Przygotowanie uczniów do egzaminu z matematyki zaczyna się z reguły od powtórzenia podstawowych wzorów, w tym tych, które pozwalają wyznaczyć kąt między płaszczyznami. Pomimo tego, że ten dział geometrii jest wystarczająco szczegółowo omówiony w ramach szkolnego programu nauczania, wielu absolwentów musi powtarzać podstawowy materiał. Rozumiejąc, jak znaleźć kąt między płaszczyznami, licealiści będą mogli szybko obliczyć poprawną odpowiedź w trakcie rozwiązywania zadania i liczyć na uzyskanie przyzwoitych wyników na podstawie ujednoliconego egzaminu państwowego.
Główne niuanse
Aby pytanie, jak znaleźć kąt dwuścienny, nie sprawiało trudności, zalecamy postępowanie zgodnie z algorytmem rozwiązania, który pomoże ci poradzić sobie z zadaniami egzaminu.
Najpierw musisz określić linię, wzdłuż której przecinają się płaszczyzny.
Następnie na tej linii musisz wybrać punkt i narysować do niego dwie prostopadłe.
Następnym krokiem jest znalezienie funkcji trygonometrycznej kąta dwuściennego, który jest utworzony przez prostopadłe. Najwygodniej jest to zrobić za pomocą powstałego trójkąta, którego częścią jest róg.
Odpowiedzią będzie wartość kąta lub jego funkcja trygonometryczna.
Przygotowanie do testu egzaminacyjnego razem ze Shkolkovo to klucz do Twojego sukcesu
W trakcie nauki w przeddzień zdania egzaminu wielu uczniów staje przed problemem znalezienia definicji i wzorów, które pozwalają obliczyć kąt między 2 płaszczyznami. Podręcznik szkolny nie zawsze jest pod ręką dokładnie wtedy, gdy jest potrzebny. Aby znaleźć niezbędne wzory i przykłady ich prawidłowego zastosowania, w tym do znalezienia kąta między płaszczyznami w Internecie, czasami trzeba poświęcić dużo czasu.
Portal matematyczny „Szkołkowo” oferuje nowe podejście do przygotowania do egzaminu państwowego. Zajęcia na naszej stronie pomogą uczniom zidentyfikować najtrudniejsze dla siebie działy i uzupełnić braki w wiedzy.
Przygotowaliśmy i przejrzyście przedstawiliśmy wszystkie niezbędne materiały. Podstawowe definicje i wzory przedstawiono w dziale „Źródła teoretyczne”.
W celu lepszego przyswojenia materiału proponujemy również przećwiczenie odpowiednich ćwiczeń. Duży wybór zadań o różnym stopniu złożoności, na przykład na, jest przedstawiony w sekcji Katalog. Wszystkie zadania zawierają szczegółowy algorytm znajdowania poprawnej odpowiedzi. Lista ćwiczeń na stronie jest na bieżąco uzupełniana i aktualizowana.
Ćwicząc w rozwiązywaniu zadań, w których wymagane jest znalezienie kąta między dwiema płaszczyznami, studenci mają możliwość zapisania dowolnego zadania online do „Ulubionych”. Dzięki temu będą mogli wracać do niego odpowiednią ilość razy i omawiać postępy w jego rozwiązaniu z nauczycielem lub korepetytorem.
Tył do przodu
Uwaga! Podgląd slajdu służy wyłącznie celom informacyjnym i może nie odzwierciedlać pełnego zakresu prezentacji. Jeśli jesteś zainteresowany tą pracą, pobierz pełną wersję.
Cele Lekcji: wprowadzić pojęcie kąta dwuściennego i jego kąta liniowego;
Podczas zajęć
I. Moment organizacyjny.
Poinformuj temat lekcji, sformułuj cele lekcji.
II. Aktualizacja wiedzy uczniów (slajdy 2, 3).
1. Przygotowanie do studiowania nowego materiału.
Jak nazywa się kąt na płaszczyźnie?
Jak nazywa się kąt między liniami w przestrzeni?
Jak nazywa się kąt między prostą a płaszczyzną?
Sformułuj twierdzenie o trzech prostopadłych
III. Nauka nowego materiału.
- Pojęcie kąta dwuściennego.
Figura utworzona przez dwie półpłaszczyzny przechodzące przez linię MN nazywana jest kątem dwuściennym (slajd 4).
Półpłaszczyzny to ściany, prosta MN to krawędź kąta dwuściennego.
Jakie przedmioty w życiu codziennym mają kształt kąta dwuściennego? (Slajd 5)
- Kąt między płaszczyznami ACH i CHD jest kątem dwuściennym ACND, gdzie CH jest krawędzią. Punkty A i D leżą na ścianach tego kąta. Kąt AFD jest kątem liniowym kąta dwuściennego ACHD (slajd 6).
- Algorytm konstruowania kąta liniowego (slajd 7).
1 sposób. Na krawędzi weź dowolny punkt O i narysuj prostopadłe do tego punktu (PO DE, KO DE) i uzyskaj kąt ROCK - liniowy.
2 sposoby. Weź punkt K na jednej półpłaszczyźnie i upuść z niego dwie prostopadłe do drugiej półpłaszczyzny i krawędzi (KO i KR), a następnie zgodnie z odwrotnym twierdzeniem TTP PODE
- Wszystkie kąty liniowe kąta dwuściennego są równe (slajd 8). Dowód: promienie OA i O 1 A 1 są współkierowane, promienie OB i O 1 B 1 są również współkierowane, kąty BOA i B 1 O 1 A 1 są równe kątom o współkierowanych bokach.
- Miara stopnia kąta dwuściennego jest miarą stopnia jego kąta liniowego (slajd 9).
IV. Konsolidacja badanego materiału.
- Rozwiązywanie problemów (ustnie według gotowych rysunków). (Slajdy 10-12)
1. RAVS - piramida; kąt ACB ma miarę 90°, prosta PB jest prostopadła do płaszczyzny ABC. Udowodnij, że kąt PCB jest kątem liniowym kąta dwuściennego z
2. RAVS - piramida; AB \u003d BC, D jest środkiem odcinka AC, prosta PB jest prostopadła do płaszczyzny ABC. Udowodnij, że kąt PDB jest kątem liniowym kąta dwuściennego o krawędzi AC.
3. PBCD - piramida; prosta PB jest prostopadła do płaszczyzny ABC, prosta BC jest prostopadła do DC. Wykaż, że kąt PKB jest kątem liniowym kąta dwuściennego o krawędzi CD.
- Zadania do konstruowania kąta liniowego (slajdy 13-14).
1. Skonstruuj kąt liniowy kąta dwuściennego o krawędzi AC, jeżeli w ostrosłupie RABC ściana ABC jest trójkątem foremnym, O jest punktem przecięcia środkowych, prosta RO jest prostopadła do płaszczyzny ABC
2. Dany jest romb ABCD Prosta PC jest prostopadła do płaszczyzny ABCD.
Skonstruuj kąt liniowy kąta dwuściennego o krawędzi BD i kąt liniowy kąta dwuściennego o krawędzi AD.
- Zadanie obliczeniowe. (Slajd 15)
W równoległoboku ABCD kąt ADC wynosi 120 0, AD = 8 cm,
DC = 6 cm, prosta PC jest prostopadła do płaszczyzny ABC, PC = 9 cm.
Znajdź wartość kąta dwuściennego z krawędzią AD i polem równoległoboku.
V. Praca domowa (slajd 16).
S. 22, nr 168, 171.
Używane książki:
- Geometria 10-11 LS Atanasyan.
- System zadań na temat „Kąty dwuścienne” M.V. Sevostyanova (Murmańsk), czasopismo Matematyka w szkole 198 ...
Kąt dwuścienny. Kąt liniowy kąta dwuściennego. Kąt dwuścienny to figura utworzona przez dwie półpłaszczyzny, które nie należą do tej samej płaszczyzny i mają wspólną granicę - linię prostą a. Półpłaszczyzny, które tworzą kąt dwuścienny, nazywane są jego ścianami, a wspólna granica tych półpłaszczyzn nazywa się krawędzią kąta dwuściennego. Kąt liniowy kąta dwuściennego to kąt, którego bokami są promienie, wzdłuż których ściany kąta dwuściennego przecinają się z płaszczyzną prostopadłą do krawędzi kąta dwuściennego. Każdy kąt dwuścienny ma dowolną liczbę kątów liniowych: przez każdy punkt krawędzi można narysować płaszczyznę prostopadłą do tej krawędzi; promienie, wzdłuż których ta płaszczyzna przecina ściany kąta dwuściennego i tworzą kąty liniowe.
Wszystkie kąty liniowe kąta dwuściennego są sobie równe. Udowodnijmy, że jeśli kąty dwuścienne utworzone przez płaszczyznę podstawy ostrosłupa KABC i płaszczyzny jego ścian bocznych są sobie równe, to podstawa prostopadłej poprowadzonej z wierzchołka K jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ABC.
Dowód. Przede wszystkim konstruujemy kąty liniowe o równych kątach dwuściennych. Z definicji płaszczyzna kąta liniowego musi być prostopadła do krawędzi kąta dwuściennego. Dlatego krawędź kąta dwuściennego musi być prostopadła do boków kąta liniowego. Jeżeli KO jest prostopadła do płaszczyzny podstawy, to możemy narysować OP prostopadle do AC, OR prostopadle do CB, OQ do prostopadłej AB, a następnie połączyć punkty P, Q, R z punktem K. W ten sposób skonstruujemy rzut ukośnych RK, QK, RK tak, aby krawędzie AC, CB, AB były prostopadłe do tych rzutów. W konsekwencji krawędzie te są również prostopadłe do nachylonych. A zatem płaszczyzny trójkątów ROK, QOK, ROK są prostopadłe do odpowiednich krawędzi kąta dwuściennego i tworzą te równe kąty liniowe, o których mowa w warunku. Trójkąty prostokątne ROK, QOK, ROK są równe (ponieważ mają wspólną nogę OK i kąty przeciwległe do tej nogi są równe). Dlatego LUB = LUB = OQ. Jeśli narysujemy okrąg o środku O i promieniu OP, to boki trójkąta ABC są prostopadłe do promieni OP, OR i OQ, a zatem są styczne do tego okręgu.
Prostopadłość płaszczyzny. Płaszczyzny alfa i beta nazywane są prostopadłymi, jeśli kąt liniowy jednego z kątów dwuściennych utworzonych na ich przecięciu wynosi 90”. Znaki prostopadłości dwóch płaszczyzn Jeżeli jedna z dwóch płaszczyzn przechodzi przez linię prostopadłą do drugiej płaszczyzny, to płaszczyzny te są prostopadłe.
Na rysunku przedstawiono prostokątny równoległościan. Jego podstawami są prostokąty ABCD i A1B1C1D1. A krawędzie boczne AA1 BB1, CC1, DD1 są prostopadłe do podstaw. Wynika z tego, że AA1 jest prostopadła do AB, czyli ściana boczna jest prostokątem. W ten sposób można uzasadnić właściwości prostopadłościanu: w prostopadłościanie wszystkie sześć ścian to prostokąty. W prostopadłościanie wszystkie sześć ścian to prostokąty. Wszystkie kąty dwuścienne prostopadłościanu są kątami prostymi. Wszystkie kąty dwuścienne prostopadłościanu są kątami prostymi.
Twierdzenie Kwadrat przekątnej równoległościanu prostokątnego jest równy sumie kwadratów jego trzech wymiarów. Wróćmy ponownie do rysunku, I udowodnimy, że AC12 \u003d AB2 + AD2 + AA12 Ponieważ krawędź CC1 jest prostopadła do podstawy ABCD, to kąt AC1 jest prosty. Z trójkąta prostokątnego ACC1, zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa, otrzymujemy AC12=AC2+CC12. Ale AC jest przekątną prostokąta ABCD, więc AC2 = AB2+AD2. Również CC1 = AA1. Zatem AC12=AB2+AD2+AA12 Twierdzenie zostało udowodnione.
TEKSTOWE WYJAŚNIENIE LEKCJI:
W planimetrii głównymi obiektami są linie, odcinki, promienie i punkty. Promienie wychodzące z jednego punktu tworzą jeden z ich geometrycznych kształtów - kąt.
Wiemy, że kąt liniowy jest mierzony w stopniach i radianach.
W stereometrii do obiektów dodaje się płaszczyznę. Figura utworzona przez linię prostą a i dwie półpłaszczyzny o wspólnej granicy a, które nie należą do tej samej płaszczyzny w geometrii, nazywamy kątem dwuściennym. Półpłaszczyzny to ściany kąta dwuściennego. Linia prosta a jest krawędzią kąta dwuściennego.
Kąt dwuścienny, podobnie jak kąt liniowy, można nazwać, zmierzyć, zbudować. Tego właśnie dowiemy się podczas tej lekcji.
Znajdź kąt dwuścienny na modelu czworościanu ABCD.
Kąt dwuścienny o krawędzi AB nazywa się CABD, gdzie punkty C i D należą do różnych ścian kąta, a krawędź AB nazywana jest środkiem
Wokół nas jest bardzo dużo obiektów z elementami w postaci kąta dwuściennego.
W wielu miastach w parkach zainstalowano specjalne ławki do pojednania. Ławka wykonana jest w postaci dwóch nachylonych płaszczyzn zbiegających się w kierunku środka.
W budowie domów często stosuje się tzw. dach dwuspadowy. Dach tego domu wykonany jest w formie dwuściennego kąta 90 stopni.
Kąt dwuścienny jest również mierzony w stopniach lub radianach, ale jak go zmierzyć.
Warto zauważyć, że dachy domów leżą na krokwiach. A skrzynia krokwi tworzy dwa połacie dachu pod danym kątem.
Przenieśmy obraz na rysunek. Na rysunku, aby znaleźć kąt dwuścienny, na jego krawędzi zaznaczony jest punkt B. Z tego punktu dwie belki BA i BC są rysowane prostopadle do krawędzi kąta. Kąt ABC utworzony przez te promienie nazywany jest kątem liniowym kąta dwuściennego.
Miara stopnia kąta dwuściennego jest równa mierze stopnia jego kąta liniowego.
Zmierzmy kąt AOB.
Miara stopnia danego kąta dwuściennego wynosi sześćdziesiąt stopni.
Kąty liniowe dla kąta dwuściennego można narysować w nieskończonej liczbie, ważne jest, aby wiedzieć, że wszystkie są równe.
Rozważmy dwa kąty liniowe AOB i A1O1B1. Promienie OA i O1A1 leżą na tej samej ścianie i są prostopadłe do prostej OO1, więc są skierowane w tym samym kierunku. Promienie OB i O1B1 są również współkierowane. Dlatego kąt AOB jest równy kątowi A1O1B1 jako kąty o bokach współkierunkowych.
Tak więc kąt dwuścienny charakteryzuje się kątem liniowym, a kąty liniowe są ostre, rozwarte i proste. Rozważ modele kątów dwuściennych.
Kąt rozwarty to taki, którego kąt liniowy wynosi od 90 do 180 stopni.
Kąt prosty, jeśli jego kąt liniowy wynosi 90 stopni.
Kąt ostry, jeśli jego kąt liniowy mieści się w przedziale od 0 do 90 stopni.
Udowodnijmy jedną z ważnych własności kąta liniowego.
Płaszczyzna kąta liniowego jest prostopadła do krawędzi kąta dwuściennego.
Niech kąt AOB będzie kątem liniowym danego kąta dwuściennego. Z konstrukcji promienie AO i OB są prostopadłe do prostej a.
Płaszczyzna AOB przechodzi przez dwie przecinające się proste AO i OB zgodnie z twierdzeniem: Płaszczyzna przechodzi przez dwie przecinające się proste, w dodatku tylko jedną.
Prosta a jest prostopadła do dwóch przecinających się prostych leżących na tej płaszczyźnie, co oznacza, że ze znaku prostopadłości prostej i płaszczyzny prosta a jest prostopadła do płaszczyzny AOB.
Aby rozwiązać problemy, ważna jest umiejętność zbudowania kąta liniowego o zadanym kącie dwuściennym. Skonstruuj kąt liniowy kąta dwuściennego z krawędzią AB dla czworościanu ABCD.
Mówimy o kącie dwuściennym, który jest utworzony po pierwsze przez krawędź AB, jedną ściankę ABD, drugą ściankę ABC.
Oto jeden ze sposobów budowania.
Narysujmy prostopadłą od punktu D do płaszczyzny ABC, zaznaczmy punkt M jako podstawę prostopadłej. Przypomnijmy, że w czworościanie podstawa prostopadłej pokrywa się ze środkiem okręgu wpisanego w podstawę czworościanu.
Narysuj nachylenie od punktu D prostopadle do krawędzi AB, zaznacz punkt N jako podstawę nachylenia.
W trójkącie DMN odcinek NM będzie rzutami ukośnej DN na płaszczyznę ABC. Zgodnie z twierdzeniem o trzech prostopadłych krawędź AB będzie prostopadła do rzutu NM.
Oznacza to, że boki kąta DNM są prostopadłe do krawędzi AB, co oznacza, że kąt konstrukcyjny DNM jest wymaganym kątem liniowym.
Rozważ przykład rozwiązania problemu obliczania kąta dwuściennego.
Trójkąt równoramienny ABC i trójkąt foremny ADB nie leżą w tej samej płaszczyźnie. Odcinek CD jest prostopadły do płaszczyzny ADB. Znajdź kąt dwuścienny DABC, jeśli AC=CB=2cm, AB=4cm.
Kąt dwuścienny DABC jest równy jego kątowi liniowemu. Zbudujmy ten róg.
Narysujmy ukośną SM prostopadłą do krawędzi AB, ponieważ trójkąt ACB jest równoramienny, to punkt M pokryje się ze środkiem krawędzi AB.
Prosta CD jest prostopadła do płaszczyzny ADB, co oznacza, że jest prostopadła do prostej DM leżącej na tej płaszczyźnie. A odcinek MD jest rzutem ukośnego SM na płaszczyznę ADB.
Linia AB jest konstrukcyjnie prostopadła do skośnej CM, co oznacza, że z twierdzenia o trzech prostopadłych jest prostopadła do rzutu MD.
Zatem dwie prostopadłe CM i DM leżą na krawędzi AB. Tworzą więc kąt liniowy СMD kąta dwuściennego DABC. I pozostaje nam znaleźć go z prawego trójkąta СDM.
Ponieważ odcinek SM jest medianą i wysokością trójkąta równoramiennego ASV, to zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa noga SM ma 4 cm.
Z trójkąta prostokątnego DMB, zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa, noga DM jest równa dwóm pierwiastkom z trzech.
Cosinus kąta wychodzącego z trójkąta prostokątnego jest równy stosunkowi sąsiedniej nogi MD do przeciwprostokątnej CM i jest równy trzem pierwiastkom z trzech na dwa. Zatem kąt CMD wynosi 30 stopni.
ROZDZIAŁ PIERWSZY LINIE I PŁASZCZYZNY
V. KĄTY DWUŚCIANOWE, KĄT PROSTY Z PŁASZCZYZNĄ,
KĄT DWÓCH SKRZYŻUJĄCYCH SIĘ PRAW, KĄTY WIELOBŚCIANÓW
kąty dwuścienne
38. Definicje. Część płaszczyzny leżąca po jednej stronie linii leżącej na tej płaszczyźnie nazywa się półpłaszczyzna. Figura utworzona przez dwie półpłaszczyzny (P i Q, ryc. 26) wychodzące z jednej linii prostej (AB) nazywa się kąt dwuścienny. Prostą AB nazywamy krawędź, a półpłaszczyzny P i Q - imprezy lub twarze kąt dwuścienny.
Taki kąt jest zwykle oznaczany dwiema literami umieszczonymi na jego krawędzi (kąt dwuścienny AB). Ale jeśli na jednej krawędzi nie ma kątów dwuściennych, to każdy z nich jest oznaczony czterema literami, z których dwie środkowe znajdują się na krawędzi, a dwie skrajne na twarzach (na przykład kąt dwuścienny SCDR) (ryc. 27).
Jeśli z dowolnego punktu D krawędzie AB (ryc. 28) zostaną narysowane na każdej ścianie wzdłuż prostopadłej do krawędzi, wówczas utworzony przez nich kąt CDE nazywa się kąt liniowy kąt dwuścienny.
Wartość kąta liniowego nie zależy od położenia jego wierzchołka na krawędzi. Zatem kąty liniowe CDE i C 1 D 1 E 1 są równe, ponieważ ich boki są odpowiednio równoległe i jednakowo skierowane.
Płaszczyzna kąta liniowego jest prostopadła do krawędzi, ponieważ zawiera dwie proste do niej prostopadłe. Dlatego, aby uzyskać kąt liniowy, wystarczy przeciąć ściany danego kąta dwuściennego z płaszczyzną prostopadłą do krawędzi i uwzględnić kąt uzyskany w tej płaszczyźnie.
39. Równość i nierówność kątów dwuściennych. Dwa kąty dwuścienne są uważane za równe, jeśli można je połączyć po zagnieżdżeniu; w przeciwnym razie jeden z kątów dwuściennych jest uważany za mniejszy, co będzie stanowić część drugiego kąta.
Podobnie jak kąty w planimetrii, kąty dwuścienne mogą być sąsiadujący, pionowy itp.
Jeśli dwa sąsiednie kąty dwuścienne są sobie równe, to nazywa się każdy z nich prawy kąt dwuścienny.
Twierdzenia. 1) Równe kąty dwuścienne odpowiadają równym kątom liniowym.
2) Większy kąt dwuścienny odpowiada większemu kątowi liniowemu.
Niech PABQ i P 1 A 1 B 1 Q 1 (ryc. 29) będą dwoma kątami dwuściennymi. Osadź kąt A 1 B 1 w kącie AB, tak aby krawędź A 1 B 1 pokrywała się z krawędzią AB, a ściana P 1 ze ścianą P.
Wtedy, jeśli te kąty dwuścienne są równe, to ściana Q 1 pokryje się ze ścianą Q; jeśli kąt A 1 B 1 jest mniejszy niż kąt AB, to ściana Q 1 zajmie pewne położenie wewnątrz kąta dwuściennego, na przykład Q 2 .
Zauważywszy to, bierzemy jakiś punkt B na wspólnej krawędzi i rysujemy przez niego płaszczyznę R, prostopadłą do krawędzi. Z przecięcia tej płaszczyzny ze ścianami kątów dwuściennych uzyskuje się kąty liniowe. Oczywiste jest, że jeśli kąty dwuścienne pokrywają się, wówczas będą miały ten sam kąt liniowy CBD; jeśli kąty dwuścienne nie pokrywają się, jeśli na przykład ściana Q 1 zajmuje pozycję Q 2, wówczas większy kąt dwuścienny będzie miał większy kąt liniowy (mianowicie: / CBD > / C2BD).
40. Twierdzenia odwrotne. 1) Równe kąty liniowe odpowiadają równym kątom dwuściennym.
2) Większy kąt liniowy odpowiada większemu kątowi dwuściennemu .
Twierdzenia te można łatwo udowodnić przez sprzeczność.
41. Konsekwencje. 1) Prosty kąt dwuścienny odpowiada prostemu kątowi liniowemu i odwrotnie.
Niech (Rys. 30) kąt dwuścienny PABQ będzie prosty. Oznacza to, że jest równy sąsiedniemu kątowi QABP 1 . Ale w tym przypadku kąty liniowe CDE i CDE 1 są również równe; a ponieważ sąsiadują ze sobą, każdy z nich musi być prosty. I odwrotnie, jeśli sąsiednie kąty liniowe CDE i CDE 1 są równe, to sąsiednie kąty dwuścienne są również równe, tj. Każdy z nich musi być prosty.
2) Wszystkie proste kąty dwuścienne są równe, ponieważ mają równe kąty liniowe .
Podobnie łatwo jest udowodnić, że:
3) Pionowe kąty dwuścienne są równe.
4) dwuścienny kąty z odpowiednio równoległymi i jednakowo (lub przeciwnie) skierowanymi ścianami są równe.
5) Jeśli przyjmiemy za jednostkę kątów dwuściennych taki kąt dwuścienny, który odpowiada jednostce kątów liniowych, to możemy powiedzieć, że kąt dwuścienny mierzy się jego kątem liniowym.
