Optymalny mechanizm znajdowania rozwiązania równowagi. Mechanizm równowagi rynkowej

Przyjrzyjmy się mechanizmowi ustalania się równowagi rynkowej, gdy pod wpływem zmian czynników podażowych lub popytowych rynek wychodzi z ϶ᴛᴏtego stanu. Istnieją dwa główne warianty dysproporcji między podażą a popytem: nadmiar i niedobór towarów.

Nadmiar(nadwyżka) towaru – ϶ᴛᴏ taka sytuacja na rynku, gdy podaż towaru po danej cenie przewyższa popyt na niego. W tym przypadku powstaje konkurencja między producentami, walka o nabywców. Wygrywa ten, kto zaoferuje korzystniejsze warunki sprzedaży towarów. W ten sposób rynek ma tendencję do powrotu do stanu równowagi.

deficyt towar – w tym przypadku popyt na towar po danej cenie przewyższa oferowaną ilość towaru. W tej sytuacji powstaje już konkurencja między kupującymi o możliwość zakupu rzadkiego produktu. Wygrywa ten, kto zaoferuje najwyższą cenę za ten produkt. Podwyższona cena przyciąga do niej uwagę producentów, którzy zaczynają rozszerzać produkcję, zwiększając w ten sposób podaż towarów. W rezultacie układ powraca do stanu równowagi.

Na podstawie powyższego dochodzimy do wniosku, że cena realizuje funkcję równoważącą, stymulującą ekspansję produkcji i podaży towarów z niedoborem oraz ograniczającą podaż, uwalniającą rynek z nadwyżek.

Równoważąca rola ceny będzie polegać zarówno na popycie, jak i podaży.

Wyjdziemy z założenia, że ​​ustalona na naszym rynku równowaga została naruszona - pod wpływem jakichkolwiek czynników (np. wzrostu dochodów) nastąpił wzrost popytu, w wyniku czego jego krzywa przesunęła się z D1 w D2(ryc. 4.3 a), a propozycja pozostała niezmieniona.

Jeżeli cena danego produktu nie zmieniła się bezpośrednio po przesunięciu krzywej popytu, to po wzroście popytu wystąpi sytuacja, gdy przy poprzedniej cenie P1 ilość towarów, którą każdy z kupujących może teraz kupić zakup (QD) przekracza ilość, która może być oferowana po danej cenie przez producentów danego towaru Towary (QS). Wielkość popytu przekroczy teraz wielkość podaży tego produktu, co oznacza, że brak towaru w tempie Df = QD – Qs na tym rynku.

Niedobór towaru, jak już wiemy, prowadzi do rywalizacji między nabywcami o możliwość zakupu tego towaru, co prowadzi do wzrostu cen rynkowych. W ϲᴏᴏᴛʙᴇᴛϲᴛʙii z prawem podaży reakcją sprzedawców na wzrost ceny będzie wzrost wolumenu oferowanych towarów. Na wykresie ϶ᴛᴏ zostanie wyrażone poprzez przesunięcie punktu równowagi rynkowej E1 wzdłuż krzywej podaży, aż do przecięcia się z nową krzywą popytu D2 gdzie zostanie osiągnięta nowa równowaga danego rynku E2 s równowaga ilości towarów Q2 i cena równowagi P2.

Ryż. 4.3. Przesunięcie punktu równowagi cenowej.

Przyjrzyjmy się sytuacji, w której stan równowagi jest zakłócany przez stronę podaży.

Wyjdziemy z założenia, że ​​pod wpływem pewnych czynników nastąpił wzrost podaży, w wyniku czego jej krzywa przesunęła się w prawo od pozycji S1 w S2 a popyt pozostał na niezmienionym poziomie (rys. 4.3 b).

Tak długo, jak cena rynkowa pozostaje taka sama (R1) do czego doprowadzi wzrost podaży nadmiar towar w rozmiarze Sp = Qs–QD. W rezultacie istnieje konkurencja sprzedawcy, prowadzące do spadku ceny rynkowej (z P1 przed P2) oraz wzrost wolumenu sprzedawanych towarów. Na wykresie ϶ᴛᴏ zostanie odzwierciedlone przez przesunięcie punktu równowagi rynkowej E1 wzdłuż krzywej popytu, aż przecina się z nową krzywą podaży, co skutkuje nową równowagą E2 z parametrami Q2 oraz P2.

Podobnie można określić wpływ na cenę równowagi i ilość równowagi towarów spadku popytu i spadku podaży.

W literaturze edukacyjnej sformułowano cztery zasady interakcji podaży i popytu.

Wzrost popytu powoduje wzrost ceny równowagi i ilości równowagi towarów.

Spadek popytu powoduje spadek zarówno ceny równowagi, jak i ilości równowagi towarów.

Wzrost podaży pociąga za sobą spadek ceny równowagi i wzrost ilości równowagi towarów.

Spadek podaży pociąga za sobą wzrost ceny równowagi i spadek ilości równowagi towarów.

Warto powiedzieć - korzystając z tych zasad, możesz znaleźć punkt równowagi dla wszelkich zmian podaży i popytu.

Następujące okoliczności mogą przede wszystkim uniemożliwić powrót ceny do poziomu równowagi rynkowej:

administracyjna regulacja cen;

monopolizm producenta lub konsumenta, pozwalając na utrzymanie ceny monopolistycznej, która może być zarówno sztucznie zawyżona, jak i zaniżona.

W grze antagonistycznej naturalne jest, że za optymalny wynik uważa się taki, w którym odejście od niego jest nieopłacalne dla któregokolwiek z graczy. Taki wynik (x*,y*) nazywamy sytuacją równowagi, a zasadę optymalności opartą na znalezieniu sytuacji równowagi nazywamy zasadą równowagi.

Definicja. W grze macierzowej z macierzą wymiarów wynik jest taki stan równowagi lub punkt siodłowy, jeśli

W punkcie siodłowym element macierzy jest zarówno minimum w swoim rzędzie, jak i maksimum w swojej kolumnie. W grze z przykładu element 2 33 jest punktem siodłowym. Optymalne w tej grze są trzecie strategie dla obu graczy. Jeśli pierwszy gracz odbiega od trzeciej strategii, zaczyna wygrywać mniej niż 33. Jeśli drugi gracz odbiega od trzeciej strategii, zaczyna tracić więcej niż 33. Tak więc dla obu graczy nie ma nic lepszego niż konsekwentne trzymanie się trzeciej strategii.

Zasada zachowania optymalnego: jeśli w grze macierzowej występuje punkt siodłowy, to optymalną strategią jest wybór odpowiadający punktowi siodłowemu. Co się stanie, jeśli w grze jest więcej niż jeden punkt siodłowy?

Twierdzenie. Pozwalać dwa dowolne punkty siodłowe w grze macierzowej. Następnie:

Dowód. Z definicji sytuacji równowagi mamy:

Podstawmy w lewą stronę nierówności (2.8) , aw prawą - , w lewą stronę nierówności (2.9) - , w prawą - . Następnie otrzymujemy:

Skąd bierze się równość:

Z twierdzenia wynika, że ​​funkcja wypłaty przyjmuje tę samą wartość we wszystkich sytuacjach równowagi. Dlatego numer jest nazywany kosztem gry. I nazywane są strategie odpowiadające dowolnemu punktowi siodłowemu optymalne strategie odpowiednio gracze 1 i 2. Na mocy (2.7) wszystkie optymalne strategie gracza są wymienne.

Optymalność zachowania graczy nie zmieni się, jeśli zestaw strategii w grze pozostanie ten sam, a funkcja wypłaty zostanie pomnożona przez stałą dodatnią (lub zostanie do niej dodana stała liczba).

Twierdzenie. Aby punkt siodłowy (i*,j*) istniał w grze macierzowej, konieczne i wystarczające jest, aby maksimin był równy minimaksowi:

(2.10)

Dowód. Konieczność. Jeżeli (i*,j*) jest punktem siodłowym, to zgodnie z (2.6):

(2.11)

Mamy jednak:

(2.12)

Z (2.11) i (2.12) otrzymujemy:

(2.13)

Argumentując podobnie, dochodzimy do równości:

W ten sposób,

Z drugiej strony, odwrotna nierówność (2.5) jest zawsze spełniona, więc (2.10) jest prawdziwa.

Adekwatność. Niech (2.10) będzie prawdziwe. Udowodnijmy istnienie punktu siodłowego. Mamy:

Zgodnie z równością (2.10) nierówności (2.15) i (2.16) zamieniają się w równości. Po czym mamy:

Twierdzenie zostało udowodnione. Po drodze okazuje się, że suma wartości maximin i minimax jest równa cenie gry.

Rozszerzenie gry mieszanej

Rozważmy grę macierzową G. Jeśli istnieje w niej sytuacja równowagi, to minimaks jest równy maksiminowi. Co więcej, każdy z graczy może przekazać drugiemu graczowi informacje o swojej optymalnej strategii. Jego przeciwnik nie będzie mógł czerpać żadnych dodatkowych korzyści z tych informacji. Załóżmy teraz, że w grze G nie ma sytuacji równowagi. Następnie:

W tym przypadku strategie minimax i maximin nie są stabilne. Gracze mogą mieć motywację do odejścia od swoich rozważnych strategii związanych z możliwością uzyskania większej wypłaty, ale także z ryzykiem przegranej, tj. Uzyskania wypłaty mniejszej niż przy użyciu rozważnej strategii. W przypadku stosowania ryzykownych strategii przekazanie informacji o nich przeciwnikowi ma niekorzystne konsekwencje: gracz automatycznie otrzymuje mniejszą wypłatę niż w przypadku strategii ostrożnej.

Przykład 3. Niech macierz gry będzie wyglądać następująco:

Dla takiej macierzy, tj. równowaga nie istnieje. Ostrożne strategie graczy to i*=1, j*=2. Niech gracz 2 zastosuje strategię j*=2, a gracz 1 wybierze strategię i=2. wtedy ten ostatni otrzyma wypłatę 3, czyli o dwie jednostki więcej niż maksimin. Jeśli natomiast gracz 2 odgadnie plany gracza 1, zmieni swoją strategię na j=1, a wtedy pierwszy otrzyma wypłatę równą 0, czyli mniejszą niż jego maximin. Podobne rozumowanie można przeprowadzić dla drugiego gracza. Ogólnie można stwierdzić, że zastosowanie strategii awanturniczej w odrębnej grze gry może przynieść wynik większy niż gwarantowany, jednak jej zastosowanie wiąże się z ryzykiem. Powstaje pytanie, czy możliwe jest połączenie niezawodnej, ostrożnej strategii z awanturniczą w taki sposób, aby zwiększyć swoją średnią wypłatę? Zasadniczo pytanie brzmi: jak podzielić wypłatę (2,17) między graczy?

Okazuje się, że rozsądnym rozwiązaniem jest zastosowanie strategii mieszanej, czyli losowego wyboru czystych strategii. Odwołaj to strategia gracza 1 nazywana jest mieszaną, jeśli wyboru i-tego rzędu dokonuje on z pewnym prawdopodobieństwem pi . Taką strategię można utożsamić z rozkładem prawdopodobieństwa na wielu liniach. Załóżmy, że pierwszy gracz ma m czystych strategii, a drugi gracz ma n czystych strategii. Wtedy ich strategie mieszane są wektorami prawdopodobieństwa:

(2.18)

Rozważ dwie możliwe strategie mieszane dla pierwszego gracza w przykładzie 3: . Strategie te różnią się rozkładem prawdopodobieństwa między czystymi strategiami. Jeśli w pierwszym przypadku rzędy macierzy są wybierane przez gracza z równym prawdopodobieństwem, to w drugim przypadku z różnymi. Kiedy mówimy o strategii mieszanej, mamy na myśli wybór losowy, a nie wybór „losowy”, ale wybór oparty na działaniu mechanizmu losowego, który zapewnia wymagany rozkład prawdopodobieństwa. Tak więc do wdrożenia pierwszej ze strategii mieszanych dobrze nadaje się rzut monetą. Gracz wybiera pierwszą lub drugą linię, w zależności od tego, jak wypadnie moneta. Przeciętnie gracz będzie wybierał zarówno pierwszy, jak i drugi rząd równie często, ale wybór w danej iteracji gry nie podlega żadnej ustalonej regule i ma maksymalny stopień tajności: przed wdrożeniem mechanizmu losowego , nie jest znane nawet pierwszemu graczowi. Aby wdrożyć drugą strategię mieszaną, dobrze nadaje się mechanizm losowania. Gracz bierze siedem identycznych kartek papieru, zaznaczając trzy z nich krzyżykiem i wrzuca je do kapelusza. Następnie losowo wyciąga jedną z nich. Zgodnie z klasyczną teorią prawdopodobieństwa wyciągnie kartkę z krzyżykiem z prawdopodobieństwem 3/7 i czystą kartkę z prawdopodobieństwem 4/7. Taki mechanizm losowania jest w stanie zrealizować dowolne racjonalne prawdopodobieństwo.

Pozwól graczom stosować strategie mieszane (2.18). Wówczas wypłata pierwszego gracza w pojedynczej iteracji gry jest zmienną losową: v(X, Y). Ponieważ gracze wybierają strategie niezależnie od siebie, to zgodnie z twierdzeniem o mnożeniu prawdopodobieństwa prawdopodobieństwo wybrania wyniku (i, j) z wygraną jest równe iloczynowi prawdopodobieństw . Następnie prawo dystrybucji zmiennej losowej v(X, Y) podane w poniższej tabeli

Teraz pozwól grze toczyć się w nieskończoność. Wtedy średnia wypłata w takiej grze jest równa matematycznemu oczekiwaniu wartości v(X, Y).

(2.19)

Dla skończonej, ale dostatecznie dużej liczby iteracji gry średnia wypłata będzie nieznacznie różnić się od wartości (2,19).

Przykład 4. Oblicz średnią wypłatę (2,19) dla gry z przykładu 3, w której gracze stosują następujące strategie: . Macierz wypłat i macierz prawdopodobieństwa są następujące:

Znajdźmy średnią:

Zatem średnia wypłata (2,20) jest pośrednia między maksiminem a minimaksem.

Ponieważ dla dowolnej pary strategii mieszanych X i Y można obliczyć średnią wartość gry, pojawia się problem znalezienia strategii optymalnej. Rozpoczęcie od zbadania ostrożnych strategii jest naturalne. Ostrożna strategia pierwszego gracza zapewnia mu maximin. Ostrożna strategia drugiego gracza nie pozwala pierwszemu wygrać więcej niż minimaks. Najbardziej znaczący wynik w teorii gier o przeciwnych interesach można uznać za następujący:

Twierdzenie. Każda gra macierzowa ma sytuację równowagi w strategiach mieszanych. Dowód tego twierdzenia nie jest łatwy. W tym kursie jest pominięty.

Konsekwencje: Istnienie sytuacji równowagi oznacza, że ​​maksimin jest równy minimaksowi, a zatem każda gra macierzowa ma swoją cenę. Optymalną strategią dla pierwszego gracza jest strategia maximin. Optymalną strategią drugiego jest minimax. Ponieważ problem znalezienia optymalnych strategii został rozwiązany, mówimy, że każda gra macierzowa rozpuszczalny na zbiorze strategii mieszanych.

Rozwiązanie gry 2x2

Przykład 5. Rozwiąż grę. Nietrudno sprawdzić, czy nie ma punktu siodłowego. Wskaż optymalną strategię pierwszego gracza (x, 1-x) jest wektorem kolumnowym, ale dla wygody zapiszemy go jako ciąg znaków. Wskaż optymalną strategię drugiego gracza (y,1-y).

Wypłata pierwszego gracza jest zmienną losową o następującym rozkładzie:

Znajdujemy średnią wypłatę dla iteracji pierwszego gracza - matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej v(x,y):

Przekształćmy to wyrażenie:

To matematyczne oczekiwanie składa się ze stałej (5/7) i części zmiennej: 14(x-11/14)(y-8/14). Jeśli wartość y różni się od 8/14, wtedy pierwszy gracz zawsze może wybrać X w taki sposób, aby część zmienna była dodatnia, zwiększając Twoje wygrane. Jeśli wartość X różni się od 11/14, wtedy drugi gracz zawsze może wybrać y tak, aby część zmienna była ujemna, zmniejszając wypłatę pierwszego gracza. Zatem punkt siodłowy jest określony przez równości: x*=11/14, y*=8/14.

2.5 Rozwiązywanie gier

Przykład pokaże, jak rozwiązywać takie gry.

Przykład 6. Rozwiąż grę . Dbamy o to, aby nie było punktu siodłowego. Oznacz strategię mieszaną pierwszego gracza X=(x, 1-x) jest wektorem kolumnowym, ale dla wygody zapiszemy go jako ciąg znaków.

Niech pierwszy gracz zastosuje strategię X, a drugi swoją j-tą czystą strategię. Oznaczmy średnią wypłatę pierwszego gracza w tej sytuacji jako . Mamy:

Narysujmy wykresy funkcji (2.21) na odcinku .

Rzędna punktu znajdującego się na dowolnym odcinku linii odpowiada wypłacie pierwszego gracza w sytuacji, gdy stosuje on strategię mieszaną (x,(1-x)), a drugi gracz odpowiednią czystą strategią. Gwarantowanym wynikiem pierwszego gracza jest dolna obwiednia rodziny linii (łamane ABC). Najwyższy punkt tej przerywanej linii (punkt B) to maksymalny gwarantowany wynik gracza 1. Odcięta punktu B odpowiada optymalnej strategii pierwszego gracza.

Ponieważ pożądanym punktem B jest przecięcie prostych, a następnie jego odciętą można znaleźć jako rozwiązanie równania:

Zatem optymalna strategia mieszana pierwszego gracza to (5/9, 4/9). Rzędna punktu B jest ceną gry. jest równe:

(2.22)

Zauważ, że linia odpowiadająca drugiej strategii drugiego gracza przechodzi nad punktem B. Oznacza to, że jeśli pierwszy gracz zastosuje swoją optymalną strategię, a drugi gracz zastosuje drugą, to strata drugiego gracza wzrasta w porównaniu do zastosowania strategii 1 lub 3. Zatem druga strategia nie może uczestniczyć w optymalnej strategii drugiego gracza. Optymalna strategia dla gracza 2 powinna wyglądać następująco: . Zwykle nazywane są czyste strategie 1 i 3 drugiego gracza, które mają niezerowe składowe w strategii optymalnej istotne. Strategia 2 nazywa się nieistotny. Z powyższego rysunku, jak również z równości (2.22), można zauważyć, że gdy pierwszy gracz stosuje swoją optymalną strategię, wypłata drugiego gracza nie zależy od tego, której z podstawowych strategii użyje. Może też zastosować dowolną strategię mieszaną polegającą na zasadniczych (w szczególności optymalnych), wypłata również w tym przypadku się nie zmieni. Całkowicie analogiczne stwierdzenie jest również prawdziwe w odwrotnym przypadku. Jeżeli drugi gracz zastosuje swoją optymalną strategię, to wypłata pierwszego gracza nie zależy od tego, której z jego podstawowych strategii użyje i jest równa kosztowi gry. Korzystając z tego stwierdzenia, znajdujemy optymalną strategię dla drugiego gracza.

Strategie optymalne w teorii konfliktów to takie strategie, które prowadzą graczy do stabilnej równowagi, tj. pewne sytuacje, które zadowolą wszystkich graczy.

Optymalność rozwiązania w teorii gier opiera się na koncepcji stan równowagi:

1) żadnemu z graczy nie opłaca się odchodzić od sytuacji równowagi, jeśli wszyscy pozostali w niej pozostają,

2) znaczenie równowagi – przy wielokrotnym powtarzaniu gry gracze dojdą do stanu równowagi, rozpoczynając grę w dowolnej sytuacji strategicznej.

W każdej interakcji mogą istnieć następujące rodzaje równowagi:

1. równowaga w ostrożnych strategiach . Określone przez strategie, które zapewniają graczom gwarantowany wynik;

2. równowaga w strategiach dominujących .

Dominująca strategia to taki plan działania, który zapewnia uczestnikowi maksymalny zysk, niezależnie od działań drugiego uczestnika. Zatem równowaga dominujących strategii będzie przecięciem dominujących strategii obu uczestników gry.

Jeśli optymalne strategie graczy dominują nad wszystkimi innymi strategiami, to w grze panuje równowaga w dominujących strategiach. W grze dylematu więźnia zestaw strategii równowagi Nasha będzie („przyznaj się - przyznaj się”). Co więcej, należy zauważyć, że zarówno dla gracza A, jak i dla gracza B „rozpoznawanie” jest dominującą strategią, podczas gdy „nie rozpoznaje” jest zdominowaną strategią;

3. równowaga Nasha . Równowaga Nasha jest rodzajem gry decyzyjnej dwóch lub więcej graczy, w której żaden uczestnik nie może zwiększyć wygranej poprzez jednostronną zmianę swojej decyzji, gdy inni uczestnicy nie zmieniają swojej decyzji.

powiedzmy grę n twarze w postaci normalnej, gdzie jest zbiorem czystych strategii i jest zbiorem wypłat.

Gdy każdy gracz wybierze strategię w profilu strategii, gracz otrzymuje wypłatę. Co więcej, wypłata zależy od całego profilu strategii: nie tylko od strategii wybranej przez samego gracza, ale także od strategii innych osób. Profil strategii jest równowagą Nasha, jeśli zmiana strategii nie jest korzystna dla żadnego gracza, to znaczy dla żadnego

Gra może mieć równowagę Nasha zarówno w strategiach czystych, jak i mieszanych.

Nash udowodnił, że jeśli wolno strategie mieszane, a następnie w każdej grze n gracze będą mieli co najmniej jedną równowagę Nasha.

W sytuacji równowagi Nasha strategia każdego gracza zapewnia mu najlepszą odpowiedź na strategie innych graczy;

4. Równowaga Stackelberga. modelu Stackelberga– teoretyczno-gierowy model rynku oligopolistycznego w warunkach asymetrii informacji. W tym modelu zachowanie firm jest opisywane przez dynamiczną grę z kompletną doskonałą informacją, w której zachowanie firm jest modelowane za pomocą statyczny gry z pełną informacją. Główną cechą gry jest obecność wiodącej firmy, która jako pierwsza ustala wielkość produkcji towarów, a pozostałe firmy kierują się nią w swoich obliczeniach. Podstawowe wymagania gry:

Branża wytwarza produkt jednorodny: różnice w produktach różnych firm są znikome, co oznacza, że ​​kupujący przy wyborze firmy, od której kupuje, skupia się tylko na cenie;

Branża ma niewielką liczbę firm.

firmy ustalają ilość wytwarzanych produktów, a ich cenę ustala się na podstawie popytu;

Istnieje tak zwana firma liderska, na której wielkości produkcji kierują się inne firmy.

Tak więc model Stackelberga służy do znajdowania optymalnego rozwiązania w grach dynamicznych i odpowiada maksymalnej wypłacie graczy, w oparciu o warunki, które rozwinęły się po wyborze już dokonanym przez jednego lub więcej graczy. Równowaga Stackelberga.- sytuacja, w której żaden z graczy nie może jednostronnie zwiększyć swojej wygranej, a decyzje podejmowane są najpierw przez jednego gracza i znane drugiemu graczowi. W grze dylemat więźnia równowaga Stackelberga zostanie osiągnięta w kwadracie (1; 1) - „przyznają się” przez obu przestępców;

5. optymalność Pareto- taki stan systemu, w którym nie można poprawić wartości poszczególnych kryteriów opisujących stan systemu bez pogorszenia pozycji innych graczy.

Zasada Pareto mówi: „Każda zmiana, która nie powoduje strat, ale przynosi korzyści niektórym ludziom (w ich własnej ocenie), jest poprawą”. Tym samym uznaje się prawo do wszelkich zmian, które nikomu nie przynoszą dodatkowych szkód.

Zbiór stanów systemu, które są optymalne w sensie Pareto, nazywany jest „zbiorem Pareto”, „zbiorem alternatyw optymalnych w sensie Pareto” lub „zbiorem alternatyw optymalnych”.

Sytuacja, w której osiągnięto efektywność Pareto, to sytuacja, w której wyczerpały się wszystkie korzyści płynące z wymiany.

Efektywność Pareto jest jedną z centralnych koncepcji współczesnej ekonomii. W oparciu o tę koncepcję konstruowane są pierwsze i drugie fundamentalne twierdzenia o dobrobycie.

Jednym z zastosowań optymalności Pareto jest rozkład Pareto zasobów (pracy i kapitału) w międzynarodowej integracji gospodarczej, tj. unia gospodarcza dwóch lub więcej państw. Co ciekawe, rozkład Pareto przed i po międzynarodowej integracji gospodarczej został odpowiednio opisany matematycznie (Dalimov R.T., 2008). Analiza wykazała, że ​​wartość dodana sektorów i dochód zasobów pracy poruszają się w przeciwnych kierunkach, zgodnie ze znanym równaniem przewodzenia ciepła, podobnym do gazu lub cieczy w przestrzeni, co umożliwia zastosowanie zastosowanej techniki analizy w fizyce w odniesieniu do ekonomicznych problemów migracji parametrów ekonomicznych.

Optymalny w sensie Pareto stwierdza, że ​​dobrobyt społeczeństwa osiąga maksimum, a podział zasobów staje się optymalny, jeśli jakakolwiek zmiana w tym podziale pogarsza dobrobyt przynajmniej jednego podmiotu systemu gospodarczego.

Pareto-optymalny stan rynku- sytuacja, w której niemożliwe jest poprawienie pozycji któregokolwiek uczestnika procesu gospodarczego bez jednoczesnego obniżenia dobrobytu co najmniej jednego z pozostałych.

Zgodnie z kryterium Pareto (kryterium wzrostu dobrobytu społecznego) dążenie do optimum jest możliwe tylko przy takiej dystrybucji zasobów, która zwiększa dobrobyt przynajmniej jednej osoby, nie szkodząc nikomu innemu.

O sytuacji S* mówi się, że jest dominującą w Pareto sytuacją S, jeśli:

dla każdego gracza jego wypłata w S<=S*

· istnieje co najmniej jeden gracz, dla którego jego wypłata w sytuacji S*>S

W problemie „dylematu więźnia” równowaga Pareto, gdy niemożliwe jest poprawienie pozycji któregokolwiek z graczy bez pogorszenia pozycji drugiego, odpowiada sytuacji kwadratu (2; 2).

Rozważać Przykład 1.

Łącząc linie podaży i popytu na jednym wykresie, otrzymujemy graficzną reprezentację równowagi we współrzędnych P, Q(Rys. 2.6). Punkt przecięcia prostych ma współrzędne (P*, Q*), gdzie R* - Cena równowagi, Q*- równowaga wielkości produkcji i konsumpcji.

Równowaga rynkowa- jest to stan rynku, w którym przy danym poziomie cen wielkość popytu jest równa ilości podaży.

Tylko w punkcie równowagi mi rynek jest zrównoważony, żaden z uczestników rynku nie ma bodźców do zmiany sytuacji. Oznacza to, że równowaga rynkowa ma tę właściwość zrównoważony rozwój - w przypadku stanu nierównowagi podmioty rynkowe są zmotywowane do przywrócenia równowagi na rynku. Do udowodnienia stabilności zwykle stosuje się logikę L. Walrasa lub A. Marshalla.

Zdaniem L. Walrasa przy zbyt wysokich cenach występuje nadwyżka podaży – nadprodukcja (segment A-B na ryc. 2.6i), taki rynek nazywa się rynek nabywcy ponieważ kupujący ma możliwość żądania obniżenia ceny przy zawieraniu transakcji. W takiej sytuacji przede wszystkim sprzedawca nie jest zainteresowany, który jest zmuszony do obniżenia cen i zmniejszenia wielkości produkcji. Gdy ceny spadają, wielkość popytu wzrasta A-B kurczy się, aż osiągnie punkt równowagi MI.

Przy niskich cenach występuje nadwyżka popytu – rozwija się niedobór (segment CFna Ryc. 2.6a) rynek sprzedawcy. Kupujący jest zmuszony

Jeśli konsument ogranicza konsumpcję i przepłaca za rzadkie dobro, wraz ze wzrostem ceny podaż rośnie, a niedobór maleje, aż rynek się zrównoważy.

Według A. Marshalla (ryc. 2.66), w przypadku małych wielkości produkcji cena popytu przewyższa cenę sprzedawcy, w przypadku dużych ilości - odwrotnie. W każdym razie sytuacja braku równowagi stymuluje przesunięcie ceny lub wielkości podaży i popytu w kierunku równowagi. równowaga (a) według Walrasa – cena reguluje nierównowagę podaży i popytu, (b) według Marshalla ceny kupującego i sprzedającego są równoważone zmianą wolumenu.

Ryż. 2.6. Ustalenie równowagi rynkowej: c) według L. Walrasa; b) wg A. Marshalla

Zmiana popytu lub podaży rynkowej prowadzi do zmiany równowagi (rys. 2.7). Jeśli np. popyt rynkowy rośnie, to linia popytu przesuwa się w prawo, wtedy cena równowagi i wolumen rosną. Jeśli podaż rynkowa maleje, linia podaży przesuwa się w lewo, co powoduje wzrost ceny i spadek wolumenu.

Ten model rynku jest statyczny, ponieważ czas w nim nie występuje.

model „pająka”.

Jako przykład dynamicznego modelu równowagi rynkowej przedstawiamy najprostszy model „pajęczyny”. Załóżmy, że wielkość popytu zależy od poziomu cen w bieżącym okresie t, a wielkość podaży – z cen poprzedniego okresu t-1:

Q re ja = Q re ja (P t) , Q s ja = Q s ja (P t -1) ,

gdzie t = 0,1….T jest wartością dyskretną okresu czasu.

Ryż. 2.7. Zmiana równowagi rynkowej:

a) ze względu na wzrost popytu; b) z powodu spadku

propozycje

Cena rynkowa Pt może nie odpowiadać cenie równowagi R*, i są trzy możliwe dynamiki Pt(Rys. 2.8).

Wariant trajektorii rozwoju w tym modelu zależy od stosunku nachylenia linii podaży i popytu.

Ryż. 2.8. Model „pająka” równowagi rynkowej:

a) odchylenie od równowagi maleje; 5) odchylenie

wzrosty od równowagi (model „katastrofy”); c) rynek

oscyluje cyklicznie wokół punktu równowagi, ale równowagi

Temat 4. Teoria gier i modelowanie interakcji.

1. Podstawowe pojęcia teorii gier.

2. Rodzaje równowagi: równowaga Nasha, Stekelberga, równowaga Pareto-optymalna, równowaga strategii dominujących.

3. Podstawowe modele teorii gier.

Podstawowe pojęcia teorii gier.

Wykorzystanie metod matematycznych, do których zalicza się teorię gier, w analizie procesów gospodarczych umożliwia identyfikację takich trendów, zależności, które przy zastosowaniu innych metod pozostają ukryte, a nawet uzyskanie bardzo nieoczekiwanych wyników.

Należy zauważyć, że teoria gier jest jedną z najmłodszych dyscyplin matematycznych. Jej powstanie jako samodzielnej gałęzi matematyki przypisuje się połowie lat pięćdziesiątych XX wieku, kiedy to ukazała się słynna monografia F. Neumanna i O. Morgensterna „Teoria gier i zachowań ekonomicznych”. Początki teorii gier związane z pracą E. Porela (1921).”

Do tej pory teoria gier przekształciła się w cały kierunek matematyczny, bogaty w ciekawe wyniki i posiadający dużą liczbę praktycznych zaleceń i zastosowań.

Rozważmy główne założenia i koncepcje modelu gier interakcji międzyludzkich.

1. Liczba wchodzących w interakcje osób wynosi dwa. Jednostki nazywane są graczami. Koncepcja gracza pozwala na modelowanie ról społecznych jednostki: sprzedawcy, kupującego, męża, żony itp. Gra to uproszczone przedstawienie interakcji dwóch osób o różnych lub podobnych rolach społecznych, np. kupujący - sprzedawca, sprzedawca - sprzedawca itp.

2. Każda osoba ma ustalony zestaw zachowań lub alternatyw. Liczba opcji zachowania dla różnych graczy może nie być taka sama.

3. Interakcję międzyludzką uważa się za zrealizowaną, jeśli obaj gracze jednocześnie wybierają opcje swojego zachowania i postępują zgodnie z nimi. Pojedynczy akt interakcji międzyludzkiej nazywany jest przebiegiem gry. Zakłada się, że czas trwania aktu interakcji wynosi zero.

4. Przebieg gry opisują dwie liczby całkowite – wybrana liczba opcji zachowania (ruchu) pierwszego gracza oraz wybrana liczba opcji zachowania (ruchu) drugiego gracza. Maksymalna możliwa liczba różnych ruchów w grze jest równa iloczynowi całkowitej liczby ruchów pierwszego gracza i całkowitej liczby ruchów drugiego gracza.

5. Każda interakcja jednostek lub przebieg gry otrzymuje swój numer seryjny: 1, 2, 3 itd. Nie należy mylić pojęcia „ruchu w grze” (para liczb) i „liczby ruchu w grze” (pojedynczy numer). Zakłada się, że interakcje zachodzą regularnie w regularnych odstępach czasu, więc liczba tur gry wskazuje długość okresu, w którym te osoby wchodzą ze sobą w interakcję.

6. Każdy gracz dąży do osiągnięcia maksymalnej wartości jakiegoś wskaźnika docelowego, który nazywa się użytecznością lub wypłatą. Tym samym gracz ma cechy „człowieka ekonomicznego”. Wypłata gracza może być dodatnia lub ujemna. Negatywna wygrana jest również nazywana przegraną.

7. Każdemu ruchowi w grze (parze alternatyw wybranych przez graczy) odpowiada unikalna para wypłat graczy. Zależność wypłat graczy od wybranych przez nich ruchów opisuje macierz gry lub macierz wypłat. Wiersze tej macierzy odpowiadają alternatywom (ruchom) pierwszego gracza, a kolumny odpowiadają alternatywom (ruchom) drugiego gracza. Elementami macierzy gry są pary wypłat odpowiadające odpowiedniemu wierszowi i kolumnie (ruchy graczy). Wypłata pierwszego gracza (pierwsza liczba w komórce macierzy gry) zależy nie tylko od jego ruchu (numer wiersza), ale także od ruchu drugiego gracza (numer kolumny). Dlatego przed realizacją interakcji jednostka nie zna dokładnej wysokości swojego zysku. Innymi słowy, wybór zachowania gracza dokonywany jest w warunkach niepewności, tj. gracz ma cechy „osoby instytucjonalnej”.

8. Strategia gracza to nawykowy stereotyp zachowania, którym gracz kieruje się, wybierając alternatywne zachowanie przez określony czas. Strategia gracza jest określona przez prawdopodobieństwa (lub częstotliwości) wyboru wszystkich możliwych zachowań. Innymi słowy, strategia gracza jest wektorem, którego liczba współrzędnych jest równa całkowitej liczbie możliwych alternatyw, a i-ta współrzędna jest równa prawdopodobieństwu (częstości) wyboru i-tej alternatywy. Oczywiste jest, że suma wartości wszystkich współrzędnych danego wektora jest równa jeden.

Jeżeli gracz w rozpatrywanym okresie czasu wybierze tylko jeden wariant zachowania, to strategia gracza jest wywoływana czysty.

Wszystkie współrzędne odpowiedniego czystego wektora strategii są równe zeru, z wyjątkiem jednego, który jest równy jeden.

Nazywa się strategię, która nie jest czysta mieszany.

W tym przypadku wektor strategii gracza ma co najmniej dwie niezerowe współrzędne. Reagują na aktywne zachowania. Gracz stosujący strategię mieszaną zmienia aktywne zachowania zgodnie z określonymi prawdopodobieństwami (częstotliwościami) wyboru. W dalszej części dla uproszczenia prezentacji materiału przyjmiemy, że gracz zawsze kieruje się jakąś czystą strategią, tj. w rozpatrywanym okresie niezmiennie wybiera jedyny wariant zachowania z danego zbioru alternatyw.

Osobę instytucjonalną charakteryzuje zmienność jej zachowania, która zależy od jej stanu wewnętrznego, doświadczenia życiowego, zewnętrznego środowiska społecznego itp. W ramach podejścia gry do badania instytucji ta właściwość osoby instytucjonalnej wyraża się w możliwość zmiany strategii przez gracza. Gdyby wśród strategii gracza zawsze istniała jedna obiektywnie najlepsza, to niezmiennie podążałby za nią, a zmiana strategii byłaby bezcelowa. Ale w prawdziwym życiu osoba zwykle rozważa kilka strategii zachowania. Nie można obiektywnie wyróżnić najlepszych spośród nich. Model gier interakcji międzyludzkich pozwala nam zbadać tę cechę zachowań instytucjonalnych, ponieważ obejmuje szereg strategii behawioralnych, które się nie wykluczają i odzwierciedlają różne aspekty zachowania osoby instytucjonalnej. Przyjrzyjmy się tym zachowaniom.

matryca gry

Wyróżnić solidarny oraz niesolidarny strategie zachowania. Te pierwsze są najbardziej typowe dla „człowieka instytucjonalnego”, drugie zaś – dla „człowieka ekonomicznego”.

niesolidarny strategie behawioralne charakteryzują się tym, że jednostka samodzielnie wybiera wariant swojego zachowania, podczas gdy albo w ogóle nie bierze pod uwagę zachowania innej jednostki, albo na podstawie posiadanych doświadczeń sugeruje możliwy wariant swojego zachowania .

Główne typy zachowań niesolidarnościowych obejmują: irracjonalny, ostrożny, optymalizacja, zboczeniec oraz innowacyjny.

1) Irracjonalne zachowanie. Oznaczmy dwie strategie pierwszego gracza odpowiednio jako A i B. Strategia A nazywana jest dominującą w stosunku do strategii B, jeśli dla dowolnego ruchu drugiego gracza wypłata pierwszego gracza odpowiadająca strategii A jest większa niż jego wypłata odpowiadająca strategii B. Zatem strategia B jest obiektywnie gorsza w odniesieniu do strategii A.

Jeśli strategia A zawsze może być dowolnie wybrana przez gracza, to strategia B nigdy nie powinna być wybierana w ogóle. Jeśli jednak pierwszy gracz wybierze strategię B, to jego zachowanie w tym przypadku nazywamy irracjonalnym. Aby zidentyfikować irracjonalne zachowanie gracza, wystarczy przeanalizować macierz jego wypłat: macierz wypłat innego gracza nie jest w tym przypadku wykorzystywana.

Należy zauważyć, że termin „irracjonalne zachowanie” został zapożyczony z teorii neoklasycznej. Oznacza to tylko, że wybór tej strategii nie jest oczywiście najlepszy w sytuacji, gdy obaj gracze znajdują się w antagonistycznej konfrontacji, co jest typowe dla „ekonomicznego człowieka”. Ale dla „osoby instytucjonalnej”, która wchodzi w interakcje interpersonalne z innymi ludźmi, irracjonalne zachowanie jest nie tylko możliwe, ale może okazać się najbardziej rozsądną opcją zachowania. Przykładem tego jest gra Dylemat więźnia.

2) Ostrożne zachowanie. „Człowiek instytucjonalny”, w przeciwieństwie do „człowieka ekonomicznego”, nie jest w pełni racjonalny, tzn. nie zawsze wybiera najlepsze zachowanie maksymalizujące zysk. Ograniczona racjonalność „osoby instytucjonalnej” wyraża się w jej niezdolności do wyboru najlepszej opcji zachowania ze względu na dużą liczbę alternatyw, skomplikowany algorytm wyznaczania alternatywy optymalnej, ograniczony czas na podjęcie decyzji itp. Jednocześnie pojęcie ograniczonej racjonalności sugeruje, że biorąc pod uwagę wszystkie złożoności wyboru, osoba jest w stanie wybrać w miarę dobrą alternatywę.

W podejściu gry do badania instytucji ograniczoną racjonalność jednostki ilustruje ostrożne zachowanie gracza.

Strategia zapobiegawcza- jest to strategia gracza, która gwarantuje mu określoną wypłatę, niezależnie od wyboru (ruchu) drugiego gracza. Ostrożna strategia jest również nazywana maksiminem, ponieważ jest obliczana poprzez znalezienie wartości maksymalnej z kilku wartości minimalnych.

Ostrożna strategia pierwszego gracza jest zdefiniowana w następujący sposób. W każdym rzędzie macierzy jego wypłat znajduje się element minimalny, a następnie spośród takich elementów minimalnych wybiera się maksimum, czyli maksimina pierwszego gracza. Linia matrycy gry, na której znajduje się maksimin pierwszego gracza, odpowiada jego ostrożnej strategii. Ostrożna strategia drugiego gracza uzyskuje się podobnie. W każdej kolumnie macierzy jej wypłat znajduje się element minimalny, a następnie z takich elementów minimalnych wyznaczany jest element maksymalny. Kolumna matrycy gry, w której znajduje się maksimin drugiego gracza, odpowiada jego ostrożnej strategii. Każdy gracz może mieć kilka ostrożnych strategii, ale wszystkie mają tę samą wartość maksymina (maksymalna minimalna strategia) lub gwarantowana wygrana. W każdej grze macierzowej istnieją ostrożne strategie. Aby zidentyfikować ostrożną strategię gracza, wystarczy przeanalizować jego macierz wypłat, podczas gdy macierz wypłat innego gracza nie jest używana. Ta cecha jest wspólna dla irracjonalnych i ostrożnych zachowań.

3) Optymalizacja zachowania. W praktyce biznesowej często dochodzi do sytuacji, gdy podmioty gospodarcze (np. sprzedający i stały kupujący) w toku długotrwałych interakcji ze sobą znajdują strategie behawioralne, które odpowiadają obu stronom, a zatem są stosowane przez „graczy” dla długi okres czasu. W podejściu gier do badania instytucji opisana sytuacja jest modelowana za pomocą koncepcji strategii równowagi. Para takich strategii charakteryzuje się następującą właściwością: jeżeli pierwszy gracz odstąpi od swojej strategii równowagi (wybierze inną), a drugi gracz kontynuuje swoją strategię równowagi, to pierwszy gracz ponosi szkodę w postaci spadek wypłaty. Komórka macierzy gry znajdująca się na przecięciu wiersza i kolumny odpowiadającej parze strategii równowagi nazywana jest punktem równowagi. Macierz gry może mieć kilka punktów równowagi lub może ich wcale nie mieć.

Zachowanie gracza stosującego strategię równowagi nazywa się optymalizacją ( zachowanie minimax lub strategia minimum-maksimum).

Różni się od maksymalizacji zachowania. Po pierwsze, równowaga wypłat gracza nie jest maksymalną ze wszystkich możliwych wypłat. Odpowiada nie maksimum globalnemu, ale optimum lokalnemu, czyli maksimum globalne funkcji podanej w przedziale liczbowym przekracza każde z jej maksimów lokalnych. Po drugie, stosowanie strategii równowagi przez jednego gracza pociąga za sobą osiągnięcie przez niego lokalnego maksimum tylko wtedy, gdy strategia równowagi jest utrzymywana przez drugiego gracza. Jeżeli drugi gracz odstąpi od strategii równowagi, to dalsze stosowanie strategii równowagi przez pierwszego gracza nie da mu efektu maksymalizacji.

Strategie równowagi wyznaczane są według następującej zasady: za równowagową uważa się komórkę macierzy gry, jeżeli odpowiadająca jej wypłata pierwszego gracza jest maksymalna w kolumnie, a odpowiadająca jej wypłata drugiego gracza jest maksimum w rzędzie. Zatem w algorytmie znajdowania strategii równowagi wykorzystuje się macierze wypłat obu graczy, a nie jednego z nich, jak w przypadku zachowań irracjonalnych i ostrożnych.

4) Odbiegające od normy zachowanie. Instytucjonalizacja strategii równowagi jako podstawowej normy zachowania następuje w wyniku uogólnienia przez osobę doświadczenia interakcji międzyludzkich, w tym doświadczenia zachowań dewiacyjnych. Świadomość negatywnych konsekwencji takiego zachowania, oparta na wyborze nierównowagowych alternatyw, jest decydującym argumentem przy wyborze optymalizacyjnej strategii zachowania. Zatem zachowanie dewiacyjne stanowi integralną część doświadczenia życiowego „osoby instytucjonalnej”, działając jako empiryczne uzasadnienie optymalizacji zachowania. Doświadczenie zachowania dewiacyjnego daje człowiekowi pewność, że drugi uczestnik gry niezmiennie będzie stosował strategię równowagi. Doświadczenie takie jest więc dowodem na racjonalność zachowania drugiego gracza i przewidywalność przyszłych interakcji z nim.

5) Innowacyjne zachowanie. Powyżej rozważono zachowanie dewiacyjne, którego głównym celem jest empiryczne uzasadnienie i utrwalenie strategii początkowej równowagi. Jednak cel odchylenia od strategii równowagi może być zasadniczo inny. Innowacyjne zachowanie to systematyczne odstępstwo od zwykłej strategii równowagi w celu znalezienia innego stanu równowagi, który jest bardziej korzystny dla innowatora.

W ramach modelu gry interakcji międzyludzkich cel zachowania innowacyjnego można osiągnąć, jeśli macierz gry ma inny punkt równowagi, w którym wypłata gracza-innowatora jest większa niż w początkowym stanie równowagi. Jeśli nie ma takiego punktu, to innowacyjne zachowanie prawdopodobnie będzie skazane na niepowodzenie, a innowator powróci do pierwotnej strategii równowagi. Jednocześnie jego straty z innowacyjnego eksperymentu będą równe łącznemu efektowi odchylenia za cały okres trwania eksperymentu.

W prawdziwym życiu osoby wchodzące w interakcje często zgadzają się przestrzegać pewnych strategii behawioralnych w przyszłości. W tym przypadku zachowanie graczy jest tzw solidarny.

Główne powody zachowań solidarnościowych:

a) opłacalność solidarnego zachowania dla obu graczy. W ramach modelu interakcji gry sytuację tę ilustruje macierz gry, w której jednej komórce wypłaty obu graczy są maksymalne, ale jednocześnie nie jest to równowaga i nie odpowiada parze ostrożnych strategii graczy. Strategie odpowiadające tej komórce raczej nie zostaną wybrane przez graczy, którzy stosują niesolidne wzorce zachowań. Ale jeśli gracze dojdą do porozumienia co do wyboru odpowiednich strategii solidarnościowych, to później będzie im nieopłacalne łamanie umowy i będzie to realizowane automatycznie;

b) etyczne zachowanie solidarności często służy jako „wewnętrzny” mechanizm zapewniający przestrzeganie umowy. Koszt moralny w postaci społecznego potępienia, jakie jednostka poniesie w przypadku naruszenia umowy, może mieć dla niej większe znaczenie niż osiągnięty w ten sposób zysk. Czynnik etyczny odgrywa ważną rolę w zachowaniu „osoby instytucjonalnej”, ale nie jest właściwie brany pod uwagę w modelu gry interakcji międzyludzkich;

c) zmuszanie do zachowań solidarnościowych służy jako „zewnętrzny” mechanizm zapewniający przestrzeganie umowy. Ten czynnik zachowań instytucjonalnych również nie znajduje odpowiedniego odzwierciedlenia w modelu interakcji gry.

Rodzaje równowagi: równowaga Nasha, równowaga Stekelberga, równowaga Pareto-optymalna, równowaga strategii dominujących.

W każdej interakcji mogą istnieć różne typy równowag: równowaga strategii dominującej, równowaga Nasha, równowaga Stackelberga i równowaga Pareto. Strategia dominująca to plan działania, który zapewnia uczestnikowi maksymalną użyteczność, niezależnie od działań drugiego uczestnika. W związku z tym równowaga dominujących strategii będzie przecięciem dominujących strategii obu uczestników gry. Równowaga Nasha to sytuacja, w której strategia każdego gracza jest najlepszą odpowiedzią na działania drugiego gracza. Innymi słowy, ta równowaga zapewnia graczowi maksymalną użyteczność w zależności od działań drugiego gracza. Równowaga Stackelberga występuje wtedy, gdy występuje opóźnienie w podejmowaniu decyzji przez uczestników gry: jeden z nich podejmuje decyzje, wiedząc już, jak postąpił drugi. Zatem równowaga Stackelberga odpowiada maksymalnej użyteczności graczy w warunkach niejednoczesnego podejmowania przez nich decyzji. W przeciwieństwie do równowagi dominującej strategii i równowagi Nasha, ten rodzaj równowagi zawsze istnieje. Wreszcie równowaga Pareto istnieje pod warunkiem, że nie jest możliwe zwiększenie użyteczności obu graczy jednocześnie. Rozważmy na jednym z przykładów technologię poszukiwania równowag wszystkich czterech typów.

Dominująca strategia- taki plan działania, który zapewnia uczestnikowi maksymalną użyteczność, niezależnie od działań drugiego uczestnika.

Równowaga Nasha- sytuacja, w której żaden z graczy nie może jednostronnie zwiększyć swojej wygranej poprzez zmianę swojego planu działania.

Równowaga Stackelberga- sytuacja, w której żaden z graczy nie może jednostronnie zwiększyć swojej wygranej, a decyzje podejmowane są najpierw przez jednego gracza i znane drugiemu graczowi.

Równowaga Paretta- sytuacja, w której niemożliwe jest poprawienie pozycji jednego z graczy bez pogorszenia pozycji drugiego i bez zmniejszenia całkowitej wypłaty graczy.

Niech firma A spróbuje przełamać monopol firmy B na produkcję określonego produktu. Firma A decyduje, czy wejść na rynek, a firma B decyduje, czy zmniejszyć produkcję w przypadku, gdy A nadal decyduje się wejść. W przypadku niezmienionej produkcji w firmie B obie firmy tracą, ale jeśli firma B decyduje się na zmniejszenie produkcji, to „dzieli się” swoim zyskiem z A.

Równowaga dominujących strategii. Firma A porównuje swoją wypłatę w obu scenariuszach (-3 i 0, jeśli B zdecyduje się rozpocząć wojnę cenową) i (4 i 0, jeśli B zdecyduje się zmniejszyć produkcję). Nie ma strategii zapewniającej maksymalny zysk niezależnie od działań B: 0 > -3 => „nie wchodź na rynek”, jeśli B pozostawi produkcję na tym samym poziomie, 4 > 0 => „wejdź”, jeśli B zmniejsza wydajność (patrz pełne strzałki). Chociaż firma A nie ma strategii dominującej, B ma. Jest zainteresowany zmniejszeniem produkcji niezależnie od działań A (4 > -2, 10 = 10, patrz przerywane strzałki). Dlatego nie ma równowagi dominujących strategii.

Równowaga Nasha. Najlepszą odpowiedzią firmy A na decyzję firmy B o utrzymaniu produkcji na niezmienionym poziomie jest nie wejście, ale na decyzję o zmniejszeniu produkcji jest wejście. Najlepszą odpowiedzią firmy B na decyzję firmy A o wejściu na rynek jest zmniejszenie produkcji; jeśli firma B nie zdecyduje się wejść na rynek, obie strategie są równoważne. Zatem dwie równowagi Nasha (A, A2) znajdują się w punktach (4, 4) i (0, 10) - A wchodzi, a B zmniejsza produkcję, lub A nie wchodzi, a B nie zmniejsza produkcji. Dość łatwo to zweryfikować, gdyż w tych momentach żaden z uczestników nie jest zainteresowany zmianą swojej strategii.

Równowaga Stackelberga. Załóżmy, że pierwsza podejmuje decyzję firma A. Jeśli zdecyduje się wejść na rynek, to ostatecznie znajdzie się w punkcie (4, 4): wybór firmy B jest w tej sytuacji jednoznaczny, 4 > -2. Jeśli zdecyduje się nie wchodzić na rynek, to wynikiem będą dwa punkty (0, 10): preferencje firmy B dopuszczają obie opcje. Wiedząc o tym, firma A maksymalizuje swoją wypłatę w punktach (4, 4) i (0, 10), porównując 4 i 0. Preferencje są jednowartościowe, a pierwsza równowaga Stackelberga StA będzie w punkcie (4, 4). Podobnie równowaga Stackelberga StB, gdy firma B podejmie pierwszą decyzję, będzie wynosiła (0, 10).

Równowaga Pareto. Aby określić optimum Pareto, musimy kolejno przejrzeć wszystkie cztery wyniki gry, odpowiadając na pytanie: „Czy przejście do dowolnego innego wyniku gry zapewnia jednocześnie wzrost użyteczności dla obu uczestników?” Na przykład z wyniku (-3, -2) możemy przejść do dowolnego innego wyniku, spełniając określony warunek. Dopiero od wyniku (4, 4) nie możemy przejść dalej bez zmniejszenia użyteczności któregokolwiek z graczy, będzie to równowaga Pareto, R.