega na tym, że to, co ogólne i konieczne, tj. Cechy, które podsumowują wartości średnie, są nieodłączne dla wszystkich jednostek populacji. Z tego powodu wartość średnia ma duże znaczenie dla identyfikacji wzorców właściwych zjawiskom masowym, a nie zauważalnych w poszczególnych jednostkach populacji.

Ogólne zasady korzystania ze średnich:

konieczny jest rozsądny wybór jednostki populacji, dla której obliczana jest wartość średnia;

przy określaniu wartości średniej należy przejść od jakościowej zawartości uśrednionej cechy, wziąć pod uwagę związek badanych cech, a także dane dostępne do obliczeń;

wartości średnie należy obliczać według jakościowo jednorodnych agregatów, które uzyskuje się metodą grupowania, która polega na obliczeniu systemu wskaźników uogólniających;

ogólne średnie powinny być poparte średnimi grupowymi.

W zależności od charakteru danych pierwotnych, zakresu i sposobu obliczeń w statystyce wyróżnia się: główne rodzaje średnich:

1) średnie mocy(średnia arytmetyczna, harmoniczna, geometryczna, średnia kwadratowa i sześcienna);

2) średnie strukturalne (nieparametryczne).(tryb i mediana).

W statystyce poprawna charakterystyka badanej populacji na podstawie różnych cech w każdym indywidualnym przypadku jest dana tylko przez dobrze zdefiniowany typ średniej. Kwestię tego, jaki rodzaj średniej należy zastosować w konkretnym przypadku, rozstrzyga specyficzna analiza badanej populacji, a także opierając się na zasadzie istotności wyników przy sumowaniu lub ważeniu. Te i inne zasady wyrażone są w statystykach teoria średnich.

Na przykład średnia arytmetyczna i średnia harmoniczna są używane do scharakteryzowania średniej wartości zmiennej cechy w badanej populacji. Średnia geometryczna jest używana tylko przy obliczaniu średniego tempa dynamiki, a średnia kwadratowa tylko przy obliczaniu wskaźników zmienności.

Wzory do obliczania wartości średnich przedstawiono w tabeli 3.1.

Tabela 3.1 - Wzory do obliczania wartości średnich

Rodzaje średnich	Formuły obliczeniowe
	prosty	ważony
1. Średnia arytmetyczna
2. Średnia harmoniczna
3. Średnia geometryczna
4. Średnia kwadratowa

Oznaczenia:- ilości, dla których obliczana jest średnia; - średnia, gdzie linia powyżej wskazuje, że następuje uśrednienie poszczególnych wartości; - częstość (powtarzalność wartości poszczególnych cech).

Oczywiście, różne średnie pochodzą z ogólny wzór na średnią potęgową (3.1) :

, (3.1)

dla k = + 1 - średnia arytmetyczna; k = -1 - średnia harmoniczna; k = 0 - średnia geometryczna; k = +2 - średnia kwadratowa pierwiastka.

Średnie są proste lub ważone. średnie ważone nazywane są wartościami, które uwzględniają, że niektóre warianty wartości atrybutów mogą mieć różne liczby; w związku z tym każdą opcję należy pomnożyć przez tę liczbę. W tym przypadku „wagami” są liczby jednostek populacji w różnych grupach, tj. każda opcja jest „ważona” częstotliwością. Nazywa się częstotliwość f waga statystyczna lub średnia ważona.

Ostatecznie właściwy wybór średniej przyjmuje następującą kolejność:

a) ustanowienie uogólniającego wskaźnika populacji;

b) wyznaczenie matematycznego stosunku wartości dla danego wskaźnika uogólniającego;

c) zastąpienie poszczególnych wartości wartościami średnimi;

d) obliczenie średniej za pomocą odpowiedniego równania.

3.2 Średnia arytmetyczna i jej właściwości oraz technika obliczania. Średnia harmoniczna

Średnia arytmetyczna- najpopularniejszy typ średniej wielkości; oblicza się go w tych przypadkach, gdy objętość uśrednionego atrybutu jest tworzona jako suma jego wartości dla poszczególnych jednostek badanej populacji statystycznej.

Najważniejsze własności średniej arytmetycznej:

1. Iloczyn średniej i sumy częstości jest zawsze równy sumie iloczynów wariantu (poszczególnych wartości) i częstości.

2. Jeśli od każdej opcji zostanie odjęta (dodana) dowolna liczba, wówczas nowa średnia zmniejszy się (wzrośnie) o tę samą liczbę.

3. Jeśli każda opcja zostanie pomnożona (podzielona) przez dowolną liczbę, to nowa średnia wzrośnie (zmniejszy się) o tę samą kwotę

4. Jeśli wszystkie częstotliwości (wagi) zostaną podzielone lub pomnożone przez dowolną liczbę, to średnia arytmetyczna nie zmieni się od tego.

5. Suma odchyleń poszczególnych opcji od średniej arytmetycznej zawsze wynosi zero.

Od wszystkich wartości atrybutu można odjąć dowolną stałą wartość (lepsza jest wartość opcji środkowej lub opcji o największej częstotliwości), zmniejszyć powstałe różnice o wspólny czynnik (najlepiej o wartość przedziału ) i wyraź częstości w szczegółach (w procentach) i pomnóż obliczoną średnią przez wspólny czynnik i dodaj dowolną stałą wartość. Ta metoda obliczania średniej arytmetycznej nazywa się metoda obliczania od zera warunkowego .

Średnia geometryczna znajduje zastosowanie przy określaniu średniego tempa wzrostu (średnich temp wzrostu), gdy poszczególne wartości cechy są prezentowane jako wartości względne. Jest również używany, jeśli konieczne jest znalezienie średniej między minimalną a maksymalną wartością cechy (na przykład między 100 a 1000000).

średnia kwadratowa służy do pomiaru zmienności cechy w populacji (obliczanie odchylenia standardowego).

W statystyce to działa Reguła większości dla oznacza:

szkoda X.< Х геом. < Х арифм. < Х квадр. < Х куб.

3.3 Średnie strukturalne (tryb i mediana)

Do określenia struktury populacji wykorzystuje się średnie specjalne, do których zalicza się medianę i tryb, czyli tzw. średnie strukturalne. Jeżeli średnia arytmetyczna jest obliczana na podstawie wykorzystania wszystkich wariantów wartości atrybutów, to mediana i moda charakteryzują wartość wariantu, który zajmuje określoną średnią pozycję w szeregach wariacji rankingowych

Moda- najbardziej typowa, najczęściej spotykana wartość cechy. Do szereg dyskretny trybem będzie tryb o najwyższej częstotliwości. Aby zdefiniować modę serie interwałowe najpierw określ przedział modalny (przedział o najwyższej częstotliwości). Następnie w obrębie tego przedziału znajduje się wartość cechy, którą może być mod.

Aby znaleźć określoną wartość modu szeregu interwałowego, należy skorzystać ze wzoru (3.2)

(3.2)

gdzie X Mo jest dolną granicą przedziału modalnego; i Mo - wartość przedziału modalnego; f Mo jest częstotliwością przedziału modalnego; f Mo-1 – częstotliwość interwału poprzedzającego modal; f Mo+1 - częstotliwość przedziału następującego po modalu.

Moda jest szeroko stosowana w działaniach marketingowych w badaniu popytu konsumpcyjnego, zwłaszcza w określaniu rozmiarów odzieży i obuwia, na które jest największy popyt, przy jednoczesnym regulowaniu polityki cenowej.

Mediana - wartość atrybutu zmiennej, mieszcząca się w środku populacji zasięgowej. Do szeregi rankingowe z liczbą nieparzystą poszczególne wartości (np. 1, 2, 3, 6, 7, 9, 10) medianą będzie wartość, która znajduje się w środku szeregu, tj. czwarta wartość to 6. For szeregi rankingowe z liczbą parzystą dla poszczególnych wartości (na przykład 1, 5, 7, 10, 11, 14) medianą będzie średnia arytmetyczna, która jest obliczana z dwóch sąsiednich wartości. W naszym przypadku mediana wynosi (7+10)/2=8,5.

Aby więc znaleźć medianę, należy najpierw wyznaczyć jej liczbę porządkową (jej pozycję w szeregach rankingowych) za pomocą wzorów (3.3):

(jeśli nie ma częstotliwości)

N ja =
(jeśli są częstotliwości) (3.3)

gdzie n to liczba jednostek w populacji.

Wartość liczbowa mediany serie interwałowe określone przez skumulowane częstotliwości w dyskretnych szeregach wariacyjnych. Aby to zrobić, musisz najpierw określić przedział do znalezienia mediany w serii przedziałów rozkładu. Mediana to pierwszy przedział, w którym suma skumulowanych częstości przekracza połowę całkowitej liczby obserwacji.

Wartość liczbowa mediany jest zwykle określana za pomocą wzoru (3.4)

(3.4)

gdzie x Me - dolna granica przedziału mediany; iMe - wartość interwału; SMe -1 - skumulowana częstość przedziału poprzedzającego medianę; fMe to częstotliwość mediany przedziału.

W znalezionym przedziale mediana jest również obliczana za pomocą wzoru Me = xl e, gdzie drugi czynnik po prawej stronie równania pokazuje położenie mediany w przedziale mediany, a x to długość tego przedziału. Mediana dzieli serię zmian na pół według częstotliwości. Zdefiniuj więcej kwartyle , które dzielą serię wariacji na 4 części o równej wielkości pod względem prawdopodobieństwa, oraz decyle dzieląc szereg na 10 równych części.

Najbardziej rozpowszechnioną formą wskaźników statystycznych stosowanych w badaniach społeczno-ekonomicznych jest wartość średnia, która jest uogólnioną cechą ilościową znaku populacji statystycznej. Średnie wartości są niejako „przedstawicielami” całej serii obserwacji. W wielu przypadkach średnią można określić za pomocą początkowego stosunku średniej (ISS) lub jej wzoru logicznego: . Na przykład, aby obliczyć średnie wynagrodzenie pracowników przedsiębiorstwa, konieczne jest podzielenie całkowitego funduszu płac przez liczbę pracowników: Licznik początkowego stosunku średniej jest jej wskaźnikiem definiującym. W przypadku przeciętnego wynagrodzenia takim determinującym wskaźnikiem jest fundusz płac. Dla każdego wskaźnika użytego w analizie społeczno-ekonomicznej można zestawić tylko jeden prawdziwy wskaźnik referencyjny do obliczenia średniej. Należy również dodać, że w celu dokładniejszego oszacowania odchylenia standardowego dla małych próbek (o liczbie elementów mniejszej niż 30) w mianowniku wyrażenia pod pierwiastkiem nie należy stosować n, a n- 1.

Pojęcie i rodzaje średnich

Średnia wartość- jest to uogólniający wskaźnik populacji statystycznej, który wygasza indywidualne różnice w wartościach wielkości statystycznych, co pozwala porównywać ze sobą różne populacje. Istnieć 2 klasy wartości średnie: mocowe i strukturalne. Średnie strukturalne są moda oraz mediana , ale najczęściej używany średnie mocy różne rodzaje.

Średnie moce

Średnie mocy mogą być prosty oraz ważony.

Prosta średnia jest obliczana, gdy istnieją dwie lub więcej niezgrupowanych wartości statystycznych, ułożonych w dowolnej kolejności zgodnie z następującym ogólnym wzorem średniego prawa potęgowego (dla różnych wartości k (m)):

Średnia ważona jest obliczana na podstawie zgrupowanych statystyk przy użyciu następującego ogólnego wzoru:

gdzie x - średnia wartość badanego zjawiska; x i – i-ty wariant uśrednionej cechy;

f i jest wagą i-tej opcji.

gdzie X to wartości poszczególnych wartości statystycznych lub punkty środkowe przedziałów grupowania;
m - wykładnik, od którego wartości zależą następujące rodzaje średnich mocy:
przy m = -1 średnia harmoniczna;
dla m = 0 średnia geometryczna;
dla m = 1 średnia arytmetyczna;
przy m = 2, pierwiastek średni kwadratowy;
przy m = 3, średnia sześcienna.

Korzystając z ogólnych wzorów na średnie proste i ważone przy różnych wykładnikach m, otrzymujemy poszczególne wzory każdego typu, które zostaną szczegółowo omówione poniżej.

Średnia arytmetyczna

Średnia arytmetyczna - początkowy moment pierwszego rzędu, matematyczne oczekiwanie wartości zmiennej losowej z dużą liczbą prób;

Średnia arytmetyczna jest najczęściej używaną wartością średnią, którą otrzymuje się przez podstawienie m = 1 do ogólnego wzoru. Średnia arytmetyczna prosty ma następującą postać:

lub

Gdzie X to wartości ilości, dla których konieczne jest obliczenie wartości średniej; N to całkowita liczba wartości X (liczba jednostek w badanej populacji).

Na przykład student zdał 4 egzaminy i otrzymał następujące oceny: 3, 4, 4 i 5. Obliczmy średni wynik za pomocą prostego wzoru na średnią arytmetyczną: (3+4+4+5)/4 = 16/4 = 4.Średnia arytmetyczna ważony ma następującą postać:

Gdzie f to liczba wartości o tej samej wartości X (częstotliwość). >Na przykład student zdał 4 egzaminy i otrzymał następujące oceny: 3, 4, 4 i 5. Oblicz średni wynik, korzystając ze wzoru na średnią ważoną arytmetyczną: (3*1 + 4*2 + 5*1)/4 = 16/4 = 4 . Jeżeli wartości X są podane jako przedziały, to do obliczeń wykorzystywane są punkty środkowe przedziałów X, które określa się jako połowę sumy górnej i dolnej granicy przedziału. A jeśli przedział X nie ma dolnej ani górnej granicy (przedział otwarty), to aby go znaleźć, używany jest zakres (różnica między górną i dolną granicą) sąsiedniego przedziału X. Na przykład w przedsiębiorstwie jest 10 pracowników ze stażem pracy do 3 lat, 20 - ze stażem pracy od 3 do 5 lat, 5 pracowników - ze stażem pracy powyżej 5 lat. Następnie średni staż pracy pracowników obliczamy za pomocą wzoru na średnią ważoną arytmetyczną, przyjmując jako X środek długości stażu pracy (2, 4 i 6 lat): (2*10+4*20+6*5)/(10+20+5) = 3,71 roku.

ŚREDNIA funkcja

Ta funkcja oblicza średnią (arytmetyczną) swoich argumentów.

ŚREDNIA(liczba1, liczba2, ...)

Liczba1, liczba2, ... to od 1 do 30 argumentów, dla których obliczana jest średnia.

Argumenty muszą być liczbami lub nazwami, tablicami lub odwołaniami zawierającymi liczby. Jeśli argument, który jest tablicą lub łączem, zawiera teksty, booleany lub puste komórki, to wartości te są ignorowane; jednak zliczane są komórki zawierające wartości null.

ŚREDNIA funkcja

Oblicza średnią arytmetyczną wartości podanych na liście argumentów. Oprócz liczb w obliczeniach mogą brać udział wartości tekstowe i logiczne, takie jak PRAWDA i FAŁSZ.

ŚREDNIA(wartość1; wartość2;...)

Wartość1, wartość2,... to od 1 do 30 komórek, zakresów komórek lub wartości, dla których obliczana jest średnia.

Argumenty muszą być liczbami, nazwami, tablicami lub odwołaniami. Tablice i łącza zawierające tekst są interpretowane jako 0 (zero). Pusty tekst („”) jest interpretowany jako 0 (zero). Argumenty zawierające wartość PRAWDA są interpretowane jako 1, Argumenty zawierające wartość FAŁSZ są interpretowane jako 0 (zero).

Najczęściej używana jest średnia arytmetyczna, ale czasami potrzebne są inne rodzaje średnich. Rozważmy takie przypadki dalej.

Średnia harmoniczna

Średnia harmoniczna do wyznaczania średniej sumy odwrotności;

Średnia harmoniczna stosuje się, gdy oryginalne dane nie zawierają częstości f dla poszczególnych wartości X, ale są prezentowane jako ich iloczyn Xf. Oznaczając Xf=w, wyrażamy f=w/X i podstawiając te oznaczenia do wzoru na ważoną średnią arytmetyczną, otrzymujemy wzór na ważoną średnią harmoniczną:

Zatem średnia ważona harmoniczna jest używana, gdy częstotliwości f są nieznane, ale znane jest w=Xf. W przypadkach, gdy wszystkie w=1, czyli poszczególne wartości X występują 1 raz, stosuje się harmoniczną prostą średnią formułę: lub Na przykład samochód jechał z punktu A do punktu B z prędkością 90 km/h iz powrotem z prędkością 110 km/h. Aby określić średnią prędkość, stosujemy prosty wzór harmoniczny, ponieważ przykład podaje odległość w 1 \u003d w 2 (odległość od punktu A do punktu B jest taka sama jak od B do A), która jest równa iloczynowi prędkości (X) i czasu (f). Średnia prędkość = (1+1)/(1/90+1/110) = 99 km/h.

Funkcja SRHARM

Zwraca średnią harmoniczną zbioru danych. Średnia harmoniczna jest odwrotnością średniej arytmetycznej odwrotności.

SGARM(liczba1; liczba2; ...)

Liczba1, liczba2, ... to od 1 do 30 argumentów, dla których obliczana jest średnia. Zamiast argumentów oddzielonych średnikami można użyć tablicy lub odwołania do tablicy.

Średnia harmoniczna jest zawsze mniejsza niż średnia geometryczna, która jest zawsze mniejsza niż średnia arytmetyczna.

Średnia geometryczna

Średnia geometryczna do szacowania średniego tempa wzrostu zmiennych losowych, znajdowania wartości cechy równoodległej od wartości minimalnej i maksymalnej;

Średnia geometryczna używany do określania średnich względnych zmian. Wartość średniej geometrycznej daje najdokładniejszy wynik uśrednienia, jeśli zadaniem jest znalezienie takiej wartości X, która byłaby w równej odległości zarówno od maksymalnej, jak i minimalnej wartości X. Na przykład w latach 2005-2008wskaźnik inflacji w Rosji było: w 2005 r. – 1,109; w 2006 r. - 1090; w 2007 r. - 1119; w 2008 roku - 1133. Ponieważ wskaźnik inflacji jest zmianą względną (indeks dynamiczny), należy obliczyć średnią wartość za pomocą średniej geometrycznej: (1,109 * 1,090 * 1,119 * 1,133) ^ (1/4) = 1,1126, czyli dla okresu od 2005 do 2008 roku ceny rosły średnio o 11,26%. Błędne obliczenie średniej arytmetycznej dałoby błędny wynik 11,28%.

Funkcja SRGEOM

Zwraca średnią geometryczną tablicy lub zakresu liczb dodatnich. Na przykład funkcji CAGEOM można użyć do obliczenia średniej stopy wzrostu, jeśli podano dochód składany ze zmiennymi stopami.

SRGEOM(liczba1; liczba2; ...)

Liczba1, liczba2, ... to od 1 do 30 argumentów, dla których obliczana jest średnia geometryczna. Zamiast argumentów oddzielonych średnikami można użyć tablicy lub odwołania do tablicy.

średnia kwadratowa

Średnia kwadratowa to moment początkowy drugiego rzędu.

średnia kwadratowa jest używany, gdy początkowe wartości X mogą być zarówno dodatnie, jak i ujemne, na przykład podczas obliczania średnich odchyleń. Głównym zastosowaniem średniej kwadratowej jest pomiar zmienności wartości X.

Średni sześcienny

Średni sześcienny to początkowy moment trzeciego rzędu.

Średni sześcienny jest używany niezwykle rzadko, np. przy obliczaniu wskaźników ubóstwa dla krajów rozwijających się (HPI-1) i dla krajów rozwiniętych (HPI-2), proponowanych i obliczanych przez ONZ.

W trakcie studiowania matematyki studenci zapoznają się z pojęciem średniej arytmetycznej. W przyszłości w statystyce i niektórych innych naukach uczniowie stają przed obliczeniem innych, czym mogą być i czym się od siebie różnią?

znaczenie i różnica

Nie zawsze dokładne wskaźniki dają zrozumienie sytuacji. Aby ocenić tę lub inną sytuację, czasami konieczne jest przeanalizowanie ogromnej liczby liczb. Wtedy na ratunek przychodzą średnie. Pozwalają one na ogólną ocenę sytuacji.

Od czasów szkolnych wielu dorosłych pamięta o istnieniu średniej arytmetycznej. Obliczenie jest bardzo proste - suma ciągu n wyrazów jest podzielna przez n. Oznacza to, że jeśli chcesz obliczyć średnią arytmetyczną w sekwencji wartości 27, 22, 34 i 37, musisz rozwiązać wyrażenie (27 + 22 + 34 + 37) / 4, ponieważ 4 wartości \u200b\u200bsą używane w obliczeniach. W takim przypadku pożądana wartość będzie równa 30.

Często w ramach kursu szkolnego badana jest również średnia geometryczna. Obliczenie tej wartości opiera się na wyodrębnieniu pierwiastka n-tego stopnia z iloczynu n wyrazów. Jeśli weźmiemy te same liczby: 27, 22, 34 i 37, wynik obliczeń wyniesie 29,4.

Średnia harmoniczna w szkole ogólnokształcącej zazwyczaj nie jest przedmiotem badań. Jednak jest używany dość często. Ta wartość jest odwrotnością średniej arytmetycznej i jest obliczana jako iloraz n - liczby wartości i sumy 1/a 1 +1/a 2 +...+1/a n . Jeśli ponownie weźmiemy to samo do obliczeń, harmoniczna wyniesie 29,6.

Średnia ważona: funkcje

Jednak nie wszystkie z powyższych wartości mogą być stosowane wszędzie. Na przykład w statystyce przy obliczaniu niektórych ważną rolę odgrywa „waga” każdej liczby użytej w obliczeniach. Wyniki są bardziej odkrywcze i poprawne, ponieważ uwzględniają więcej informacji. Ta grupa wartości jest zbiorczo określana jako „średnia ważona”. Nie są one przekazywane w szkole, dlatego warto zastanowić się nad nimi bardziej szczegółowo.

Przede wszystkim warto wyjaśnić, co oznacza „waga” określonej wartości. Najłatwiej wyjaśnić to na konkretnym przykładzie. Temperatura ciała każdego pacjenta jest mierzona dwa razy dziennie w szpitalu. Spośród 100 pacjentów na różnych oddziałach szpitala 44 będzie miało normalną temperaturę - 36,6 stopnia. Kolejne 30 będzie miało podwyższoną wartość - 37,2, 14 - 38, 7 - 38,5, 3 - 39, a pozostałe dwie - 40. A jeśli weźmiemy średnią arytmetyczną, to ta wartość ogólnie dla szpitala wyniesie ponad 38 stopni ! Ale prawie połowa pacjentów ma absolutnie I tutaj bardziej poprawne byłoby użycie średniej ważonej, a „wagą” każdej wartości będzie liczba osób. W takim przypadku wynik obliczeń wyniesie 37,25 stopnia. Różnica jest oczywista.

W przypadku wyliczeń średniej ważonej za „wagę” można przyjąć liczbę przesyłek, liczbę osób pracujących w danym dniu, ogólnie wszystko, co da się zmierzyć i wpłynąć na końcowy wynik.

Odmiany

Średnia ważona odpowiada średniej arytmetycznej omówionej na początku artykułu. Jednak pierwsza wartość, jak już wspomniano, uwzględnia również wagę każdej liczby użytej w obliczeniach. Ponadto istnieją również ważone wartości geometryczne i harmoniczne.

Istnieje jeszcze jedna ciekawa odmiana stosowana w szeregach liczb. Jest to ważona średnia krocząca. Na jego podstawie obliczane są trendy. Poza samymi wartościami i ich wagą stosuje się tam również okresowość. A przy obliczaniu średniej wartości w pewnym momencie brane są pod uwagę również wartości z poprzednich okresów.

Obliczenie wszystkich tych wartości nie jest takie trudne, ale w praktyce zwykle stosuje się tylko zwykłą średnią ważoną.

Metody obliczeniowe

W dobie komputeryzacji nie ma potrzeby ręcznego obliczania średniej ważonej. Przydatna byłaby jednak znajomość wzoru obliczeniowego, aby można było sprawdzić iw razie potrzeby skorygować uzyskane wyniki.

Najłatwiej będzie rozważyć obliczenie na konkretnym przykładzie.

Konieczne jest ustalenie, jaka jest średnia płaca w tym przedsiębiorstwie, biorąc pod uwagę liczbę pracowników otrzymujących określone wynagrodzenie.

Tak więc obliczenie średniej ważonej przeprowadza się przy użyciu następującego wzoru:

x = (a 1 *w 1 + za 2 *w 2 +...+a n *w n)/(w 1 +w 2 +...+w n)

Na przykład obliczenie wyglądałoby następująco:

x = (32*20+33*35+34*14+40*6)/(20+35+14+6) = (640+1155+476+240)/75 = 33,48

Oczywiście nie ma szczególnych trudności w ręcznym obliczeniu średniej ważonej. Wzór na obliczenie tej wartości w jednej z najpopularniejszych aplikacji z formułami - Excelu - wygląda jak funkcja SUMPRODUCT (ciąg liczb; ciąg wag) / SUMA (ciąg wag).

Wartość średnia jest wskaźnikiem uogólniającym, charakteryzującym typowy poziom zjawiska. Wyraża wartość atrybutu, odniesioną do jednostki populacji.

Średnia wartość to:

1) najbardziej typowa wartość atrybutu dla populacji;

2) wielkość znaku populacji, równomiernie rozłożona na jednostki populacji.

Cecha, dla której obliczana jest wartość średnia, nazywana jest w statystyce „uśrednioną”.

Średnia zawsze uogólnia ilościową zmienność cechy, tj. w wartościach średnich znoszą się różnice indywidualne w jednostkach populacji spowodowane okolicznościami losowymi. W przeciwieństwie do średniej wartość bezwzględna charakteryzująca poziom cechy pojedynczej jednostki populacji nie pozwala na porównanie wartości cechy dla jednostek należących do różnych populacji. Jeśli więc trzeba porównać poziomy wynagrodzeń pracowników w dwóch przedsiębiorstwach, to nie można na tej podstawie porównywać dwóch pracowników różnych przedsiębiorstw. Zarobki wybranych do porównania pracowników mogą nie być typowe dla tych przedsiębiorstw. Jeśli porównamy wielkość funduszy płac w rozpatrywanych przedsiębiorstwach, to nie uwzględnimy liczby zatrudnionych, a zatem nie da się określić, gdzie poziom płac jest wyższy. Ostatecznie można porównywać tylko średnie, tj. Ile średnio zarabia jeden pracownik w każdej firmie? Istnieje zatem potrzeba obliczenia wartości średniej jako cechy uogólniającej populację.

Należy zauważyć, że w procesie uśredniania sumaryczna wartość poziomów atrybutu lub jego wartość końcowa (w przypadku obliczania poziomów średnich w szeregach czasowych) musi pozostać niezmieniona. Innymi słowy, przy obliczaniu wartości średniej objętość badanej cechy nie powinna być zniekształcona, a wyrażenia dokonywane przy obliczaniu średniej muszą koniecznie mieć sens.

Obliczanie średniej jest jedną z powszechnych technik uogólniania; wskaźnik przeciętny zaprzecza ogólności, która jest typowa dla wszystkich jednostek badanej populacji, jednocześnie pomija różnice między poszczególnymi jednostkami. W każdym zjawisku i jego rozwoju jest połączenie przypadku i konieczności. Przy obliczaniu średnich, ze względu na działanie prawa wielkich liczb, przypadkowość znosi się, równoważy, dlatego możliwe jest abstrahowanie od nieistotnych cech zjawiska, od ilościowych wartości atrybutu w każdym konkretnym walizka. W umiejętności abstrahowania od przypadkowości poszczególnych wartości, fluktuacji, leży naukowa wartość średnich jako uogólniających cech agregatów.

Aby średnia była prawdziwie typowa, musi być obliczana z uwzględnieniem pewnych zasad.

Zastanówmy się nad kilkoma ogólnymi zasadami stosowania średnich.

1. Średnią należy wyznaczyć dla populacji składających się z jednostek jakościowo jednorodnych.

2. Średnią należy obliczyć dla populacji składającej się z odpowiednio dużej liczby jednostek.

3. Średnią należy obliczyć dla populacji, której jednostki znajdują się w stanie normalnym, naturalnym.

4. Średnią należy obliczyć z uwzględnieniem treści ekonomicznej badanego wskaźnika.

5.2. Rodzaje średnich i metody ich obliczania

Rozważmy teraz rodzaje średnich, cechy ich obliczania i obszary zastosowania. Średnie wartości są podzielone na dwie duże klasy: średnie mocy, średnie strukturalne.

Średnie potęgowe obejmują najbardziej znane i najczęściej używane typy, takie jak średnia geometryczna, średnia arytmetyczna i średnia kwadratowa.

Tryb i medianę uważa się za średnie strukturalne.

Zatrzymajmy się na średnich mocy. Średnie mocy, w zależności od prezentacji danych początkowych, mogą być proste i ważone. prosta średnia jest obliczany z danych niezgrupowanych i ma następującą ogólną postać:

,

gdzie X i jest wariantem (wartością) cechy uśrednionej;

n to liczba opcji.

Średnia ważona jest obliczany na podstawie zgrupowanych danych i ma postać ogólną

,

gdzie X i jest wariantem (wartością) uśrednionej cechy lub wartością środkową przedziału, w którym mierzony jest wariant;

m jest wykładnikiem średniej;

f i - częstość pokazująca, ile razy występuje wartość i-e cechy uśrednionej.

Jeśli obliczymy wszystkie rodzaje średnich dla tych samych danych początkowych, to ich wartości nie będą takie same. Obowiązuje tutaj zasada przewagi średnich: wraz ze wzrostem wykładnika m rośnie również odpowiednia wartość średnia:

W praktyce statystycznej częściej niż inne rodzaje średnich ważonych stosuje się średnie ważone arytmetyczne i harmoniczne.

Rodzaje środków władzy

Rodzaj mocy środek	Indeks stopnie (m)	Wzór obliczeniowy
		Prosty	ważony
harmoniczny
Geometryczny
Arytmetyka
kwadratowy
sześcienny

Średnia harmoniczna ma bardziej złożoną strukturę niż średnia arytmetyczna. Średnia harmoniczna jest używana do obliczeń, gdy wagami nie są jednostki populacji – nośniki cechy, ale iloczyny tych jednostek i wartości cechy (tj. m = Xf). Średni czas przestoju harmonicznego należy stosować w przypadkach określania np. średnich kosztów robocizny, czasu, materiałów na jednostkę produkcji, na część dla dwóch (trzech, czterech itd.) przedsiębiorstw, pracowników zaangażowanych w wytwarzanie ten sam typ produktu, ta sama część, produkt.

Głównym wymaganiem formuły do ​​obliczania wartości średniej jest to, aby wszystkie etapy obliczeń miały rzeczywiste sensowne uzasadnienie; wynikowa wartość średnia powinna zastąpić poszczególne wartości atrybutu dla każdego obiektu bez zrywania powiązania między wskaźnikami indywidualnymi i sumarycznymi. Innymi słowy, wartość średnią należy obliczyć w taki sposób, aby po zastąpieniu każdej indywidualnej wartości uśrednionego wskaźnika jej wartością średnią jakiś końcowy wskaźnik podsumowujący, powiązany w taki czy inny sposób z uśrednionym, pozostał niezmieniony. Ten wynik nazywa się określający ponieważ charakter jego relacji z poszczególnymi wartościami determinuje konkretny wzór na obliczenie wartości średniej. Pokażmy tę regułę na przykładzie średniej geometrycznej.

Wzór na średnią geometryczną

najczęściej używany przy obliczaniu średniej wartości poszczególnych względnych wartości dynamiki.

Średnią geometryczną stosuje się, gdy podany jest ciąg względnych wartości dynamiki łańcucha, wskazujący np. wzrost produkcji w stosunku do poziomu z roku poprzedniego: i 1 , i 2 , i 3 ,…, i n . Oczywiście o wielkości produkcji w ostatnim roku decyduje jej początkowy poziom (q 0) i późniejszy wzrost na przestrzeni lat:

q n = q 0 × ja 1 × ja 2 ×…×i n .

Przyjmując q n jako wskaźnik definiujący i zastępując poszczególne wartości wskaźników dynamiki średnimi, dochodzimy do zależności

Stąd

Specjalny typ wartości średnich – średnie strukturalne – służy do badania wewnętrznej struktury szeregu rozkładów wartości atrybutów, a także do szacowania wartości średniej (typu potęgowego), jeżeli według dostępnych danych statystycznych nie można wykonać jego obliczenia (na przykład, jeśli w rozpatrywanym przykładzie nie było danych) oraz od wielkości produkcji i wysokości kosztów według grup przedsiębiorstw).

Wskaźniki są najczęściej używane jako średnie strukturalne. moda - najczęściej powtarzająca się wartość cechy - i mediana - wartość cechy, która dzieli uporządkowaną sekwencję jej wartości na dwie części o równej liczbie. W rezultacie w jednej połowie jednostek populacji wartość atrybutu nie przekracza poziomu mediany, aw drugiej połowie nie jest od niej mniejsza.

Jeśli badana cecha ma wartości dyskretne, to nie ma szczególnych trudności w obliczeniu trybu i mediany. Jeśli dane o wartościach atrybutu X zostaną przedstawione w postaci uporządkowanych przedziałów jego zmian (szeregów przedziałowych), obliczenie trybu i mediany staje się nieco bardziej skomplikowane. Ponieważ wartość mediany dzieli całą populację na dwie części o równej liczbie, kończy się w jednym z przedziałów cechy X. Korzystając z interpolacji, wartość mediany znajduje się w tym przedziale mediany:

,

gdzie X Me jest dolną granicą przedziału mediany;

h Me jest jego wartością;

(Suma m) / 2 - połowa ogólnej liczby obserwacji lub połowa wielkości wskaźnika, który jest używany jako waga we wzorach do obliczania wartości średniej (w wartościach bezwzględnych lub względnych);

S Me-1 to suma obserwacji (lub objętość cechy ważenia) zgromadzonych przed początkiem przedziału mediany;

m Me to liczba obserwacji lub wielkość cechy ważenia w przedziale mediany (również w wartościach bezwzględnych lub względnych).

Obliczając wartość modalną cechy na podstawie danych serii przedziałów, należy zwrócić uwagę na fakt, że przedziały są takie same, ponieważ od tego zależy wskaźnik częstotliwości wartości cech X. Dla szereg interwałów z równymi odstępami, wartość trybu jest określana jako

,

gdzie X Mo jest dolną wartością przedziału modalnego;

m Mo to liczba obserwacji lub objętość cechy ważenia w przedziale modalnym (w wartościach bezwzględnych lub względnych);

m Mo-1 - to samo dla przedziału poprzedzającego modal;

m Mo+1 – to samo dla przedziału następującego po modalu;

h jest wartością przedziału zmian cechy w grupach.

ZADANIE 1

Dla grupy przedsiębiorstw przemysłowych za rok sprawozdawczy dostępne są następujące dane

№ przedsiębiorstwa	Wielkość produkcji, miliony rubli		Przeciętna liczba pracowników, os.	Zysk, tysiąc rubli
	197,7	10,0		13,5
		22,8	1500	136,2
	465,5	18,4	1412	97,6
	296,2	12,6	1200	44,4
	584,1	22,0	1485	146,0
	480,0	119,0	1420	110,4
	57805	21,6	1390	138,7
	204,7			30,6
	466,8	19,4	1375	111,8
	292,2	113,6	1200	49,6
	423,1	17,6	1365	105,8
	192,6			30,7
	360,5	14,0	1290	64,8
	280,3	10,2		33,3

Wymagane jest wykonanie grupowania przedsiębiorstw w celu wymiany produktów, w następujących odstępach czasowych:

do 200 milionów rubli


od 200 do 400 milionów rubli


1. od 400 do 600 milionów rubli
   

   Dla każdej grupy i dla wszystkich razem określ liczbę przedsiębiorstw, wielkość produkcji, średnią liczbę pracowników, średnią produkcję na pracownika. Wyniki grupowania należy przedstawić w formie tabeli statystycznej. Sformułuj wniosek.
   

   DECYZJA
   

   Zróbmy grupowanie przedsiębiorstw w celu wymiany produktów, obliczanie liczby przedsiębiorstw, wielkości produkcji, średniej liczby pracowników zgodnie ze wzorem prostej średniej. Wyniki grupowania i obliczeń zestawiono w tabeli.
   

   Grupy według wielkości produkcji	№ przedsiębiorstwa	Wielkość produkcji, miliony rubli	Średni roczny koszt środków trwałych, mln rubli	średni sen soczysta liczba pracowników, os.	Zysk, tysiąc rubli	Średnia produkcja na pracownika
   1 grupa do 200 milionów rubli	1,8,12	197,7 204,7 192,6	10,0 9,4 8,8	900 817	13,5 30,6 30,7
   			28,2	2567	74,8	0,23
   Średni poziom		198,3			24,9
   2 grupa od 200 do 400 milionów rubli	4,10,13,14	196,2 292,2 360,5 280,3	12,6 113,6 14,0 10,2	1200 1200 1290	44,4 49,6 64,8 33,3
   		1129,2	150,4	4590	192,1	0,25
   Średni poziom		282,3	37,6	1530	64,0
   3 grupy od 400 do 600 milionów	2,3,5,6,7,9,11	592 465,5 584,1 480,0 578,5 466,8 423,1	22,8 18,4 22,0 119,0 21,6 19,4 17,6	1500 1412 1485 1420 1390 1375 1365	136,2 97,6 146,0 110,4 138,7 111,8 105,8
   		3590	240,8	9974	846,5	0,36
   Średni poziom		512,9	34,4	1421	120,9
   Łącznie łącznie		5314,2	419,4	17131	1113,4	0,31
   Średnia zbiorcza		379,6	59,9	1223,6	79,5

   Wynik. Tym samym w rozpatrywanym agregacie najwięcej przedsiębiorstw pod względem wielkości produkcji znalazło się w grupie trzeciej – siedem, czyli połowa przedsiębiorstw. W grupie tej znajduje się również wartość średniorocznej wartości majątku trwałego oraz duża wartość przeciętnej liczby pracujących – 9974 osób, najmniej rentowne są przedsiębiorstwa z pierwszej grupy.
   

   ZADANIE 2
   

   Posiadamy następujące dane dotyczące przedsiębiorstw firmy
   

   Numer przedsiębiorstwa należącego do firmy	I kwartał		II kwartał
   	Produkcja, tysiące rubli		Przepracowane przez roboczodni	Średnia produkcja na pracownika dziennie, rub.
   	59390,13