Podejście autora do tego tematu nie jest przypadkowe. Równania z dwiema zmiennymi pojawiają się po raz pierwszy w klasie 7. Jedno równanie z dwiema zmiennymi ma nieskończoną liczbę rozwiązań. Widać to wyraźnie na wykresie funkcji liniowej podanej jako ax + by=c. Na kursie szkolnym uczniowie uczą się układów dwóch równań z dwiema zmiennymi. W efekcie z pola widzenia nauczyciela, a co za tym idzie ucznia, wypada cała gama problemów, z ograniczonymi warunkami na współczynnik równania i metodami ich rozwiązywania.

Mówimy o rozwiązaniu równania z dwiema niewiadomymi w liczbach całkowitych lub naturalnych.

W szkole liczby naturalne i całkowite są nauczane w klasach 4-6. Do czasu opuszczenia szkoły nie wszyscy uczniowie pamiętają różnice między zestawami tych liczb.

Jednak zadanie takie jak „rozwiąż równanie postaci ax + by = c w liczbach całkowitych” jest coraz częściej spotykane na egzaminach wstępnych na uniwersytety iw materiałach USE.

Rozwiązywanie nieokreślonych równań rozwija logiczne myślenie, pomysłowość i umiejętność analizy.

Proponuję rozwinięcie kilku lekcji na ten temat. Nie mam jasnych zaleceń co do czasu tych lekcji. Oddzielne elementy można zastosować w klasie 7 (dla mocnej klasy). Lekcje te można potraktować jako podstawę i opracować mały kurs fakultatywny dotyczący przygotowania przedprofilowego w klasie 9. I oczywiście ten materiał można wykorzystać w klasach 10-11, aby przygotować się do egzaminów.

Cel lekcji:

• powtórzenie i uogólnienie wiedzy na temat „Równania pierwszego i drugiego rzędu”
• wykształcenie zainteresowania poznawczego przedmiotem
• kształtowanie umiejętności analizowania, dokonywania uogólnień, przenoszenia wiedzy do nowej sytuacji

Lekcja 1.

Podczas zajęć.

1) Org. za chwilę.

2) Aktualizacja podstawowej wiedzy.

Definicja. Równanie liniowe z dwiema zmiennymi jest równaniem postaci

mx + ny = k, gdzie m, n, k to liczby, x, y to zmienne.

Przykład: 5x+2y=10

Definicja. Rozwiązaniem równania z dwiema zmiennymi jest para wartości zmiennych, która zamienia to równanie w prawdziwą równość.

Równania z dwiema zmiennymi mającymi takie same rozwiązania nazywamy równoważnymi.

1,5x+2y=12 (2)y=-2,5x+6

To równanie może mieć dowolną liczbę rozwiązań. Aby to zrobić, wystarczy wziąć dowolną wartość x i znaleźć odpowiadającą jej wartość y.

Niech x = 2, y = -2,5 2+6 = 1

x = 4, y = -2,5 4+6 =- 4

Pary liczb (2;1); (4;-4) - rozwiązania równania (1).

To równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań.

3) Tło historyczne

Równania nieokreślone (diofantyczne) to równania zawierające więcej niż jedną zmienną.

W IIIw. OGŁOSZENIE – Diofant z Aleksandrii napisał „Arytmetykę”, w której rozszerzył zbiór liczb na wymierne, wprowadził symbolikę algebraiczną.

Również Diofant rozważał problemy rozwiązywania równań nieokreślonych i podał metody rozwiązywania równań nieokreślonych drugiego i trzeciego stopnia.

4) Nauka nowego materiału.

Definicja: Niejednorodne równanie diofantyczne pierwszego rzędu z dwiema niewiadomymi x, y jest równaniem postaci mx + ny = k, gdzie m, n, k, x, y Z k0

Oświadczenie 1.

Jeśli wyraz wolny k w równaniu (1) nie jest podzielny przez największy wspólny dzielnik (NWD) liczb m i n, to równanie (1) nie ma rozwiązań całkowitych.

Przykład: 34x - 17y = 3.

NWD (34; 17) = 17, 3 nie jest podzielne przez 17, nie ma rozwiązania w liczbach całkowitych.

Niech k będzie podzielne przez gcd(m, n). Dzieląc wszystkie współczynniki, można osiągnąć, że m i n stają się względnie pierwsze.

Oświadczenie 2.

Jeżeli m i n równania (1) są liczbami względnie pierwszymi, to równanie to ma co najmniej jedno rozwiązanie.

Oświadczenie 3.

Jeżeli współczynniki m i n równania (1) są liczbami względnie pierwszymi, to równanie to ma nieskończenie wiele rozwiązań:

Gdzie (; ) jest dowolnym rozwiązaniem równania (1), t Z

Definicja. Jednorodne równanie diofantyczne pierwszego rzędu z dwiema niewiadomymi x, y jest równaniem postaci mx + ny = 0, gdzie (2)

Oświadczenie 4.

Jeśli m i n są względnie pierwszymi liczbami, to każde rozwiązanie równania (2) ma postać

5) Praca domowa. Rozwiąż równanie w liczbach całkowitych:

1. 9x - 18y = 5
2. x+y=xy
3. Kilkoro dzieci zbierało jabłka. Każdy chłopiec zebrał 21 kg, a dziewczynka 15 kg. W sumie zebrali 174 kg. Ilu chłopców i ile dziewcząt zbierało jabłka?

Komentarz. Ta lekcja nie zawiera przykładów rozwiązywania równań na liczbach całkowitych. Dlatego dzieci rozwiązują swoją pracę domową na podstawie stwierdzenia 1 i wyboru.

Lekcja 2

1) Moment organizacyjny

2) Sprawdzanie pracy domowej

1) 9x - 18y = 5

5 nie jest podzielne przez 9, nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych.

Metoda wyboru może znaleźć rozwiązanie

Odpowiedź: (0;0), (2;2)

3) Ułóżmy równanie:

Niech chłopcy x, x Z, a dziewczynki y, y Z, to możemy napisać równanie 21x + 15y = 174

Wielu uczniów, którzy utworzyli równanie, nie będzie w stanie go rozwiązać.

Odpowiedź: 4 chłopców, 6 dziewczynek.

3) Nauka nowego materiału

W obliczu trudności w odrabianiu zadań domowych uczniowie utwierdzili się w przekonaniu o potrzebie przestudiowania swoich metod rozwiązywania równań nieokreślonych. Rozważmy niektóre z nich.

I. Metoda uwzględniania reszt z dzielenia.

Przykład. Rozwiąż równanie w liczbach całkowitych 3x – 4y = 1.

Lewa strona równania jest podzielna przez 3, więc prawa strona też musi być podzielna. Rozpatrzmy trzy przypadki.

Odpowiedź: gdzie m Z.

Opisana metoda jest wygodna do zastosowania, jeśli liczby m i n nie są małe, ale rozkładają się na proste czynniki.

Przykład: Rozwiąż równania na liczbach całkowitych.

Niech y = 4n, wtedy 16 - 7y = 16 - 7 4n = 16 - 28n = 4*(4-7n) jest podzielne przez 4.

y = 4n+1, to 16 - 7y = 16 - 7 (4n + 1) = 16 - 28n - 7 = 9 - 28n nie jest podzielne przez 4.

y = 4n+2, to 16 - 7y = 16 - 7 (4n + 2) = 16 - 28n - 14 = 2 - 28n nie jest podzielne przez 4.

y = 4n+3, to 16 - 7y = 16 - 7 (4n + 3) = 16 - 28n - 21 = -5 - 28n nie jest podzielne przez 4.

Zatem y = 4n

4x = 16 – 7 4n = 16 – 28n, x = 4 – 7n

Odpowiedź: , gdzie n Z.

II. Równania nieoznaczone II stopnia

Dzisiaj na lekcji dotkniemy tylko rozwiązania równań diofantycznych drugiego rzędu.

Ze wszystkich typów równań rozważ przypadek, w którym możesz zastosować wzór na różnicę kwadratów lub inny sposób rozkładu na czynniki.

Przykład: Rozwiąż równanie w liczbach całkowitych.

13 jest liczbą pierwszą, więc można ją rozłożyć tylko na cztery sposoby: 13 = 13 1 = 1 13 = (-1)(-13) = (-13)(-1)

Rozważ te przypadki

Odpowiedź: (7;-3), (7;3), (-7;3), (-7;-3).

4) Praca domowa.

Przykłady. Rozwiąż równanie w liczbach całkowitych:

(x - y)(x + y)=4

2x=4	2x=5	2x=5
x=2	x=5/2	x=5/2
y=0	nie pasujący	nie pasujący
2x = -4	nie pasujący	nie pasujący
x=-2
y=0

Odpowiedź: (-2;0), (2;0).

Odpowiedzi: (-10;9), (-5;3), (-2;-3), (-1;-9), (1;9), (2;3), (5;-3) , (10;-9).

w)

Odpowiedź: (2;-3), (-1;-1), (-4;0), (2;2), (-1;3), (-4;5).

Wyniki. Co to znaczy rozwiązać równanie w liczbach całkowitych?

Jakie znasz metody rozwiązywania równań nieoznaczonych?

Załącznik:

Ćwiczenia do treningu.

1) Rozwiąż w liczbach całkowitych.

a) 8x + 12y = 32	x = 1 + 3n, y = 2 - 2n, n Z
b) 7x + 5y = 29	x = 2 + 5n, y = 3 – 7n, n Z
c) 4x + 7y = 75	x = 3 + 7n, y = 9 – 4n, n Z
d) 9x – 2y = 1	x = 1 – 2m, y = 4 + 9m, m Z
e) 9x - 11y = 36	x = 4 + 11n, y = 9n, nZ
f) 7x - 4y = 29	x = 3 + 4n, y = -2 + 7n, n Z
g) 19x - 5y = 119	x = 1 + 5p, y = -20 + 19p, pZ
h) 28x - 40y = 60	x = 45 + 10t, y = 30 + 7t, t Z

2) Znajdź całkowite nieujemne rozwiązania równania.

Równość f(x; y) = 0 reprezentuje równanie z dwiema zmiennymi. Rozwiązaniem takiego równania jest para wartości zmiennych, która zamienia równanie dwóch zmiennych w prawdziwą równość.

Jeżeli mamy równanie z dwiema zmiennymi, to zgodnie z tradycją w jego zapisie na pierwszym miejscu musimy umieścić x, a na drugim y.

Rozważ równanie x - 3y \u003d 10. Pary (10; 0), (16; 2), (-2; -4) są rozwiązaniami rozważanego równania, podczas gdy para (1; 5) nie jest rozwiązaniem .

Aby znaleźć inne pary rozwiązań tego równania, konieczne jest wyrażenie jednej zmiennej w kategoriach drugiej — na przykład od x do y. W rezultacie otrzymujemy równanie
x = 10 + 3y. Oblicz wartości x, wybierając dowolne wartości y.

Jeśli y \u003d 7, to x \u003d 10 + 3 ∙ 7 \u003d 10 + 21 \u003d 31.

Jeśli y \u003d -2, to x \u003d 10 + 3 ∙ (-2) \u003d 10 - 6 \u003d 4.

Zatem pary (31; 7), (4; -2) są również rozwiązaniami podanego równania.

Jeśli równania z dwiema zmiennymi mają te same pierwiastki, wówczas takie równania nazywane są równoważnymi.

Dla równań z dwiema zmiennymi obowiązują twierdzenia o równoważnych przekształceniach równań.

Rozważ wykres równania z dwiema zmiennymi.

Niech dane będzie równanie z dwiema zmiennymi f(x; y) = 0. Wszystkie jego rozwiązania można przedstawić za pomocą punktów na płaszczyźnie współrzędnych, uzyskując pewien zbiór punktów płaszczyzny. Ten zbiór punktów na płaszczyźnie nazywany jest wykresem równania f(x; y) = 0.

Tak więc wykres równania y - x 2 \u003d 0 jest parabolą y \u003d x 2; wykres równania y - x \u003d 0 jest linią prostą; wykres równania y - 3 \u003d 0 jest linią prostą równoległą do osi x itp.

Równanie postaci ax + by = c, gdzie x i y to zmienne, a a, b i c to liczby, nazywamy równaniem liniowym; liczby a, b nazywane są współczynnikami zmiennych, c jest terminem wolnym.

Wykres równania liniowego ax + by = c to:

Narysujmy równanie 2x - 3y = -6.

1. Ponieważ żaden ze współczynników dla zmiennych nie jest równy zeru, to wykres tego równania będzie linią prostą.

2. Aby zbudować linię prostą, musimy znać co najmniej dwa jej punkty. Podstaw wartości x do równań i uzyskaj wartości y i odwrotnie:

jeśli x = 0, to y = 2; (0 ∙ x - 3y \u003d -6);

jeśli y \u003d 0, to x \u003d -3; (2x - 3 ∙ 0 \u003d -6).

Mamy więc dwa punkty wykresu: (0; 2) i (-3; 0).

3. Poprowadźmy prostą przez otrzymane punkty i uzyskajmy wykres równania
2x - 3y \u003d -6.

Jeżeli równanie liniowe ax + by = c ma postać 0 ∙ x + 0 ∙ y = c, to musimy rozważyć dwa przypadki:

1. c \u003d 0. W tym przypadku dowolna para (x; y) spełnia równanie, a zatem wykres równania jest całą płaszczyzną współrzędnych;

2. c ≠ 0. W tym przypadku równanie nie ma rozwiązania, co oznacza, że ​​jego wykres nie zawiera ani jednego punktu.

blog.site, z pełnym lub częściowym kopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.

Za pomocą tego programu matematycznego możesz rozwiązać układ dwóch równań liniowych z dwiema zmiennymi, stosując metodę podstawienia i metodę dodawania.

Program nie tylko daje odpowiedź na problem, ale także zapewnia szczegółowe rozwiązanie z objaśnieniami kroków rozwiązania na dwa sposoby: metodą podstawienia i metodą dodawania.

Program ten może być przydatny dla uczniów szkół średnich w przygotowaniu do sprawdzianów i egzaminów, podczas sprawdzania wiedzy przed Jednolitym Egzaminem Państwowym, dla rodziców do kontroli rozwiązania wielu problemów z matematyki i algebry. A może zatrudnienie korepetytora lub zakup nowych podręczników jest dla Ciebie zbyt kosztowny? A może po prostu chcesz jak najszybciej odrobić pracę domową z matematyki lub algebry? W takim przypadku możesz również skorzystać z naszych programów ze szczegółowym rozwiązaniem.

W ten sposób możesz prowadzić własne szkolenie i/lub szkolenie swoich młodszych braci lub sióstr, jednocześnie podnosząc poziom edukacji w zakresie zadań do rozwiązania.

Zasady wprowadzania równań

Dowolna litera łacińska może działać jako zmienna.
Na przykład: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) itd.

Podczas wprowadzania równań możesz użyć nawiasów. W tym przypadku równania są najpierw uproszczone. Równania po uproszczeniach muszą być liniowe, tj. postaci ax+by+c=0 z dokładnością do kolejności elementów.
Na przykład: 6x+1 = 5(x+y)+2

W równaniach można używać nie tylko liczb całkowitych, ale także liczb ułamkowych w postaci ułamków dziesiętnych i zwykłych.

Zasady wprowadzania ułamków dziesiętnych.
Części całkowite i ułamkowe w ułamkach dziesiętnych można oddzielić kropką lub przecinkiem.
Na przykład: 2,1n + 3,5m = 55

Zasady wprowadzania ułamków zwykłych.
Tylko liczba całkowita może działać jako licznik, mianownik i część całkowita ułamka.
Mianownik nie może być ujemny.
Podczas wprowadzania ułamka liczbowego licznik jest oddzielony od mianownika znakiem dzielenia: /
Część całkowita jest oddzielona od ułamka znakiem ampersand: &

Przykłady.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2,1p + 55 = -2/7(3,5p - 2&1/8q)

Rozwiąż układ równań

Stwierdzono, że niektóre skrypty potrzebne do rozwiązania tego zadania nie zostały załadowane, a program może nie działać.
Możesz mieć włączony AdBlock.
W takim przypadku wyłącz go i odśwież stronę.

Masz wyłączoną obsługę JavaScript w przeglądarce.
JavaScript musi być włączony, aby rozwiązanie się pojawiło.
Oto instrukcje, jak włączyć JavaScript w przeglądarce.

Dlatego Jest wiele osób, które chcą rozwiązać problem, Twoja prośba jest w kolejce.
Po kilku sekundach rozwiązanie pojawi się poniżej.
Proszę czekać sek...

Jeśli ty zauważył błąd w rozwiązaniu, wtedy możesz napisać o tym w formularzu opinii.
Nie zapomnij wskaż jakie zadanie ty decydujesz co wpisz w pola.

Nasze gry, puzzle, emulatory:

Trochę teorii.

Rozwiązywanie układów równań liniowych. Metoda zastępcza

Kolejność działań przy rozwiązywaniu układu równań liniowych metodą podstawienia:
1) wyrazić jedną zmienną z jakiegoś równania systemu w kategoriach innej;
2) zastąpić otrzymane wyrażenie innym równaniem układu zamiast tej zmiennej;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right. $$

Wyraźmy z pierwszego równania y do x: y = 7-3x. Podstawiając wyrażenie 7-3x zamiast y do drugiego równania, otrzymujemy układ:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right. $$

Łatwo pokazać, że układy pierwszy i drugi mają takie same rozwiązania. W drugim systemie drugie równanie zawiera tylko jedną zmienną. Rozwiążmy to równanie:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Strzałka w prawo -5x+14-6x=3 \Strzałka w prawo -11x=-11 \Strzałka w prawo x=1 $$

Podstawiając liczbę 1 zamiast x do równania y=7-3x, znajdujemy odpowiednią wartość y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \strzałka w prawo y=4 $$

Para (1;4) - rozwiązanie układu

Nazywamy układy równań dla dwóch zmiennych, które mają takie same rozwiązania równowartość. Systemy, które nie mają rozwiązań, są również uważane za równoważne.

Rozwiązywanie układów równań liniowych metodą dodawania

Rozważ inny sposób rozwiązywania układów równań liniowych - metodę dodawania. Rozwiązując układy w ten sposób, jak również rozwiązując metodą podstawieniową, przechodzimy z danego układu do innego równoważnego mu układu, w którym jedno z równań zawiera tylko jedną zmienną.

Kolejność działań przy rozwiązywaniu układu równań liniowych metodą dodawania:
1) pomnożyć równania układu wyraz po wyrazie, dobierając czynniki tak, aby współczynniki dla jednej ze zmiennych stały się liczbami przeciwnymi;
2) dodawać wyraz po wyrazie lewą i prawą część równań układu;
3) rozwiązać otrzymane równanie z jedną zmienną;
4) znajdź odpowiednią wartość drugiej zmiennej.

Przykład. Rozwiążmy układ równań:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

W równaniach tego układu współczynniki y są liczbami przeciwstawnymi. Dodając wyraz po wyrazie lewą i prawą część równań, otrzymujemy równanie z jedną zmienną 3x=33. Zastąpmy jedno z równań układu, na przykład pierwsze, równaniem 3x=33. Weźmy system
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

Z równania 3x=33 wynika, że ​​x=11. Podstawiając tę ​​wartość x do równania \(x-3y=38 \) otrzymujemy równanie ze zmienną y: \(11-3y=38 \). Rozwiążmy to równanie:
\(-3y=27 \strzałka w prawo y=-9 \)

W ten sposób znaleźliśmy rozwiązanie układu równań, dodając: \(x=11; y=-9 \) lub \((11; -9) \)

Wykorzystując fakt, że współczynniki y w równaniach układu są liczbami przeciwstawnymi, sprowadziliśmy jego rozwiązanie do rozwiązania układu równoważnego (poprzez zsumowanie obu części każdego z równań pierwotnego symu), w którym równań zawiera tylko jedną zmienną.

Książki (podręczniki) Streszczenia jednolitego egzaminu państwowego i testów OGE online Gry, puzzle Budowa wykresów funkcji Słownik ortograficzny języka rosyjskiego Słownik slangu młodzieżowego Katalog szkół rosyjskich Katalog szkół średnich w Rosji Katalog rosyjskich uniwersytetów Lista zadań

Na kursie matematyki w klasie 7 po raz pierwszy spotykają się z równania z dwiema zmiennymi, ale są badane tylko w kontekście układów równań z dwiema niewiadomymi. Dlatego wiele problemów wypada z pola widzenia, w których wprowadza się pewne warunki na współczynniki równania, które je ograniczają. Ponadto ignorowane są również metody rozwiązywania zadań typu „Rozwiąż równanie w liczbach naturalnych lub całkowitych”, chociaż tego rodzaju problemy spotyka się coraz częściej w materiałach USE i na egzaminach wstępnych.

Które równanie będziemy nazywać równaniem z dwiema zmiennymi?

Na przykład równania 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 lub xy = 12 są równaniami dwóch zmiennych.

Rozważ równanie 2x - y = 1. Zamienia się w prawdziwą równość przy x = 2 i y = 3, więc ta para wartości zmiennych jest rozwiązaniem rozważanego równania.

Zatem rozwiązaniem dowolnego równania z dwiema zmiennymi jest zestaw uporządkowanych par (x; y), wartości zmiennych, które to równanie zamienia w prawdziwą równość liczbową.

Równanie z dwiema niewiadomymi może:

a) mieć jedno rozwiązanie. Na przykład równanie x 2 + 5y 2 = 0 ma unikalne rozwiązanie (0; 0);

b) mieć wiele rozwiązań. Na przykład (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 ma 4 rozwiązania: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

w) nie mają rozwiązań. Na przykład równanie x 2 + y 2 + 1 = 0 nie ma rozwiązań;

G) mają nieskończenie wiele rozwiązań. Na przykład x + y = 3. Rozwiązaniem tego równania będą liczby, których suma wynosi 3. Zbiór rozwiązań tego równania można zapisać jako (k; 3 - k), gdzie k jest dowolną liczbą rzeczywistą.

Głównymi metodami rozwiązywania równań z dwiema zmiennymi są metody oparte na wyrażeniach faktoringowych, podświetlaniu pełnego kwadratu, wykorzystujące właściwości równania kwadratowego, wyrażenia ograniczone i metody oceny. Równanie z reguły przekształca się w postać, z której można uzyskać system znajdowania niewiadomych.

Faktoryzacja

Przykład 1

Rozwiąż równanie: xy - 2 = 2x - y.

Decyzja.

Terminy na potrzeby faktoringu grupujemy:

(xy + y) - (2x + 2) = 0. Usuń wspólny czynnik z każdego nawiasu:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y - 2) = 0. Mamy:

y = 2, x to dowolna liczba rzeczywista lub x = -1, y to dowolna liczba rzeczywista.

W ten sposób, odpowiedzią są wszystkie pary postaci (x; 2), x € R i (-1; y), y € R.

Równość do zera liczb nieujemnych

Przykład 2

Rozwiąż równanie: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Decyzja.

Grupowanie:

(9x 2 - 12x + 4) + (4y 2 - 12y + 9) = 0. Teraz każdy nawias można zwinąć za pomocą wzoru na różnicę kwadratów.

(3x - 2) 2 + (2y - 3) 2 = 0.

Suma dwóch wyrażeń nieujemnych wynosi zero tylko wtedy, gdy 3x - 2 = 0 i 2y - 3 = 0.

Więc x = 2/3 i y = 3/2.

Odpowiedź: (2/3; 3/2).

Metoda ewaluacji

Przykład 3

Rozwiąż równanie: (x 2 + 2x + 2) (y 2 - 4y + 6) = 2.

Decyzja.

W każdym nawiasie zaznacz pełny kwadrat:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Oszacuj znaczenie wyrażeń w nawiasach.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 i (y - 2) 2 + 2 ≥ 2, to lewa strona równania wynosi zawsze co najmniej 2. Równość jest możliwa, jeśli:

(x + 1) 2 + 1 = 1 i (y - 2) 2 + 2 = 2, więc x = -1, y = 2.

Odpowiedź: (-1; 2).

Zapoznajmy się z inną metodą rozwiązywania równań z dwiema zmiennymi drugiego stopnia. Ta metoda polega na tym, że równanie jest uważane za kwadrat w odniesieniu do jakiejś zmiennej.

Przykład 4

Rozwiąż równanie: x 2 - 6x + y - 4√ y + 13 = 0.

Decyzja.

Rozwiążmy równanie jako kwadratowe względem x. Znajdźmy wyróżnik:

re = 36 - 4(y - 4√y + 13) = -4y + 16√y - 16 = -4(√y - 2) 2 . Równanie będzie miało rozwiązanie tylko wtedy, gdy D = 0, tj. jeśli y = 4. Podstawiamy wartość y do pierwotnego równania i stwierdzamy, że x = 3.

Odpowiedź: (3; 4).

Często w równaniach z dwiema niewiadomymi wskazują ograniczenia dotyczące zmiennych.

Przykład 5

Rozwiąż równanie w liczbach całkowitych: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Decyzja.

Przepiszmy równanie w postaci x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Prawa strona wynikowego równania po podzieleniu przez 5 daje resztę 2. Zatem x 2 nie jest podzielne przez 5. Ale kwadrat z liczby niepodzielnej przez 5 daje resztę 1 lub 4. Zatem równość jest niemożliwa i nie ma rozwiązań.

Odpowiedź: brak korzeni.

Przykład 6

Rozwiąż równanie: (x 2 - 4|x| + 5) (y 2 + 6y + 12) = 3.

Decyzja.

Zaznaczmy pełne kwadraty w każdym nawiasie:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Lewa strona równania jest zawsze większa lub równa 3. Równość jest możliwa, jeśli |x| – 2 = 0 i y + 3 = 0. Zatem x = ± 2, y = -3.

Odpowiedź: (2; -3) i (-2; -3).

Przykład 7

Dla każdej pary ujemnych liczb całkowitych (x; y) spełniających równanie
x 2 - 2xy + 2y 2 + 4y = 33, oblicz sumę (x + y). Odpowiedz na najmniejszą kwotę.

Decyzja.

Wybierz pełne kwadraty:

(x 2 - 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x - y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Ponieważ x i y są liczbami całkowitymi, ich kwadraty również są liczbami całkowitymi. Sumę kwadratów dwóch liczb całkowitych, równą 37, otrzymamy, jeśli dodamy 1 + 36. Zatem:

(x - y) 2 = 36 i (y + 2) 2 = 1

(x - y) 2 = 1 i (y + 2) 2 = 36.

Rozwiązując te układy i biorąc pod uwagę, że x i y są ujemne, znajdujemy rozwiązania: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Odpowiedź: -17.

Nie rozpaczaj, jeśli masz trudności z rozwiązywaniem równań z dwiema niewiadomymi. Przy odrobinie praktyki będziesz w stanie opanować każde równanie.

Czy masz jakieś pytania? Nie wiesz, jak rozwiązywać równania z dwiema zmiennymi?
Aby skorzystać z pomocy korepetytora - zarejestruj się.
Pierwsza lekcja jest darmowa!

strona, z pełnym lub częściowym kopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.

Równanie liniowe z dwiema zmiennymi to dowolne równanie, które ma następującą postać: a*x + b*y = c. Tutaj x i y to dwie zmienne, a, b, c to jakieś liczby.

Poniżej znajduje się kilka przykłady równań liniowych.

1. 10*x + 25*y = 150;

Podobnie jak równania z jedną niewiadomą, równanie liniowe z dwiema zmiennymi (niewiadomymi) również ma rozwiązanie. Na przykład równanie liniowe x-y=5, gdzie x=8 i y=3, zamienia się w poprawną tożsamość 8-3=5. W tym przypadku mówi się, że para liczb x=8 i y=3 jest rozwiązaniem równania liniowego x-y=5. Można też powiedzieć, że para liczb x=8 i y=3 spełnia równanie liniowe x-y=5.

Rozwiązywanie równania liniowego

Zatem rozwiązaniem równania liniowego a * x + b * y = c, jest dowolna para liczb (x, y), która spełnia to równanie, to znaczy zamienia równanie ze zmiennymi x i y na poprawne liczbowe równość. Zwróć uwagę, jak zapisano tutaj parę liczb x i y. Taki zapis jest krótszy i wygodniejszy. Należy tylko pamiętać, że pierwsze miejsce w takim zapisie to wartość zmiennej x, a drugie to wartość zmiennej y.

Proszę zauważyć, że liczby x=11 i y=8, x=205 i y=200 x= 4,5 i y= -0,5 również spełniają równanie liniowe x-y=5, a zatem są rozwiązaniami tego równania liniowego.

Rozwiązywanie równania liniowego z dwiema niewiadomymi nie jest jedyny. Każde równanie liniowe z dwiema niewiadomymi ma nieskończenie wiele różnych rozwiązań. To znaczy, istnieje nieskończona ilość różnych dwie liczby x i y, które przekształcają równanie liniowe w prawdziwą tożsamość.

Jeśli kilka równań w dwóch zmiennych ma takie same rozwiązania, wówczas takie równania nazywane są równaniami równoważnymi. Należy zauważyć, że jeśli równania z dwiema niewiadomymi nie mają rozwiązań, to są one również uważane za równoważne.

Podstawowe własności równań liniowych z dwiema niewiadomymi

1. Dowolny termin w równaniu można przenieść z jednej części do drugiej, podczas gdy konieczna jest zmiana jego znaku na przeciwny. Wynikowe równanie będzie równoważne z oryginałem.

2. Obie strony równania można podzielić przez dowolną liczbę różną od zera. W rezultacie otrzymujemy równanie równoważne pierwotnemu.