§ 129. Wyjaśnienia wstępne.
Człowiek stale ma do czynienia z szeroką gamą wielkości. Pracownik i pracownik starają się dotrzeć do serwisu, do pracy na określoną godzinę, pieszy spieszy się, aby dotrzeć do określonego miejsca najkrótszą drogą, źródło ogrzewania parowego martwi się, że temperatura w kotle powoli rośnie, kierownik handlowy planuje obniżyć koszty produkcji itp.
Można by przytoczyć dowolną liczbę takich przykładów. Czas, odległość, temperatura, koszt - wszystko to są różne wielkości. W pierwszej i drugiej części tej książki poznaliśmy kilka szczególnie powszechnych wielkości: powierzchnię, objętość, wagę. Podczas studiowania fizyki i innych nauk spotykamy się z wieloma wielkościami.
Wyobraź sobie, że jesteś w pociągu. Od czasu do czasu spoglądasz na zegarek i zauważasz, jak długo jesteś już w drodze. Mówisz na przykład, że od odjazdu twojego pociągu upłynęły 2, 3, 5, 10, 15 godzin itd. Te liczby oznaczają różne okresy czasu; nazywane są wartościami tej wielkości (czasu). Lub wyglądasz przez okno i podążasz za słupkami drogowymi, aby zobaczyć odległość, jaką pokonuje pociąg. Liczby 110, 111, 112, 113, 114 km migają przed tobą. Liczby te wskazują różne odległości, jakie pociąg przebył od punktu odjazdu. Nazywa się je również wartościami, tym razem o innej wartości (ścieżce lub odległości między dwoma punktami). Zatem jedna wartość, na przykład czas, odległość, temperatura, może przyjąć dowolną różne wartości.
Zwróć uwagę na fakt, że człowiek prawie nigdy nie bierze pod uwagę tylko jednej wartości, ale zawsze łączy ją z innymi wartościami. Ma do czynienia jednocześnie z dwiema, trzema i więcej wielkościami. Wyobraź sobie, że musisz być w szkole o 9:00. Patrzysz na zegarek i widzisz, że masz 20 minut. Potem szybko decydujesz, czy jechać tramwajem, czy będziesz miał czas na piechotę do szkoły. Po namyśle decydujesz się na spacer. Zauważ, że w czasie, gdy myślałeś, rozwiązywałeś jakiś problem. To zadanie stało się proste i znajome, ponieważ na co dzień rozwiązujesz takie problemy. Szybko porównałeś w nim kilka wartości. To ty spojrzałeś na zegar, czyli wziąłeś pod uwagę czas, potem w myślach wyobraziłeś sobie odległość z domu do szkoły; w końcu porównałeś dwie wielkości: prędkość swojego kroku i prędkość tramwaju i doszedłeś do wniosku, że w określonym czasie (20 minut) będziesz miał czas na spacer. Z tego prostego przykładu widać, że w naszej praktyce niektóre wielkości są ze sobą powiązane, to znaczy zależą od siebie
W rozdziale dwunastym powiedziano o stosunku wielkości jednorodnych. Na przykład, jeśli jeden segment ma 12 m, a drugi 4 m, wówczas stosunek tych segmentów wyniesie 12: 4.
Powiedzieliśmy, że jest to stosunek dwóch jednorodnych wielkości. Innymi słowy, jest to stosunek dwóch liczb jedno imię.
Teraz, gdy lepiej poznaliśmy ilości i wprowadziliśmy pojęcie wartości wielkości, możemy zdefiniować relację w nowy sposób. W rzeczywistości, gdy rozważaliśmy dwa odcinki 12 m i 4 m, mówiliśmy o jednej wartości – długości, a 12 m i 4 m to tylko dwie różne wartości tej wartości.
Dlatego w przyszłości, kiedy zaczniemy mówić o stosunku, rozważymy dwie wartości jednej z niektórych wielkości, a stosunek jednej wartości wielkości do drugiej wartości tej samej wielkości będzie nazywany ilorazem dzielenia pierwsza wartość o drugą.
§ 130. Ilości są wprost proporcjonalne.
Rozważmy problem, którego warunkiem są dwie wielkości: odległość i czas.
Zadanie 1. Ciało poruszające się po linii prostej i jednostajnie pokonuje 12 cm w ciągu 1 sekundy. Wyznacz drogę, jaką przebędzie to ciało w czasie 2, 3, 4, ..., 10 sekund.
Zróbmy tabelę, dzięki której można będzie monitorować zmianę czasu i odległości.
Tabela daje nam możliwość porównania tych dwóch serii wartości. Widzimy z niego, że gdy wartości pierwszej wielkości (czasu) stopniowo rosną o 2, 3, ..., 10 razy, to wartości drugiej wielkości (odległości) również rosną o 2, 3, ..., 10 razy. Tak więc, gdy wartości jednej wielkości wzrosną kilka razy, wartości innej wielkości wzrosną o tę samą wartość, a gdy wartości jednej wielkości zmniejszą się kilka razy, wartości drugiej wielkości zmniejszą się o ta sama kwota.
Rozważmy teraz problem, który obejmuje dwie takie wielkości: ilość materii i jej koszt.
Zadanie 2. 15 m tkaniny kosztuje 120 rubli. Oblicz koszt tej tkaniny dla kilku innych ilości metrów wskazanych w tabeli.
Z tabeli tej możemy zobaczyć, jak stopniowo wzrasta wartość towaru w zależności od wzrostu jego ilości. Pomimo tego, że w zadaniu tym występują zupełnie inne wielkości (w pierwszym problemie czas i odległość, a tu ilość towaru i jego koszt), to jednak można doszukać się dużego podobieństwa w zachowaniu się tych wielkości.
Rzeczywiście, w górnym wierszu tabeli znajdują się liczby wskazujące liczbę metrów tkaniny, pod każdym z nich zapisana jest liczba wyrażająca koszt odpowiedniej ilości towaru. Nawet pobieżne spojrzenie na tę tabelę pokazuje, że liczby w górnym i dolnym rzędzie rosną; dokładniejsze zbadanie tabeli i porównanie poszczególnych kolumn ujawnia, że we wszystkich przypadkach wartości drugiej wielkości wzrastają o tyle, o ile rosną wartości pierwszej wielkości, tj. jeżeli wzrosła wartość pierwszej wielkości, powiedzmy 10 razy, to wartość drugiej wartości również wzrosła 10 razy.
Jeśli spojrzymy na tabelę od prawej do lewej, przekonamy się, że wskazane wartości ilości zmniejszą się o taką samą liczbę razy. W tym sensie istnieje bezwarunkowe podobieństwo między pierwszym zadaniem a drugim.
Nazywamy pary wielkości, które spotkaliśmy w pierwszym i drugim zadaniu wprost proporcjonalna.
Tak więc, jeśli dwie wielkości są ze sobą powiązane, tak że przy kilkukrotnym wzroście (spadku) wartości jednej z nich wartość drugiej wzrasta (spada) o tę samą wartość, wówczas takie wielkości nazywane są wprost proporcjonalnymi.
Mówią też o takich ilościach, że są one ze sobą powiązane wprost proporcjonalną zależnością.
W przyrodzie iw otaczającym nas życiu istnieje wiele takich wielkości. Oto kilka przykładów:
1. Czas praca (dzień, dwa dni, trzy dni itp.) i zyski otrzymywane w tym czasie za dniówkę.
2. Tom każdy przedmiot wykonany z jednorodnego materiału, oraz waga ten przedmiot.
§ 131. Własność wielkości wprost proporcjonalnych.
Weźmy zadanie, które obejmuje dwie wielkości: czas pracy i zarobki. Jeśli dzienne zarobki wynoszą 20 rubli, to zarobki za 2 dni wyniosą 40 rubli itp. Najwygodniej jest sporządzić tabelę, w której określone zarobki będą odpowiadać określonej liczbie dni.
Patrząc na tę tabelę, widzimy, że obie wielkości przyjęły 10 różnych wartości. Każda wartość pierwszej wartości odpowiada określonej wartości drugiej wartości, na przykład 40 rubli odpowiada 2 dniom; 5 dni odpowiada 100 rubli. W tabeli liczby te są zapisane jedna pod drugą.
Wiemy już, że jeśli dwie wielkości są wprost proporcjonalne, to każda z nich w procesie swojej zmiany zwiększa się o tę samą wartość, co druga. Wynika to natychmiast z tego: jeśli weźmiemy stosunek dowolnych dwóch wartości pierwszej wielkości, to będzie on równy stosunkowi dwóch odpowiednich wartości drugiej wielkości. Rzeczywiście:
Dlaczego to się dzieje? Ale ponieważ te wartości są wprost proporcjonalne, to znaczy, gdy jedna z nich (czas) wzrosła 3-krotnie, to druga (zarobek) wzrosła 3-krotnie.
Doszliśmy zatem do następującego wniosku: jeśli weźmiemy dowolne dwie wartości pierwszej wielkości i podzielimy je jedną przez drugą, a następnie podzielimy jedną przez drugą odpowiadające im wartości drugiej wielkości, to w w obu przypadkach otrzymamy jedną i tę samą liczbę, czyli tę samą relację. Oznacza to, że dwie relacje, które napisaliśmy powyżej, można połączyć znakiem równości, tj.
Nie ulega wątpliwości, że gdybyśmy brali nie te stosunki, lecz inne, i to nie w takim porządku, lecz w przeciwnym kierunku, to również uzyskalibyśmy równość stosunków. Rzeczywiście, rozważymy wartości naszych ilości od lewej do prawej i przyjmiemy trzecią i dziewiątą wartość:
60:180 = 1 / 3 .
Możemy więc napisać:
Oznacza to następujący wniosek: jeśli dwie wielkości są wprost proporcjonalne, to stosunek dwóch arbitralnie przyjętych wartości pierwszej wielkości jest równy stosunkowi dwóch odpowiednich wartości drugiej wielkości.
§ 132. Formuła bezpośredniej proporcjonalności.
Zróbmy tabelę kosztów różnych ilości słodyczy, jeśli 1 kg z nich kosztuje 10,4 rubla.
Teraz zróbmy to w ten sposób. Weźmy dowolną liczbę z drugiego rzędu i podzielmy ją przez odpowiednią liczbę z pierwszego rzędu. Na przykład:
Widzisz, że w ilorazie uzyskuje się cały czas tę samą liczbę. Dlatego dla danej pary wielkości wprost proporcjonalnych iloraz dzielenia dowolnej wartości jednej wielkości przez odpowiadającą jej wartość innej wielkości jest liczbą stałą (to znaczy niezmienną). W naszym przykładzie iloraz ten wynosi 10,4. Ta stała liczba nazywana jest współczynnikiem proporcjonalności. W tym przypadku wyraża cenę jednostki miary, czyli jednego kilograma towaru.
Jak znaleźć lub obliczyć współczynnik proporcjonalności? Aby to zrobić, musisz wziąć dowolną wartość jednej wielkości i podzielić ją przez odpowiednią wartość innej.
Oznaczmy tę dowolną wartość jednej wielkości literą w , oraz odpowiadającą jej wartość innej wielkości - literę X , to współczynnik proporcjonalności (oznaczamy go Do) znajdź dzieląc:
W tej równości w - podzielne X - rozdzielacz i Do- iloraz, a ponieważ zgodnie z właściwością podziału dywidenda jest równa dzielnikowi pomnożonemu przez iloraz, możemy napisać:
y= k x
Wynikowa równość nazywa się formuła bezpośredniej proporcjonalności. Korzystając z tego wzoru, możemy obliczyć dowolną liczbę wartości jednej z wprost proporcjonalnych wielkości, jeśli znamy odpowiednie wartości drugiej wielkości i współczynnika proporcjonalności.
Przykład. Z fizyki wiemy, że ciężar R dowolnego ciała jest równe jego ciężarowi właściwemu d pomnożona przez objętość tego ciała V, tj. R = d V.
Weź pięć sztabek żelaza o różnych rozmiarach; znając ciężar właściwy żelaza (7,8), możemy obliczyć ciężar tych półfabrykatów za pomocą wzoru:
R = 7,8 V.
Porównując ten wzór ze wzorem w = Do X , widzimy to y= R, x = V oraz współczynnik proporcjonalności Do= 7,8. Formuła jest ta sama, różnią się tylko literami.
Korzystając z tej formuły, zróbmy tabelę: niech objętość pierwszego półfabrykatu wyniesie 8 metrów sześciennych. cm, to jego waga wynosi 7,8 · 8 \u003d 62,4 (g). Objętość drugiego półfabrykatu wynosi 27 metrów sześciennych. cm Jego waga wynosi 7,8 · 27 \u003d 210,6 (g). Tabela będzie wyglądać następująco:
Sam oblicz brakujące liczby w tej tabeli, korzystając ze wzoru R= d V.
§ 133. Inne sposoby rozwiązywania problemów z wielkościami wprost proporcjonalnymi.
W poprzednim akapicie rozwiązaliśmy problem, którego warunek obejmował wielkości wprost proporcjonalne. W tym celu wcześniej wyprowadziliśmy wzór na bezpośrednią proporcjonalność, a następnie zastosowaliśmy ten wzór. Teraz pokażemy dwa inne sposoby rozwiązania podobnych problemów.
Zróbmy problem zgodnie z danymi liczbowymi podanymi w tabeli w poprzednim akapicie.
Zadanie. Puste o objętości 8 metrów sześciennych. cm waży 62,4 g. Ile waży półfabrykat o objętości 64 metrów sześciennych? cm?
Decyzja. Jak wiadomo, ciężar żelaza jest proporcjonalny do jego objętości. Jeśli 8 cu. cm waży 62,4 g, a następnie 1 cu. cm będzie ważył 8 razy mniej, tj.
62,4: 8 = 7,8 (g).
Półfabrykat o objętości 64 metrów sześciennych. cm waży 64 razy więcej niż półfabrykat 1 cu. cm, tj.
7,8 · 64 = 499,2 (g).
Rozwiązaliśmy nasz problem, redukując do jedności. Znaczenie tej nazwy jest uzasadnione tym, że aby ją rozwiązać, musieliśmy znaleźć wagę jednostki objętości w pierwszym pytaniu.
2. Metoda proporcji. Rozwiążmy ten sam problem za pomocą metody proporcji.
Ponieważ waga żelaza i jego objętość są wielkościami wprost proporcjonalnymi, stosunek dwóch wartości jednej wielkości (objętości) jest równy stosunkowi dwóch odpowiadających sobie wartości innej ilości (wagi), tj.
(list R oznaczyliśmy nieznaną wagę półfabrykatu). Stąd:
(G).
Zadanie rozwiązuje się metodą proporcji. Oznacza to, że aby go rozwiązać, utworzono proporcję liczb zawartych w warunku.
§ 134. Ilości są odwrotnie proporcjonalne.
Rozważmy następujący problem: „Pięciu murarzy może położyć ceglane ściany domu w 168 dni. Określ, w ile dni 10, 8, 6 itd. murarze mogą wykonać tę samą pracę.
Gdyby 5 murarzy położyło ściany domu w 168 dni, to (przy tej samej wydajności pracy) 10 murarzy mogłoby to zrobić dwa razy szybciej, ponieważ średnio 10 osób wykonuje dwa razy więcej pracy niż 5 osób.
Zróbmy tabelę, według której można byłoby monitorować zmianę liczby godzin pracy i godzin pracy.
Na przykład, aby dowiedzieć się, ile dni zajmuje 6 robotników, musisz najpierw obliczyć, ile dni zajmuje to jeden robotnik (168 5 = 840), a następnie sześciu pracowników (840: 6 = 140). Patrząc na tę tabelę, widzimy, że obie wielkości przyjęły sześć różnych wartości. Każda wartość pierwszej wielkości odpowiada dokładniej; wartość drugiej wartości, na przykład 10 odpowiada 84, liczba 8 - liczba 105 itd.
Jeśli weźmiemy pod uwagę wartości obu wartości od lewej do prawej, zobaczymy, że wartości górnej wartości rosną, a wartości dolnej wartości maleją. Wzrost i spadek podlega następującemu prawu: wartości liczby pracowników rosną tyle razy, o ile zmniejszają się wartości spędzonego czasu pracy. Jeszcze prościej, tę ideę można wyrazić w następujący sposób: im więcej pracowników jest zatrudnionych w dowolnej firmie, tym mniej czasu potrzebują na wykonanie określonej pracy. Dwie wielkości, które napotkaliśmy w tym zadaniu, to tzw odwrotnie proporcjonalny.
Tak więc, jeśli dwie wielkości są ze sobą powiązane w taki sposób, że przy kilkukrotnym wzroście (spadku) wartości jednej z nich wartość drugiej maleje (rośnie) o tę samą wartość, wówczas takie wielkości nazywane są odwrotnie proporcjonalnymi.
Takich sytuacji w życiu jest wiele. Podajmy przykłady.
1. Jeśli za 150 rubli. musisz kupić kilka kilogramów słodyczy, wtedy ilość słodyczy będzie zależała od ceny jednego kilograma. Im wyższa cena, tym mniej towarów można kupić za te pieniądze; widać to z tabeli:
Przy kilkukrotnym wzroście ceny słodyczy liczba kilogramów słodyczy, które można kupić za 150 rubli, zmniejsza się o tę samą kwotę. W tym przypadku te dwie wielkości (waga produktu i jego cena) są odwrotnie proporcjonalne.
2. Jeżeli odległość między dwoma miastami wynosi 1200 km, to można ją pokonać w różnym czasie w zależności od prędkości poruszania się. Istnieją różne środki transportu: pieszo, konno, rowerem, statkiem, samochodem, pociągiem, samolotem. Im mniejsza prędkość, tym więcej czasu zajmuje poruszanie się. Widać to z tabeli:
Przy kilkukrotnym wzroście prędkości czas ruchu zmniejsza się o tę samą wartość. Stąd w danych warunkach prędkość i czas są odwrotnie proporcjonalne.
§ 135. Własność wielkości odwrotnie proporcjonalnych.
Weźmy drugi przykład, który rozważaliśmy w poprzednim akapicie. Tam mieliśmy do czynienia z dwiema wielkościami - prędkością ruchu i czasem. Jeśli weźmiemy pod uwagę wartości tych wielkości od lewej do prawej w tabeli, zobaczymy, że wartości pierwszej wielkości (prędkości) rosną, a wartości drugiej (czasu) maleją, i prędkość wzrasta o ten sam współczynnik, co czas.Łatwo się domyślić, że jeśli napiszesz stosunek niektórych wartości jednej wielkości, to nie będzie on równy stosunkowi odpowiednich wartości innej wielkości. Rzeczywiście, jeśli weźmiemy stosunek czwartej wartości górnej wartości do siódmej wartości (40: 80), to nie będzie on równy stosunkowi czwartej i siódmej wartości dolnej wartości (30: 15 ). Można to zapisać tak:
40:80 nie równa się 30:15, czyli 40:80 =/= 30:15.
Ale jeśli zamiast jednego z tych stosunków weźmiemy coś przeciwnego, to otrzymamy równość, tj. Z tych stosunków będzie można zrobić proporcję. Na przykład:
80: 40 = 30: 15,
40: 80 = 15: 30."
Na podstawie powyższego możemy wyciągnąć następujący wniosek: jeśli dwie wielkości są odwrotnie proporcjonalne, to stosunek dwóch arbitralnie przyjętych wartości jednej wielkości jest równy odwrotnemu stosunkowi odpowiednich wartości drugiej wielkości.
§ 136. Formuła odwrotnej proporcjonalności.
Rozważ problem: „Istnieje 6 kawałków jedwabnej tkaniny o różnych rozmiarach i różnych gatunkach. Wszystkie sztuki są w tej samej cenie. W jednym kawałku 100 m tkaniny w cenie 20 rubli. za metr. Ile metrów ma każdy z pozostałych pięciu kawałków, jeśli metr tkaniny w tych kawałkach kosztuje odpowiednio 25, 40, 50, 80, 100 rubli? Stwórzmy tabelę, aby rozwiązać ten problem:
Musimy wypełnić puste komórki w górnym rzędzie tej tabeli. Najpierw spróbujmy ustalić, ile metrów ma drugi kawałek. Można to zrobić w następujący sposób. Ze stanu problemu wiadomo, że koszt wszystkich sztuk jest taki sam. Koszt pierwszej sztuki jest łatwy do ustalenia: ma 100 m, a każdy metr kosztuje 20 rubli, co oznacza, że w pierwszej sztuce jedwabiu za 2000 rubli. Ponieważ drugi kawałek jedwabiu zawiera taką samą liczbę rubli, to dzieląc 2000 rubli. przy cenie jednego metra, czyli po 25, znajdujemy wartość drugiej sztuki: 2000:25 = 80 (m). W ten sam sposób znajdziemy rozmiar wszystkich pozostałych kawałków. Tabela będzie wyglądać następująco:
Łatwo zauważyć, że istnieje odwrotna zależność między liczbą metrów a ceną.
Jeśli samodzielnie wykonasz niezbędne obliczenia, zauważysz, że za każdym razem musisz podzielić liczbę 2000 przez cenę 1 m. I odwrotnie, jeśli teraz zaczniesz mnożyć rozmiar kawałka w metrach przez cenę 1 m, otrzymasz zawsze dostanie numer 2000. i było to do przewidzenia, ponieważ każda sztuka kosztuje 2000 rubli.
Z tego możemy wyciągnąć następujący wniosek: dla danej pary wielkości odwrotnie proporcjonalnych iloczyn dowolnej wartości jednej wielkości przez odpowiadającą jej wartość innej wielkości jest liczbą stałą (tj. niezmienną).
W naszym problemie iloczyn ten jest równy 2000. Sprawdź, czy w poprzednim zadaniu, w którym mówiono o szybkości ruchu i czasie potrzebnym na przemieszczenie się z jednego miasta do drugiego, również dla tego zadania była stała liczba (1200 ).
Biorąc pod uwagę wszystko, co zostało powiedziane, łatwo jest wyprowadzić wzór na odwrotną proporcjonalność. Oznacz jakąś wartość jednej wielkości literą X , oraz odpowiadającą jej wartość innej wartości - literę w . Następnie na podstawie powyższej pracy X na w musi być równa jakiejś stałej wartości, którą oznaczamy literą Do, tj.
x y = Do.
W tej równości X - mnożnik, w - mnożnik i k- praca. Zgodnie z właściwością mnożenia mnożnik jest równy iloczynowi podzielonemu przez mnożnik. Oznacza,
To jest wzór na odwrotną proporcjonalność. Za jego pomocą możemy obliczyć dowolną liczbę wartości jednej z wielkości odwrotnie proporcjonalnych, znając wartości drugiej i stałą liczbę Do.
Rozważmy inny problem: „Autor jednego eseju obliczył, że gdyby jego książka była w zwykłym formacie, miałaby 96 stron, ale gdyby była w formacie kieszonkowym, miałaby 300 stron. Próbował różnych opcji, zaczynał od 96 stron, a potem miał 2500 liter na stronie. Następnie wziął liczbę stron wskazaną w poniższej tabeli i ponownie obliczył, ile liter będzie na stronie.
Spróbujmy obliczyć, ile liter będzie na stronie, jeśli książka ma 100 stron.
W całej księdze jest 240 000 liter, ponieważ 2500 96 = 240 000.
Biorąc to pod uwagę, stosujemy wzór na odwrotną proporcjonalność ( w - ilość liter na stronie X - Numer stron):
W naszym przykładzie Do= 240 000, zatem
Tak więc na stronie jest 2400 liter.
Podobnie dowiadujemy się, że jeśli księga ma 120 stron, to liczba liter na stronie będzie wynosić:
Nasz stół będzie wyglądał następująco:
Resztę komórek wypełnij samodzielnie.
§ 137. Inne sposoby rozwiązywania zadań z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi.
W poprzednim akapicie rozwiązaliśmy problemy, które obejmowały wielkości odwrotnie proporcjonalne. Wcześniej wyprowadziliśmy wzór na odwrotną proporcjonalność, a następnie zastosowaliśmy ten wzór. Teraz pokażemy dwa inne sposoby rozwiązania takich problemów.
1. Metoda redukcji do jedności.
Zadanie. 5 tokarzy może wykonać pewną pracę w ciągu 16 dni. W ile dni 8 tokarzy wykona tę pracę?
Decyzja. Istnieje odwrotna zależność między liczbą tokarzy a czasem pracy. Jeśli 5 tokarzy wykona tę pracę w ciągu 16 dni, to jedna osoba będzie potrzebowała na to 5 razy więcej czasu, tj.
5 tokarzy wykonuje tę pracę w 16 dni,
1 tokarz ukończy ją w 16 5 = 80 dni.
Problem polega na tym, w ile dni 8 tokarzy wykona tę pracę. Oczywiście wykonają pracę 8 razy szybciej niż 1 tokarz, tj
80: 8 = 10 (dni).
Jest to rozwiązanie problemu metodą redukcji do jedności. Tutaj przede wszystkim należało określić czas wykonywania pracy przez jednego pracownika.
2. Metoda proporcji. Rozwiążmy ten sam problem w drugi sposób.
Ponieważ istnieje odwrotnie proporcjonalna zależność między liczbą pracowników a czasem pracy, możemy zapisać: czas pracy 5 tokarzy nowa liczba tokarzy (8) czas pracy 8 tokarzy poprzednia liczba tokarzy ( 5) Oznaczmy żądany czas pracy literą X i zastąpić w proporcji wyrażonej słownie niezbędne liczby:
Ten sam problem rozwiązuje się metodą proporcji. Aby go rozwiązać, musieliśmy zrobić proporcję liczb zawartych w warunku problemu.
Uwaga. W poprzednich akapitach rozważaliśmy kwestię bezpośredniej i odwrotnej proporcjonalności. Natura i życie dostarczają nam wielu przykładów bezpośrednich i odwrotnych proporcji wielkości. Należy jednak zauważyć, że te dwa rodzaje zależności są tylko najprostszymi. Wraz z nimi istnieją inne, bardziej złożone relacje między wielkościami. Ponadto nie należy myśleć, że jeśli dowolne dwie wielkości rosną jednocześnie, to koniecznie istnieje między nimi bezpośrednia proporcjonalność. To jest dalekie od prawdy. Na przykład ceny biletów kolejowych rosną wraz z odległością: im dalej jedziemy, tym więcej płacimy, ale to nie znaczy, że opłata za przejazd jest proporcjonalna do odległości.
Pojęcie bezpośredniej proporcjonalności
Wyobraź sobie, że myślisz o kupieniu swojego ulubionego cukierka (lub czegokolwiek, co naprawdę lubisz). Słodycze w sklepie mają swoją cenę. Załóżmy, że 300 rubli za kilogram. Im więcej kupisz cukierków, tym więcej zapłacisz. To znaczy, jeśli chcesz 2 kilogramy - zapłać 600 rubli, a jeśli chcesz 3 kilogramy - daj 900 rubli. Z tym wszystko wydaje się być jasne, prawda?
Jeśli tak, to teraz jest dla ciebie jasne, czym jest bezpośrednia proporcjonalność - jest to koncepcja opisująca stosunek dwóch zależnych od siebie wielkości. A stosunek tych wielkości pozostaje niezmieniony i stały: o ile części zwiększa się lub zmniejsza jedna z nich, o tę samą liczbę części proporcjonalnie zwiększa się lub zmniejsza druga.
Bezpośrednią proporcjonalność można opisać wzorem: f(x) = a*x, a a w tym wzorze jest wartością stałą (a = const). W naszym przykładzie z cukierkami cena jest stałą, stałą. Nie zwiększa się ani nie zmniejsza, bez względu na to, ile słodyczy zdecydujesz się kupić. Zmienna niezależna (argument) x oznacza, ile kilogramów słodyczy zamierzasz kupić. A zmienna zależna f(x) (funkcja) określa, ile pieniędzy ostatecznie zapłacisz za zakup. Możemy więc podstawić liczby we wzorze i otrzymać: 600 r. = 300 r. * 2 kg.
Pośredni wniosek jest następujący: jeśli argument rośnie, funkcja również rośnie, jeśli argument maleje, funkcja również maleje
Funkcja i jej właściwości
Bezpośrednia funkcja proporcjonalna jest szczególnym przypadkiem funkcji liniowej. Jeśli funkcja liniowa to y = k*x + b, to dla bezpośredniej proporcjonalności wygląda to tak: y = k*x, gdzie k nazywa się współczynnikiem proporcjonalności i jest to zawsze liczba różna od zera. Obliczenie k jest łatwe - znajduje się jako iloraz funkcji i argumentu: k = y/x.
Aby to wyjaśnić, weźmy inny przykład. Wyobraź sobie, że samochód jedzie z punktu A do punktu B. Jego prędkość wynosi 60 km/h. Jeśli założymy, że prędkość ruchu pozostaje stała, to można ją przyjąć jako stałą. A następnie zapisujemy warunki w postaci: S \u003d 60 * t, a ten wzór jest podobny do funkcji bezpośredniej proporcjonalności y \u003d k * x. Narysujmy dalej równoległość: jeśli k \u003d y / x, to prędkość samochodu można obliczyć, znając odległość między A i B oraz czas spędzony na drodze: V \u003d S / t.
A teraz, od praktycznego zastosowania wiedzy o bezpośredniej proporcjonalności, wróćmy do jej funkcji. Właściwości, które obejmują:
jego dziedziną definicji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych (a także jego podzbiór);
funkcja jest nieparzysta;
zmiana zmiennych jest wprost proporcjonalna do całej długości osi liczbowej.
Proporcjonalność bezpośrednia i jej wykres
Wykres funkcji wprost proporcjonalnej to linia prosta przecinająca punkt początkowy. Aby go zbudować, wystarczy zaznaczyć jeszcze tylko jeden punkt. I połącz go z początkiem linii.
W przypadku wykresu k jest nachyleniem. Jeśli nachylenie jest mniejsze od zera (k< 0), то угол между графиком функции прямой пропорциональности и осью абсцисс тупой, а функция убывающая. Если угловой коэффициент больше нуля (k >0), wykres i oś x tworzą kąt ostry, a funkcja jest rosnąca.
I jeszcze jedna właściwość wykresu funkcji bezpośredniej proporcjonalności jest bezpośrednio związana z nachyleniem k. Załóżmy, że mamy dwie nieidentyczne funkcje i odpowiednio dwa wykresy. Jeśli więc współczynniki k tych funkcji są równe, ich wykresy są równoległe na osi współrzędnych. A jeśli współczynniki k nie są sobie równe, wykresy się przecinają.
Przykłady zadań
Zdecydujmy się na parę problemy z bezpośrednią proporcjonalnością
Zacznijmy prosto.
Zadanie 1: Wyobraź sobie, że 5 kur zniosło 5 jaj w ciągu 5 dni. A jeśli jest 20 kur, ile jaj zniosą w ciągu 20 dni?
Rozwiązanie: Oznacz niewiadomą jako x. I będziemy się spierać w następujący sposób: ile razy było więcej kurczaków? Podziel 20 przez 5 i dowiedz się, że 4 razy. A ile razy więcej jaj zniesie 20 kur w ciągu tych samych 5 dni? Również 4 razy więcej. Tak więc znajdujemy nasze: 5 * 4 * 4 \u003d 80 jaj zostanie zniesionych przez 20 kur w ciągu 20 dni.
Teraz przykład jest trochę bardziej skomplikowany, sformułujmy ponownie problem z „Ogólnej arytmetyki” Newtona. Zadanie 2: Pisarz może napisać 14 stron nowej książki w 8 dni. Gdyby miał asystentów, ile osób potrzeba by do napisania 420 stron w 12 dni?
Rozwiązanie: Rozumiemy, że liczba osób (pisarz + asystenci) wzrasta wraz ze wzrostem ilości pracy, gdyby musiała być wykonana w takim samym czasie. Ale ile razy? Dzieląc 420 przez 14, dowiadujemy się, że zwiększa się 30 razy. Ponieważ jednak zgodnie z warunkami zadania poświęca się więcej czasu na pracę, liczba asystentów nie wzrasta 30-krotnie, ale w ten sposób: x \u003d 1 (pisarz) * 30 (razy): 12/8 (dni). Przekształćmy i dowiedzmy się, że x = 20 osób napisze 420 stron w 12 dni.
Rozwiążmy inny problem podobny do tego, który mieliśmy w przykładach.
Zadanie 3: Dwa samochody wyruszają w tę samą podróż. Jeden poruszał się z prędkością 70 km/h i pokonał tę samą odległość w ciągu 2 godzin, co drugi w 7 godzin. Znajdź prędkość drugiego samochodu.
Rozwiązanie: Jak pamiętasz, droga jest określona przez prędkość i czas - S = V *t. Ponieważ oba samochody jechały tą samą drogą, możemy zrównać dwa wyrażenia: 70*2 = V*7. Gdzie znajdujemy, że prędkość drugiego samochodu wynosi V = 70*2/7 = 20 km/h.
I jeszcze kilka przykładów zadań z funkcjami bezpośredniej proporcjonalności. Czasami w problemach wymagane jest znalezienie współczynnika k.
Zadanie 4: Biorąc pod uwagę funkcje y \u003d - x / 16 i y \u003d 5x / 2, określ ich współczynniki proporcjonalności.
Rozwiązanie: Jak pamiętasz, k = y/x. Stąd dla pierwszej funkcji współczynnik wynosi -1/16, a dla drugiej k = 5/2.
Możesz też natknąć się na takie zadanie jak Zadanie 5: Zapisz wzór na bezpośrednią proporcjonalność. Jego wykres i wykres funkcji y \u003d -5x + 3 znajdują się równolegle.
Rozwiązanie: Funkcja dana nam w warunku jest liniowa. Wiemy, że bezpośrednia proporcjonalność jest szczególnym przypadkiem funkcji liniowej. Wiemy też, że jeśli współczynniki funkcji k są równe, to ich wykresy są równoległe. Oznacza to, że wystarczy obliczyć współczynnik znanej funkcji i ustawić bezpośrednią proporcjonalność za pomocą znanego wzoru: y \u003d k * x. Współczynnik k \u003d -5, bezpośrednia proporcjonalność: y \u003d -5 * x.
Wniosek
Teraz nauczyłeś się (lub przypomniałeś sobie, jeśli już wcześniej poruszałeś ten temat), jak nazywa się bezpośrednia proporcjonalność i rozważył to przykłady. Rozmawialiśmy również o funkcji bezpośredniej proporcjonalności i jej wykresie, rozwiązaliśmy na przykład kilka problemów.
Jeśli ten artykuł był przydatny i pomógł zrozumieć temat, powiedz nam o tym w komentarzach. Abyśmy wiedzieli, czy możemy Ci pomóc.
blog.site, z pełnym lub częściowym kopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.
Przykład
1,6 / 2 = 0,8; 4 / 5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8 itd.Współczynnik proporcjonalności
Nazywa się stały stosunek wielkości proporcjonalnych współczynnik proporcjonalności. Współczynnik proporcjonalności pokazuje, ile jednostek jednej wielkości przypada na jednostkę innej wielkości.
Bezpośrednia proporcjonalność
Bezpośrednia proporcjonalność- zależność funkcjonalna, w której pewna wielkość zależy od innej wielkości w taki sposób, że ich stosunek pozostaje stały. Innymi słowy, te zmienne się zmieniają proporcjonalnie, w równych częściach, to znaczy, jeśli argument zmienił się dwukrotnie w dowolnym kierunku, to funkcja również zmieni się dwukrotnie w tym samym kierunku.
Matematycznie bezpośrednia proporcjonalność jest zapisana jako wzór:
f(x) = ax,a = const
Odwrotna proporcjonalność
Odwrotna proporcja- jest to zależność funkcyjna, w której wzrost wartości (argumentu) niezależnej powoduje proporcjonalne zmniejszenie wartości (funkcji) zależnej.
Matematycznie odwrotna proporcjonalność jest zapisana jako wzór:
Właściwości funkcji:
Źródła
Fundacja Wikimedia. 2010 .
- Drugie prawo Newtona
- Bariera Coulomba
Zobacz, czym jest „Bezpośrednia proporcjonalność” w innych słownikach:
bezpośrednia proporcjonalność- - [AS Goldberg. Angielsko-rosyjski słownik energetyczny. 2006] Tematy energia ogólnie EN stosunek bezpośredni … Podręcznik tłumacza technicznego
bezpośrednia proporcjonalność- tiesioginis proporcingumas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. bezpośrednia proporcjonalność vok. direkte Proportionalitat, f rus. bezpośrednia proporcjonalność, f pranc. rationalité directe, f … Fizikos terminų žodynas
PROPORCJONALNOŚĆ- (z łac. proporcjonalna proporcjonalna, proporcjonalna). Proporcjonalność. Słownik słów obcych zawartych w języku rosyjskim. Chudinov A.N., 1910. PROPORCJONALNOŚĆ otlat. proporcjonalny, proporcjonalny. Proporcjonalność. Wyjaśnienie 25000… … Słownik obcych słów języka rosyjskiego
PROPORCJONALNOŚĆ- PROPORCJONALNOŚĆ, proporcjonalność, pl. nie, kobieto (książka). 1. rozproszenie uwagi rzeczownik do proporcjonalnego. Proporcjonalność części. Proporcjonalność ciała. 2. Taki związek między ilościami, gdy są one proporcjonalne (patrz proporcjonalne ... Słownik wyjaśniający Uszakowa
Proporcjonalność- Dwie wzajemnie zależne wielkości nazywane są proporcjonalnymi, jeśli stosunek ich wartości pozostaje niezmieniony. Spis treści 1 Przykład 2 Współczynnik proporcjonalności ... Wikipedia
PROPORCJONALNOŚĆ- PROPORCJONALNOŚĆ i żony. 1. patrz proporcjonalny. 2. W matematyce: taki związek między wielkościami, kiedy wzrost jednej z nich pociąga za sobą zmianę drugiej o tę samą wartość. Bezpośredni p. (przy cięciu ze wzrostem o jedną wartość ... ... Słownik wyjaśniający Ożegowa
proporcjonalność- oraz; oraz. 1. do proporcjonalnego (1 cyfra); proporcjonalność. P. części. P. budowa ciała. P. reprezentacja w parlamencie. 2. Matematyka. Zależność między proporcjonalnie zmieniającymi się wielkościami. Współczynnik proporcjonalności. Bezpośredni p. (W którym z ... ... słownik encyklopedyczny
Dzisiaj przyjrzymy się, jakie wielkości nazywane są odwrotnie proporcjonalnymi, jak wygląda wykres odwrotnej proporcjonalności i jak to wszystko może ci się przydać nie tylko na lekcjach matematyki, ale także poza murami szkoły.
Takie różne proporcje
Proporcjonalność wymień dwie wielkości, które są od siebie zależne.
Zależność może być bezpośrednia i odwrotna. Dlatego związek między wielkościami opisuje bezpośrednią i odwrotną proporcjonalność.
Bezpośrednia proporcjonalność- jest to taki związek między dwiema wielkościami, w którym wzrost lub spadek jednej z nich prowadzi do wzrostu lub zmniejszenia drugiej. Tych. ich postawa się nie zmienia.
Na przykład, im więcej wysiłku włożysz w przygotowanie się do egzaminów, tym wyższe będą Twoje oceny. Albo im więcej rzeczy zabierasz ze sobą na wędrówkę, tym trudniej jest nieść plecak. Tych. ilość wysiłku włożonego w przygotowanie do egzaminów jest wprost proporcjonalna do uzyskanych ocen. A ilość rzeczy spakowanych w plecaku jest wprost proporcjonalna do jego wagi.
Odwrotna proporcjonalność- jest to zależność funkcyjna, w której kilkukrotne zmniejszenie lub zwiększenie wartości niezależnej (nazywa się to argumentem) powoduje proporcjonalne (tj. o tę samą wielkość) zwiększenie lub zmniejszenie wartości zależnej (nazywa się to funkcją ).
Zilustrujmy to prostym przykładem. Chcesz kupić jabłka na rynku. Jabłka na ladzie i ilość pieniędzy w portfelu są odwrotnie proporcjonalne. Tych. im więcej kupisz jabłek, tym mniej pieniędzy ci zostanie.
Funkcja i jej wykres
Funkcję odwrotnej proporcjonalności można opisać jako y = k/x. W którym x≠ 0 i k≠ 0.
Ta funkcja ma następujące właściwości:
- Jego dziedziną definicji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyjątkiem x = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
- Zakres to wszystkie liczby rzeczywiste z wyjątkiem y= 0. E(y): (-∞; 0) u (0; +∞) .
- Nie ma wartości maksymalnych ani minimalnych.
- Jest nieparzysta, a jej wykres jest symetryczny względem pochodzenia.
- Nieokresowe.
- Jego wykres nie przecina osi współrzędnych.
- Nie ma zer.
- Jeśli k> 0 (czyli argument rośnie), funkcja maleje proporcjonalnie w każdym ze swoich przedziałów. Jeśli k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
- W miarę wzrostu argumentu ( k> 0) wartości ujemne funkcji mieszczą się w przedziale (-∞; 0), a wartości dodatnie mieszczą się w przedziale (0; +∞). Kiedy argument jest malejący ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).
Wykres funkcji odwrotnej proporcjonalności nazywa się hiperbolą. Przedstawiony w następujący sposób:
Odwrotne problemy proporcjonalne
Aby to wyjaśnić, spójrzmy na kilka zadań. Nie są zbyt skomplikowane, a ich rozwiązanie pomoże Ci zwizualizować, czym jest odwrotność proporcji i jak ta wiedza może przydać się w Twoim codziennym życiu.
Zadanie numer 1. Samochód porusza się z prędkością 60 km/h. Dotarcie do celu zajęło mu 6 godzin. Ile czasu zajmie mu pokonanie tej samej odległości, jeśli porusza się z dwukrotnie większą prędkością?
Możemy zacząć od zapisania wzoru opisującego zależność czasu, odległości i prędkości: t = S/V. Zgadzam się, to bardzo przypomina nam funkcję odwrotnej proporcjonalności. Oznacza to, że czas, jaki samochód spędza na drodze, i prędkość, z jaką się porusza, są odwrotnie proporcjonalne.
Aby to zweryfikować, znajdźmy V 2, który z założenia jest 2 razy wyższy: V 2 \u003d 60 * 2 \u003d 120 km / h. Następnie obliczamy odległość za pomocą wzoru S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Teraz nie jest trudno znaleźć czas t 2 wymagany od nas w zależności od stanu problemu: t 2 = 360/120 = 3 godziny.
Jak widać, czas podróży i prędkość są rzeczywiście odwrotnie proporcjonalne: przy prędkości 2 razy większej niż oryginalna samochód spędzi 2 razy mniej czasu na drodze.
Rozwiązanie tego problemu można również zapisać jako proporcję. Dlaczego tworzymy taki schemat:
↓ 60 km/h – 6 godz
↓120 km/h – x godz
Strzałki wskazują odwrotną zależność. Sugerują również, że podczas sporządzania proporcji należy odwrócić prawą stronę zapisu: 60/120 \u003d x / 6. Skąd mamy x \u003d 60 * 6/120 \u003d 3 godziny.
Zadanie numer 2. W warsztacie zatrudnionych jest 6 pracowników, którzy zadaną ilość pracy wykonują w ciągu 4 godzin. Jeśli liczba pracowników zmniejszy się o połowę, ile czasu zajmie pozostałym pracownikom wykonanie takiej samej ilości pracy?
Warunki problemu piszemy w formie diagramu wizualnego:
↓ 6 pracowników - 4 godz
↓ 3 robotników - x godz
Zapiszmy to jako proporcję: 6/3 = x/4. I otrzymujemy x \u003d 6 * 4/3 \u003d 8 h. Jeśli pracowników jest 2 razy mniej, reszta poświęci 2 razy więcej czasu na wykonanie całej pracy.
Zadanie numer 3. Do basenu prowadzą dwie rury. Przez jedną rurę woda wpływa z prędkością 2 l / si napełnia basen w 45 minut. Inną rurą basen zostanie napełniony w 75 minut. Jak szybko woda wpływa do basenu przez tę rurę?
Na początek sprowadzimy wszystkie wielkości podane nam zgodnie ze stanem problemu do tych samych jednostek miary. Aby to zrobić, wyrażamy szybkość napełniania basenu w litrach na minutę: 2 l / s \u003d 2 * 60 \u003d 120 l / min.
Ponieważ z warunku wynika, że basen napełnia się wolniej drugą rurą, oznacza to, że prędkość dopływu wody jest mniejsza. Na twarzy odwrotnej proporcji. Wyraźmy nieznaną nam prędkość w postaci x i sporządźmy następujący schemat:
↓ 120 l/min - 45 min
↓ x l/min – 75 min
A potem zrobimy proporcję: 120 / x \u003d 75/45, skąd x \u003d 120 * 45/75 \u003d 72 l / min.
W zadaniu szybkość napełniania basenu wyrażona jest w litrach na sekundę, sprowadźmy naszą odpowiedź do tej samej postaci: 72/60 = 1,2 l/s.
Zadanie numer 4. Wizytówki drukowane są w małej prywatnej drukarni. Pracownik drukarni pracuje z prędkością 42 wizytówek na godzinę i pracuje na pełny etat - 8 godzin. Gdyby pracował szybciej i drukował 48 wizytówek na godzinę, o ile szybciej mógłby wrócić do domu?
Idziemy w sprawdzony sposób i opracowujemy schemat zgodnie ze stanem problemu, oznaczając pożądaną wartość jako x:
↓ 42 wizytówki/h – 8 godz
↓ 48 wizytówek/h – xh
Przed nami zależność odwrotnie proporcjonalna: ile razy więcej wizytówek wydrukuje pracownik drukarni w ciągu godziny, tyle samo czasu zajmie mu wykonanie tej samej pracy. Wiedząc o tym, możemy ułożyć proporcję:
42/48 \u003d x / 8, x \u003d 42 * 8/48 \u003d 7 godzin.
Tym samym, po wykonaniu pracy w 7 godzin, pracownik drukarni mógł wrócić do domu godzinę wcześniej.
Wniosek
Wydaje nam się, że te problemy z odwrotną proporcjonalnością są naprawdę proste. Mamy nadzieję, że teraz też tak je postrzegacie. A co najważniejsze, znajomość odwrotnie proporcjonalnej zależności ilości może naprawdę przydać Ci się nie raz.
Nie tylko na lekcjach matematyki i egzaminach. Ale nawet wtedy, gdy wybierasz się na wycieczkę, zakupy, postanawiasz dorobić w wakacje itp.
Powiedz nam w komentarzach, jakie przykłady odwrotnej i bezpośredniej proporcjonalności zauważasz wokół siebie. Niech to będzie gra. Zobaczysz, jakie to ekscytujące. Nie zapomnij „udostępnić” tego artykułu w sieciach społecznościowych, aby Twoi przyjaciele i koledzy z klasy również mogli grać.
strona, z pełnym lub częściowym kopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.
I. Wartości wprost proporcjonalne.
Niech wartość y zależy od rozmiaru X. Jeśli ze wzrostem X kilka razy większy w wzrasta o ten sam współczynnik, to takie wartości X oraz w nazywamy wprost proporcjonalnymi.
Przykłady.
1 . Ilość kupowanego towaru i koszt zakupu (przy stałej cenie jednej jednostki towaru - 1 sztuka lub 1 kg itp.) Ile razy więcej towaru kupiono, tyle razy więcej i zapłacono.
2 . Przebyta odległość i czas spędzony na niej (przy stałej prędkości). Ile razy dłuższa ścieżka, ile razy więcej czasu na niej spędzimy.
3 . Objętość ciała i jego masa. ( Jeśli jeden arbuz jest 2 razy większy od drugiego, to jego masa będzie 2 razy większa)
II. Właściwość bezpośredniej proporcjonalności wielkości.
Jeśli dwie wielkości są wprost proporcjonalne, to stosunek dwóch dowolnych wartości pierwszej wielkości jest równy stosunkowi dwóch odpowiednich wartości drugiej wielkości.
Zadanie 1. Na dżem malinowy 12 kg maliny i 8 kg Sahara. Ile cukru będzie wymagane, jeśli zostanie wzięte 9 kg maliny?
Decyzja.
Argumentujemy tak: niech to będzie konieczne x kg cukier na 9 kg maliny. Masa malin i masa cukru są wprost proporcjonalne: ile razy mniej malin, potrzeba tej samej ilości cukru. Dlatego stosunek pobranych (wagowo) malin ( 12:9 ) będzie równy stosunkowi przyjętego cukru ( 8:x). Otrzymujemy proporcję:
12: 9=8: X;
x=9 · 8: 12;
x=6. Odpowiedź: na 9 kg maliny do wzięcia 6 kg Sahara.
Rozwiązanie problemu można było zrobić tak:
Zdradzać tajemnicę 9 kg maliny do wzięcia x kg Sahara.
(Strzałki na rysunku są skierowane w jednym kierunku i nie ma znaczenia w górę lub w dół. Znaczenie: ile razy liczba 12 więcej numerów 9 , ten sam numer 8 więcej numerów X, czyli zachodzi tu bezpośrednia zależność).
Odpowiedź: na 9 kg maliny do wzięcia 6 kg Sahara.
Zadanie 2. samochód dla 3 godziny przebyta odległość 264 km. Ile mu to zajmie 440 km jeśli porusza się z tą samą prędkością?
Decyzja.
Niech dla x godzin samochód pokona odległość 440 km.
Odpowiedź: samochód przejedzie 440 km w 5 godzin.
Zadanie 3. Woda wpływa do basenu z rury. Za 2 godziny ona wypełnia 1/5 basen. Jaka część basenu jest wypełniona wodą Godzina piąta?
Decyzja.
Odpowiadamy na pytanie zadania: za Godzina piąta wypełnić 1/x część basenu. (Cała pula jest traktowana jako jedna całość).
