Przejdźmy teraz do rozważenia zastosowań rachunku całkowego. W tej lekcji przeanalizujemy typowe i najczęstsze zadanie. obliczanie pola figury płaskiej za pomocą całki oznaczonej. Wreszcie wszystkim, którzy szukają sensu w wyższej matematyce - niech go znajdą. Nigdy nie wiesz. W prawdziwym życiu będziesz musiał przybliżyć domek letniskowy za pomocą elementarnych funkcji i znaleźć jego powierzchnię za pomocą pewnej całki.

Aby pomyślnie opanować materiał, musisz:

1) Zrozumieć całkę nieoznaczoną przynajmniej na poziomie średniozaawansowanym. Dlatego manekiny powinny najpierw przeczytać lekcję Nie.

2) Umieć zastosować wzór Newtona-Leibniza i obliczyć całkę oznaczoną. Możesz nawiązać ciepłe przyjazne stosunki z niektórymi całkami na stronie Określona całka. Przykłady rozwiązań. Zadanie „oblicz pole za pomocą całki oznaczonej” zawsze wiąże się z konstrukcją rysunku dlatego pilną kwestią będzie również Twoja wiedza i umiejętności rysunkowe. Jako minimum trzeba umieć zbudować linię prostą, parabolę i hiperbolę.

Zacznijmy od trapezu krzywoliniowego. Krzywoliniowy trapez to płaska figura ograniczona wykresem pewnej funkcji y = f(x), oś WÓŁ i linie x = a; x = b.

Obszar krzywoliniowego trapezu jest liczbowo równy pewnej całce

Każda całka oznaczona (która istnieje) ma bardzo dobre znaczenie geometryczne. Na lekcji Określona całka. Przykłady rozwiązań powiedzieliśmy, że całka oznaczona jest liczbą. A teraz czas na kolejny przydatny fakt. Z punktu widzenia geometrii całką oznaczoną jest POLE. To znaczy, całka oznaczona (jeśli istnieje) geometrycznie odpowiada obszarowi jakiejś figury. Rozważ całkę oznaczoną

Integranda

definiuje krzywą na płaszczyźnie (można ją narysować w razie potrzeby), a sama całka oznaczona jest liczbowo równa polu odpowiedniego trapezu krzywoliniowego.

Przykład 1

, , , .

To jest typowe zestawienie zadań. Najważniejszym punktem decyzji jest konstrukcja rysunku. Ponadto rysunek musi być zbudowany PRAWIDŁOWY.

Podczas budowania planu polecam następującą kolejność: pierwszy lepiej jest konstruować wszystkie linie (jeśli są) i tylko po- parabole, hiperbole, wykresy innych funkcji. Technikę konstrukcji punkt po punkcie można znaleźć w materiale referencyjnym Wykresy i własności funkcji elementarnych. Znajdziesz tam również materiał bardzo przydatny w związku z naszą lekcją - jak szybko zbudować parabolę.

W tym problemie rozwiązanie może wyglądać tak.

Zróbmy rysunek (zwróć uwagę, że równanie y= 0 określa oś WÓŁ):

Nie wyklujemy trapezu krzywoliniowego, jasne jest, o jakim obszarze tutaj mówimy. Rozwiązanie jest kontynuowane w następujący sposób:

W przedziale [-2; 1] wykres funkcji y = x 2 + 2 znajduje się nad osiąWÓŁ, więc:

Odpowiedź: .

Kto ma trudności z obliczeniem całki oznaczonej i zastosowaniem wzoru Newtona-Leibniza

,

zapoznaj się z wykładem Określona całka. Przykłady rozwiązań. Po wykonaniu zadania zawsze warto spojrzeć na rysunek i sprawdzić, czy odpowiedź jest prawdziwa. W tym przypadku „na oko” liczymy liczbę komórek na rysunku - cóż, około 9 zostanie wpisanych, wydaje się to prawdą. Jest całkiem jasne, że gdybyśmy mieli, powiedzmy, odpowiedź: 20 jednostek kwadratowych, to oczywiście gdzieś popełniono błąd - 20 komórek oczywiście nie mieści się w omawianej liczbie, co najwyżej tuzin. Jeśli odpowiedź okazała się negatywna, zadanie również zostało rozwiązane niepoprawnie.

Przykład 2

Oblicz pole figury ograniczonej liniami xy = 4, x = 2, x= 4 i oś WÓŁ.

To jest przykład zrób to sam. Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Co zrobić, jeśli znajduje się trapez krzywoliniowy pod osiąWÓŁ?

Przykład 3

Oblicz pole figury ograniczonej liniami y = były, x= 1 i osie współrzędnych.

Rozwiązanie: Zróbmy rysunek:

Jeśli trapez krzywoliniowy całkowicie pod osią WÓŁ , to jego pole można znaleźć ze wzoru:

W tym przypadku:

.

Uwaga! Nie należy mylić tych dwóch typów zadań:

1) Jeśli zostaniesz poproszony o rozwiązanie tylko całki oznaczonej bez żadnego znaczenia geometrycznego, może ona być ujemna.

2) Jeśli zostaniesz poproszony o znalezienie obszaru figury za pomocą całki oznaczonej, obszar jest zawsze dodatni! Dlatego właśnie w rozważanym wzorze pojawia się minus.

W praktyce najczęściej figura znajduje się zarówno w górnej, jak i dolnej półpłaszczyźnie, dlatego od najprostszych problemów szkolnych przechodzimy do bardziej znaczących przykładów.

Przykład 4

Znajdź obszar figury płaskiej ograniczony liniami y = 2x – x 2 , y = -x.

Rozwiązanie: Najpierw musisz zrobić rysunek. Podczas konstruowania rysunku w problemach powierzchniowych najbardziej interesują nas punkty przecięcia linii. Znajdź punkty przecięcia paraboli y = 2x – x 2 i prosto y = -x. Można to zrobić na dwa sposoby. Pierwszy sposób jest analityczny. Rozwiązujemy równanie:

Czyli dolna granica całkowania a= 0, górna granica integracji b= 3. Często bardziej opłacalne i szybsze jest konstruowanie linii punkt po punkcie, a granice całkowania wyznaczane są niejako „same”. Niemniej jednak analityczna metoda znajdowania granic nadal czasami musi być stosowana, jeśli np. wykres jest wystarczająco duży lub konstrukcja gwintowana nie ujawniła granic całkowania (mogą być ułamkowe lub niewymierne). Wracamy do naszego zadania: bardziej racjonalne jest skonstruowanie najpierw prostej, a dopiero potem paraboli. Zróbmy rysunek:

Powtarzamy, że w konstrukcji punktowej granice integracji najczęściej wyznaczane są „automatycznie”.

A teraz formuła robocza:

Jeśli w segmencie [ a; b] pewna funkcja ciągła f(x) większy bądź równy jakaś funkcja ciągła g(x), wówczas obszar odpowiedniej figury można znaleźć według wzoru:

Tutaj nie trzeba już myśleć, gdzie znajduje się figura - nad osią lub pod osią, ale ma znaczenie, który wykres jest POWYŻEJ(względem innego wykresu), a który jest PONIŻEJ.

W rozważanym przykładzie jest oczywiste, że na odcinku parabola znajduje się nad linią prostą, a zatem od 2 x – x 2 należy odjąć - x.

Zakończenie rozwiązania może wyglądać następująco:

Pożądana figura jest ograniczona parabolą y = 2x – x 2 górne i proste y = -x od dołu.

Na odcinku 2 x – x 2 ≥ -x. Zgodnie z odpowiednią formułą:

Odpowiedź: .

W rzeczywistości formuła szkolna dla obszaru trapezu krzywoliniowego w dolnej półpłaszczyźnie (patrz przykład nr 3) jest szczególnym przypadkiem wzoru

.

Od osi WÓŁ jest dana równaniem y= 0 i wykres funkcji g(x) znajduje się poniżej osi WÓŁ, następnie

.

A teraz kilka przykładów niezależnego rozwiązania

Przykład 5

Przykład 6

Znajdź obszar figury ograniczony liniami

W trakcie rozwiązywania zadań obliczania pola powierzchni za pomocą pewnej całki zdarza się czasem zabawny incydent. Rysunek został wykonany poprawnie, obliczenia były poprawne, ale z powodu nieuwagi ... znalazł obszar niewłaściwej figury.

Przykład 7

Narysujmy najpierw:

Figura, której obszar musimy znaleźć, jest zacieniowana na niebiesko.(uważnie spójrz na stan - jak ograniczona jest figura!). Ale w praktyce, z powodu nieuwagi, często decydują, że muszą znaleźć obszar figury zacieniony na zielono!

Ten przykład jest również przydatny, ponieważ w nim obszar figury jest obliczany za pomocą dwóch całek oznaczonych. Naprawdę:

1) Na odcinku [-1; 1] nad osią WÓŁ wykres jest prosty y = x+1;

2) Na odcinku powyżej osi WÓŁ znajduje się wykres hiperboli y = (2/x).

Jest dość oczywiste, że obszary można (i należy) dodawać, dlatego:

Odpowiedź:

Przykład 8

Oblicz pole figury ograniczonej liniami

Przedstawmy równania w formie „szkolnej”.

i wykonaj rysunek liniowy:

Z rysunku widać, że nasza górna granica jest „dobra”: b = 1.

Ale jaka jest dolna granica? Oczywiste jest, że nie jest to liczba całkowita, ale co?

Może, a=(-1/3)? Ale gdzie jest gwarancja, że ​​\u200b\u200brysunek jest wykonany z idealną dokładnością, może się to okazać a=(-1/4). Co jeśli w ogóle nie otrzymamy prawidłowego wykresu?

W takich przypadkach trzeba poświęcić dodatkowy czas i analitycznie uściślić granice całkowania.

Znajdź punkty przecięcia wykresów

W tym celu rozwiązujemy równanie:

.

W konsekwencji, a=(-1/3).

Dalsze rozwiązanie jest trywialne. Najważniejsze, aby nie pomylić się w podstawieniach i znakach. Obliczenia tutaj nie należą do najłatwiejszych. Na segmencie

, ,

według odpowiedniego wzoru:

Odpowiedź:

Na zakończenie lekcji rozważymy dwa trudniejsze zadania.

Przykład 9

Oblicz pole figury ograniczonej liniami

Rozwiązanie: Narysuj tę figurę na rysunku.

Aby narysować punkt po punkcie, musisz znać wygląd sinusoidy. Ogólnie rzecz biorąc, warto znać wykresy wszystkich funkcji elementarnych, a także niektóre wartości sinusa. Można je znaleźć w tabeli wartości funkcje trygonometryczne. W niektórych przypadkach (np. w tym przypadku) dopuszcza się skonstruowanie schematycznego rysunku, na którym wykresy i granice całkowania muszą być w zasadzie poprawnie przedstawione.

Nie ma tu problemów z granicami integracji, wynikają one bezpośrednio z warunku:

- „x” zmienia się od zera do „pi”. Podejmujemy kolejną decyzję:

Na odcinku wykres funkcji y= grzech 3 x znajduje się nad osią WÓŁ, więc:

(1) Na lekcji możesz zobaczyć, jak sinusy i cosinusy są scalane z nieparzystymi potęgami Całki funkcji trygonometrycznych. Odcinamy jeden sinus.

(2) W postaci używamy podstawowej tożsamości trygonometrycznej

(3) Zmieńmy zmienną t= cos x, to: znajduje się nad osią , więc:

.

.

Uwaga: zwróć uwagę, jak pobierana jest całka stycznej w sześcianie, tutaj używana jest konsekwencja podstawowej tożsamości trygonometrycznej

.

Określona całka. Jak obliczyć pole figury

Przejdźmy teraz do rozważenia zastosowań rachunku całkowego. W tej lekcji przeanalizujemy typowe i najczęstsze zadanie. Jak wykorzystać całkę oznaczoną do obliczenia pola figury płaskiej. Wreszcie ci, którzy szukają sensu w wyższej matematyce - niech go znajdą. Nigdy nie wiesz. W prawdziwym życiu będziesz musiał przybliżyć domek letniskowy za pomocą elementarnych funkcji i znaleźć jego powierzchnię za pomocą pewnej całki.

Aby pomyślnie opanować materiał, musisz:

1) Zrozumieć całkę nieoznaczoną przynajmniej na poziomie średniozaawansowanym. Dlatego manekiny powinny najpierw przeczytać lekcję Nie.

2) Umieć zastosować wzór Newtona-Leibniza i obliczyć całkę oznaczoną. Możesz nawiązać ciepłe przyjazne stosunki z niektórymi całkami na stronie Określona całka. Przykłady rozwiązań.

W rzeczywistości, aby znaleźć obszar figury, nie potrzebujesz tak dużej wiedzy na temat całki nieoznaczonej i oznaczonej. Zadanie „oblicz pole za pomocą całki oznaczonej” zawsze wiąże się z konstrukcją rysunku, więc twoja wiedza i umiejętności rysunkowe będą znacznie bardziej istotne. W tym zakresie warto odświeżyć pamięć wykresów głównych funkcji elementarnych, a przynajmniej umieć zbudować prostą, parabolę i hiperbolę. Można to zrobić (wielu tego potrzebuje) za pomocą materiału metodologicznego i artykułu na temat geometrycznych przekształceń grafów.

Właściwie każdy zna problem znajdowania obszaru za pomocą całki oznaczonej od czasów szkolnych, a my trochę wyprzedzimy szkolny program nauczania. Ten artykuł mógłby w ogóle nie istnieć, ale faktem jest, że problem pojawia się w 99 przypadkach na 100, kiedy studenta dręczonego przez znienawidzoną wieżę z zapałem opanowuje kurs wyższej matematyki.

Materiały z tego warsztatu są przedstawione w sposób prosty, szczegółowy iz minimum teorii.

Zacznijmy od trapezu krzywoliniowego.

Trapez krzywoliniowy zwaną figurą płaską ograniczoną osią , liniami prostymi i wykresem funkcji ciągłej na odcinku, który nie zmienia znaku na tym przedziale. Niech ta figura zostanie zlokalizowana nie mniej odcięta:

Następnie obszar trapezu krzywoliniowego jest liczbowo równy pewnej całce. Każda całka oznaczona (która istnieje) ma bardzo dobre znaczenie geometryczne. Na lekcji Określona całka. Przykłady rozwiązań Powiedziałem, że całka oznaczona jest liczbą. A teraz czas na kolejny przydatny fakt. Z punktu widzenia geometrii całką oznaczoną jest POLE.

To znaczy, całka oznaczona (jeśli istnieje) geometrycznie odpowiada obszarowi jakiejś figury. Rozważmy na przykład całkę oznaczoną. Całka definiuje krzywą na płaszczyźnie znajdującej się nad osią (chętni mogą uzupełnić rysunek), a sama całka oznaczona jest liczbowo równa polu odpowiedniego trapezu krzywoliniowego.

Przykład 1

To jest typowe zestawienie zadań. Pierwszym i najważniejszym momentem decyzji jest konstrukcja rysunku. Ponadto rysunek musi być zbudowany PRAWIDŁOWY.

Podczas budowania planu polecam następującą kolejność: pierwszy lepiej jest konstruować wszystkie linie (jeśli są) i tylko po- parabole, hiperbole, wykresy innych funkcji. Tworzenie wykresów funkcyjnych jest bardziej opłacalne punkt po punkcie, z techniką konstrukcji punktowej można znaleźć w materiale źródłowym Wykresy i własności funkcji elementarnych. Znajdziesz tam również materiał bardzo przydatny w związku z naszą lekcją - jak szybko zbudować parabolę.

W tym problemie rozwiązanie może wyglądać tak.
Zróbmy rysunek (zwróć uwagę, że równanie definiuje oś):

Nie wykluję trapezu krzywoliniowego, jasne jest, o jakim obszarze tutaj mówimy. Rozwiązanie jest kontynuowane w następujący sposób:

Na odcinku znajduje się wykres funkcji nad osią, więc:

Odpowiedź:

Kto ma trudności z obliczeniem całki oznaczonej i zastosowaniem wzoru Newtona-Leibniza , zapoznaj się z wykładem Określona całka. Przykłady rozwiązań.

Po wykonaniu zadania zawsze warto spojrzeć na rysunek i sprawdzić, czy odpowiedź jest prawdziwa. W tym przypadku „na oko” liczymy liczbę komórek na rysunku - cóż, około 9 zostanie wpisanych, wydaje się to prawdą. Jest całkiem jasne, że gdybyśmy mieli, powiedzmy, odpowiedź: 20 jednostek kwadratowych, to oczywiście gdzieś popełniono błąd - 20 komórek oczywiście nie mieści się w omawianej liczbie, co najwyżej tuzin. Jeśli odpowiedź okazała się negatywna, zadanie również zostało rozwiązane niepoprawnie.

Przykład 2

Oblicz pole figury ograniczonej liniami , , i osią

To jest przykład zrób to sam. Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Co zrobić, jeśli znajduje się trapez krzywoliniowy pod osią?

Przykład 3

Oblicz pole figury ograniczone liniami i osiami współrzędnych.

Decyzja: Zróbmy rysunek:

Jeśli znajduje się trapez krzywoliniowy pod osią(Lub przynajmniej nie wyższy danej osi), to jego pole można znaleźć ze wzoru:
W tym przypadku:

Uwaga! Nie myl tych dwóch rodzajów zadań:

1) Jeśli zostaniesz poproszony o rozwiązanie tylko całki oznaczonej bez żadnego znaczenia geometrycznego, może ona być ujemna.

2) Jeśli zostaniesz poproszony o znalezienie obszaru figury za pomocą całki oznaczonej, obszar jest zawsze dodatni! Dlatego właśnie w rozważanym wzorze pojawia się minus.

W praktyce najczęściej figura znajduje się zarówno w górnej, jak i dolnej półpłaszczyźnie, dlatego od najprostszych problemów szkolnych przechodzimy do bardziej znaczących przykładów.

Przykład 4

Znajdź obszar płaskiej figury ograniczony liniami , .

Decyzja: Najpierw musisz ukończyć rysunek. Ogólnie rzecz biorąc, konstruując rysunek w problemach powierzchniowych, najbardziej interesują nas punkty przecięcia prostych. Znajdźmy punkty przecięcia paraboli i prostej. Można to zrobić na dwa sposoby. Pierwszy sposób jest analityczny. Rozwiązujemy równanie:

Stąd dolna granica integracji , górna granica integracji .
Najlepiej nie używać tej metody, jeśli to możliwe..

Znacznie bardziej opłacalne i szybsze jest budowanie linii punkt po punkcie, a granice integracji odkrywają się niejako „same”. Technika konstrukcji punkt po punkcie dla różnych wykresów jest szczegółowo omówiona w pomocy Wykresy i własności funkcji elementarnych. Niemniej jednak analityczna metoda znajdowania granic nadal czasami musi być stosowana, jeśli np. wykres jest wystarczająco duży lub konstrukcja gwintowana nie ujawniła granic całkowania (mogą być ułamkowe lub niewymierne). Rozważymy również taki przykład.

Wracamy do naszego zadania: bardziej racjonalne jest skonstruowanie najpierw prostej, a dopiero potem paraboli. Zróbmy rysunek:

Powtarzam, że przy konstrukcji punktowej granice integracji najczęściej wyznaczane są „automatycznie”.

A teraz formuła robocza: Jeśli w przedziale istnieje jakaś funkcja ciągła większy bądź równy pewną funkcję ciągłą, a następnie obszar figury ograniczony wykresami tych funkcji i liniami prostymi można znaleźć za pomocą wzoru:

Tutaj nie trzeba już myśleć o tym, gdzie znajduje się figura - nad osią lub pod osią i, z grubsza mówiąc, ma znaczenie, który wykres jest POWYŻEJ(względem innego wykresu), a który jest PONIŻEJ.

W rozważanym przykładzie jest oczywiste, że na odcinku parabola znajduje się nad linią prostą, dlatego konieczne jest odjęcie od

Zakończenie rozwiązania może wyglądać następująco:

Pożądana figura jest ograniczona parabolą od góry i linią prostą od dołu.
Na odcinku , zgodnie z odpowiednim wzorem:

Odpowiedź:

W rzeczywistości formuła szkolna dla obszaru krzywoliniowego trapezu w dolnej półpłaszczyźnie (patrz prosty przykład nr 3) jest szczególnym przypadkiem wzoru . Ponieważ oś jest dana równaniem , a wykres funkcji znajduje się nie wyższy w takim razie osie

A teraz kilka przykładów niezależnego rozwiązania

Przykład 5

Przykład 6

Znajdź obszar figury otoczony liniami , .

W trakcie rozwiązywania zadań obliczania pola powierzchni za pomocą pewnej całki zdarza się czasem zabawny incydent. Rysunek został wykonany poprawnie, obliczenia były poprawne, ale z powodu nieuwagi ... znalazł obszar niewłaściwej figury, tak kilka razy schrzanił twój posłuszny sługa. Oto przypadek z życia wzięty:

Przykład 7

Oblicz pole figury ograniczonej liniami , , , .

Decyzja: Zróbmy najpierw rysunek:

…Ech, rysunek wyszedł kiepsko, ale wszystko wydaje się być czytelne.

Figura, której obszar musimy znaleźć, jest zacieniowana na niebiesko.(uważnie spójrz na stan - jak ograniczona jest figura!). Ale w praktyce, z powodu nieuwagi, często pojawia się „usterka”, polegająca na znalezieniu obszaru figury, który jest zacieniony na zielono!

Ten przykład jest również przydatny, ponieważ w nim obszar figury jest obliczany za pomocą dwóch całek oznaczonych. Naprawdę:

1) Na odcinku powyżej osi znajduje się wykres liniowy;

2) Na odcinku powyżej osi znajduje się wykres hiperboli.

Jest dość oczywiste, że obszary można (i należy) dodawać, dlatego:

Odpowiedź:

Przejdźmy do jeszcze jednego ważnego zadania.

Przykład 8

Oblicz pole figury ograniczonej liniami,
Przedstawmy równania w formie „szkolnej” i wykonajmy rysunek punkt po punkcie:

Z rysunku widać, że nasza górna granica jest „dobra”: .
Ale jaka jest dolna granica? Oczywiste jest, że nie jest to liczba całkowita, ale co? Może ? Ale gdzie jest gwarancja, że ​​\u200b\u200brysunek jest wykonany z idealną dokładnością, może się to okazać. Lub rootować. Co jeśli w ogóle nie otrzymamy prawidłowego wykresu?

W takich przypadkach trzeba poświęcić dodatkowy czas i analitycznie uściślić granice całkowania.

Znajdźmy punkty przecięcia prostej i paraboli.
W tym celu rozwiązujemy równanie:


,

Naprawdę, .

Dalsze rozwiązanie jest trywialne, najważniejsze, aby nie pomylić się w podstawieniach i znakach, obliczenia tutaj nie należą do najłatwiejszych.

Na segmencie , zgodnie z odpowiednim wzorem:

Odpowiedź:

Cóż, na zakończenie lekcji rozważymy dwa trudniejsze zadania.

Przykład 9

Oblicz pole figury ograniczonej liniami , ,

Decyzja: Narysuj tę postać na rysunku.

Cholera, zapomniałem podpisać grafiku, a przerabiając zdjęcie, przepraszam, nie hotz. Nie rysunek, krótko mówiąc, dzisiaj jest dzień =)

Do konstrukcji punkt po punkcie konieczna jest znajomość wyglądu sinusoidy (i ogólnie przydatna jest znajomość wykresy wszystkich funkcji elementarnych), a także niektóre wartości sinusoidalne, w których można je znaleźć tabela trygonometryczna. W niektórych przypadkach (jak w tym przypadku) dopuszczalne jest skonstruowanie rysunku schematycznego, na którym wykresy i granice całkowania muszą być w zasadzie poprawnie przedstawione.

Nie ma tu problemów z granicami integracji, wynikają one wprost z warunku: - „x” zmienia się od zera do „pi”. Podejmujemy kolejną decyzję:

Na odcinku wykres funkcji znajduje się nad osią, dlatego:

W poprzedniej sekcji, poświęconej analizie znaczenia geometrycznego całki oznaczonej, uzyskaliśmy szereg wzorów do obliczania pola trapezu krzywoliniowego:

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) re x dla ciągłej i nieujemnej funkcji y = f (x) na odcinku [ a ; b] ,

S (G) = - ∫ a b f (x) re x dla funkcji ciągłej i niedodatniej y = f (x) na odcinku [ a ; b] .

Wzory te mają zastosowanie do rozwiązywania stosunkowo prostych problemów. W rzeczywistości często musimy pracować z bardziej złożonymi kształtami. W związku z tym ten rozdział poświęcimy analizie algorytmów obliczania pola figur, które są ograniczone funkcjami w postaci jawnej, tj. jak y = f(x) lub x = g(y) .

Twierdzenie

Niech funkcje y = f 1 (x) i y = f 2 (x) będą zdefiniowane i ciągłe na odcinku [ a ; b ] i f 1 (x) ≤ f 2 (x) dla dowolnej wartości x z [ a ; b] . Wtedy wzór do obliczania pola figury G ograniczony liniami x \u003d a, x \u003d b, y \u003d f 1 (x) i y \u003d f 2 (x) będzie wyglądał jak S ( G) \u003d ∫ za b fa 2 (x) - fa 1 (x) re x .

Podobny wzór będzie miał zastosowanie do obszaru figury ograniczonego liniami y \u003d c, y \u003d d, x \u003d g 1 (y) i x \u003d g 2 (y): S (G) \u003d ∫ do re (g 2 (y) - g 1 (y) re y .

Dowód

Przeanalizujemy trzy przypadki, dla których formuła będzie obowiązywać.

W pierwszym przypadku, biorąc pod uwagę właściwość addytywności obszaru, suma obszarów oryginalnej figury G i krzywoliniowego trapezu G 1 jest równa powierzchni figury G 2 . To znaczy, że

Dlatego S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ za b fa 2 (x) re x - ∫ za b fa 1 (x) re x = ∫ za b (f 2 (x) - fa 1 (x)) d x .

Ostatnie przejście możemy wykonać korzystając z trzeciej własności całki oznaczonej.

W drugim przypadku równość jest prawdziwa: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - fa 1 (x)) re x

Ilustracja graficzna będzie wyglądać następująco:

Jeśli obie funkcje są niedodatnie, otrzymujemy: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - fa 1 (x)) re x . Ilustracja graficzna będzie wyglądać następująco:

Przejdźmy do rozważenia ogólnego przypadku, gdy y = f 1 (x) i y = f 2 (x) przecinają oś O x .

Punkty przecięcia oznaczymy jako x i , i = 1 , 2 , . . . , n - 1 . Te punkty łamią odcinek [ a ; b ] na n części x i - 1 ; x ja , ja = 1 , 2 , . . . , n , gdzie α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

W konsekwencji,

S (G) = ∑ ja = 1 n S (G ja) = ∑ ja = 1 n ∫ x ja x ja fa 2 (x) - fa 1 (x)) re x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - fa ( x)) re x = ∫ za b fa 2 (x) - fa 1 (x) re x

Ostatnie przejście możemy wykonać korzystając z piątej własności całki oznaczonej.

Zilustrujmy ogólny przypadek na wykresie.

Formułę S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x można uznać za udowodnioną.

A teraz przejdźmy do analizy przykładów obliczania obszaru figur ograniczonych liniami y \u003d f (x) i x \u003d g (y) .

Rozważając dowolny z przykładów, zaczniemy od konstrukcji grafu. Obraz pozwoli nam przedstawić złożone kształty jako kombinacje prostszych kształtów. Jeśli kreślenie na nich wykresów i kształtów jest dla ciebie trudne, możesz przestudiować sekcję dotyczącą podstawowych funkcji elementarnych, transformacji geometrycznej wykresów funkcji, a także kreślenia podczas badania funkcji.

Przykład 1

Konieczne jest określenie obszaru figury, który jest ograniczony parabolą y \u003d - x 2 + 6 x - 5 i liniami prostymi y \u003d - 1 3 x - 1 2, x \u003d 1, x \u003d 4.

Decyzja

Narysujmy linie na wykresie w kartezjańskim układzie współrzędnych.

W przedziale [ 1 ; 4] wykres paraboli y = - x 2 + 6 x - 5 znajduje się nad prostą y = - 1 3 x - 1 2 . W związku z tym, aby uzyskać odpowiedź, korzystamy z otrzymanego wcześniej wzoru, a także metody obliczania całki oznaczonej za pomocą wzoru Newtona-Leibniza:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 re x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 re x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Odpowiedź: S(G) = 13

Spójrzmy na bardziej złożony przykład.

Przykład 2

Konieczne jest obliczenie obszaru figury, który jest ograniczony liniami y = x + 2 , y = x , x = 7 .

Decyzja

W tym przypadku mamy tylko jedną prostą równoległą do osi x. To jest x = 7 . Wymaga to od nas samodzielnego znalezienia drugiej granicy całkowania.

Zbudujmy wykres i umieśćmy na nim linie podane w warunku zadania.

Mając przed oczami wykres, możemy łatwo ustalić, że dolną granicą całkowania będzie odcięta punktu przecięcia wykresu z linią prostą y \u003d x i półparabolą y \u003d x + 2. Aby znaleźć odciętą, używamy równości:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 re = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O re sol x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O re sol

Okazuje się, że odcięta punktu przecięcia wynosi x = 2.

Zwracamy uwagę, że w ogólnym przykładzie na rysunku linie y = x + 2 , y = x przecinają się w punkcie (2 ; 2) , więc takie szczegółowe obliczenia mogą wydawać się zbędne. Podaliśmy tutaj tak szczegółowe rozwiązanie tylko dlatego, że w bardziej skomplikowanych przypadkach rozwiązanie może nie być takie oczywiste. Oznacza to, że współrzędne przecięcia linii zawsze lepiej obliczać analitycznie.

W przedziale [ 2 ; 7 ] wykres funkcji y = x znajduje się nad wykresem funkcji y = x + 2 . Zastosuj wzór do obliczenia pola:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) re x = x 2 2 - 2 3 (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Odpowiedź: S(G) = 59 6

Przykład 3

Konieczne jest obliczenie obszaru figury, który jest ograniczony wykresami funkcji y \u003d 1 x i y \u003d - x 2 + 4 x - 2.

Decyzja

Narysujmy linie na wykresie.

Zdefiniujmy granice integracji. Aby to zrobić, określamy współrzędne punktów przecięcia linii, zrównując wyrażenia 1 x i - x 2 + 4 x - 2 . Pod warunkiem, że x nie jest równe zeru, równość 1 x \u003d - x 2 + 4 x - 2 staje się równoważna równaniu trzeciego stopnia - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 \u003d 0 ze współczynnikami całkowitymi . Możesz odświeżyć pamięć algorytmu rozwiązywania takich równań, odwołując się do rozdziału „Rozwiązywanie równań sześciennych”.

Pierwiastek tego równania to x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

Dzieląc wyrażenie - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 przez dwumian x - 1, otrzymujemy: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

Pozostałe pierwiastki możemy znaleźć z równania x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 re = (- 3) 2 - 4 1 (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 \u003d 3 - 13 2 ≈ - 0. 3

Znaleźliśmy przedział x ∈ 1; 3 + 13 2 , gdzie G jest zamknięte powyżej linii niebieskiej i poniżej linii czerwonej. To pomaga nam określić obszar kształtu:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x re x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Odpowiedź: S (G) \u003d 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Przykład 4

Konieczne jest obliczenie obszaru figury, który jest ograniczony krzywymi y \u003d x 3, y \u003d - log 2 x + 1 i oś x.

Decyzja

Umieśćmy wszystkie linie na wykresie. Wykres funkcji y = - log 2 x + 1 możemy otrzymać z wykresu y = log 2 x, jeśli umieścimy go symetrycznie względem osi x i przesuniemy o jedną jednostkę w górę. Równanie osi x y \u003d 0.

Oznaczmy punkty przecięcia prostych.

Jak widać na rysunku, wykresy funkcji y \u003d x 3 i y \u003d 0 przecinają się w punkcie (0; 0) . Dzieje się tak, ponieważ x \u003d 0 jest jedynym rzeczywistym pierwiastkiem równania x 3 \u003d 0.

x = 2 jest jedynym pierwiastkiem równania - log 2 x + 1 = 0 , więc wykresy funkcji y = - log 2 x + 1 i y = 0 przecinają się w punkcie (2 ; 0) .

x = 1 jest jedynym pierwiastkiem równania x 3 = - log 2 x + 1 . Pod tym względem wykresy funkcji y \u003d x 3 i y \u003d - log 2 x + 1 przecinają się w punkcie (1; 1) . Ostatnie stwierdzenie może nie być oczywiste, ale równanie x 3 \u003d - log 2 x + 1 nie może mieć więcej niż jednego pierwiastka, ponieważ funkcja y \u003d x 3 jest ściśle rosnąca, a funkcja y \u003d - log 2 x + 1 jest ściśle malejący.

Następny krok obejmuje kilka opcji.

Opcja numer 1

Figurę G możemy przedstawić jako sumę dwóch trapezów krzywoliniowych położonych powyżej osi odciętych, z których pierwszy znajduje się poniżej linii środkowej na odcinku x ∈ 0; 1 , a drugi poniżej czerwonej linii na odcinku x ∈ 1 ; 2. Oznacza to, że pole będzie równe S (G) = ∫ 0 1 x 3 re x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) re x .

Opcja numer 2

Figurę G można przedstawić jako różnicę dwóch cyfr, z których pierwsza znajduje się powyżej osi x i poniżej niebieskiej linii na odcinku x ∈ 0; 2 , a druga między czerwoną a niebieską linią na odcinku x ∈ 1 ; 2. To pozwala nam znaleźć obszar w następujący sposób:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 re x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) re x

W takim przypadku, aby znaleźć obszar, będziesz musiał użyć formuły postaci S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. W rzeczywistości linie ograniczające kształt można przedstawić jako funkcje argumentu y.

Rozwiążmy równania y = x 3 i - log 2 x + 1 względem x:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Otrzymujemy wymagany obszar:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) re y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Odpowiedź: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Przykład 5

Konieczne jest obliczenie obszaru figury, który jest ograniczony liniami y \u003d x, y \u003d 2 3 x - 3, y \u003d - 1 2 x + 4.

Decyzja

Narysuj na wykresie linię czerwoną, określoną przez funkcję y = x . Narysuj linię y = - 1 2 x + 4 na niebiesko i zaznacz linię y = 2 3 x - 3 na czarno.

Zwróć uwagę na punkty przecięcia.

Znajdź punkty przecięcia wykresów funkcji y = x i y = - 1 2 x + 4:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 re = (- 20 ) 2 - 4 1 64 \u003d 144 x 1 \u003d 20 + 144 2 \u003d 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 i jest rozwiązaniem równania x 2 = 4 = 2 , - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 jest rozwiązaniem równania ⇒ (4 ; 2) punkt przecięcia i y = x i y = - 1 2 x + 4

Znajdź punkt przecięcia wykresów funkcji y = x i y = 2 3 x - 3:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 re = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Sprawdź: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 \u003d 2 3 9 - 3 \u003d 3 ⇒ x 1 \u003d 9 jest rozwiązaniem równania ⇒ (9; 3) punkt i przecięcie y = x i y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2 , 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 nie jest rozwiązaniem równania

Znajdź punkt przecięcia prostych y = - 1 2 x + 4 i y = 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 1) punkt przecięcia y = - 1 2 x + 4 i y = 2 3 x - 3

Metoda numer 1

Pole pożądanej figury reprezentujemy jako sumę pól poszczególnych figur.

Wtedy obszar figury wynosi:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 re x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 re x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Metoda numer 2

Obszar oryginalnej figury można przedstawić jako sumę dwóch pozostałych figur.

Następnie rozwiązujemy równanie linii dla x i dopiero potem stosujemy wzór do obliczania pola figury.

y = x ⇒ x = y 2 czerwona linia y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 czarna linia y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i i l ja n i i

Więc obszar to:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 re y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 re y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 re y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 re y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Jak widać wartości się zgadzają.

Odpowiedź: S(G) = 11 3

Wyniki

Aby znaleźć obszar figury ograniczony przez dane linie, musimy narysować linie na płaszczyźnie, znaleźć ich punkty przecięcia i zastosować wzór na znalezienie obszaru. W tej sekcji przejrzeliśmy najczęstsze opcje zadań.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

W tym artykule dowiesz się, jak znaleźć obszar figury ograniczonej liniami za pomocą obliczeń całkowych. Po raz pierwszy ze sformułowaniem takiego problemu spotykamy się w szkole średniej, kiedy nauka niektórych całek została właśnie zakończona i nadszedł czas, aby rozpocząć geometryczną interpretację zdobytej wiedzy w praktyce.

Co jest więc potrzebne, aby pomyślnie rozwiązać problem znalezienia obszaru figury za pomocą całek:

• Umiejętność poprawnego rysowania rysunków;
• Umiejętność rozwiązywania całki oznaczonej za pomocą znanego wzoru Newtona-Leibniza;
• Możliwość „zobaczenia” bardziej opłacalnego rozwiązania – tj. zrozumieć, jak w tym czy innym przypadku wygodniej będzie przeprowadzić integrację? Wzdłuż osi x (OX) czy osi y (OY)?
• Cóż, gdzie bez poprawnych obliczeń?) Obejmuje to zrozumienie, jak rozwiązać ten inny typ całek i poprawne obliczenia numeryczne.

Algorytm rozwiązywania problemu obliczania obszaru figury ograniczonej liniami:

1. Budujemy rysunek. Wskazane jest, aby zrobić to na kartce papieru w klatce, na dużą skalę. Nad każdym wykresem podpisujemy ołówkiem nazwę tej funkcji. Podpis wykresów odbywa się wyłącznie dla wygody dalszych obliczeń. Po otrzymaniu wykresu pożądanej liczby w większości przypadków od razu będzie jasne, które granice integracji zostaną zastosowane. W ten sposób rozwiązujemy problem graficznie. Zdarza się jednak, że wartości granic są ułamkowe lub niewymierne. Dlatego możesz wykonać dodatkowe obliczenia, przejdź do kroku drugiego.

2. Jeśli granice całkowania nie są określone wprost, to znajdujemy punkty przecięcia wykresów ze sobą i sprawdzamy, czy nasze rozwiązanie graficzne odpowiada rozwiązaniu analitycznemu.

3. Następnie musisz przeanalizować rysunek. W zależności od tego, jak rozmieszczone są wykresy funkcji, istnieją różne podejścia do znajdowania obszaru figury. Rozważ różne przykłady znajdowania obszaru figury za pomocą całek.

3.1. Najbardziej klasyczną i najprostszą wersją problemu jest znalezienie obszaru krzywoliniowego trapezu. Co to jest trapez krzywoliniowy? Jest to płaska figura ograniczona przez oś x (y=0), prosto x = za, x = b i dowolna krzywa ciągła w przedziale od a przed b. Jednocześnie liczba ta jest nieujemna i znajduje się nie niżej niż oś x. W tym przypadku obszar trapezu krzywoliniowego jest liczbowo równy całce oznaczonej obliczonej za pomocą wzoru Newtona-Leibniza:

Przykład 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Jakie linie definiują sylwetkę? Mamy parabolę y = x2 - 3x + 3, który znajduje się nad osią OH, jest nieujemne, ponieważ wszystkie punkty tej paraboli są dodatnie. Następnie podane proste x = 1 oraz x = 3 które biegną równolegle do osi jednostka organizacyjna, to linie ograniczające figurę po lewej i prawej stronie. Dobrze y = 0, ona jest osią x, która ogranicza figurę od dołu. Wynikowa liczba jest zacieniona, jak widać na rysunku po lewej stronie. W takim przypadku możesz natychmiast przystąpić do rozwiązywania problemu. Przed nami prosty przykład trapezu krzywoliniowego, który następnie rozwiązujemy za pomocą wzoru Newtona-Leibniza.

3.2. W poprzednim akapicie 3.1 analizowano przypadek, gdy trapez krzywoliniowy znajduje się powyżej osi x. Rozważmy teraz przypadek, gdy warunki rozwiązania problemu są takie same, z wyjątkiem tego, że funkcja leży pod osią x. Do standardowego wzoru Newtona-Leibniza dodaje się minus. Jak rozwiązać taki problem, rozważymy dalej.

Przykład 2 . Oblicz pole figury ograniczonej liniami y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.

W tym przykładzie mamy parabolę y=x2+6x+2, która pochodzi spod osi OH, prosto x=-4, x=-1, y=0. Tutaj y = 0 ogranicza pożądaną figurę od góry. Bezpośredni x = -4 oraz x = -1 są to granice, w których obliczona zostanie całka oznaczona. Zasada rozwiązania problemu znalezienia obszaru figury prawie całkowicie pokrywa się z przykładem nr 1. Jedyna różnica polega na tym, że dana funkcja nie jest dodatnia, a także jest ciągła w przedziale [-4; -1] . Co nie znaczy pozytywne? Jak widać z rysunku, figura leżąca w zadanym x ma wyłącznie „ujemne” współrzędne, co musimy zobaczyć i zapamiętać przy rozwiązywaniu zadania. Szukamy obszaru figury za pomocą wzoru Newtona-Leibniza, tylko ze znakiem minus na początku.

Artykuł nie jest zakończony.