Jak odjąć ułamki o różnych mianownikach. Akcje z ułamkami

Powiedzmy, że Achilles biegnie dziesięć razy szybciej niż żółw i jest o tysiąc kroków za nim. W czasie, w którym Achilles przebiega tę odległość, żółw czołga się sto kroków w tym samym kierunku. Kiedy Achilles przebiegnie sto kroków, żółw przeczołga się jeszcze dziesięć kroków i tak dalej. Proces będzie trwał w nieskończoność, Achilles nigdy nie dogoni żółwia.

To rozumowanie stało się logicznym szokiem dla wszystkich kolejnych pokoleń. Arystoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Wszyscy oni, w taki czy inny sposób, rozważali aporie Zenona. Wstrząs był tak silny, że » ... dyskusje trwają do chwili obecnej, społeczność naukowa nie zdołała jeszcze dojść do wspólnej opinii na temat istoty paradoksów ... analiza matematyczna, teoria mnogości, nowe podejścia fizyczne i filozoficzne były zaangażowane w badanie problemu ; żaden z nich nie stał się powszechnie akceptowanym rozwiązaniem problemu ...„[Wikipedia”, „Aporie Zenona”]. Wszyscy rozumieją, że są oszukiwani, ale nikt nie rozumie, na czym polega oszustwo.

Z punktu widzenia matematyki Zenon w swojej aporii wyraźnie pokazał przejście od wartości do. To przejście oznacza zastosowanie zamiast stałych. O ile rozumiem, aparat matematyczny do stosowania zmiennych jednostek miary albo jeszcze nie został opracowany, albo nie został zastosowany do aporii Zenona. Stosowanie naszej zwykłej logiki prowadzi nas w pułapkę. My, przez bezwładność myślenia, stosujemy stałe jednostki czasu do odwrotności. Z fizycznego punktu widzenia wygląda to tak, jakby czas zwolnił do całkowitego zatrzymania w momencie, gdy Achilles dogania żółwia. Jeśli czas się zatrzyma, Achilles nie może już dogonić żółwia.

Jeśli zmienimy logikę, do której jesteśmy przyzwyczajeni, wszystko się ułoży. Achilles biegnie ze stałą prędkością. Każdy kolejny odcinek jego drogi jest dziesięć razy krótszy od poprzedniego. W związku z tym czas poświęcony na pokonanie go jest dziesięć razy krótszy niż poprzedni. Jeśli zastosujemy pojęcie „nieskończoności” w tej sytuacji, to poprawne byłoby stwierdzenie „Achilles nieskończenie szybko dogoni żółwia”.

Jak uniknąć tej logicznej pułapki? Pozostań w stałych jednostkach czasu i nie przełączaj się na wartości odwrotne. W języku Zenona wygląda to tak:

W czasie potrzebnym Achillesowi na pokonanie tysiąca kroków, żółw czołga się sto kroków w tym samym kierunku. W następnym przedziale czasu, równym pierwszemu, Achilles przebiegnie kolejne tysiąc kroków, a żółw przeczołga się sto kroków. Teraz Achilles wyprzedza żółwia o osiemset kroków.

Takie podejście adekwatnie opisuje rzeczywistość bez paradoksów logicznych. Ale to nie jest pełne rozwiązanie problemu. Stwierdzenie Einsteina o nie do pokonania prędkości światła jest bardzo podobne do aporii Zenona „Achilles i żółw”. Musimy jeszcze zbadać, przemyśleć i rozwiązać ten problem. A rozwiązania należy szukać nie w nieskończenie dużych liczbach, ale w jednostkach miary.

Inna interesująca aporia Zenona mówi o lecącej strzale:

Latająca strzała jest nieruchoma, ponieważ w każdej chwili czasu jest w spoczynku, a ponieważ jest w spoczynku w każdej chwili czasu, zawsze jest w spoczynku.

W tej aporii paradoks logiczny zostaje przezwyciężony w bardzo prosty sposób - wystarczy wyjaśnić, że lecąca strzała w każdym momencie spoczywa w różnych punktach przestrzeni, co w rzeczywistości jest ruchem. W tym miejscu należy zwrócić uwagę na jeszcze jedną kwestię. Na podstawie jednego zdjęcia samochodu na drodze nie można określić ani faktu jego ruchu, ani odległości do niego. Do ustalenia faktu ruchu samochodu potrzebne są dwa zdjęcia wykonane z tego samego punktu w różnych momentach czasu, ale nie można na ich podstawie określić odległości. Aby określić odległość do samochodu, potrzebujesz dwóch zdjęć wykonanych jednocześnie z różnych punktów w przestrzeni, ale nie możesz na ich podstawie określić faktu ruchu (oczywiście nadal potrzebujesz dodatkowych danych do obliczeń, trygonometria ci pomoże). Chcę w szczególności podkreślić, że dwa punkty w czasie i dwa punkty w przestrzeni to dwie różne rzeczy, których nie należy mylić, ponieważ dają różne możliwości eksploracji.

środa, 4 lipca 2018 r

Bardzo dobrze różnice między setem a multisetem są opisane w Wikipedii. Patrzymy.

Jak widać, „zbiór nie może mieć dwóch identycznych elementów”, ale jeśli w zbiorze znajdują się identyczne elementy, to taki zbiór nazywany jest „wielozbiorem”. Rozsądne istoty nigdy nie zrozumieją takiej logiki absurdu. Jest to poziom gadających papug i tresowanych małp, na których umysł jest nieobecny na słowie „całkowicie”. Matematycy działają jak zwykli trenerzy, wmawiając nam swoje absurdalne idee.

Dawno, dawno temu inżynierowie, którzy budowali most, znajdowali się w łodzi pod mostem podczas testów mostu. Jeśli most się zawalił, przeciętny inżynier zginął pod gruzami swojego dzieła. Jeśli most mógł wytrzymać obciążenie, utalentowany inżynier zbudował inne mosty.

Bez względu na to, jak matematycy kryją się za frazą „uważaj, jestem w domu”, czy raczej „matematyka studiuje abstrakcyjne pojęcia”, istnieje jedna pępowina, która nierozerwalnie łączy ich z rzeczywistością. Ta pępowina to pieniądze. Zastosujmy matematyczną teorię mnogości do samych matematyków.

Bardzo dobrze uczyliśmy się matematyki, a teraz siedzimy przy kasie, płacąc pensje. Oto przychodzi do nas matematyk po swoje pieniądze. Przeliczamy mu całą kwotę i rozkładamy na stole na różne stosy, w których umieszczamy banknoty o tym samym nominale. Następnie bierzemy po jednym rachunku z każdego stosu i dajemy matematykowi jego „zestaw wynagrodzeń matematycznych”. Matematyce tłumaczymy, że resztę rachunków otrzyma dopiero wtedy, gdy udowodni, że zbiór bez identycznych elementów nie jest równy zbiorowi z identycznymi elementami. Tutaj zaczyna się zabawa.

Przede wszystkim zadziała logika posłów: „możesz to zastosować do innych, ale nie do mnie!” Ponadto zaczną się zapewnienia, że ​​na banknotach tego samego nominału znajdują się różne numery banknotów, co oznacza, że ​​nie można ich uznać za identyczne elementy. Cóż, pensję liczymy w monetach - na monetach nie ma numerów. Tutaj matematyk będzie gorączkowo przypominał fizykę: różne monety mają różną ilość brudu, struktura krystaliczna i układ atomów dla każdej monety jest wyjątkowy ...

I teraz mam najciekawsze pytanie: gdzie jest granica, za którą elementy multisetu zamieniają się w elementy zbioru i odwrotnie? Taka linia nie istnieje - o wszystkim decydują szamani, nauka tutaj nie jest nawet bliska.

Popatrz tutaj. Wybieramy stadiony piłkarskie o tej samej powierzchni boiska. Powierzchnia pól jest taka sama, co oznacza, że ​​mamy multiset. Ale jeśli weźmiemy pod uwagę nazwy tych samych stadionów, otrzymamy wiele, ponieważ nazwy są różne. Jak widać, ten sam zbiór elementów jest jednocześnie zbiorem i multizbiorem. Jak dobrze? I tutaj matematyk-szaman-szuller wyjmuje z rękawa asa atutowego i zaczyna nam opowiadać albo o zbiorze, albo o wielozbiorze. W każdym razie przekona nas, że ma rację.

Aby zrozumieć, jak współcześni szamani operują teorią mnogości, wiążąc ją z rzeczywistością, wystarczy odpowiedzieć na jedno pytanie: czym różnią się elementy jednego zbioru od elementów innego zbioru? Pokażę wam, bez żadnego „pojmowalnego jako nie pojedyncza całość” czy „niepojmowalnego jako pojedyncza całość”.

niedziela, 18 marca 2018 r

Suma cyfr liczby to taniec szamanów z tamburynem, który nie ma nic wspólnego z matematyką. Tak, na lekcjach matematyki uczy się nas znajdowania sumy cyfr liczby i używania jej, ale oni są od tego szamanami, żeby uczyć swoich potomków ich umiejętności i mądrości, inaczej szamani po prostu wymrą.

Potrzebujesz dowodu? Otwórz Wikipedię i spróbuj znaleźć stronę „Suma cyfr liczby”. Ona nie istnieje. W matematyce nie ma wzoru, dzięki któremu można znaleźć sumę cyfr dowolnej liczby. W końcu liczby to symbole graficzne, za pomocą których zapisujemy liczby, a w języku matematyki zadanie brzmi tak: „Znajdź sumę symboli graficznych reprezentujących dowolną liczbę”. Matematycy nie mogą rozwiązać tego problemu, ale szamani mogą to zrobić elementarnie.

Zastanówmy się, co i jak robimy, aby znaleźć sumę cyfr danej liczby. I tak powiedzmy, że mamy liczbę 12345. Co należy zrobić, aby znaleźć sumę cyfr tej liczby? Rozważmy wszystkie kroki w kolejności.

1. Zapisz liczbę na kartce papieru. Co my zrobiliśmy? Przekształciliśmy liczbę w symbol graficzny liczby. To nie jest operacja matematyczna.

2. Jedno otrzymane zdjęcie dzielimy na kilka obrazków zawierających osobne numery. Cięcie obrazu nie jest operacją matematyczną.

3. Konwertuj poszczególne znaki graficzne na liczby. To nie jest operacja matematyczna.

4. Dodaj otrzymane liczby. Teraz to matematyka.

Suma cyfr liczby 12345 wynosi 15. Są to „kursy krojenia i szycia” szamanów używane przez matematyków. Ale to nie wszystko.

Z punktu widzenia matematyki nie ma znaczenia, w jakim systemie liczbowym zapiszemy liczbę. Tak więc w różnych systemach liczbowych suma cyfr tej samej liczby będzie różna. W matematyce system liczbowy jest oznaczony jako indeks dolny po prawej stronie liczby. Przy dużej liczbie 12345, nie chcę oszukać głowy, rozważ liczbę 26 z artykułu o. Zapiszmy tę liczbę w systemie binarnym, ósemkowym, dziesiętnym i szesnastkowym. Nie będziemy rozważać każdego kroku pod mikroskopem, już to zrobiliśmy. Spójrzmy na wynik.

Jak widać, w różnych systemach liczbowych suma cyfr tej samej liczby jest różna. Ten wynik nie ma nic wspólnego z matematyką. To tak, jakby znalezienie pola prostokąta w metrach i centymetrach dałoby zupełnie inne wyniki.

Zero we wszystkich systemach liczbowych wygląda tak samo i nie ma sumy cyfr. To kolejny argument przemawiający za tym, że . Pytanie do matematyków: jak oznacza się w matematyce to, co nie jest liczbą? Co dla matematyków istnieje tylko liczby? Dla szamanów mogę na to pozwolić, ale dla naukowców nie. Rzeczywistość to nie tylko liczby.

Otrzymany wynik należy traktować jako dowód na to, że systemy liczbowe są jednostkami miary liczb. W końcu nie możemy porównywać liczb z różnymi jednostkami miary. Jeśli te same działania z różnymi jednostkami miary tej samej wielkości prowadzą do różnych wyników po ich porównaniu, to nie ma to nic wspólnego z matematyką.

Czym jest prawdziwa matematyka? Dzieje się tak, gdy wynik działania matematycznego nie zależy od wartości liczby, zastosowanej jednostki miary ani od tego, kto wykonuje tę czynność.

Auć! Czy to nie jest damska toaleta?
- Młoda kobieta! To jest laboratorium do badania nieokreślonej świętości dusz po wstąpieniu do nieba! Nimbus na górze i strzałka w górę. Jaka inna toaleta?

Kobieta... Aureola na górze i strzałka w dół to mężczyzna.

Jeśli masz takie dzieło sztuki projektowej kilka razy dziennie migające przed twoimi oczami,

Nic więc dziwnego, że nagle znajdujesz w swoim samochodzie dziwną ikonę:

Osobiście staram się zobaczyć minus cztery stopnie u kupczącej osoby (jedno zdjęcie) (skład kilku zdjęć: znak minus, cyfra cztery, oznaczenie stopni). I nie uważam tej dziewczyny za głupka, który nie zna fizyki. Po prostu ma łukowy stereotyp postrzegania obrazów graficznych. A matematycy cały czas nas tego uczą. Oto przykład.

1A to nie „minus cztery stopnie” ani „jeden a”. To jest „srający człowiek” lub liczba „dwadzieścia sześć” w systemie liczb szesnastkowych. Osoby, które stale pracują w tym systemie liczbowym, automatycznie postrzegają cyfrę i literę jako jeden symbol graficzny.

Dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych o tych samych mianownikach
Dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych o różnych mianownikach
Koncepcja NOC
Sprowadzanie ułamków do tego samego mianownika
Jak dodać liczbę całkowitą i ułamek

1 Dodawanie i odejmowanie ułamków o tych samych mianownikach

Aby dodać ułamki o tych samych mianownikach, musisz dodać ich liczniki i pozostawić mianownik bez zmian, na przykład:

Aby odjąć ułamki o tych samych mianownikach, odejmij licznik drugiego ułamka od licznika pierwszego ułamka i pozostaw mianownik bez zmian, na przykład:

Aby dodać ułamki mieszane, musisz osobno dodać ich części całkowite, a następnie dodać ich części ułamkowe i wynik zapisać jako ułamek mieszany,

Jeżeli podczas dodawania części ułamkowych otrzymamy ułamek niewłaściwy, wybieramy z niego część całkowitą i dodajemy ją do części całkowitej, np.:

2 Dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych o różnych mianownikach

Aby dodawać lub odejmować ułamki o różnych mianownikach, musisz najpierw doprowadzić je do tego samego mianownika, a następnie postępować zgodnie ze wskazówkami na początku tego artykułu. Wspólnym mianownikiem kilku ułamków jest LCM (najmniejsza wspólna wielokrotność). Dla licznika każdego z ułamków dodatkowe czynniki znajdują się poprzez podzielenie LCM przez mianownik tego ułamka. Przyjrzymy się przykładowi później, gdy dowiemy się, czym jest LCM.

3 Najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM)

Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch liczb (LCM) to najmniejsza liczba naturalna, która jest podzielna przez obie te liczby bez reszty. Czasami LCM można znaleźć ustnie, ale częściej, zwłaszcza podczas pracy z dużymi liczbami, musisz znaleźć LCM na piśmie, korzystając z następującego algorytmu:

Aby znaleźć LCM kilku liczb, potrzebujesz:

1. Rozłóż te liczby na czynniki pierwsze
2. Weź największą ekspansję i zapisz te liczby jako iloczyn
3. Wybierz w innych rozwinięciach liczby, które nie występują w największym rozwinięciu (lub występują w nim mniejszą liczbę razy) i dodaj je do produktu.
4. Pomnóż wszystkie liczby w produkcie, to będzie LCM.

Na przykład znajdźmy LCM liczb 28 i 21:

4Sprowadzanie ułamków zwykłych do tego samego mianownika

Wróćmy do dodawania ułamków o różnych mianownikach.

Kiedy sprowadzamy ułamki do tego samego mianownika, równego LCM obu mianowników, musimy pomnożyć liczniki tych ułamków przez dodatkowe mnożniki. Możesz je znaleźć, dzieląc LCM przez mianownik odpowiedniego ułamka, na przykład:

Tak więc, aby sprowadzić ułamki do jednego wskaźnika, należy najpierw znaleźć LCM (czyli najmniejszą liczbę podzielną przez oba mianowniki) mianowników tych ułamków, a następnie umieścić dodatkowe współczynniki w licznikach ułamków. Możesz je znaleźć, dzieląc wspólny mianownik (LCD) przez mianownik odpowiedniego ułamka. Następnie musisz pomnożyć licznik każdego ułamka przez dodatkowy czynnik i umieścić LCM jako mianownik.

5Jak dodać liczbę całkowitą i ułamek

Aby dodać liczbę całkowitą i ułamek, wystarczy dodać tę liczbę przed ułamkiem, a otrzymasz na przykład ułamek mieszany.

Rozważ ułamek $\frac63$. Jego wartość wynosi 2, ponieważ $\frac63 = 6:3 = 2 $. Co się stanie, jeśli licznik i mianownik pomnożymy przez 2? $\frac63 \times 2=\frac(12)(6)$. Oczywiście wartość ułamka się nie zmieniła, więc $\frac(12)(6)$ również jest równe 2 jako y. pomnóż licznik i mianownik o 3 i otrzymamy $\frac(18)(9)$ lub o 27 i otrzymamy $\frac(162)(81)$ lub o 101 i otrzymamy $\frac(606)(303)$. W każdym z tych przypadków wartość ułamka, który otrzymujemy dzieląc licznik przez mianownik, wynosi 2. Oznacza to, że się nie zmienił.

Ten sam schemat obserwuje się w przypadku innych frakcji. Jeśli licznik i mianownik ułamka $\frac(120)(60)$ (równy 2) podzielimy przez 2 (wynik $\frac(60)(30)$) lub przez 3 (wynik $\ frac(40)(20) $), lub o 4 (wynik $\frac(30)(15)$) i tak dalej, to w każdym przypadku wartość ułamka pozostaje niezmieniona i równa 2.

Ta zasada dotyczy również ułamków, które nie są równe. cały numer.

Jeśli licznik i mianownik ułamka $\frac(1)(3)$ pomnożymy przez 2, otrzymamy $\frac(2)(6)$, czyli wartość ułamka się nie zmieniła. W rzeczywistości, jeśli podzielisz ciasto na 3 części i weźmiesz jedną z nich lub podzielisz je na 6 części i weźmiesz 2 części, otrzymasz taką samą ilość ciasta w obu przypadkach. Dlatego liczby $\frac(1)(3)$ i $\frac(2)(6)$ są identyczne. Sformułujmy ogólną zasadę.

Licznik i mianownik dowolnego ułamka można pomnożyć lub podzielić przez tę samą liczbę, a wartość ułamka się nie zmienia.

Ta zasada jest bardzo przydatna. Na przykład pozwala w niektórych przypadkach, ale nie zawsze, uniknąć operacji z dużymi liczbami.

Na przykład, możemy podzielić licznik i mianownik ułamka $\frac(126)(189)$ przez 63 i otrzymać ułamek $\frac(2)(3)$, który jest znacznie łatwiejszy do obliczenia. Jeszcze jeden przykład. Możemy podzielić licznik i mianownik ułamka $\frac(155)(31)$ przez 31 i otrzymać ułamek $\frac(5)(1)$ czyli 5, ponieważ 5:1=5.

W tym przykładzie po raz pierwszy napotkaliśmy ułamek, którego mianownikiem jest 1. Takie ułamki odgrywają ważną rolę w obliczeniach. Należy pamiętać, że dowolną liczbę można podzielić przez 1 i jej wartość się nie zmieni. Oznacza to, że $\frac(273)(1)$ jest równe 273; $\frac(509993)(1)$ równa się 509993 i tak dalej. Dlatego nie musimy dzielić liczb przez , ponieważ każdą liczbę całkowitą można przedstawić jako ułamek o mianowniku 1.

Na takich ułamkach, których mianownik jest równy 1, można wykonać te same operacje arytmetyczne, co na wszystkich innych ułamkach: $\frac(15)(1)+\frac(15)(1)=\frac(30) (1) $, $\frac(4)(1) \times \frac(3)(1)=\frac(12)(1)$.

Możesz zapytać, jaki jest pożytek z przedstawienia liczby całkowitej jako ułamka, który będzie miał jednostkę pod kreską, ponieważ wygodniej jest pracować z liczbą całkowitą. Ale faktem jest, że reprezentacja liczby całkowitej jako ułamka daje nam możliwość wydajniejszego wykonywania różnych czynności, gdy mamy do czynienia jednocześnie z liczbami całkowitymi i ułamkowymi. Na przykład uczyć się dodaj ułamki o różnych mianownikach. Załóżmy, że musimy dodać $\frac(1)(3)$ i $\frac(1)(5)$.

Wiemy, że możesz dodawać tylko ułamki, których mianowniki są równe. Musimy więc nauczyć się, jak doprowadzić ułamki do takiej postaci, gdy ich mianowniki są równe. W tym przypadku ponownie potrzebujemy faktu, że możesz pomnożyć licznik i mianownik ułamka przez tę samą liczbę bez zmiany jego wartości.

Najpierw mnożymy licznik i mianownik ułamka $\frac(1)(3)$ przez 5. Otrzymujemy $\frac(5)(15)$, wartość ułamka się nie zmieniła. Następnie mnożymy licznik i mianownik ułamka $\frac(1)(5)$ przez 3. Otrzymujemy $\frac(3)(15)$, ponownie wartość ułamka się nie zmieniła. Dlatego $\frac(1)(3)+\frac(1)(5)=\frac(5)(15)+\frac(3)(15)=\frac(8)(15)$.

Spróbujmy teraz zastosować ten system do dodawania liczb zawierających zarówno części całkowite, jak i ułamkowe.

Musimy dodać 3 $ + \frac(1)(3)+1\frac(1)(4)$. Najpierw zamieniamy wszystkie wyrazy na ułamki i otrzymujemy: $\frac31 + \frac(1)(3)+\frac(5)(4)$. Teraz musimy sprowadzić wszystkie ułamki do wspólnego mianownika, w tym celu mnożymy licznik i mianownik pierwszego ułamka przez 12, drugiego przez 4, a trzeciego przez 3. W rezultacie otrzymujemy $\frac(36 )(12) + \frac(4 )(12)+\frac(15)(12)$, co jest równe $\frac(55)(12)$. Jeśli chcesz się pozbyć ułamek niewłaściwy, można ją przekształcić w liczbę składającą się z liczby całkowitej i części ułamkowej: $\frac(55)(12) = \frac(48)(12)+\frac(7)(12)$ lub $4\frac( 7)( 12)$.

Wszystkie zasady, które pozwalają operacje na ułamkach, które właśnie przestudiowaliśmy, obowiązują również w przypadku liczb ujemnych. Zatem -1:3 można zapisać jako $\frac(-1)(3)$, a 1: (-3) jako $\frac(1)(-3)$.

Ponieważ zarówno dzielenie liczby ujemnej przez liczbę dodatnią, jak i dzielenie liczby dodatniej przez liczbę ujemną daje w wyniku liczby ujemne, w obu przypadkach otrzymamy odpowiedź w postaci liczby ujemnej. To znaczy

$(-1) : 3 = \frac(1)(3)$ lub $1 : (-3) = \frac(1)(-3)$. Znak minus zapisany w ten sposób odnosi się do całego ułamka jako całości, a nie osobno do licznika lub mianownika.

Z drugiej strony (-1) : (-3) można zapisać jako $\frac(-1)(-3)$, a ponieważ dzielenie liczby ujemnej przez liczbę ujemną daje liczbę dodatnią, to $\frac (-1 )(-3)$ można zapisać jako $+\frac(1)(3)$.

Dodawanie i odejmowanie ułamków ujemnych odbywa się w taki sam sposób, jak dodawanie i odejmowanie ułamków dodatnich. Na przykład, ile to jest $1-1\frac13$? Przedstawmy obie liczby jako ułamki i otrzymajmy $\frac(1)(1)-\frac(4)(3)$. Sprowadźmy ułamki do wspólnego mianownika i otrzymajmy $\frac(1 \times 3)(1 \times 3)-\frac(4)(3)$, czyli $\frac(3)(3)-\frac( 4) (3)$ lub $-\frac(1)(3)$.

Jak wiesz z matematyki, liczba ułamkowa składa się z licznika i mianownika. Licznik jest na górze, a mianownik na dole.

Wykonywanie operacji matematycznych na dodawaniu lub odejmowaniu wielkości ułamkowych o tym samym mianowniku jest dość proste. Wystarczy umieć dodawać lub odejmować liczby w liczniku (na górze), a ta sama dolna liczba pozostaje niezmieniona.

Weźmy na przykład liczbę ułamkową 7/9, tutaj:

• liczba „siedem” na górze to licznik;
• liczba „dziewięć” poniżej to mianownik.

Przykład 1. Dodatek:

5/49 + 4/49 = (5+4) / 49 =9/49.

Przykład 2. Odejmowanie:

6/35−3/35 = (6−3) / 35 = 3/35.

Odejmowanie prostych wartości ułamkowych, które mają inny mianownik

Aby wykonać operację matematyczną polegającą na odjęciu wartości, które mają inny mianownik, należy najpierw sprowadzić je do wspólnego mianownika. Podczas wykonywania tego zadania należy przestrzegać zasady, że tym wspólnym mianownikiem musi być najmniejsza ze wszystkich możliwych opcji.

Przykład 3

Biorąc pod uwagę dwie proste wielkości o różnych mianownikach (niższe liczby): 7/8 i 2/9.

Odejmij drugą od pierwszej wartości.

Rozwiązanie składa się z kilku kroków:

1. Znajdź wspólną niższą liczbę, tj. to, co jest podzielne zarówno przez niższą wartość pierwszego ułamka, jak i drugiego. Będzie to liczba 72, ponieważ jest to wielokrotność liczb „osiem” i „dziewięć”.

2. Dolna cyfra każdego ułamka wzrosła:

• liczba „osiem” w ułamku 7/8 wzrosła dziewięciokrotnie - 8*9=72;
• liczba „dziewięć” w ułamku 2/9 wzrosła ośmiokrotnie - 9*8=72.

3. Jeśli zmienił się mianownik (liczba dolna), to licznik (liczba górna) również musi się zmienić. Zgodnie z istniejącą regułą matematyczną górną cyfrę należy zwiększyć dokładnie o taką samą wartość jak dolną. To znaczy:

• licznik „siedem” w pierwszym ułamku (7/8) jest mnożony przez liczbę „dziewięć” - 7*9=63;
• licznik "dwa" w drugim ułamku (2/9) jest mnożony przez liczbę "osiem" - 2*8=16.

4. W wyniku działań otrzymaliśmy dwie nowe wartości, które jednak są identyczne z oryginalnymi.

• pierwszy: 7/8 = 7*9 / 8*9 = 63/72;
• druga: 2/9 = 2*8 / 9*8 = 16/72.

5. Teraz można odjąć jedną liczbę ułamkową od drugiej:

7/8−2/9 = 63/72−16/72 =?

6. Wykonując tę ​​czynność, wracamy do tematu odejmowania ułamków o tych samych niższych liczbach (mianownikach). A to oznacza, że ​​czynność odejmowania zostanie przeprowadzona z góry, w liczniku, a dolna cyfra zostanie przeniesiona bez zmian.

63/72−16/72 = (63−16) / 72 = 47/72.

7/8−2/9 = 47/72.

Przykład 4

Skomplikujmy problem, biorąc kilka ułamków do rozwiązania z różnymi, ale wieloma cyframi na dole.

Podane wartości: 5/6; 1/3; 1/12; 24.07.

W tej kolejności należy je od siebie odsunąć.

1. W powyższy sposób doprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika, którym będzie liczba „24”:

• 5/6 = 5*4 / 6*4 = 20/24;
• 1/3 = 1*8 / 3*8 = 8/24;
• 1/12 = 1*2 / 12*2 = 2/24.

24.07 - tę ostatnią wartość pozostawiamy bez zmian, ponieważ mianownik to liczba całkowita „24”.

2. Odejmij wszystkie wartości:

20/24−8/2−2/24−7/24 = (20−8−2−7)/24 = 3/24.

3. Ponieważ licznik i mianownik wynikowego ułamka są podzielne przez jedną liczbę, można je zmniejszyć, dzieląc przez liczbę „trzy”:

3:3 / 24:3 = 1/8.

4. Piszemy odpowiedź w ten sposób:

5/6−1/3−1/12−7/24 = 1/8.

Przykład 5

Biorąc pod uwagę trzy ułamki o niewielokrotnych mianownikach: 3/4; 2/7; 1/13.

Musisz znaleźć różnicę.

1. Pierwsze dwie liczby doprowadzamy do wspólnego mianownika, będzie to liczba „28”:

• ¾ \u003d 3 * 7 / 4 * 7 \u003d 21/28;
• 2/7 = 2*4 / 7*4 = 8/28.

2. Odejmij między sobą pierwsze dwie frakcje:

¾-2/7 = 21/28-8/28 = (21-8) / 28 = 13/28.

3. Od otrzymanej wartości odejmij trzeci podany ułamek:

4. Sprowadzamy liczby do wspólnego mianownika. Jeśli nie można wybrać tego samego mianownika w prostszy sposób, wystarczy wykonać kroki, mnożąc wszystkie mianowniki szeregowo ze sobą, nie zapominając o zwiększeniu wartości licznika o tę samą cyfrę. W tym przykładzie robimy to:

• 13/28 \u003d 13 * 13 / 28 * 13 \u003d 169/364, gdzie 13 to dolna cyfra od 5/13;
• 5/13 \u003d 5 * 28 / 13 * 28 \u003d 140/364, gdzie 28 to dolna cyfra od 13/28.

5. Odejmij otrzymane ułamki:

13/28−5/13 = 169/364−140/364 = (169−140) / 364 = 29/364.

Odpowiedź: ¾-2/7-5/13 = 29/364.

Mieszane liczby ułamkowe

W omówionych powyżej przykładach użyto tylko właściwych ułamków.

Jako przykład:

• 8/9 to ułamek właściwy;
• 9/8 jest błędny.

Nie można zamienić ułamka niewłaściwego na właściwy, ale można go zamienić mieszany. Dlaczego górna liczba (licznik) jest dzielona przez dolną liczbę (mianownik), aby otrzymać liczbę z resztą. Liczba całkowita wynikająca z dzielenia jest zapisywana w ten sposób, reszta jest zapisywana w liczniku na górze, a mianownik, który jest na dole, pozostaje ten sam. Aby to wyjaśnić, rozważ konkretny przykład:

Przykład 6

Ułamek niewłaściwy 9/8 zamieniamy na właściwy.

Aby to zrobić, dzielimy liczbę „dziewięć” przez „osiem”, w wyniku czego otrzymujemy ułamek mieszany z liczbą całkowitą i resztą:

9: 8 = 1 i 1/8 (inaczej można to zapisać jako 1 + 1/8), gdzie:

• liczba 1 jest liczbą całkowitą wynikającą z dzielenia;
• kolejna liczba 1 - reszta;
• liczba 8 to mianownik, który pozostał niezmieniony.

Liczba całkowita jest również nazywana liczbą naturalną.

Reszta i mianownik to nowy, ale już poprawny ułamek.

Podczas pisania liczby 1 jest ona zapisywana przed właściwym ułamkiem 1/8.

Odejmowanie liczb mieszanych o różnych mianownikach

Z powyższego podajemy definicję mieszanej liczby ułamkowej: "Pomieszane numery - jest to wartość równa sumie liczby całkowitej i właściwego ułamka zwykłego. W tym przypadku nazywana jest cała część Liczba naturalna, a liczba, która jest w pozostałej części, jest jego część ułamkowa».

Przykład 7

Biorąc pod uwagę: dwie mieszane wielkości ułamkowe, składające się z liczby całkowitej i ułamka właściwego:

• pierwsza wartość to 9 i 4/7, czyli (9 + 4/7);
• druga wartość to 3 i 5/21, czyli (3+5/21).

Konieczne jest znalezienie różnicy między tymi wartościami.

1. Aby odjąć 3+5/21 od 9+4/7, musisz najpierw odjąć od siebie wartości całkowite:

4/7−5/21 = 4*3 / 7*3−5/21 =12/21−5/21 = (12−5) / 21 = 7/21.

3. Wynik różnicy dwóch liczb mieszanych będzie się składał z liczby naturalnej (całkowitej) 6 i ułamka właściwego 7/21 = 1/3:

(9 + 4/7) - (3 + 5/21) = 6 + 1/3.

Matematycy wszystkich krajów zgodzili się, że znak „+” przy zapisie ilości mieszanych można pominąć i pozostawić tylko liczbę całkowitą przed ułamkiem bez znaku.

Zwykłe liczby ułamkowe po raz pierwszy spotykają uczniów w piątej klasie i towarzyszą im przez całe życie, ponieważ w życiu codziennym często konieczne jest rozważenie lub użycie jakiegoś przedmiotu nie w całości, ale w osobnych częściach. Początek badania tego tematu - udostępnij. Udziały są równymi częściami na jakie obiekt jest podzielony. W końcu nie zawsze da się wyrazić np. długość czy cenę produktu jako liczbę całkowitą, należy wziąć pod uwagę części lub udziały dowolnej miary. Utworzony z czasownika „zmiażdżyć” - podzielić na części i mający arabskie korzenie, w VIII wieku samo słowo „ułamek” pojawiło się w języku rosyjskim.

Wyrażenia ułamkowe od dawna uważane są za najtrudniejszą część matematyki. W XVII wieku, kiedy pojawiły się pierwsze podręczniki do matematyki, nazywano je „liczbami łamanymi”, co było bardzo trudne do zrozumienia dla ludzi.

Nowoczesną formę prostych reszt ułamkowych, których części oddzielone są precyzyjnie poziomą linią, po raz pierwszy propagował Fibonacci – Leonardo z Pizy. Jego pisma datowane są na 1202 rok. Ale celem tego artykułu jest proste i jasne wyjaśnienie czytelnikowi, w jaki sposób zachodzi mnożenie ułamków mieszanych o różnych mianownikach.

Mnożenie ułamków o różnych mianownikach

Na początek konieczne jest ustalenie odmiany ułamków:

• prawidłowy;
• źle;
• mieszany.

Następnie musisz pamiętać, jak mnożone są liczby ułamkowe o tych samych mianownikach. Sama zasada tego procesu jest łatwa do samodzielnego sformułowania: wynikiem mnożenia ułamków prostych o tych samych mianownikach jest wyrażenie ułamkowe, którego licznik jest iloczynem liczników, a mianownik jest iloczynem mianowników tych ułamków . Oznacza to, że w rzeczywistości nowy mianownik jest kwadratem jednego z istniejących początkowo.

Podczas mnożenia proste ułamki o różnych mianownikach dla dwóch lub więcej czynników reguła się nie zmienia:

a/b * c/d = a*c / b*d.

Jedyna różnica polega na tym, że utworzona liczba pod kreską ułamkową będzie iloczynem różnych liczb i oczywiście nie można jej nazwać kwadratem jednego wyrażenia liczbowego.

Warto rozważyć mnożenie ułamków o różnych mianownikach na przykładach:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Przykłady wykorzystują sposoby zmniejszania wyrażeń ułamkowych. Możesz zmniejszyć tylko liczby licznika liczbami mianownika; sąsiednie czynniki powyżej lub poniżej kreski ułamkowej nie mogą zostać zmniejszone.

Wraz z prostymi liczbami ułamkowymi istnieje koncepcja ułamków mieszanych. Liczba mieszana składa się z liczby całkowitej i części ułamkowej, czyli jest sumą tych liczb:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Jak działa mnożenie?

Do rozważenia podano kilka przykładów.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

W przykładzie zastosowano mnożenie liczby przez część ułamkowa zwykła, możesz zapisać regułę dla tej akcji według wzoru:

a * b/c = a*b/c.

W rzeczywistości taki iloczyn jest sumą identycznych reszt ułamkowych, a liczba wyrazów wskazuje na tę liczbę naturalną. Szczególny przypadek:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Istnieje inna opcja rozwiązania mnożenia liczby przez resztę ułamkową. Wystarczy podzielić mianownik przez tę liczbę:

d* mi/f = mi/f: d.

Przydatne jest użycie tej techniki, gdy mianownik jest podzielony przez liczbę naturalną bez reszty lub, jak mówią, całkowicie.

Zamień liczby mieszane na ułamki niewłaściwe i otrzymaj produkt w opisany wcześniej sposób:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Ten przykład dotyczy sposobu przedstawienia ułamka mieszanego jako ułamka niewłaściwego, można go również przedstawić jako wzór ogólny:

a bc = a*b+ c / c, gdzie mianownik nowej frakcji jest tworzony przez pomnożenie części całkowitej przez mianownik i dodanie jej do licznika pierwotnej reszty ułamkowej, a mianownik pozostaje taki sam.

Proces ten działa również w odwrotną stronę. Aby wybrać część całkowitą i resztę ułamkową, musisz podzielić licznik niewłaściwego ułamka przez jego mianownik z „rogiem”.

Mnożenie ułamków niewłaściwych produkowane w zwykły sposób. Gdy wpis przechodzi pod pojedynczą kreskę ułamkową, w razie potrzeby należy pomniejszyć ułamki, aby zmniejszyć liczby tą metodą i łatwiej obliczyć wynik.

W Internecie jest wielu asystentów do rozwiązywania nawet skomplikowanych problemów matematycznych w różnych odmianach programu. Wystarczająca liczba takich serwisów oferuje pomoc w obliczaniu mnożenia ułamków zwykłych o różnych liczbach w mianownikach - tak zwane kalkulatory online do obliczania ułamków zwykłych. Potrafią nie tylko mnożyć, ale także wykonywać wszystkie inne proste operacje arytmetyczne na ułamkach zwykłych i liczbach mieszanych. Praca z nim nie jest trudna, odpowiednie pola są wypełnione na stronie witryny, wybrany jest znak działania matematycznego i wciśnięty jest przycisk „oblicz”. Program zlicza automatycznie.

Temat operacji arytmetycznych na liczbach ułamkowych jest istotny w całej edukacji uczniów szkół średnich i starszych. W liceum nie biorą już pod uwagę najprostszych gatunków, ale wyrażenia ułamkowe całkowite, ale zdobyta wcześniej znajomość zasad przekształceń i obliczeń jest stosowana w pierwotnej postaci. Dobrze przyswojona podstawowa wiedza daje pełne zaufanie do pomyślnego rozwiązania najbardziej skomplikowanych zadań.

Podsumowując, warto przytoczyć słowa Lwa Tołstoja, który napisał: „Człowiek jest ułamkiem. Nie jest w mocy człowieka zwiększać swojego licznika - własnych zasług, ale każdy może zmniejszyć swój mianownik - swoją opinię o sobie i przez to zmniejszenie zbliżyć się do swojej doskonałości.