Jak znaleźć średnią szeregu liczb. Metoda średnich, teoria

Średnia wartość- jest to uogólniający wskaźnik, który charakteryzuje jakościowo jednorodną populację według pewnego atrybutu ilościowego. Na przykład średni wiek osób skazanych za kradzież.

W statystyce sądowej średnie stosuje się do scharakteryzowania:

Średnie terminy rozpatrywania spraw tej kategorii;

Roszczenie średniej wielkości;

Średnia liczba oskarżonych na sprawę;

Średnia ilość obrażeń;

Średnie obciążenie pracą sędziów itp.

Wartość średnia jest zawsze nazwana i ma taki sam wymiar jak atrybut odrębnej jednostki populacji. Każda wartość średnia charakteryzuje badaną populację według dowolnego zmiennego atrybutu, dlatego za każdą średnią kryje się szereg rozkładów jednostek tej populacji według badanego atrybutu. O wyborze rodzaju średniej decyduje zawartość wskaźnika oraz dane wyjściowe do obliczenia średniej.

Wszystkie rodzaje średnich stosowanych w badaniach statystycznych dzielą się na dwie kategorie:

1) średnie mocy;

2) średnie strukturalne.

Pierwsza kategoria średnich obejmuje: średnia arytmetyczna, średnia harmoniczna, średnia geometryczna oraz średnia kwadratowa . Druga kategoria to moda oraz mediana. Ponadto każdy z wymienionych typów średnich mocy może mieć dwie formy: prosty oraz ważony . Prosta postać średniej służy do uzyskania średniej badanej cechy, gdy obliczenia opierają się na statystykach niegrupowanych lub gdy każdy wariant występuje tylko raz w populacji. Średnie ważone nazywane są wartościami, które uwzględniają, że opcje dla wartości cechy mogą mieć różne liczby, a zatem każdą opcję należy pomnożyć przez odpowiednią częstotliwość. Innymi słowy, każda opcja jest „ważona” przez jej częstotliwość. Częstotliwość nazywana jest wagą statystyczną.

prosta średnia arytmetyczna- najczęściej spotykany typ nośnika. Jest równa sumie poszczególnych wartości charakterystycznych podzielonej przez całkowitą liczbę tych wartości:

gdzie x 1 ,x 2 , … ,x N- poszczególne wartości atrybutu zmiennej (opcje), a N - liczba jednostek populacji.

Średnia arytmetyczna ważona stosowane, gdy dane są prezentowane w postaci szeregów lub grup rozkładów. Oblicza się go jako sumę iloczynów opcji i odpowiadających im częstości, podzieloną przez sumę częstości wszystkich opcji:

gdzie x ja- oznaczający ja-te warianty cechy; fi- częstotliwość ja te opcje.

Zatem każda wartość wariantu jest ważona przez jego częstotliwość, dlatego częstości są czasami nazywane wagami statystycznymi.

Komentarz. Jeżeli chodzi o średnią arytmetyczną bez określenia jej rodzaju, to chodzi o prostą średnią arytmetyczną.

Tabela 12

Decyzja. Do obliczeń używamy wzoru na średnią arytmetyczną ważoną:

Tak więc średnio na sprawę karną przypada dwóch oskarżonych.

Jeżeli obliczenie wartości średniej odbywa się według danych pogrupowanych w postaci szeregów rozkładu przedziałów, to najpierw należy wyznaczyć wartości mediany każdego przedziału x"i, następnie obliczyć wartość średnią za pomocą ważonej formuła średniej arytmetycznej, w której x" i jest podstawione zamiast x i.

Przykład. Dane dotyczące wieku przestępców skazanych za kradzież przedstawiono w tabeli:

Tabela 13

Określ średni wiek przestępców skazanych za kradzież.

Decyzja. Aby określić średni wiek przestępców na podstawie serii zmienności przedziałów, należy najpierw znaleźć mediany wartości przedziałów. Ponieważ podany jest szereg przedziałów z otwartymi pierwszymi i ostatnimi przedziałami, wartości tych przedziałów są równe wartościom sąsiednich zamkniętych przedziałów. W naszym przypadku wartość pierwszego i ostatniego przedziału wynosi 10.

Teraz obliczamy średni wiek przestępców za pomocą wzoru na ważoną średnią arytmetyczną:

Tym samym średni wiek sprawców skazanych za kradzież wynosi około 27 lat.

Średnia harmoniczna prosta jest odwrotnością średniej arytmetycznej odwrotności wartości atrybutu:

gdzie 1/ x ja to odwrotności opcji, a N to liczba jednostek populacji.

Przykład. W celu określenia przeciętnego rocznego obciążenia pracą sędziów sądu rejonowego przy rozpatrywaniu spraw karnych przeprowadzono badanie ankietowe dotyczące obciążenia pracą 5 sędziów tego sądu. Średni czas poświęcony jednej sprawie karnej przez każdego z badanych sędziów okazał się równy (w dniach): 6, 0, 5, 6, 6, 3, 4, 9, 5, 4. Znajdź średnie koszty jednej sprawy karnej oraz średniego rocznego obciążenia pracą sędziów tego sądu rejonowego przy rozpatrywaniu spraw karnych.

Decyzja. Aby określić średni czas spędzony na jednej sprawie karnej, używamy prostego wzoru harmonicznego:

Aby uprościć obliczenia w przykładzie, przyjmijmy liczbę dni w roku równą 365, w tym weekendy (nie ma to wpływu na metodę obliczania, a przy obliczaniu podobnego wskaźnika w praktyce konieczne jest zastąpienie liczby dni roboczych dni w danym roku zamiast 365 dni). Wówczas średni roczny nakład pracy sędziów tego sądu rejonowego przy rozpatrywaniu spraw karnych wyniesie: 365 (dni): 5,56 ≈ 65,6 (spraw).

Gdybyśmy zastosowali prosty wzór na średnią arytmetyczną do określenia średniego czasu spędzonego na jednej sprawie karnej, otrzymalibyśmy:

365 (dni): 5,64 ≈ 64,7 (przypadków), tj. średnie obciążenie pracą sędziów było mniejsze.

Sprawdźmy zasadność tego podejścia. W tym celu wykorzystujemy dane dotyczące czasu spędzonego na jednej sprawie karnej przez każdego sędziego i obliczamy liczbę spraw karnych rozpatrywanych przez każdego z nich w ciągu roku.

Dostajemy odpowiednio:

365 (dni) : 6 ≈ 61 (przypadek), 365 (dni) : 5,6 ≈ 65,2 (przypadek), 365 (dni) : 6,3 ≈ 58 (przypadek),

365 (dni) : 4,9 ≈ 74,5 (przypadki), 365 (dni) : 5,4 ≈ 68 (przypadki).

Teraz obliczamy średni roczny nakład pracy sędziów tego sądu rejonowego przy rozpatrywaniu spraw karnych:

Tych. średnie roczne obciążenie jest takie samo, jak przy użyciu średniej harmonicznej.

Zatem użycie średniej arytmetycznej w tym przypadku jest nielegalne.

W przypadkach, gdy znane są warianty cechy, ich wartości objętościowe (iloczyn wariantów przez częstotliwość), ale same częstotliwości są nieznane, stosuje się wzór średniej ważonej harmonicznej:

,

gdzie x ja są wartościami opcji cech, a w i są wartościami wolumetrycznymi opcji ( w ja = x ja fa ja).

Przykład. Dane o cenie jednostki tego samego rodzaju wyrobów produkowanych przez różne instytucje systemu penitencjarnego oraz o wielkości jej realizacji zawiera tabela 14.

Tabela 14

Znajdź średnią cenę sprzedaży produktu.

Decyzja. Przy obliczaniu średniej ceny musimy posłużyć się stosunkiem ilości sprzedanej do liczby sprzedanych sztuk. Nie znamy liczby sprzedanych jednostek, ale znamy wielkość sprzedaży towarów. Dlatego, aby znaleźć średnią cenę sprzedanych towarów, używamy formuły harmonicznej średniej ważonej. dostajemy

Jeśli użyjesz tutaj wzoru na średnią arytmetyczną, możesz uzyskać średnią cenę, która będzie nierealistyczna:

Średnia geometryczna oblicza się poprzez wyodrębnienie pierwiastka stopnia N z iloczynu wszystkich wartości wariantów cech:

,

gdzie x 1 ,x 2 , … ,x N- poszczególne wartości cechy zmiennej (opcje), oraz

N- liczba jednostek ludności.

Ten typ średniej jest używany do obliczania średnich stóp wzrostu szeregów czasowych.

średnia kwadratowa służy do obliczania odchylenia standardowego, które jest wskaźnikiem zmienności i zostanie omówione poniżej.

Aby określić strukturę populacji, stosuje się specjalne średnie, które obejmują mediana oraz moda , czyli tzw. średnie strukturalne. Jeżeli średnia arytmetyczna jest obliczana na podstawie wykorzystania wszystkich wariantów wartości atrybutów, to mediana i tryb charakteryzują wartość wariantu, który zajmuje określoną średnią pozycję w szeregu uszeregowanym (uporządkowanym). Uporządkowanie jednostek populacji statystycznej może odbywać się w kolejności rosnącej lub malejącej wariantów badanej cechy.

Mediana (ja) jest wartością odpowiadającą wariantowi w środku szeregu rankingowego. Zatem mediana jest tym wariantem szeregu rankingowego, po obu stronach którego w tym szeregu powinna znajdować się równa liczba jednostek populacji.

Aby znaleźć medianę, musisz najpierw określić jej numer seryjny w serii rankingowej za pomocą wzoru:

gdzie N to objętość serii (liczba jednostek populacji).

Jeżeli szereg składa się z nieparzystej liczby członków, to mediana jest równa wariantowi o liczbie N Me . Jeżeli szereg składa się z parzystej liczby członków, to medianę definiuje się jako średnią arytmetyczną dwóch sąsiadujących opcji znajdujących się w środku.

Przykład. Biorąc pod uwagę szereg uszeregowany 1, 2, 3, 3, 6, 7, 9, 9, 10. Objętość szeregu wynosi N = 9, co oznacza N Me = (9 + 1) / 2 = 5. Zatem Me = 6, tj. . piąta opcja. Jeśli w rzędzie podano 1, 5, 7, 9, 11, 14, 15, 16, tj. szereg o parzystej liczbie członków (N = 8), to N Me = (8 + 1) / 2 = 4,5. Mediana jest więc równa połowie sumy opcji czwartej i piątej, tj. Ja = (9 + 11) / 2 = 10.

W serii dyskretnych zmian mediana jest określana przez skumulowane częstotliwości. Częstotliwości wariantów, począwszy od pierwszego, sumuje się aż do przekroczenia mediany. Wartość ostatnio zsumowanych opcji będzie medianą.

Przykład. Znajdź medianę liczby oskarżonych na sprawę karną, korzystając z danych w Tabeli 12.

Decyzja. W tym przypadku objętość szeregu wariacyjnego wynosi N = 154, zatem N Me = (154 + 1) / 2 = 77,5. Sumując częstotliwości pierwszej i drugiej opcji, otrzymujemy: 75 + 43 = 118, tj. przekroczyliśmy medianę. Więc ja = 2.

W szeregach zmienności przedziałowej rozkładu należy najpierw wskazać przedział, w którym będzie się znajdować mediana. On jest nazywany mediana . Jest to pierwszy interwał, którego skumulowana częstotliwość przekracza połowę objętości szeregu zmian interwału. Następnie wartość liczbową mediany określa wzór:

gdzie x Ja- dolna granica przedziału mediany; i - wartość mediany przedziału; S Ja-1- skumulowana częstość przedziału poprzedzającego medianę; f Ja- częstotliwość mediany interwału.

Przykład. Znajdź medianę wieku sprawców skazanych za kradzież na podstawie statystyk przedstawionych w tabeli 13.

Decyzja. Dane statystyczne są reprezentowane przez serie zmienności interwałów, co oznacza, że ​​najpierw określamy medianę interwału. Wielkość populacji N = 162, zatem średni przedział to przedział 18-28, ponieważ jest to pierwszy interwał, którego skumulowana częstość (15 + 90 = 105) przekracza połowę objętości (162: 2 = 81) szeregu zmian interwału. Teraz wartość liczbową mediany określa powyższy wzór:

Tak więc połowa skazanych za kradzież ma mniej niż 25 lat.

Moda (pon.) nazwij wartość atrybutu, który najczęściej występuje w jednostkach populacji. Moda służy do określenia wartości cechy, która ma największy rozkład. W przypadku szeregu dyskretnego modą będzie wariant o najwyższej częstotliwości. Na przykład dla szeregu dyskretnego przedstawionego w tabeli 3 pn= 1, ponieważ ta wartość opcji odpowiada najwyższej częstotliwości - 75. Aby określić tryb szeregu interwałowego, najpierw określ modalny interwał (interwał o najwyższej częstotliwości). Następnie w obrębie tego przedziału znajduje się wartość cechy, którą może być mod.

Jego wartość można znaleźć według wzoru:

gdzie x Pon- dolna granica przedziału modalnego; i - wartość przedziału modalnego; f Mo- częstotliwość interwałów modalnych; f Mo-1- częstotliwość interwału poprzedzającego modal; fMo+1- częstotliwość interwału następującego po modalu.

Przykład. Znajdź tryb wiekowy przestępców skazanych za kradzież, których dane przedstawiono w tabeli 13.

Decyzja. Najwyższa częstotliwość odpowiada przedziałowi 18-28, dlatego tryb musi być w tym przedziale. Jego wartość określa powyższy wzór:

Tym samym największa liczba przestępców skazanych za kradzież ma 24 lata.

Średnia wartość daje uogólniającą charakterystykę całości badanego zjawiska. Jednak dwie populacje o tych samych wartościach średnich mogą znacznie różnić się od siebie stopniem fluktuacji (zmienności) wartości badanej cechy. Na przykład w jednym sądzie wymierzono kary pozbawienia wolności: 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 12, 12, 15 lat, a w innym 5, 5, 6, 6, 7, 7 , 7, 8, 8, 8 lat. W obu przypadkach średnia arytmetyczna wynosi 6,7 lat. Agregaty te różnią się jednak istotnie od siebie rozrzutem poszczególnych wartości wymierzonej kary pozbawienia wolności w stosunku do wartości średniej.

A dla pierwszego sądu, gdzie to zróżnicowanie jest dość duże, średni czas odbywania kary pozbawienia wolności nie odzwierciedla dobrze całej populacji. Tak więc, jeśli poszczególne wartości atrybutu niewiele się od siebie różnią, to średnia arytmetyczna będzie dość orientacyjną cechą właściwości tej populacji. W przeciwnym razie średnia arytmetyczna będzie niewiarygodną cechą tej populacji, a jej stosowanie w praktyce jest nieskuteczne. Dlatego konieczne jest uwzględnienie zmienności wartości badanej cechy.

Zmiana- są to różnice wartości cechy w różnych jednostkach danej populacji w tym samym okresie lub punkcie czasowym. Termin „wariacja” ma pochodzenie łacińskie – variatio, co oznacza różnicę, zmianę, fluktuację. Powstaje w wyniku tego, że poszczególne wartości atrybutu kształtują się pod połączonym wpływem różnych czynników (warunków), które w każdym indywidualnym przypadku łączą się w różny sposób. Aby zmierzyć zmienność cechy, stosuje się różne wskaźniki bezwzględne i względne.

Główne wskaźniki zmienności obejmują:

1) zakres zmienności;

2) średnie odchylenie liniowe;

3) dyspersja;

4) odchylenie standardowe;

5) współczynnik zmienności.

Zatrzymajmy się krótko nad każdym z nich.

Zmienność rozpiętości R jest najbardziej dostępnym wskaźnikiem bezwzględnym pod względem łatwości obliczeń, który definiuje się jako różnicę między największą a najmniejszą wartością atrybutu dla jednostek tej populacji:

Zakres zmienności (zakres fluktuacji) jest ważnym wskaźnikiem zmienności cechy, ale pozwala dostrzec tylko skrajne odchylenia, co ogranicza jej zakres. W celu dokładniejszej charakterystyki zmienności cechy na podstawie jej fluktuacji stosuje się inne wskaźniki.

Średnie odchylenie liniowe reprezentuje średnią arytmetyczną wartości bezwzględnych odchyleń poszczególnych wartości cechy od średniej i jest określona wzorami:

1) dla niepogrupowane dane

2) dla serie wariacyjne

Jednak najczęściej stosowaną miarą zmienności jest dyspersja . Charakteryzuje miarę rozrzutu wartości badanej cechy względem jej średniej wartości. Wariancję definiuje się jako średnią kwadratów odchyleń.

prosta wariancja dla danych niezgrupowanych:

.

Ważona wariancja dla serii odmian:

Komentarz. W praktyce do obliczenia wariancji lepiej jest użyć następujących wzorów:

Dla prostej wariancji

.

Dla wariancji ważonej

Odchylenie standardowe jest pierwiastkiem kwadratowym z wariancji:

Odchylenie standardowe jest miarą wiarygodności średniej. Im mniejsze odchylenie standardowe, tym bardziej jednorodna populacja i tym lepiej średnia arytmetyczna odzwierciedla całą populację.

Rozważane powyżej miary dyspersji (zakres zmienności, wariancja, odchylenie standardowe) są wskaźnikami bezwzględnymi, za pomocą których nie zawsze można ocenić stopień fluktuacji cechy. W niektórych problemach konieczne jest użycie względnych wskaźników rozpraszania, z których jednym jest współczynnik zmienności.

Współczynnik zmienności- wyrażony jako procent stosunku odchylenia standardowego do średniej arytmetycznej:

Współczynnik zmienności służy nie tylko do porównawczej oceny zmienności różnych cech lub tej samej cechy w różnych populacjach, ale także do charakteryzowania jednorodności populacji. Populacja statystyczna jest uważana za ilościowo jednorodną, ​​jeżeli współczynnik zmienności nie przekracza 33% (dla rozkładów zbliżonych do rozkładu normalnego).

Przykład. Przedstawiono następujące dane dotyczące warunków odbywania kary pozbawienia wolności 50 skazanych odbywających karę orzeczoną przez sąd w zakładzie poprawczym systemu penitencjarnego: 5, 4, 2, 1, 6, 3, 4, 3, 2, 2 , 5, 6, 4, 3 , 10, 5, 4, 1, 2, 3, 3, 4, 1, 6, 5, 3, 4, 3, 5, 12, 4, 3, 2, 4, 6 , 4, 4, 3, 1 , 5, 4, 3, 12, 6, 7, 3, 4, 5, 5, 3.

1. Skonstruuj serię dystrybucyjną według warunków kary pozbawienia wolności.

2. Znajdź średnią, wariancję i odchylenie standardowe.

3. Oblicz współczynnik zmienności i wyciągnij wniosek o jednorodności lub heterogeniczności badanej populacji.

Decyzja. Aby skonstruować dyskretny szereg dystrybucji, konieczne jest określenie wariantów i częstości. Wariantem w tym problemie jest kara pozbawienia wolności, a częstością jest liczba poszczególnych wariantów. Po obliczeniu częstotliwości otrzymujemy następujące dyskretne szeregi rozkładu:

Znajdź średnią i wariancję. Ponieważ dane statystyczne są reprezentowane przez dyskretne serie wariacyjne, do ich obliczenia użyjemy wzorów arytmetycznej średniej ważonej i wariancji. Otrzymujemy:

= = 4,1;

= 5,21.

Teraz obliczamy odchylenie standardowe:

Znajdujemy współczynnik zmienności:

W konsekwencji populacja statystyczna jest ilościowo heterogeniczna.

Średnia arytmetyczna - wskaźnik statystyczny, który pokazuje średnią wartość danej tablicy danych. Taki wskaźnik jest obliczany jako ułamek, którego licznikiem jest suma wszystkich wartości tablicy, a mianownikiem jest ich liczba. Średnia arytmetyczna jest ważnym współczynnikiem używanym w obliczeniach domowych.

Znaczenie współczynnika

Średnia arytmetyczna jest podstawowym wskaźnikiem do porównywania danych i obliczania akceptowalnej wartości. Na przykład puszka piwa określonego producenta jest sprzedawana w różnych sklepach. Ale w jednym sklepie kosztuje 67 rubli, w innym - 70 rubli, w trzecim - 65 rubli, aw ostatnim - 62 ruble. Rozpiętość cen jest dość duża, więc kupującego zainteresuje średni koszt puszki, aby kupując produkt mógł porównać swoje koszty. Średnio puszka piwa w mieście ma cenę:

Średnia cena = (67 + 70 + 65 + 62) / 4 = 66 rubli.

Znając średnią cenę, łatwo jest określić, gdzie opłaca się kupować towary, a gdzie trzeba będzie przepłacić.

Średnia arytmetyczna jest stale używana w obliczeniach statystycznych w przypadkach, gdy analizowany jest jednorodny zbiór danych. W powyższym przykładzie jest to cena puszki piwa tej samej marki. Nie możemy jednak porównywać cen piwa różnych producentów ani cen piwa i lemoniady, ponieważ w tym przypadku rozrzut wartości będzie większy, średnia cena będzie rozmyta i niewiarygodna, a sam sens obliczeń zostanie zniekształcony do karykaturalnej „średniej temperatury w szpitalu”. Do obliczania heterogenicznych tablic danych używana jest arytmetyczna średnia ważona, gdy każda wartość otrzymuje własny współczynnik ważenia.

Obliczanie średniej arytmetycznej

Wzór na obliczenia jest niezwykle prosty:

P = (a1 + a2 + … an) / n,

gdzie an jest wartością ilości, n jest całkowitą liczbą wartości.

Do czego może służyć ten wskaźnik? Pierwszym i oczywistym zastosowaniem tego jest statystyka. Prawie każde badanie statystyczne wykorzystuje średnią arytmetyczną. Może to być średni wiek zawierania małżeństw w Rosji, średnia ocena z przedmiotu dla ucznia lub średnie dzienne wydatki na artykuły spożywcze. Jak wspomniano powyżej, bez uwzględnienia wag obliczenie średnich może dać dziwne lub absurdalne wartości.

Na przykład prezydent Federacji Rosyjskiej oświadczył, że według statystyk średnia pensja Rosjanina wynosi 27 000 rubli. Dla większości ludzi w Rosji taki poziom wynagrodzenia wydawał się absurdalny. Nic dziwnego, jeśli z jednej strony bierze się pod uwagę dochody oligarchów, szefów przedsiębiorstw przemysłowych, wielkich bankierów, az drugiej pensje nauczycieli, sprzątaczy i sprzedawców. Nawet średnie zarobki w jednej specjalności, na przykład księgowej, będą miały poważne różnice w Moskwie, Kostromie i Jekaterynburgu.

Jak obliczyć średnie dla danych heterogenicznych

W sytuacjach płacowych ważne jest, aby wziąć pod uwagę wagę każdej wartości. Oznacza to, że pensjom oligarchów i bankierów przypisano by wagę np. 0,00001, a pensjom sprzedawców 0,12. To liczby z sufitu, ale z grubsza ilustrują dominację oligarchów i komiwojażerów w rosyjskim społeczeństwie.

Zatem, aby obliczyć średnią ze średnich lub wartość średnią w heterogenicznej tablicy danych, wymagane jest użycie arytmetycznej średniej ważonej. W przeciwnym razie otrzymasz średnią pensję w Rosji na poziomie 27 000 rubli. Jeśli chcesz poznać swoją średnią ocen z matematyki lub średnią liczbę bramek strzelonych przez wybranego hokeistę, to kalkulator średniej arytmetycznej będzie Ci odpowiadał.

Nasz program to prosty i wygodny kalkulator do obliczania średniej arytmetycznej. Wystarczy wprowadzić wartości parametrów, aby wykonać obliczenia.

Spójrzmy na kilka przykładów

Obliczanie średniej oceny

Wielu nauczycieli stosuje metodę średniej arytmetycznej do określenia rocznej oceny z przedmiotu. Wyobraźmy sobie, że dziecko dostaje ćwierć stopnia z matematyki: 3, 3, 5, 4. Jaką ocenę roczną wystawi mu nauczyciel? Skorzystajmy z kalkulatora i obliczmy średnią arytmetyczną. Najpierw wybierz odpowiednią liczbę pól i wprowadź wartości ocen w komórkach, które się pojawią:

(3 + 3 + 5 + 4) / 4 = 3,75

Nauczyciel zaokrągli tę wartość na korzyść ucznia, a uczeń otrzyma solidną czwórkę za rok.

Obliczanie zjedzonych słodyczy

Zilustrujmy pewną absurdalność średniej arytmetycznej. Wyobraź sobie, że Masza i Wowa mieli po 10 cukierków. Masza zjadła 8 cukierków, a Wowa tylko 2. Ile cukierków zjadało średnio każde dziecko? Za pomocą kalkulatora łatwo obliczyć, że średnio dzieci zjadały po 5 cukierków, co jest całkowitą nieprawdą i zdrowym rozsądkiem. Ten przykład pokazuje, że średnia arytmetyczna jest ważna dla znaczących zestawów danych.

Wniosek

Obliczanie średniej arytmetycznej jest szeroko stosowane w wielu dziedzinach nauki. Wskaźnik ten jest popularny nie tylko w obliczeniach statystycznych, ale także w fizyce, mechanice, ekonomii, medycynie czy finansach. Skorzystaj z naszych kalkulatorów jako pomoc w rozwiązywaniu zadań ze średnią arytmetyczną.

Znaki jednostek agregatów statystycznych mają różne znaczenie, np. wynagrodzenia pracowników jednego zawodu przedsiębiorstwa nie są takie same w tym samym okresie, ceny rynkowe tych samych produktów są różne, plony w gospodarstwach regionu itp. Dlatego w celu określenia wartości cechy charakterystycznej dla całej populacji badanych jednostek oblicza się wartości średnie.
Średnia wartość – jest to uogólniająca charakterystyka zbioru indywidualnych wartości jakiejś cechy ilościowej.

Populacja badana według atrybutu ilościowego składa się z indywidualnych wartości; wpływają na nie zarówno przyczyny ogólne, jak i uwarunkowania indywidualne. W wartości średniej znoszą się odchylenia charakterystyczne dla poszczególnych wartości. Średnia, będąc funkcją zbioru poszczególnych wartości, reprezentuje cały zbiór z jedną wartością i odzwierciedla to, co wspólne, tkwiące we wszystkich jego jednostkach.

Średnia obliczona dla populacji składających się z jednostek jakościowo jednorodnych to tzw typowa średnia. Na przykład możesz obliczyć średnie miesięczne wynagrodzenie pracownika jednej lub drugiej grupy zawodowej (górnik, lekarz, bibliotekarz). Oczywiście poziomy miesięcznych zarobków górników, ze względu na różnicę w ich kwalifikacjach, stażu pracy, przepracowanych w miesiącu godzinach i wielu innych czynnikach, różnią się od siebie i od poziomu przeciętnych zarobków. Jednak średni poziom odzwierciedla główne czynniki, które wpływają na poziom płac i wzajemnie kompensują różnice, które powstają z powodu indywidualnych cech pracownika. Przeciętne wynagrodzenie odzwierciedla typowy poziom płac dla tego typu pracowników. Uzyskanie typowej średniej powinno być poprzedzone analizą, na ile ta populacja jest jakościowo jednorodna. Jeżeli populacja składa się z odrębnych części, należy ją podzielić na grupy typowe (średnia temperatura w szpitalu).

Nazywa się średnie wartości stosowane jako cechy dla populacji heterogenicznych średnie systemowe. Na przykład średnia wartość produktu krajowego brutto (PKB) na mieszkańca, średnie spożycie różnych grup dóbr na osobę i inne podobne wielkości reprezentujące ogólną charakterystykę państwa jako jednolitego systemu gospodarczego.

Średnią należy obliczyć dla populacji składających się z odpowiednio dużej liczby jednostek. Spełnienie tego warunku jest konieczne, aby zaczęło obowiązywać prawo wielkich liczb, w wyniku którego przypadkowe odchylenia poszczególnych wartości od ogólnego trendu znoszą się wzajemnie.

Rodzaje średnich i metody ich obliczania

Wybór rodzaju średniej zależy od treści ekonomicznej określonego wskaźnika i danych początkowych. Każdą wartość średnią należy jednak tak obliczyć, aby w przypadku zastąpienia każdego wariantu uśrednionej cechy ostateczna, uogólniająca lub, jak to się powszechnie nazywa, wskaźnik definiujący, co jest związane ze średnią. Np. przy zamianie rzeczywistych prędkości na poszczególnych odcinkach drogi ich średnia prędkość nie powinna zmieniać całkowitej odległości przebytej przez pojazd w tym samym czasie; przy zastępowaniu rzeczywistych wynagrodzeń poszczególnych pracowników przedsiębiorstwa przeciętnym wynagrodzeniem fundusz płac nie powinien się zmieniać. W konsekwencji w każdym konkretnym przypadku, w zależności od charakteru dostępnych danych, istnieje tylko jedna prawdziwa średnia wartość wskaźnika, adekwatna do właściwości i istoty badanego zjawiska społeczno-gospodarczego.
Najczęściej używane to średnia arytmetyczna, średnia harmoniczna, średnia geometryczna, średnia kwadratowa i średnia sześcienna.
Wymienione średnie należą do klasy mocśredniej i są łączone za pomocą ogólnego wzoru:
,
gdzie jest średnią wartością badanej cechy;
m jest wykładnikiem średniej;
– aktualna wartość (wariant) uśrednionej cechy;
n to liczba funkcji.
W zależności od wartości wykładnika m wyróżnia się następujące rodzaje średnich mocy:
przy m = -1 – średnia harmoniczna;
przy m = 0 – średnia geometryczna;
przy m = 1 – średnia arytmetyczna;
przy m = 2 – pierwiastek średni kwadratowy;
przy m = 3 - średni sześcienny.
Przy użyciu tych samych danych początkowych im większy wykładnik m w powyższym wzorze, tym większa wartość średniej:
.
Nazywa się tę właściwość prawa potęgowego, która zwiększa się wraz ze wzrostem wykładnika funkcji definiującej zasada przewagi środków.
Każda z zaznaczonych średnich może przybrać dwie formy: prosty oraz ważony.
Prosta forma środka ma zastosowanie, gdy średnia jest obliczana na podstawie danych pierwotnych (niepogrupowanych). ważona forma– przy obliczaniu średniej dla danych wtórnych (zgrupowanych).

Średnia arytmetyczna

Średnia arytmetyczna jest używana, gdy wielkość populacji jest sumą wszystkich indywidualnych wartości zmiennego atrybutu. Należy zauważyć, że w przypadku braku wskazania rodzaju średniej przyjmuje się średnią arytmetyczną. Jego logiczna formuła to:

prosta średnia arytmetyczna obliczony przez dane niezgrupowane według wzoru:
lub ,
gdzie są poszczególne wartości cechy;
j to numer seryjny jednostki obserwacji, który charakteryzuje się wartością ;
N to liczba jednostek obserwacji (rozmiar zestawu).
Przykład. W wykładzie „Podsumowanie i grupowanie danych statystycznych” rozważono wyniki obserwacji doświadczenia pracy 10-osobowego zespołu. Oblicz średni staż pracy pracowników brygady. 5, 3, 5, 4, 3, 4, 5, 4, 2, 4.

Zgodnie ze wzorem na średnią arytmetyczną prostą, oblicza się również średnie chronologiczne, jeżeli przedziały czasowe, dla których prezentowane są wartości charakterystyczne, są sobie równe.
Przykład. Wolumen sprzedanych produktów za pierwszy kwartał wyniósł 47 den. jednostek, za drugie 54, za trzecie 65 i za czwarte 58 den. jednostki Średni kwartalny obrót wynosi (47+54+65+58)/4 = 56 den. jednostki
Jeżeli wskaźniki chwilowe podane są w szeregach chronologicznych, wówczas przy obliczaniu średniej są one zastępowane półsumami wartości na początku i na końcu okresu.
Jeżeli momentów jest więcej niż dwa, a odstępy między nimi są równe, to średnią oblicza się ze wzoru na średnią chronologiczną

,
gdzie n jest liczbą punktów czasowych
Gdy dane są pogrupowane według wartości atrybutów (tj. konstruuje się dyskretny szereg rozkładu wariacyjnego) z ważona średnia arytmetyczna jest obliczana na podstawie częstości lub częstości obserwacji określonych wartości cechy, których liczba (k) jest znacznie mniejsza niż liczba obserwacji (N).
,
,
gdzie k to liczba grup serii wariacyjnych,
i jest numerem grupy serii wariacji.
Ponieważ , i , otrzymujemy wzory używane do obliczeń praktycznych:
oraz
Przykład. Obliczmy średni staż pracy zespołów roboczych dla zgrupowanych serii.
a) przy użyciu częstotliwości:

b) przy użyciu częstotliwości:

Gdy dane są pogrupowane według przedziałów , tj. prezentowane są w postaci szeregów rozkładów przedziałowych, przy czym przy obliczaniu średniej arytmetycznej za wartość cechy przyjmuje się środek przedziału, przy założeniu równomiernego rozkładu jednostek populacji w tym przedziale. Obliczenia przeprowadza się według wzorów:
oraz
gdzie jest środek przedziału: ,
gdzie i są dolną i górną granicą przedziałów (pod warunkiem, że górna granica tego przedziału pokrywa się z dolną granicą następnego przedziału).

Przykład. Obliczmy średnią arytmetyczną szeregów przedziałowych zbudowanych z wyników badania płac rocznych 30 robotników (patrz wykład „Podsumowanie i grupowanie danych statystycznych”).
Tabela 1 — Szeregi rozkładu zmienności interwałowej.

Interwały, UAH	Częstotliwość, os.	częstotliwość,	Środek interwału
600-700 700-800 800-900 900-1000 1000-1100 1100-1200	3 6 8 9 3 1	0,10 0,20 0,267 0,30 0,10 0,033	(600+700):2=650 (700+800):2=750 850 950 1050 1150	1950 4500 6800 8550 3150 1150	65 150 226,95 285 105 37,95

UAH lub UAH
Średnie arytmetyczne obliczone na podstawie danych początkowych i serii zmian przedziałów mogą nie pokrywać się ze względu na nierównomierny rozkład wartości atrybutów w przedziałach. W takim przypadku dla dokładniejszego obliczenia średniej arytmetycznej ważonej należy posłużyć się nie środkiem przedziałów, ale prostymi średnimi arytmetycznymi obliczonymi dla każdej grupy ( średnie grupowe). Nazywa się średnią obliczoną ze średnich grupowych przy użyciu ważonego wzoru obliczeniowego Średnia ogólna.
Średnia arytmetyczna ma wiele właściwości.
1. Suma odchyleń wariantu od średniej wynosi zero:
.
2. Jeżeli wszystkie wartości opcji rosną lub maleją o wartość A, to średnia wartość wzrasta lub maleje o tę samą wartość A:

3. Jeśli każda opcja zostanie zwiększona lub zmniejszona B razy, to średnia wartość również wzrośnie lub zmniejszy się o tę samą liczbę razy:
lub
4. Suma iloczynów wariantu przez częstości jest równa iloczynowi wartości średniej przez sumę częstości:

5. Jeśli wszystkie częstotliwości zostaną podzielone lub pomnożone przez dowolną liczbę, średnia arytmetyczna się nie zmieni:

6) jeżeli we wszystkich przedziałach częstości są sobie równe, to średnia arytmetyczna ważona jest równa prostej średniej arytmetycznej:
,
gdzie k jest liczbą grup w serii wariacyjnej.

Wykorzystanie właściwości średniej pozwala uprościć jej obliczenie.
Załóżmy, że wszystkie opcje (x) są najpierw zmniejszane o tę samą liczbę A, a następnie zmniejszane o współczynnik B. Największe uproszczenie uzyskuje się, gdy jako A przyjmuje się wartość środka przedziału o największej częstości, a wartość przedziału jako B (dla wierszy o równych odstępach). Wielkość A nazywana jest początkiem, więc ta metoda obliczania średniej nazywa się sposób b odniesienie omowe od zera warunkowego lub sposób chwil.
Po takim przekształceniu otrzymujemy nowy szereg rozkładu wariacyjnego, którego warianty są równe . Ich średnia arytmetyczna, tzw chwila pierwszego rozkazu, wyraża się wzorem i zgodnie z drugą i trzecią właściwością średnia arytmetyczna jest równa średniej z wersji pierwotnej, pomniejszonej najpierw o A, a następnie o B razy, czyli .
Za zdobycie prawdziwa średnia(środek pierwotnego rzędu) należy pomnożyć moment pierwszego rzędu przez B i dodać A:

Obliczenie średniej arytmetycznej metodą momentów ilustrują dane w tabeli. 2.
Tabela 2 – Rozkład pracowników sklepu przedsiębiorstwa według stażu pracy

Doświadczenie zawodowe, lata	Ilość pracowników	Punkt środkowy interwału
0 – 5 5 – 10 10 – 15 15 – 20 20 – 25 25 – 30	12 16 23 28 17 14	2,5 7,5 12,7 17,5 22,5 27,5	15 -10 -5 0 5 10	3 -2 -1 0 1 2	36 -32 -23 0 17 28

Znalezienie momentu pierwszego zamówienia . Następnie, wiedząc, że A = 17,5, a B = 5, obliczamy średni staż pracy pracowników sklepu:
lata

Średnia harmoniczna
Jak pokazano powyżej, średnia arytmetyczna służy do obliczania średniej wartości cechy w przypadkach, gdy znane są jej warianty x i ich częstości f.
Jeżeli informacja statystyczna nie zawiera częstości f dla poszczególnych opcji x populacji, ale jest przedstawiona jako ich iloczyn , stosuje się wzór średnia ważona harmoniczna. Aby obliczyć średnią, oznacz , skąd . Podstawiając te wyrażenia do wzoru na ważoną średnią arytmetyczną, otrzymujemy wzór na ważoną średnią harmoniczną:
,
gdzie jest objętością (wagą) wartości atrybutu wskaźnika w przedziale o liczbie i (i=1,2, …, k).

Tak więc średnia harmoniczna jest stosowana w przypadkach, gdy sumowaniu podlegają nie same opcje, ale ich odwrotności: .
W przypadkach, gdy waga każdej opcji jest równa jeden, tj. poszczególne wartości cechy odwrotnej występują raz, stosuje się prosta średnia harmoniczna:
,
gdzie są pojedyncze warianty cechy odwrotnej, które występują raz;
N to liczba opcji.
Jeżeli istnieją średnie harmoniczne dla dwóch części populacji z liczbą i, to całkowitą średnią dla całej populacji oblicza się według wzoru:

i zadzwoniłem ważona średnia harmoniczna średnich grupowych.

Przykład. W ciągu pierwszej godziny handlu na giełdzie zawarto trzy transakcje. Dane o wielkości sprzedaży hrywny i kursie hrywny do dolara amerykańskiego podano w tabeli. 3 (kolumny 2 i 3). Określ średni kurs wymiany hrywny w stosunku do dolara amerykańskiego dla pierwszej godziny handlu.
Tabela 3 - Dane o przebiegu notowań na giełdzie walutowej

Średni kurs dolara wyznacza stosunek ilości hrywien sprzedanych w trakcie wszystkich transakcji do ilości dolarów pozyskanych w wyniku tych samych transakcji. Całkowita kwota sprzedaży hrywny znana jest z kolumny 2 tabeli, a ilość kupowanych dolarów w każdej transakcji jest określana przez podzielenie kwoty sprzedaży hrywny przez jej kurs (kolumna 4). W sumie podczas trzech transakcji zakupiono 22 miliony dolarów. Oznacza to, że średni kurs hrywny za jednego dolara był
.
Wynikowa wartość jest rzeczywista, ponieważ zastąpienie przez niego rzeczywistych kursów wymiany hrywny w transakcjach nie zmieni całkowitej kwoty sprzedaży hrywny, która działa jak wskaźnik definiujący: mln UAH
Jeżeli do obliczeń użyto średniej arytmetycznej, tj. hrywien, a następnie po kursie wymiany na zakup 22 mln dolarów. Należałoby wydać 110,66 mln hrywien, co nie jest prawdą.

Średnia geometryczna
Średnia geometryczna służy do analizy dynamiki zjawisk i pozwala na wyznaczenie średniego współczynnika wzrostu. Przy obliczaniu średniej geometrycznej poszczególne wartości cechy są względnymi wskaźnikami dynamiki, zbudowanymi w postaci wartości łańcuchowych, jako stosunek każdego poziomu do poprzedniego.
Geometryczną średnią prostą oblicza się według wzoru:
,
gdzie jest znak produktu,
N to liczba uśrednionych wartości.
Przykład. Liczba zarejestrowanych przestępstw w ciągu 4 lat wzrosła 1,57 razy, w tym dla 1. - 1,08 razy, dla 2. - 1,1 razy, dla 3. - 1,18 i dla 4. - 1,12 razy. Wówczas średnioroczne tempo wzrostu liczby przestępstw wynosi: , tj. Liczba zarejestrowanych przestępstw wzrasta średnio o 12% rocznie.

1,8
-0,8
0,2
1,0
1,4

1
3
4
1
1

3,24
0,64
0,04
1
1,96

3,24
1,92
0,16
1
1,96

Aby obliczyć średnią kwadratową ważoną, określamy i wpisujemy do tabeli i. Wtedy średnia wartość odchyleń długości produktów od danej normy wynosi:

Średnia arytmetyczna w tym przypadku byłaby nieodpowiednia, ponieważ w rezultacie otrzymalibyśmy zerowe odchylenie.
Wykorzystanie średniej kwadratowej zostanie omówione później w wykładnikach zmienności.

Wartość średnia jest najbardziej wartościową z analitycznego punktu widzenia i uniwersalną formą wyrażania wskaźników statystycznych. Najczęściej spotykana średnia – średnia arytmetyczna – posiada szereg właściwości matematycznych, które można wykorzystać w jej obliczeniach. Jednocześnie przy obliczaniu określonej średniej zawsze wskazane jest poleganie na jej formule logicznej, która jest stosunkiem wielkości atrybutu do wielkości populacji. Dla każdej średniej istnieje tylko jeden prawdziwy współczynnik referencyjny, który w zależności od dostępnych danych może wymagać różnych form średnich. Jednak we wszystkich przypadkach, w których charakter wartości uśrednionej implikuje obecność wag, nie jest możliwe zastosowanie ich formuł nieważonych zamiast formuł średniej ważonej.

Wartość średnia jest najbardziej charakterystyczną wartością atrybutu dla populacji i wielkością atrybutu populacji rozłożoną w równych częściach między jednostki populacji.

Nazywa się cechę, dla której obliczana jest wartość średnia uśrednione .

Wartość średnia jest wskaźnikiem obliczanym przez porównanie wartości bezwzględnych lub względnych. Średnia wartość to

Wartość średnia odzwierciedla wpływ wszystkich czynników wpływających na badane zjawisko i jest ich wypadkową. Innymi słowy, rekompensując poszczególne odchylenia i eliminując wpływ przypadków, wartość średnia, odzwierciedlająca ogólną miarę wyników tego działania, działa jako ogólny wzorzec badanego zjawiska.

Warunki korzystania ze średnich:

Ø jednorodność badanej populacji. Jeżeli niektóre elementy populacji poddane wpływowi czynnika losowego mają istotnie różne wartości badanej cechy od pozostałych, to elementy te będą miały wpływ na wielkość średniej dla tej populacji. W tym przypadku średnia nie będzie wyrażać najbardziej typowej wartości cechy dla populacji. Jeżeli badane zjawisko jest niejednorodne, należy je rozbić na grupy zawierające elementy jednorodne. W tym przypadku obliczane są średnie grupowe – średnie grupowe, wyrażające najbardziej charakterystyczną wartość zjawiska w każdej grupie, a następnie obliczana jest ogólna wartość średnia dla wszystkich elementów, charakteryzująca zjawisko jako całość. Oblicza się ją jako średnią średnich grupowych, ważoną liczbą elementów populacji wchodzących w skład każdej grupy;

Ø wystarczającą liczbę jednostek łącznie;

Ø maksymalne i minimalne wartości cechy w badanej populacji.

Średnia wartość (wskaźnik)- jest to uogólniona charakterystyka ilościowa cechy w populacji systematycznej w określonych warunkach miejsca i czasu.

W statystyce stosuje się następujące formy (rodzaje) średnich, zwane potęgowymi i strukturalnymi:

Ø Średnia arytmetyczna(proste i ważone);

prosty

W matematyce średnia arytmetyczna liczb (lub po prostu średnia) to suma wszystkich liczb w danym zestawie podzielona przez ich liczbę. Jest to najbardziej uogólniona i rozpowszechniona koncepcja wartości średniej. Jak już zrozumiałeś, aby znaleźć średnią, musisz zsumować wszystkie podane liczby i podzielić wynik przez liczbę wyrazów.

Jaka jest średnia arytmetyczna?

Spójrzmy na przykład.

Przykład 1. Podano liczby: 6, 7, 11. Musisz znaleźć ich średnią wartość.

Decyzja.

Najpierw znajdźmy sumę wszystkich podanych liczb.

Teraz dzielimy otrzymaną sumę przez liczbę wyrazów. Ponieważ mamy odpowiednio trzy wyrazy, podzielimy przez trzy.

Dlatego średnia liczb 6, 7 i 11 wynosi 8. Dlaczego 8? Tak, ponieważ suma 6, 7 i 11 będzie równa trzem ósemkom. Widać to wyraźnie na ilustracji.

Średnia wartość przypomina nieco „wyrównanie” serii liczb. Jak widać, stosy ołówków stały się jednym poziomem.

Rozważ inny przykład, aby utrwalić zdobytą wiedzę.

Przykład 2 Podane są liczby: 3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29. Musisz znaleźć ich średnią arytmetyczną.

Decyzja.

Znajdujemy sumę.

3 + 7 + 5 + 13 + 20 + 23 + 39 + 23 + 40 + 23 + 14 + 12 + 56 + 23 + 29 = 330

Podziel przez liczbę terminów (w tym przypadku 15).

Dlatego średnia wartość tej serii liczb wynosi 22.

Rozważmy teraz liczby ujemne. Pamiętajmy, jak je podsumować. Na przykład masz dwie liczby 1 i -4. Znajdźmy ich sumę.

1 + (-4) = 1 – 4 = -3

Wiedząc o tym, rozważ inny przykład.

Przykład 3 Znajdź średnią wartość serii liczb: 3, -7, 5, 13, -2.

Decyzja.

Znalezienie sumy liczb.

3 + (-7) + 5 + 13 + (-2) = 12

Ponieważ wyrazów jest 5, otrzymaną sumę dzielimy przez 5.

Dlatego średnia arytmetyczna liczb 3, -7, 5, 13, -2 wynosi 2,4.

W dobie postępu technologicznego znacznie wygodniej jest korzystać z programów komputerowych do znajdowania wartości średniej. Microsoft Office Excel jest jednym z nich. Znalezienie średniej w Excelu jest szybkie i łatwe. Ponadto ten program jest zawarty w pakiecie oprogramowania z pakietu Microsoft Office. Rozważ krótką instrukcję, jak znaleźć średnią arytmetyczną za pomocą tego programu.

Aby obliczyć średnią wartość serii liczb, musisz użyć funkcji ŚREDNIA. Składnia tej funkcji to:
=Średnia(argument1; argument2; ... argument255)
gdzie argument1, argument2, ... argument255 to liczby lub odwołania do komórek (komórki oznaczają zakresy i tablice).

Aby było jaśniej, przetestujmy zdobytą wiedzę.

1. Wprowadź liczby 11, 12, 13, 14, 15, 16 w komórkach C1 - C6.
2. Wybierz komórkę C7, klikając ją. W tej komórce wyświetlimy średnią wartość.
3. Kliknij kartę „Formuły”.
4. Wybierz Więcej funkcji > Statystyka, aby otworzyć listę rozwijaną.
5. Wybierz ŚREDNIA. Następnie powinno otworzyć się okno dialogowe.
6. Zaznacz i przeciągnij tam komórki C1-C6, aby ustawić zakres w oknie dialogowym.
7. Potwierdź swoje działania przyciskiem „OK”.
8. Jeśli wszystko zrobiłeś poprawnie, w komórce C7 powinieneś mieć odpowiedź - 13.7. Po kliknięciu komórki C7 funkcja (=Średnia(C1:C6)) zostanie wyświetlona na pasku formuły.

Bardzo przydatne jest użycie tej funkcji do księgowości, faktur lub gdy po prostu trzeba znaleźć średnią z bardzo długiego zakresu liczb. Dlatego jest często stosowany w biurach i dużych firmach. Pozwala to zachować porządek w ewidencji i umożliwia szybkie obliczenie czegoś (na przykład średniego miesięcznego dochodu). Możesz także użyć Excela, aby znaleźć średnią funkcji.

Przeciętny

Ten termin ma inne znaczenie, zobacz średnie znaczenie.

Przeciętny(w matematyce i statystyce) zbiory liczb - suma wszystkich liczb podzielona przez ich liczbę. Jest to jedna z najczęstszych miar tendencji centralnej.

Zaproponowali ją (wraz ze średnią geometryczną i średnią harmoniczną) pitagorejczycy.

Szczególnymi przypadkami średniej arytmetycznej są średnia (z populacji ogólnej) i średnia z próby (z prób).

Wstęp

Oznacz zbiór danych X = (x 1 , x 2 , …, x n), wtedy średnia próbki jest zwykle oznaczana poziomym paskiem nad zmienną ( x ¯ (\ displaystyle (\ bar (x))) , wymawiane " x z kreską”).

Grecka litera μ jest używana do oznaczenia średniej arytmetycznej całej populacji. Dla zmiennej losowej, dla której zdefiniowano wartość średnią, μ wynosi średnia prawdopodobieństwa lub matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej. Jeśli zestaw X jest zbiorem liczb losowych o średnim prawdopodobieństwie μ, a następnie dla dowolnej próbki x ja z tego zbioru μ = E( x ja) jest oczekiwaniem tej próbki.

W praktyce różnica między μ i x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) polega na tym, że μ jest typową zmienną, ponieważ można zobaczyć próbkę, a nie całą populację. Dlatego jeśli próbka jest reprezentowana losowo (z punktu widzenia teorii prawdopodobieństwa), to x ¯ (\ displaystyle (\ bar (x))) (ale nie μ) można traktować jako zmienną losową o rozkładzie prawdopodobieństwa na próbce ( rozkład prawdopodobieństwa średniej).

Obie te wielkości są obliczane w ten sam sposób:

X ¯ = 1 n ∑ ja = 1 n x ja = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\ Displaystyle (\ bar (x)) = (\ frac (1) (n)) \ suma _ (i = 1) ^ (n) x_ (i) = (\ frac (1) (n)) (x_ (1)+\cdots +x_(n)).)

Jeśli X jest zmienną losową, to oczekiwanie matematyczne X można uznać za średnią arytmetyczną wartości w powtarzanych pomiarach wielkości X. Jest to przejaw prawa wielkich liczb. Dlatego średnia z próby jest używana do oszacowania nieznanego matematycznego oczekiwania.

W algebrze elementarnej udowodniono, że średnia n+ 1 liczby powyżej średniej n liczb wtedy i tylko wtedy, gdy nowa liczba jest większa od starej średniej, mniej wtedy i tylko wtedy, gdy nowa liczba jest mniejsza od średniej i nie zmienia się wtedy i tylko wtedy, gdy nowa liczba jest równa średniej. Więcej n, tym mniejsza różnica między nową a starą średnią.

Należy zauważyć, że dostępnych jest kilka innych „średnich”, w tym średnia potęgowa, średnia Kołmogorowa, średnia harmoniczna, średnia arytmetyczno-geometryczna i różne średnie ważone (np. średnia ważona arytmetycznie, średnia ważona geometrycznie, średnia ważona harmonicznie) .

Przykłady

• W przypadku trzech liczb musisz je dodać i podzielić przez 3:

x 1 + x 2 + x 3 3 . (\ Displaystyle (\ frac (x_ (1) + x_ (2) + x_ (3)) (3)).)

• W przypadku czterech liczb musisz je dodać i podzielić przez 4:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 . (\ Displaystyle (\ frac (x_ (1) + x_ (2) + x_ (3) + x_ (4)) (4)).)

Albo łatwiej 5+5=10, 10:2. Ponieważ dodaliśmy 2 liczby, co oznacza, że ​​ile liczb dodamy, podzielimy przez tyle.

Ciągła zmienna losowa

Dla wartości o rozkładzie ciągłym f (x) (\ displaystyle f (x)) średnia arytmetyczna w przedziale [ a ; b ] (\ displaystyle ) jest definiowane przez całkę oznaczoną:

fa (x) ¯ [ za ; b ] = 1 b - za ∫ za b fa (x) re x (\ Displaystyle (\ overline (f (x))) _ () = (\ Frac (1) (b-a)) \ int _ (a) ^ (b) f(x)dx)

Niektóre problemy z wykorzystaniem średniej

Brak solidności

Główny artykuł: Solidność w statystykach

Chociaż średnia arytmetyczna jest często używana jako średnie lub centralne trendy, koncepcja ta nie ma zastosowania do solidnych statystyk, co oznacza, że ​​na średnią arytmetyczną duży wpływ mają „duże odchylenia”. Warto zauważyć, że dla rozkładów o dużej skośności średnia arytmetyczna może nie odpowiadać pojęciu „średnia”, a wartości średniej z solidnych statystyk (np. mediany) mogą lepiej opisywać trend centralny.

Klasycznym przykładem jest obliczenie średniego dochodu. Średnia arytmetyczna może zostać błędnie zinterpretowana jako mediana, co może prowadzić do wniosku, że osób z wyższymi dochodami jest więcej niż jest w rzeczywistości. „Średni” dochód jest interpretowany w taki sposób, że dochody większości ludzi są zbliżone do tej liczby. Ten „przeciętny” (w sensie średniej arytmetycznej) dochód jest wyższy niż dochód większości ludzi, gdyż wysoki dochód przy dużym odchyleniu od średniej sprawia, że ​​średnia arytmetyczna jest mocno wypaczona (dla kontrastu mediana dochodu „opiera się” taki przekrój). Jednak ten „przeciętny” dochód nie mówi nic o liczbie osób bliskich dochodowi mediany (i nic nie mówi o liczbie osób bliskich dochodowi modalnemu). Jeśli jednak pojęcia „średnia” i „większość” są traktowane lekko, można błędnie stwierdzić, że większość ludzi ma dochody wyższe niż w rzeczywistości. Na przykład raport o „średnich” dochodach netto w Medina w stanie Waszyngton, obliczony jako średnia arytmetyczna wszystkich rocznych dochodów netto mieszkańców, da zaskakująco wysoką liczbę za sprawą Billa Gatesa. Rozważ próbkę (1, 2, 2, 2, 3, 9). Średnia arytmetyczna to 3,17, ale pięć z sześciu wartości jest poniżej tej średniej.

Oprocentowanie składane

Główny artykuł: ROI

Jeśli liczby zwielokrotniać, ale nie zginać, musisz użyć średniej geometrycznej, a nie średniej arytmetycznej. Najczęściej ten incydent ma miejsce podczas obliczania zwrotu z inwestycji w finanse.

Na przykład, jeśli zapasy spadły o 10% w pierwszym roku i wzrosły o 30% w drugim roku, to błędne jest obliczenie „średniego” wzrostu w ciągu tych dwóch lat jako średniej arytmetycznej (-10% + 30%) / 2 = 10%; poprawną średnią w tym przypadku daje złożona roczna stopa wzrostu, z której roczny wzrost wynosi tylko około 8,16653826392% ≈ 8,2%.

Powodem tego jest to, że procenty mają za każdym razem nowy punkt początkowy: 30% to 30% od liczby mniejszej niż cena na początku pierwszego roku: jeśli cena akcji zaczynała się od 30 USD i spadła o 10%, na początku drugiego roku jest warta 27 USD. Jeśli akcje wzrosły o 30%, pod koniec drugiego roku są warte 35,1 USD. Średnia arytmetyczna tego wzrostu wynosi 10%, ale ponieważ akcje wzrosły tylko o 5,1 USD w ciągu 2 lat, średni wzrost o 8,2% daje końcowy wynik 35,1 USD:

[30 zł (1 - 0,1) (1 + 0,3) = 30 zł (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 zł]. Jeśli użyjemy średniej arytmetycznej 10% w ten sam sposób, nie otrzymamy rzeczywistej wartości: [30 $ (1 + 0,1) (1 + 0,1) = 36,3 $].

Oprocentowanie składane na koniec 2 roku: 90% * 130% = 117% , czyli całkowity wzrost o 17%, a średnie roczne oprocentowanie składane wynosi 117% ≈ 108,2% (\displaystyle (\sqrt (117\%)) \około 108,2\%) , czyli średni roczny wzrost o 8,2%.

Kierunki

Główny artykuł: Statystyki miejsc docelowych

Podczas obliczania średniej arytmetycznej jakiejś zmiennej, która zmienia się cyklicznie (na przykład fazy lub kąta), należy zachować szczególną ostrożność. Na przykład średnia z 1° i 359° wyniosłaby 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180°. Ta liczba jest błędna z dwóch powodów.

• Po pierwsze, miary kątowe są zdefiniowane tylko dla zakresu od 0° do 360° (lub od 0 do 2π, gdy są mierzone w radianach). Zatem tę samą parę liczb można zapisać jako (1 ° i -1 °) lub jako (1 ° i 719 °). Średnie dla każdej pary będą różne: 1 ∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2))= 0 ^(\circ )} , 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\Displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\circ )) .
• Po drugie, w tym przypadku wartość 0° (odpowiednik 360°) byłaby geometrycznie najlepszą średnią, ponieważ liczby odbiegają mniej od 0° niż od jakiejkolwiek innej wartości (wartość 0° ma najmniejszą wariancję). Porównywać:
  • liczba 1° różni się od 0° tylko o 1°;
  • liczba 1° odbiega od obliczonej średniej 180° o 179°.

Średnia wartość zmiennej cyklicznej, obliczona według powyższego wzoru, zostanie sztucznie przesunięta względem średniej rzeczywistej do środka przedziału liczbowego. Z tego powodu średnia jest obliczana w inny sposób, a mianowicie jako wartość średnia wybierana jest liczba o najmniejszej wariancji (punkt środkowy). Ponadto zamiast odejmowania używana jest odległość modulo (tj. Odległość obwodowa). Na przykład odległość modułowa między 1° a 359° wynosi 2°, a nie 358° (na okręgu między 359° a 360°==0° - jeden stopień, między 0° a 1° - także 1°, w sumie - 2°).

Średnia ważona – co to jest i jak ją obliczyć?

W trakcie studiowania matematyki studenci zapoznają się z pojęciem średniej arytmetycznej. W przyszłości w statystyce i niektórych innych naukach studenci będą mieli do czynienia również z obliczaniem innych średnich. Czym mogą być i czym się od siebie różnią?

Średnie: znaczenie i różnice

Nie zawsze dokładne wskaźniki dają zrozumienie sytuacji. Aby ocenić tę lub inną sytuację, czasami konieczne jest przeanalizowanie ogromnej liczby liczb. Wtedy na ratunek przychodzą średnie. Pozwalają one na ogólną ocenę sytuacji.

Od czasów szkolnych wielu dorosłych pamięta o istnieniu średniej arytmetycznej. Obliczenie jest bardzo proste - suma ciągu n wyrazów jest podzielna przez n. Oznacza to, że jeśli chcesz obliczyć średnią arytmetyczną w sekwencji wartości 27, 22, 34 i 37, musisz rozwiązać wyrażenie (27 + 22 + 34 + 37) / 4, ponieważ 4 wartości \u200b\u200bsą używane w obliczeniach. W takim przypadku pożądana wartość będzie równa 30.

Często w ramach kursu szkolnego badana jest również średnia geometryczna. Obliczenie tej wartości opiera się na wyodrębnieniu pierwiastka n-tego stopnia z iloczynu n wyrazów. Jeśli weźmiemy te same liczby: 27, 22, 34 i 37, wynik obliczeń wyniesie 29,4.

Średnia harmoniczna w szkole ogólnokształcącej zazwyczaj nie jest przedmiotem badań. Jednak jest używany dość często. Ta wartość jest odwrotnością średniej arytmetycznej i jest obliczana jako iloraz n - liczby wartości i sumy 1/a 1 +1/a 2 +...+1/a n . Jeśli ponownie weźmiemy tę samą serię liczb do obliczeń, wówczas harmoniczna wyniesie 29,6.

Średnia ważona: funkcje

Jednak nie wszystkie z powyższych wartości mogą być stosowane wszędzie. Na przykład w statystyce przy obliczaniu niektórych wartości średnich ważną rolę odgrywa „waga” każdej liczby użytej w obliczeniach. Wyniki są bardziej odkrywcze i poprawne, ponieważ uwzględniają więcej informacji. Ta grupa wartości jest zbiorczo określana jako „średnia ważona”. Nie są one przekazywane w szkole, dlatego warto zastanowić się nad nimi bardziej szczegółowo.

Przede wszystkim warto wyjaśnić, co oznacza „waga” określonej wartości. Najłatwiej wyjaśnić to na konkretnym przykładzie. Temperatura ciała każdego pacjenta jest mierzona dwa razy dziennie w szpitalu. Spośród 100 pacjentów na różnych oddziałach szpitala 44 będzie miało normalną temperaturę - 36,6 stopnia. Kolejne 30 będzie miało podwyższoną wartość - 37,2, 14 - 38, 7 - 38,5, 3 - 39, a pozostałe dwie - 40. A jeśli weźmiemy średnią arytmetyczną, to ta wartość ogólnie dla szpitala wyniesie ponad 38 stopni ! Ale prawie połowa pacjentów ma całkowicie normalną temperaturę. I tutaj bardziej poprawne byłoby użycie średniej ważonej, a „wagą” każdej wartości będzie liczba osób. W takim przypadku wynik obliczeń wyniesie 37,25 stopnia. Różnica jest oczywista.

W przypadku wyliczeń średniej ważonej za „wagę” można przyjąć liczbę przesyłek, liczbę osób pracujących w danym dniu, ogólnie wszystko, co da się zmierzyć i wpłynąć na końcowy wynik.

Odmiany

Średnia ważona odpowiada średniej arytmetycznej omówionej na początku artykułu. Jednak pierwsza wartość, jak już wspomniano, uwzględnia również wagę każdej liczby użytej w obliczeniach. Ponadto istnieją również ważone wartości geometryczne i harmoniczne.

Istnieje jeszcze jedna ciekawa odmiana stosowana w szeregach liczb. Jest to ważona średnia krocząca. Na jego podstawie obliczane są trendy. Poza samymi wartościami i ich wagą stosuje się tam również okresowość. A przy obliczaniu średniej wartości w pewnym momencie brane są pod uwagę również wartości z poprzednich okresów.

Obliczenie wszystkich tych wartości nie jest takie trudne, ale w praktyce zwykle stosuje się tylko zwykłą średnią ważoną.

Metody obliczeniowe

W dobie komputeryzacji nie ma potrzeby ręcznego obliczania średniej ważonej. Przydatna byłaby jednak znajomość wzoru obliczeniowego, aby można było sprawdzić iw razie potrzeby skorygować uzyskane wyniki.

Najłatwiej będzie rozważyć obliczenie na konkretnym przykładzie.

Konieczne jest ustalenie, jaka jest średnia płaca w tym przedsiębiorstwie, biorąc pod uwagę liczbę pracowników otrzymujących określone wynagrodzenie.

Tak więc obliczenie średniej ważonej przeprowadza się przy użyciu następującego wzoru:

x = (a 1 *w 1 + za 2 *w 2 +...+a n *w n)/(w 1 +w 2 +...+w n)

Na przykład obliczenie wyglądałoby następująco:

x = (32*20+33*35+34*14+40*6)/(20+35+14+6) = (640+1155+476+240)/75 = 33,48

Oczywiście nie ma szczególnych trudności w ręcznym obliczeniu średniej ważonej. Wzór na obliczenie tej wartości w jednej z najpopularniejszych aplikacji z formułami - Excelu - wygląda jak funkcja SUMPRODUCT (ciąg liczb; ciąg wag) / SUMA (ciąg wag).

Jak znaleźć średnią wartość w programie Excel?

jak znaleźć średnią arytmetyczną w excelu?

Władimir09854

Bułka z masłem. Aby znaleźć średnią wartość w Excelu, potrzebujesz tylko 3 komórek. W pierwszym piszemy jeden numer, w drugim - inny. A w trzeciej komórce ocenimy formułę, która da nam średnią wartość między tymi dwiema liczbami z pierwszej i drugiej komórki. Jeśli komórka nr 1 nazywa się A1, komórka nr 2 nazywa się B1, to w komórce z formułą musisz napisać tak:

Ta formuła oblicza średnią arytmetyczną dwóch liczb.

Dla piękna naszych obliczeń możemy zaznaczyć komórki liniami, w formie płytki.

W samym Excelu jest też funkcja do określania wartości średniej, ale używam staromodnej metody i wprowadzam potrzebną formułę. Dlatego jestem pewien, że Excel obliczy dokładnie tak, jak potrzebuję, i nie wymyśli własnego zaokrąglenia.

M3sergey

Jest to bardzo łatwe, jeśli dane są już wprowadzone do komórek. Jeśli interesuje Cię tylko liczba, po prostu wybierz żądany zakres / zakresy, a wartość sumy tych liczb, ich średnia arytmetyczna i ich liczba pojawi się na pasku stanu w prawym dolnym rogu.

Możesz wybrać pustą komórkę, kliknąć trójkąt (lista rozwijana) „Autosum” i tam wybrać „Średnia”, po czym zgodzisz się z proponowanym zakresem obliczeń lub wybrać własny.

Na koniec możesz użyć formuł bezpośrednio - kliknij „Wstaw funkcję” obok paska formuły i adresu komórki. Funkcja ŚREDNIA należy do kategorii „Statystyka” i przyjmuje jako argumenty zarówno liczby, jak i odwołania do komórek itp. Tam też można wybrać bardziej złożone opcje, na przykład ŚREDNIA JEŻELI — obliczenie średniej według warunku.

Znajdź średnią w programie Excel jest dość prostym zadaniem. Tutaj musisz zrozumieć, czy chcesz użyć tej średniej wartości w niektórych formułach, czy nie.

Jeśli potrzebujesz uzyskać tylko wartość, wystarczy wybrać wymagany zakres liczb, po czym program Excel automatycznie obliczy średnią wartość - zostanie ona wyświetlona na pasku stanu w nagłówku „Średnia”.

W przypadku, gdy chcesz użyć wyniku w formułach, możesz to zrobić:

1) Zsumuj komórki za pomocą funkcji SUMA i podziel przez liczbę liczb.

2) Bardziej poprawną opcją jest użycie specjalnej funkcji o nazwie ŚREDNIA. Argumentami tej funkcji mogą być liczby podawane sekwencyjnie lub zakres liczb.

Władimir Tichonow

zakreśl wartości, które będą uwzględniane w obliczeniach, kliknij zakładkę „Formuły”, tam po lewej stronie zobaczysz „Autosumowanie”, a obok niego trójkąt skierowany w dół. kliknij ten trójkąt i wybierz „Średnia”. Voila, gotowe) na dole kolumny zobaczysz średnią wartość :)

Jekaterina Mutalapowa

Zacznijmy od początku i po kolei. Co znaczy średnia?

Wartość średnia to wartość będąca średnią arytmetyczną, tj. oblicza się, dodając zestaw liczb, a następnie dzieląc całkowitą sumę liczb przez ich liczbę. Np. dla liczb 2, 3, 6, 7, 2 będzie to 4 (suma liczb 20 jest dzielona przez ich liczbę 5)

W arkuszu kalkulacyjnym Excel dla mnie osobiście najłatwiejszym sposobem było użycie formuły =ŚREDNIA. Aby obliczyć wartość średnią należy wprowadzić dane do tabeli, pod kolumną danych wpisać funkcję =ŚREDNIA(), aw nawiasach wskazać zakres liczb w komórkach, podświetlając kolumnę z danymi. Następnie naciśnij ENTER lub po prostu kliknij lewym przyciskiem myszy dowolną komórkę. Wynik zostanie wyświetlony w komórce pod kolumną. Na pierwszy rzut oka opis jest niezrozumiały, ale tak naprawdę to kwestia minut.

Poszukiwacz przygód 2000

Program Excel jest wielopłaszczyznowy, więc istnieje kilka opcji, które pozwolą Ci znaleźć średnią:

Pierwsza opcja. Po prostu sumujesz wszystkie komórki i dzielisz przez ich liczbę;

Druga opcja. Za pomocą specjalnego polecenia wpisz w wymaganej komórce formułę „=ŚREDNIA (i tutaj określ zakres komórek)”;

Trzecia opcja. Jeśli wybierzesz wymagany zakres, zwróć uwagę, że na poniższej stronie wyświetlana jest również średnia wartość w tych komórkach.

Tak więc istnieje wiele sposobów na znalezienie średniej wartości, wystarczy wybrać najlepszy dla siebie i stale go używać.

W Excelu, używając funkcji ŚREDNIA, możesz obliczyć prostą średnią arytmetyczną. Aby to zrobić, musisz wprowadzić liczbę wartości. Naciśnij klawisze równości i wybierz w kategorii Statystyka, spośród których wybierz funkcję ŚREDNIA

Ponadto za pomocą wzorów statystycznych można obliczyć średnią arytmetyczną ważoną, która jest uważana za dokładniejszą. Aby to obliczyć, potrzebujemy wartości wskaźnika i częstotliwości.

Jak znaleźć średnią w Excelu?

Sytuacja jest taka. Jest następująca tabela:

Kolumny zacieniowane na czerwono zawierają wartości liczbowe ocen z przedmiotów. W kolumnie „Średnia” musisz obliczyć ich średnią wartość.
Problem polega na tym, że w sumie jest 60-70 obiektów, a niektóre z nich są na innym arkuszu.
Zajrzałem do innego dokumentu, średnia została już obliczona, aw komórce jest formuła typu
="nazwa arkusza"!|E12
ale zrobił to jakiś programista, który został zwolniony.
Powiedz mi, proszę, kto to rozumie.

Zabijaka

W wierszu funkcji wstawiasz „ŚREDNIA” z proponowanych funkcji i wybierasz, skąd mają być obliczane (B6: N6) na przykład dla Iwanowa. Nie wiem na pewno o sąsiednich arkuszach, ale na pewno jest to zawarte w standardowej pomocy systemu Windows

Powiedz mi, jak obliczyć średnią wartość w programie Word

Powiedz mi, jak obliczyć średnią wartość w programie Word. Mianowicie średnia wartość ocen, a nie liczba osób, które otrzymały oceny.

Julia Pawłowa

Program Word może wiele zdziałać za pomocą makr. Naciśnij ALT+F11 i napisz makroprogram.
Ponadto Insert-Object... pozwoli ci użyć innych programów, nawet Excela, do stworzenia arkusza z tabelą wewnątrz dokumentu Word.
Ale w tym przypadku musisz zapisać swoje liczby w kolumnie tabeli i umieścić średnią w dolnej komórce tej samej kolumny, prawda?
W tym celu wstaw pole do dolnej komórki.
Wstaw-Pole...-Formuła
Zawartość pola
[=ŚREDNIA(POWYŻEJ)]
zwraca średnią z sumy komórek powyżej.
Jeśli pole jest zaznaczone i wciśnięty jest prawy przycisk myszy, to można je zaktualizować, jeśli numery się zmieniły,
wyświetl kod lub wartość pola, zmień kod bezpośrednio w polu.
Jeśli coś pójdzie nie tak, usuń całe pole w komórce i utwórz je ponownie.
ŚREDNIA oznacza średnią, POWYŻEJ - o rząd komórek powyżej.
Sam tego wszystkiego nie wiedziałem, ale bez problemu znalazłem to w POMOCY, oczywiście trochę myśląc.