Podstawowe pojęcia systemów liczbowych

System liczbowy to zestaw zasad i technik pisania liczb za pomocą zestawu znaków cyfrowych. Liczba cyfr potrzebnych do zapisania liczby w systemie nazywana jest podstawą systemu liczbowego. Podstawa systemu jest zapisana po prawej stronie liczby w indeksie dolnym: ; ; itp.

Istnieją dwa rodzaje systemów liczbowych:

pozycyjny, gdy wartość każdej cyfry liczby jest określona przez jej pozycję w zapisie liczby;

niepozycyjny, gdy wartość cyfry w liczbie nie zależy od jej miejsca w zapisie liczby.

Przykładem niepozycyjnego systemu liczbowego jest system rzymski: liczby IX, IV, XV itd. Przykładem systemu liczb pozycyjnych jest system dziesiętny używany na co dzień.

Dowolną liczbę całkowitą w systemie pozycyjnym można zapisać jako wielomian:

gdzie S jest podstawą systemu liczbowego;

Cyfry liczby zapisanej w danym systemie liczbowym;

n to liczba cyfr liczby.

Przykład. Numer jest zapisany w postaci wielomianu w następujący sposób:

Rodzaje systemów liczbowych

System liczb rzymskich jest systemem niepozycyjnym. Do pisania liczb używa liter alfabetu łacińskiego. W tym przypadku litera I zawsze oznacza jeden, litera V oznacza pięć, X oznacza dziesięć, L oznacza pięćdziesiąt, C oznacza sto, D oznacza pięćset, M oznacza tysiąc itd. Na przykład liczba 264 jest zapisana jako CCLXIV. Pisząc liczby w systemie rzymskim, wartością liczby jest suma algebraiczna zawartych w niej cyfr. W takim przypadku cyfry we wpisie liczby następują z reguły w kolejności malejącej ich wartości i nie wolno wpisywać obok siebie więcej niż trzech identycznych cyfr. W przypadku, gdy po cyfrze o większej wartości następuje cyfra o mniejszej wartości, jej udział w wartości liczby jako całości jest ujemny. W tabeli przedstawiono typowe przykłady ilustrujące ogólne zasady pisania liczb w systemie rzymskim.

Tabela 2. Zapisywanie liczb w systemie rzymskim

		III
	VII	VIII
	XIII	XVIII	XIX	XXII
XXXIV	XXXIX			XXIX
200	438	649	999	1207
	CDXXXVIII	DCXLIX	CMXCIX	MCCVII
2045	3555	3678	3900	3999
MMXLV	MMMDLV	MMMDCLXXVIII	MMMCM	MMMCXCIX

Wadą systemu rzymskiego jest brak formalnych zasad pisania liczb, a co za tym idzie, operacji arytmetycznych na liczbach wielocyfrowych. Ze względu na niewygodę i dużą złożoność system cyfr rzymskich jest obecnie stosowany tam, gdzie jest to naprawdę wygodne: w literaturze (numeracja rozdziałów), w papierkowej robocie (seria paszportów, papierów wartościowych itp.), w celach dekoracyjnych na tarczy zegarka i w szereg innych przypadków.

System liczb dziesiętnych jest obecnie najbardziej znany i używany. Wynalezienie systemu liczb dziesiętnych jest jednym z głównych osiągnięć myśli ludzkiej. Bez niego nowoczesna technologia nie mogłaby istnieć, nie mówiąc już o powstaniu. Powód, dla którego system liczb dziesiętnych stał się powszechnie akceptowany, nie jest wcale matematyczny. Ludzie są przyzwyczajeni do liczenia w notacji dziesiętnej, ponieważ mają na dłoniach 10 palców.

Starożytny obraz cyfr dziesiętnych (ryc. 1) nie jest przypadkowy: każda cyfra oznacza liczbę przez liczbę kątów w niej zawartych. Na przykład 0 - brak rogów, 1 - jeden róg, 2 - dwa rogi itd. Pisownia cyfr dziesiętnych uległa znaczącym zmianom. Stosowana przez nas forma powstała w XVI wieku.

System dziesiętny pojawił się po raz pierwszy w Indiach około VI wieku naszej ery. Numeracja indyjska używała dziewięciu znaków numerycznych i zera do wskazania pustej pozycji. We wczesnych indyjskich rękopisach, które do nas dotarły, numery pisane były w odwrotnej kolejności – najbardziej znacząca cyfra znajdowała się po prawej stronie. Wkrótce jednak regułą stało się umieszczanie takiej figurki po lewej stronie. Szczególną wagę przywiązywano do symbolu zerowego, który wprowadzono do notacji pozycyjnej. Numeracja indyjska, w tym zero, sprowadza się do naszych czasów. W Europie hinduskie metody arytmetyki dziesiętnej rozpowszechniły się na początku XIII wieku. dzięki pracy włoskiego matematyka Leonarda z Pizy (Fibonacciego). Europejczycy pożyczyli indyjski system liczbowy od Arabów, nazywając go arabskim. Ta historycznie niepoprawna nazwa zachowała się do dziś.

System dziesiętny wykorzystuje dziesięć cyfr - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9, a także symbole "+" i "-" do wskazania znaku liczby oraz przecinka lub okres, aby oddzielić liczby całkowite i ułamkowe.

Komputery używają binarnego systemu liczbowego, którego podstawą jest liczba 2. Do zapisywania liczb w tym systemie używane są tylko dwie cyfry - 0 i 1. Wbrew powszechnemu nieporozumieniu system liczb binarnych został wymyślony nie przez inżynierów komputerowych, ale przez matematyków i filozofów na długo przed pojawieniem się komputerów, w XVII i XIX wieku. Pierwsza opublikowana dyskusja na temat systemu liczb binarnych została opublikowana przez hiszpańskiego księdza Juana Caramuela Lobkowitza (1670). Ogólną uwagę na ten system zwrócił artykuł niemieckiego matematyka Gottfrieda Wilhelma Leibniza, opublikowany w 1703 roku. Wyjaśniał on działania binarne dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia. Leibniz nie zalecał stosowania tego systemu do obliczeń praktycznych, ale podkreślał jego znaczenie dla badań teoretycznych. Z biegiem czasu system liczb binarnych staje się dobrze znany i rozwija się.

Wybór systemu binarnego do zastosowania w technice komputerowej tłumaczy się tym, że elementy elektroniczne - wyzwalacze tworzące mikroukłady komputerowe, mogą znajdować się tylko w dwóch stanach roboczych.

Za pomocą systemu kodowania binarnego można rejestrować dowolne dane i wiedzę. Łatwo to zrozumieć, jeśli pamiętasz zasadę kodowania i przesyłania informacji za pomocą alfabetu Morse'a. Operator telegrafu, posługując się tylko dwoma znakami tego alfabetu - kropkami i kreskami, może przesłać prawie każdy tekst.

System binarny jest wygodny dla komputera, ale niewygodny dla osoby: liczby są długie i trudne do zapisania i zapamiętania. Oczywiście można przekonwertować liczbę na system dziesiętny i zapisać ją w tej formie, a następnie, gdy trzeba ją przetłumaczyć z powrotem, ale wszystkie te tłumaczenia są czasochłonne. Dlatego używane są systemy liczbowe związane z binarnym - ósemkowym i szesnastkowym. Do zapisywania liczb w tych systemach wymagane jest odpowiednio 8 i 16 cyfr. W systemie szesnastkowym pierwszych 10 cyfr jest wspólnych, a następnie używane są wielkie litery łacińskie. Cyfra szesnastkowa A odpowiada dziesiętnemu 10, szesnastkowe B dziesiętnemu 11 itd. Użycie tych systemów tłumaczy się tym, że przejście do zapisu liczby w dowolnym z tych systemów z jej zapisu binarnego jest bardzo proste. Poniżej znajduje się tabela korespondencji liczb zapisanych w różnych systemach.

Tabela 3. Korespondencja liczb zapisanych w różnych systemach liczbowych

Dziesiętny	Dwójkowy	ósemkowy	Szesnastkowy
	001
	010
	011
	100
	101
	110
	111
	1000
	1001
	1010
	1011
	1100
	1101		D http://viagrasstore.net/generic-viagra-soft/
	1110
	1111
	10000

Zasady konwersji liczb z jednego systemu liczbowego na inny

Konwersja liczb z jednego systemu liczbowego na inny jest ważną częścią arytmetyki maszynowej. Rozważ podstawowe zasady tłumaczenia.

1. Aby przekonwertować liczbę dwójkową na dziesiętną, należy zapisać ją jako wielomian składający się z iloczynów cyfr liczby i odpowiedniej potęgi liczby 2 i obliczyć zgodnie z zasadami arytmetyki dziesiętnej:

Podczas tłumaczenia wygodnie jest korzystać z tabeli potęg dwojga:

Tabela 4. Potęgi 2

n (stopień)
											1024

Przykład. Konwertuj liczbę na system liczb dziesiętnych.

2. Aby przetłumaczyć liczbę ósemkową na dziesiętną, należy zapisać ją jako wielomian składający się z iloczynów cyfr liczby i odpowiedniej potęgi liczby 8 i obliczyć zgodnie z zasadami arytmetyki dziesiętnej:

Podczas tłumaczenia wygodnie jest korzystać z tabeli potęg ośmiu:

Tabela 5. Potęgi 8

n (stopień)

Kalkulator umożliwia konwersję liczb całkowitych i ułamkowych z jednego systemu liczbowego na inny. Podstawa systemu liczbowego nie może być mniejsza niż 2 i większa niż 36 (w końcu 10 cyfr i 26 liter łacińskich). Liczby nie mogą przekraczać 30 znaków. Aby wprowadzić liczby ułamkowe, użyj symbolu. lub, . Aby przekonwertować liczbę z jednego systemu na inny, wprowadź oryginalną liczbę w pierwszym polu, podstawę oryginalnego systemu liczbowego w drugim i podstawę systemu liczbowego, na który chcesz przekonwertować liczbę w trzecim polu, następnie kliknij przycisk „Pobierz wpis”.

oryginalny numer odnotowane w 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ty system liczbowy.

Chcę uzyskać zapis numeru w 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ty system liczbowy.

Zdobądź wpis

Tłumaczenia ukończone: 3722471

Może być również interesujące:

• Kalkulator tabeli prawdy. SDNF. SKNF. Wielomian Żegalkina

Systemy liczbowe

Systemy liczbowe dzielą się na dwa typy: pozycyjny oraz nie pozycyjny. Używamy systemu arabskiego, jest on pozycyjny, jest też system rzymski – po prostu nie jest pozycyjny. W systemach pozycyjnych pozycja cyfry w liczbie jednoznacznie określa wartość tej liczby. Łatwo to zrozumieć, patrząc na przykład pewnej liczby.

Przykład 1. Weźmy liczbę 5921 w systemie liczb dziesiętnych. Numerujemy od prawej do lewej, zaczynając od zera:

Liczbę 5921 można zapisać w postaci: 5921 = 5000+900+20+1 = 5 10 3 +9 10 2 +2 10 1 +1 10 0 . Liczba 10 to cecha, która definiuje system liczbowy. Wartości pozycji podanej liczby są przyjmowane w stopniach.

Przykład 2. Rozważ rzeczywistą liczbę dziesiętną 1234.567. Numerujemy ją zaczynając od pozycji zerowej liczby od przecinka po lewej i prawej stronie:

Liczbę 1234,567 można zapisać w następujący sposób: 1234,567 = 1000+200+30+4+0,5+0,06+0,007 = 1 10 3 +2 10 2 +3 10 1 +4 10 0 +5 10 -1 + 6 10 -2 +7 10 -3 .

Konwersja liczb z jednego systemu liczbowego na inny

Najłatwiejszym sposobem przetłumaczenia liczby z jednego systemu liczbowego na drugi jest przekonwertowanie liczby najpierw na system dziesiętny, a następnie uzyskany wynik na wymagany system liczbowy.

Konwersja liczb z dowolnego systemu liczbowego na system liczb dziesiętnych

Aby przekonwertować liczbę z dowolnego systemu liczbowego na dziesiętny, wystarczy ponumerować jej cyfry, zaczynając od zera (cyfra po lewej stronie przecinka dziesiętnego) podobnie jak w przykładach 1 lub 2. Znajdźmy sumę iloczynów cyfr liczby przez podstawę systemu liczbowego do potęgi pozycji tej cyfry:

1. Konwertuj liczbę 1001101.1101 2 na system liczb dziesiętnych.
Rozwiązanie: 10011.1101 2 = 1 2 4 +0 2 3 +0 2 2 +1 2 1 +1 2 0 +1 2 -1 +1 2 -2 +0 2 -3 +1 2 - 4 = 16+2+1+0,5 +0,25+0,0625 = 19,8125 10
Odpowiadać: 10011.1101 2 = 19.8125 10

2. Konwertuj liczbę E8F.2D 16 na system liczb dziesiętnych.
Rozwiązanie: E8F.2D 16 = 14 16 2 +8 16 1 +15 16 0 +2 16 -1 +13 16 -2 = 3584+128+15+0.125+0.05078125 = 3727.17578125 10
Odpowiadać: E8F.2D 16 = 3727,17578125 10

Konwersja liczb z systemu liczb dziesiętnych na inny system liczbowy

Aby przekonwertować liczby z dziesiętnego systemu liczbowego na inny system liczbowy, części całkowite i ułamkowe liczby muszą zostać przetłumaczone osobno.

Konwersja części całkowitej liczby z systemu liczb dziesiętnych na inny system liczbowy

Część całkowita jest tłumaczona z dziesiętnego systemu liczbowego na inny system liczbowy, kolejno dzieląc część całkowitą liczby przez podstawę systemu liczbowego, aż do uzyskania reszty całkowitej, mniejszej niż podstawa systemu liczbowego. Wynikiem przeniesienia będzie zapis ze szczątków, począwszy od ostatniego.

3. Konwertuj liczbę 273 10 na system ósemkowy.
Rozwiązanie: 273/8 = 34, a reszta 1, 34/8 = 4, a reszta 2, 4 jest mniejsza niż 8, więc obliczenia są kompletne. Rekord z szczątków będzie wyglądał tak: 421
Badanie: 4 8 2 +2 8 1 +1 8 0 = 256+16+1 = 273 = 273 , wynik jest taki sam. Więc tłumaczenie jest poprawne.
Odpowiadać: 273 10 = 421 8

Rozważmy tłumaczenie poprawnych ułamków dziesiętnych na różne systemy liczbowe.

Konwersja części ułamkowej liczby z systemu liczb dziesiętnych na inny system liczbowy

Przypomnij sobie, że prawidłowy ułamek dziesiętny to liczba rzeczywista z zerową częścią całkowitą. Aby przetłumaczyć taką liczbę na system liczbowy o podstawie N, musisz konsekwentnie mnożyć liczbę przez N, aż część ułamkowa zostanie wyzerowana lub uzyskana zostanie wymagana liczba cyfr. Jeżeli podczas mnożenia uzyska się liczbę z częścią całkowitą inną niż zero, to część całkowita nie jest dalej brana pod uwagę, ponieważ jest kolejno wpisywana do wyniku.

4. Konwertuj liczbę 0,125 10 na system liczb binarnych.
Rozwiązanie: 0,125 2 = 0,25 (0 to część całkowita, która będzie pierwszą cyfrą wyniku), 0,25 2 = 0,5 (0 to druga cyfra wyniku), 0,5 2 = 1,0 (1 to trzecia cyfra wyniku , a ponieważ część ułamkowa wynosi zero , tłumaczenie jest zakończone).
Odpowiadać: 0.125 10 = 0.001 2

Notacja to metoda zapisu liczby przy użyciu określonego zestawu znaków specjalnych (liczb).

Notacja:

• daje reprezentację zbioru liczb (całkowitych i/lub rzeczywistych);

• nadaje każdej liczbie unikalną reprezentację (lub przynajmniej standardową reprezentację);

• wyświetla strukturę algebraiczną i arytmetyczną liczby.

Zapisanie liczby w jakimś systemie liczbowym nazywa się kod numeryczny.

Pojedyncza pozycja na wyświetlaczu liczby nazywa się wypisać, więc numer pozycji to numer rangi.

Liczba cyfr w liczbie nazywa się głębia bitowa i pasuje do jego długości.

Systemy liczbowe są podzielone na pozycyjny oraz niepozycyjny. Systemy liczb pozycyjnych są podzielone

na jednorodny oraz mieszany.

system liczb ósemkowych, system liczb szesnastkowych i inne systemy liczbowe.

Tłumaczenie systemów liczbowych. Liczby można przekonwertować z jednego systemu liczbowego na inny.

Tablica korespondencyjna liczb w różnych systemach liczbowych.

Przypisanie usługi. Usługa ma na celu tłumaczenie liczb z jednego systemu liczbowego na inny online. Aby to zrobić, wybierz bazę systemu, z którego chcesz przetłumaczyć numer. Możesz wprowadzić zarówno liczby całkowite, jak i liczby z przecinkiem.

Możesz wprowadzić liczby całkowite, na przykład 34 , lub ułamki, na przykład 637,333 . W przypadku liczb ułamkowych wskazana jest dokładność tłumaczenia po przecinku.

W tym kalkulatorze używane są również następujące elementy:

Sposoby przedstawiania liczb

Dwójkowy Liczby (binarne) - każda cyfra oznacza wartość jednego bitu (0 lub 1), najbardziej znaczący bit jest zawsze zapisywany z lewej strony, po liczbie umieszczana jest litera „b”. Dla ułatwienia percepcji zeszyty można oddzielić spacjami. Na przykład 1010 0101b.
Szesnastkowy Liczby (szesnastkowe) - każda tetrada jest reprezentowana przez jeden znak 0...9, A, B, ..., F. Taką reprezentację można oznaczyć na różne sposoby, tutaj tylko znak "h" jest używany po ostatnim cyfra szesnastkowa. Na przykład A5h. W tekstach programu ta sama liczba może być oznaczona jako 0xA5 i 0A5h, w zależności od składni języka programowania. Nieznaczące zero (0) jest dodawane po lewej stronie najbardziej znaczącej cyfry szesnastkowej reprezentowanej przez literę, aby odróżnić liczby od nazw symbolicznych.
Ułamki dziesiętne (dziesiętne) liczby - każdy bajt (słowo, podwójne słowo) jest reprezentowany przez zwykłą liczbę, a znak reprezentacji dziesiętnej (litera „d”) jest zwykle pomijany. Bajt z poprzednich przykładów ma wartość dziesiętną 165. W przeciwieństwie do notacji binarnej i szesnastkowej, dziesiętna jest trudna do określenia wartości każdego bitu, co czasami trzeba zrobić.
ósemkowy Liczby (ósemkowe) - każda trójka bitów (oddzielanie zaczyna się od najmniej znaczącej) zapisujemy jako cyfrę 0-7, na końcu umieszczamy znak "o". Ta sama liczba zostałaby zapisana jako 245o. System ósemkowy jest niewygodny, ponieważ bajt nie może być równo podzielony.

Algorytm konwersji liczb z jednego systemu liczbowego na inny

Konwersja liczb całkowitych dziesiętnych na dowolny inny system liczbowy jest przeprowadzana przez podzielenie liczby przez podstawę nowego systemu liczbowego, dopóki reszta nie pozostawi liczby mniejszej niż podstawa nowego systemu liczbowego. Nowa liczba jest zapisywana jako pozostała część dzielenia, zaczynając od ostatniej.
Konwersja poprawnego ułamka dziesiętnego na inny PSS odbywa się poprzez pomnożenie tylko części ułamkowej liczby przez podstawę nowego systemu liczbowego, aż wszystkie zera pozostaną w części ułamkowej lub do osiągnięcia określonej dokładności translacji. W wyniku każdej operacji mnożenia powstaje jedna cyfra nowej liczby, zaczynając od najwyższej.
Tłumaczenie ułamka niewłaściwego odbywa się zgodnie z pierwszą i drugą zasadą. Części całkowite i ułamkowe są napisane razem, oddzielone przecinkiem.

Przykład 1.



Tłumaczenie od 2 do 8 do 16 systemu liczbowego.
Systemy te są wielokrotnościami dwóch, dlatego tłumaczenie odbywa się za pomocą tabeli korespondencji (patrz poniżej).

Aby przekonwertować liczbę z systemu liczb binarnych na liczbę ósemkową (szesnastkową), konieczne jest podzielenie liczby dwójkowej na grupy po trzy (cztery dla szesnastkowych) cyfr od przecinka z prawej i lewej strony, uzupełniając skrajne grupy zerami Jeśli to konieczne. Każda grupa jest zastępowana odpowiednią cyfrą ósemkową lub szesnastkową.

Przykład #2. 1010111010.1011 = 1.010.111.010.101.1 = 1272,51 8
tutaj 001=1; 010=2; 111=7; 010=2; 101=5; 001=1

Podczas konwersji na liczbę szesnastkową musisz podzielić liczbę na części, każda po cztery cyfry, zgodnie z tymi samymi zasadami.
Przykład #3. 1010111010.1011 = 10.1011.1010.1011 = 2B12.13 HEX
tutaj 0010=2; 1011=B; 1010=12; 1011=13

Konwersja liczb z 2, 8 i 16 na system dziesiętny odbywa się poprzez rozbicie liczby na oddzielne i pomnożenie jej przez podstawę systemu (z którego liczba jest tłumaczona) podniesioną do potęgi odpowiadającej jej liczbie porządkowej w przetłumaczonym numerze. W tym przypadku liczby są numerowane po lewej stronie przecinka (pierwsza liczba ma numer 0) ze wzrostem, a po prawej ze spadkiem (tzn. ze znakiem minus). Otrzymane wyniki są sumowane.

Przykład #4.
Przykład konwersji z systemu liczb binarnych na dziesiętne.

1010010.101 2 = 1 2 6 +0 2 5 +1 2 4 +0 2 3 +0 2 2 +1 2 1 +0 2 0 + 1 2 -1 +0 2 - 2 +1 2 -3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0,5+0+0,125 = 82,625 10 Przykład konwersji z systemu liczb ósemkowych na dziesiętne. 108,5 8 = 1* 8 2 +0 8 1 +8 8 0 + 5 8 -1 = 64+0+8+0,625 = 72,625 10 Przykład konwersji z systemu liczb szesnastkowych na dziesiętne. 108,5 16 = 1 16 2 +0 16 1 +8 16 0 + 5 16 -1 = 256+0+8+0,3125 = 264,3125 10

Po raz kolejny powtarzamy algorytm tłumaczenia liczb z jednego systemu liczbowego na inny PSS

1. Z systemu liczb dziesiętnych:
   • podziel liczbę przez podstawę tłumaczonego systemu liczbowego;
   • znajdź resztę po podzieleniu części całkowitej liczby;
   • zapisz wszystkie reszty z dzielenia w odwrotnej kolejności;
2. Z systemu binarnego
   • Aby przekonwertować na system liczb dziesiętnych, musisz znaleźć sumę produktów o podstawie 2 przez odpowiedni stopień rozładowania;
   • Aby przekonwertować liczbę na ósemkową, musisz podzielić liczbę na triady.
     Na przykład 1000110 = 1000 110 = 106 8
   • Aby przekonwertować liczbę z binarnej na szesnastkową, musisz podzielić ją na grupy po 4 cyfry.
     Na przykład 1000110 = 100 0110 = 46 16

System nazywa się pozycyjnym., dla których znaczenie lub waga cyfry zależy od jej położenia w liczbie. Relacja między systemami jest wyrażona w tabeli.
Tabela korespondencji systemów liczbowych:

Binarne SS	Szesnastkowy SS
0000	0
0001	1
0010	2
0011	3
0100	4
0101	5
0110	6
0111	7
1000	8
1001	9
1010	A
1011	B
1100	C
1101	D
1110	mi
1111	F

Tabela do konwersji na system liczb ósemkowych

Przykład #2. Konwertuj liczbę 100,12 z dziesiętnej na ósemkową i odwrotnie. Wyjaśnij przyczyny rozbieżności.
Rozwiązanie.
Scena 1. .

Pozostała część dzielenia jest zapisana w odwrotnej kolejności. Otrzymujemy liczbę w ósmym systemie liczbowym: 144
100 = 144 8

Aby przetłumaczyć część ułamkową liczby, kolejno mnożymy część ułamkową przez podstawę 8. W rezultacie za każdym razem zapisujemy część całkowitą iloczynu.
0,12*8 = 0,96 (cała część 0 )
0,96*8 = 7,68 (cała część 7 )
0,68*8 = 5,44 (cała część 5 )
0,44*8 = 3,52 (cała część 3 )
Otrzymujemy numer w ósmym systemie liczbowym: 0753.
0.12 = 0.753 8

100,12 10 = 144,0753 8

Etap 2. Zamiana liczby z dziesiętnej na ósemkową.
Odwrotna konwersja z ósemkowej na dziesiętną.

Aby przetłumaczyć część całkowitą, należy pomnożyć cyfrę liczby przez odpowiedni stopień cyfry.
144 = 8 2 *1 + 8 1 *4 + 8 0 *4 = 64 + 32 + 4 = 100

Aby przetłumaczyć część ułamkową, należy podzielić cyfrę liczby przez odpowiedni stopień cyfry
0753 = 8 -1 *0 + 8 -2 *7 + 8 -3 *5 + 8 -4 *3 = 0.119873046875 = 0.1199

144,0753 8 = 100,96 10
Różnica 0,0001 (100,12 - 100,1199) wynika z błędu zaokrąglenia podczas konwersji na liczbę ósemkową. Ten błąd można zmniejszyć, jeśli weźmiemy większą liczbę cyfr (na przykład nie 4, ale 8).

System liczbowy (angielski system liczbowy lub system numeracji) - symboliczna metoda zapisywania liczb, reprezentująca liczby za pomocą pisanych znaków

Jaka jest podstawa i podstawa systemu liczbowego?

Definicja: Podstawa systemu liczbowego to liczba różnych znaków lub symboli, które
są używane do reprezentowania cyfr w tym systemie.
Za podstawę przyjmuje się dowolną liczbę naturalną - 2, 3, 4, 16 itd. Oznacza to, że istnieje nieskończoność
wiele systemów pozycyjnych. Na przykład w systemie dziesiętnym podstawą jest 10.

Ustalenie podstawy jest bardzo proste, wystarczy przeliczyć liczbę cyfr znaczących w systemie. Mówiąc najprościej, jest to liczba, od której zaczyna się druga cyfra liczby. Na przykład używamy liczb 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Jest ich dokładnie 10, więc podstawą naszego systemu liczbowego jest również 10, a system liczbowy to nazywany „dziesiętnym”. W powyższym przykładzie użyto liczb 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (pomocnicze 10, 100, 1000, 10000 itd. nie liczą się). Istnieje również 10 głównych cyfr, a system liczbowy jest dziesiętny.

Podstawa systemu to sekwencja cyfr używana do zapisu . W żadnym systemie nie ma cyfry równej podstawie systemu.

Jak łatwo się domyślić, ile jest liczb, może być tyle podstaw systemów liczbowych. Ale używane są tylko najwygodniejsze podstawy systemów liczbowych. Jak myślisz, dlaczego podstawą najpopularniejszego systemu liczb ludzkich jest 10? Tak, właśnie dlatego, że na dłoniach mamy 10 palców. „Ale na jednej ręce jest tylko pięć palców”, powiedzą niektórzy i będą mieli rację. Historia ludzkości zna przykłady pięciokrotnych systemów liczbowych. „A z nogami - dwadzieścia palców” - powiedzą inni, a także będą mieli absolutną rację. Tak myśleli Majowie. Widać to nawet w ich liczbie.

System liczb dziesiętnych

Wszyscy jesteśmy przyzwyczajeni do liczenia liczb i liczb znanych nam od dzieciństwa. Raz, dwa, trzy, cztery itd. W naszym codziennym systemie liczbowym jest tylko dziesięć cyfr (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), z których składamy dowolne liczby. Po osiągnięciu dziesięciu dodajemy jedynkę do cyfry po lewej stronie i ponownie zaczynamy liczyć od zera w skrajnej prawej cyfrze. Ten system liczbowy nazywa się dziesiętnym.

Nietrudno zgadnąć, że wybrali go nasi przodkowie, ponieważ liczba palców u obu rąk wynosi dziesięć. Ale jakie są inne systemy liczbowe? Czy system dziesiętny był zawsze używany, czy też były inne?

Historia powstania systemów liczbowych

Przed wynalezieniem zera do pisania liczb używano specjalnych znaków. Każdy naród miał swój własny. Na przykład w starożytnym Rzymie dominował niepozycyjny system liczbowy.

System liczbowy nazywany jest niepozycyjnym, jeśli wartość cyfry nie zależy od miejsca, w którym się znajduje. Za najbardziej zaawansowane systemy liczbowe uważano systemy liczbowe używane w Rosji i starożytnej Grecji.

W nich duże liczby oznaczono literami, ale z dodatkiem dodatkowych znaków (1 - a, 100 - i itd.). Innym niepozycyjnym systemem liczbowym był ten używany w starożytnym Babilonie. W swoim systemie mieszkańcy Babilonu używali zapisu „dwóch pięter” i tylko trzech znaków: jeden w babilońskim systemie liczbowym oznacza jeden, dziesięć w babilońskim systemie liczbowym oznacza dziesięć, a zero w babilońskim systemie liczbowym oznacza zero.

Systemy liczb pozycyjnych

Systemy pozycyjne stały się krokiem naprzód. Teraz liczba dziesiętna wygrała wszędzie, ale są też inne systemy często używane w naukach stosowanych. Przykładem takiego systemu liczbowego jest system liczb binarnych.
System liczb binarnych

To na nim komunikują się komputery i cała elektronika w Twoim domu. W tym systemie liczbowym używane są tylko dwie cyfry: 0 i 1. Pytasz, dlaczego nie można było nauczyć komputera liczyć do dziesięciu, tak jak osoba? Odpowiedź leży na powierzchni.

Łatwo jest nauczyć maszynę rozróżniania dwóch znaków: włączony oznacza 1, wyłączony oznacza 0; jest prąd - 1, brak prądu - 0. Próbowano zrobić maszyny, które potrafiłyby rozróżnić większą liczbę cyfr. Ale wszystkie okazały się zawodne, komputery zawsze były zdezorientowane: albo przyszedł do nich 1, albo 2.

Jesteśmy otoczeni przez wiele różnych systemów liczbowych. Każdy z nich jest przydatny na swoim terenie. A odpowiedź na pytanie, którego i kiedy używać, pozostaje u nas.