Zapisz zacieniowane zestawy. Zestawy

Cele i zadania lekcji:

Edukacyjny:

• powtórz i skonsoliduj otrzymane reprezentacje:
• o zbiorze, elemencie zbioru, podzbiorze, przecięciu zbiorów, sumie zbiorów;
• skonsolidować umiejętności:
• określać przynależność elementów do zbioru i jego podzbioru (podzbiorów), a także do zbioru będącego przecięciem, sumą zbiorów;
• odszukać na diagramie obszar elementów nienależących do zbioru, a także obszar zbioru, który jest przecięciem, sumą zbiorów i nazwać elementy z tego obszaru;
• określić charakter relacji między dwoma podanymi zbiorami (zbiór-podzbiór, mają przecięcie, nie mają przecięcia);
• poprawnie zobrazować proponowaną sytuację;
• umiejętność obsługi komputera w edytorze graficznym Paint.

Rozwój:

• promowanie rozwoju u dzieci umiejętności obserwacji, porównywania, uogólniania;
• uczyć dzieci rozumowania i udowadniania;
• promować rozwój myślenia, pamięci, uwagi;
• promować rozwój mowy;
• rozwijać aktywność poznawczą uczniów;
• rozwijać zainteresowanie tematem;
• rozwinąć umiejętność pracy na komputerze osobistym.

Pedagodzy:

• pielęgnować przyjazne relacje w zespole studenckim;
• edukować potrzebę poznawczą;
• kultywować samodzielność w pracy, dokładność;
• rozwijać wzajemne zrozumienie i pewność siebie.

Rodzaj lekcji: Powtórzenie i uogólnienie badanego materiału.

Wyposażenie i wykorzystanie materiałów edukacyjnych.

1. „Informatyka w grach i zadaniach”. III klasa w 2 częściach. Podręcznik-zeszyt, część 2. Grupa autorów Goryachev A.V., Gorina K.I., Suvorova N.I. - M.: „Balass”, 2008.

2. Materiały informacyjne. Zadania z kart pracy. Załącznik 2

3. Komputer osobisty. Pakiet aplikacji „Edytor graficzny Paint”.

4. Projektor multimedialny.

5. Tablica interaktywna i oprogramowanie SmartBoard. Prezentacja "Zbiory. Relacje między zbiorami". Aneks 1.

6. Zestaw cyfr od 1 do 5 dla każdego ucznia (pożądane jest, aby każda liczba miała swój własny kolor).

Podczas zajęć

I. Moment organizacyjny

II. Powtórzenie i uogólnienie materiału.

Praca z tablicą interaktywną

1 strona. Tytuł wątku.

2 strony. Zestawy. Ustaw elementy.

Praca ustna (nauczyciel zadaje pytania, uczniowie odpowiadają)

Co to jest zestaw? ( grupa obiektów o wspólnej nazwie).

Z czego składają się zestawy? (z elementów).

Podaj przykład zbioru pustego (ludzie mają wiele ogonów, zwierzęta mają wiele ramion, ......); zestawy z jednym elementem (wiele liter K w alfabecie rosyjskim, ludzkie głowy, ......).

Jakie zestawy przedstawiono na rysunku? Ile elementów jest w tym zestawie? (wiele domów - trzy elementy, wiele wiader - jeden element, wiele drzew - wiele elementów, wiele kwiatów - wiele elementów, wiele kamieni - osiem elementów, ......).

Więc powiedz mi, ile elementów może zawierać zestaw? ( zbiór może zawierać jeden element, może zawierać wiele lub niewiele elementów oraz może być pusty – jest to zbiór, w którym nie ma ani jednego elementu).

Zadania ze stron 3-6 wykonuje się jednocześnie na tablicy iw kartach pracy. Uczniowie na zmianę podchodzą do tablicy.

3 strona. Zestawy. podzbiory.

Doustnie.

Jak nazywa się zbiór należący do innego zbioru? (podzbiór).

Praca z tablicą interaktywną.(trzech uczniów kolejno podchodzi do tablicy i zakreśla styusem kółka).

Aby wykonać to zadanie, uczniowie muszą znaleźć w tabeli oznaczenie każdego zestawu, określić, który zestaw zawiera więcej elementów i wypełnić duże kółka.

• Pierwszy uczeń: Dzieci jest więcej niż trzecioklasistów i uczniów, więc zamalowujemy największe koło na czerwono.
• Drugi uczeń: Jest więcej uczniów niż trzecioklasistów, więc malujemy środkowe koło na niebiesko.
• Trzeci uczeń: Trzecioklasistów jest mniej niż dzieci w wieku szkolnym i dzieci, więc najmniejsze kółko malujemy na zielono.

aplikacja) i wypełnij kółka kredkami.

4 strona. Skrzyżowanie wielu.

Doustnie.

Jakie zbiory nazywamy przecinającymi się? (jeśli mają wspólne elementy).

Ćwiczenia: Rozłóż elementy do odpowiednich zestawów.

Uczniowie na zmianę podchodzą do tablicy i przesuwają elementy do odpowiednich zestawów, podczas gdy wymagane jest wyjaśnienie, dlaczego przydzielił ten element do konkretnego zestawu.

Na przykład: arbuz - jadalny, ale nie czerwony - dużo jadalny; pieprz - jadalny i czerwony - przecięcie zestawów; sukienka - czerwona, ale nie jadalna - dużo czerwieni; piłka - nie jadalna i nie czerwona - znajduje się poza zestawami.

Pozostali uczniowie pracują nad kartami pracy (zob. aplikacja) i pokaż ścieżkę do poruszania się za pomocą strzałki.

5 strona. Wzajemne układanie zestawów.

Drugi uczeń: Dużo dzikich zwierząt i dużo zwierząt domowych. Zestawy te mają te same elementy (np. świnia, kaczka, gęś - zwierzę domowe i dzikie), co oznacza, że ​​się przecinają. Łączymy się z pierwszym schematem.

Trzeci uczeń: Dużo ptaków i dużo owadów. Nie ma takich ptaków, które byłyby owadami i nie ma takich owadów, które byłyby ptakami, co oznacza, że ​​zbiory się nie przecinają. Łączymy się z trzecim schematem.

Ćwiczenia: Ustal zgodność między schematem a zestawami.

6 strona. Zestawy. Ustaw elementy. Przecięcie i suma zbiorów (słowa „NOT”, „AND”, „OR”).

Ćwiczenia: Wpisz numery cyfr na rysunkach. Ile wiewiórek jest w każdym zestawie? (Wpisz swoje odpowiedzi w komórkach tabeli). Pokoloruj tabelaryczne części rycin.

Odpowiedzi uczniów:

Wiewiórki na rysunku 9.

Wiewiórki z grzybami 3.

Wiewiórki z orzechami 4.

Wiewiórki z grzybami i orzechami 1 (ryc. 9). W tabeli zamalowano obszar przecięcia koła i owalu, na schemacie w obszarze przecięcia wpisano liczbę 9.

Wiewiórki z grzybami lub orzechami 6 to wiewiórki, które mają zarówno grzyby, jak i orzechy (ryc. 9), tylko orzechy (ryc. 3.7), tylko grzyby (ryc. 1, 4, 6). W tabeli całe koło i cały owal są zamalowane. Na diagramie w kole, poza owalem, zapisane są liczby 3, 7; w owalu na zewnątrz koła - cyfry 1,4, 6.

Wiewiórki, które nie mają grzybów 6 (ryc. 1, 2, 4, 5, 6, 8). W tabeli tylko obszar koła nie jest zamalowany.

Wiewiórki, które nie mają orzechów 5 (ryc. 2, 3, 5, 7, 8). W tabeli tylko obszar owalny nie jest zamalowany.

Na schemacie, w prostokącie, poza okręgiem i owalem, zapisane są liczby 2, 5, 8 - są to wiewiórki, które nie mają orzechów i grzybów.

III. minuta wychowania fizycznego

Robot wykonuje ćwiczenia i liczy w kolejności:

Jeden! - styki nie iskrzą,
- Dwa! - stawy nie skrzypią,
-Trzy!- soczewka jest przezroczysta.
Jestem wysportowana i piękna!

1,2,3,4,5 - Możesz zabrać się do pracy!

IV. Kontrola wiedzy. Niezależna praca.

Uczniowie w klasie dzielą się na dwie grupy.

1 grupa wykonuje zadania na arkuszach Załącznik 3, Grupa 2 wykonuje zadania na komputerach Dodatek 4 Po 5-7 minutach uczniowie zamieniają się miejscami.

Zadanie jest wykonywane na papierze przy użyciu kolorowych ołówków.

1 zadanie. Za pomocą geometrycznych kształtów prostokąt i koło przedstawiają proponowaną sytuację.

2 zadanie. Pokoloruj część diagramu tak, aby zdanie było prawdziwe.

Zadanie na komputerach wykonuje się w edytorze graficznym Paint. Pierwsze i drugie zadanie prezentowane są w jednym pliku.

Ścieżka do pliku ( Nauczyciel mówi, a uczniowie wykonują jego polecenia.

Pulpit -> Folder klasy 3 -> (kliknij dwukrotnie otwórz) -> Plik pracy własnej -> (kliknij prawym przyciskiem myszy) -> Otwórz za pomocą programu Paint.

1 zadanie. Korzystając z geometrycznych prymitywów, prostokąta i elipsy, przedstaw proponowaną sytuację.

2 zadanie. Za pomocą narzędzia Wypełnij pomaluj część diagramu, aby stwierdzenie było prawdziwe.

Po wykonaniu zadań nauczyciel sprawdza poprawność pracy.

V. Wyniki lekcji.

Chłopaki, dzisiaj powtórzyliśmy, czym jest zbiór, podzbiór, przecięcie i suma zbiorów.

• Więc powiedz mi, ile elementów może być w zbiorze? (tyle, ile chcesz).
• Jak nazywa się zbiór należący do innego zbioru? (podzbiór).
• A jakie elementy są zawarte w przecięciu dwóch zbiorów? (które są zawarte w jednym i drugim zestawie).

VI. Praca domowa.

1 zadanie przedstawione na ulotkach i rozdane każdemu uczniowi (zob. aplikacja). Pokoloruj tabelaryczne części rycin. Spójrz w tabelkę, ile jeży powinno być w każdym zestawie. Pokoloruj jeże. Wpisz liczby w puste komórki tabeli.

2 zadanie wykonywane na prośbę studenta. Wymyśl zadanie polegające na wzajemnym ułożeniu zestawów. Prześlij swoją pracę na kartce A4. Praca powinna zawierać nazwy zestawów, schemat, rysunki.

VII. Odbicie.

• Jakie zadanie sprawiło Ci dzisiaj największą przyjemność?
• Jakie zadanie spowodowało problem?

Każdy z was ma na biurku zestaw liczb naturalnych od 1 do 5, powieście jedną z liczb, na jaką ocenę oceniacie lekcję, na drzewku nastrojów.

Pojęcie zbioru jest jednym z podstawowych pojęć matematyki. Nie ma na to definicji. Angielski matematyk Bertrand Russell opisał tę koncepcję w następujący sposób: „Zbiór to zbiór różnych elementów, pomyślany jako jedna całość”. Możemy mówić o zbiorze ścian wielokąta, zbiorze punktów linii prostej, zbiorze liczb naturalnych, zbiorze liter alfabetu rosyjskiego itp.

Zestaw można określić, podając jego skład oddzielony przecinkami w nawiasach klamrowych. Na przykład, jeśli zestaw składa się z liczb 5, 7 i 25, napisz . Same liczby 5, 7, 25 nazywane są elementami zbioru. Kolejność, w jakiej elementy zestawu są wymienione w nawiasach, nie ma znaczenia. Zestaw nie może zawierać dwa razy tego samego elementu. Fakt, że 5 jest elementem zbioru zapisujemy następująco: . Zbiór, który nie zawiera żadnych elementów, nazywany jest pustym i oznaczany przez .

Mówimy, że dwa zbiory są równe, jeśli składają się z tych samych elementów. Na przykład, jeśli , to .

Jeżeli wszystkie elementy zbioru są zawarte w zbiorze, to zbiór jest podzbiorem zbioru i piszemy. Na przykład zbiór jest podzbiorem zbioru opisanego powyżej. Pusty zbiór jest podzbiorem dowolnego zbioru. Ponadto każdy zestaw jest swoim podzbiorem: .

Na zbiorach można wykonać szereg operacji.

Unia zestawów

Rysunek. Unia zestawów
Zbiór jest sumą zbiorów i jeśli zawiera wszystkie elementy zbioru i wszystkie elementy zbioru. Suma zbiorów jest zapisana w następujący sposób: Wyjaśnijmy to, przedstawiając zbiory i używając okręgów Eulera (ryc. 1). Każdy z zestawów jest przedstawiony za pomocą kółek. Zestaw na zdj. 1 jest pokazany jako zacieniony rysunek. Pozwalać , . Następnie .

Dla dowolnego zestawu stwierdzenie jest prawdziwe

Skrzyżowanie wielu

Zbiór jest przecięciem zbiorów i zawiera tylko te elementy, które należą zarówno do zbioru, jak i do zbioru. Ustaw notację przecięcia: . Do zestawów wymienionych powyżej.

Rysunek. Skrzyżowanie wielu
Oto kolejny przykład. . Tutaj przecięcie zbiorów jest zbiorem pustym, ponieważ Zestawy nie mają wspólnych elementów.

Rysunek. Ustaw różnicę
Ustaw różnicę

Ustawiona różnica to zbiór tych elementów, które nie są zawarte w . Różnica zestawów jest oznaczona w następujący sposób:

Do wspomnianych już zestawów. Na rysunku 3 ustawiona różnica jest zacieniowana.

Symetryczna różnica zestawu

Wyznaczony . Jak pokazano na rysunku 4 w kolorze czerwonym,

To stwierdzenie jest również prawdziwe

Rysunek. Symetryczna różnica zestawu

Innymi słowy, symetryczna różnica zbiorów składa się z tych wszystkich elementów pierwszego zbioru, których nie ma w drugim, wraz z tymi elementami drugiego zbioru, których nie ma w pierwszym. Dla zestawów z poprzednich przykładów .

Zestawy w Delphi i FreePascal

Definiowanie typów i deklarowanie zmiennych

FreePascal i Delphi obsługują typy danych do pracy ze zbiorami. Ustawiony format opisu jest następujący

Typ nazwa_typu = zestaw typu_podstawowego

Zbiory w Pascalu składają się z danych tego samego typu porządkowego, zwanych bazowymi. Typ podstawowy może mieć nie więcej niż 256 odrębnych wartości. Liczba elementów w zestawie nie może przekroczyć 255.

Przykłady zestawów deklaracji

Wpisz cyfrę = 0..9;

Cyfry = zestaw Dgt;

DigitChar = zestaw „0”...9”;

Górna linia przykładu zawiera definicję typu-zakresu Dgt, druga linia definiuje typ Digits, który jest zbiorem elementów typu bazowego Dgt. Można było obejść się bez osobnej deklaracji typu-zakresu. Na przykład typ DigitChar to zestaw znaków, z których każdy może mieć zakres od „0” do „9”.

Typ podstawowy nie musi być typem zakresu. Zestaw elementów typu Char jest zdefiniowany poniżej. Jest to zgodne z prawem, ponieważ typ Char zawiera 256 odrębnych wartości.

Wpisz śmieci = zestaw znaków;

Jednak użycie Integer jako typu bazowego byłoby błędem, ponieważ liczba możliwych wartości dla tego typu jest większa niż 256:

Wpisz śmieci = zestaw Liczba całkowita ; //To jest zabronione!!!

Niedopuszczalne jest używanie jako typu podstawowego przy opisywaniu zbiorów i rzeczywistych typów danych, takich jak real, ponieważ nie są one porządkowe.

Po zdefiniowaniu typu zbioru można deklarować zmienne tego typu. Na przykład,

Możesz użyć projektu ustawić z i zaraz przy deklaracji zmiennych. Na przykład,

Varsc: zestaw 0..9;

Tworzenie zestawów

Do tworzenia zestawu używany jest tak zwany konstruktor zestawu. Można to zapisać na następujące sposoby.

1. 
   Elementy zestawu są wymienione w nawiasach kwadratowych oddzielone przecinkami. Muszą to być stałe, zmienne lub wyrażenia typu podstawowego. Na przykład sc:= gdzie X jest zmienną typu całkowitego.
2. 
   [A..B]. W tym przypadku zestaw zawiera wszystkie wartości typu podstawowego, począwszy od A i zakończenie B. Przy takim sposobie określania zestawu powinno być A B. Na przykład wyrażenie sc:= oznacza to samo, co sc:=.
3. 
   Kombinacja metod 1 i 2. Na przykład sc:=.
4. 
   Pusty zestaw jest określony przez otwarty i natychmiast zamknięty nawias kwadratowy. Na przykład sc:=.

Operacje na zbiorach

Operator	Opis	Przykład
+	Unia zestawów	c:=a+b; d:=+;
*	Skrzyżowanie wielu	c:=*;
-	Ustaw różnicę	c:= - ;
=	Sprawdzanie równości zbiorów. Wynik jest typu Boolean	Próbka programu 1; x:==;
	Prawda, jeśli tak jest.	Próbka programu 2; Var a,b: zestaw 1..100; za:=;
W	Wyrażenie logiczne X W A sprawdza, czy X element zestawu A. Zmienna (lub stała) X powinna stanowić podstawę zestawu A typ.	x:=10 w;
>	Symetryczna różnica zbiorów. Jedynie dla darmowy pascal . W Delfy nie działa. W przykładzie na ekranie wyświetlane są wszystkie elementy zbioru C, który jest różnicą symetryczną zbiorów A i B. Istnieje inny sposób sprawdzenia składu zbioru, poza użyciem operatora W, NIE.	($tryb Delphi) Próbka programu4; Var a,b,c: zbiór bajtów; b:=; Dla i:=0 Do 255 Wykonaj
	Sprawdzanie nierówności zbiorów. AB ma znaczenie PRAWDA jeśli zbiór A nie jest równy zbiorowi B.	($tryb Delphi) Próbka programu5; Var a,b: zbiór bajtów; b:=;

Przykłady rozwiązywania problemów

Zadanie 1

Czy jest linia S co najmniej dwie identyczne małe litery angielskie? (Na przykład ciąg „książka” ma takie litery. To jest litera „o”. Ale ciąg „Elem 1221” ich nie ma.)

Rozwiązanie

Pozwalać M- zestaw wszystkich małych liter angielskich z A zanim z. Oznacz przez B zestaw małych liter angielskich już znaleziony podczas przeglądania od początku linii.

Możemy zaproponować taki algorytm.

Jeśli dotarliśmy do punktu 5 algorytmu, to w łańcuchu nie ma ani jednej małej angielskiej litery.

Napiszmy program.

Program EngList;

i, długość: liczba całkowita;

B, M: zbiór Char;

WriteLn("Podaj ciąg znaków");
len:=długość(e);
Podczas gdy iBegin

Jeśli s[i] w B To
WriteLn("Tak");
koniec;

Jeśli s[i] w M wtedy

B:=B+]; // Suma zbiorów

koniec;

WriteLn("Nie");

Zadanie 2

Biorąc pod uwagę liczby naturalne i . ( ) Czy zapis dziesiętny liczb naturalnych ma te same cyfry?

Rozwiązanie

Pozwolić być zbiorem cyfr , i być zbiorem cyfr . Następnie zestaw cyfr, które są zarówno w zapisie liczby, jak iw zapisie liczby,

Jeśli , to są liczby wspólne. Każdy z opisanych zestawów zawiera nie więcej niż 10 elementów, a każdy element nie więcej niż 10. Oznacza to, że do ich reprezentacji można użyć zestawów języka Pascal.

Zdefiniuj typy danych

Wpisz Cyfra = 0..9;

SetDigit = zestaw cyfr;

Wyróżniamy podproblem konstruowania zbioru cyfr liczby naturalnej X w procedurę

Następnie możemy zaproponować następujący algorytm rozwiązania problemu.

Teraz ułożymy algorytm procedury MakeSet.

Co oznacza wyrażenie „w zapisie liczby pozostaje przynajmniej jedna cyfra”? Znajdując częściowe ilorazy z dzielenia przez 10, ostatecznie otrzymamy zero.

Stwórzmy program korzystając z tego algorytmu.

Wpisz Cyfra = 0..9;

SetDigit = zestaw cyfr;

Procedura MakeSet(x: Integer; out s: SetDigit);

Var ostatnia: Cyfra;

s:=; // Nie znaleziono jeszcze żadnych cyfr x

Podczas gdy x>0 Wykonaj
ostatni:= x mod 10; //Ostatnia cyfra liczby x

s:=s+; //Dołącz ostatni zestaw cyfr x

x:=x div 10 //Odhacz ostatnią cyfrę

koniec;

Varm,n,s,r: liczba całkowita;

Write("m, n = ");
MakeSet(s, A);

WriteLn("suma",s);

WriteLn("różnica", r);

WriteLn("Nie ma wspólnych cyfr")

WriteLn("Istnieją liczby całkowite")

Pytania i zadania do samodzielnego rozwiązania

1. 
   Oblicz bez komputera
   1. 
      d:=+;
   2. 
      c:=*;
   3. 
      c:= - ;
   4. 
      x:=10 w;
2. 
   Czy możliwe jest użycie ShortInt jako typu podstawowego podczas opisywania zestawu? Bajty? Int64? Zwęglać? Strunowy? Podwójnie?
3. 
   Napisz program rozwiązujący problem. Ile cyfr nieparzystych jest w łańcuchu S? Policz każdą cyfrę tyle razy, ile występuje w łańcuchu. Na przykład w ciągu „AwDc12 h215” występują trzy cyfry nieparzyste: dwie jedynki i pięć.
4. 
   Wiersz zawiera tekst w języku rosyjskim pisany dużymi literami. Wypisz te samogłoski, których nie ma w tym tekście.
5. 
   Określ, które znaki ciągu B nie w kolejce A. Na przykład, jeśli A="abcd", B="baMCc", odpowiedź brzmi "MC".
6. 
   Wyznacz cyfry wspólne w zapisie liczb naturalnych A I B, tj. cyfry, które znajdują się również we wpisie numeru A, oraz w zapisie liczby B. Czy to prawda, że ​​numer C napisane tylko przy użyciu tych wspólnych A I B cyfry, pod warunkiem że cyfry te mogą być ponownie użyte?
7. 
   Na końcu zdania umieszczany jest jeden ze znaków interpunkcyjnych: kropka, znak zapytania, wykrzyknik - lub ich kombinacja, np. trzy kropki w rzędzie, znak zapytania z wykrzyknikiem, kilka wykrzykniki z rzędu. Napisz program, który zlicza liczbę zdań w podanym ciągu znaków. Pomiędzy kolejnymi znakami interpunkcyjnymi nie stawia się spacji.

Literatura

1. 
   Michaela van Canneyta. Przewodnik referencyjny dla Free Pascal, wersja 2.4.2. - listopad 2010 r
2. 
   Borland Pomoc dla BDS2006.
3. 
   Kołmogorow A.N., Fomin S.V. Elementy teorii funkcji i analizy funkcjonalnej.: Podręcznik dla szkół wyższych. - M.: Nauka, 1989.
4. 
   Kormen T., Leyzerson Ch., Rivest R., Stein K. Algorytmy. Konstrukcja i analiza. Druga edycja. - Moskwa, Sankt Petersburg, Kijów. Wydawnictwo "Williams", 2010.
5. 
   Pęczek. // http://en.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE
6. 
   Faronow V.V. TurboPascal 7.0. Kurs początkowy. Instruktaż. - M.: "Wiedza", 1998

Analiza matematyczna to gałąź matematyki zajmująca się badaniem funkcji opartych na idei nieskończenie małej funkcji.

Podstawowe pojęcia analizy matematycznej to ilość, zbiór, funkcja, funkcja nieskończenie mała, granica, pochodna, całka.

Wartość nazywa się wszystko, co można zmierzyć i wyrazić liczbą.

wiele jest zbiorem pewnych elementów, które łączy wspólna cecha. Elementami zbioru mogą być liczby, figury, przedmioty, pojęcia itp.

Zestawy są oznaczane dużymi literami, a elementy zestawu małymi literami. Elementy zestawu są ujęte w nawiasy klamrowe.

Jeśli element X należy do zestawu X, następnie napisz X∈X (∈ - należy).
Jeśli zestaw A jest częścią zestawu B, napisz A ⊂ B (⊂ - jest zawarty).

Zbiór można zdefiniować na dwa sposoby: przez wyliczenie i przez właściwość definiującą.

Na przykład wyliczenie definiuje następujące zestawy:

• A=(1,2,3,5,7) - zbiór liczb
• Х=(x 1 ,x 2 ,...,x n ) jest zbiorem pewnych elementów x 1 ,x 2 ,...,x n
• N=(1,2,...,n) to zbiór liczb naturalnych
• Z=(0,±1,±2,...,±n) jest zbiorem liczb całkowitych

Zbiór (-∞;+∞) jest wywoływany Numer linii, a dowolna liczba jest punktem tej prostej. Niech a będzie dowolnym punktem na prostej rzeczywistej, a δ liczbą dodatnią. Nazywa się przedział (a-δ; a+δ). δ-sąsiedztwo punktu a.

Zbiór X jest ograniczony z góry (z dołu), jeśli istnieje taka liczba c, że dla dowolnego x ∈ X nierówność x≤с (x≥c) jest spełniona. Liczba c w tym przypadku nazywa się górna (dolna) krawędź zestawy X . Nazywa się zbiór ograniczony zarówno z góry, jak iz dołu ograniczony. Nazywa się najmniejsza (największa) z górnych (dolnych) ścian zestawu dokładnie górna (dolna) ściana ten zestaw.

Podstawowe zestawy numeryczne

N	(1,2,3,...,n) Zbiór wszystkich
Z	(0, ±1, ±2, ±3,...) Ustaw wszystkie liczby. Zbiór liczb całkowitych obejmuje zbiór liczb naturalnych.
Q	Pęczek liczby wymierne. Oprócz liczb całkowitych istnieją również ułamki. Ułamek jest wyrażeniem postaci , gdzie P jest liczbą całkowitą, Q- naturalny. Ułamki dziesiętne można również zapisać jako . Na przykład: 0,25 = 25/100 = 1/4. Liczby całkowite można również zapisać jako . Na przykład w postaci ułamka o mianowniku „jeden”: 2 = 2/1. Zatem dowolną liczbę wymierną można zapisać jako ułamek dziesiętny - skończenie lub nieskończenie okresowy.
R	Wielu ze wszystkich liczby rzeczywiste. Liczby niewymierne to nieskończone ułamki nieokresowe. Obejmują one: Razem dwa zbiory (liczby wymierne i niewymierne) tworzą zbiór liczb rzeczywistych (lub rzeczywistych).

Jeśli zestaw nie zawiera żadnych elementów, nazywa się go pusty zestaw i nagrany Ø .

Elementy symboliki logicznej

Notacja ∀x: |x|<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.

kwantyfikator

Podczas pisania wyrażeń matematycznych często używane są kwantyfikatory.

kwantyfikator nazywany jest symbolem logicznym, który charakteryzuje następujące po nim elementy ilościowo.

• ∀- ogólny kwantyfikator, jest używany zamiast słów „dla wszystkich”, „dla każdego”.
• ∃- kwantyfikator egzystencjalny, jest używane zamiast słów „istnieje”, „ma”. Stosowana jest również kombinacja symboli ∃!, którą odczytuje się, ponieważ jest tylko jedna.

Operacje na zbiorach

Dwa zbiory A i B są równe(A=B), jeśli składają się z tych samych elementów.
Na przykład, jeśli A=(1,2,3,4), B=(3,1,4,2), to A=B.

Unia (suma) zbiory A i B nazywamy zbiorem A ∪ B, którego elementy należą do co najmniej jednego z tych zbiorów.
Na przykład, jeśli A=(1,2,4), B=(3,4,5,6), to A ∪ B = (1,2,3,4,5,6)

Skrzyżowanie (produkt) zbiory A i B nazywamy zbiorem A ∩ B, którego elementy należą zarówno do zbioru A, jak i zbioru B.
Na przykład, jeśli A=(1,2,4), B=(3,4,5,2), to A ∩ B = (2,4)

różnica zbiory A i B nazywamy zbiorem AB, którego elementy należą do zbioru A, ale nie należą do zbioru B.
Na przykład, jeśli A=(1,2,3,4), B=(3,4,5), to AB = (1,2)

Różnica symetryczna zbiory A i B nazywamy zbiorem A Δ B, który jest sumą różnic zbiorów AB i BA, czyli A Δ B = (AB) ∪ (BA).
Na przykład, jeśli A=(1,2,3,4), B=(3,4,5,6), to A Δ B = (1,2) ∪ (5,6) = (1,2, 5 .6)

Własności operacji na zbiorach

Właściwości zmienności

ZA ∪ b = b ∪ ZA
ZA ∩ B = B ∩ ZA

łączność

(A ∪ b) ∪ do = ZA ∪ (B ∪ do)
(A ∩ B) ∩ do = ZA ∩ (B ∩ do)

Zestawy policzalne i niepoliczalne

W celu porównania dowolnych dwóch zbiorów A i B ustalana jest zgodność między ich elementami.

Jeśli ta zgodność jest jeden do jednego, to zbiory nazywamy równoważnymi lub równoważnymi, A B lub B A.

Przykład 1

Zbiór punktów ramienia BC i przeciwprostokątnej AC trójkąta ABC mają jednakową potęgę.