Współrzędne punktu przecięcia wykresów funkcji. Przecięcie dwóch linii

Aby rozwiązać problem geometryczny metodą współrzędnych, potrzebny jest punkt przecięcia, którego współrzędne są używane w rozwiązaniu. Powstaje sytuacja, gdy trzeba szukać współrzędnych przecięcia się dwóch prostych na płaszczyźnie lub określić współrzędne tych samych prostych w przestrzeni. W artykule omówiono przypadki znajdowania współrzędnych punktów, w których przecinają się dane proste.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Konieczne jest zdefiniowanie punktów przecięcia dwóch prostych.

Sekcja dotycząca względnego położenia linii na płaszczyźnie pokazuje, że mogą się one pokrywać, być równoległe, przecinać się w jednym wspólnym punkcie lub przecinać. Dwie linie w przestrzeni nazywamy przecinającymi się, jeśli mają jeden wspólny punkt.

Definicja punktu przecięcia prostych brzmi następująco:

Definicja 1

Punkt, w którym przecinają się dwie proste, nazywany jest ich punktem przecięcia. Innymi słowy, punkt przecięcia linii jest punktem przecięcia.

Rozważ poniższy rysunek.

Przed znalezieniem współrzędnych punktu przecięcia dwóch prostych należy rozważyć poniższy przykład.

Jeżeli na płaszczyźnie istnieje układ współrzędnych O x y, to dane są dwie proste aib. Linia a odpowiada ogólnemu równaniu postaci A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, dla linii b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Wtedy M 0 (x 0 , y 0) jest pewnym punktem płaszczyzny, należy określić, czy punkt M 0 będzie punktem przecięcia tych prostych.

Aby rozwiązać problem, konieczne jest przestrzeganie definicji. Wtedy linie muszą przeciąć się w punkcie, którego współrzędne są rozwiązaniem podanych równań A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 i A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Oznacza to, że współrzędne punktu przecięcia są podstawiane do wszystkich podanych równań. Jeśli podczas podstawienia podają poprawną tożsamość, to M 0 (x 0 , y 0) jest uważane za ich punkt przecięcia.

Przykład 1

Mając dane dwie przecinające się proste 5 x - 2 y - 16 = 0 i 2 x - 5 y - 19 = 0 . Czy punkt M 0 o współrzędnych (2, - 3) będzie punktem przecięcia.

Decyzja

Aby przecięcie prostych było rzeczywiste, konieczne jest, aby współrzędne punktu M 0 spełniały równania prostych. Sprawdza się to poprzez ich zastąpienie. Rozumiemy to

5 2 - 2 (- 3) - 16 = 0 ⇔ 0 = 0 2 2 - 5 (- 3) - 19 = 0 ⇔ 0 = 0

Obie równości są prawdziwe, co oznacza, że ​​M 0 (2, - 3) jest punktem przecięcia danych prostych.

Przedstawiamy to rozwiązanie na linii współrzędnych rysunku poniżej.

Odpowiedź: dany punkt o współrzędnych (2, - 3) będzie punktem przecięcia podanych prostych.

Przykład 2

Czy proste 5 x + 3 y - 1 = 0 i 7 x - 2 y + 11 = 0 przetną się w punkcie M 0 (2 , - 3) ?

Decyzja

Aby rozwiązać problem, konieczne jest podstawienie współrzędnych punktu we wszystkich równaniach. Rozumiemy to

5 2 + 3 (- 3) - 1 = 0 ⇔ 0 = 0 7 2 - 2 (- 3) + 11 = 0 ⇔ 31 = 0

Druga równość nie jest prawdziwa, co oznacza, że ​​dany punkt nie należy do prostej 7 x - 2 y + 11 = 0 . Stąd mamy, że punkt M 0 nie jest punktem przecięcia prostych.

Rysunek wyraźnie pokazuje, że M 0 nie jest punktem przecięcia prostych. Mają wspólny punkt o współrzędnych (- 1 , 2).

Odpowiedź: punkt o współrzędnych (2, - 3) nie jest punktem przecięcia danych prostych.

Przechodzimy do znalezienia współrzędnych punktów przecięcia dwóch linii za pomocą podanych równań na płaszczyźnie.

Dwie przecinające się linie aib są dane równaniami postaci A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 i A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0 znajdujące się w O x y. Wyznaczając punkt przecięcia M 0, otrzymujemy, że należy kontynuować poszukiwania współrzędnych zgodnie z równaniami A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 i A 2 x + B 2 y + C 2 = 0.

Z definicji wynika, że ​​M 0 jest wspólnym punktem przecięcia prostych. W tym przypadku jego współrzędne muszą spełniać równania A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 i A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Innymi słowy, jest to rozwiązanie wynikowego układu A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 .

Oznacza to, że aby znaleźć współrzędne punktu przecięcia, konieczne jest dodanie wszystkich równań do układu i rozwiązanie go.

Przykład 3

Dane są dwie proste x - 9 y + 14 = 0 i 5 x - 2 y - 16 = 0 na płaszczyźnie. musisz znaleźć ich skrzyżowanie.

Decyzja

Dane o stanie równania należy zebrać w układ, po którym otrzymujemy x - 9 y + 14 \u003d 0 5 x - 2 y - 16 \u003d 0. Aby go rozwiązać, pierwsze równanie jest rozwiązywane dla x, wyrażenie jest zastępowane drugim:

x - 9 y + 14 = 0 5 x - 2 y - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 5 x - 2 y - 16 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 5 9 y - 14 - 2 y - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 43 y - 86 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 y = 2 ⇔ x = 9 2 - 14 y = 2 ⇔ x = 4 y = 2

Otrzymane liczby to współrzędne, które należało znaleźć.

Odpowiedź: M 0 (4 , 2) jest punktem przecięcia prostych x - 9 y + 14 = 0 i 5 x - 2 y - 16 = 0 .

Poszukiwanie współrzędnych sprowadza się do rozwiązania układu równań liniowych. Jeżeli zgodnie z warunkiem podana jest inna postać równania, to należy je sprowadzić do postaci normalnej.

Przykład 4

Wyznacz współrzędne punktów przecięcia prostych x - 5 = y - 4 - 3 i x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ , λ ∈ R .

Decyzja

Na początek konieczne jest doprowadzenie równań do ogólnej postaci. Wtedy otrzymujemy, że x = 4 + 9 λ y = 2 + λ , λ ∈ R przekształca się w następujący sposób:

x = 4 + 9 λ y = 2 + λ ⇔ λ = x - 4 9 λ = y - 2 1 ⇔ x - 4 9 = y - 2 1 ⇔ ⇔ 1 (x - 4) = 9 (y - 2) ⇔ x - 9 y + 14 = 0

Następnie bierzemy równanie postaci kanonicznej x - 5 = y - 4 - 3 i przekształcamy. Rozumiemy to

x - 5 = y - 4 - 3 ⇔ - 3 x = - 5 y - 4 ⇔ 3 x - 5 y + 20 = 0

Stąd mamy, że współrzędne są punktem przecięcia

x - 9 y + 14 = 0 3 x - 5 y + 20 = 0 ⇔ x - 9 y = - 14 3 x - 5 y = - 20

Zastosujmy metodę Cramera, aby znaleźć współrzędne:

∆ = 1 - 9 3 - 5 = 1 (- 5) - (- 9) 3 = 22 ∆ x = - 14 - 9 - 20 - 5 = - 14 (- 5) - (- 9) ( - 20) = - 110 ⇒ x = ∆ x ∆ = - 110 22 = - 5 ∆ y = 1 - 14 3 - 20 = 1 (- 20) - (- 14) 3 = 22 ⇒ y = ∆ y ∆ = 22 22 = 1

Odpowiedź: M 0 (- 5 , 1) .

Istnieje inny sposób znalezienia współrzędnych punktu przecięcia linii znajdujących się na płaszczyźnie. Ma zastosowanie, gdy jedna z prostych jest dana równaniami parametrycznymi postaci x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , λ ∈ R . Wtedy x = x 1 + a x λ i y = y 1 + a y λ są podstawione za x, gdzie otrzymujemy λ = λ 0 odpowiadające punktowi przecięcia o współrzędnych x 1 + a x λ 0, y 1 + a y λ 0 .

Przykład 5

Wyznacz współrzędne punktu przecięcia prostej x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ , λ ∈ R oraz x - 5 = y - 4 - 3 .

Decyzja

Konieczne jest wykonanie podstawienia w x - 5 \u003d y - 4 - 3 wyrażeniem x \u003d 4 + 9 λ, y \u003d 2 + λ, wtedy otrzymujemy:

4 + 9 λ - 5 = 2 + λ - 4 - 3

Rozwiązując, otrzymujemy, że λ = - 1 . Oznacza to, że istnieje punkt przecięcia między prostymi x = 4 + 9 λ y = 2 + λ , λ ∈ R i x - 5 = y - 4 - 3 . Aby obliczyć współrzędne, konieczne jest podstawienie wyrażenia λ = - 1 do równania parametrycznego. Wtedy otrzymujemy, że x = 4 + 9 (- 1) y = 2 + (- 1) ⇔ x = - 5 y = 1 .

Odpowiedź: M 0 (- 5 , 1) .

Aby w pełni zrozumieć temat, musisz znać niektóre niuanse.

Najpierw musisz zrozumieć położenie linii. Kiedy się przetną, znajdziemy współrzędne, w innych przypadkach nie będzie rozwiązania. Aby uniknąć tego sprawdzania, możemy ułożyć układ w postaci A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 + C 2 = 0 Jeśli istnieje rozwiązanie, wnioskujemy, że proste się przecinają. Jeśli nie ma rozwiązania, to są równoległe. Gdy system ma nieskończoną liczbę rozwiązań, to mówimy, że są one takie same.

Przykład 6

Dane proste x 3 + y - 4 = 1 i y = 4 3 x - 4 . Ustal, czy mają punkt wspólny.

Decyzja

Upraszczając podane równania, otrzymujemy 1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 i 4 3 x - y - 4 = 0 .

Konieczne jest zebranie równań w układ do późniejszego rozwiązania:

1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 1 3 x - y - 4 = 0 ⇔ 1 3 x - 1 4 y = 1 4 3 x - y = 4

To pokazuje, że równania są wyrażane przez siebie, a następnie otrzymujemy nieskończoną liczbę rozwiązań. Wtedy równania x 3 + y - 4 = 1 i y = 4 3 x - 4 określają tę samą prostą. Dlatego nie ma punktów przecięcia.

Odpowiedź: podane równania definiują tę samą linię prostą.

Przykład 7

Znajdź współrzędne punktu przecinających się prostych 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 i 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0 .

Decyzja

Warunkowo możliwe jest, że linie się nie przecinają. Napisz układ równań i rozwiąż. Do rozwiązania konieczne jest zastosowanie metody Gaussa, ponieważ za jej pomocą można sprawdzić zgodność równania. Otrzymujemy układ postaci:

2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 2 (3 + 2) x - 7 y - 1 = 0 ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y = 1 ⇔ ⇔ 2 x + 2 - 3 y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y + (2 x + (2 - 3) y) (- (3 + 2)) = 1 + - 7 ( - (3 + 2)) ⇔ ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 0 = 22 - 7 2

Otrzymaliśmy błędną równość, więc układ nie ma rozwiązań. Dochodzimy do wniosku, że proste są równoległe. Nie ma punktów przecięcia.

Drugie rozwiązanie.

Najpierw musisz określić obecność przecięcia linii.

n 1 → = (2 , 2 - 3) jest wektorem normalnym prostej 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 , to wektor n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7 to wektor normalny dla linii 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0 .

Należy sprawdzić współliniowość wektorów n 1 → = (2, 2 - 3) i n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7) . Otrzymujemy równość postaci 2 2 (3 + 2) = 2 - 3 - 7 . Jest to poprawne, ponieważ 2 2 3 + 2 - 2 - 3 - 7 = 7 + 2 - 3 (3 + 2) 7 (3 + 2) = 7 - 7 7 (3 + 2) = 0 . Wynika z tego, że wektory są współliniowe. Oznacza to, że proste są równoległe i nie mają punktów przecięcia.

Odpowiedź: nie ma punktów przecięcia, proste są równoległe.

Przykład 8

Znajdź współrzędne przecięcia podanych prostych 2 x - 1 = 0 i y = 5 4 x - 2 .

Decyzja

Aby rozwiązać, tworzymy układ równań. dostajemy

2 x - 1 = 0 5 4 x - y - 2 = 0 ⇔ 2 x = 1 5 4 x - y = 2

Znajdź wyznacznik macierzy głównej. W tym celu 2 0 5 4 - 1 = 2 · (- 1) - 0 · 5 4 = - 2 . Ponieważ jest różna od zera, układ ma 1 rozwiązanie. Wynika z tego, że linie się przecinają. Rozwiążmy system znajdowania współrzędnych punktów przecięcia:

2 x = 1 5 4 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 4 5 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 5 4 1 2 - y = 2 ⇔ x = 1 2 y = - 11 8

Otrzymaliśmy, że punkt przecięcia danych prostych ma współrzędne M 0 (1 2 , - 11 8) .

Odpowiedź: M 0 (1 2 , - 11 8) .

Znalezienie współrzędnych punktu przecięcia dwóch prostych w przestrzeni

W ten sam sposób znajdują się punkty przecięcia linii przestrzeni.

Gdy proste aib w płaszczyźnie współrzędnych O x y z są dane równaniami przecinających się płaszczyzn, to istnieje prosta a, którą można wyznaczyć za pomocą danego układu A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 ZA 2 x + B 2 y + do 2 z + re 1 \u003d 0 i prosta b - za 3 x + b 3 y + do 3 z + re 3 \u003d 0 za 4 x + b 4 y + do 4 z + re 4 \u003d 0.

Gdy punkt M 0 jest punktem przecięcia prostych, to jego współrzędne muszą być rozwiązaniami obu równań. Otrzymujemy równania liniowe w układzie:

ZA 1 x + B 1 y + C 1 z + re 1 = 0 ZA 2 x + B 2 y + do 2 z + re 2 = 0 za 3 x + b 3 y + do 3 z + re 3 = 0 za 4 x + b 4 y + do 4 z + re 4 = 0

Rozważmy takie zadania z przykładami.

Przykład 9

Znajdź współrzędne punktu przecięcia podanych prostych x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 i 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0

Decyzja

Tworzymy układ x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 i rozwiązujemy go. Aby znaleźć współrzędne, konieczne jest rozwiązanie przez macierz. Otrzymujemy wówczas macierz główną postaci   A = 1 0 0 0 1 2 3 2 0 4 0 - 2 oraz macierz rozszerzoną T = 1 0 0 1 0 1 2 - 3 4 0 - 2 4 . Określamy rząd macierzy według Gaussa.

Rozumiemy to

1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 , 1 0 0 1 0 1 2 - 3 3 2 0 - 3 4 0 - 2 4 = 0

Wynika z tego, że ranga rozszerzonej macierzy wynosi 3 . Wtedy układ równań x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 27 - 4 = 0 daje tylko jedno rozwiązanie.

Podstawa mniejsza ma wyznacznik 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 , to ostatnie równanie nie pasuje. Otrzymujemy, że x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y - 3 . Rozwiązanie systemowe x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 1 + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ ⇔ x = 1 - 3 + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ x = 1 z = 0 y = - 3 .

Mamy więc punkt przecięcia x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 i 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 ma współrzędne (1 , - 3 , 0) .

Odpowiedź: (1 , - 3 , 0) .

Układ postaci A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 ma tylko jedno rozwiązanie. Zatem proste a i b przecinają się.

W innych przypadkach równanie nie ma rozwiązania, to znaczy nie ma też punktów wspólnych. Oznacza to, że nie można znaleźć punktu o współrzędnych, ponieważ nie istnieje.

Zatem układ postaci A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 jest rozwiązywane metodą Gaussa. Dzięki swojej niezgodności linie nie przecinają się. Jeśli istnieje nieskończona liczba rozwiązań, to są one zbieżne.

Możesz podjąć decyzję, obliczając główny i rozszerzony rząd macierzy, a następnie zastosować twierdzenie Kroneckera-Capelliego. Otrzymujemy jedno, wiele lub całkowity brak rozwiązań.

Przykład 10

Równania prostych x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 i x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0 są podane. Znajdź punkt przecięcia.

Decyzja

Najpierw ułóżmy układ równań. Otrzymujemy, że x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0 . Rozwiązujemy go metodą Gaussa:

1 2 - 3 4 2 - 1 0 - 5 1 0 - 3 0 3 - 2 2 1 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 - 2 0 - 4 0 - 8 11 - 11 ~ ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 7 5 - 159 5 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 0 311 10

Oczywiście układ nie ma rozwiązań, co oznacza, że ​​proste się nie przecinają. Nie ma punktu przecięcia.

Odpowiedź:żaden punkt przecięcia.

Jeżeli proste podaje się za pomocą równań stożkowych lub parametrycznych, należy sprowadzić je do postaci równań przecinających się płaszczyzn, a następnie znaleźć współrzędne.

Przykład 11

Biorąc pod uwagę dwie linie x = - 3 - λ y = - 3 · λ z = - 2 + 3 · λ , λ ∈ R i x 2 = y - 3 0 = z 5 w O x y z . Znajdź punkt przecięcia.

Decyzja

Linie proste wyznaczamy za pomocą równań dwóch przecinających się płaszczyzn. Rozumiemy to

x = - 3 - λ y = - 3 λ z = - 2 + 3 λ ⇔ λ = x + 3 - 1 λ = y - 3 λ = z + 2 3 ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 = z + 2 3 ⇔ ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 x + 3 - 1 = z + 2 3 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 x 2 = y - 3 0 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 x 2 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0

Znajdujemy współrzędne 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 , w tym celu obliczamy szeregi macierzy. Ranga macierzy to 3, a podstawowa drugorzędna to 3 - 1 0 3 0 1 0 1 0 = - 3 ≠ 0, co oznacza, że ​​ostatnie równanie należy wykluczyć z układu. Rozumiemy to

3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0

Rozwiążmy układ metodą Cramera. Otrzymujemy, że x = - 2 y = 3 z = - 5 . Stąd otrzymujemy, że przecięcie danych prostych daje punkt o współrzędnych (- 2 , 3 , - 5) .

Odpowiedź: (- 2 , 3 , - 5) .

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

W przestrzeni dwuwymiarowej dwie linie przecinają się tylko w jednym punkcie określonym przez współrzędne (x, y). Ponieważ obie proste przechodzą przez swój punkt przecięcia, współrzędne (x, y) muszą spełniać oba równania opisujące te proste. Przy pewnych zaawansowanych umiejętnościach możesz znaleźć punkty przecięcia parabol i innych krzywych kwadratowych.

Kroki

Punkt przecięcia dwóch prostych

Zapisz równanie każdej linii, wyodrębniając zmienną „y” po lewej stronie równania. Pozostałe wyrazy równania należy umieścić po prawej stronie równania. Być może podane ci równanie zamiast „y” będzie zawierało zmienną f (x) lub g (x); w tym przypadku wyizolować taką zmienną. Aby wyodrębnić zmienną, wykonaj odpowiednie operacje matematyczne po obu stronach równania.

• Jeśli równania linii nie są ci podane, na podstawie znanych ci informacji.
• Przykład. Biorąc pod uwagę proste opisane równaniami i y - 12 = - 2 x (\ displaystyle y-12 = -2x). Aby wyodrębnić „y” w drugim równaniu, dodaj liczbę 12 po obu stronach równania:

1. Szukasz punktu przecięcia obu prostych, czyli punktu, którego współrzędne (x, y) spełniają oba równania. Ponieważ zmienna „y” znajduje się po lewej stronie każdego równania, wyrażenia po prawej stronie każdego równania można zrównać. Zapisz nowe równanie.

   • Przykład. Jak y = x + 3 (\ Displaystyle y = x + 3) oraz y = 12 - 2x (\ Displaystyle y = 12-2x), to możemy zapisać następującą równość: .

2. Znajdź wartość zmiennej „x”. Nowe równanie zawiera tylko jedną zmienną „x”. Aby znaleźć „x”, wyizoluj tę zmienną po lewej stronie równania, wykonując odpowiednie obliczenia po obu stronach równania. Powinieneś otrzymać równanie takie jak x = __ (jeśli nie możesz tego zrobić, zobacz tę sekcję).

   • Przykład. x + 3 = 12 - 2 x (\ Displaystyle x + 3 = 12-2x)
   • Dodać 2x (\ Displaystyle 2x) na każdą stronę równania:
   • 3x + 3 = 12 (\ Displaystyle 3x + 3 = 12)
   • Odejmij 3 od każdej strony równania:
   • 3x=9 (\displaystyle 3x=9)
   • Podziel każdą stronę równania przez 3:
   • x = 3 (\ Displaystyle x = 3).

3. Użyj znalezionej wartości zmiennej „x”, aby obliczyć wartość zmiennej „y”. Aby to zrobić, zastąp znalezioną wartość „x” w równaniu (dowolną) linią prostą.

   • Przykład. x = 3 (\ Displaystyle x = 3) oraz y = x + 3 (\ Displaystyle y = x + 3)
   • y = 3 + 3 (\ Displaystyle y = 3 + 3)
   • y = 6 (\ displaystyle y = 6)

4. Sprawdź odpowiedź. Aby to zrobić, podstaw wartość „x” do innego równania prostej i znajdź wartość „y”. Jeśli otrzymasz różne wartości „y”, sprawdź poprawność obliczeń.

   • Przykład: x = 3 (\ Displaystyle x = 3) oraz y = 12 - 2x (\ Displaystyle y = 12-2x)
   • y = 12 - 2 (3) (\ Displaystyle y = 12-2 (3))
   • y = 12 - 6 (\ displaystyle y = 12-6)
   • y = 6 (\ displaystyle y = 6)
   • Otrzymałeś tę samą wartość „y”, więc nie ma błędów w obliczeniach.

5. Zapisz współrzędne (x, y). Obliczając wartości „x” i „y”, znalazłeś współrzędne punktu przecięcia dwóch linii. Zapisz współrzędne punktu przecięcia w postaci (x, y).

   • Przykład. x = 3 (\ Displaystyle x = 3) oraz y = 6 (\ displaystyle y = 6)
   • Zatem dwie proste przecinają się w punkcie o współrzędnych (3,6).

6. Obliczenia w przypadkach szczególnych. W niektórych przypadkach nie można znaleźć wartości zmiennej „x”. Ale to nie znaczy, że popełniłeś błąd. Szczególny przypadek występuje, gdy spełniony jest jeden z następujących warunków:

   • Jeżeli dwie proste są równoległe, to się nie przecinają. W takim przypadku zmienna „x” zostanie po prostu zmniejszona, a twoje równanie zamieni się w bezsensowną równość (na przykład 0 = 1 (\ Displaystyle 0 = 1)). W takim przypadku zapisz w swojej odpowiedzi, że proste się nie przecinają lub nie ma rozwiązania.
   • Jeśli oba równania opisują jedną linię prostą, to będzie nieskończona liczba punktów przecięcia. W takim przypadku zmienna „x” zostanie po prostu zmniejszona, a twoje równanie zamieni się w ścisłą równość (na przykład 3 = 3 (\ Displaystyle 3 = 3)). W takim przypadku zapisz w swojej odpowiedzi, że te dwie linie pokrywają się.

   Problemy z funkcjami kwadratowymi

   1. Definicja funkcji kwadratowej. W funkcji kwadratowej jedna lub więcej zmiennych ma drugi stopień (ale nie wyższy), na przykład x 2 (\ Displaystyle x ^ (2)) lub r 2 (\ displaystyle y ^ (2)). Wykresy funkcji kwadratowych to krzywe, które nie mogą się przecinać lub przecinać w jednym lub dwóch punktach. W tej sekcji dowiesz się, jak znaleźć punkt lub punkty przecięcia krzywych kwadratowych.

   2. Przepisz każde równanie, wyodrębniając zmienną „y” po lewej stronie równania. Pozostałe wyrazy równania należy umieścić po prawej stronie równania.

      • Przykład. Znajdź punkt(y) przecięcia wykresów x 2 + 2 x - y = - 1 (\ Displaystyle x ^ (2) + 2x-y = -1) oraz
      • Wyodrębnij zmienną „y” po lewej stronie równania:
      • oraz y = x + 7 (\ Displaystyle y = x + 7) .
      • W tym przykładzie masz jedną funkcję kwadratową i jedną funkcję liniową. Pamiętaj, że jeśli masz podane dwie funkcje kwadratowe, obliczenia są takie same jak w poniższych krokach.

   3. Zrównaj wyrażenia znajdujące się po prawej stronie każdego równania. Ponieważ zmienna „y” znajduje się po lewej stronie każdego równania, wyrażenia po prawej stronie każdego równania można zrównać.

      • Przykład. y = x 2 + 2 x + 1 (\ Displaystyle y = x ^ (2) + 2x + 1) oraz y = x + 7 (\ Displaystyle y = x + 7)

   4. Przenieś wszystkie wyrazy otrzymanego równania na lewą stronę, a po prawej wpisz 0. W tym celu wykonaj podstawowe operacje matematyczne. Umożliwi to rozwiązanie otrzymanego równania.

      • Przykład. x 2 + 2 x + 1 = x + 7 (\ Displaystyle x ^ (2) + 2x + 1 = x + 7)
      • Odejmij „x” od obu stron równania:
      • x 2 + x + 1 = 7 (\ Displaystyle x ^ (2) + x + 1 = 7)
      • Odejmij 7 od obu stron równania:

   5. Rozwiąż równanie kwadratowe. Przenosząc wszystkie wyrazy równania na jego lewą stronę, otrzymujesz równanie kwadratowe. Można to rozwiązać na trzy sposoby: za pomocą specjalnej formuły i.

      • Przykład. x 2 + x - 6 = 0 (\ Displaystyle x ^ (2) + x-6 = 0)
      • Rozkładając równanie na czynniki, otrzymujesz dwa dwumiany, które po pomnożeniu dają oryginalne równanie. W naszym przykładzie pierwszy element członkowski x 2 (\ Displaystyle x ^ (2)) można rozłożyć na x*x. Wprowadź następujący wpis: (x)(x) = 0
      • W naszym przykładzie punkt przecięcia -6 można rozłożyć na czynniki w następujący sposób: - 6 ∗ 1 (\ Displaystyle -6 * 1), − 3 ∗ 2 (\ Displaystyle -3 * 2), − 2 ∗ 3 (\ Displaystyle -2 * 3), − 1 ∗ 6 (\ Displaystyle -1 * 6).
      • W naszym przykładzie drugim wyrazem jest x (lub 1x). Dodaj każdą parę współczynników wyrazu wolnego (w naszym przykładzie -6), aż uzyskasz 1. W naszym przykładzie poprawna para współczynników wyrazu wolnego to -2 i 3 ( - 2 ∗ 3 = - 6 (\ Displaystyle -2 * 3 = -6)), jak - 2 + 3 = 1 (\ Displaystyle -2 + 3 = 1).
      • Uzupełnij luki znalezioną parą liczb: .

   6. Nie zapomnij o drugim punkcie przecięcia dwóch wykresów. Jeśli rozwiążesz problem szybko i niezbyt ostrożnie, możesz zapomnieć o drugim punkcie przecięcia. Oto jak znaleźć współrzędne „x” dwóch punktów przecięcia:

      • Przykład (faktoring). Jeśli w równaniu (x - 2) (x + 3) = 0 (\ Displaystyle (x-2) (x + 3) = 0) jedno z wyrażeń w nawiasach będzie równe 0, to całe równanie będzie równe 0. Możemy więc zapisać to tak: x - 2 = 0 (\ displaystyle x-2 = 0) → x = 2 (\ Displaystyle x = 2) oraz x + 3 = 0 (\ Displaystyle x + 3 = 0) → x = - 3 (\ Displaystyle x = -3) (to znaczy, że znalazłeś dwa pierwiastki równania).
      • Przykład (użyj wzoru lub pełnego kwadratu). Podczas korzystania z jednej z tych metod w procesie rozwiązywania pojawi się pierwiastek kwadratowy. Na przykład równanie z naszego przykładu przyjmie postać x = (− 1 + 25) / 2 (\ Displaystyle x = (-1 + (\ sqrt (25))) / 2). Pamiętaj, że biorąc pierwiastek kwadratowy, otrzymasz dwa rozwiązania. W naszym przypadku: 25 = 5 ∗ 5 (\displaystyle (\sqrt(25))=5*5), oraz 25 = (− 5) ∗ (− 5) (\ Displaystyle (\ sqrt (25)) = (-5) * (-5)). Zapisz więc dwa równania i znajdź dwie wartości x.

   7. Wykresy przecinają się w jednym punkcie lub nie przecinają się wcale. Takie sytuacje mają miejsce, gdy spełnione są następujące warunki:

      • Jeśli wykresy przecinają się w jednym punkcie, równanie kwadratowe jest rozkładane na równe czynniki, na przykład (x-1) (x-1) = 0, a pierwiastek kwadratowy z 0 pojawia się we wzorze ( 0 (\ Displaystyle (\ sqrt (0)))). W tym przypadku równanie ma tylko jedno rozwiązanie.
      • Jeśli wykresy w ogóle się nie przecinają, równanie nie jest rozkładane na czynniki, a we wzorze pojawia się pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej (np. − 2 (\ Displaystyle (\ sqrt (-2)))). W takim przypadku napisz w odpowiedzi, że nie ma rozwiązania.

Lekcja z cyklu „Algorytmy geometryczne”

Witaj drogi czytelniku!

Nadal poznajemy algorytmy geometryczne. Na ostatniej lekcji znaleźliśmy równanie prostej we współrzędnych dwóch punktów. Mamy równanie postaci:

Dzisiaj napiszemy funkcję, która za pomocą równań dwóch prostych znajdzie współrzędne ich punktu przecięcia (jeśli taki istnieje). Aby sprawdzić równość liczb rzeczywistych, użyjemy specjalnej funkcji RealEq().

Punkty na płaszczyźnie są opisane parą liczb rzeczywistych. Używając typu rzeczywistego, lepiej jest zaaranżować operacje porównania za pomocą funkcji specjalnych.

Powód jest znany: w systemie programowania Pascal nie ma relacji porządku na typie Real, więc lepiej nie używać rekordów postaci a = b, gdzie aib są liczbami rzeczywistymi.
Dzisiaj przedstawimy funkcję RealEq(), aby zaimplementować operację „=” (ściśle równe):

Funkcja RealEq(Stała a, b:Rzeczywista):Boolean; (ściśle równe) początek RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq}

Zadanie. Podano równania dwóch prostych: i . Znajdź ich punkt przecięcia.

Decyzja. Oczywistym rozwiązaniem jest rozwiązanie układu równań prostych: Przepiszmy ten układ trochę inaczej:
(1)

Wprowadzamy notację: , , . Tutaj D jest wyznacznikiem systemu i są wyznacznikami uzyskanymi przez zastąpienie kolumny współczynników dla odpowiedniej niewiadomej kolumną wolnych terminów. Jeżeli , to układ (1) jest określony, to znaczy ma jednoznaczne rozwiązanie. Rozwiązanie to można znaleźć za pomocą następujących wzorów: , , które są nazywane Wzory Cramera. Przypomnę, jak oblicza się wyznacznik drugiego rzędu. Wyznacznik rozróżnia dwie przekątne: główną i drugorzędną. Główna przekątna składa się z elementów pobranych w kierunku od lewego górnego rogu wyznacznika do prawego dolnego rogu. Boczna przekątna - od prawego górnego rogu do lewego dolnego. Wyznacznik drugiego rzędu jest równy iloczynowi elementów głównej przekątnej minus iloczyn elementów drugorzędnej przekątnej.

Kod używa funkcji RealEq() do sprawdzania równości. Obliczenia na liczbach rzeczywistych są wykonywane z dokładnością do _Eps=1e-7.

Program geom2; Const_Eps: Real=1e-7;(dokładność obliczeń) var a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y,d,dx,dy:Real; Funkcja RealEq(Stała a, b:Rzeczywista):Boolean; (ściśle równe) początek RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq} Function LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2: real; var x,y:real):Boolean; {Определение координат точки пересечения двух линий. Значение функции равно true, если точка пересечения есть, и false, если прямые параллельны. } var d:real; begin d:=a1*b2-b1*a2; if Not(RealEq(d,0)) then begin LineToPoint:=True; dx:=-c1*b2+b1*c2; dy:=-a1*c2+c1*a2; x:=dx/d; y:=dy/d; end else LineToPoint:=False End;{LineToPoint} begin {main} writeln("Введите коэффициенты уравнений: a1,b1,c1,a2,b2,c2 "); readln(a1,b1,c1,a2,b2,c2); if LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y) then writeln(x:5:1,y:5:1) else writeln("Прямые параллельны."); end.

Skompilowaliśmy program, za pomocą którego możesz, znając równania linii, znaleźć współrzędne ich punktu przecięcia.

Podczas rozwiązywania niektórych problemów geometrycznych metodą współrzędnych konieczne jest znalezienie współrzędnych punktu przecięcia linii. Najczęściej trzeba szukać współrzędnych punktu przecięcia się dwóch prostych na płaszczyźnie, ale czasami konieczne staje się wyznaczenie współrzędnych punktu przecięcia się dwóch prostych w przestrzeni. W tym artykule zajmiemy się znajdowaniem współrzędnych punktu, w którym przecinają się dwie proste.

Nawigacja po stronie.

Punkt przecięcia dwóch linii jest definicją.

Najpierw zdefiniujmy punkt przecięcia dwóch prostych.

Zatem, aby znaleźć współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych określonych na płaszczyźnie równaniami ogólnymi, należy rozwiązać układ złożony z równań danych prostych.

Rozważmy przykładowe rozwiązanie.

Przykład.

Znajdź punkt przecięcia dwóch prostych określonych w prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie równaniami x-9y+14=0 i 5x-2y-16=0 .

Decyzja.

Otrzymaliśmy dwa ogólne równania linii, z których ułożymy układ: . Rozwiązania otrzymanego układu równań można łatwo znaleźć, jeśli jego pierwsze równanie zostanie rozwiązane względem zmiennej x, a wyrażenie to zostanie podstawione w drugim równaniu:

Znalezione rozwiązanie układu równań daje nam pożądane współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych.

Odpowiedź:

M 0 (4, 2) x-9y+14=0 i 5x-2y-16=0 .

Tak więc znalezienie współrzędnych punktu przecięcia dwóch prostych, określonych równaniami ogólnymi na płaszczyźnie, sprowadza się do rozwiązania układu dwóch równań liniowych z dwiema nieznanymi zmiennymi. Ale co, jeśli linie proste na płaszczyźnie są dane nie przez równania ogólne, ale przez równania innego typu (patrz typy równań linii prostej na płaszczyźnie)? W takich przypadkach możesz najpierw doprowadzić równania linii do ogólnej postaci, a dopiero potem znaleźć współrzędne punktu przecięcia.

Przykład.

oraz .

Decyzja.

Przed znalezieniem współrzędnych punktu przecięcia podanych linii doprowadzamy ich równania do postaci ogólnej. Przejście od równań parametrycznych do prostej do ogólnego równania tej prostej wygląda następująco:

Teraz przeprowadzimy niezbędne działania z kanonicznym równaniem linii:

Zatem pożądane współrzędne punktu przecięcia linii są rozwiązaniem układu równań postaci . Do jego rozwiązania używamy:

Odpowiedź:

M 0 (-5, 1)

Istnieje inny sposób znalezienia współrzędnych punktu przecięcia dwóch prostych na płaszczyźnie. Wygodnie jest go używać, gdy jedna z linii jest dana równaniami parametrycznymi postaci , a drugi - równanie prostej o innej postaci. W takim przypadku w innym równaniu zamiast zmiennych x i y można podstawić wyrażenia oraz , z którego będzie można uzyskać wartość odpowiadającą punktowi przecięcia danych prostych. W tym przypadku punkt przecięcia prostych ma współrzędne .

Znajdźmy w ten sposób współrzędne punktu przecięcia prostych z poprzedniego przykładu.

Przykład.

Wyznacz współrzędne punktu przecięcia prostych oraz .

Decyzja.

Podstaw w równaniu wyrażenia bezpośredniego:

Rozwiązując wynikowe równanie, otrzymujemy . Ta wartość odpowiada wspólnemu punktowi linii oraz . Współrzędne punktu przecięcia obliczamy podstawiając prostą do równań parametrycznych:
.

Odpowiedź:

M0 (-5, 1).

Aby uzupełnić obraz, należy omówić jeszcze jedną kwestię.

Przed znalezieniem współrzędnych punktu przecięcia dwóch prostych na płaszczyźnie warto upewnić się, że podane proste rzeczywiście się przecinają. Jeśli okaże się, że pierwotne linie pokrywają się lub są równoległe, to nie może być mowy o znalezieniu współrzędnych punktu przecięcia takich linii.

Możesz oczywiście obejść się bez takiego sprawdzenia i od razu ułożyć układ równań postaci i rozwiązać go. Jeśli układ równań ma unikalne rozwiązanie, to podaje współrzędne punktu, w którym przecinają się pierwotne linie. Jeżeli układ równań nie ma rozwiązań, to możemy stwierdzić, że pierwotne proste są równoległe (ponieważ nie ma takiej pary liczb rzeczywistych x i y, która spełniałaby jednocześnie oba równania danych prostych). Z obecności nieskończonego zbioru rozwiązań układu równań wynika, że ​​pierwotne linie mają nieskończenie wiele punktów wspólnych, to znaczy pokrywają się.

Spójrzmy na przykłady pasujące do tych sytuacji.

Przykład.

Dowiedz się, czy linie i przecinają się, a jeśli się przecinają, znajdź współrzędne punktu przecięcia.

Decyzja.

Podane równania linii odpowiadają równaniom oraz . Rozwiążmy układ złożony z tych równań .

Oczywiste jest, że równania układu są wyrażane liniowo przez siebie (drugie równanie układu otrzymuje się z pierwszego przez pomnożenie obu jego części przez 4), dlatego układ równań ma nieskończoną liczbę rozwiązań. Zatem równania i definiują tę samą linię i nie możemy mówić o znalezieniu współrzędnych punktu przecięcia tych linii.

Odpowiedź:

Równania i samą prostą wyznaczamy w prostokątnym układzie współrzędnych Oxy, więc nie możemy mówić o znalezieniu współrzędnych punktu przecięcia.

Przykład.

Znajdź współrzędne punktu przecięcia prostych oraz , Jeśli to możliwe.

Decyzja.

Warunek problemu dopuszcza, że ​​proste nie mogą się przecinać. Skomponujmy układ tych równań. Ma zastosowanie do jego rozwiązania, ponieważ pozwala ustalić zgodność lub niespójność układu równań, a jeśli jest zgodny, znaleźć rozwiązanie:

Ostatnie równanie układu po bezpośrednim przebiegu metody Gaussa zamieniło się w błędną równość, dlatego układ równań nie ma rozwiązań. Z tego możemy wywnioskować, że pierwotne linie są równoległe i nie możemy mówić o znalezieniu współrzędnych punktu przecięcia tych linii.

Drugie rozwiązanie.

Sprawdźmy, czy podane proste się przecinają.

- normalny wektor linii i wektor jest wektorem normalnym linii . Sprawdźmy wykonanie oraz : równość jest prawdziwe, ponieważ , zatem wektory normalne danych prostych są współliniowe. Następnie linie te są równoległe lub pokrywają się. Zatem nie możemy znaleźć współrzędnych punktu przecięcia oryginalnych linii.

Odpowiedź:

Nie można znaleźć współrzędnych punktu przecięcia podanych prostych, ponieważ proste te są równoległe.

Przykład.

Znajdź współrzędne punktu przecięcia prostych 2x-1=0 i czy się przecinają.

Decyzja.

Tworzymy układ równań, które są równaniami ogólnymi danych prostych: . Wyznacznik macierzy głównej tego układu równań jest różny od zera , więc układ równań ma jedno rozwiązanie, które wskazuje przecięcie danych prostych.

Aby znaleźć współrzędne punktu przecięcia prostych, musimy rozwiązać układ:

Otrzymane rozwiązanie daje nam współrzędne punktu przecięcia prostych, czyli 2x-1=0 i .

Odpowiedź:

Znalezienie współrzędnych punktu przecięcia dwóch prostych w przestrzeni.

Współrzędne punktu przecięcia dwóch linii w przestrzeni trójwymiarowej znajdują się podobnie.

Rozważmy przykłady.

Przykład.

Znajdź współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych podanych w przestrzeni za pomocą równań oraz .

Decyzja.

Z równań danych prostych układamy układ równań: . Rozwiązanie tego układu da nam pożądane współrzędne punktu przecięcia prostych w przestrzeni. Znajdźmy rozwiązanie zapisanego układu równań.

Główna macierz systemu ma postać i przedłużony .

zdefiniujmy A i rząd macierzy T . Używamy