Zasada dodawania- jeśli element A można wybrać na n sposobów, a element B na m sposobów, to A lub B można wybrać na n + m sposobów.
^ reguła mnożenia - jeśli element A można wybrać na n sposobów, a dla dowolnego wyboru A element B można wybrać na m sposobów, to parę (A, B) można wybrać na n m sposobów.
Permutacja. Permutacja zbioru elementów to ułożenie elementów w określonej kolejności. Zatem wszystkie różne permutacje zbioru trzech elementów są
Liczba wszystkich permutacji elementów jest oznaczona przez . Dlatego liczbę wszystkich różnych permutacji oblicza się według wzoru
Zakwaterowanie. Liczba rozmieszczeń zestawu elementów po elementach jest równa
^ Umiejscowienie z powtórzeniami. Jeśli istnieje zbiór n typów elementów i musisz umieścić element jakiegoś typu w każdym z m miejsc (typy elementów mogą pasować w różnych miejscach), to liczba opcji na to będzie wynosić n m .
^ Połączenie. Definicja. Kombinacje z różne elementy wgelementy są nazywane kombinacjami, które składają się z danych elementy wg elementów i różnią się co najmniej jednym elementem (innymi słowy,-elementy podzbiorów danego zbioru z elementy). butback="" onclick="goback(684168)">^ " WYRÓWNANIE=SZEROKOŚĆ DOLNA=230 WYSOKOŚĆ=26 RAMKA=0>
Przestrzeń zdarzeń elementarnych. Przypadkowe wydarzenie. Niezawodna impreza. Niemożliwe wydarzenie.
przypadkowe wydarzenie - dowolny podzbiór przestrzeni zdarzeń elementarnych.
^ Wiarygodne wydarzenie - musi nastąpić w wyniku eksperymentu.
Niemożliwe wydarzenie - nie nastąpi w wyniku eksperymentu.
Działania na zdarzeniach: suma, iloczyn i różnica zdarzeń. zdarzenie przeciwne. Imprezy wspólne i niewspólne. Pełna grupa wydarzeń.
^ Niekompatybilne wydarzenia - jeśli nie mogą wystąpić jednocześnie w wyniku eksperymentu. Mówi się, że powstaje kilka rozłącznych zdarzeń pełna grupa imprez, jeśli w wyniku eksperymentu pojawi się jeden z nich.
Jeśli pierwsze zdarzenie składa się ze wszystkich elementarnych wyników, z wyjątkiem tych zawartych w drugim zdarzeniu, to takie zdarzenia są wywoływane naprzeciwko.
Suma dwóch zdarzeń A i B wynosi zdarzenie składające się ze zdarzeń elementarnych należących do co najmniej jednego ze zdarzeń A lub B. ^ Produkt dwóch zdarzeń A i B zdarzenie składające się ze zdarzeń elementarnych, które należą jednocześnie do A i B. Różnica między A i B jest zdarzenie składające się z elementów A, które nie należą do zdarzenia B.
Klasyczne, statystyczne i geometryczne definicje prawdopodobieństwa. Podstawowe własności prawdopodobieństwa zdarzeń.
, g – część rysunku G. ^ Podstawowe własności prawdopodobieństwa: 1) 0≤P(A)≤1, 2) Prawdopodobieństwo pewnego zdarzenia wynosi 1, 3) Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego wynosi 0.
Twierdzenie o dodawaniu prawdopodobieństw zdarzeń niekompatybilnych i wynikające z tego konsekwencje.
Warunkowe prawdopodobieństwo. niezależne imprezy. Mnożenie prawdopodobieństw zdarzeń zależnych i niezależnych.
^ Mnożenie prawdopodobieństw: dla uzależnionych. Twierdzenie. P. (A ∙ B) \u003d P. (A) ∙ P. A (B). Komentarz. P(A∙B) = P(A)∙P A (B) = P(B)∙P B (A). Konsekwencja. P. (A 1 ∙ ... ∙ A k) \u003d P. (A 1) ∙ P. A1 (A 2) ∙ ... ∙ P. A1-Ak-1 (A k). Dla niezależnych. P(A∙B) = P(A)∙P(B).
^ Ttwierdzenie o dodawaniu prawdopodobieństw wspólnych zdarzeń. Twierdzenie . Prawdopodobieństwo wystąpienia co najmniej jednego z dwóch łącznych zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń bez prawdopodobieństwa ich łącznego wystąpienia
Wzór na całkowite prawdopodobieństwo. Formuły Bayesa.
H 1, H 2 ... H n - tworzą kompletną grupę - hipotezy.
Zdarzenie A może wystąpić tylko wtedy, gdy pojawi się H 1, H 2 ... H n,
Następnie P (A) \u003d P (N 1) * P n1 (A) + P (N 2) * P n2 (A) + ... P (N n) * P n n (A)
^ Formuła Bayesa
Niech H 1, H 2 ... H n będą hipotezami, zdarzenie A może wystąpić pod jedną z hipotez
P (A) \u003d P (N 1) * P n1 (A) + P (N 2) * P n2 (A) + ... P (N n) * P n n (A)
Załóżmy, że zaszło zdarzenie A.
Jak zmieniło się prawdopodobieństwo wystąpienia H 1 w wyniku zajścia zdarzenia A? Tych. RA (H 1)
R (A * H 1) \u003d R (A) * R A (H 1) \u003d R (H 1) * R n1 (A) => R A (H 1) \u003d (P (H 1) * R n1 (A))/ P(A)
H2, H3...Hn są zdefiniowane podobnie
Formularz ogólny:
Р А (Н i)= (Р (Н i)* Р n ja (А))/ Р (А) , gdzie i=1,2,3…n.
Formuły pozwalają na przeszacowanie prawdopodobieństw hipotez w wyniku tego, w jaki sposób wynik testu staje się znany, w wyniku czego wystąpiło zdarzenie A.
„Przed” testem - prawdopodobieństwa a priori - P (N 1), P (N 2) ... P (N n)
„Po” teście - prawdopodobieństwa a posteriori - R A (H 1), R A (H 2) ... R A (H n)
Prawdopodobieństwa późniejsze, podobnie jak prawdopodobieństwa wcześniejsze, sumują się do 1.
9. Formuły Bernoulliego i Poissona.
Formuła Bernoulliego
Niech będzie n prób, z których każda A może wystąpić lub nie. Jeżeli prawdopodobieństwo zdarzenia A w każdej z tych prób jest stałe, to próby te są niezależne względem A.
Rozważmy n niezależnych prób, w każdej z których A może wystąpić z prawdopodobieństwem p. Taki ciąg testów nazywa się schematem Bernoulliego.
Twierdzenie: prawdopodobieństwo, że w n próbach zdarzenie A wystąpi dokładnie m razy jest równe: P n (m)=C n m *p m *q n - m
Liczba m 0 - wystąpienie zdarzenia A nazywa się najbardziej prawdopodobnym, jeżeli odpowiadające mu prawdopodobieństwo P n (m 0) jest nie mniejsze niż inne P n (m)
P n (m 0) ≥ P n (m), m 0 ≠ m
Aby znaleźć m 0 użyj:
np-q≤ m 0 ≤np+q
^ Formuła Poissona
Rozważ test Bernoulliego:
n to liczba prób, p to prawdopodobieństwo sukcesu
Niech p będzie małe (p→0) i n duże (n→∞)
średnia liczba przypadków sukcesu w n próbach
λ=n*p → p= λ podstawiamy do wzoru Bernoulliego:
P n (m)=C n m *p m *(1-q) n-m ; do n m = n!/((m!*(n-m)!) →
→ P n (m)≈ (λ m /m!)*e - λ (Poissona)
Jeżeli p≤0,1 i λ=n*p≤10, to wzór daje dobre wyniki.
10. Twierdzenia lokalne i całkowe Moivre'a-Laplace'a.
Niech n będzie liczbą prób, p prawdopodobieństwem sukcesu, n będzie duże i dąży do nieskończoności. (n->∞)
^ Twierdzenie lokalne
Р n (m)≈(f(x)/(npg)^ 1/2 , gdzie f(x)= (e - x ^2/2)/(2Pi)^ 1/2
Jeśli npq≥ 20 - daje dobre wyniki, x=(m-np)/(npg)^ 1/2
^ Całka z twierdzeń
P n (a≤m≤b)≈ȹ(x 2)-ȹ(x 1),
gdzie ȹ(x)=1/(2Pi)^ 1/2 * 0 ʃ x e (Pi ^2)/2 dt jest funkcją Laplace'a
x 1 \u003d (a-np) / (npq) ^ 1/2, x 2 \u003d (b-np) / (npq) ^ 1/2
Własności funkcji Laplace'a
ȹ(x) – funkcja nieparzysta: ȹ(-x)=- ȹ(x)
ȹ(x) – rosnący monotonicznie
wartości ȹ(x) (-0,5;0,5) oraz lim x →∞ ȹ(x)=0,5; granica x →-∞ ȹ(x)=-0,5
P n (│m-np│≤Ɛ) ≈ 2 ȹ (Ɛ/(npq) 1/2)
P n (ɑ≤m/n≤ƥ) ≈ ȹ(z 2)- ȹ(z 1), gdzie z 1=(ɑ-p)/(pq/n)^ 1/2 z 2=(ƥ -p )/(pq/n)^ 1/2
P n (│(m/n) - p│≈ ∆) ≈ 2 ȹ(∆n 1/2 /(pq)^ 1/2)
11. Wartość losowa. Rodzaje zmiennych losowych. Metody ustawiania zmiennej losowej.
SW jest funkcją zdefiniowaną na zbiorze zdarzeń elementarnych.
X,Y,Z to NE, a jego wartość to x,y,z
Losowy nazywają wartość, która w wyniku testów przyjmie jedną i tylko jedną możliwą wartość, nie znaną z góry i zależną od przypadkowych przyczyn, których nie można z góry wziąć pod uwagę.
południowy zachód oddzielny, jeśli zbiór jego wartości jest skończony lub policzalny (można je policzyć). Przyjmuje osobne, izolowane możliwe wartości z pewnymi prawdopodobieństwami. Liczba możliwych wartości dyskretnego CV może być skończona lub nieskończona.
południowy zachód ciągły, jeśli przyjmuje wszystkie możliwe wartości z jakiegoś przedziału (na całej osi). Jego wartości mogą różnić się bardzo nieznacznie.
^ Dyskretne prawo dystrybucji SW m.b. dany:
1.stół
| X | x 1 | x2 | … | x rz |
| P(X) | str. 1 | str. 2 | … | pn |
(zakres dystrybucji)
X \u003d x 1) są niekompatybilne
p 1 + p 2 +… p n =1= ∑p ja
2.grafika
Wielokąt rozkładu prawdopodobieństwa
3. analityczny
P=P(X)
12. Dystrybutor zmiennej losowej. Podstawowe własności funkcji rozkładu.
Dystrybutor CV X jest funkcją F(X), która określa prawdopodobieństwo, że CV X przyjmie wartość mniejszą od x, tj.
x x = funkcja dystrybucji skumulowanej
Ciągły SW ma ciągłą, fragmentarycznie różniczkowalną funkcję.
Imprezy wspólne i niewspólne.
Te dwa wydarzenia nazywają się połączenie w danym eksperymencie, jeśli pojawienie się jednego z nich nie wyklucza pojawienia się drugiego. Przykłady : Trafienie niezniszczalnego celu dwiema różnymi strzałami, wyrzucenie tej samej liczby na dwóch kostkach.
Te dwa wydarzenia nazywają się niekompatybilny(niekompatybilne) w danej próbie, jeśli nie mogą wystąpić razem w tej samej próbie. Mówi się, że kilka zdarzeń jest niekompatybilnych, jeśli są niekompatybilne parami. Przykłady niekompatybilnych wydarzeń: a) trafienie i chybienie jednym strzałem; b) losowo wyciągnięta część z pudełka z częściami - zdarzenia „usunięta część standardowa” i „usunięta część niestandardowa” c) ruina firmy i jej zysk.
Innymi słowy, wydarzenia ORAZ oraz W są zgodne, jeśli odpowiednie zestawy ORAZ oraz W mają wspólne elementy i są niespójne, jeśli odpowiednie zestawy ORAZ oraz W nie mają wspólnych elementów.
Przy określaniu prawdopodobieństwa zdarzeń często stosuje się to pojęcie równie możliwe wydarzenia. Kilka zdarzeń w danym eksperymencie nazywamy jednakowo prawdopodobnymi, jeżeli zgodnie z warunkami symetrii istnieje powód, by sądzić, że żadne z nich nie jest obiektywnie bardziej prawdopodobne niż inne (wypadnięcie z herbu i reszki, pojawienie się karty dowolny kolor, wybór kuli z urny itp.)
Z każdą próbą związana jest seria wydarzeń, które, ogólnie rzecz biorąc, mogą wystąpić jednocześnie. Na przykład podczas rzucania kostką wydarzeniem jest dwójka, a wydarzeniem jest parzysta liczba punktów. Oczywiście te zdarzenia nie wykluczają się wzajemnie.
Niech wszystkie możliwe wyniki testu zostaną przeprowadzone w kilku jedynych możliwych szczególnych przypadkach, wzajemnie się wykluczających. Następnie
ü każdy wynik testu jest reprezentowany przez jedno i tylko jedno zdarzenie elementarne;
ü każde zdarzenie związane z tym testem jest zbiorem skończonej lub nieskończonej liczby zdarzeń elementarnych;
ü zdarzenie zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy jedno ze zdarzeń elementarnych zawartych w tym zbiorze jest zrealizowane.
Dowolną, ale ustaloną przestrzeń zdarzeń elementarnych można przedstawić jako pewien obszar na płaszczyźnie. W tym przypadku zdarzeniami elementarnymi są punkty płaszczyzny leżące wewnątrz. Ponieważ zdarzenie jest identyfikowane ze zbiorem, wszystkie operacje, które można wykonać na zbiorach, można wykonać na zdarzeniach. Analogicznie do teorii mnogości konstruuje się algebra zdarzeń. W takim przypadku można zdefiniować następujące operacje i relacje między zdarzeniami:
AÌ B(zbiór relacji włączenia: zbiór ORAZ jest podzbiorem zbioru W) – zdarzenie A prowadzi do zdarzenia B. Innymi słowy, impreza W występuje zawsze, gdy wystąpi zdarzenie A. Przykład - Wyrzucenie dwójki pociąga za sobą utratę parzystej liczby punktów.
(ustaw relację równoważności) – wydarzenie identycznie lub równoważny wydarzenie . Jest to możliwe wtedy i tylko wtedy i jednocześnie , tj. każdy występuje, gdy występuje drugi. Przykład - zdarzenie A - awaria urządzenia, zdarzenie B - awaria co najmniej jednego z bloków (części) urządzenia.
() – suma zdarzeń. Jest to zdarzenie polegające na tym, że zaszło co najmniej jedno z dwóch zdarzeń lub (logiczne „lub”). W ogólnym przypadku suma kilku zdarzeń rozumiana jest jako zdarzenie polegające na wystąpieniu co najmniej jednego z tych zdarzeń. Przykład - cel zostaje trafiony pierwszym działem, drugim lub obydwoma jednocześnie.
() – produkt zdarzeń. Jest to impreza polegająca na wspólnej realizacji imprez i (logiczne „i”). W ogólnym przypadku przez iloczyn kilku zdarzeń rozumie się zdarzenie polegające na jednoczesnej realizacji wszystkich tych zdarzeń. Zatem zdarzenia i są niekompatybilne, jeśli ich produktem jest zdarzenie niemożliwe, tj. . Przykład - zdarzenie A - wyjęcie z talii karty w kolorze karo, zdarzenie B - wyciągnięcie asa, wówczas - pojawienie się asa karo nie wystąpiło.
Geometryczna interpretacja operacji na zdarzeniach jest często przydatna. Graficzna ilustracja operacji nazywa się diagramami Venna.
Rozwój
Wydarzenie. elementarne zdarzenie.
Przestrzeń zdarzeń elementarnych.
Niezawodna impreza. Niemożliwe wydarzenie.
identyczne zdarzenia.
Suma, iloczyn, różnica zdarzeń.
zdarzenia przeciwne. niezgodne zdarzenia.
Wydarzenia równoważne.
Pod wydarzenie w teorii prawdopodobieństwa rozumie się każdy fakt, który może, ale nie musi, wystąpić w wyniku doświadczenia zlosowy wynik. Najprostszy wynik takiego eksperymentu (np. pojawienie się „orła” lub „reszki” przy rzucie monetą, trafienie w cel podczas strzelania, pojawienie się asa przy wyjmowaniu karty z talii, przypadkowe wypadnięcie numeru przy rzucie kostkąitp.) nazywa sięzdarzenie elementarne .
Zestaw wszystkich elementarnych wydarzenia mi zwany przestrzeń elementów zdarzenia tarowania . Tak, o godz rzucając kostką, to miejsce składa się z sześciuzdarzeń elementarnych, a przy usuwaniu karty z talii - od 52. Na zdarzenie może składać się jedno lub więcej zdarzeń elementarnych, np. pojawienie się dwóch asów pod rząd przy usuwaniu karty z talii lub utrata tę samą liczbę przy trzykrotnym rzucie kostką. Wtedy można określić wydarzenie jako dowolny podzbiór przestrzeni zdarzeń elementarnych.
pewne wydarzenie nazywa się całą przestrzeń zdarzeń elementarnych. Zatem określone zdarzenie jest zdarzeniem, które musi koniecznie nastąpić w wyniku danego doświadczenia. Gdy rzuca się kostką, takim zdarzeniem jest jej upadek na jedną ze ścianek.
Niemożliwe wydarzenie () nazywamy pustym podzbiorem przestrzeni zdarzeń elementarnych. Oznacza to, że niemożliwe zdarzenie nie może nastąpić w wyniku tego doświadczenia. Tak więc podczas rzucania kostką zdarzeniem niemożliwym jest jej upadek na krawędź.
Rozwój ORAZ oraz W zwanyidentyczny (ORAZ= W) jeśli zdarzenie ORAZzachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi zdarzenieW .
Mówią, że impreza ORAZ wyzwala zdarzenie W ( ORAZ W), jeśli z warunku„zdarzenie A miało miejsce” powinnam „Wydarzenie B miało miejsce”.
Wydarzenie OD zwany suma zdarzeń ORAZ oraz W (OD = ORAZ W) jeśli zdarzenie OD zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy albo ORAZ, lub W.
Wydarzenie OD zwany produkt zdarzeń ORAZ oraz W (OD = ORAZ W) jeśli zdarzenie OD dzieje się wtedy i tylko wtedy, gdy się zdarza iORAZ, oraz W.
Wydarzenie OD zwany różnica zdarzeń ORAZ oraz W (OD = ORAZ – W) jeśli zdarzenie OD dzieje się wtedy i Tylko wtedy, kiedy to się zdarza wydarzenie ORAZ, a zdarzenie nie występuje W.
Wydarzenie ORAZ"zwany naprzeciwko wydarzenieORAZgdyby zdarzenie nie miało miejsca ORAZ. Tak więc chybienie i trafienie podczas strzelania są zdarzeniami przeciwstawnymi.
Rozwój ORAZ oraz W zwanyniekompatybilny (ORAZ W = ) , jeżeli ich jednoczesne wystąpienie jest niemożliwe. Na przykład upuszczanie i „ogony” oraz„orzeł” podczas rzucania monetą.
Jeżeli podczas eksperymentu może wystąpić kilka zdarzeń i każde z nich, zgodnie z obiektywnymi warunkami, nie jest bardziej możliwe od drugiego, to takie zdarzenia nazywamyrównie możliwe . Przykłady równie prawdopodobnych zdarzeń: pojawienie się dwójki, asa i waleta przy wyjmowaniu karty z talii, utrata dowolnej liczby od 1 do 6 podczas rzutu kostką itp.
Rodzaje zdarzeń losowych
Zdarzenia są nazywane niekompatybilny jeżeli wystąpienie jednego z nich wyklucza wystąpienie innych zdarzeń w tej samej rozprawie.
Przykład 1.10. Część jest pobierana losowo z pudełka z częściami. Wygląd części znormalizowanej wyklucza pojawienie się części niestandardowej. Wydarzenia (pojawiła się część standardowa) i (pojawiła się część niestandardowa)- niekompatybilny .
Przykład 1.11. Rzuca się monetę. Pojawienie się „herbu” wyklucza pojawienie się numeru. Wydarzenia (pojawił się herb) i (pojawił się numer) - niekompatybilny .
Tworzy się kilka wydarzeń pełna grupa, jeśli w wyniku testu pojawi się przynajmniej jeden z nich. Innymi słowy, wystąpienie co najmniej jednego ze zdarzeń z pełnej grupy jest niezawodny wydarzenie. W szczególności, jeśli zdarzenia, które tworzą pełną grupę, są niekompatybilne parami, to w wyniku testu pojawi się jedno i tylko jedno z tych zdarzeń. Ten szczególny przypadek jest dla nas szczególnie interesujący, ponieważ zostanie użyty poniżej.
Przykład 1.12. Kupiłem dwa losy loterii pieniężnej i odzieżowej. Jedno i tylko jedno z następujących zdarzeń musi koniecznie wystąpić: (wygrane spadły na pierwszym kuponie i nie spadły na drugim), (wygrane nie spadły na pierwszy kupon i spadły na drugim), (wygrane spadły na obu losach), (wygrana nie padła na obu losach). Te wydarzenia tworzą pełna grupa zdarzenia niezgodne parami.
Przykład 1.13. Strzelec strzelił do celu. Z pewnością nastąpi jedno z dwóch następujących zdarzeń: trafienie lub chybienie. Tworzą się te dwa niezgodne zdarzenia pełna grupa .
Zdarzenia są nazywane równie możliwe jeśli jest powód, by w to wierzyć żaden z nich nie jest bardziej możliwe niż inne.
3. Działania na zdarzeniach: suma (suma), iloczyn (przecięcie) i różnica zdarzeń; diagramy wiedeńskie.
Operacje na zdarzeniach
Zdarzenia oznaczamy dużymi literami początku alfabetu łacińskiego A, B, C, D, ..., opatrując je w razie potrzeby indeksami. Fakt, że elementarny wynik X zawarte w zdarzeniu A, oznaczamy .
Dla zrozumienia wygodnie jest posłużyć się interpretacją geometryczną za pomocą diagramów wiedeńskich: przedstawmy przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω jako kwadrat, którego każdy punkt odpowiada zdarzeniu elementarnemu. Zdarzenia losowe A i B, składające się ze zbioru zdarzeń elementarnych x ja oraz w j, odpowiednio, są geometrycznie przedstawione jako pewne figury leżące w kwadracie Ω (ryc. 1-a, 1-b).
Niech doświadczenie polega na tym, że wewnątrz kwadratu pokazanego na rysunku 1-a wybieramy losowo punkt. Oznaczmy przez A zdarzenie polegające na tym, że (wybrany punkt leży wewnątrz lewego okręgu) (rys. 1-a), przez B – zdarzenie polegające na tym, że (wybrany punkt leży wewnątrz prawego okręgu) (Rys. 1b).
Wiarygodnemu zdarzeniu sprzyja dowolny , dlatego wiarygodne zdarzenie będzie oznaczane tym samym symbolem Ω.
Dwa zdarzenia są identyczne względem siebie (A=B) wtedy i tylko wtedy, gdy zdarzenia te składają się z tych samych zdarzeń elementarnych (punktów).
Suma (lub suma) dwóch zdarzeń A i B nazywamy zdarzeniem A + B (lub ), które zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi A lub B. Suma zdarzeń A i B odpowiada sumie zbiorów A i B (rys. 1-e).
Przykład 1.15. Zdarzenie polegające na utracie liczby parzystej jest sumą zdarzeń: wypadło 2, wypadło 4, wypadło 6. To znaczy (x \u003d nawet }= {x=2}+{x=4 }+{x=6 }.
Produkt (lub przecięcie) dwóch zdarzeń Zdarzenie A i B nazywane jest zdarzeniem AB (lub ), które zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy występują zarówno A, jak i B. Iloczyn zdarzeń A i B odpowiada przecięciu zbiorów A i B (rys. 1-e).
Przykład 1.16. Zdarzenie polegające na wyrzuceniu 5 jest skrzyżowaniem zdarzeń: wyrzucona liczba nieparzysta i wyrzucona więcej niż 3, czyli A(x=5)=B(x-nieparzyste)∙C(x>3).
Zwróćmy uwagę na oczywiste zależności:
Zdarzenie nazywa się naprzeciwko do A, jeśli występuje wtedy i tylko wtedy, gdy A nie występuje. Geometrycznie jest to zbiór punktów kwadratu, który nie jest zawarty w podzbiorze A (ryc. 1-c). Zdarzenie definiuje się podobnie (ryc. 1-d).
Przykład 1.14.. Zdarzenia polegające na utracie liczby parzystej i nieparzystej są zdarzeniami przeciwstawnymi.
Zwróćmy uwagę na oczywiste zależności:
Te dwa wydarzenia nazywają się niekompatybilny jeśli ich jednoczesne pojawienie się w eksperymencie jest niemożliwe. Dlatego, jeśli A i B są niekompatybilne, to ich iloczyn jest zdarzeniem niemożliwym:
Zdarzenia elementarne wprowadzone wcześniej są oczywiście niekompatybilne parami, tj.
Przykład 1.17. Zdarzenia polegające na utracie liczby parzystej i nieparzystej są zdarzeniami niekompatybilnymi.
