Dodawanie ułamków o tych samych potęgach. Dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie potęg

Formuły mocy wykorzystywane w procesie redukcji i upraszczania złożonych wyrażeń, w rozwiązywaniu równań i nierówności.

Numer c jest n-ta potęga liczby a gdy:

Operacje ze stopniami.

1. Mnożąc stopnie o tej samej podstawie, ich wskaźniki sumują się:

jestemza n = za m + n .

2. W podziale stopni o tej samej podstawie ich wskaźniki są odejmowane:

3. Stopień iloczynu 2 lub więcej czynników jest równy iloczynowi stopni tych czynników:

(abc…) n = a n b n c n …

4. Stopień ułamka jest równy stosunkowi stopni dywidendy i dzielnika:

(a/b) n = za n / b n .

5. Podnosząc potęgę do potęgi mnożymy wykładniki:

(am) n = za m n .

Każda powyższa formuła jest poprawna w kierunkach od lewej do prawej i odwrotnie.

Na przykład. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operacje z korzeniami.

1. Pierwiastek iloczynu kilku czynników jest równy iloczynowi pierwiastków tych czynników:

2. Pierwiastek ze stosunku jest równy stosunkowi dywidendy i dzielnikowi pierwiastków:

3. Podnosząc pierwiastek do potęgi wystarczy podnieść pierwiastek do tej potęgi:

4. Jeśli zwiększymy stopień pierwiastka w n raz i jednocześnie podnieść do n potęga jest liczbą pierwiastkową, to wartość pierwiastka nie ulegnie zmianie:

5. Jeśli zmniejszymy stopień pierwiastka w n jednocześnie rootować n stopnia od liczby pierwiastkowej, to wartość pierwiastka nie ulegnie zmianie:

Stopień z ujemnym wykładnikiem. Stopień liczby z wykładnikiem nie dodatnim (całkowitym) definiuje się jako jeden podzielony przez stopień tej samej liczby o wykładniku równym wartości bezwzględnej wykładnika nie dodatniego:

Formuła jestem:a n = a m - n może służyć nie tylko do m> n, ale także o godz m< n.

Na przykład. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Do formuły jestem:a n = a m - n stał się uczciwy o godz m=n, potrzebujesz obecności stopnia zero.

Stopień z wykładnikiem zerowym. Potęga dowolnej liczby niezerowej z wykładnikiem zerowym jest równa jeden.

Na przykład. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Stopień z wykładnikiem ułamkowym. Aby podnieść liczbę rzeczywistą a do pewnego stopnia m/n, musisz wyodrębnić root n stopnia m potęga tej liczby a.

Mówienie o tym ma sens operacje na ułamkach algebraicznych. Następujące operacje są zdefiniowane za pomocą ułamków algebraicznych: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie i podnoszenie do potęgi naturalnej. Co więcej, wszystkie te działania są domknięte w tym sensie, że w wyniku ich wykonania uzyskuje się ułamek algebraiczny. Przeanalizujmy każdy z nich po kolei.

Tak, od razu warto zauważyć, że operacje na ułamkach algebraicznych są uogólnieniami odpowiednich operacji na ułamkach zwykłych. Dlatego odpowiednie zasady prawie dosłownie pokrywają się z zasadami wykonywania dodawania i odejmowania, mnożenia, dzielenia i podnoszenia do potęgi ułamków zwykłych.

Nawigacja po stronie.

Dodawanie ułamków algebraicznych

Dodawanie dowolnych ułamków algebraicznych pasuje do jednego z dwóch następujących przypadków: w pierwszym dodaje się ułamki o tych samych mianownikach, w drugim o różnych. Zacznijmy od zasady dodawania ułamków o tych samych mianownikach.

Aby dodać ułamki algebraiczne o tych samych mianownikach, musisz dodać liczniki i pozostawić ten sam mianownik.

Reguła dźwięczna pozwala przejść od dodawania ułamków algebraicznych do dodawania wielomianów, które są w licznikach. Na przykład, .

Aby dodać ułamki algebraiczne o różnych mianownikach, musisz postępować zgodnie z następującą zasadą: doprowadzić je do wspólnego mianownika, a następnie dodać otrzymane ułamki o tych samych mianownikach.

Na przykład podczas dodawania ułamków algebraicznych należy je najpierw sprowadzić do wspólnego mianownika, w wyniku czego przyjmą postać oraz odpowiednio, po czym następuje dodanie tych ułamków o tych samych mianownikach: .

Odejmowanie

Następny krok, odejmowanie ułamków algebraicznych, odbywa się w taki sam sposób jak dodawanie. Jeśli mianowniki pierwotnych ułamków algebraicznych są takie same, wystarczy odjąć wielomiany w licznikach i pozostawić ten sam mianownik. Jeśli mianowniki są różne, najpierw przeprowadza się redukcję do wspólnego mianownika, po czym odejmuje się powstałe ułamki o tych samych mianownikach.

Podajmy przykłady.

Odejmijmy ułamki algebraiczne i , ich mianowniki są takie same, zatem . Otrzymany ułamek algebraiczny można dodatkowo zredukować: .

Teraz odejmij ułamek od ułamka. Są to ułamki algebraiczne o różnych mianownikach, dlatego najpierw sprowadzamy je do wspólnego mianownika, którym w tym przypadku jest 5 x (x-1) , mamy oraz . Pozostaje wykonać odejmowanie:

Mnożenie ułamków algebraicznych

Ułamki algebraiczne można mnożyć. Czynność tę wykonuje się podobnie jak mnożenie ułamków zwykłych według następującej zasady: aby pomnożyć ułamki algebraiczne, należy osobno pomnożyć liczniki i osobno mianowniki.

Weźmy przykład. Pomnóż ułamek algebraiczny przez ułamek. Zgodnie z podaną zasadą mamy . Pozostaje przekonwertować wynikowy ułamek na ułamek algebraiczny, w tym celu w tym przypadku należy wykonać mnożenie jednomianu i wielomianu (aw ogólnym przypadku mnożenie wielomianów) w liczniku i mianowniku: .

Warto zauważyć, że przed pomnożeniem ułamków algebraicznych pożądane jest rozłożenie na czynniki wielomianów znajdujących się w ich licznikach i mianownikach. Wynika to z możliwości redukcji otrzymanej frakcji. Na przykład,
.

Ta czynność została omówiona bardziej szczegółowo w artykule.

Dział

Przechodzimy do działań z ułamkami algebraicznymi. Następny w kolejności jest podział ułamków algebraicznych. Następująca reguła sprowadza dzielenie ułamków algebraicznych do mnożenia: aby podzielić jeden ułamek algebraiczny przez inny, należy pomnożyć pierwszy ułamek przez odwrotność drugiego.

Przez ułamek algebraiczny odwrotny do danego ułamka rozumie się ułamek z przestawionym licznikiem i mianownikiem. Innymi słowy, dwa ułamki algebraiczne są uważane za wzajemnie odwrotne, jeśli ich iloczyn jest identycznie równy jeden (analogicznie do).

Weźmy przykład. Zróbmy podział . Odwrotnością dzielnika jest . W ten sposób, .

Więcej szczegółowych informacji można znaleźć w artykule wspomnianym w poprzednim akapicie dotyczącym mnożenia i dzielenia ułamków algebraicznych.

Podnoszenie ułamka algebraicznego do potęgi

Na koniec przechodzimy do ostatniej czynności z ułamkami algebraicznymi - podnoszeniem do potęgi naturalnej. , a także sposób, w jaki zdefiniowaliśmy mnożenie ułamków algebraicznych, pozwala nam zapisać regułę podnoszenia ułamka algebraicznego do potęgi: musisz osobno podnieść licznik do tej potęgi i osobno mianownik.

Pokażmy przykład takiej akcji. Podnieśmy ułamek algebraiczny do drugiej potęgi. Zgodnie z powyższą zasadą mamy . Pozostaje podnieść jednomian w liczniku do potęgi, a także podnieść wielomian w mianowniku do potęgi, która da ułamek algebraiczny postaci .

Rozwiązanie innych charakterystycznych przykładów pokazano w artykule podnoszącym ułamek algebraiczny do potęgi.

Bibliografia.

• Algebra: podręcznik na 8 komórek. ogólne wykształcenie instytucje / [Yu. N. Makarychev, NG Mindyuk, KI Neshkov, SB Suvorova]; wyd. SA Telyakovsky. - 16 wyd. - M. : Edukacja, 2008. - 271 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. 8 klasa. O 14.00 Część 1. Podręcznik dla uczniów placówek oświatowych / A. G. Mordkovich. - wyd. 11, wymazane. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 s.: chory. ISBN 978-5-346-01155-2 .
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematyka (podręcznik dla kandydatów do techników): Proc. zasiłek.- M.; Wyższy szkoła, 1984.-351 s., zd.

Prawa autorskie autorstwa sprytnych studentów

Wszelkie prawa zastrzeżone.
Chronione prawem autorskim. Żadna część www.site, w tym materiały wewnętrzne i projekt zewnętrzny, nie może być powielana w jakiejkolwiek formie ani wykorzystywana bez uprzedniej pisemnej zgody właściciela praw autorskich.

Lekcja na temat: „Zasady mnożenia i dzielenia potęg o tych samych i różnych wykładnikach. Przykłady”

Dodatkowe materiały
Drodzy użytkownicy, nie zapomnijcie zostawić swoich komentarzy, opinii, sugestii. Wszystkie materiały są sprawdzane przez program antywirusowy.

Pomoce dydaktyczne i symulatory w sklepie internetowym „Integral” dla klasy 7
Podręcznik do podręcznika Yu.N. Podręcznik Makaryczewy do podręcznika A.G. Mordkowicz

Cel lekcji: nauczyć się wykonywać operacje na potęgach liczby.

Na początek przypomnijmy sobie pojęcie „potęgi liczby”. Wyrażenie takie jak $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ można przedstawić jako $a^n$.

Odwrotność jest również prawdziwa: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.

Ta równość nazywana jest „zapisywaniem stopnia jako iloczynu”. Pomoże nam ustalić, jak mnożyć i dzielić potęgi.
Pamiętać:
a- podstawa stopnia.
n- wykładnik.
Jeśli n=1, co oznacza liczbę a wzięte raz i odpowiednio: $a^n= 1$.
Jeśli n=0, wtedy $a^0= 1$.

Dlaczego tak się dzieje, możemy się dowiedzieć, gdy zapoznamy się z zasadami mnożenia i dzielenia potęg.

zasady mnożenia

a) Jeśli potęgi o tej samej podstawie zostaną pomnożone.
Do $a^n * a^m$ zapisujemy potęgi jako iloczyn: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a )_ (m)$.
Rysunek pokazuje, że liczba a wziąłem n+m razy, wtedy $a^n * a^m = a^(n + m)$.

Przykład.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Ta właściwość jest wygodna w użyciu, aby uprościć pracę podczas podnoszenia liczby do dużej potęgi.
Przykład.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) Jeśli potęgi są mnożone przez inną podstawę, ale ten sam wykładnik.
Do $a^n * b^n$ zapisujemy potęgi jako iloczyn: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b )_ (m)$.
Jeśli zamienimy czynniki i policzymy wynikowe pary, otrzymamy: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.

Więc $a^n * b^n= (a * b)^n$.

Przykład.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

zasady podziału

a) Podstawa stopnia jest taka sama, wykładniki są różne.
Rozważ podzielenie stopnia z większym wykładnikiem przez podzielenie stopnia z mniejszym wykładnikiem.

Więc to jest konieczne $\frac(a^n)(a^m)$, gdzie n>m.

Stopnie zapisujemy jako ułamek:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

Dla wygody zapiszemy dzielenie jako ułamek zwykły.

Skróćmy teraz ułamek.

Okazuje się, że: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
Oznacza, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

Ta właściwość pomoże wyjaśnić sytuację z podniesieniem liczby do potęgi zero. Załóżmy, że n=m, to $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

Przykłady.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

b) Podstawy stopnia są różne, wskaźniki są takie same.
Powiedzmy, że potrzebujesz $\frac(a^n)( b^n)$. Zapisujemy potęgi liczb jako ułamek:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.

Wyobraźmy sobie dla wygody.

Korzystając z właściwości ułamków, dzielimy duży ułamek na iloczyn małych, otrzymujemy.
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$.
Odpowiednio: $\frac(a^n)( b^n)=(\frac(a)(b))^n$.

Przykład.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.

Ułamek to stosunek licznika do mianownika, a mianownik nie może być równy zeru, a licznik może być dowolny.

Podnosząc dowolny ułamek do dowolnej potęgi, musisz osobno podnieść licznik i mianownik ułamka do tej potęgi, po czym musimy policzyć te potęgi, a tym samym uzyskać ułamek podniesiony do potęgi.

Na przykład:

(2/7)^2 = 2^2/7^2 = 4/49

(2 / 3)^3 = (2 / 3) (2 / 3) (2 / 3) = 2^3 / 3^3

moc ujemna

Jeśli mamy do czynienia ze stopniem ujemnym, to musimy najpierw „odwrócić ułamek”, a dopiero potem podnieść go do potęgi zgodnie z zasadą zapisaną powyżej.

(2/7)^(-2) = (7/2)^2 = 7^2/2^2

Stopień literowy

Podczas pracy z wartościami literalnymi, takimi jak „x” i „y”, potęgowanie podlega tej samej zasadzie, co poprzednio.

Możemy też sprawdzić siebie podnosząc ułamek ½ do potęgi 3, w wyniku czego otrzymujemy ½ * ½ * ½ = 1/8 czyli w zasadzie to samo co

Dosłowne potęgowanie x^y

Mnożenie i dzielenie ułamków zwykłych z potęgami

Jeśli pomnożymy potęgi o tej samej podstawie, to sama podstawa pozostanie taka sama i dodamy wykładniki. Jeśli podzielimy potęgi o tej samej podstawie, to podstawa stopnia również pozostanie taka sama, a wykładniki zostaną odjęte.

Można to bardzo łatwo pokazać na przykładzie:

(3^23)*(3^8)=3^(23+8) = 3^31

(2^4)/(2^3) = 2^(4-3) = 2^1 = 2

To samo moglibyśmy uzyskać, gdybyśmy po prostu podnieśli osobno mianownik i licznik do potęgi odpowiednio 3 i 4.

Podnoszenie ułamka z potęgą do innej potęgi

Podnosząc ponownie do potęgi ułamek, który jest już w potędze, musimy najpierw wykonać wewnętrzne potęgowanie, a następnie przejść do zewnętrznej części potęgowania. Innymi słowy, możemy po prostu pomnożyć te potęgi i podnieść ułamek do potęgi wynikowej.

Na przykład:

(2^4)^2 = 2^4 2 = 2^8

Jednoczenie, pierwiastek kwadratowy

Nie wolno nam też zapominać, że podniesienie absolutnie dowolnego ułamka do potęgi zerowej da nam 1, tak jak każdą inną liczbę, podnosząc do potęgi równej zeru, otrzymamy 1.

Zwykły pierwiastek kwadratowy można również przedstawić jako potęgę ułamka

Pierwiastek kwadratowy 3 = 3^(1/2)

Jeżeli mamy do czynienia z pierwiastkiem, pod którym jest ułamek, to możemy przedstawić ten ułamek, w liczniku którego będzie pierwiastek z 2 - stopni (bo pierwiastek)

A mianownik będzie również zawierał pierwiastek kwadratowy, tj. innymi słowy, zobaczymy stosunek dwóch pierwiastków, co może być przydatne do rozwiązania niektórych problemów i przykładów.

Jeśli podniesiemy ułamek, który jest pod pierwiastkiem kwadratowym do drugiej potęgi, otrzymamy ten sam ułamek.

Iloczyn dwóch ułamków pod tym samym stopniem będzie równy iloczynowi tych dwóch ułamków, z których każdy z osobna będzie pod własnym stopniem.

Pamiętaj: nie możesz dzielić przez zero!

Nie zapomnij również o bardzo ważnej uwadze, że ułamek taki jak mianownik nie powinien być równy zeru. W przyszłości w wielu równaniach będziemy stosować to ograniczenie, zwane ODZ - zakres dopuszczalnych wartości

Porównując dwa ułamki o tej samej podstawie, ale różnych stopniach, większy będzie ułamek, w którym stopień będzie większy, a mniejszy, w którym stopień będzie mniejszy, jeśli nie tylko podstawy, ale także stopnie są równe, ułamek uważa się za taki sam.