Zależność liniowa i wprost proporcjonalna. Co to jest bezpośrednia proporcjonalność

Podstawowe cele:

• wprowadzić pojęcie bezpośredniej i odwrotnej proporcjonalnej zależności wielkości;
• uczyć rozwiązywania problemów z wykorzystaniem tych zależności;
• promować rozwój umiejętności rozwiązywania problemów;
• utrwalić umiejętność rozwiązywania równań za pomocą proporcji;
• powtarzaj czynności z ułamkami zwykłymi i dziesiętnymi;
• rozwijać logiczne myślenie uczniów.

PODCZAS ZAJĘĆ

I. Samostanowienie do działania(czas organizacji)

- Chłopaki! Dzisiaj na lekcji zapoznamy się z problemami rozwiązywanymi za pomocą proporcji.

II. Aktualizowanie wiedzy i usuwanie trudności w działaniach

2.1. praca ustna (3 minuty)

- Znajdź znaczenie wyrażeń i znajdź słowo zaszyfrowane w odpowiedziach.

14 - s; 0,1 - i; 7 - l; 0,2 - a; 17 - w; 25 - do

- Padło słowo - siła. Dobrze zrobiony!
- Motto naszej dzisiejszej lekcji: Potęga tkwi w wiedzy! Szukam - więc się uczę!
- Zrób proporcję otrzymanych liczb. (14:7=0,2:0,1 itd.)

2.2. Rozważ związek między znanymi wielkościami (7 minut)

- droga przebyta przez samochód ze stałą prędkością i czas jego ruchu: S = v t ( wraz ze wzrostem prędkości (czasu) ścieżka wzrasta);
- prędkość samochodu i czas spędzony na drodze: v=S:t(wraz ze wzrostem czasu przebycia ścieżki prędkość maleje);
– koszt towaru zakupionego po jednej cenie i jego ilość: C \u003d a n (wraz ze wzrostem (spadkiem) ceny koszt zakupu wzrasta (spada);
- cena produktu i jego ilość: a \u003d C: n (wraz ze wzrostem ilości cena spada)
- obszar prostokąta i jego długość (szerokość): S = a b (wraz ze wzrostem długości (szerokości) obszar wzrasta;
- długość prostokąta i szerokość: a = S: b (wraz ze wzrostem długości szerokość maleje;
- liczba pracowników wykonujących jakąś pracę przy tej samej wydajności pracy oraz czas potrzebny na wykonanie tej pracy: t \u003d A: n (wraz ze wzrostem liczby pracowników czas spędzony na wykonywaniu pracy maleje) itp. .

Otrzymaliśmy zależności, w których przy kilkukrotnym wzroście jednej wartości druga od razu zwiększa się o tę samą wielkość (przykłady pokazane strzałkami) oraz zależności, w których przy kilkukrotnym wzroście jednej wartości druga wartość maleje o tyle samo razy.
Takie relacje nazywane są proporcjami prostymi i odwrotnymi.
Zależność wprost proporcjonalna- zależność, w której przy kilkukrotnym wzroście (spadku) jednej wartości druga wartość wzrasta (spada) o tę samą wartość.
Odwrotna zależność proporcjonalna- zależność, w której przy kilkukrotnym wzroście (spadku) jednej wartości druga wartość maleje (rośnie) o tę samą wartość.

III. Zestawienie zadania uczenia się

Jaki mamy problem? (Naucz się rozróżniać relacje bezpośrednie i odwrotne)
- Ono - bramka nasza lekcja. Teraz sformułuj temat lekcja. (Proporcjonalność bezpośrednia i odwrotna).
- Dobrze zrobiony! Napisz temat lekcji w zeszytach. (Nauczyciel zapisuje temat na tablicy.)

IV. „Odkrycie” nowej wiedzy(10 minut)

Przeanalizujmy problemy numer 199.

1. Drukarka drukuje 27 stron w 4,5 minuty. Ile czasu zajmie wydrukowanie 300 stron?

27 stron - 4,5 min.
300 s. - x?

2. W pudełku jest 48 paczek herbaty po 250 g każda. Ile opakowań po 150 g wyjdzie z tej herbaty?

48 opakowań - 250 g.
X? - 150 gr.

3. Samochód przejechał 310 km, wydając 25 litrów benzyny. Jak daleko może przejechać samochód na pełnym baku 40 litrów?

310 km - 25 l
X? – 40 litrów

4. Jedno z kół zębatych sprzęgła ma 32 zęby, a drugie 40. Ile obrotów wykona drugie koło zębate, podczas gdy pierwsze wykona 215 obrotów?

32 zęby - 315 obr./min
40 zębów - x?

Aby sporządzić proporcję, potrzebny jest jeden kierunek strzałek, w tym celu w odwrotnej proporcji jeden stosunek zastępuje się odwrotnością.

Na tablicy uczniowie znajdują wartości wielkości, w terenie uczniowie rozwiązują jeden wybrany przez siebie problem.

– Sformułować regułę rozwiązywania problemów z proporcjonalnością bezpośrednią i odwrotną.

Na planszy pojawia się tabela:

V. Konsolidacja pierwotna w mowie zewnętrznej(10 minut)

Zadania na arkuszach:

1. Z 21 kg nasion bawełny uzyskano 5,1 kg oleju. Ile oleju otrzymamy z 7 kg nasion bawełny?
2. W celu budowy stadionu 5 buldożerów oczyściło teren w 210 minut. Ile czasu zajęłoby oczyszczenie tego terenu 7 buldożerom?

VI. Samodzielna praca z autotestem zgodnie ze standardem(5 minut)

Dwóch uczniów wykonuje samodzielnie zadania nr 225 na ukrytych tablicach, a reszta w zeszytach. Następnie sprawdzają działanie według algorytmu i porównują z rozwiązaniem na tablicy. Błędy są korygowane, wyjaśniane są ich przyczyny. Jeśli zadanie zostało wykonane, dobrze, to obok uczniów umieść dla siebie znak „+”.
Studenci, którzy popełniają błędy w samodzielnej pracy, mogą skorzystać z pomocy konsultantów.

VII. Włączanie do systemu wiedzy i powtarzanie№ 271, № 270.

Sześć osób pracuje przy tablicy. Po 3–4 minutach uczniowie, którzy pracowali przy tablicy, prezentują swoje rozwiązania, a pozostali sprawdzają zadania i biorą udział w dyskusji.

VIII. Odbicie aktywności (wynik lekcji)

- Czego nowego nauczyłeś się na lekcji?
- Co powtórzyłeś?
Jaki jest algorytm rozwiązywania problemów z proporcjami?
Czy osiągnęliśmy nasz cel?
- Jak oceniasz swoją pracę?

W klasach 7 i 8 badany jest bezpośredni wykres proporcjonalny.

Jak wykreślić wykres wprost proporcjonalny?

Rozważmy przykład wykresu bezpośredniej proporcjonalności.

Bezpośrednia formuła wykresu proporcjonalnego

Bezpośredni wykres proporcjonalny przedstawia funkcję.

Ogólnie rzecz biorąc, bezpośrednia proporcjonalność ma wzór

Nachylenie wykresu bezpośredniej proporcjonalności względem osi x zależy od wielkości i znaku współczynnika bezpośredniej proporcjonalności.

Wykres bezpośredniej proporcjonalności przechodzi

Wykres bezpośredniej proporcjonalności przechodzi przez początek.

Wykres bezpośredniej proporcjonalności jest linią prostą. Linię prostą wyznaczają dwa punkty.

Zatem przy konstruowaniu wykresu bezpośredniej proporcjonalności wystarczy określić położenie dwóch punktów.

Ale zawsze znamy jeden z nich - to jest początek współrzędnych.

Pozostaje znaleźć drugą. Spójrzmy na przykład konstrukcji wykresu bezpośredniej proporcjonalności.

Narysuj wykres bezpośredniej proporcjonalności y = 2x

Zadanie .

Narysuj wykres bezpośredniej proporcjonalności określony wzorem

Decyzja .

Wszystkie numery są.

Bierzemy dowolną liczbę z obszaru definicji bezpośredniej proporcjonalności, niech to będzie 1.

Znajdź wartość funkcji, gdy x jest równe 1

Y=2x=
2 * 1 = 2

czyli dla x = 1 otrzymujemy y = 2. Punkt o tych współrzędnych należy do wykresu funkcji y = 2x.

Wiemy, że wykresem wprost proporcjonalnym jest linia prosta, a prostą wyznaczają dwa punkty.

Te dwie wielkości są nazywane wprost proporcjonalna, jeśli gdy jeden z nich zostanie kilkakrotnie zwiększony, drugi zostanie zwiększony o tę samą kwotę. W związku z tym, gdy jeden z nich zmniejsza się kilka razy, drugi zmniejsza się o tę samą wartość.

Zależność między takimi wielkościami jest wprost proporcjonalna. Przykłady bezpośredniego stosunku proporcjonalnego:

1) przy stałej prędkości przebyta odległość jest wprost proporcjonalna do czasu;

2) obwód kwadratu i jego bok są wprost proporcjonalne;

3) koszt towaru zakupionego po jednej cenie jest wprost proporcjonalny do jego ilości.

Aby odróżnić bezpośrednią proporcjonalną zależność od odwrotnej, możesz użyć przysłowia: „Im dalej w las, tym więcej drewna na opał”.

Wygodne jest rozwiązywanie problemów dla wielkości wprost proporcjonalnych za pomocą proporcji.

1) Do wyprodukowania 10 części potrzebne jest 3,5 kg metalu. Ile metalu zużyje się na wykonanie 12 takich części?

(Rozmawiamy tak:

1. W uzupełnionej kolumnie umieść strzałkę w kierunku od największej liczby do najmniejszej.

2. Im więcej części, tym więcej metalu potrzeba do ich wykonania. Jest to więc zależność wprost proporcjonalna.

Niech x kg metalu będzie potrzebne do wykonania 12 części. Uzupełniamy proporcję (w kierunku od początku strzałki do jej końca):

12:10=x:3,5

Aby znaleźć , musimy podzielić iloczyn wyrazów skrajnych przez znany wyraz środkowy:

Oznacza to, że potrzebne będzie 4,2 kg metalu.

Odpowiedź: 4,2 kg.

2) Za 15 metrów tkaniny zapłacono 1680 rubli. Ile kosztuje 12 metrów takiej tkaniny?

(1. W uzupełnionej kolumnie umieść strzałkę w kierunku od największej liczby do najmniejszej.

2. Im mniej tkaniny kupisz, tym mniej będziesz musiał za nią zapłacić. Jest to więc zależność wprost proporcjonalna.

3. Dlatego druga strzałka jest skierowana w tym samym kierunku co pierwsza).

Niech x rubli kosztuje 12 metrów tkaniny. Uzupełniamy proporcję (od początku strzałki do końca):

15:12=1680:x

Aby znaleźć nieznany skrajny element proporcji, dzielimy iloczyn środkowych wyrazów przez znany skrajny element proporcji:

Tak więc 12 metrów kosztuje 1344 rubli.

Odpowiedź: 1344 rubli.

Pojęcie bezpośredniej proporcjonalności

Wyobraź sobie, że myślisz o kupieniu swojego ulubionego cukierka (lub czegokolwiek, co naprawdę lubisz). Słodycze w sklepie mają swoją cenę. Załóżmy, że 300 rubli za kilogram. Im więcej kupisz cukierków, tym więcej zapłacisz. To znaczy, jeśli chcesz 2 kilogramy - zapłać 600 rubli, a jeśli chcesz 3 kilogramy - daj 900 rubli. Z tym wszystko wydaje się być jasne, prawda?

Jeśli tak, to teraz jest dla ciebie jasne, czym jest bezpośrednia proporcjonalność - jest to koncepcja opisująca stosunek dwóch zależnych od siebie wielkości. A stosunek tych wielkości pozostaje niezmieniony i stały: o ile części zwiększa się lub zmniejsza jedna z nich, o tę samą liczbę części proporcjonalnie zwiększa się lub zmniejsza druga.

Bezpośrednią proporcjonalność można opisać wzorem: f(x) = a*x, a a w tym wzorze jest wartością stałą (a = const). W naszym przykładzie z cukierkami cena jest stałą, stałą. Nie zwiększa się ani nie zmniejsza, bez względu na to, ile słodyczy zdecydujesz się kupić. Zmienna niezależna (argument) x oznacza, ile kilogramów słodyczy zamierzasz kupić. A zmienna zależna f(x) (funkcja) określa, ile pieniędzy ostatecznie zapłacisz za zakup. Możemy więc podstawić liczby we wzorze i otrzymać: 600 r. = 300 r. * 2 kg.

Pośredni wniosek jest następujący: jeśli argument rośnie, funkcja również rośnie, jeśli argument maleje, funkcja również maleje

Funkcja i jej właściwości

Bezpośrednia funkcja proporcjonalna jest szczególnym przypadkiem funkcji liniowej. Jeśli funkcja liniowa to y = k*x + b, to dla bezpośredniej proporcjonalności wygląda to tak: y = k*x, gdzie k nazywa się współczynnikiem proporcjonalności i jest to zawsze liczba różna od zera. Obliczenie k jest łatwe - znajduje się jako iloraz funkcji i argumentu: k = y/x.

Aby to wyjaśnić, weźmy inny przykład. Wyobraź sobie, że samochód jedzie z punktu A do punktu B. Jego prędkość wynosi 60 km/h. Jeśli założymy, że prędkość ruchu pozostaje stała, to można ją przyjąć jako stałą. A następnie zapisujemy warunki w postaci: S \u003d 60 * t, a ten wzór jest podobny do funkcji bezpośredniej proporcjonalności y \u003d k * x. Narysujmy dalej równoległość: jeśli k \u003d y / x, to prędkość samochodu można obliczyć, znając odległość między A i B oraz czas spędzony na drodze: V \u003d S / t.

A teraz, od praktycznego zastosowania wiedzy o bezpośredniej proporcjonalności, wróćmy do jej funkcji. Właściwości, które obejmują:

jego dziedziną definicji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych (a także jego podzbiór);

funkcja jest nieparzysta;

zmiana zmiennych jest wprost proporcjonalna do całej długości osi liczbowej.

Proporcjonalność bezpośrednia i jej wykres

Wykres funkcji wprost proporcjonalnej to linia prosta przecinająca punkt początkowy. Aby go zbudować, wystarczy zaznaczyć jeszcze tylko jeden punkt. I połącz go z początkiem linii.

W przypadku wykresu k jest nachyleniem. Jeśli nachylenie jest mniejsze od zera (k< 0), то угол между графиком функции прямой пропорциональности и осью абсцисс тупой, а функция убывающая. Если угловой коэффициент больше нуля (k >0), wykres i oś x tworzą kąt ostry, a funkcja jest rosnąca.

I jeszcze jedna właściwość wykresu funkcji bezpośredniej proporcjonalności jest bezpośrednio związana z nachyleniem k. Załóżmy, że mamy dwie nieidentyczne funkcje i odpowiednio dwa wykresy. Jeśli więc współczynniki k tych funkcji są równe, ich wykresy są równoległe na osi współrzędnych. A jeśli współczynniki k nie są sobie równe, wykresy się przecinają.

Przykłady zadań

Zdecydujmy się na parę problemy z bezpośrednią proporcjonalnością

Zacznijmy prosto.

Zadanie 1: Wyobraź sobie, że 5 kur zniosło 5 jaj w ciągu 5 dni. A jeśli jest 20 kur, ile jaj zniosą w ciągu 20 dni?

Rozwiązanie: Oznacz niewiadomą jako x. I będziemy się spierać w następujący sposób: ile razy było więcej kurczaków? Podziel 20 przez 5 i dowiedz się, że 4 razy. A ile razy więcej jaj zniesie 20 kur w ciągu tych samych 5 dni? Również 4 razy więcej. Tak więc znajdujemy nasze: 5 * 4 * 4 \u003d 80 jaj zostanie zniesionych przez 20 kur w ciągu 20 dni.

Teraz przykład jest trochę bardziej skomplikowany, sformułujmy ponownie problem z „Ogólnej arytmetyki” Newtona. Zadanie 2: Pisarz może napisać 14 stron nowej książki w 8 dni. Gdyby miał asystentów, ile osób potrzeba by do napisania 420 stron w 12 dni?

Rozwiązanie: Rozumiemy, że liczba osób (pisarz + asystenci) wzrasta wraz ze wzrostem ilości pracy, gdyby musiała być wykonana w takim samym czasie. Ale ile razy? Dzieląc 420 przez 14, dowiadujemy się, że zwiększa się 30 razy. Ponieważ jednak zgodnie z warunkami zadania poświęca się więcej czasu na pracę, liczba asystentów nie wzrasta 30-krotnie, ale w ten sposób: x \u003d 1 (pisarz) * 30 (razy): 12/8 (dni). Przekształćmy i dowiedzmy się, że x = 20 osób napisze 420 stron w 12 dni.

Rozwiążmy inny problem podobny do tego, który mieliśmy w przykładach.

Zadanie 3: Dwa samochody wyruszają w tę samą podróż. Jeden poruszał się z prędkością 70 km/h i pokonał tę samą odległość w ciągu 2 godzin, co drugi w 7 godzin. Znajdź prędkość drugiego samochodu.

Rozwiązanie: Jak pamiętasz, droga jest określona przez prędkość i czas - S = V *t. Ponieważ oba samochody jechały tą samą drogą, możemy zrównać dwa wyrażenia: 70*2 = V*7. Gdzie znajdujemy, że prędkość drugiego samochodu wynosi V = 70*2/7 = 20 km/h.

I jeszcze kilka przykładów zadań z funkcjami bezpośredniej proporcjonalności. Czasami w problemach wymagane jest znalezienie współczynnika k.

Zadanie 4: Biorąc pod uwagę funkcje y \u003d - x / 16 i y \u003d 5x / 2, określ ich współczynniki proporcjonalności.

Rozwiązanie: Jak pamiętasz, k = y/x. Stąd dla pierwszej funkcji współczynnik wynosi -1/16, a dla drugiej k = 5/2.

Możesz też natknąć się na takie zadanie jak Zadanie 5: Zapisz wzór na bezpośrednią proporcjonalność. Jego wykres i wykres funkcji y \u003d -5x + 3 znajdują się równolegle.

Rozwiązanie: Funkcja dana nam w warunku jest liniowa. Wiemy, że bezpośrednia proporcjonalność jest szczególnym przypadkiem funkcji liniowej. Wiemy też, że jeśli współczynniki funkcji k są równe, to ich wykresy są równoległe. Oznacza to, że wystarczy obliczyć współczynnik znanej funkcji i ustawić bezpośrednią proporcjonalność za pomocą znanego wzoru: y \u003d k * x. Współczynnik k \u003d -5, bezpośrednia proporcjonalność: y \u003d -5 * x.

Wniosek

Teraz nauczyłeś się (lub przypomniałeś sobie, jeśli już wcześniej poruszałeś ten temat), jak nazywa się bezpośrednia proporcjonalność i rozważył to przykłady. Rozmawialiśmy również o funkcji bezpośredniej proporcjonalności i jej wykresie, rozwiązaliśmy na przykład kilka problemów.

Jeśli ten artykuł był przydatny i pomógł zrozumieć temat, powiedz nam o tym w komentarzach. Abyśmy wiedzieli, czy możemy Ci pomóc.

strona, z pełnym lub częściowym kopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.

Przykład

Współczynnik proporcjonalności

Nazywa się stały stosunek wielkości proporcjonalnych współczynnik proporcjonalności. Współczynnik proporcjonalności pokazuje, ile jednostek jednej wielkości przypada na jednostkę innej wielkości.

Bezpośrednia proporcjonalność

Bezpośrednia proporcjonalność- zależność funkcjonalna, w której pewna wielkość zależy od innej wielkości w taki sposób, że ich stosunek pozostaje stały. Innymi słowy, te zmienne się zmieniają proporcjonalnie, w równych częściach, to znaczy, jeśli argument zmienił się dwukrotnie w dowolnym kierunku, to funkcja również zmieni się dwukrotnie w tym samym kierunku.

Matematycznie bezpośrednia proporcjonalność jest zapisana jako wzór:

f(x) = ax,a = const

Odwrotna proporcjonalność

Odwrotna proporcja- jest to zależność funkcyjna, w której wzrost wartości (argumentu) niezależnej powoduje proporcjonalne zmniejszenie wartości (funkcji) zależnej.

Matematycznie odwrotna proporcjonalność jest zapisana jako wzór:

Właściwości funkcji:

Źródła

Fundacja Wikimedia. 2010 .