Zadanie 1(w sprawie obliczenia powierzchni trapezu krzywoliniowego).

W kartezjańskim prostokątnym układzie współrzędnych xOy podana jest figura (patrz rysunek), ograniczona osią x, liniami prostymi x \u003d a, x \u003d b (trapez krzywoliniowy. Wymagane jest obliczenie powierzchni \ u200b\u200bkrzywoliniowy trapez.
Decyzja. Geometria daje nam przepisy na obliczanie pól wielokątów i niektórych części koła (wycinek, odcinek). Korzystając z rozważań geometrycznych, będziemy w stanie znaleźć tylko przybliżoną wartość wymaganego obszaru, argumentując w następujący sposób.

Podzielmy segment [a; b] (podstawa trapezu krzywoliniowego) na n równych części; podział ten jest wykonalny za pomocą punktów x 1 , x 2 , ... x k , ... x n-1 . Narysujmy linie przechodzące przez te punkty równolegle do osi y. Wtedy dany trapez krzywoliniowy zostanie podzielony na n części, na n wąskich kolumn. Powierzchnia całego trapezu jest równa sumie obszarów kolumn.

Rozważ osobno k-tą kolumnę, tj. trapez krzywoliniowy, którego podstawą jest odcinek. Zastąpmy go prostokątem o tej samej podstawie i wysokości równej f(x k) (patrz rysunek). Pole prostokąta to \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), gdzie \(\Delta x_k \) to długość odcinka; naturalne jest traktowanie skompilowanego produktu jako przybliżonej wartości pola k-tej kolumny.

Jeśli teraz zrobimy to samo ze wszystkimi innymi kolumnami, otrzymamy następujący wynik: pole S danego trapezu krzywoliniowego jest w przybliżeniu równe polu S n figury schodkowej złożonej z n prostokątów (patrz rysunek):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Tutaj, ze względu na jednolitość zapisu, uważamy, że a \u003d x 0, b \u003d x n; \(\Delta x_0 \) - długość segmentu , \(\Delta x_1 \) - długość segmentu itd.; natomiast, jak ustaliliśmy powyżej, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)

Zatem \(S \około S_n \), a ta przybliżona równość jest tym dokładniejsza, im większe n.
Z definicji przyjmuje się, że pożądany obszar trapezu krzywoliniowego jest równy granicy ciągu (S n):
$$ S = \lim_(n \do \infty) S_n $$

Zadanie 2(o przesunięciu punktu)
Punkt materialny porusza się po linii prostej. Zależność prędkości od czasu wyraża wzór v = v(t). Znajdź przemieszczenie punktu w przedziale czasu [a; b].
Decyzja. Gdyby ruch był ruchem jednostajnym, problem zostałby rozwiązany bardzo prosto: s = vt, tj. s = v(b-a). W przypadku ruchu nierównego należy skorzystać z tych samych pomysłów, na których oparto rozwiązanie poprzedniego problemu.
1) Podziel przedział czasu [a; b] na n równych części.
2) Rozważmy przedział czasu i załóżmy, że w tym przedziale czasu prędkość była stała, np. w chwili t k . Zakładamy więc, że v = v(t k).
3) Znajdź przybliżoną wartość przemieszczenia punktu w przedziale czasu , ta przybliżona wartość będzie oznaczona przez sk
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Znajdź przybliżoną wartość przemieszczenia s:
\(s \około S_n \) gdzie
\(S_n = s_0 + \kropki + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \kropki + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Wymagane przemieszczenie jest równe granicy ciągu (S n):
$$ s = \lim_(n \do \infty) S_n $$

Podsumujmy. Rozwiązania różnych problemów zostały sprowadzone do tego samego modelu matematycznego. Wiele problemów z różnych dziedzin nauki i techniki prowadzi do tego samego modelu w procesie rozwiązania. Tak więc ten model matematyczny powinien być specjalnie zbadany.

Pojęcie całki oznaczonej

Podajmy opis matematyczny modelu, który został zbudowany w trzech rozważanych problemach dla funkcji y = f(x), która jest ciągła (ale niekoniecznie nieujemna, jak przyjęto w rozważanych problemach) na odcinku [ a; b]:
1) podzielić odcinek [a; b] na n równych części;
2) suma $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \kropki + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) oblicz $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

W toku analizy matematycznej udowodniono, że granica ta istnieje w przypadku funkcji ciągłej (lub fragmentarycznie ciągłej). Jest wezwany całka oznaczona funkcji y = f(x) na odcinku [a; b] i są oznaczone w ten sposób:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Liczby aib nazywane są granicami całkowania (odpowiednio dolna i górna).

Wróćmy do omówionych powyżej zadań. Definicję obszaru podaną w zadaniu 1 można teraz przepisać w następujący sposób:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
tutaj S jest obszarem krzywoliniowego trapezu pokazanego na powyższym rysunku. Co to jest geometryczne znaczenie całki oznaczonej.

Podaną w zadaniu 2 definicję przemieszczenia s punktu poruszającego się po linii prostej z prędkością v = v(t) w przedziale czasu od t = a do t = b można zapisać następująco:

Formuła Newtona - Leibniza

Na początek odpowiedzmy sobie na pytanie: jaki jest związek między całką oznaczoną a funkcją pierwotną?

Odpowiedź można znaleźć w zadaniu 2. Z jednej strony przemieszczenie s punktu poruszającego się po linii prostej z prędkością v = v(t) w przedziale czasu od t = a do t = b i jest obliczane ze wzoru Formuła
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

Z kolei współrzędna punktu ruchu jest funkcją pierwotną prędkości - oznaczmy ją jako s(t); stąd przemieszczenie s wyraża się wzorem s = s(b) - s(a). W rezultacie otrzymujemy:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
gdzie s(t) jest funkcją pierwotną dla v(t).

W toku analizy matematycznej udowodniono następujące twierdzenie.
Twierdzenie. Jeżeli funkcja y = f(x) jest ciągła na odcinku [a; b], a następnie wzór
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
gdzie F(x) jest funkcją pierwotną dla f(x).

Ta formuła jest zwykle nazywana Formuła Newtona-Leibniza na cześć angielskiego fizyka Izaaka Newtona (1643-1727) i niemieckiego filozofa Gottfrieda Leibniza (1646-1716), którzy otrzymali go niezależnie od siebie i niemal jednocześnie.

W praktyce zamiast pisać F(b) - F(a) używają notacji \(\left. F(x)\right|_a^b \) (czasami nazywa się to podwójna zamiana) i odpowiednio przepisać formułę Newtona-Leibniza w tej postaci:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b \)

Obliczając całkę oznaczoną, najpierw znajdź funkcję pierwotną, a następnie wykonaj podwójne podstawienie.

Na podstawie wzoru Newtona-Leibniza można otrzymać dwie własności całki oznaczonej.

Obiekt 1. Całka z sumy funkcji jest równa sumie całek:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

Nieruchomość 2. Stały czynnik można wyjąć ze znaku całki:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

Obliczanie pól figur płaskich za pomocą całki oznaczonej

Za pomocą całki można obliczyć pole powierzchni nie tylko trapezów krzywoliniowych, ale także płaskich figur bardziej złożonego typu, takich jak ta pokazana na rysunku. Figura P jest ograniczona liniami prostymi x = a, x = b i wykresami funkcji ciągłych y = f(x), y = g(x) oraz na odcinku [a; b] zachodzi nierówność \(g(x) \leq f(x) \). Aby obliczyć pole S takiej figury, postępujemy w następujący sposób:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Zatem pole S figury ograniczone liniami prostymi x = a, x = b oraz wykresy funkcji y = f(x), y = g(x), ciągłe na odcinku i takie, że dla dowolnego x z odcinek [a; b] nierówność \(g(x) \leq f(x) \) jest spełniona, oblicza się ze wzoru
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Tablica całek nieoznaczonych (funkcje pierwotne) niektórych funkcji

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch) )x+C $$

W tym artykule dowiesz się, jak znaleźć obszar figury ograniczonej liniami za pomocą obliczeń całkowych. Po raz pierwszy ze sformułowaniem takiego problemu spotykamy się w szkole średniej, kiedy nauka niektórych całek została właśnie zakończona i nadszedł czas, aby rozpocząć geometryczną interpretację zdobytej wiedzy w praktyce.

Co jest więc potrzebne, aby pomyślnie rozwiązać problem znalezienia obszaru figury za pomocą całek:

• Umiejętność poprawnego rysowania rysunków;
• Umiejętność rozwiązywania całki oznaczonej za pomocą znanego wzoru Newtona-Leibniza;
• Możliwość „zobaczenia” bardziej opłacalnego rozwiązania – tj. zrozumieć, jak w tym czy innym przypadku wygodniej będzie przeprowadzić integrację? Wzdłuż osi x (OX) czy osi y (OY)?
• Cóż, gdzie bez poprawnych obliczeń?) Obejmuje to zrozumienie, jak rozwiązać ten inny typ całek i poprawne obliczenia numeryczne.

Algorytm rozwiązywania problemu obliczania obszaru figury ograniczonej liniami:

1. Budujemy rysunek. Wskazane jest, aby zrobić to na kartce papieru w klatce, na dużą skalę. Nad każdym wykresem podpisujemy ołówkiem nazwę tej funkcji. Podpis wykresów odbywa się wyłącznie dla wygody dalszych obliczeń. Po otrzymaniu wykresu pożądanej liczby w większości przypadków od razu będzie jasne, które granice integracji zostaną zastosowane. W ten sposób rozwiązujemy problem graficznie. Zdarza się jednak, że wartości granic są ułamkowe lub niewymierne. Dlatego możesz wykonać dodatkowe obliczenia, przejdź do kroku drugiego.

2. Jeśli granice całkowania nie są określone wprost, to znajdujemy punkty przecięcia wykresów ze sobą i sprawdzamy, czy nasze rozwiązanie graficzne odpowiada rozwiązaniu analitycznemu.

3. Następnie musisz przeanalizować rysunek. W zależności od tego, jak rozmieszczone są wykresy funkcji, istnieją różne podejścia do znajdowania obszaru figury. Rozważ różne przykłady znajdowania obszaru figury za pomocą całek.

3.1. Najbardziej klasyczną i najprostszą wersją problemu jest znalezienie obszaru krzywoliniowego trapezu. Co to jest trapez krzywoliniowy? Jest to płaska figura ograniczona przez oś x (y=0), prosto x = za, x = b i dowolna krzywa ciągła w przedziale od a przed b. Jednocześnie liczba ta jest nieujemna i znajduje się nie niżej niż oś x. W tym przypadku obszar trapezu krzywoliniowego jest liczbowo równy całce oznaczonej obliczonej za pomocą wzoru Newtona-Leibniza:

Przykład 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Jakie linie definiują sylwetkę? Mamy parabolę y = x2 - 3x + 3, który znajduje się nad osią OH, jest nieujemne, ponieważ wszystkie punkty tej paraboli są dodatnie. Następnie podane proste x = 1 oraz x = 3 które biegną równolegle do osi jednostka organizacyjna, to linie ograniczające figurę po lewej i prawej stronie. Dobrze y = 0, ona jest osią x, która ogranicza figurę od dołu. Wynikowa liczba jest zacieniona, jak widać na rysunku po lewej stronie. W takim przypadku możesz natychmiast przystąpić do rozwiązywania problemu. Przed nami prosty przykład trapezu krzywoliniowego, który następnie rozwiązujemy za pomocą wzoru Newtona-Leibniza.

3.2. W poprzednim akapicie 3.1 analizowano przypadek, gdy trapez krzywoliniowy znajduje się powyżej osi x. Rozważmy teraz przypadek, gdy warunki rozwiązania problemu są takie same, z wyjątkiem tego, że funkcja leży pod osią x. Do standardowego wzoru Newtona-Leibniza dodaje się minus. Jak rozwiązać taki problem, rozważymy dalej.

Przykład 2 . Oblicz pole figury ograniczonej liniami y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.

W tym przykładzie mamy parabolę y=x2+6x+2, która pochodzi spod osi OH, prosto x=-4, x=-1, y=0. Tutaj y = 0 ogranicza pożądaną figurę od góry. Bezpośredni x = -4 oraz x = -1 są to granice, w których obliczona zostanie całka oznaczona. Zasada rozwiązania problemu znalezienia obszaru figury prawie całkowicie pokrywa się z przykładem nr 1. Jedyna różnica polega na tym, że dana funkcja nie jest dodatnia, a także jest ciągła w przedziale [-4; -1] . Co nie znaczy pozytywne? Jak widać z rysunku, figura leżąca w zadanym x ma wyłącznie „ujemne” współrzędne, co musimy zobaczyć i zapamiętać przy rozwiązywaniu zadania. Szukamy obszaru figury za pomocą wzoru Newtona-Leibniza, tylko ze znakiem minus na początku.

Artykuł nie jest zakończony.

Zadanie nr 3. Zrób rysunek i oblicz pole figury ograniczone liniami

Zastosowanie całki do rozwiązywania stosowanych problemów

Obliczanie powierzchni

Całka oznaczona funkcji ciągłej nieujemnej f(x) jest liczbowo równa obszar krzywoliniowego trapezu ograniczony krzywą y \u003d f (x), osią O x i liniami prostymi x \u003d a i x \u003d b. W związku z tym formuła obszaru jest zapisana w następujący sposób:

Rozważ kilka przykładów obliczania pól figur płaskich.

Zadanie nr 1. Oblicz obszar ograniczony liniami y \u003d x 2 +1, y \u003d 0, x \u003d 0, x \u003d 2.

Decyzja. Zbudujmy figurę, której pole będziemy musieli obliczyć.

y \u003d x 2 + 1 to parabola, której gałęzie są skierowane w górę, a parabola jest przesunięta w górę o jedną jednostkę względem osi O y (ryc. 1).

Rysunek 1. Wykres funkcji y = x 2 + 1

Zadanie nr 2. Oblicz obszar ograniczony liniami y \u003d x 2 - 1, y \u003d 0 w zakresie od 0 do 1.

Decyzja. Wykresem tej funkcji jest parabola gałęzi, która jest skierowana w górę, a parabola jest przesunięta w dół o jedną jednostkę względem osi Oy (Rysunek 2).

Ryc. 2. Wykres funkcji y \u003d x 2 - 1

Zadanie nr 3. Zrób rysunek i oblicz pole figury ograniczone liniami

y = 8 + 2x - x 2 i y = 2x - 4.

Decyzja. Pierwsza z tych dwóch linii to parabola z ramionami skierowanymi w dół, ponieważ współczynnik przy x 2 jest ujemny, a druga prosta to linia prosta przecinająca obie osie współrzędnych.

Aby skonstruować parabolę, znajdźmy współrzędne jej wierzchołka: y'=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – wierzchołek odciętej; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 to jego rzędna, N(1;9) to jego wierzchołek.

Teraz znajdujemy punkty przecięcia paraboli i prostej, rozwiązując układ równań:

Zrównywanie prawych stron równania, którego lewe strony są równe.

Otrzymujemy 8 + 2x - x 2 \u003d 2x - 4 lub x 2 - 12 \u003d 0, skąd .

Tak więc punkty są punktami przecięcia paraboli i linii prostej (Rysunek 1).

Rysunek 3 Wykresy funkcji y = 8 + 2x – x 2 i y = 2x – 4

Zbudujmy prostą y = 2x - 4. Przechodzi ona przez punkty (0;-4), (2; 0) na osiach współrzędnych.

Aby zbudować parabolę, możesz również mieć jej punkty przecięcia z osią 0x, czyli pierwiastki równania 8 + 2x - x 2 = 0 lub x 2 - 2x - 8 = 0. Zgodnie z twierdzeniem Vieta jest to łatwo znaleźć jego pierwiastki: x 1 = 2, x 2 = cztery.

Rysunek 3 przedstawia figurę (odcinek paraboliczny M 1 N M 2) ograniczony tymi liniami.

Druga część problemu polega na znalezieniu obszaru tej figury. Jego pole można znaleźć za pomocą całki oznaczonej za pomocą wzoru .

Ze względu na ten warunek otrzymujemy całkę:

2 Obliczanie objętości ciała obrotowego

Objętość ciała uzyskaną z obrotu krzywej y \u003d f (x) wokół osi O x oblicza się według wzoru:

Podczas obracania wokół osi O y formuła wygląda następująco:

Zadanie numer 4. Określ objętość ciała uzyskaną z obrotu krzywoliniowego trapezu ograniczonego liniami prostymi x \u003d 0 x \u003d 3 i krzywą y \u003d wokół osi O x.

Decyzja. Zbudujmy rysunek (rysunek 4).

Rysunek 4. Wykres funkcji y =

Pożądana objętość jest równa

Zadanie numer 5. Oblicz objętość ciała uzyskaną z obrotu krzywoliniowego trapezu ograniczonego krzywą y = x 2 i liniami prostymi y = 0 i y = 4 wokół osi O y .

Decyzja. Mamy:

Sprawdź pytania

a)

Decyzja.

Pierwszym i najważniejszym momentem decyzji jest konstrukcja rysunku.

Zróbmy rysunek:

Równanie y=0 ustawia oś x;

- x=-2 oraz x=1 - prosty, równoległy do ​​osi jednostka organizacyjna;

- y \u003d x 2 +2 - parabola, której gałęzie są skierowane do góry, z wierzchołkiem w punkcie (0;2).

Komentarz. Aby skonstruować parabolę, wystarczy znaleźć punkty jej przecięcia z osiami współrzędnych, tj. kładzenie x=0 znajdź punkt przecięcia z osią jednostka organizacyjna i rozwiązując odpowiednie równanie kwadratowe, znajdź punkt przecięcia z osią Oh .

Wierzchołek paraboli można znaleźć za pomocą wzorów:

Możesz rysować linie i punkt po punkcie.

Na przedziale [-2;1] wykres funkcji y=x 2 +2 położony nad osią Wół , więc:

Odpowiedź: S \u003d 9 jednostek kwadratowych

Po wykonaniu zadania zawsze warto spojrzeć na rysunek i sprawdzić, czy odpowiedź jest prawdziwa. W tym przypadku "na oko" policzymy ilość komórek na rysunku - no cóż, około 9 będzie wpisanych, wydaje się to być prawdą. Jest całkiem jasne, że gdybyśmy mieli, powiedzmy, odpowiedź: 20 jednostek kwadratowych, to oczywiście gdzieś popełniono błąd - 20 komórek wyraźnie nie pasuje do omawianej liczby, co najwyżej tuzin. Jeśli odpowiedź okazała się negatywna, zadanie również zostało rozwiązane niepoprawnie.

Co zrobić, jeśli znajduje się trapez krzywoliniowy pod osią Oh?

b) Oblicz pole figury ograniczonej liniami y=-e x , x=1 i osie współrzędnych.

Decyzja.

Zróbmy rysunek.

Jeśli trapez krzywoliniowy całkowicie pod osią Oh , wtedy jego pole można znaleźć ze wzoru:

Odpowiedź: S=(e-1) jednostka kwadratowa” 1,72 jednostka kwadratowa

Uwaga! Nie myl tych dwóch rodzajów zadań:

1) Jeśli zostaniesz poproszony o rozwiązanie tylko całki oznaczonej bez żadnego znaczenia geometrycznego, może ona być ujemna.

2) Jeśli zostaniesz poproszony o znalezienie obszaru figury za pomocą całki oznaczonej, obszar jest zawsze dodatni! Dlatego właśnie w rozważanym wzorze pojawia się minus.

W praktyce najczęściej figura znajduje się zarówno w górnej, jak i dolnej półpłaszczyźnie.

Z) Znajdź obszar figury płaskiej ograniczony liniami y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.

Decyzja.

Najpierw musisz zrobić rysunek. Ogólnie rzecz biorąc, konstruując rysunek w problemach powierzchniowych, najbardziej interesują nas punkty przecięcia prostych. Znajdź punkty przecięcia paraboli i bezpośredni Można to zrobić na dwa sposoby. Pierwszy sposób jest analityczny.

Rozwiązujemy równanie:

Czyli dolna granica całkowania a=0 , górna granica integracji b=3 .

Budujemy podane proste: 1. Parabola - wierzchołek w punkcie (1;1); przecięcie osi Oh - punkty (0;0) i (0;2). 2. Linia prosta - dwusieczna 2. i 4. kąta współrzędnych. A teraz Uwaga! Jeśli w segmencie [ a; b] pewna funkcja ciągła f(x) większa lub równa pewnej funkcji ciągłej g(x), wówczas obszar odpowiedniej figury można znaleźć według wzoru: . I nie ma znaczenia, gdzie znajduje się figura - nad osią czy pod osią, ale ważne, który wykres jest WYŻSZY (względem innego wykresu), a który PONIŻEJ. W rozważanym przykładzie jest oczywiste, że na odcinku parabola znajduje się nad linią prostą, dlatego konieczne jest odjęcie od

Linie można konstruować punkt po punkcie, a granice całkowania wynajduje się niejako „same”. Niemniej jednak analityczna metoda znajdowania granic nadal czasami musi być stosowana, jeśli np. wykres jest wystarczająco duży lub konstrukcja gwintowana nie ujawniła granic całkowania (mogą być ułamkowe lub niewymierne).

Pożądana figura jest ograniczona parabolą od góry i linią prostą od dołu.

Na segmencie , zgodnie z odpowiednim wzorem:

Odpowiedź: S \u003d 4,5 jednostki kwadratowej

Jak wstawić wzory matematyczne na stronie?

Jeśli kiedykolwiek zajdzie potrzeba dodania jednej lub dwóch formuł matematycznych do strony internetowej, najłatwiej jest to zrobić w sposób opisany w artykule: formuły matematyczne można łatwo wstawić do witryny w postaci obrazów automatycznie generowanych przez Wolfram Alpha. Oprócz prostoty, ta uniwersalna metoda pomoże poprawić widoczność witryny w wyszukiwarkach. To działa od dawna (i myślę, że będzie działać na zawsze), ale jest moralnie przestarzałe.

Jeśli stale używasz formuł matematycznych w swojej witrynie, zalecam użycie MathJax, specjalnej biblioteki JavaScript, która wyświetla notację matematyczną w przeglądarkach internetowych przy użyciu znaczników MathML, LaTeX lub ASCIIMathML.

Istnieją dwa sposoby rozpoczęcia korzystania z MathJax: (1) używając prostego kodu, możesz szybko połączyć skrypt MathJax ze swoją witryną, który zostanie automatycznie załadowany ze zdalnego serwera we właściwym czasie (lista serwerów); (2) prześlij skrypt MathJax ze zdalnego serwera na swój serwer i połącz go ze wszystkimi stronami swojej witryny. Druga metoda jest bardziej złożona i czasochłonna i pozwoli przyspieszyć ładowanie stron Twojej witryny, a jeśli nadrzędny serwer MathJax stanie się z jakiegoś powodu chwilowo niedostępny, nie wpłynie to w żaden sposób na Twoją własną witrynę. Mimo tych zalet wybrałem pierwszą metodę, ponieważ jest prostsza, szybsza i nie wymaga umiejętności technicznych. Podążaj za moim przykładem, a w ciągu 5 minut będziesz mógł korzystać ze wszystkich funkcji MathJax na swojej stronie.

Możesz połączyć skrypt biblioteki MathJax ze zdalnego serwera, używając dwóch opcji kodu pobranych z głównej witryny MathJax lub ze strony dokumentacji:

Jedną z tych opcji kodu należy skopiować i wkleić do kodu swojej strony internetowej, najlepiej między tagami oraz lub zaraz po tagu . Zgodnie z pierwszą opcją MathJax ładuje się szybciej i mniej spowalnia stronę. Ale druga opcja automatycznie śledzi i ładuje najnowsze wersje MathJax. Jeśli wstawisz pierwszy kod, będzie on wymagał okresowej aktualizacji. Jeśli wkleisz drugi kod, strony będą ładować się wolniej, ale nie będziesz musiał stale monitorować aktualizacji MathJax.

Najprostszym sposobem na połączenie MathJax jest Blogger lub WordPress: w panelu sterowania witryny dodaj widżet przeznaczony do wstawiania kodu JavaScript innej firmy, skopiuj do niego pierwszą lub drugą wersję powyższego kodu ładowania i umieść widżet bliżej początek szablonu (nawiasem mówiąc, nie jest to wcale konieczne, ponieważ skrypt MathJax jest ładowany asynchronicznie). To wszystko. Teraz poznaj składnię znaczników MathML, LaTeX i ASCIIMathML i możesz osadzać formuły matematyczne na swoich stronach internetowych.

Każdy fraktal jest zbudowany zgodnie z pewną zasadą, która jest konsekwentnie stosowana nieograniczoną liczbę razy. Każdy taki czas nazywany jest iteracją.

Iteracyjny algorytm konstruowania gąbki Mengera jest dość prosty: oryginalny sześcian o boku 1 jest podzielony płaszczyznami równoległymi do jego ścian na 27 równych sześcianów. Jeden środkowy sześcian i 6 kostek przylegających do niego wzdłuż ścian zostaje z niego usuniętych. Okazuje się, że zestaw składający się z 20 pozostałych mniejszych kostek. Robiąc to samo z każdą z tych kostek, otrzymujemy zestaw składający się z 400 mniejszych kostek. Kontynuując ten proces w nieskończoność, otrzymujemy gąbkę Mengera.