Wprowadzenie
Pytania do nauki:
Pojęcia i definicje logiki matematycznej.
Podstawowe działania algebry zdań.
Prawa i konsekwencje algebry Boole'a.
Wniosek
Wprowadzenie
Teoretyczną podstawą budowy komputerów są specjalne dyscypliny matematyczne. Jedną z nich jest algebra logiki, inaczej algebra Boole'a (J. Boole to angielski matematyk XIX wieku, twórca tej dyscypliny). Jego aparatura jest szeroko stosowana do opisu obwodów komputerowych, ich projektowania i optymalizacji.
1. Pojęcia i definicje logiki matematycznej.
Logika- nauka badająca prawa i formy myślenia; doktryna metod rozumowania i dowodów.
Logika matematyczna (logika teoretyczna, logika symboliczna) to gałąź matematyki, która bada dowody i pytania dotyczące podstaw matematyki. „Temat współczesnej logiki matematycznej jest zróżnicowany”. Zgodnie z definicją P. S. Poretsky'ego „logika matematyczna to logika według przedmiotu, matematyka według metody”. Zgodnie z definicją N. I. Kondakowa „logika matematyczna jest drugim, po logice tradycyjnej, etapem rozwoju logiki formalnej, stosowania metod matematycznych i specjalnego aparatu symboli oraz badania myślenia za pomocą rachunku różniczkowego (języków sformalizowanych)”. Ta definicja odpowiada definicji SK Kleene: logika matematyczna to „logika rozwinięta za pomocą metod matematycznych”. Ponadto A. A. Markov definiuje współczesną logikę jako „naukę ścisłą stosującą metody matematyczne”. Wszystkie te definicje nie są ze sobą sprzeczne, ale wzajemnie się uzupełniają.
Użycie metod matematycznych w logice staje się możliwe, gdy sądy formułuje się w jakimś precyzyjnym języku. Tak precyzyjne języki mają dwie strony: składnię i semantykę. Składnia to zestaw reguł konstruowania obiektów językowych (zwykle nazywanych formułami). Semantyka to zbiór konwencji, które opisują nasze rozumienie formuł (lub niektórych z nich) i pozwalają nam uznać, że niektóre formuły są prawdziwe, a inne nie.
Logika matematyczna bada logiczne powiązania i relacje leżące u ich podstaw wnioskowanie logiczne (dedukcyjne). używając języka matematyki.
Praw świata, istoty przedmiotów, tego, co w nich wspólne, poznajemy poprzez myślenie abstrakcyjne. Głównymi formami myślenia abstrakcyjnego są koncepcje, sądy i wnioski.
pojęcie- forma myślenia odzwierciedlająca istotne cechy pojedynczego przedmiotu lub klasy przedmiotów jednorodnych. Pojęcia w języku są wyrażane w słowach.
Zakres koncepcji- zbiór obiektów, z których każdy posiada atrybuty składające się na treść pojęcia. Rozróżnia się pojęcia ogólne i pojedyncze.
Ze względu na objętość rozróżnia się następujące relacje pojęć:
tożsamość lub koincydencja objętości, co oznacza, że objętość jednego pojęcia jest równa objętości innego pojęcia;
podporządkowanie lub włączenie tomów: objętość jednego z pojęć jest w pełni zawarta w objętości drugiego;
wyjątek tomy - przypadek, w którym nie ma ani jednej funkcji, która byłaby w dwóch tomach;
skrzyżowanie lub częściowa zbieżność tomów;
podporządkowanie tomy - przypadek, gdy tomy dwóch pojęć, wykluczając się nawzajem, są zawarte w tomie trzeciego.
Osąd- jest to forma myślenia, w której coś się potwierdza lub zaprzecza o przedmiotach, znakach lub ich relacjach.
wnioskowanie- forma myślenia, dzięki której z jednego lub kilku sądów, zwanych przesłankami, uzyskujemy, zgodnie z pewnymi regułami wnioskowania, sąd-wniosek.
Algebra w szerokim znaczeniu tego słowa nauka o ogólnych operacjach podobnych do dodawania i mnożenia, które można wykonywać nie tylko na liczbach, ale także na innych przedmiotach matematycznych.
Algebra logiki (algebra zdań, algebra Boole'a 1 ) - dział logiki matematycznej zajmujący się badaniem operacji logicznych na zdaniach. Najczęściej przyjmuje się (tzw. logika binarna lub binarna, w przeciwieństwie do np. logiki trójskładnikowej), że zdania mogą być tylko prawdziwe lub fałszywe.
Przykłady algebr: algebra liczb naturalnych, algebra liczb wymiernych, algebra wielomianów, algebra wektorów, algebra macierzy, algebra zbiorów itp. Obiektami algebry logiki lub algebry Boole'a są zdania.
oświadczenie- jest to dowolne zdanie dowolnego języka (wypowiedź), którego treść można określić jako prawdziwą lub fałszywą.
Jakiekolwiek oświadczenie lub PRAWDA, lub fałszywe; nie może być jednym i drugim jednocześnie.
W języku naturalnym wypowiedzi są wyrażane w zdaniach deklaratywnych. Zdania wykrzyknikowe i pytające nie są zdaniami.
Oświadczenia można wyrażać za pomocą znaków matematycznych, fizycznych, chemicznych i innych. Z dwóch wyrażeń liczbowych można tworzyć stwierdzenia, łącząc je znakami równości lub nierówności.
Oświadczenie nazywa się prosty(elementarny), jeśli żadna jego część sama w sobie nie jest stwierdzeniem.
Instrukcja złożona z prostych instrukcji nazywa się złożony(trudny).
Proste stwierdzenia w algebrze logiki są oznaczone dużymi literami łacińskimi:
ORAZ= (Arystoteles jest założycielem logiki),
W= (Banany rosną na jabłoniach).
Uzasadnienie prawdziwości lub fałszywości zdań prostych rozstrzygane jest poza algebrą logiki. Na przykład prawdziwość lub fałszywość zdania: „Suma kątów trójkąta wynosi 180 stopni” jest ustalana przez geometrię i - w geometrii Euklidesa to stwierdzenie jest prawdziwe, aw geometrii Łobaczewskiego jest fałszywe.
Prawdziwemu stwierdzeniu przypisuje się 1, fałszywemu - 0. Zatem ORAZ = 1, W = 0.
Algebra logiki jest wyabstrahowana z semantycznej treści zdań. Interesuje ją tylko jeden fakt – dane zdanie jest prawdziwe lub fałszywe, co pozwala określić prawdziwość lub fałszywość zdań złożonych metodami algebraicznymi.
Wprowadzenie
Tematem testu jest „Logika matematyczna”.
BOOL lub BOOL, a także BUUL, George (1815-1864) - angielski matematyk, uważany za twórcę logiki matematycznej.
Logika matematyczna jest działem matematyki zajmującym się analizą metod rozumowania, przy czym bada się przede wszystkim formy rozumowania, a nie ich treść, tj. badana jest formalizacja rozumowania.
Formalizacja rozumowania sięga Arystotelesa. Logika arystotelesowska (formalna) uzyskała swój współczesny kształt w drugiej połowie XIX wieku w dziele George’a Boole’a „Prawa myśli”.
Intensywnie logika matematyczna zaczęła się rozwijać w latach 50. XX wieku w związku z gwałtownym rozwojem technologii cyfrowej.
1. Elementy logiki matematycznej
Główne gałęzie logiki matematycznej to rachunek zdań i rachunek predykatów.
Zdanie to zdanie, które może być prawdziwe lub fałszywe.
Rachunek zdań to wstępna część logiki matematycznej, która zajmuje się operacjami logicznymi na zdaniach.
Predykat jest funkcją logiczną n zmiennych, która przyjmuje wartości prawda lub fałsz.
Rachunek predykatów jest gałęzią logiki matematycznej, której przedmiotem jest dalsze badanie i uogólnienie rachunku zdań.
Teoria algebr Boole'a (funkcje Boole'a) jest podstawą dokładnych metod analizy i syntezy w teorii obwodów przełączających w projektowaniu systemów komputerowych.
1.1 Podstawowe pojęcia algebry logiki
Algebra logiki jest gałęzią logiki matematycznej zajmującą się badaniem operacji logicznych na zdaniach.
W algebrze logików interesuje tylko prawdziwość zdań. Wartości prawdy są zwykle oznaczane:
1 (prawda) 0 (fałsz).
Każdej operacji logicznej odpowiada funkcja, która przyjmuje wartości 1 lub 0, której argumenty również przyjmują wartości 1 lub 0.
Takie funkcje nazywane są logicznymi lub boolowskimi lub funkcjami algebry logiki (FAL). W tym przypadku zmienna logiczna (boolowska). x może przyjąć tylko dwie wartości:
.W ten sposób,
- funkcja logiczna, w której zmiennymi logicznymi są instrukcje. Wtedy sama funkcja logiczna jest złożoną propozycją.W tym przypadku algebrę logiki można zdefiniować jako zbiór zbioru funkcji logicznych wraz z określonymi w nim wszystkimi rodzajami operacji logicznych. Takie operacje logiczne jak koniunkcja (czyt ORAZ), dysjunkcja ( LUB), implikacja, równoważność, negacja ( NIE), odpowiadają funkcjom logicznym, dla których oznaczenia są akceptowane
(&, ), ~, - () i istnieje tabela prawdy:| x ~ y | ||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
Jest to tabelaryczny sposób ustawiania FAL. Wraz z nimi funkcje są określane za pomocą formuł w języku zawierającym zmienne. x , y , …, z(ewentualnie zindeksowane) i symbole niektórych określonych funkcji - analityczny sposób ustawienia FAL.
Najbardziej powszechny jest język zawierający symbole logiczne
~, –. Formuły tego języka są zdefiniowane w następujący sposób:1) wszystkie zmienne są formułami;
2) jeśli P oraz Q- więc formuły
P ~ Q, - formuły.Na przykład wyrażenie
~ - formuła. Jeśli zmienna x , y , z przypisać wartości ze zbioru binarnego 0, 1 i wykonać obliczenia zgodnie z operacjami wskazanymi we wzorze, wówczas otrzymamy wartość 0 lub 1.Mówią, że formuła implementuje funkcję. Więc formuła
~ implementuje funkcję h (x , y , z):| x | y | z | h (x, y, z) |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
Pozwalać P oraz Q– formuły realizujące funkcje f (x 1 , x 2 , …, x rz) oraz g (x 1 , x 2 , …, x rz). Formuły to: P = Q jeśli funkcje f oraz g mecz, tj. ich tabele prawdy są zgodne. Algebra, której głównym zbiorem jest cały zbiór funkcji logicznych i której operacjami są alternatywy, koniunkcje i negacje, nazywana jest algebrą Boole'a funkcji logicznych.
Przedstawmy prawa i tożsamości, które definiują operacje
– i ich związek z operacjami , ~:1. Idempotencja koniunkcji i alternatywy:
.2. Przemienność koniunkcji i alternatywy:
.3. Asocjatywność koniunkcji i alternatywy:
.4. Dystrybucja koniunkcji ze względu na dysjunkcję i dysjunkcja ze względu na koniunkcję:
.
5. Podwójna negacja:
.6. Prawa de Morgana:
=, =.7. Klejenie:
.8. Absorpcja
.9. Akcje ze stałymi 0 i 1.
Główną ideą logiki matematycznej jest formalizacja wiedzy i rozumowania. Wiadomo, że najłatwiej sformalizowaną wiedzą jest wiedza matematyczna. Tak więc logika matematyczna jest zasadniczo nauką matematyki lub metamatematyki. Centralnym pojęciem logiki matematycznej jest „dowód matematyczny”. Rzeczywiście, rozumowanie „dowodowe” (innymi słowy dedukcyjne) jest jedynym rodzajem rozumowania uznawanym w matematyce. Rozumowanie w logice matematycznej jest badane pod względem formy, a nie znaczenia. Zasadniczo rozumowanie jest modelowane przez czysto „mechaniczny” proces przepisywania tekstu (formuł). Ten proces nazywa się wycofaniem. Mówią też, że logika matematyczna operuje tylko pojęciami syntaktycznymi. Jednak zwykle nadal ważne jest, jak rozumowanie odnosi się do rzeczywistości (lub naszych pomysłów). Dlatego trzeba jeszcze pamiętać o pewnym znaczeniu formuł i wyprowadzeniu. W tym przypadku używany jest termin semantyka (synonim słowa „sens”), a składnia i semantyka są wyraźnie rozdzielone. Kiedy ludzie naprawdę interesują się tylko składnią, często używa się terminu „system formalny”. Posłużymy się synonimem tego terminu - ``rachunkiem różniczkowym"" (używa się również terminów ``teoria formalna" i ``aksjomatyka"). Przedmiotem systemów formalnych są wiersze tekstu (ciągi znaków), za pomocą których zapisywane są formuły.
System formalny jest zdefiniowany, jeśli:
Określony jest alfabet (zestaw symboli służący do budowania formuł).
Wyodrębniono zbiór formuł, zwanych aksjomatami. To są punkty wyjścia we wnioskach.
Podano zestaw reguł wnioskowania, które pozwalają uzyskać nową formułę z jakiejś formuły (lub zestawu formuł).
Podstawowe zasady działania
Negacja
Negacja zdania logicznego to zdanie logiczne, które przyjmuje wartość „prawda”, jeśli oryginalne zdanie jest fałszywe i odwrotnie. Jest to specjalna operacja logiczna. W zależności od lokalizacji wyróżnia się negację zewnętrzną i wewnętrzną, których właściwości i role znacznie się różnią.
1. Zewnętrzna negacja (zdaniowa) służy do formowania zdania złożonego z innego (niekoniecznie prostego) zdania. Stwierdza brak stanu rzeczy opisanego w zakwestionowanym oświadczeniu. Tradycyjnie mówi się, że zdanie przeczące jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy zdanie zanegowane jest fałszywe. W języku naturalnym negacja jest zwykle wyrażana przez „nie jest prawdą, że”, po którym następuje stwierdzenie przeczące.
W językach teorii formalnych negacja jest specjalnym spójnikiem zdaniowym jednoargumentowym służącym do tworzenia innej, bardziej złożonej formuły z jednej formuły. W notacji negacji zwykle używa się symboli „negacja”, „-” lub „-- 1”. W klasycznej logice zdań formuła -A jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy formuła A jest fałszywa.
Jednak w logice nieklasycznej negacja może nie mieć wszystkich właściwości negacji klasycznej. W związku z tym nasuwa się całkowicie logiczne pytanie o minimalny zbiór własności, jakie musi spełniać dana operacja jednoargumentowa, aby została uznana za negację, a także o zasady klasyfikowania różnych negacji w nieklasycznych teoriach formalnych (zob.: Dunn JM i Har degree GM Algebraic Methods in Philosophical Logic, Oxford, 2001).
W rzeczywistości powyższe tradycyjne rozumienie negacji zewnętrznej (zdaniowej) można wyrazić za pomocą systemu następujących wymagań: (I) jeśli A jest prawdziwe (fałszywe), to nie-A jest fałszywe (prawdziwe); (II) Jeśli nie-A jest prawdziwe (fałsz), to A jest fałszywe (prawdziwe). Formalnie wymagania (I) i (II) można wyrazić za pomocą warunku (1). Okazuje się jednak, że warunek (1) można rozłożyć na dwa słabsze warunki: (2) „kontrapozycja” i „wprowadzenie podwójnej negacji W rezultacie możliwe staje się zidentyfikowanie zaprzeczenia subminimalnego, które spełnia warunek (2), ale nie spełnia warunku (3). Naturalne jest sformułowanie warunku odwrotnego do (3) i sformalizowanie zasady „usuwania podwójna negacja": ( 4) --.- A = A. Minimalna negacja (tj. spełniająca warunek (1) lub warunki (2) i (3) razem), dla której warunek (4) jest spełniony, nazywana jest negacją de Morgana Minimalna negacja, która spełnia dodatkową własność (5): Jeśli A -- * B, to dla dowolnego C jest prawdą, że A p C ("właściwość absurdalności") -- jest nazywana intuicjonistyczną odmowa. Można sformułować zasadę (6), która jest dualna do zasady absurdalności: Jeżeli B |=Au - S p A, to dla dowolnego C jest prawdą, że C p A. Spełnienie tej zasady negacji. jest formą negacji w logice parakonsystentnej. Wreszcie negacja de Morgana (właściwości (2), (3), (4)), dla której zachodzi (5) lub (6), nazywana jest orto-negacją. Negacja nazywana jest negacją Boole'a lub negacją klasyczną.
2. Wewnętrzna negacja jest częścią prostego stwierdzenia. Rozróżnij negację w składzie wiązki (wiązka ujemna) i negację końcową.
Negacja w kompozycji łącza jest wyrażana za pomocą partykuły „nie” przed czasownikiem łączącym (jeśli istnieje) lub przed czasownikiem semantycznym. Służy do wyrażania sądów o braku jakiegoś związku („Iwan nie zna Piotra”) lub do tworzenia negatywnego łącza predykatywnego w ramach kategorycznych sądów atrybutywnych.
Negacja terminów służy do tworzenia terminów negatywnych. Wyraża się to przedrostkiem „nie” lub zbliżonym do niego znaczeniem („Wszystkie niedojrzałe jabłka są zielone”).
Spójnik
Koniunkcja dwóch zdań logicznych jest zdaniem logicznym, prawdziwym tylko wtedy, gdy są one jednocześnie prawdziwe (z łac. W zasadzie można mówić o koniunkcji nieskończonej liczby zdań (na przykład o koniunkcji wszystkich zdań prawdziwych w matematyce). W logice koniunkcja jest spójnikiem logicznym (działanie, funkcja; oznaczane przez: &,); zdanie złożone utworzone za jego pomocą jest prawdziwe tylko wtedy, gdy jego składniki są równie prawdziwe. W klasycznej logice zdaniowej koniunkcja wraz z negacją tworzą funkcjonalnie kompletny system spójników zdaniowych. Oznacza to, że za ich pośrednictwem można zdefiniować dowolny inny spójnik zdaniowy. Jedną z właściwości koniunkcji jest przemienność (czyli równoważność A i B oraz B i A). Czasami jednak mówią o spójniku nieprzemiennym, czyli uporządkowanym (przykładem zdania z takiego spójnika jest: „Woźnica gwizdnął, a konie galopowały”).
Dysjunkcja
Alternatywa dwóch zdań logicznych to zdanie logiczne, które jest prawdziwe tylko wtedy, gdy przynajmniej jedno z nich jest prawdziwe.
(z łac. disjunctio - separacja, izolacja), w szerokim znaczeniu - złożone zdanie utworzone z dwóch lub więcej zdań z użyciem związku „lub”, wyrażającego alternatywność lub wybór.
W logice symbolicznej dysjunkcja to spójnik logiczny (operacja, funkcja), który tworzy złożone zdanie ze zdań A i B, zwykle oznaczane jako A V B, co jest prawdziwe, jeśli co najmniej jeden z dwóch terminów rozłącznych jest prawdziwy: ORAZ lub w.
W logice klasycznej dysjunkcja wraz z negacją tworzy funkcjonalnie kompletny system spójników zdaniowych, co umożliwia definiowanie za ich pośrednictwem innych spójników zdaniowych.
Tradycyjnie zwyczajowo rozróżnia się dysjunkcję rozważaną (nieścisłą) od dysjunkcji ścisłej (rozdzielającej), która charakteryzuje się tym, że odpowiednie zdanie jest prawdziwe pod warunkiem, że prawdziwy jest jeden i tylko jeden termin rozłączny.
implikacja
Implikacją dwóch zdań logicznych A i B jest zdanie logiczne, które jest fałszywe tylko wtedy, gdy B jest fałszywe, a A jest prawdziwe (od łac. . . , a następnie ... ”, za pomocą którego z dwóch prostych stwierdzeń powstaje złożone stwierdzenie. W zdaniu implikatywnym wyróżnia się poprzednik (podstawę) - zdanie, które występuje po słowie „jeżeli” i następnik (konsekwencję) - zdanie następujące po słowie „wtedy”. Zdanie implikatywne reprezentuje w języku logiki zdanie warunkowe języka potocznego. Ta ostatnia pełni szczególną rolę zarówno w rozumowaniu codziennym, jak i naukowym, jej główną funkcją jest uzasadnianie jednego przez odniesienie do czegoś innego.
Związek między usprawiedliwiającym a usprawiedliwionym, wyrażony przez zdanie warunkowe, jest trudny do scharakteryzowania w sposób ogólny, a tylko czasami jego charakter jest stosunkowo jasny. Tym związkiem może być w szczególności związek logicznej konsekwencji zachodzący między przesłankami a konkluzją prawidłowej konkluzji („Jeżeli wszystkie żywe istoty wielokomórkowe są śmiertelne, a meduza jest takim stworzeniem, to jest śmiertelna”). Związek może być prawem natury („Jeżeli ciało zostanie poddane tarciu, zacznie się nagrzewać”) lub związkiem przyczynowym („Jeśli Księżyc znajdzie się w węźle na swojej orbicie podczas nowiu, zaćmienie Słońca występuje"). Rozważany związek może mieć również charakter wzorca społecznego, zasad, tradycji itp. („Jeśli zmienia się gospodarka, zmienia się też polityka”, „Jeśli się obiecuje, trzeba dotrzymać”).
Związek wyrażony przez tryb warunkowy zakłada, że następnik koniecznie „wynika” z poprzednika i że istnieje jakieś ogólne prawo, które będąc w stanie sformułować, możemy logicznie wydedukować następnik z poprzednika. Na przykład zdanie warunkowe „Jeśli bizmut jest metalem, to jest plastyczny” implikuje ogólne prawo „Wszystkie metale są plastyczne”, czyniąc następnik tego stwierdzenia logiczną konsekwencją jego poprzednika.
Zarówno w języku potocznym, jak i w języku nauki, zdanie warunkowe oprócz funkcji uzasadniającej może pełnić także szereg innych zadań. Może sformułować warunek, który nie jest związany z c.-l. implikowane ogólne prawo lub reguła („Jeśli chcę, rozetnę płaszcz”), ustalenie jakiejś sekwencji („Jeśli zeszłe lato było suche, to w tym roku jest deszczowo”), wyrażenie niedowierzania w szczególny forma („Jeśli rozwiążesz problem, udowodnię wielkie twierdzenie Fermata”), sprzeciw („Jeśli w ogrodzie rośnie kapusta, to w ogrodzie rośnie jabłoń”) itp. Wielość i heterogeniczność funkcji instrukcji warunkowej znacznie komplikuje jej analizę.
W systemach logicznych abstrahuje się od osobliwości zwykłego użycia instrukcji warunkowej, co prowadzi do różnych implikacji. Najbardziej znane z nich to implikacja materialna, implikacja ścisła i implikacja istotna (istotna).
Implikacja materialna jest jednym z głównych ogniw logiki klasycznej. Jest ona zdefiniowana w następujący sposób: implikacja jest fałszywa tylko wtedy, gdy poprzednik jest prawdziwy, a następnik jest fałszywy, a we wszystkich innych przypadkach jest prawdziwy. Warunek „Jeśli A, to B” implikuje jakiś rzeczywisty związek między tym, co jest powiedziane w A i B; wyrażenie „A materialnie implikuje B” nie implikuje takiego związku.
Ścisła implikacja jest zdefiniowana przez modalne pojęcie (logicznej) niemożliwości: „A silnie implikuje B” oznacza „Niemożliwe jest, aby A było prawdziwe, a B fałszywe”.
W odpowiedniej logice implikacja jest rozumiana jako koniunkcja warunkowa w zwykłym znaczeniu. W przypadku odpowiedniej implikacji nie można powiedzieć, że zdanie prawdziwe można uzasadnić przez odniesienie do dowolnego zdania i że każde zdanie można uzasadnić zdaniem fałszywym.
Równorzędność
Równoważność dwóch zdań logicznych to zdanie logiczne, które jest prawdziwe tylko wtedy, gdy oba są prawdziwe lub fałszywe (z późnej łac. zwrotne, symetryczne i przechodnie relacje binarne. Przykłady: równoważność (zbieżność znaczeniowa, znaczeniowa, treściowa, ekspresyjna i (lub) dedukcyjna między pojęciami, pojęciami, teoriami naukowymi lub systemami formalnymi je formalizującymi) zbieżność lub podobieństwo geometrii, figur; izomorfizm; równoważność zbiorów i inna równoważność dowolnych obiektów oznacza ich równość (tożsamość) pod jakimś względem
(na przykład zbiory izomorficzne są nie do odróżnienia w swojej „strukturze”, jeśli przez „strukturę” rozumiemy całość tych właściwości, względem których te zbiory są izomorficzne). Każda relacja równoważności generuje podział zbioru, na którym jest zdefiniowany, na nieprzecinające się parami „klasy równoważności” w jednej klasie, równoważne elementy tego zbioru są sobie przypisane.
Uwzględnianie klas równoważności jako nowych obiektów jest jednym z głównych sposobów generowania (wprowadzania) pojęć abstrakcyjnych w teoriach logiczno-matematycznych (i ogólnie w naukach przyrodniczych). Tak więc, biorąc pod uwagę ułamki a/b i c/d z całkowitymi licznikami i mianownikami równoważnymi, jeśli ad=bc, liczby wymierne są wprowadzane do rozważań jako klasy ułamków równoważnych; rozważając zbiory równoważne, między którymi można ustalić korespondencję jeden do jednego, wprowadzają pojęcie liczności (liczby kardynalnej) zbioru (jako klasy zbiorów równoważnych sobie); rozważając dwa równoważne kawałki materii, wchodzące w identyczne reakcje chemiczne w jednakowych warunkach, dochodzą do abstrakcyjnego pojęcia składu chemicznego itp.
Termin „równoważność” jest często używany nie (tylko) jako ogólny, ale jako synonim niektórych jego szczególnych znaczeń („równoważność teorii” zamiast „równoważność”, „równoważność zbiorów” zamiast „równoważność”, „równoważność słów” w algebrze abstrakcyjnej zamiast „tożsamości” itp.).
stwierdzenie kwantyfikatora
Kwantyfikator z kwantyfikatorem uniwersalnym.
Zdanie logiczne kwantyfikatora z kwantyfikatorem uniwersalnym („xA(x))” jest zdaniem logicznym, które jest prawdziwe tylko wtedy, gdy dla każdego obiektu x w danym zbiorze zdanie A(x) jest prawdziwe.
Kwantyfikator z kwantyfikatorem egzystencjalnym.
Skwantyfikowane zdanie logiczne z kwantyfikatorem egzystencjalnym ($xA(x)) jest zdaniem logicznym, które jest prawdziwe tylko wtedy, gdy w danym zbiorze istnieje przedmiot x taki, że zdanie A(x) jest prawdziwe.
Struktura logiki matematycznej
Część „logika matematyczna” składa się z trzech części: o nieformalnej metodzie aksjomatycznej, o logice zdań i o logice predykatów (pierwszego rzędu). Aksjomatyczna metoda konstrukcji jest pierwszym krokiem w kierunku formalizacji teorii. Większość problemów rozpatrywanych w logice matematycznej polega na dowodzeniu pewnych twierdzeń. Logika matematyczna ma wiele gałęzi. Wykorzystuje tabelaryczną konstrukcję logiki zdań, posługuje się specjalnym językiem symboli i formuł logiki zdań.
Nieformalna metoda aksjomatyczna
Metoda aksjomatyczna, która nie ustala sztywno stosowanego języka, a tym samym nie ustala granic sensownego rozumienia przedmiotu, ale wymaga aksjomatycznego zdefiniowania wszystkich pojęć właściwych dla danego przedmiotu badań. Termin ten nie ma ogólnie przyjętej definicji.
Historia rozwoju metody aksjomatycznej charakteryzuje się coraz większym stopniem formalizacji. Nieformalna metoda aksjomatyczna jest pewnym krokiem w tym procesie.
Oryginalna, podana przez Euklidesa, aksjomatyczna konstrukcja geometrii wyróżniała się dedukcyjnym charakterem przedstawienia, które opierało się na definicjach (wyjaśnieniach) i aksjomatach (twierdzeniach oczywistych). Wyciągnięto z nich konsekwencje, opierając się na zdrowym rozsądku i dowodach. Jednocześnie wyprowadzenie czasami pośrednio wykorzystywało założenia geometrii, charakteru, nie utrwalone w aksjomatach, zwłaszcza dotyczących ruchu w przestrzeni i wzajemnego ułożenia linii i punktów. Następnie ujawniono geometrię, pojęcia i aksjomaty regulujące ich użycie, domyślnie używane przez Euklidesa i jego następców. W tym przypadku pojawiło się pytanie, czy rzeczywiście wszystkie aksjomaty zostały ujawnione. Naczelną zasadę rozwiązania tego problemu sformułował D. Hilbert: „Należy zadbać o to, aby o stołach, krzesłach i kuflach można było mówić z równym powodzeniem zamiast punktów, linii i płaszczyzn”. Jeśli dowód nie traci mocy dowodowej po takiej zamianie, to rzeczywiście wszystkie specjalne założenia zastosowane w tym dowodzie są utrwalone w aksjomatach. Stopień sformalizowania osiągnięty dzięki temu podejściu jest poziomem sformalizowania charakterystycznym dla nieformalnej metody aksjomatycznej. Za wzorzec posłuży tu klasyczna praca D. Hilberta „Podstawy geometrii”.
Nieformalna metoda aksjomatyczna służy nie tylko do nadania pewnej kompletności wykładanej aksjomatycznie teorii konkretnej. Jest to skuteczne narzędzie do badań matematycznych. Ponieważ przy badaniu systemu obiektów tą metodą nie wykorzystuje się ich specyfiki, czyli „natury”, udowodnione twierdzenia są przenoszone na dowolny system obiektów, który spełnia rozważane aksjomaty. Zgodnie z nieformalną metodą aksjomatyczną aksjomaty są niejawnymi definicjami pierwotnych pojęć (a nie oczywistymi prawdami). Jakie są badane obiekty - to nie ma znaczenia. Wszystko, co musisz o nich wiedzieć, jest sformułowane w aksjomatach. Przedmiotem badań teorii aksjomatycznej jest dowolna jej interpretacja.
Nieformalna metoda aksjomatyczna, oprócz nieodzownej aksjomatycznej definicji wszystkich pojęć specjalnych, ma jeszcze jedną charakterystyczną cechę. Jest to swobodne, nieaksjomatyczne, oparte na treści użycie idei i koncepcji, które można zastosować do dowolnej możliwej interpretacji, niezależnie od jej treści. W szczególności szeroko stosowane są koncepcje i zasady teorii mnogości i logiczne, a także koncepcje związane z ideą liczenia itp. na których formułowane i udowadniane są właściwości aksjomatycznie danego systemu obiektów. Ustalenie języka prowadzi do koncepcji formalnego systemu aksjomatycznego i tworzy materialną podstawę do identyfikacji i jasnego opisu akceptowalnych zasad logicznych, do kontrolowanego stosowania teorii mnogości i innych ogólnych lub niespecjalnych koncepcji dla badanego obszaru. Jeśli w języku nie ma środków (słów) do przekazywania pojęć z teorii mnogości, to wszelkie dowody oparte na użyciu takich środków są eliminowane. Jeśli język ma środki do wyrażania pewnych pojęć z teorii mnogości, to ich użycie w dowodach można ograniczyć do pewnych reguł lub aksjomatów.
Ustalając język na różne sposoby, uzyskuje się różne teorie głównego przedmiotu rozważań. Na przykład, biorąc pod uwagę język rachunku wąskich predykatów dla teorii grup, otrzymujemy elementarną teorię grup, w której nie można sformułować żadnego twierdzenia o podgrupach. Jeśli przejdziemy do języka rachunku predykatów drugiego etapu, to możliwe staje się rozważenie własności, w których pojawia się pojęcie podgrupy. Formalizacja nieformalnej metody aksjomatycznej w teorii grup jest przejściem do języka systemu Zermelo-Fraenkla z jego aksjomatykami.
Metoda aksjomatyczna
Metoda aksjomatyczna to metoda konstruowania teorii naukowej, w której opiera się ona na pewnych twierdzeniach wyjściowych (sądach) - aksjomatach, czyli postulatach, z których wszystkie inne twierdzenia tej teorii muszą być wyprowadzane w sposób czysto logiczny, poprzez dowody. Konstrukcja nauki oparta na metodzie aksjomatycznej nazywana jest zwykle dedukcyjną. Wszystkie pojęcia teorii dedukcyjnej (z wyjątkiem ustalonej liczby początkowych) są wprowadzane za pomocą definicji wyrażających je za pomocą wcześniej wprowadzonych pojęć. W takim czy innym stopniu dowody dedukcyjne charakterystyczne dla metody aksjomatycznej są stosowane w wielu naukach, ale głównym obszarem jej zastosowania jest matematyka, logika, a także niektóre gałęzie fizyki.
Idea metody aksjomatycznej została po raz pierwszy wyrażona w związku z budową geometrii w starożytnej Grecji (Pitagoras, Platon, Arystoteles, Euklides). Współczesny etap rozwoju metody aksjomatycznej charakteryzuje koncepcja formalnej metody aksjomatycznej wysunięta przez Hilberta, która stawia za zadanie dokładne opisanie logicznych sposobów wyprowadzania twierdzeń z aksjomatów. Główną ideą Hilberta jest całkowite sformalizowanie języka nauki, w którym jej sądy są traktowane jako sekwencje znaków (formuły), które nabierają znaczenia dopiero przy określonej interpretacji. Aby wyprowadzić twierdzenia z aksjomatów (i generalnie niektóre formuły z innych), formułuje się specjalne wzory. reguły wnioskowania. Dowodem w takiej teorii (rachunku lub systemie formalnym) jest pewien ciąg formuł, z których każdy jest albo aksjomatem, albo wynika z poprzednich formuł ciągu według jakiejś reguły wnioskowania. W przeciwieństwie do takich dowodów formalnych, badane są właściwości samego systemu formalnego jako całości. za pomocą metateorii. Głównymi wymaganiami dla aksjomatycznych systemów formalnych są spójność, kompletność i niezależność aksjomatów. Program Hilberta, który zakładał możliwość udowodnienia spójności i zupełności całej matematyki klasycznej, jako całość okazał się niewykonalny. W 1931 r. Gödel udowodnił niemożność całkowitej aksjomatyzacji dostatecznie rozwiniętych teorii naukowych (np. arytmetyki liczb naturalnych), co świadczyło o ograniczeniach metody aksjomatycznej. Podstawowe zasady metod aksjomatycznych były krytykowane przez zwolenników intuicjonizmu i konstruktywnego kierowania.
We współczesnym świecie coraz częściej korzystamy z różnorodnych maszyn i gadżetów. I to nie tylko wtedy, gdy trzeba zastosować dosłownie nieludzką siłę: przenieść ładunek, podnieść go na wysokość, wykopać długi i głęboki rów itp. Dziś roboty składają samochody, multicookery gotują jedzenie, a kalkulatory wykonują elementarne obliczenia arytmetyczne. Coraz częściej słyszymy określenie „algebra Boole'a”. Być może nadszedł czas, aby zrozumieć rolę człowieka w tworzeniu robotów i zdolność maszyn do rozwiązywania nie tylko matematycznych, ale także
Logika
W tłumaczeniu z języka greckiego logika to uporządkowany system myślenia, który tworzy relacje między zadanymi warunkami i pozwala wyciągać wnioski na podstawie przesłanek i założeń. Dość często zadajemy sobie pytanie: „Czy to logiczne?” Otrzymana odpowiedź potwierdza nasze przypuszczenia lub krytykuje tok myślenia. Ale proces się nie kończy: kontynuujemy rozumowanie.
Czasami ilość warunków (wstępnych) jest tak duża, a relacje między nimi tak zawiłe i złożone, że ludzki mózg nie jest w stanie „przetrawić” wszystkiego na raz. Zrozumienie, co się dzieje, może zająć więcej niż miesiąc (tydzień, rok). Ale współczesne życie nie daje nam takich przedziałów czasowych na podejmowanie decyzji. I uciekamy się do pomocy komputerów. I tu pojawia się algebra logiki, z własnymi prawami i właściwościami. Po załadowaniu wszystkich danych początkowych pozwalamy komputerowi rozpoznać wszystkie zależności, wyeliminować sprzeczności i znaleźć satysfakcjonujące rozwiązanie.
Matematyka i logika
Słynny Gottfried Wilhelm Leibniz sformułował koncepcję „logiki matematycznej”, której problemy były zrozumiałe tylko dla wąskiego kręgu naukowców. Kierunek ten nie budził szczególnego zainteresowania i do połowy XIX wieku niewiele osób znało logikę matematyczną.
Dużym zainteresowaniem środowiska naukowego cieszył się spór, w którym Anglik George Boole ogłosił zamiar stworzenia gałęzi matematyki, która nie ma absolutnie żadnego praktycznego zastosowania. Jak pamiętamy z historii, w tym czasie aktywnie rozwijała się produkcja przemysłowa, opracowywano wszelkiego rodzaju maszyny pomocnicze i obrabiarki, to znaczy wszystkie odkrycia naukowe miały orientację praktyczną.
Patrząc w przyszłość, powiedzmy, że algebra Boole'a jest najczęściej używaną częścią matematyki we współczesnym świecie. Więc Bull stracił argumenty.
Jerzego Bulla
Na szczególną uwagę zasługuje osobowość autora. Nawet biorąc pod uwagę, że w przeszłości ludzie dorastali przed nami, nadal nie sposób nie zauważyć, że w wieku 16 lat J. Buhl uczył w wiejskiej szkole, aw wieku 20 lat otworzył własną szkołę w Lincoln. Matematyk biegle władał pięcioma językami obcymi, aw wolnych chwilach czytał dzieła Newtona i Lagrange'a. A wszystko to o synu prostego robotnika!
W 1839 roku Boole po raz pierwszy przesłał swoje prace naukowe do Cambridge Mathematical Journal. Naukowiec ma 24 lata. Praca Boole'a tak zainteresowała członków Towarzystwa Królewskiego, że w 1844 roku otrzymał medal za wkład w rozwój. Przypomnijmy, że sam Buhl nie miał wykształcenia.
Pomysł
W zasadzie algebra Boole'a jest bardzo prosta. Istnieją wyrażenia), które z punktu widzenia matematyki można zdefiniować tylko za pomocą dwóch słów: „prawda” lub „fałsz”. Na przykład wiosną kwitną drzewa - prawda, latem pada śnieg - kłamstwo. Piękno tej matematyki polega na tym, że nie ma ścisłej potrzeby używania tylko liczb. W przypadku algebry sądów odpowiednie są wszelkie zdania o jednoznacznym znaczeniu.
Tak więc algebry logiki można używać dosłownie wszędzie: w planowaniu i pisaniu instrukcji, analizowaniu sprzecznych informacji o zdarzeniach i określaniu kolejności działań. Najważniejszą rzeczą jest zrozumienie, że jest zupełnie nieważne, w jaki sposób ustalimy prawdziwość lub fałszywość twierdzenia. Te „jak” i „dlaczego” należy wyabstrahować. Liczy się tylko stwierdzenie faktu: prawda-fałsz.
Oczywiście dla programowania ważne są funkcje algebry logiki, które są zapisane odpowiednimi znakami i symbolami. A nauczyć się ich oznacza opanować nowy język obcy. Nic nie jest niemożliwe.
Podstawowe pojęcia i definicje
Nie wchodząc w szczegóły, zajmijmy się terminologią. Tak więc algebra Boole'a zakłada obecność:
- sprawozdania;
- operacje logiczne;
- funkcje i prawa.
Zdania to wszelkie wyrażenia twierdzące, których nie można interpretować dwuznacznie. Zapisuje się je cyframi (5 > 3) lub formułuje znanymi słowami (słoń jest największym ssakiem). Jednocześnie wyrażenie „żyrafa nie ma szyi” również ma prawo istnieć, dopiero algebra Boole'a zdefiniuje je jako „fałszywe”.
Wszystkie stwierdzenia muszą być jednoznaczne, ale mogą być elementarne i złożone. Te ostatnie używają spójników logicznych. Oznacza to, że w algebrze sądów zdania złożone są tworzone przez dodawanie zdań elementarnych za pomocą operacji logicznych.
Operacje algebry Boole'a
Pamiętamy już, że operacje w algebrze sądów są logiczne. Tak jak algebra liczb wykorzystuje operacje arytmetyczne do dodawania, odejmowania lub porównywania liczb, tak elementy logiki matematycznej umożliwiają tworzenie złożonych twierdzeń, dawanie negacji lub obliczanie wyniku końcowego.
Dla sformalizowania i uproszczenia operacje logiczne są zapisywane za pomocą wzorów znanych nam z arytmetyki. Własności algebry Boole'a umożliwiają pisanie równań i obliczanie niewiadomych. zwykle zapisywane przy użyciu tabeli prawdy. Jej kolumny definiują elementy obliczeń i operacje, które są na nich wykonywane, a wiersze przedstawiają wynik obliczeń.
Podstawowe działania logiczne
Najczęstszymi operacjami w algebrze Boole'a są negacja (NIE) oraz logiczne AND i OR. Prawie wszystkie działania w algebrze sądów można opisać w ten sposób. Przyjrzyjmy się bliżej każdej z trzech operacji.
Negacja (nie) dotyczy tylko jednego elementu (operandu). Dlatego operacja negacji nazywana jest jednoargumentową. Aby zapisać pojęcie „nie A”, użyj następujących symboli: ¬A, A¯¯¯ lub!A. W formie tabelarycznej wygląda to tak:
Charakterystyczne dla funkcji negacji jest następujące stwierdzenie: jeśli A jest prawdziwe, to B jest fałszywe. Na przykład Księżyc krąży wokół Ziemi - prawda; Ziemia kręci się wokół księżyca - kłamstwo.
Mnożenie i dodawanie logiczne
Logiczne AND nazywa się operacją koniunkcji. Co to znaczy? Po pierwsze, że można go zastosować do dwóch operandów, tj. AND jest operacją binarną. Po drugie, tylko w przypadku prawdziwości obu operandów (zarówno A, jak i B) samo wyrażenie jest prawdziwe. Przysłowie „Cierpliwość i praca wszystko zmiażdżą” sugeruje, że tylko oba czynniki pomogą człowiekowi poradzić sobie z trudnościami.
Symbole używane do pisania: A∧B, A⋅B lub A&&B.
Koniunkcja jest podobna do mnożenia w arytmetyce. Czasami tak mówią - mnożenie logiczne. Jeśli pomnożymy elementy tabeli przez wiersze, otrzymamy wynik podobny do logicznego wnioskowania.
Alternatywa jest operacją logiczną OR. Przyjmuje wartość prawdy, gdy co najmniej jeden z (A lub B). Zapisuje się to w następujący sposób: A∨B, A+B lub A||B. Tabele prawdy dla tych operacji to:
Alternatywa jest jak dodawanie arytmetyczne. Operacja dodawania logicznego ma tylko jedno ograniczenie: 1+1=1. Ale pamiętamy, że w formacie cyfrowym logika matematyczna jest ograniczona do 0 i 1 (gdzie 1 to prawda, 0 to fałsz). Na przykład stwierdzenie „w muzeum można zobaczyć arcydzieło lub spotkać ciekawego rozmówcę” oznacza, że można zobaczyć dzieła sztuki lub poznać ciekawą osobę. Jednocześnie nie jest wykluczony wariant jednoczesnej realizacji obu zdarzeń.
Funkcje i prawa
Wiemy już więc, jakich operacji logicznych używa algebra Boole'a. Funkcje opisują wszystkie właściwości elementów logiki matematycznej i pozwalają uprościć złożone złożone warunki problemów. Najbardziej zrozumiałą i prostą właściwością wydaje się być odrzucanie operacji pochodnych. Pochodne to wyłączne LUB, implikacja i równoważność. Ponieważ zbadaliśmy tylko podstawowe operacje, rozważymy również właściwości tylko ich.
Asocjatywność oznacza, że w instrukcjach typu „i A, i B, i C” kolejność operandów nie ma znaczenia. Formuła zapisze to tak:
(A∧B)∧V=A∧(B∧V)=A∧B∧V,
(A∨B)∨C=A∨(B∨C)=A∨B∨C.
Jak widać, jest to charakterystyczne nie tylko dla koniunkcji, ale także dla dysjunkcji.
przemienność stwierdza, że wynik koniunkcji lub alternatywy nie zależy od tego, który element został rozpatrzony jako pierwszy:
A∧B=B∧A; A∨B=B∨A.
rozdzielność umożliwia rozwijanie nawiasów w złożonych wyrażeniach logicznych. Zasady są podobne do nawiasów otwierających w mnożeniu i dodawaniu w algebrze:
A∧(B∨B)=A∧B∨A∧B; A∨B∧B=(A∨B)∧(A∨B).
Jeden i zero właściwości, który może być jednym z operandów, są również analogiczne do algebraicznego mnożenia przez zero lub jeden i dodawania przez jeden:
A∧0=0,A∧1=A; A∨0=A,A∨1=1.
idempotentność mówi nam, że jeśli w odniesieniu do dwóch równych operandów wynik operacji okaże się podobny, to możemy „wyrzucić” dodatkowe operandy, które komplikują tok wnioskowania. Zarówno koniunkcja, jak i dysjunkcja są operacjami idempotentnymi.
B∧B=B; B∨B=B.
Wchłanianie pozwala nam również uprościć równania. Absorpcja stwierdza, że gdy inna operacja z tym samym elementem zostanie zastosowana do wyrażenia z jednym operandem, wynikiem jest operand z operacji absorbującej.
A∧B∨B=B; (A∨B)∧B=B.
Sekwencja operacji
Kolejność operacji ma niemałe znaczenie. W rzeczywistości, jeśli chodzi o algebrę, istnieje priorytet funkcji, z których korzysta algebra Boole'a. Formuły można uprościć tylko wtedy, gdy przestrzega się znaczenia operacji. Uszeregowując od najważniejszego do najmniej znaczącego, otrzymujemy następującą sekwencję:
1. Zaprzeczenie.
2. Koniunkcja.
3. Dysjunkcja, wyłączne OR.
4. Implikacja, równoważność.
Jak widać, tylko negacja i koniunkcja nie mają równych priorytetów. Priorytety alternatywy i XOR są równe, podobnie jak priorytety implikacji i równoważności.
Funkcje implikacji i równoważności
Jak już powiedzieliśmy, oprócz podstawowych operacji logicznych, logika matematyczna i teoria algorytmów wykorzystują pochodne. Najczęściej stosowane są implikacja i równoważność.
Implikacja, czyli konsekwencja logiczna, to stwierdzenie, w którym jedno działanie jest warunkiem, a drugie konsekwencją jego realizacji. Innymi słowy, jest to zdanie z przyimkami „jeśli… to”. „Jeśli lubisz jeździć, kochaj nosić sanki”. Oznacza to, że do jazdy na nartach musisz zacisnąć sanki pod górę. Jeśli nie ma ochoty zjeżdżać z góry, nie trzeba nieść sanek. Zapisuje się to tak: A→B lub A⇒B.
Równoważność oznacza, że wynikowa akcja ma miejsce tylko wtedy, gdy oba operandy są prawdziwe. Na przykład noc zamienia się w dzień, kiedy (i tylko wtedy) słońce wschodzi nad horyzontem. W języku logiki matematycznej zdanie to zapisuje się następująco: A≡B, A⇔B, A==B.
Inne prawa algebry Boole'a
Algebra sądów rozwija się, a wielu zainteresowanych naukowców sformułowało nowe prawa. Postulaty szkockiego matematyka O. de Morgana są uważane za najbardziej znane. Zauważył i zdefiniował takie własności, jak bliska negacja, dopełnienie i podwójna negacja.
bliskie zaprzeczenie zakłada, że przed nawiasem nie ma ani jednej negacji: nie (A lub B) = nie A lub NIE B.
Kiedy argument jest zanegowany, niezależnie od jego wartości, mówi się o nim uzupełnienie:
B∧¬B=0; B∨¬B=1.
I w końcu dwa razy nie rekompensuje sobie. Tych. albo negacja znika przed operandem, albo pozostaje tylko jedna.
Jak rozwiązywać testy
Logika matematyczna implikuje uproszczenie danych równań. Podobnie jak w algebrze, należy najpierw maksymalnie złagodzić warunek (pozbyć się przy ich pomocy złożonych danych wejściowych i operacji), a następnie przystąpić do poszukiwania poprawnej odpowiedzi.
Co można zrobić, aby uprościć? Zamień wszystkie operacje pochodne na proste. Następnie otwórz wszystkie wsporniki (lub odwrotnie, wyjmij go z nawiasów, aby skrócić ten element). Kolejnym krokiem powinno być zastosowanie w praktyce własności algebry Boole'a (absorpcja, własności zera i jedynki itp.).
Ostatecznie równanie powinno składać się z jak najmniejszej liczby niewiadomych połączonych prostymi operacjami. Najłatwiejszym sposobem znalezienia rozwiązania jest osiągnięcie dużej liczby bliskich negatywów. Wtedy odpowiedź pojawi się sama.
Jedna z nazw współczesnej logiki, która pojawiła się w drugiej. podłoga. 19 wcześnie XX wiek zamiast tradycyjnej logiki. Termin logika symboliczna jest również używany jako inna nazwa współczesnego etapu rozwoju nauki o logice. Definicja… … Encyklopedia filozoficzna
logika matematyczna- LOGIKA SYMBOLICZNA, logika matematyczna, logika teoretyczna, dziedzina logiki, w której wnioski logiczne są badane za pomocą rachunku logicznego opartego na ścisłym języku symbolicznym. Termin l. Z." był najwyraźniej pierwszy raz ... ... Encyklopedia epistemologii i filozofii nauki
LOGIKA MATEMATYCZNA- Nazywa się to również logiką symboliczną. M. l. jest to ta sama arystotelesowska logika sylogistyczna, ale jedynie nieporęczne wnioski werbalne są w niej zastępowane symbolami matematycznymi. Osiąga to, po pierwsze, zwięzłość, po drugie, jasność, w ... ... Encyklopedia kulturoznawstwa
LOGIKA MATEMATYCZNA- logika MATEMATYCZNA, logika dedukcyjna, wykorzystanie metod matematycznych do badania sposobów rozumowania (wnioski); matematyczna teoria dedukcyjnych sposobów rozumowania ... Współczesna encyklopedia
LOGIKA MATEMATYCZNA- logika dedukcyjna, w tym matematyczne metody badania metod wnioskowania (wnioski); matematyczna teoria dedukcyjnych metod wnioskowania. Logika matematyczna jest również nazywana logiką stosowaną w matematyce ... Wielki słownik encyklopedyczny
LOGIKA MATEMATYCZNA- (logika symboliczna), analityczny dział logiki, wynik zastosowania metod matematycznych do problemów logiki klasycznej. Rozważa pojęcia, które mogą być prawdziwe lub fałszywe, związek między pojęciami i ich działanie, w tym ... ... Naukowy i techniczny słownik encyklopedyczny
LOGIKA MATEMATYCZNA- jeden z wiodących działów współczesnej logiki i matematyki. Utworzony w 1920 r. art. jako urzeczywistnienie idei możliwości zapisania wszystkich założeń początkowych w języku znaków zbliżonym do matematycznego i tym samym zastąpienia wnioskowania obliczeniami. ... ... Najnowszy słownik filozoficzny
logika matematyczna- rzeczownik, liczba synonimów: 1 logistyka (9) Słownik synonimów ASIS. V.N. Triszin. 2013... Słownik synonimów
logika matematyczna- - Tematy telekomunikacyjne, podstawowe pojęcia z logiki matematycznej EN... Podręcznik tłumacza technicznego
LOGIKA MATEMATYCZNA- logika teoretyczna, logika symboliczna, dział matematyki poświęcony badaniu matematyki. dowody i pytania dotyczące podstaw matematyki. Esej historyczny. Idea zbudowania uniwersalnego języka dla całej matematyki i formalizacji w oparciu o…… Encyklopedia matematyczna
Książki
- Logika matematyczna, Erszow Jurij Leonidowicz, Paliutin Jewgienij Andriejewicz. Książka przedstawia w zarysie główne klasyczne rachunki logiki matematycznej: rachunek zdań i rachunek predykatów; znajduje się podsumowanie głównych koncepcji teorii mnogości i teorii ... Kup za 1447 UAH (tylko Ukraina)
- Logika matematyczna, YL Ershov Książka omawia główne klasyczne rachunki logiki matematycznej: rachunek zdań i rachunek predykatów; znajduje się podsumowanie podstawowych pojęć teorii mnogości i teorii ...
