Wykonaj niezbędne pomiary i znajdź obwód trójkąta. Znajdowanie obwodu trójkąta na różne sposoby

Jednym z podstawowych kształtów geometrycznych jest trójkąt. Powstaje, gdy przecinają się trzy odcinki linii. Te odcinki linii tworzą boki figury, a punkty ich przecięcia nazywane są wierzchołkami. Każdy student kursu geometrii musi umieć znaleźć obwód tej figury. Nabyta umiejętność przyda się niejednemu w dorosłym życiu np. przyda się uczniowi, inżynierowi, budowniczemu,

Obwód trójkąta można znaleźć na różne sposoby. Wybór potrzebnej formuły zależy od dostępnych danych źródłowych. Aby zapisać tę wartość w terminologii matematycznej, stosuje się specjalne oznaczenie - P. Zastanów się, jaki jest obwód, główne metody obliczania go dla trójkątnych figur różnych typów.

Najłatwiejszym sposobem znalezienia obwodu kształtu jest posiadanie danych dla wszystkich boków. W tym przypadku stosowana jest następująca formuła:

Litera „P” oznacza wartość samego obwodu. Z kolei „a”, „b” i „c” to długości boków.

Znając rozmiar trzech wielkości, wystarczy uzyskać ich sumę, czyli obwód.

Alternatywna opcja

W problemach matematycznych wszystkie podane długości są rzadko znane. W takich przypadkach zaleca się skorzystanie z alternatywnego sposobu znalezienia żądanej wartości. Gdy warunki określają długość dwóch prostych, a także kąt między nimi, obliczenia dokonuje się poprzez poszukiwanie trzeciej. Aby znaleźć tę liczbę, musisz uzyskać pierwiastek kwadratowy za pomocą wzoru:

.

Obwód po obu stronach

Aby obliczyć obwód, nie trzeba znać wszystkich danych figury geometrycznej. Rozważ metody obliczeń z dwóch stron.

Trójkąt równoramienny

Trójkąt nazywamy równoramiennym, jeśli co najmniej dwa jego boki mają taką samą długość. Nazywa się je bocznymi, a trzeci bok nazywa się podstawą. Równe linie tworzą kąt wierzchołkowy. Cechą trójkąta równoramiennego jest obecność jednej osi symetrii. Oś to pionowa linia rozpoczynająca się od górnego rogu i kończąca się na środku podstawy. W swej istocie oś symetrii obejmuje następujące koncepcje:

• dwusieczna kąta wierzchołka;
• mediana do podstawy;
• wysokość trójkąta;
• środkowy prostopadły.

Aby obliczyć obwód trójkąta równoramiennego, użyj wzoru.

W takim przypadku musisz znać tylko dwie wielkości: podstawę i długość jednego boku. Oznaczenie „2a” oznacza pomnożenie długości boku przez 2. Do powstałej liczby należy dodać wartość podstawy - „b”.

W wyjątkowym przypadku, gdy długość podstawy trójkąta równoramiennego jest równa jego linii bocznej, można zastosować prostszą metodę. Wyraża się to następującym wzorem:

Aby uzyskać wynik, wystarczy pomnożyć tę liczbę przez trzy. Ta formuła służy do obliczania obwodu trójkąta foremnego.

Przydatne wideo: problemy na obwodzie trójkąta

Trójkąt prostokątny

Główną różnicą między trójkątem prostokątnym a innymi kształtami geometrycznymi tej kategorii jest obecność kąta 90 °. Na tej podstawie określany jest typ sylwetki. Przed określeniem, jak znaleźć obwód trójkąta prostokątnego, warto zauważyć, że ta wartość dla dowolnej płaskiej figury geometrycznej jest sumą wszystkich boków. Tak więc w tym przypadku najłatwiejszym sposobem znalezienia wyniku jest zsumowanie trzech wartości.

W terminologii naukowej te boki, które przylegają do kąta prostego, nazywane są „nogami”, a przeciwprostokątną przeciwprostokątną do kąta 90º. Cechy tej postaci były badane przez starożytnego greckiego naukowca Pitagorasa. Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów nóg.

.

Na podstawie tego twierdzenia wyprowadzany jest inny wzór, który wyjaśnia, jak znaleźć obwód trójkąta, mając dwa znane boki. Możesz obliczyć obwód o określonej długości nóg za pomocą następującej metody.

.

Aby znaleźć obwód, mając informacje o wielkości jednej nogi i przeciwprostokątnej, musisz określić długość drugiej przeciwprostokątnej. W tym celu stosuje się następujące wzory:

.

Również obwód opisanego typu figury jest określany bez danych o wymiarach nóg.

Będziesz musiał znać długość przeciwprostokątnej, a także kąt do niej przylegający. Znając długość jednej z nóg, jeśli przylega do niej kąt, obwód figury oblicza się według wzoru:

.

Wstępne informacje

Obwód dowolnej płaskiej figury geometrycznej na płaszczyźnie definiuje się jako sumę długości wszystkich jej boków. Trójkąt nie jest tu wyjątkiem. Najpierw podajemy pojęcie trójkąta, a także rodzaje trójkątów w zależności od boków.

Definicja 1

Trójkąt będziemy nazywać figurą geometryczną, która składa się z trzech punktów połączonych odcinkami (ryc. 1).

Definicja 2

Punkty w definicji 1 będą nazywane wierzchołkami trójkąta.

Definicja 3

Segmenty w ramach Definicji 1 będą nazywane bokami trójkąta.

Oczywiście każdy trójkąt będzie miał 3 wierzchołki oraz 3 boki.

W zależności od stosunku boków do siebie trójkąty dzielą się na pochyłe, równoramienne i równoboczne.

Definicja 4

Mówimy, że trójkąt jest skalenem, jeśli żaden z jego boków nie jest równy żadnemu innemu.

Definicja 5

Trójkąt będziemy nazywać równoramiennymi, jeśli dwa jego boki są sobie równe, ale nie są równe trzeciemu bokowi.

Definicja 6

Trójkąt nazywamy równobocznym, jeśli wszystkie jego boki są sobie równe.

Możesz zobaczyć wszystkie typy tych trójkątów na rysunku 2.

Jak znaleźć obwód trójkąta skalenowego?

Otrzymamy trójkąt skaleniczny o bokach równych $α$, $β$ i $γ$.

Wniosek: Aby obliczyć obwód trójkąta południowego, dodaj do siebie wszystkie długości jego boków.

Przykład 1

Znajdź obwód trójkąta południowego równy 34 $ cm, 12 $ cm i 11 $ cm.

$P=34+12+11=57$ cm

Odpowiedź: 57 $ patrz.

Przykład 2

Znajdź obwód trójkąta prostokątnego, którego przyprostokątne mają długość 6$ i 8$ cm.

Najpierw obliczamy długość przeciwprostokątnych tego trójkąta za pomocą twierdzenia Pitagorasa. Oznaczmy to zatem przez $α$

$α=10$ Zgodnie z zasadą obliczania obwodu trójkąta skalenicznego otrzymujemy

$P=10+8+6=24$ cm

Odpowiedź: 24 $ patrz.

Jak znaleźć obwód trójkąta równoramiennego?

Otrzymamy trójkąt równoramienny, którego boki będą równe $α$, a długość podstawy będzie równa $β$.

Z definicji obwodu płaskiej figury geometrycznej otrzymujemy to

$P=α+α+β=2α+β$

Wniosek: Aby obliczyć obwód trójkąta równoramiennego, dodaj dwa razy długość jego boków do długości jego podstawy.

Przykład 3

Oblicz obwód trójkąta równoramiennego, jeśli jego boki mają długość 12 cm, a podstawa 11 cm.

Z powyższego przykładu to widzimy

$P=2\cdot 12+11=35$ cm

Odpowiedź: 35 $ patrz.

Przykład 4

Znajdź obwód trójkąta równoramiennego, jeśli jego wysokość poprowadzona do podstawy wynosi 8 $ cm, a podstawa 12 $ cm.

Rozważ rysunek zgodnie ze stanem problemu:

Ponieważ trójkąt jest równoramienny, $BD$ jest również medianą, stąd $AD=6$ cm.

Z twierdzenia Pitagorasa z trójkąta $ADB$ znajdujemy bok. Oznaczmy to zatem przez $α$

Zgodnie z zasadą obliczania obwodu trójkąta równoramiennego otrzymujemy

$P=2\cdot 10+12=32$ cm

Odpowiedź: 32 $ patrz.

Jak znaleźć obwód trójkąta równobocznego?

Dany jest nam trójkąt równoboczny o długościach wszystkich boków równych $α$.

Z definicji obwodu płaskiej figury geometrycznej otrzymujemy to

$P=α+α+α=3α$

Wniosek: Aby obliczyć obwód trójkąta równobocznego, pomnóż długość boku trójkąta przez 3 dolary.

Przykład 5

Oblicz obwód trójkąta równobocznego, jeśli jego bok ma długość 12 $ cm.

Z powyższego przykładu to widzimy

$P=3\cdot 12=36$ cm

P=a+b+c Jak znaleźć obwód trójkąta: Każdy wie, że obwód jest łatwy do znalezienia — wystarczy dodać wszystkie trzy boki trójkąta. Istnieje jednak kilka innych sposobów na znalezienie sumy długości boków trójkąta. Krok 1 Mając dany promień okręgu wpisanego w trójkąt i jego pole, oblicz obwód korzystając ze wzoru P=2S/r. Krok 2 Jeśli znasz dwa kąty, na przykład α i β, przylegające do boku, oraz długość tego boku, to aby obliczyć obwód, użyj wzoru a+sinα∙а/(sin(180°-α- β)) + sinβ∙а /(sin(180°-α-β)). Krok 3 Jeśli warunek określa sąsiednie boki i kąt β między nimi, podczas obliczania obwodu weź pod uwagę twierdzenie o cosinusie. Wtedy P=a+b+√(a^2+b^2-2∙a∙b∙cosβ), gdzie a^2 i b^2 to kwadraty długości sąsiednich boków. Wyrażenie pod pierwiastkiem to długość trzeciego nieznanego boku, wyrażona przez twierdzenie cosinus. Krok 4 W przypadku trójkąta równoramiennego wzór na obwód przyjmuje postać P=2a+b, gdzie a to boki, a b to jego podstawa. Krok 5 Oblicz obwód trójkąta foremnego korzystając ze wzoru P=3a. Krok 6 Znajdź obwód, korzystając z promieni okręgów wpisanych w trójkąt lub opisanych wokół niego. Zatem dla trójkąta równobocznego zapamiętaj i użyj wzoru P=6r√3=3R√3, gdzie r jest promieniem okręgu wpisanego, a R jest promieniem okręgu wpisanego. Krok 7 Dla trójkąta równoramiennego zastosuj wzór P=2R(2sinα+sinβ), gdzie α to kąt przy podstawie, a β to kąt naprzeciw podstawy.

Każdy trójkąt jest równy sumie długości jego trzech boków. Ogólny wzór na znalezienie obwodu trójkąta to:

P = A + B + C

Gdzie P jest obwodem trójkąta A, B I C- jego boki.

Można go znaleźć, dodając długości jego boków szeregowo lub mnożąc długość boku przez 2 i dodając do iloczynu długość podstawy. Ogólny wzór na znalezienie obwodu trójkątów równoramiennych będzie wyglądał następująco:

P = 2A + B

Gdzie P jest obwodem trójkąta równoramiennego, A- dowolna ze stron, B- baza.

Możesz go znaleźć, dodając długości jego boków w szeregu lub mnożąc długość dowolnego z jego boków przez 3. Ogólny wzór na znalezienie obwodu trójkąta równobocznego będzie wyglądał następująco:

P = 3A

Gdzie P jest obwodem trójkąta równobocznego, A- dowolny z jego boków.

Kwadrat

Aby zmierzyć powierzchnię trójkąta, możesz porównać go z równoległobokiem. Rozważ trójkąt ABC:

Jeśli weźmiesz równy mu trójkąt i połączysz go tak, aby uzyskać równoległobok, otrzymasz równoległobok o tej samej wysokości i podstawie co ten trójkąt:

W tym przypadku wspólny bok złożonych razem trójkątów jest przekątną utworzonego równoległoboku. Z właściwości równoległoboków wiadomo, że przekątna zawsze dzieli równoległobok na dwa równe trójkąty, co oznacza, że ​​\u200b\u200bpole każdego trójkąta jest równe połowie pola równoległoboku.

Ponieważ pole równoległoboku jest równe iloczynowi jego podstawy i wysokości, pole trójkąta będzie równe połowie tego iloczynu. Więc dla Δ ABC pole będzie równe

Rozważmy teraz trójkąt prostokątny:

Dwa równe trójkąty prostokątne można złożyć w prostokąt, jeśli są oparte o siebie przeciwprostokątną. Ponieważ pole prostokąta jest równe iloczynowi sąsiednich boków, pole danego trójkąta wynosi:

Z tego możemy wywnioskować, że pole dowolnego trójkąta prostokątnego jest równe iloczynowi nóg podzielonego przez 2.

Z tych przykładów można wywnioskować, że pole dowolnego trójkąta jest równe iloczynowi długości podstawy i wysokości opuszczonej do podstawy, podzielonej przez 2. Ogólny wzór na znalezienie obszaru trójkątów będzie wyglądał następująco:

Gdzie S jest polem trójkąta, A- jego fundament he a- wysokość obniżona do podstawy A.

Obwód dowolnego trójkąta to długość linii ograniczającej figurę. Aby to obliczyć, musisz znać sumę wszystkich boków tego wielokąta.

Obliczenia z podanych wartości długości boków

Kiedy ich wartości są znane, nie jest to trudne. Oznaczając te parametry literami m, n, k, a obwód literą P, otrzymujemy wzór do obliczeń: P = m + n + k. Zadanie: Wiadomo, że trójkąt ma boki 13,5 decymetra, 12,1 decymetra i 4,2 decymetra długości. Znajdź obwód. Rozwiązujemy: Jeżeli boki tego wielokąta mają długość a = 13,5 dm, b = 12,1 dm, c = 4,2 dm, to P = 29,8 dm. Odpowiedź: P = 29,8 dm3.

Obwód trójkąta, który ma dwa równe boki

Taki trójkąt nazywa się trójkątem równoramiennym. Jeśli te równe boki mają długość jednego centymetra, a trzeci bok ma długość b centymetrów, to obwód można łatwo ustalić: P \u003d b + 2a. Zadanie: trójkąt ma dwa boki po 10 decymetrów, podstawa ma 12 decymetrów. Znajdź P. Rozwiązanie: Niech bok a = c = 10 dm, podstawa b = 12 dm. Suma boków P \u003d 10 dm + 12 dm + 10 dm \u003d 32 dm. Odpowiedź: P = 32 decymetry.

Obwód trójkąta równobocznego

Jeśli wszystkie trzy boki trójkąta mają taką samą liczbę jednostek, nazywamy go trójkątem równobocznym. Inna nazwa jest poprawna. Obwód regularnego trójkąta znajduje się za pomocą wzoru: P \u003d a + a + a \u003d 3 a. Zadanie: Mamy działkę w kształcie trójkąta równobocznego. Jeden bok ma 6 metrów. Znajdź długość ogrodzenia, które może ogrodzić ten obszar. Rozwiązanie: Jeżeli bok tego wielokąta wynosi a= 6m, to długość ogrodzenia wynosi P = 3 · 6 = 18 (m). Odpowiedź: P = 18 m.

Trójkąt, który ma kąt 90°

Nazywa się prostokątny. Obecność kąta prostego umożliwia znalezienie nieznanych boków za pomocą definicji funkcji trygonometrycznych i twierdzenia Pitagorasa. Najdłuższy bok nazywa się przeciwprostokątną i jest oznaczony jako c. Są jeszcze dwa boki, a i b. Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa mamy c 2 = a 2 + b 2 . Nogi a \u003d √ (c 2 - b 2) i b \u003d √ (c 2 - a 2). Znając długość dwóch nóg a i b, obliczamy przeciwprostokątną. Następnie znajdujemy sumę boków figury, dodając te wartości. Zadanie: Nogi trójkąta prostokątnego mają długość 8,3 cm i 6,2 cm. Trzeba obliczyć obwód trójkąta. Rozwiązanie cm). P = 24,9 (cm). Lub P \u003d 8,3 + 6,2 + √ (8,3 2 + 6,2 2) \u003d 24,9 (cm). Odpowiedź: P = 24,9 cm Wartości korzeni zostały pobrane z dokładnością do dziesiątych części. Jeśli znamy wartości przeciwprostokątnej i nogi, to wartość P uzyskamy, obliczając P \u003d √ (c 2 - b 2) + b + c. Zadanie 2: Kawałek ziemi leżący pod kątem 90 stopni, 12 km, jedna z nóg - 8 km. Ile czasu zajmuje okrążenie całego obszaru, jeśli poruszasz się z prędkością 4 kilometrów na godzinę? Rozwiązanie: jeśli największy odcinek ma 12 km, a mniejszy b = 8 km, to długość całej ścieżki wyniesie P = 8 + 12 + √ (12 2 - 8 2) = 20 + √80 = 20 + 8,9 = 28,9 (km). Znajdź czas, dzieląc drogę przez prędkość. 28,9:4 = 7,225 (h). Odpowiedź: można obejść w 7,3 godziny.Wyliczamy pierwiastki kwadratowe i odpowiedź z dokładnością do dziesiątych części. Można znaleźć sumę boków trójkąta prostokątnego, mając jeden z boków i wartość jednego z kątów ostrych. Znając długość ramienia b i wartość przeciwległego kąta β, znajdujemy nieznany bok a = b/ tg β. Znajdź przeciwprostokątną c = a: sinα. Obwód takiej figury znajduje się poprzez dodanie uzyskanych wartości. P = a + a/ sinα + a/ tg α lub P = a(1 / sin α+ 1+1 / tg α). Zadanie: W prostokącie Δ ABC o kącie prostym C bok BC ma długość 10 m, kąt A ma 29 stopni. Musimy znaleźć sumę boków Δ ABC. Rozwiązanie: Oznaczamy znane ramię BC = a = 10 m, kąt leżący naprzeciw niego, ∟А = α = 30°, następnie ramię AC = b = 10: 0,58 = 17,2 (m), przeciwprostokątna AB = c = 10 : 0,5 = 20 (m). P. \u003d 10 + 17,2 + 20 \u003d 47,2 (m). Lub P \u003d 10 (1 + 1,72 + 2) \u003d 47,2 m. Mamy: P \u003d 47,2 m. Przyjmujemy wartość funkcji trygonometrycznych z dokładnością do setnych części, zaokrąglamy wartość długości boków i obwód do dziesiątek. Mając wartość ramienia α i kąta zawartego β, dowiadujemy się, jakie jest równe drugie ramię: b = a tg β. Przeciwprostokątna w tym przypadku będzie równa nodze podzielonej przez cosinus kąta β. Obwód obliczamy ze wzoru P = a + a tg β + a: cos β = (tg β + 1+1: cos β) a. Zadanie: Ramię trójkąta o kącie 90 stopni ma 18 cm, kąt zawarty ma 40 stopni. Znajdź P. Rozwiązanie: Oznacz znaną nogę BC = 18 cm, ∟β = 40°. Następnie nieznana noga AC = b = 18 0,83 = 14,9 (cm), przeciwprostokątna AB = c = 18: 0,77 = 23,4 (cm). Suma boków figury wynosi P = 56,3 (cm). Lub P \u003d (1 + 1,3 + 0,83) * 18 \u003d 56,3 cm Odpowiedź: P \u003d 56,3 cm Jeśli znana jest długość przeciwprostokątnej c i pewien kąt α, wówczas nogi będą równe iloczynowi przeciwprostokątna dla pierwszej - o sinus, a dla drugiej - o cosinus tego kąta. Obwód tej figury to P = (sin α + 1+ cos α)*c. Zadanie: Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego AB = 9,1 cm, a kąt 50 stopni. Znajdź sumę boków podanej figury. Rozwiązanie: Oznaczmy przeciwprostokątną: AB = c = 9,1 cm, ∟A= α = 50°, wtedy jedna z boków BC ma długość a = 9,1 0,77 = 7 (cm), noga AC = b = 9 ,1 0,64 = 5,8 (cm). Zatem obwód tego wielokąta wynosi P = 9,1 + 7 + 5,8 = 21,9 (cm). Lub P = 9,1 (1 + 0,77 + 0,64) = 21,9 (cm). Odpowiedź: P = 21,9 centymetra.

Dowolny trójkąt, którego jeden z boków jest nieznany

Jeśli mamy wartości dwóch boków a i c oraz kąt między tymi bokami γ, trzeci znajdujemy za pomocą twierdzenia cosinus: b 2 \u003d c 2 + a 2 - 2 ac cos β, gdzie β jest kątem leżącym między bokami a i c. Następnie znajdujemy obwód. Zadanie: Δ ABC ma odcinek AB o długości 15 dm, odcinek AC, którego długość wynosi 30,5 dm. Wartość kąta między tymi bokami wynosi 35 stopni. Oblicz sumę boków Δ ABC. Rozwiązanie: Korzystając z twierdzenia o cosinusie, obliczamy długość trzeciego boku. Pne 2 \u003d 30,5 2 + 15 2 - 2 30,5 15 0,82 \u003d 930,25 + 225 - 750,3 \u003d 404,95. BC = 20,1 cm P = 30,5 + 15 + 20,1 = 65,6 (dm) Mamy: P = 65,6 dm

Suma boków dowolnego trójkąta, którego długości dwóch boków są nieznane

Kiedy znamy długość tylko jednego odcinka i wartość dwóch kątów, możemy znaleźć długość dwóch nieznanych boków za pomocą twierdzenia o sinusach: „w trójkącie boki są zawsze proporcjonalne do wartości sinusów przeciwległych kątach”. Gdzie b = (a * grzech β) / grzech a. Podobnie c = (a sin γ): sin a. Obwód w tym przypadku będzie wynosił P \u003d a + (a sin β) / sin a + (a sin γ) / sin a. Zadanie: Mamy Δ ABC. W nim długość boku BC wynosi 8,5 mm, wartość kąta C wynosi 47 °, a kąt B wynosi 35 stopni. Znajdź sumę boków podanej figury. Rozwiązanie: Oznacz długości boków BC = a = 8,5 mm, AC = b, AB = c, ∟ A = α= 47°, ∟ B = β = 35°, ∟ C = γ = 180° - (47° + 35° ) = 180° - 82° = 98°. Ze stosunków uzyskanych z twierdzenia o sinusach, znajdujemy nogi AC = b = (8,5 · 0,57): 0,73 = 6,7 (mm), AB = c = (7 · 0,99): 0,73 = 9,5 (mm). Stąd suma boków tego wielokąta wynosi P = 8,5 mm + 5,5 mm + 9,5 mm = 23,5 mm. Odpowiedź: P = 23,5 mm. W przypadku, gdy jest tylko długość jednego odcinka i wartości dwóch sąsiednich kątów, najpierw obliczamy kąt przeciwny do znanego boku. Wszystkie kąty tej figury sumują się do 180 stopni. Zatem ∟A = 180° - (∟B + ∟C). Następnie znajdujemy nieznane segmenty za pomocą twierdzenia o sinusach. Zadanie: Mamy Δ ABC. Ma odcinek BC równy 10 cm Kąt B ma miarę 48 stopni, kąt C ma miarę 56 stopni. Znajdź sumę boków Δ ABC. Rozwiązanie: Najpierw znajdź wartość kąta A po przeciwnej stronie BC. ∟A = 180° - (48° + 56°) = 76°. Teraz za pomocą twierdzenia sinusoidalnego obliczamy długość boku AC \u003d 10 0,74: 0,97 \u003d 7,6 (cm). AB = BC * grzech C / grzech A = 8,6. Obwód trójkąta P \u003d 10 + 8,6 + 7,6 \u003d 26,2 (cm). Wynik: P = 26,2 cm.

Obliczanie obwodu trójkąta na podstawie promienia wpisanego w niego okręgu

Czasami żadna ze stron nie jest znana ze stanu problemu. Ale jest wartość pola trójkąta i promień wpisanego w niego okręgu. Wielkości te są ze sobą powiązane: S = r p. Znając wartość pola trójkąta, promień r, możemy znaleźć półobwód p. Znajdujemy p = S: r. Zadanie: Działka ma powierzchnię 24 m 2, promień r wynosi 3 m. Znajdź liczbę drzew, które należy posadzić równomiernie wzdłuż linii otaczającej tę działkę, jeśli odległość między dwoma drzewami ma wynosić 2 metry sąsiednie. Rozwiązanie: Znajdujemy sumę boków tej figury w następujący sposób: P \u003d 2 24: 3 \u003d 16 (m). Następnie dzielimy przez dwa. 16:2= 8. Razem: 8 drzew.

Suma boków trójkąta we współrzędnych kartezjańskich

Wierzchołki Δ ABC mają współrzędne: A (x 1; y 1), B (x 2; y 2), C(x 3; y 3). Znajdź kwadraty z każdej strony AB 2 = (x 1 - x 2) 2 + (y 1 - y 2) 2 ; pne 2 \u003d (x 2 - x 3) 2 + (y 2 - y 3) 2; AC 2 \u003d (x 1 - x 3) 2 + (y 1 - y 3) 2. Aby znaleźć obwód, po prostu dodaj wszystkie segmenty. Zadanie: Współrzędne wierzchołków Δ ABC: B (3; 0), A (1; -3), C (2; 5). Znajdź sumę boków tej figury. Rozwiązanie: wstawiając wartości odpowiednich współrzędnych do wzoru na obwód, otrzymujemy P = √(4 + 9) + √(1 + 25) + √(1 + 64) = √13 + √26 + √65 = 3,6 + 5,1 + 8,0 = 16,6. Mamy: P = 16,6. Jeśli figura nie leży na płaszczyźnie, ale w przestrzeni, to każdy z wierzchołków ma trzy współrzędne. Dlatego wzór na sumę boków będzie miał jeszcze jeden wyraz.

metoda wektorowa

Jeśli kształt jest określony przez współrzędne wierzchołków, obwód można obliczyć metodą wektorową. Wektor to odcinek linii, który ma kierunek. Jego moduł (długość) jest oznaczony symbolem ǀᾱǀ. Odległość między punktami to długość odpowiedniego wektora lub moduł wektora. Rozważmy trójkąt leżący na płaszczyźnie. Jeśli wierzchołki mają współrzędne A (x 1; y 1), M (x 2; y 2), T (x 3; y 3), to długość każdego z boków obliczamy ze wzorów: ǀAMǀ = √ ( (x 1 - x 2 ) 2 + (y 1 - y 2) 2), ǀMTǀ = √ ((x 2 - x 3) 2 + (y 2 - y 3) 2), ǀATǀ = √ ((x 1 - x 3) 2 + ( 1 - 3) 2). Obwód trójkąta otrzymujemy dodając długości wektorów. Podobnie znajdź sumę boków trójkąta w przestrzeni.