trójkąty

trójkąt Figura nazywana jest figurą, która składa się z trzech punktów, które nie leżą na jednej prostej, oraz trzech odcinków łączących te punkty parami. Punkty są tzw szczyty trójkąt, a segmenty - jego imprezy.

Rodzaje trójkątów

Nazywa się trójkąt równoramienny jeśli jego dwa boki są równe. Te równe boki są nazywane boki, i osoba trzecia jest wywoływana podstawa trójkąt.

Nazywa się trójkąt, w którym wszystkie boki są równe równoboczny lub prawidłowy.

Nazywa się trójkąt prostokątny, jeśli ma kąt prosty, to istnieje kąt 90 °. Nazywa się bok trójkąta prostokątnego leżący naprzeciw kąta prostego przeciwprostokątna pozostałe dwie strony są nazywane nogi.

Nazywa się trójkąt ostrokątny jeśli wszystkie trzy jego kąty są ostre, to znaczy mniejsze niż 90 °.

Nazywa się trójkąt rozwarty, jeżeli jeden z jego kątów jest rozwarty, tj. większy niż 90°.

Główne linie trójkąta

Mediana

Mediana trójkąt to odcinek linii łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku tego trójkąta.

Właściwości mediany trójkąta

Środkowa dzieli trójkąt na dwa trójkąty o tym samym polu.

Środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który dzieli każdą z nich w stosunku 2:1, licząc od góry. Ten punkt nazywa się Środek ciężkości trójkąt.

Cały trójkąt jest podzielony przez mediany na sześć równych trójkątów.

Dwusieczna

Dwusieczna kąta jest promieniem wychodzącym z wierzchołka, przechodzącym między jego bokami i przecinającym dany kąt na pół. Dwusieczna trójkąta Nazywa się odcinek dwusiecznej kąta trójkąta łączącego wierzchołek z punktem na przeciwległej stronie trójkąta.

Właściwości dwusiecznej trójkąta

Wysokość

Wysokość trójkąt nazywamy prostopadłą poprowadzoną od wierzchołka trójkąta do linii zawierającej przeciwległy bok tego trójkąta.

Właściwości wysokości trójkąta

W trójkąt prostokątny wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego dzieli go na dwa trójkąty, podobny oryginalny.

W ostry trójkąt dwie jego wysokości są od niego odcięte podobny trójkąty.

Mediana prostopadła

Prostą przechodzącą przez środek odcinka prostopadłego do niej nazywamy dwusieczna prostopadła do segmentu .

Własności dwusiecznych prostopadłych trójkąta

Każdy punkt dwusiecznej prostopadłej do odcinka jest w równej odległości od końców tego odcinka. Odwrotne stwierdzenie jest również prawdziwe: każdy punkt w równej odległości od końców odcinka leży na prostopadłej do niego dwusiecznej.

Punkt przecięcia środkowych prostopadłych narysowanych na bokach trójkąta jest środkiem okrąg opisany na tym trójkącie.

Środkowa linia

Środkowa linia trójkąta Nazywa się odcinek łączący środki dwóch jego boków.

Własność linii środkowej trójkąta

Linia środkowa trójkąta jest równoległa do jednego z jego boków i równa połowie tego boku.

Formuły i proporcje

Znaki równości trójkątów

Dwa trójkąty są przystające, jeśli są odpowiednio przystające:

dwa boki i kąt między nimi;

dwa rogi i przylegający do nich bok;

trzy strony.

Znaki równości trójkątów prostokątnych

Dwa trójkąt prostokątny są równe, jeśli są odpowiednio równe:

przeciwprostokątna i kąt ostry

noga i przeciwległy róg;

noga i sąsiedni kąt;

dwa noga;

przeciwprostokątna oraz noga.

podobieństwo trójkątów

Dwa trójkąty są podobne jeśli spełniony jest jeden z poniższych warunków, tzw oznaki podobieństwa:

dwa kąty jednego trójkąta są równe dwóm kątom innego trójkąta;

dwa boki jednego trójkąta są proporcjonalne do dwóch boków drugiego trójkąta, a kąty utworzone przez te boki są równe;

trzy boki jednego trójkąta są odpowiednio proporcjonalne do trzech boków drugiego trójkąta.

W podobnych trójkątach odpowiednie linie ( wysokości, mediany, dwusieczne itp.) są proporcjonalne.

Twierdzenie sinusoidalne

Boki trójkąta są proporcjonalne do sinusów przeciwległych kątów, a współczynnik proporcjonalności wynosi średnica koło opisane na trójkącie:

Twierdzenie cosinusowe

Kwadrat boku trójkąta jest równy sumie kwadratów pozostałych dwóch boków minus dwukrotność iloczynu tych boków razy cosinus kąta między nimi:

a 2 = b 2 + c 2 - 2pne sałata

Wzory na pole trójkąta

Dowolny trójkąt

a, b, c - boki; - kąt między bokami a oraz b; - półobwód; R- promień opisanego okręgu; r- promień okręgu wpisanego; S- powierzchnia; h a - wysokość na bok a.

Nawet dzieci w wieku przedszkolnym wiedzą, jak wygląda trójkąt. Ale z tym, czym są, chłopaki już zaczynają rozumieć w szkole. Jednym z typów jest trójkąt rozwarty. Aby zrozumieć, co to jest, najłatwiej jest zobaczyć zdjęcie z jego obrazem. W teorii nazywają to "najprostszym wielokątem" z trzema bokami i wierzchołkami, z których jeden to

Zrozumienie pojęć

W geometrii istnieją takie typy figur o trzech bokach: trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne. Co więcej, właściwości tych najprostszych wielokątów są takie same dla wszystkich. Tak więc dla wszystkich wymienionych gatunków taka nierówność zostanie zaobserwowana. Suma długości dowolnych dwóch boków jest z konieczności większa niż długość trzeciego boku.

Aby jednak mieć pewność, że mówimy o pełnej figurze, a nie o zbiorze pojedynczych wierzchołków, należy sprawdzić, czy spełniony jest główny warunek: suma kątów trójkąta rozwartokątnego wynosi 180 o. To samo dotyczy innych rodzajów figur z trzema bokami. To prawda, że ​​\u200b\u200bw trójkącie rozwartym jeden z kątów będzie nawet większy niż 90 o, a pozostałe dwa będą koniecznie ostre. W tym przypadku jest to największy kąt, który będzie naprzeciw najdłuższego boku. To prawda, że ​​\u200b\u200bjest to dalekie od wszystkich właściwości trójkąta rozwartego. Ale nawet znając tylko te cechy, uczniowie mogą rozwiązać wiele problemów z geometrii.

Dla każdego wielokąta z trzema wierzchołkami prawdą jest również, że kontynuując dowolny z boków, otrzymamy kąt, którego rozmiar będzie równy sumie dwóch niesąsiadujących ze sobą wierzchołków wewnętrznych. Obwód trójkąta rozwartokątnego oblicza się w taki sam sposób, jak w przypadku innych kształtów. Jest równy sumie długości wszystkich jego boków. Aby określić matematyków, wyprowadzono różne formuły, w zależności od tego, jakie dane były początkowo obecne.

Poprawny styl

Jednym z najważniejszych warunków rozwiązywania problemów z geometrii jest poprawny rysunek. Nauczyciele matematyki często mówią, że pomoże to nie tylko zwizualizować to, co jest podane i czego się od ciebie wymaga, ale także zbliży się o 80% do prawidłowej odpowiedzi. Dlatego ważne jest, aby wiedzieć, jak skonstruować trójkąt rozwarty. Jeśli potrzebujesz tylko hipotetycznej figury, możesz narysować dowolny wielokąt z trzema bokami, tak aby jeden z kątów był większy niż 90 stopni.

Jeśli podane są określone wartości długości boków lub stopni kątów, należy zgodnie z nimi narysować trójkąt rozwartokątny. Jednocześnie należy starać się jak najdokładniej przedstawić kąty, obliczając je za pomocą kątomierza i wyświetlając boki proporcjonalnie do danych warunków w zadaniu.

Główne linie

Często nie wystarczy, aby uczniowie wiedzieli tylko, jak powinny wyglądać określone figury. Nie mogą ograniczać się do informacji, który trójkąt jest rozwarty, a który prostokątny. Przebieg matematyki przewiduje, że ich znajomość głównych cech figur powinna być pełniejsza.

Tak więc każdy uczeń powinien zrozumieć definicję dwusiecznej, środkowej, dwusiecznej prostopadłej i wysokości. Ponadto musi znać ich podstawowe właściwości.

Tak więc dwusieczne dzielą kąt na pół, a przeciwną stronę na segmenty proporcjonalne do sąsiednich boków.

Środkowa dzieli dowolny trójkąt na dwa równe pola. W miejscu, w którym się przecinają, każdy z nich jest podzielony na 2 segmenty w stosunku 2:1, patrząc od góry, z której pochodzi. W tym przypadku największa mediana jest zawsze rysowana na jej najmniejszy bok.

Nie mniej uwagi poświęca się wysokości. Jest to prostopadłe do przeciwnej strony od rogu. Wysokość trójkąta rozwartokątnego ma swoje własne cechy. Jeśli jest narysowany z ostrego wierzchołka, to nie spada na bok tego najprostszego wielokąta, ale na jego przedłużenie.

Dwusieczna prostopadła to odcinek wychodzący ze środka ściany trójkąta. Jednocześnie znajduje się pod kątem prostym do niego.

Praca z kręgami

Na początku nauki geometrii wystarczy, aby dzieci zrozumiały, jak narysować trójkąt rozwartokątny, nauczyły się odróżniać go od innych typów i zapamiętały jego podstawowe właściwości. Ale dla uczniów szkół średnich ta wiedza nie wystarczy. Na przykład na egzaminie często pojawiają się pytania dotyczące okręgów opisanych i wpisanych. Pierwszy z nich dotyka wszystkich trzech wierzchołków trójkąta, a drugi ma jeden wspólny punkt ze wszystkimi bokami.

Skonstruowanie wpisanego lub opisanego trójkąta rozwartokątnego jest już znacznie trudniejsze, ponieważ w tym celu najpierw trzeba dowiedzieć się, gdzie powinien znajdować się środek koła i jego promień. Nawiasem mówiąc, w tym przypadku niezbędnym narzędziem stanie się nie tylko ołówek z linijką, ale także kompas.

Te same trudności pojawiają się przy konstruowaniu wpisanych wielokątów o trzech bokach. Matematycy opracowali różne formuły, które pozwalają określić ich położenie tak dokładnie, jak to możliwe.

Trójkąty wpisane

Jak wspomniano wcześniej, jeśli okrąg przechodzi przez wszystkie trzy wierzchołki, nazywa się to okręgiem opisanym. Jego główną właściwością jest to, że jest jedyny. Aby dowiedzieć się, jak powinien znajdować się opisany okrąg trójkąta rozwartego, należy pamiętać, że jego środek znajduje się na przecięciu trzech środkowych prostopadłych, które biegną po bokach figury. Jeśli w wielokącie ostrokątnym z trzema wierzchołkami ten punkt będzie w nim, to w wielokącie rozwartokątnym - poza nim.

Wiedząc na przykład, że jeden z boków trójkąta rozwartokątnego jest równy jego promieniowi, można znaleźć kąt leżący naprzeciw znanej ściany. Jego sinus będzie równy wynikowi podzielenia długości znanego boku przez 2R (gdzie R jest promieniem koła). Oznacza to, że grzech kąta będzie równy ½. Więc kąt będzie miał 150o.

Jeśli chcesz znaleźć promień opisanego okręgu trójkąta rozwartokątnego, będziesz potrzebować informacji o długości jego boków (c, v, b) i jego powierzchni S. W końcu promień oblicza się w następujący sposób : (c x v x b): 4 x S. Nawiasem mówiąc, nie ma znaczenia, jaką masz figurę: wszechstronny trójkąt rozwartokątny, równoramienny, prawy lub ostry. W każdej sytuacji, dzięki powyższej formule, możesz znaleźć obszar danego wielokąta o trzech bokach.

Trójkąty opisane

Dość powszechna jest również praca z okręgami wpisanymi. Zgodnie z jednym ze wzorów promień takiej figury pomnożony przez ½ obwodu będzie równy polu trójkąta. To prawda, że ​​\u200b\u200bby się tego dowiedzieć, musisz znać boki trójkąta rozwartego. Rzeczywiście, aby określić ½ obwodu, konieczne jest dodanie ich długości i podzielenie przez 2.

Aby zrozumieć, gdzie powinien znajdować się środek okręgu wpisanego w trójkąt rozwarty, konieczne jest narysowanie trzech dwusiecznych. To są linie przecinające rogi. To na ich przecięciu znajdzie się środek okręgu. W tym przypadku będzie w równej odległości od każdej strony.

Promień takiego koła wpisanego w trójkąt rozwartokątny jest równy ilorazowi (p-c) x (p-v) x (p-b) : p. Ponadto p to połowa obwodu trójkąta, c, v, b to jego boki.

Podział trójkątów na trójkąty ostre, prostokątne i rozwarte. Klasyfikacja według proporcji dzieli trójkąty na pochyłe, równoboczne i równoramienne. Co więcej, każdy trójkąt jednocześnie należy do dwóch. Na przykład może być prostokątny i jednocześnie uniwersalny.

Przy określaniu typu według rodzaju narożników należy zachować szczególną ostrożność. Trójkąt rozwartokątny będzie nazywany takim trójkątem, w którym jeden z kątów jest większy niż 90 stopni. Trójkąt prostokątny można obliczyć, mając jeden kąt prosty (równy 90 stopni). Jednak, aby sklasyfikować trójkąt jako trójkąt ostry, musisz upewnić się, że wszystkie trzy jego kąty są ostre.

Definiowanie widoku trójkąt według proporcji, najpierw musisz znaleźć długości wszystkich trzech boków. Jeśli jednak nie podano ci długości boków, kąty mogą ci pomóc. Trójkąt będzie wszechstronny, którego wszystkie trzy boki mają różne długości. Jeśli długości boków są nieznane, trójkąt można sklasyfikować jako skalen, jeśli wszystkie trzy jego kąty są różne. Trójkąt pochyły może być rozwarty, prostokątny lub ostry.

Trójkąt jest równoramienny, jeśli dwa z jego trzech boków są równe. Jeśli długości boków nie są ci podane, kieruj się dwoma równymi kątami. Trójkąt równoramienny, podobnie jak trójkąt pochyły, może być rozwarty, prostokątny i ostry.

Trójkąt równoboczny może być tylko taki, że wszystkie trzy jego boki mają tę samą długość. Wszystkie jego kąty są również sobie równe, a każdy z nich jest równy 60 stopni. Z tego wynika, że ​​trójkąty równoboczne są zawsze ostrokątne.

Porada 2: Jak rozpoznać trójkąt rozwarty i ostry

Najprostszym z wielokątów jest trójkąt. Powstaje za pomocą trzech punktów leżących w tej samej płaszczyźnie, ale nie leżących na tej samej linii prostej, połączonych parami segmentami. Jednak trójkąty występują w różnych typach, co oznacza, że ​​mają różne właściwości.

Instrukcja

Zwyczajowo wyróżnia się trzy typy: tępy, ostry i prostokątny. To tak jak z rogami. Trójkąt rozwarty to trójkąt, w którym jeden z kątów jest rozwarty. Kąt rozwarty to taki, który ma więcej niż dziewięćdziesiąt stopni, ale mniej niż sto osiemdziesiąt stopni. Na przykład w trójkącie ABC kąt ABC ma miarę 65°, kąt BCA ma miarę 95°, a kąt CAB ma miarę 20°. Kąty ABC i CAB mają mniej niż 90°, ale kąt BCA jest większy, więc trójkąt jest rozwarty.

Trójkąt ostry to trójkąt, w którym wszystkie kąty są ostre. Kąt ostry to taki, który ma mniej niż dziewięćdziesiąt stopni i jest większy niż zero stopni. Na przykład w trójkącie ABC kąt ABC ma miarę 60°, kąt BCA ma miarę 70°, a kąt CAB ma miarę 50°. Wszystkie trzy kąty mają mniej niż 90°, więc jest to trójkąt. Jeśli wiesz, że wszystkie boki trójkąta są równe, oznacza to, że wszystkie kąty są sobie równe, a jednocześnie są równe sześćdziesięciu stopniom. W związku z tym wszystkie kąty w takim trójkącie są mniejsze niż dziewięćdziesiąt stopni, a zatem taki trójkąt jest ostry.

Jeżeli w trójkącie jeden z kątów jest równy dziewięćdziesięciu stopniom, oznacza to, że nie należy on ani do typu szerokokątnego, ani typu ostrokątnego. To jest trójkąt prostokątny.

Jeśli typ trójkąta jest określony przez proporcje, będą one równoboczne, skalowane i równoramienne. W trójkącie równobocznym wszystkie boki są równe, a to, jak się dowiedziałeś, wskazuje, że trójkąt jest ostry. Jeśli trójkąt ma tylko dwa równe boki lub boki nie są sobie równe, może być rozwarty, prostokątny lub ostry. Dlatego w takich przypadkach konieczne jest obliczenie lub zmierzenie kątów i wyciągnięcie wniosków zgodnie z ust. 1, 2 lub 3.

Powiązane wideo

Źródła:

• trójkąt rozwarty

Równość dwóch lub więcej trójkątów odpowiada przypadkowi, gdy wszystkie boki i kąty tych trójkątów są równe. Istnieje jednak szereg prostszych kryteriów dowodzenia tej równości.

Będziesz potrzebować

• Podręcznik geometrii, kartka papieru, prosty ołówek, kątomierz, linijka.

Instrukcja

Otwórz podręcznik do geometrii do siódmej klasy na akapicie dotyczącym znaków równości trójkątów. Zobaczysz, że istnieje wiele podstawowych znaków, które dowodzą równości dwóch trójkątów. Jeśli dwa trójkąty, których równość jest testowana, są dowolne, to istnieją dla nich trzy główne kryteria równości. Jeśli znane są dodatkowe informacje o trójkątach, to trzy główne znaki są uzupełnione kilkoma innymi. Dotyczy to na przykład przypadku równości trójkątów prostokątnych.

Przeczytaj pierwszą zasadę dotyczącą równości trójkątów. Jak wiadomo, pozwala nam uważać trójkąty za równe, jeśli można udowodnić, że dowolny kąt i dwa sąsiednie boki dwóch trójkątów są równe. Aby zrozumieć to prawo, narysuj kątomierzem na kartce papieru dwa jednakowo określone kąty utworzone przez dwa promienie wychodzące z jednego punktu. Zmierz linijką te same boki od góry narysowanego rogu w obu przypadkach. Za pomocą kątomierza zmierz kąty dwóch utworzonych trójkątów, upewnij się, że są równe.

Aby nie uciekać się do takich praktycznych środków, aby zrozumieć kryterium równości trójkątów, przeczytaj dowód pierwszego kryterium równości. Faktem jest, że każda reguła dotycząca równości trójkątów ma ścisły dowód teoretyczny, po prostu nie jest wygodnie używać jej do zapamiętywania reguł.

Przeczytaj drugi znak równości trójkątów. Mówi, że dwa trójkąty będą przystające, jeśli dowolny bok i dwa sąsiednie kąty dwóch takich trójkątów są przystające. Aby zapamiętać tę zasadę, wyobraź sobie narysowany bok trójkąta i dwa przylegające do niego rogi. Wyobraź sobie, że długości boków rogów stopniowo rosną. W końcu przetną się, tworząc trzeci kąt. W tym zadaniu mentalnym ważne jest, aby punkt przecięcia boków, które są mentalnie zwiększone, jak również wynikowy kąt, były jednoznacznie określone przez trzeci bok i dwa sąsiadujące z nim kąty.

Jeśli nie otrzymałeś żadnych informacji o kątach badanych trójkątów, użyj trzeciego testu równości trójkątów. Zgodnie z tą zasadą dwa trójkąty uważa się za równe, jeśli wszystkie trzy boki jednego z nich są równe odpowiednim trzem bokom drugiego. Zatem reguła ta mówi, że długości boków trójkąta jednoznacznie określają wszystkie kąty trójkąta, co oznacza, że ​​jednoznacznie określają sam trójkąt.

Powiązane wideo

Trójkąt jest wielokątem o trzech bokach (lub trzech rogach). Boki trójkąta są często oznaczane małymi literami (a, b, c), które odpowiadają dużym literom przeciwległych wierzchołków (A, B, C).

Jeżeli wszystkie trzy kąty w trójkącie są ostre, to ostry trójkąt.

Jeśli jeden z kątów w trójkącie jest kątem prostym, to tak jest trójkąt prostokątny. Boki tworzące kąt prosty to tzw nogi. Strona przeciwna do kąta prostego nazywa się przeciwprostokątna.

Jeśli jeden z kątów w trójkącie jest rozwarty, to tak jest trójkąt rozwarty.

Trójkąty równoramienne jeśli dwa jego boki są równe; te równe boki nazywane są bocznymi, a trzeci bok nazywany jest podstawą trójkąta.

Trójkąt jest równoboczny jeśli wszystkie jego boki są równe.

Podstawowe własności trójkątów

W dowolnym trójkącie:

1. Większy kąt leży na większym boku i odwrotnie.

2. Równe kąty leżą na równych bokach i odwrotnie.
W szczególności wszystkie kąty w trójkącie równobocznym są równe.

3. Suma kątów trójkąta wynosi 180º.
Z dwóch ostatnich właściwości wynika, że ​​każdy kąt jest równoboczny
trójkąt ma 60 stopni.

4. Kontynuując jeden z boków trójkąta, otrzymujemy zewnętrzny
narożnik. Kąt zewnętrzny trójkąta jest równy sumie kątów wewnętrznych,
nie sąsiaduje z nim.

5. Każdy bok trójkąta jest mniejszy niż suma pozostałych dwóch boków i więcej
ich różnice.

Znaki równości trójkątów.

Trójkąty są przystające, jeśli są odpowiednio równe:

A) dwa boki i kąt między nimi;
b) dwa rogi i sąsiedni bok;
c) trzy strony.

Znaki równości trójkątów prostokątnych.

Dwa trójkąty prostokątne są równe, jeśli spełniony jest jeden z poniższych warunków:

1) ich nogi są równe;
2) ramię i przeciwprostokątna jednego trójkąta są równe ramieniu i przeciwprostokątnej drugiego;
3) przeciwprostokątna i kąt ostry jednego trójkąta są równe przeciwprostokątnej i kątowi ostremu drugiego trójkąta;
4) ramię i sąsiedni kąt ostry jednego trójkąta są równe ramieniu i sąsiedniemu kątowi ostremu drugiego;
5) noga i przeciwny kąt ostry jednego trójkąta są równe nodze i przeciwległy kąt ostry drugiego.

Wysokość trójkąta jest prostopadłą upuszczoną z dowolnego wierzchołka na przeciwną stronę (lub jej kontynuację). Ten bok nazywa się podstawą trójkąta. Trzy wysokości trójkąta zawsze przecinają się w jednym punkcie, tzw ortocentrum trójkąta. Ortocentrum trójkąta ostrego znajduje się wewnątrz trójkąta, a ortocentrum trójkąta rozwartokątnego znajduje się na zewnątrz; Ortocentrum trójkąta prostokątnego pokrywa się z wierzchołkiem kąta prostego.

Mediana to odcinek łączący dowolny wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku. Trzy środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który zawsze leży wewnątrz trójkąta i jest jego Środek ciężkości. Ten punkt dzieli każdą medianę 2:1 od góry.

Własność mediany trójkąta równoramiennego. W trójkącie równoramiennym środkowa narysowana do podstawy to dwusieczna i wysokość.

Dwusieczna jest odcinkiem dwusiecznej kąta od wierzchołka do punktu przecięcia z przeciwną stroną. Trzy dwusieczne trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który zawsze leży wewnątrz trójkąta i jest środek okręgu wpisanego. Dwusieczna dzieli przeciwną stronę na części proporcjonalne do sąsiednich boków.

Mediana prostopadła jest prostopadłą poprowadzoną ze środka odcinka (boku). Trzy prostopadłe dwusieczne trójkąta przecinają się w jednym punkcie, tj środek opisanego okręgu. W ostrym trójkącie punkt ten leży wewnątrz trójkąta; w tępy - na zewnątrz; w prostokątnym - pośrodku przeciwprostokątnej. Ortocentrum, środek ciężkości, środek okręgu opisanego i środek okręgu wpisanego pokrywają się tylko w trójkącie równobocznym.

Linia środkowa trójkąta jest odcinkiem linii łączącym środki dwóch jego boków.

Własność linii środkowej trójkąta. Linia środkowa trójkąta łączącego środki dwóch danych boków jest równoległa do trzeciego boku i równa jego połowie.

Twierdzenie Pitagorasa. W trójkącie prostokątnym kwadrat długości przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów długości przyprostokątnych. do 2 = za 2 + b 2 .

Dowody twierdzenia Pitagorasa możesz zobaczyć tutaj.

Twierdzenie sinusoidalne. Boki trójkąta są proporcjonalne do sinusów przeciwległych kątów .

Twierdzenie cosinusowe. Kwadrat dowolnego boku trójkąta jest równy sumie kwadratów pozostałych dwóch boków bez podwajania iloczynu tych boków przez cosinus kąta między nimi .

Dowody twierdzenia o sinusach i cosinusach możesz zobaczyć tutaj.

Twierdzenie o sumie kątów w trójkącie. Suma kątów wewnętrznych trójkąta wynosi 180°.

Twierdzenie o kącie zewnętrznym trójkąta. Kąt zewnętrzny trójkąta jest równy sumie dwóch kątów wewnętrznych, które do niego nie przylegają.

Standardowe notacje

Trójkąt z wierzchołkami A, B oraz C oznaczony jako (patrz ryc.). Trójkąt ma trzy boki:

Długości boków trójkąta są oznaczone małymi literami łacińskimi (a, b, c):

Trójkąt ma następujące kąty:

Kąty w odpowiednich wierzchołkach są tradycyjnie oznaczane greckimi literami (α, β, γ).

Znaki równości trójkątów

Trójkąt na płaszczyźnie euklidesowej można jednoznacznie (do kongruencji) zdefiniować za pomocą następujących trójek podstawowych elementów:

1. a, b, γ (równość z dwóch stron i kąt leżący między nimi);
2. a, β, γ (równość boku i dwóch sąsiednich kątów);
3. a, b, c (równość z trzech stron).

Znaki równości trójkątów prostokątnych:

1. wzdłuż nogi i przeciwprostokątnej;
2. na dwóch nogach;
3. wzdłuż nogi i kąta ostrego;
4. przeciwprostokątna i kąt ostry.

Niektóre punkty w trójkącie są „sparowane”. Na przykład istnieją dwa punkty, z których wszystkie boki są widoczne albo pod kątem 60°, albo pod kątem 120°. Nazywają się kropki Torricelli. Istnieją również dwa punkty, których rzuty na boki leżą na wierzchołkach trójkąta foremnego. Ono - punkty Apoloniusza. Punkty i tak zwane Punkty Brocarda.

Bezpośredni

W dowolnym trójkącie środek ciężkości, ortocentrum i środek okręgu opisanego na nim leżą na tej samej linii prostej, zwanej Linia Eulera.

Linia przechodząca przez środek opisanego okręgu i punkt Lemoine'a nazywa się oś Brokara. Leżą na nim punkty Apoloniusza. Punkty Torricellego i punkt Lemoine również leżą na tej samej linii prostej. Podstawy dwusiecznych zewnętrznych kątów trójkąta leżą na tej samej prostej, tzw oś dwusiecznych zewnętrznych. Punkty przecięcia linii zawierających boki ortotrójkąta z liniami zawierającymi boki trójkąta również leżą na tej samej prostej. Ta linia nazywa się oś ortocentryczna, jest prostopadła do linii Eulera.

Jeśli weźmiemy punkt na okręgu opisanym na trójkącie, to jego rzuty na boki trójkąta będą leżeć na jednej prostej, zwanej Linia prosta Simsona dany punkt. Linie Simsona diametralnie przeciwległych punktów są prostopadłe.

trójkąty

• Nazywa się trójkąt z wierzchołkami u podstaw cevianów poprowadzony przez dany punkt trójkąt cewiański ten punkt.
• Nazywa się trójkąt, którego wierzchołki znajdują się w rzutach danego punktu na boki pod skórą lub trójkąt pedałowy ten punkt.
• Nazywa się trójkąt, którego wierzchołki znajdują się w drugich punktach przecięcia prostych przechodzących przez te wierzchołki i dany punkt z okręgiem opisanym na trójkąt cewiański. Trójkąt Cevian jest podobny do trójkąta podskórnego.

kręgi

• Wpisane koło jest okręgiem stycznym do wszystkich trzech boków trójkąta. Ona jest jedyna. Środek okręgu wpisanego nazywa się w centrum.
• Okrąg opisany- okrąg przechodzący przez wszystkie trzy wierzchołki trójkąta. Opisane koło jest również wyjątkowe.
• Wyklucz- okrąg styczny do jednego boku trójkąta i przedłużenie dwóch pozostałych boków. W trójkącie są trzy takie koła. Ich środkiem radykalnym jest środek okręgu wpisanego w trójkąt środkowy, tzw Punkt Spiekera.

Punkty środkowe trzech boków trójkąta, podstawy jego trzech wysokości oraz punkty środkowe trzech odcinków linii łączących jego wierzchołki z ortocentrum leżą na jednym okręgu zwanym koło dziewięciu punktów lub Koło Eulera. Środek dziewięciopunktowego koła leży na linii Eulera. Okrąg o dziewięciu punktach styka się z okręgiem wpisanym i trzema okręgami zewnętrznymi. Nazywa się punkt styku okręgu wpisanego z okręgiem złożonym z dziewięciu punktów Punkt Feuerbacha. Jeśli z każdego wierzchołka ułożymy trójkąty na liniach prostych zawierających boki, ortezy równe długości przeciwległym bokom, to wynikowe sześć punktów leży na jednym okręgu - Kręgi Conwaya. W dowolny trójkąt można wpisać trzy koła w taki sposób, aby każdy z nich stykał się z dwoma bokami trójkąta i dwoma innymi okręgami. Takie kręgi to tzw Kręgi Malfattiego. Środki opisanych okręgów sześciu trójkątów, na które trójkąt jest podzielony środkowymi, leżą na jednym okręgu, który nazywa się Krąg Lamuna.

Trójkąt ma trzy koła, które stykają się z dwoma bokami trójkąta i okręgu opisanego na nim. Takie kręgi to tzw częściowo wpisany lub Koła Verriera. Odcinki łączące punkty styku okręgów Verriera z okręgiem opisanym przecinają się w jednym punkcie, zwanym Punkt Verriera. Służy jako środek jednorodności, który przenosi opisany okrąg do okręgu. Punkty styczności okręgów Verriera z bokami leżą na linii prostej przechodzącej przez środek wpisanego okręgu.

Odcinki linii łączące punkty styczne okręgu wpisanego z wierzchołkami przecinają się w jednym punkcie, zwanym Punkt Gergonne'a, a odcinki łączące wierzchołki z punktami styku okręgów - w Punkt Nagela.

Elipsy, parabole i hiperbole

Stożek wpisany (elipsa) i jego perspektywa

W trójkąt można wpisać nieskończoną liczbę stożków (elips, paraboli lub hiperboli). Jeśli w trójkąt wpiszemy dowolny stożek i połączymy punkty styku z przeciwległymi wierzchołkami, to otrzymane proste przetną się w jednym punkcie, zwanym perspektywiczny stożki. Dla każdego punktu płaszczyzny, który nie leży na boku ani na jego przedłużeniu, istnieje wpisany stożek z perspektywą w tym punkcie.

Opisana elipsa Steinera i ceviany przechodzące przez jej ogniska

Elipsę można wpisać w trójkąt, który styka się z bokami w punktach środkowych. Taką elipsę nazywamy Elipsa wpisana przez Steinera(jego perspektywa będzie środkiem ciężkości trójkąta). Opisana elipsa, która jest styczna do prostych przechodzących przez wierzchołki równoległe do boków, nazywa się opisany elipsą Steinera. Jeśli transformacja afiniczna („pochylenie”) przekształci trójkąt w regularny, to jego wpisana i opisana elipsa Steinera przejdzie w wpisany i opisany okrąg. Ceviany poprowadzone przez ogniska opisanej elipsy Steinera (punkty Skutina) są równe (twierdzenie Skutina). Spośród wszystkich opisanych elips, elipsa wpisana w Steinera ma najmniejsze pole, a ze wszystkich elips wpisanych elipsa wpisana w Steinera ma największe pole.

Elipsa Brocarda i jej perspektywa - punkt Lemoine'a

Nazywa się elipsę z ogniskami w punktach Brokara Elipsa Brocarda. Jego perspektywa to punkt Lemoine'a.

Własności paraboli wpisanej

Parabola Kieperta

Perspektywy wpisanych parabol leżą na opisanej elipsie Steinera. Ognisko wpisanej paraboli leży na opisanym okręgu, a kierownica przechodzi przez ortocentrum. Nazywa się parabola wpisana w trójkąt, którego kierownicą jest prosta Eulera Parabola Kieperta. Jego perspektywą jest czwarty punkt przecięcia opisanego koła i opisanej elipsy Steinera, tzw Punkt Steinera.

Hiperbola Cyperta

Jeśli opisana hiperbola przechodzi przez punkt przecięcia wysokości, to jest równoboczna (to znaczy jej asymptoty są prostopadłe). Punkt przecięcia asymptot hiperboli równobocznej leży na okręgu złożonym z dziewięciu punktów.

Transformacje

Jeżeli linie przechodzące przez wierzchołki i jakiś punkt nie leżący na bokach i ich przedłużenia są odbijane względem odpowiednich dwusiecznych, to ich obrazy również przecinają się w jednym punkcie, który nazywa się izogonalnie sprzężony oryginalny (jeśli punkt leżał na opisanym okręgu, to powstałe linie będą równoległe). Wiele par niezwykłych punktów jest sprzężonych izogonalnie: środek opisanego koła i ortocentrum, środek ciężkości i punkt Lemoine'a, punkty Brocarda. Punkty Apoloniusza są sprzężone izogonalnie z punktami Torricellego, a środek okręgu jest sprzężony izogonalnie ze sobą. Pod działaniem koniugacji izogonalnej linie proste przechodzą w opisane stożki, a stożki opisane w proste. Zatem hiperbola Kieperta i oś Brocarda, hiperbola Enzhabeka i linia Eulera, hiperbola Feuerbacha i linia środków wpisanego koła są sprzężone izogonalnie. Opisane okręgi podskórnych trójkątów izogonalnie sprzężonych punktów pokrywają się. Ogniska wpisanych elips są izogonalnie sprzężone.

Jeśli zamiast cewiana symetrycznego weźmiemy cewiana, którego podstawa jest tak daleko od środka boku, jak podstawa pierwotnego, to takie cewiany również przetną się w jednym punkcie. Powstała transformacja nazywa się koniugacja izotomiczna. Odwzorowuje również linie do opisanych stożków. Punkty Gergonne i Nagel są izotomicznie sprzężone. W przypadku transformacji afinicznych punkty sprzężone izotomicznie przechodzą w punkty sprzężone izotomicznie. Przy koniugacji izotomii opisana elipsa Steinera przechodzi w linię prostą w nieskończoności.

Jeżeli w odcinki odcięte bokami trójkąta od opisanego koła wpiszemy okręgi, które stykają się z bokami u podstaw cevianów poprowadzonych przez pewien punkt, to punkty styku tych okręgów połączymy z opisany okrąg o przeciwległych wierzchołkach, to takie proste przecinają się w jednym punkcie. Transformacja płaszczyzny polegająca na dopasowaniu punktu pierwotnego do punktu wynikowego nazywa się transformacja izokolista. Skład koniugacji izogonalnych i izotomicznych jest składem transformacji izokołowej samej w sobie. Ta kompozycja jest transformacją rzutową, która pozostawia boki trójkąta na miejscu i przekształca oś zewnętrznych dwusiecznych w linię prostą w nieskończoności.

Jeśli będziemy kontynuować boki trójkąta Cewiusza z jakiegoś punktu i weźmiemy ich punkty przecięcia z odpowiednimi bokami, to wynikowe punkty przecięcia będą leżeć na jednej prostej, zwanej polarny trójliniowy punkt wyjścia. Oś ortocentryczna - biegun trójliniowy ortocentrum; trójliniowy biegun środka okręgu wpisanego jest osią dwusiecznych zewnętrznych. Trójliniowe bieguny punktów leżących na opisanym stożku przecinają się w jednym punkcie (dla opisanego koła jest to punkt Lemoine'a, dla opisanej elipsy Steinera jest to środek ciężkości). Kompozycja koniugacji izogonalnej (lub izotomicznej) i bieguna trójliniowego jest transformacją dualności (jeśli punkt sprzężony izogonalnie (izotomicznie) z punktem leży na biegunie trójliniowym punktu , to biegun trójliniowy punktu izogonalnie (izotomicznie) sprzężony z punktem leży na trójliniowej biegunowej punktu).

Kostki

Relacje w trójkącie

Uwaga: w tej sekcji, , , to długości trzech boków trójkąta, a , , to kąty leżące odpowiednio naprzeciw tych trzech boków (kąty przeciwne).

nierówność trójkąta

W niezdegenerowanym trójkącie suma długości jego dwóch boków jest większa niż długość trzeciego boku, w zdegenerowanym jest równa. Innymi słowy, długości boków trójkąta są powiązane następującymi nierównościami:

Nierówność trójkąta jest jednym z aksjomatów metryki.

Trójkąt suma kątów twierdzenie

Twierdzenie sinusoidalne

gdzie R jest promieniem okręgu opisanego na trójkącie. Z twierdzenia wynika, że ​​jeśli a< b < c, то α < β < γ.

Twierdzenie cosinusowe

Twierdzenie styczne

Inne proporcje

Stosunki metryczne w trójkącie są podane dla:

Rozwiązywanie trójkątów

Obliczanie nieznanych boków i kątów trójkąta na podstawie znanych było historycznie nazywane „rozwiązaniami trójkątów”. W tym przypadku stosuje się powyższe ogólne twierdzenia trygonometryczne.

Powierzchnia trójkąta

Dla obszaru zachodzą następujące nierówności:

Obliczanie pola trójkąta w przestrzeni za pomocą wektorów

Niech wierzchołki trójkąta będą w punktach , , .

Wprowadźmy wektor pola . Długość tego wektora jest równa polu trójkąta i jest skierowana wzdłuż normalnej do płaszczyzny trójkąta:

Niech , gdzie , , to rzuty trójkąta na płaszczyzny współrzędnych. W którym

I podobnie

Pole trójkąta to .

Alternatywą jest obliczenie długości boków (przy użyciu twierdzenia Pitagorasa), a następnie użycie wzoru Herona.

Twierdzenia o trójkątach

Twierdzenie Desarguesa: jeśli dwa trójkąty są perspektywiczne (linie przechodzące przez odpowiednie wierzchołki trójkątów przecinają się w jednym punkcie), to ich odpowiednie boki przecinają się na jednej prostej.

Twierdzenie Sonda: jeśli dwa trójkąty są perspektywiczne i ortologiczne (prostopadłe upuszczone z wierzchołków jednego trójkąta na boki przeciwne do odpowiednich wierzchołków trójkąta i odwrotnie), to oba centra ortologii (punkty przecięcia tych prostopadłych) i środek perspektywy leżeć na jednej prostej prostopadłej do osi perspektywy (prostej z twierdzenia Desarguesa).