Konwersja wykresu.
Słowny opis funkcji.
Graficzny sposób.
Graficzny sposób określania funkcji jest najbardziej ilustracyjny i jest często używany w inżynierii. W analizie matematycznej graficzny sposób określania funkcji służy jako ilustracja.
Wykres funkcji f jest zbiorem wszystkich punktów (x; y) płaszczyzny współrzędnych, gdzie y=f(x), a x „przechodzi” przez całą dziedzinę danej funkcji.
Podzbiór płaszczyzny współrzędnych jest wykresem jakiejś funkcji, jeśli ma co najwyżej jeden wspólny punkt z dowolną linią równoległą do osi Oy.
Przykład. Czy poniższe rysunki to wykresy funkcji?
Zaletą zadania graficznego jest jego przejrzystość. Od razu widać, jak zachowuje się funkcja, gdzie rośnie, a gdzie maleje. Z wykresu możesz od razu znaleźć kilka ważnych cech funkcji.
Ogólnie rzecz biorąc, analityczne i graficzne sposoby definiowania funkcji idą w parze. Praca z formułą pomaga zbudować wykres. A wykres często sugeruje rozwiązania, których nie zauważysz we wzorze.
Prawie każdy uczeń zna trzy sposoby definiowania funkcji, które właśnie omówiliśmy.
Spróbujmy odpowiedzieć na pytanie: „Czy istnieją inne sposoby zdefiniowania funkcji?”
Jest taki sposób.
Funkcję można dość jednoznacznie zdefiniować słownie.
Na przykład funkcję y=2x można zdefiniować za pomocą następującego opisu słownego: każdej rzeczywistej wartości argumentu x przypisywana jest jej podwojona wartość. Reguła jest ustawiona, funkcja jest ustawiona.
Co więcej, możliwe jest ustne określenie funkcji, co jest niezwykle trudne, jeśli nie niemożliwe, do określenia za pomocą formuły.
Na przykład: każda wartość argumentu naturalnego x jest powiązana z sumą cyfr składających się na wartość x. Na przykład, jeśli x=3, to y=3. Jeśli x=257, to y=2+5+7=14. I tak dalej. Trudno to zapisać we wzorze. Ale stół jest łatwy do wykonania.
Metoda opisu słownego jest raczej rzadko stosowaną metodą. Ale czasami tak się dzieje.
Jeśli istnieje prawo zgodności jeden do jednego między x i y, to istnieje funkcja. Jakie prawo, w jakiej formie jest wyrażone – formułą, tabliczką, wykresem, słowem – nie zmienia istoty sprawy.
Rozważ funkcje, których dziedziny definicji są symetryczne względem początku współrzędnych, tj. dla kazdego X numer poza zakresem (- X) również należy do dziedziny definicji. Wśród tych funkcji są parzyste i nieparzyste.
Definicja. Funkcja f jest wywoływana nawet, jeśli dla każdego X poza swoją domeną
Przykład. Rozważ funkcję 
Ona jest równa. Sprawdźmy to.
Dla kazdego X równości
Zatem oba warunki są dla nas spełnione, co oznacza, że funkcja jest parzysta. Poniżej znajduje się wykres tej funkcji.
Definicja. Funkcja f jest wywoływana dziwne, jeśli dla każdego X poza swoją domeną 
Przykład. Rozważ funkcję 
Ona jest dziwna. Sprawdźmy to.
Dziedziną definicji jest cała oś liczbowa, co oznacza, że jest ona symetryczna względem punktu (0; 0).
Dla kazdego X równości
Zatem oba warunki są dla nas spełnione, co oznacza, że funkcja jest nieparzysta. Poniżej znajduje się wykres tej funkcji.
Wykresy pokazane na pierwszej i trzeciej figurze są symetryczne względem osi y, a wykresy pokazane na drugiej i czwartej figurze są symetryczne względem początku układu współrzędnych.
Które z funkcji, których wykresy przedstawiono na rysunkach, są parzyste, a które nieparzyste?
Nawet funkcja.
Nawet Wywoływana jest funkcja, której znak nie zmienia się wraz ze zmianą znaku x.
x równość f(–x) = f(x). Podpisać x nie wpływa na znak y.
Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi współrzędnych (rys. 1).
Nawet przykłady funkcji:
y= cos x
y = x 2
y = –x 2
y = x 4
y = x 6
y = x 2 + x
Wyjaśnienie:
Weźmy funkcję y = x 2 lub y = –x 2 .
Za dowolną wartość x funkcja jest dodatnia. Podpisać x nie wpływa na znak y. Wykres jest symetryczny względem osi współrzędnych. To jest funkcja parzysta.
dziwna funkcja.
dziwne jest funkcją, której znak zmienia się wraz ze zmianą znaku x.
Innymi słowy, dla dowolnej wartości x równość f(–x) = –f(x).
Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku (rys. 2).
Przykłady funkcji nieparzystej:
y= grzech x
y = x 3
y = –x 3
Wyjaśnienie:
Weź funkcję y = - x 3 .
Wszystkie wartości w będzie miał znak minus. To jest znak x wpływa na znak y. Jeśli zmienna niezależna jest liczbą dodatnią, to funkcja jest dodatnia; jeśli zmienna niezależna jest liczbą ujemną, to funkcja jest ujemna: f(–x) = –f(x).
Wykres funkcji jest symetryczny względem początku układu współrzędnych. Jest to funkcja nieparzysta.
Własności funkcji parzystych i nieparzystych:
UWAGA:
Nie wszystkie funkcje są parzyste lub nieparzyste. Istnieją funkcje, które nie podlegają takiej gradacji. Na przykład funkcja root w = √X nie dotyczy ani funkcji parzystych, ani nieparzystych (rys. 3). Wymieniając właściwości takich funkcji należy podać odpowiedni opis: ani parzysty, ani nieparzysty.
Funkcje okresowe.
Jak wiadomo, okresowość to powtarzanie pewnych procesów w określonych odstępach czasu. Funkcje opisujące te procesy to tzw funkcje okresowe. Oznacza to, że są to funkcje, na których wykresach znajdują się elementy powtarzające się w określonych odstępach liczbowych.
Wykresy funkcji parzystych i nieparzystych mają następujące cechy:
Jeśli funkcja jest parzysta, to jej wykres jest symetryczny względem osi y. Jeśli funkcja jest nieparzysta, to jej wykres jest symetryczny względem początku układu współrzędnych.
Przykład. Wykreśl funkcję \(y=\left|x \right|\).Decyzja. Rozważmy funkcję: \(f\left(x \right)=\left|x \right|\) i zastąpmy \(x \) przeciwną \(-x \). W wyniku prostych przekształceń otrzymujemy: $$f\left(-x \right)=\left|-x \right|=\left|x \right|=f\left(x \right)$$ In innymi słowy, jeśli zastąpimy argument przeciwnym znakiem, funkcja nie ulegnie zmianie.
Oznacza to, że ta funkcja jest parzysta, a jej wykres będzie symetryczny względem osi y (osi pionowej). Wykres tej funkcji pokazano na rysunku po lewej stronie. Oznacza to, że podczas kreślenia wykresu można zbudować tylko połowę, a drugą część (po lewej stronie osi pionowej rysować już symetrycznie po prawej stronie). Określając symetrię funkcji przed rozpoczęciem rysowania jej wykresu, można znacznie uprościć proces konstruowania lub badania funkcji. Jeśli trudno jest wykonać sprawdzenie w ogólnej formie, możesz to zrobić łatwiej: zastąp równanie tymi samymi wartościami różnych znaków. Na przykład -5 i 5. Jeśli wartości funkcji są takie same, to możemy mieć nadzieję, że funkcja będzie parzysta. Z matematycznego punktu widzenia takie podejście nie jest do końca poprawne, ale z praktycznego punktu widzenia jest wygodne. Aby zwiększyć wiarygodność wyniku, możesz zastąpić kilka par takich przeciwstawnych wartości.
Przykład. Wykreśl funkcję \(y=x\left|x \right|\).
Decyzja. Sprawdźmy to samo co w poprzednim przykładzie: $$f\left(-x \right)=x\left|-x \right|=-x\left|x \right|=-f\left(x \right ) $$ Oznacza to, że pierwotna funkcja jest nieparzysta (znak funkcji jest odwrócony).
Wniosek: funkcja jest symetryczna względem pochodzenia. Możesz zbudować tylko jedną połowę, a drugą połowę narysować symetrycznie. Ta symetria jest trudniejsza do narysowania. Oznacza to, że patrzysz na wykres z drugiej strony arkusza, a nawet odwrócony do góry nogami. Możesz też to zrobić: weź narysowaną część i obróć ją wokół początku o 180 stopni w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.
Przykład. Wykreśl funkcję \(y=x^3+x^2\).
Decyzja. Przeprowadźmy to samo sprawdzenie zmiany znaku, co w poprzednich dwóch przykładach. $$f\left(-x \right)=\left(-x \right)^3+\left(-x \right)^2=-x^2+x^2$$ $$f\left( -x \right)\not=f\left(x \right),f\left(-x \right)\not=-f\left(x \right)$$ Co oznacza, że funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta .
Wniosek: funkcja nie jest symetryczna ani względem początku, ani względem środka układu współrzędnych. Stało się tak, ponieważ jest to suma dwóch funkcji: parzystej i nieparzystej. Ta sama sytuacja będzie, jeśli odejmiesz dwie różne funkcje. Ale mnożenie lub dzielenie doprowadzi do innego wyniku. Na przykład iloczyn funkcji parzystej i nieparzystej daje nieparzystą. Lub iloraz dwóch nieparzystych prowadzi do funkcji parzystej.
Funkcje parzyste i nieparzyste są jedną z jego głównych właściwości, a parzystość zajmuje imponującą część szkolnego kursu matematyki. W dużej mierze determinuje to charakter zachowania się funkcji i znacznie ułatwia budowę odpowiedniego wykresu.
Zdefiniujmy parzystość funkcji. Ogólnie rzecz biorąc, badana funkcja jest rozważana nawet wtedy, gdy dla przeciwnych wartości zmiennej niezależnej (x) znajdującej się w jej dziedzinie odpowiednie wartości y (funkcji) są sobie równe.
Podajmy bardziej ścisłą definicję. Rozważmy pewną funkcję f(x), która jest zdefiniowana w dziedzinie D. Będzie nawet wtedy, gdy dla dowolnego punktu x znajdującego się w dziedzinie definicji:
- -x (przeciwna kropka) również leży w podanym zakresie,
- fa(-x) = fa(x).
Z powyższej definicji wynika warunek konieczny dla dziedziny definicji takiej funkcji, a mianowicie symetrii względem punktu O, który jest początkiem współrzędnych, gdyż jeśli jakiś punkt b mieści się w dziedzinie definicji funkcji parzystej, to odpowiedni punkt - b również leży w tej dziedzinie. Z powyższego wynika więc wniosek: funkcja parzysta ma postać symetryczną względem osi rzędnych (Oy).
Jak w praktyce wyznaczyć parzystość funkcji?
Niech będzie dane za pomocą wzoru h(x)=11^x+11^(-x). Postępując zgodnie z algorytmem, który wynika bezpośrednio z definicji, badamy przede wszystkim jego dziedzinę definicji. Oczywiście jest ona zdefiniowana dla wszystkich wartości argumentu, czyli pierwszy warunek jest spełniony.
Następnym krokiem jest zastąpienie argumentu (x) jego przeciwną wartością (-x).
Otrzymujemy:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Ponieważ dodawanie spełnia prawo przemienności (przemieszczenia), jest oczywiste, że h(-x) = h(x) i dana zależność funkcyjna jest parzysta.
Sprawdźmy parzystość funkcji h(x)=11^x-11^(-x). Postępując zgodnie z tym samym algorytmem, otrzymujemy h(-x) = 11^(-x) -11^x. Wyjmując minus, w rezultacie mamy
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Stąd h(x) jest nieparzyste.
Nawiasem mówiąc, należy przypomnieć, że istnieją funkcje, których nie można sklasyfikować według tych kryteriów, nie są one nazywane ani parzystymi, ani nieparzystymi.
Funkcje parzyste mają wiele interesujących właściwości:
- w wyniku dodania podobnych funkcji otrzymuje się parzystą;
- w wyniku odjęcia takich funkcji otrzymuje się parzystą;
- nawet, również;
- w wyniku pomnożenia dwóch takich funkcji otrzymuje się parzystą;
- w wyniku mnożenia funkcji nieparzystych i parzystych otrzymuje się funkcję nieparzystą;
- w wyniku podzielenia funkcji nieparzystej i parzystej otrzymuje się funkcję nieparzystą;
- pochodna takiej funkcji jest nieparzysta;
- Jeśli podniesiemy do kwadratu funkcję nieparzystą, otrzymamy parzystą.
Parzystość funkcji można wykorzystać do rozwiązywania równań.
Aby rozwiązać równanie takie jak g(x) = 0, gdzie lewa strona równania jest funkcją parzystą, wystarczy znaleźć jego rozwiązanie dla nieujemnych wartości zmiennej. Otrzymane pierwiastki równania należy połączyć z liczbami przeciwnymi. Jeden z nich podlega weryfikacji.
To samo z powodzeniem stosuje się do rozwiązywania niestandardowych problemów z parametrem.
Na przykład, czy istnieje jakaś wartość parametru a, która sprawiłaby, że równanie 2x^6-x^4-ax^2=1 miałoby trzy pierwiastki?
Jeśli weźmiemy pod uwagę, że zmienna wchodzi do równania w parzystych potęgach, to jasne jest, że zastąpienie x przez -x nie zmieni podanego równania. Wynika z tego, że jeśli pewna liczba jest jej pierwiastkiem, to jest też liczbą przeciwną. Wniosek jest oczywisty: pierwiastki równania, różne od zera, zawarte są w zbiorze jego rozwiązań w „parach”.
Oczywiste jest, że sama liczba 0 nie jest, to znaczy liczba pierwiastków takiego równania może być tylko parzysta i oczywiście dla dowolnej wartości parametru nie może mieć trzech pierwiastków.
Ale liczba pierwiastków równania 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 może być nieparzysta i to dla dowolnej wartości parametru. Rzeczywiście, łatwo sprawdzić, że zbiór pierwiastków danego równania zawiera rozwiązania w „parach”. Sprawdźmy, czy 0 jest pierwiastkiem. Podstawiając go do równania, otrzymujemy 2=2. Zatem oprócz „sparowanych” 0 jest również pierwiastkiem, co świadczy o ich nieparzystej liczbie.
Które w takim czy innym stopniu były ci znane. Zaznaczono tam również, że zasób właściwości funkcyjnych będzie sukcesywnie uzupełniany. W tej sekcji zostaną omówione dwie nowe właściwości.
Definicja 1.
Funkcja y \u003d f (x), x є X, jest wywoływana, nawet jeśli dla dowolnej wartości x ze zbioru X równość f (-x) \u003d f (x) jest prawdziwa.
Definicja 2.
Funkcja y \u003d f (x), x є X, nazywana jest nieparzystą, jeśli dla dowolnej wartości x ze zbioru X równość f (-x) \u003d -f (x) jest prawdziwa.
Udowodnij, że y = x 4 jest funkcją parzystą.
Decyzja. Mamy: f (x) \u003d x 4, f (-x) \u003d (-x) 4. Ale (-x) 4 = x 4 . Stąd dla dowolnego x równość f (-x) = f (x), tj. funkcja jest parzysta.
Podobnie można udowodnić, że funkcje y - x 2, y \u003d x 6, y - x 8 są parzyste.
Udowodnij, że y = x 3 jest funkcją nieparzystą.
Decyzja. Mamy: f (x) \u003d x 3, f (-x) \u003d (-x) 3. Ale (-x) 3 = -x 3 . Stąd dla dowolnego x równość f (-x) \u003d -f (x), tj. funkcja jest nieparzysta.
Podobnie można udowodnić, że funkcje y \u003d x, y \u003d x 5, y \u003d x 7 są nieparzyste.
Ty i ja wielokrotnie przekonaliśmy się, że nowe terminy w matematyce mają najczęściej „ziemskie” pochodzenie, tj. można je jakoś wytłumaczyć. Dotyczy to zarówno funkcji parzystych, jak i nieparzystych. Zobacz: y - x 3, y \u003d x 5, y \u003d x 7 to funkcje nieparzyste, podczas gdy y \u003d x 2, y \u003d x 4, y \u003d x 6 to funkcje parzyste. Ogólnie rzecz biorąc, dla dowolnej funkcji postaci y \u003d x "(poniżej szczegółowo przestudiujemy te funkcje), gdzie n jest liczbą naturalną, możemy stwierdzić: jeśli n jest liczbą nieparzystą, to funkcja y \u003d x " to jest dziwne; jeśli n jest liczbą parzystą, to funkcja y = xn jest parzysta.
Istnieją również funkcje, które nie są ani parzyste, ani nieparzyste. Taka jest na przykład funkcja y \u003d 2x + 3. Rzeczywiście, f (1) \u003d 5, a f (-1) \u003d 1. Jak widać, tutaj A zatem ani tożsamość f (-x ) \u003d fa ( x), ani tożsamość f(-x) = -f(x).
Zatem funkcja może być parzysta, nieparzysta lub żadna.
Badanie kwestii, czy dana funkcja jest parzysta czy nieparzysta, nazywa się zwykle badaniem funkcji pod kątem parzystości.
Definicje 1 i 2 dotyczą wartości funkcji w punktach x i -x. Zakłada to, że funkcja jest zdefiniowana zarówno w punkcie x, jak iw punkcie -x. Oznacza to, że punkt -x należy jednocześnie do dziedziny funkcji, co punkt x. Jeżeli zbiór liczbowy X wraz z każdym ze swoich elementów x zawiera element przeciwny -x, to X nazywamy zbiorem symetrycznym. Powiedzmy, że (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) są zbiorami symetrycznymi, podczas gdy )
