Jak określa się pole prostokąta? Jak obliczyć powierzchnię pokoju: przydatne techniki i wzory

Począwszy od klasy 5 uczniowie zapoznają się z pojęciem pól różnych figur. Obszar prostokąta ma szczególną rolę, ponieważ liczba ta jest jedną z najłatwiejszych do nauczenia.

Pojęcia obszaru

Każda figura ma swoją własną powierzchnię, a obliczenie powierzchni opiera się na jednostkowym kwadracie, czyli z kwadratu o długim boku 1 mm lub 1 cm, 1 dm i tak dalej. Pole takiej figury jest równe $1*1 = 1mm^2$, czyli $1cm^2$ itd. Pole z reguły oznaczamy literą - S.

Obszar pokazuje rozmiar części płaszczyzny zajmowanej przez figurę zarysowaną przez segmenty.

Prostokąt to czworokąt, w którym wszystkie kąty mają tę samą miarę i są równe 90 stopni, a przeciwległe boki są równoległe i równe parami.

Szczególną uwagę należy zwrócić na jednostki długości i szerokości. Muszą pasować. Jeśli jednostki się nie zgadzają, są konwertowane. Z reguły dużą jednostkę przelicza się na mniejszą, np. jeśli długość jest podana w dm, a szerokość w cm, to dm przelicza się na cm, a wynikiem będzie $cm^2$.

Wzór na pole prostokąta

Aby znaleźć obszar prostokąta bez wzoru, musisz policzyć liczbę kwadratów jednostkowych, na które podzielona jest figura.

Ryż. 1. Prostokąt podzielony na kwadraty jednostkowe

Prostokąt jest podzielony na 15 kwadratów, czyli jego pole wynosi 15 cm2. Warto zauważyć, że figura ma 3 kwadraty szerokości i 5 kwadratów długości, więc aby obliczyć liczbę kwadratów jednostkowych, należy pomnożyć długość przez szerokość. Im mniejszy bok czworokąta to szerokość, tym dłuższa długość. W ten sposób możemy wyprowadzić wzór na pole prostokąta:

S = a b, gdzie a, b to szerokość i długość figury.

Na przykład, jeśli długość prostokąta wynosi 5 cm, a szerokość 4 cm, wówczas powierzchnia wyniesie 4 * 5 = 20 cm 2.

Obliczanie pola prostokąta na podstawie jego przekątnej

Aby obliczyć pole prostokąta przechodzącego przez przekątną, należy zastosować wzór:

$$S = (1\ponad(2)) ⋅ d^2 ⋅ sin(α)$$

Jeśli zadanie podaje wartości kąta między przekątnymi, a także wartość samej przekątnej, możesz obliczyć pole prostokąta, korzystając z ogólnego wzoru na dowolne wypukłe czworoboki.

Przekątna to odcinek linii łączący przeciwległe punkty figury. Przekątne prostokąta są równe, a punkt przecięcia jest podzielony na pół.

Ryż. 2. Prostokąt z narysowanymi przekątnymi

Przykłady

Aby skonsolidować temat, rozważ przykłady zadań:

nr 1. Znajdź obszar działki ogrodowej, taki kształt jak na rysunku.

Ryż. 3. Rysunek problemu

Decyzja:

Aby odjąć obszar, należy podzielić figurę na dwa prostokąty. Jeden z nich będzie miał wymiary 10 m i 3 m, drugi 5 m i 7 m. Osobno znajdziemy ich powierzchnie:

$S_1 =3*10=30m^2$;

Będzie to powierzchnia działki ogrodowej $S = 65 m^2$.

nr 2. Odejmij pole prostokąta, mając jego przekątną d=6 cm i kąt między przekątnymi α=30 0 .

Decyzja:

Wartość $sin 30 =(1\over(2)) $,

$ S =(1\ponad(2))⋅ d^2 ⋅ sinα$

$S =(1\ponad(2)) * 6^2 * (1\ponad(2)) =9 cm^2$

Zatem $S=9 cm^2$.

Przekątna dzieli prostokąt na 4 kształty - 4 trójkąty. W tym przypadku trójkąty są parami równe. Jeśli narysujesz przekątną w prostokącie, to podzieli ona figurę na dwa równe trójkąty prostokątne.Średnia ocena: 4.4. Łączna liczba otrzymanych ocen: 214.

Okresowo musimy znać powierzchnię i kubaturę pomieszczenia. Dane te mogą być potrzebne przy projektowaniu instalacji grzewczych i wentylacyjnych, przy zakupie materiałów budowlanych oraz w wielu innych sytuacjach. Okresowo wymagana jest również znajomość obszaru ścian. Wszystkie te dane są łatwo obliczane, ale najpierw musisz popracować z taśmą mierniczą - zmierzyć wszystkie wymagane wymiary. Jak obliczyć powierzchnię pokoju i ścian, objętość pokoju i zostanie omówione dalej.

Powierzchnia pokoju w metrach kwadratowych

• Ruletka. Lepiej - z zatrzaskiem, ale wystarczy zwykły.
• Papier i ołówek lub długopis.
• Kalkulator (lub policz w kolumnie lub w głowie).

Zestaw narzędzi jest prosty, znajduje się w każdym gospodarstwie domowym. Łatwiej jest zmierzyć z asystentem, ale możesz to zrobić sam.

Najpierw musisz zmierzyć długość ścian. Pożądane jest robienie tego wzdłuż ścian, ale jeśli wszystkie są pełne ciężkich mebli, możesz wykonać pomiary na środku. Tylko w takim przypadku upewnij się, że taśma miernicza leży wzdłuż ścian, a nie ukośnie - błąd pomiaru będzie mniejszy.

Pokój prostokątny

Jeśli pomieszczenie ma prawidłowy kształt, bez wystających części, łatwo jest obliczyć powierzchnię pokoju. Zmierz długość i szerokość, zapisz na kartce. Wpisz liczby w metrach, wstawiając centymetry po przecinku. Na przykład długość 4,35 m (430 cm), szerokość 3,25 m (325 cm).

Mnożymy znalezione liczby, otrzymujemy powierzchnię pokoju w metrach kwadratowych. Jeśli przejdziemy do naszego przykładu, otrzymamy: 4,35 m * 3,25 m = 14,1375 mkw. m. W tej wartości zwykle pozostają dwie cyfry po przecinku, co oznacza zaokrąglenie. W sumie obliczona kwadratura pomieszczenia wynosi 14,14 metrów kwadratowych.

Nieregularny pokój

Jeśli potrzebujesz obliczyć powierzchnię pokoju o nieregularnym kształcie, podziel go na proste kształty - kwadraty, prostokąty, trójkąty. Następnie mierzą wszystkie niezbędne wymiary, dokonują obliczeń według znanych wzorów (tabela znajduje się tuż poniżej).

Jeden przykład jest na zdjęciu. Ponieważ oba są prostokątami, pole oblicza się przy użyciu tego samego wzoru: pomnóż długość przez szerokość. Znalezioną liczbę należy odjąć lub dodać do wielkości pomieszczenia, w zależności od konfiguracji.

Złożona powierzchnia pokoju

1. Rozważamy kwadraturę bez półki: 3,6 m * 8,5 m = 30,6 mkw. m.
2. Rozważamy wymiary wystającej części: 3,25 m * 0,8 m = 2,6 mkw. m.
3. Dodajemy dwie wartości: 30,6 metrów kwadratowych. m + 2,6 mkw. m = 33,2 mkw. m.

Są też pokoje ze skośnymi ścianami. W tym przypadku podzielimy go tak, że otrzymamy prostokąty i trójkąt (jak na poniższym rysunku). Jak widać, w tym przypadku wymagane jest posiadanie pięciu rozmiarów. Można go było podzielić inaczej, umieszczając linię pionową, a nie poziomą. Nie ważne. Wymaga tylko zestawu prostych kształtów, a sposób ich wyboru jest dowolny.

W tym przypadku kolejność obliczeń jest następująca:

1. Rozważamy dużą prostokątną część: 6,4 m * 1,4 m \u003d 8,96 metra kwadratowego. m. Jeśli zaokrąglimy w górę, otrzymamy 9,0 mkw.
2. Obliczamy mały prostokąt: 2,7 m * 1,9 m \u003d 5,13 metra kwadratowego. m. Zaokrąglając w górę, otrzymujemy 5,1 metra kwadratowego. m.
3. Obliczamy pole trójkąta. Ponieważ jest pod kątem prostym, jest równy połowie powierzchni prostokąta o tych samych wymiarach. (1,3 m * 1,9 m) / 2 = 1,235 mkw. m. Po zaokrągleniu otrzymujemy 1,2 metra kwadratowego. m.
4. Teraz dodajemy wszystko, aby znaleźć całkowitą powierzchnię pokoju: 9,0 + 5,1 + 1,2 \u003d 15,3 metrów kwadratowych. m.

Układ pomieszczeń może być bardzo różnorodny, ale rozumiesz ogólną zasadę: dzielimy na proste figury, mierzymy wszystkie wymagane wymiary, obliczamy kwadraturę każdego fragmentu, a następnie wszystko sumujemy.

Kolejna ważna uwaga: powierzchnia pokoju, podłoga i sufit to te same wartości. Różnice mogą wystąpić, jeśli istnieją półkolumny, które nie sięgają sufitu. Następnie kwadratura tych elementów jest odejmowana od całkowitej kwadratury. Rezultatem jest powierzchnia podłogi.

Jak obliczyć kwadrat ścian

Określenie powierzchni ścian jest często wymagane przy zakupie materiałów wykończeniowych - tapet, tynków itp. To obliczenie wymaga dodatkowych pomiarów. Do już istniejącej szerokości i długości pokoju będziesz potrzebować:

• wysokość sufitu;
• wysokość i szerokość drzwi;
• wysokość i szerokość otworów okiennych.

Wszystkie pomiary są w metrach, ponieważ kwadrat ścian jest zwykle mierzony w metrach kwadratowych.

Ponieważ ściany są prostokątne, pole obliczamy jak dla prostokąta: długość mnożymy przez szerokość. W ten sam sposób obliczamy wymiary okien i drzwi, odejmujemy ich wymiary. Na przykład obliczamy powierzchnię ścian pokazaną na powyższym schemacie.

1. Ściana z drzwiami:
   • 2,5 m * 5,6 m = 14 metrów kwadratowych m. - całkowita powierzchnia długiej ściany
   • ile zajmuje przejście: 2,1 m * 0,9 m = 1,89 mkw.
   • ściana bez drzwi - 14 m2 - 1,89 m2 m = 12,11 mkw. m
2. Ściana z oknem:
   1. kwadrat małych ścian: 2,5 m * 3,2 m = 8 mkw.
   2. ile zajmuje okno: 1,3 m * 1,42 m = 1,846 mkw. m, zaokrąglając w górę, otrzymujemy 1,75 mkw.
   3. ściana bez otworu okiennego: 8 mkw. m - 1,75 m2 = 6,25 m2

Znalezienie całkowitej powierzchni ścian nie jest trudne. Dodajemy wszystkie cztery liczby: 14 mkw. + 12,11 mkw. + 8 m2 + 6,25 m2 = 40,36 mkw. m.

Objętość pomieszczenia

Niektóre obliczenia wymagają objętości pomieszczenia. W tym przypadku mnożone są trzy wartości: szerokość, długość i wysokość pomieszczenia. Ta wartość jest mierzona w metrach sześciennych (metrach sześciennych), zwana także pojemnością sześcienną. Na przykład używamy danych z poprzedniego akapitu:

• długość - 5,6 m;
• szerokość - 3,2 m;
• wysokość - 2,5m.

Jeśli pomnożymy wszystko, otrzymamy: 5,6 m * 3,2 m * 2,5 m = 44,8 m 3. Tak więc objętość pomieszczenia wynosi 44,8 metra sześciennego.

L * H = S, aby znaleźć obszar prostokąta, musisz pomnożyć szerokość przez długość. Innymi słowy, można to wyrazić w następujący sposób: pole prostokąta jest równe iloczynowi boków.

1. Podajmy przykład obliczeń jak znaleźć obszar prostokąta, boki są równe znanym wartościom, na przykład szerokość 4 cm, długość 8 cm.

Jak znaleźć obszar prostokąta z bokami 4 i 8 cm: Rozwiązanie jest proste! 4x8 = 32cm2. Aby rozwiązać tak prosty problem, musisz obliczyć iloczyn boków prostokąta lub po prostu pomnożyć szerokość przez długość, to będzie obszar!

2. Szczególnym przypadkiem prostokąta jest kwadrat, dzieje się tak, gdy boki prostokąta są równe, w tym przypadku można znaleźć pole kwadratu za pomocą powyższego wzoru.

Jakie jest pole prostokąta?

Umiejętność obliczania pola prostokąta to podstawowa umiejętność rozwiązywania ogromnej liczby codziennych lub technicznych problemów. Ta wiedza ma zastosowanie w niemal wszystkich dziedzinach życia! Na przykład w przypadkach, gdy obszary o dowolnej powierzchni są potrzebne w budownictwie lub nieruchomościach. Przy obliczaniu powierzchni gruntów, działek, ścian domów, lokali mieszkalnych… nie sposób wymienić jednego obszaru działalności człowieka, w którym ta wiedza nie może być przydatna!

Jeśli obliczanie pola prostokąta sprawia Ci trudności - po prostu skorzystaj z naszego kalkulatora! O natychmiast przyniesie wszystkie niezbędne obliczenia i napisze tekst decyzji ze szczegółowymi wyjaśnieniami.

Lekcja i prezentacja na temat: „Obwód i pole prostokąta”

Dodatkowe materiały
Drodzy użytkownicy, nie zapomnijcie zostawić swoich komentarzy, opinii, sugestii. Wszystkie materiały są sprawdzane przez program antywirusowy.

Pomoce dydaktyczne i symulatory w sklepie internetowym „Integral” dla klasy 3
Symulator dla klasy 3 „Zasady i ćwiczenia z matematyki”
Elektroniczny podręcznik dla klasy 3 „Matematyka w 10 minut”

Co to jest prostokąt i kwadrat

Prostokąt jest czworokątem, który ma wszystkie kąty proste. Więc przeciwległe boki są sobie równe.

Plac jest prostokątem o równych bokach i kątach. Nazywa się to regularnym czworobokiem.

Czworokąty, w tym prostokąty i kwadraty, są oznaczone 4 literami - wierzchołkami. Litery łacińskie są używane do oznaczania wierzchołków: A, B, C, D...

Przykład.

Brzmi to tak: czworokąt ABCD; kwadrat EFGH.

Jaki jest obwód prostokąta? Wzór do obliczania obwodu

Obwód prostokąta jest sumą długości wszystkich boków prostokąta lub sumą długości i szerokości pomnożoną przez 2.

Obwód jest oznaczony literą łacińską P. Ponieważ obwód jest długością wszystkich boków prostokąta, obwód jest zapisany w jednostkach długości: mm, cm, m, dm, km.

Na przykład obwód prostokąta ABCD jest oznaczony jako P ABCD, gdzie A, B, C, D to wierzchołki prostokąta.

Zapiszmy wzór na obwód czworokąta ABCD:

P ABCD = AB + BC + CD + AD = 2 * AB + 2 * BC = 2 * (AB + BC)

Przykład.
Dany jest prostokąt ABCD o bokach AB=CD=5 cm i AD=BC=3 cm.
Zdefiniujmy P ABCD .

Decyzja:
1. Narysujmy prostokąt ABCD z danymi początkowymi.
2. Napiszmy wzór na obliczenie obwodu tego prostokąta:

P ABCD = 2 * (AB + BC)

P ABCD=2*(5cm+3cm)=2*8cm=16cm

Odpowiedź: P ABCD = 16 cm.

Wzór na obliczenie obwodu kwadratu

Mamy wzór na znalezienie obwodu prostokąta.

P ABCD=2*(AB+BC)

Użyjmy go, aby znaleźć obwód kwadratu. Biorąc pod uwagę, że wszystkie boki kwadratu są równe, otrzymujemy:

P ABCD=4*AB

Przykład.
Biorąc pod uwagę kwadrat ABCD o boku równym 6 cm, określ obwód kwadratu.

Decyzja.
1. Narysuj kwadrat ABCD z oryginalnymi danymi.

2. Przypomnij sobie wzór do obliczania obwodu kwadratu:

P ABCD=4*AB

3. Podstawiamy nasze dane do wzoru:

P ABCD=4*6cm=24cm

Odpowiedź: P ABCD = 24 cm.

Problemy ze znalezieniem obwodu prostokąta

1. Zmierz szerokość i długość prostokątów. Wyznacz ich obwód.

2. Narysuj prostokąt ABCD o bokach 4 cm i 6 cm. Wyznacz obwód prostokąta.

3. Narysuj kwadrat CEOM o boku 5 cm. Wyznacz obwód kwadratu.

Gdzie stosuje się obliczanie obwodu prostokąta?

1. Podano kawałek ziemi, który należy otoczyć płotem. Jak długie będzie ogrodzenie?

W tym zadaniu konieczne jest dokładne obliczenie obwodu terenu, aby nie kupować dodatkowego materiału do budowy ogrodzenia.

2. Rodzice postanowili zrobić remont w pokoju dziecięcym. Musisz znać obwód pokoju i jego powierzchnię, aby poprawnie obliczyć liczbę tapet.
Określ długość i szerokość pokoju, w którym mieszkasz. Określ obwód swojego pokoju.

Jakie jest pole prostokąta?

Powierzchnia- To jest numeryczna charakterystyka figury. Powierzchnia jest mierzona w kwadratowych jednostkach długości: cm 2, m 2, dm 2 itd. (centymetr do kwadratu, metr do kwadratu, decymetr do kwadratu itp.)
W obliczeniach jest to oznaczone literą łacińską S.

Aby znaleźć pole prostokąta, pomnóż długość prostokąta przez jego szerokość.
Pole prostokąta oblicza się mnożąc długość AK przez szerokość KM. Zapiszmy to jako formułę.

S AKMO=AK*KM

Przykład.
Jakie jest pole prostokąta AKMO, jeśli jego boki mają 7 cm i 2 cm?

S AKMO \u003d AK * KM \u003d 7 cm * 2 cm \u003d 14 cm 2.

Odpowiedź: 14 cm 2.

Wzór na obliczenie pola kwadratu

Powierzchnię kwadratu można określić, mnożąc bok przez siebie.

Przykład.
W tym przykładzie pole kwadratu oblicza się, mnożąc bok AB przez szerokość BC, ale ponieważ są one równe, bok AB mnoży się przez AB.

S ABCO = AB * BC = AB * AB

Przykład.
Znajdź pole kwadratu AKMO o boku 8 cm.

S AKMO = AK * KM = 8 cm * 8 cm = 64 cm 2

Odpowiedź: 64 cm 2.

Problemy ze znalezieniem obszaru prostokąta i kwadratu

1. Dany jest prostokąt o bokach 20 mm i 60 mm. Oblicz jego pole. Swoją odpowiedź podaj w centymetrach kwadratowych.

2. Kupiono obszar podmiejski o wymiarach 20 m na 30 m. Określ powierzchnię domku letniskowego, zapisz odpowiedź w centymetrach kwadratowych.

Prostokąt jest szczególnym przypadkiem czworokąta. Oznacza to, że prostokąt ma cztery boki. Jego przeciwległe boki są równe: na przykład, jeśli jeden z jego boków ma 10 cm, to przeciwległy bok również będzie miał 10 cm Szczególnym przypadkiem prostokąta jest kwadrat. Kwadrat to prostokąt, który ma równe wszystkie boki. Aby obliczyć pole kwadratu, możesz użyć tego samego algorytmu, co przy obliczaniu pola prostokąta.

Jak znaleźć obszar prostokąta z dwóch stron

Aby znaleźć pole prostokąta, pomnóż jego długość przez szerokość: Powierzchnia = Długość × Szerokość. W poniższym przypadku: Powierzchnia = AB × BC.

Jak znaleźć obszar prostokąta, biorąc pod uwagę bok i długość przekątnej

W niektórych problemach musisz znaleźć obszar prostokąta na podstawie długości przekątnej i jednego z boków. Przekątna prostokąta dzieli go na dwa równe trójkąty prostokątne. Dlatego możesz określić drugi bok prostokąta za pomocą twierdzenia Pitagorasa. Następnie problem zostaje zredukowany do poprzedniego punktu.

Jak znaleźć obszar prostokąta według obwodu i boku

Obwód prostokąta to suma wszystkich jego boków. Jeśli znasz obwód prostokąta i jeden bok (na przykład szerokość), możesz obliczyć powierzchnię prostokąta za pomocą następującego wzoru:
Powierzchnia \u003d (obwód × szerokość - szerokość ^ 2) / 2.

Powierzchnia prostokąta pod względem sinusa kąta ostrego między przekątnymi a długością przekątnej

Przekątne w prostokącie są równe, więc aby obliczyć pole powierzchni na podstawie długości przekątnej i sinusa kąta ostrego między nimi, użyj następującego wzoru: Pole = Przekątna^2 × sin(kąt ostry między przekątnymi)/ 2.