jako kategoria ontologiczna odzwierciedla miarę możliwości pojawienia się dowolnego bytu w każdych warunkach. W przeciwieństwie do matematyczno-logicznych interpretacji tego pojęcia, V. ontologiczne nie wiąże się z koniecznością wyrażenia ilościowego. Wartość V. ujawnia się w kontekście rozumienia determinizmu i natury rozwoju w ogóle.

Świetna definicja

Niepełna definicja ↓

PRAWDOPODOBIEŃSTWO

pojęcie charakteryzujące ilości. miara możliwości wystąpienia określonego zdarzenia w określonym czasie. warunki. W naukowym W wiedzy istnieją trzy interpretacje V. Klasyczna koncepcja V., która wyrosła z matematyki. analiza hazardu, najpełniej rozwinięta przez B. Pascala, J. Bernoulliego i P. Laplace'a, traktuje V. jako stosunek liczby przypadków sprzyjających do ogólnej liczby wszystkich jednakowo możliwych. Na przykład, rzucając kostką, która ma 6 ścian, można oczekiwać, że każda z nich wypadnie V równe 1/6, ponieważ żadna ze stron nie ma przewagi nad drugą. Taka symetria wyników doświadczeń jest szczególnie brana pod uwagę przy organizowaniu gier, ale jest stosunkowo rzadka w badaniu obiektywnych zdarzeń w nauce i praktyce. Klasyczny Interpretacja V. ustąpiła miejsca statystyce. Koncepcje V., u podstaw których obowiązują. obserwacja pojawienia się określonego zdarzenia w trakcie trwania. doświadczenia w ściśle określonych warunkach. Praktyka potwierdza, że ​​im częściej zdarzenie występuje, tym większy jest stopień obiektywnej możliwości jego wystąpienia, czyli V. Statystyka zatem. Interpretacja V. opiera się na pojęciu relacji. częstotliwości, cięcie można określić empirycznie. V. jako teoretyczny. koncepcja nigdy nie pokrywa się z empirycznie określoną częstotliwością, jednak pod wieloma względami. przypadkach praktycznie niewiele różni się od krewnego. częstotliwość wynikająca z czasu trwania. obserwacje. Wielu statystyków uważa V. za „podwójne” odniesienie. częstotliwość, krawędź jest określana statystycznie. badanie wyników obserwacji

lub eksperymenty. Mniej realistyczna była definicja V. w odniesieniu do granicy. częstotliwości imprez masowych, czyli kolektywów, zaproponowanych przez R. Misesa. Jako dalsze rozwinięcie częstotliwościowego podejścia do V. proponuje się interpretację dyspozycyjną lub skłonnościową V. (K. Popper, J. Hecking, M. Bunge, T. Setl). Zgodnie z tą interpretacją V. charakteryzuje np. właściwość generowania warunków. eksperyment. instalacji, aby uzyskać sekwencję masowych zdarzeń losowych. To właśnie ta postawa powoduje powstanie fizyczności dyspozycje lub predyspozycje, V. to-rykh można sprawdzić za pomocą względnego. częstotliwości.

Statystyczny Interpretacja V. dominuje nad naukowymi. wiedzy, ponieważ odzwierciedla specyfikę. charakter wzorców właściwych zjawiskom masowym o charakterze losowym. W wielu fizycznych, biologicznych, ekonomicznych, demograficznych i innych procesów społecznych, konieczne jest uwzględnienie działania wielu czynników losowych, aby żyto charakteryzowało się stałą częstotliwością. Identyfikacja tej stałej częstotliwości i ilości. jego ocena za pomocą V. pozwala ujawnić konieczność, która toruje sobie drogę przez skumulowane działanie wielu wypadków. Tu przejawia się dialektyka przemiany przypadku w konieczność (por. F. Engels, w książce: K. Marks i F. Engels, Soch., t. 20, s. 535-36).

Rozumowanie logiczne lub indukcyjne charakteryzuje związek między przesłankami a konkluzją rozumowania niedemonstracyjnego, aw szczególności rozumowania indukcyjnego. W przeciwieństwie do dedukcji, przesłanki indukcji nie gwarantują prawdziwości wniosku, a jedynie czynią go mniej lub bardziej prawdopodobnym. Wiarygodność tę, przy precyzyjnie sformułowanych przesłankach, można niekiedy oszacować za pomocą W. Wartość tego V. określa się najczęściej przez porównanie. pojęcia (większe niż, mniejsze niż lub równe), a czasem w sposób liczbowy. Logika Interpretacja jest często wykorzystywana do analizy wnioskowania indukcyjnego i budowania różnych systemów logik probabilistycznych (R. Carnap, R. Jeffrey). W semantyce koncepcje logiczne. V. często definiuje się jako stopień potwierdzenia jednego stwierdzenia przez inne (np. hipotezę jego danych empirycznych).

W związku z rozwojem teorii podejmowania decyzji i gier tzw. personalistyczna interpretacja W. Chociaż W. wyraża jednocześnie stopień przekonania podmiotu i zajścia określonego zdarzenia, to samo W. musi być tak dobrane, aby spełnione były aksjomaty obliczeń W. Dlatego V. przy takiej interpretacji wyraża nie tyle stopień wiary subiektywnej, co racjonalnej. W konsekwencji decyzje podejmowane na podstawie takich V. będą racjonalne, ponieważ nie uwzględniają psychologii. cechy i skłonności podmiotu.

Z epistemologii t sp. różnica między statystyką., logiczną. i personalistyczne interpretacje V. polegają na tym, że jeśli pierwsza charakteryzuje obiektywne właściwości i relacje zjawisk masowych o charakterze losowym, to dwie ostatnie analizują cechy podmiotowe, poznawcze. działalności człowieka w warunkach niepewności.

PRAWDOPODOBIEŃSTWO

jedno z najważniejszych pojęć nauki, charakteryzujące szczególną systemową wizję świata, jego struktury, ewolucji i poznania. Specyfika probabilistycznego widzenia świata ujawnia się poprzez włączenie do podstawowych pojęć bytu pojęć przypadku, niezależności i hierarchii (idee poziomów w strukturze i determinacji systemów).

Wyobrażenia o prawdopodobieństwie powstały w starożytności i były związane z charakterystyką naszej wiedzy, przy czym uznano obecność wiedzy probabilistycznej, która różni się od wiedzy rzetelnej i fałszywej. Wpływ idei prawdopodobieństwa na myślenie naukowe, na rozwój wiedzy jest bezpośrednio związany z rozwojem teorii prawdopodobieństwa jako dyscypliny matematycznej. Początki matematycznej doktryny prawdopodobieństwa sięgają XVII wieku, kiedy to rozwinął się rdzeń pojęć, które pozwalają. cechy ilościowe (liczbowe) i wyrażające ideę probabilistyczną.

Intensywne zastosowania rachunku prawdopodobieństwa w rozwoju wiedzy mieszczą się na II piętrze. 19- I piętro. XX wiek Prawdopodobieństwo wkroczyło w struktury takich podstawowych nauk przyrodniczych, jak klasyczna fizyka statystyczna, genetyka, teoria kwantowa, cybernetyka (teoria informacji). W związku z tym prawdopodobieństwo uosabia ten etap rozwoju nauki, który obecnie określa się mianem nauki nieklasycznej. Aby ujawnić nowość, cechy probabilistycznego sposobu myślenia, należy wyjść od analizy przedmiotu teorii prawdopodobieństwa i podstaw jej wielu zastosowań. Teoria prawdopodobieństwa jest zwykle definiowana jako dyscyplina matematyczna, która bada prawa masowych zjawisk losowych w określonych warunkach. Losowość oznacza, że ​​w ramach masowego charakteru istnienie każdego zjawiska elementarnego nie zależy i nie jest przez istnienie innych zjawisk. Jednocześnie sam masowy charakter zjawisk ma stabilną strukturę, zawiera pewne prawidłowości. Zjawisko masowe jest dość ściśle podzielone na podukłady, a względna liczba zjawisk elementarnych w każdym z podukładów (częstość względna) jest bardzo stabilna. Ta stabilność jest porównywana z prawdopodobieństwem. Zjawisko masowe jako całość charakteryzuje się rozkładem prawdopodobieństw, tj. przypisaniem podsystemów i odpowiadających im prawdopodobieństw. Językiem teorii prawdopodobieństwa jest język rozkładów prawdopodobieństwa. W związku z tym teorię prawdopodobieństwa definiuje się jako abstrakcyjną naukę operowania rozkładami.

Prawdopodobieństwo zrodziło w nauce idee dotyczące prawidłowości statystycznych i systemów statystycznych. Te ostatnie to systemy utworzone z niezależnych lub quasi-niezależnych bytów, których strukturę charakteryzują rozkłady prawdopodobieństwa. Ale jak można tworzyć systemy z niezależnych bytów? Zwykle przyjmuje się, że do tworzenia układów o integralnych charakterystykach konieczne jest, aby między ich elementami istniały wystarczająco stabilne wiązania, które spajają układy. Stabilność systemów statystycznych wynika z obecności warunków zewnętrznych, środowiska zewnętrznego, sił zewnętrznych, a nie wewnętrznych. Sama definicja prawdopodobieństwa opiera się zawsze na ustaleniu warunków powstania zjawiska masy początkowej. Inną ważną ideą charakteryzującą paradygmat probabilistyczny jest idea hierarchii (podporządkowania). Idea ta wyraża związek między cechami poszczególnych elementów a integralnymi cechami systemów: te ostatnie są niejako zbudowane na tych pierwszych.

Znaczenie metod probabilistycznych w poznaniu polega na tym, że pozwalają one badać i teoretycznie wyrażać wzorce budowy i zachowania obiektów i systemów, które mają hierarchiczną, „dwupoziomową” strukturę.

Analiza natury prawdopodobieństwa opiera się na jego częstości, interpretacji statystycznej. Jednocześnie przez bardzo długi czas w nauce dominowało takie rozumienie prawdopodobieństwa, które nazywano prawdopodobieństwem logicznym, czyli indukcyjnym. Prawdopodobieństwo logiczne interesuje się kwestiami ważności odrębnego, indywidualnego sądu pod pewnymi warunkami. Czy można ocenić stopień potwierdzenia (rzetelności, prawdziwości) wniosku indukcyjnego (konkluzji hipotetycznej) w formie ilościowej? W trakcie tworzenia teorii prawdopodobieństwa takie pytania były wielokrotnie dyskutowane i zaczęto mówić o stopniach potwierdzenia hipotetycznych wniosków. Tę miarę prawdopodobieństwa wyznaczają informacje, którymi dysponuje dana osoba, jej doświadczenia, poglądy na świat i psychologiczny sposób myślenia. We wszystkich takich przypadkach wielkość prawdopodobieństwa nie podlega ścisłym pomiarom i praktycznie leży poza kompetencjami teorii prawdopodobieństwa jako spójnej dyscypliny matematycznej.

Obiektywna, częstokroć interpretacja prawdopodobieństwa została ustalona w nauce z dużym trudem. Początkowo na rozumienie natury prawdopodobieństwa duży wpływ miały te poglądy filozoficzne i metodologiczne, które były charakterystyczne dla nauki klasycznej. Historycznie kształtowanie się metod probabilistycznych w fizyce następowało pod decydującym wpływem idei mechaniki: systemy statystyczne traktowano po prostu jako mechaniczne. Ponieważ odpowiednich problemów nie rozwiązano ścisłymi metodami mechaniki, pojawiły się twierdzenia, że ​​odwoływanie się do metod probabilistycznych i prawidłowości statystycznych wynika z niekompletności naszej wiedzy. W historii rozwoju klasycznej fizyki statystycznej podejmowano liczne próby jej uzasadnienia na podstawie mechaniki klasycznej, ale wszystkie zakończyły się fiaskiem. Podstawą prawdopodobieństwa jest to, że wyraża ono cechy budowy pewnej klasy układów innych niż układy mechaniki: stan elementów tych układów charakteryzuje się niestabilnością i szczególnym (nieredukowalnym do mechaniki) charakterem oddziaływań .

Wejście prawdopodobieństwa do poznania prowadzi do zaprzeczenia koncepcji sztywnego determinizmu, zaprzeczenia podstawowego modelu bytu i poznania wypracowanego w procesie kształtowania się nauki klasycznej. Podstawowe modele reprezentowane przez teorie statystyczne mają inny, bardziej ogólny charakter: obejmują idee losowości i niezależności. Idea prawdopodobieństwa wiąże się z ujawnieniem wewnętrznej dynamiki obiektów i systemów, której nie można całkowicie określić zewnętrznymi warunkami i okolicznościami.

Koncepcja probabilistycznej wizji świata, oparta na absolutyzacji idei niezależności (jak poprzednio paradygmat sztywnej determinacji), ujawniła obecnie swoje ograniczenia, co najsilniej wpływa na przejście współczesnej nauki do analitycznych metod badania złożonych systemy oraz fizyczne i matematyczne podstawy zjawisk samoorganizacji.

Świetna definicja

Niepełna definicja ↓

Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego

Rozważmy jakieś przypadkowe zdarzenie A i niech jego prawdopodobieństwo rocznie) znany. Następnie prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego określa wzór

. (1.8)

Dowód. Przypomnijmy, że zgodnie z aksjomatem 3 za niezgodne zdarzenia

p(A+B) = p(A) + p(B).

Ze względu na niekompatybilność A oraz

Konsekwencja., czyli prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego wynosi zero.

Wzór (1.8) służy do określenia np. prawdopodobieństwa chybienia, jeżeli znane jest prawdopodobieństwo trafienia (lub odwrotnie, prawdopodobieństwa trafienia, jeżeli znane jest prawdopodobieństwo chybienia; na przykład, jeżeli prawdopodobieństwo trafienia przez pistolet wynosi 0,9, prawdopodobieństwo chybienia wynosi (1 - 0, 9 = 0,1).

1. Prawdopodobieństwo sumy dwóch zdarzeń

W tym miejscu wypadałoby o tym przypomnieć za niezgodne zdarzenia ta formuła wygląda następująco:

Przykład. Zakład produkuje 85% wyrobów pierwszego gatunku i 10% drugiego gatunku. Pozostałe elementy uznaje się za wadliwe. Jakie jest prawdopodobieństwo, że biorąc produkt losowo trafimy na wadę?

Decyzja. P. \u003d 1 - (0,85 + 0,1) \u003d 0,05.

Prawdopodobieństwo sumy dowolnych dwóch zdarzeń losowych jest równe

Dowód. Wyobraź sobie wydarzenie A + B jako suma niekompatybilnych zdarzeń

Ze względu na niezgodność A oraz , otrzymujemy zgodnie z Aksjomatem 3

Podobnie znajdujemy

Podstawiając ten ostatni do poprzedniego wzoru, otrzymujemy pożądany (1.10) (ryc. 2).

Przykład. Spośród 20 uczniów 5 osób zdało egzamin z historii na dwójkę, 4 z angielskiego, a 3 uczniów otrzymało dwójki z obu przedmiotów. Jaki jest odsetek uczniów w grupie, którzy nie mają dwójek z tych przedmiotów?

Decyzja. P = 1 - (5/20 + 4/20 - 3/20) = 0,7 (70%).

1. Warunkowe prawdopodobieństwo

W niektórych przypadkach konieczne jest określenie prawdopodobieństwa wystąpienia zdarzenia losowego B zakładając, że wystąpiło zdarzenie losowe A, co ma niezerowe prawdopodobieństwo. To wydarzenie A się wydarzyło, zawęża przestrzeń zdarzeń elementarnych do zbioru A odpowiada temu wydarzeniu. Dalsze rozumowanie zostanie przeprowadzone na przykładzie schematu klasycznego. Niech W składa się z n jednakowo możliwych zdarzeń elementarnych (wyników) i zdarzenia A przysługi mama) i wydarzenie AB - m(AB) wyniki. Oznacz warunkowe prawdopodobieństwo zdarzenia B pod warunkiem że A wystąpił, - p(B|A). a-priorytet,

= .

Jeśli A się stało, a następnie jeden z mama) wyniki i zdarzenie B może się zdarzyć tylko wtedy, gdy wystąpi jeden z korzystnych wyników AB; takie wyniki m(AB). Dlatego naturalne jest umieszczenie warunkowego prawdopodobieństwa zdarzenia B pod warunkiem że A stało się, równe stosunkowi

Podsumowując, podajemy ogólną definicję: prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia B, pod warunkiem, że zaszło zdarzenie A z niezerowym prawdopodobieństwem , zwany

. (1.11)

Łatwo sprawdzić, że tak wprowadzona definicja spełnia wszystkie aksjomaty, a zatem wszystkie udowodnione wcześniej twierdzenia są prawdziwe.

Często prawdopodobieństwo warunkowe p(B|A) można łatwo znaleźć z warunków problemu, w bardziej złożonych przypadkach należy posłużyć się definicją (1.11).

Przykład. Urna zawiera N kul, z których n jest białych, a N-n jest czarnych. Wyjmuje się z niej piłkę i bez wkładania jej z powrotem ( próbka bez zwrotu ), weź inny. Jakie jest prawdopodobieństwo, że obie kule są białe?

Decyzja. Przy rozwiązywaniu tego problemu stosujemy zarówno klasyczną definicję prawdopodobieństwa, jak i regułę iloczynu: oznaczmy przez A zdarzenie polegające na tym, że jako pierwsza została wyjęta bila biała (wtedy jako pierwsza wyjęta została kula czarna), a poprzez B zdarzenie polegające na wyjęciu drugiej bili białej; następnie

.

Łatwo zauważyć, że prawdopodobieństwo, że trzy wyjęte z rzędu kule (bez zwracania) są białe, wynosi:

itp.

Przykład. Z 30 kart egzaminacyjnych student przygotował tylko 25. Jeśli odmówi odpowiedzi na pierwszy wzięty bilet (którego nie zna), to może przystąpić do drugiego. Określ prawdopodobieństwo, że drugi bilet jest szczęśliwy.

Decyzja. Niech impreza A polega na tym, że pierwszy wylosowany bilet okazał się dla studenta „zły” i B- drugi - ²dobry ². Bo po imprezie A jeden ze „złych” został już wydobyty, to zostało już tylko 29 biletów, z czego 25 uczeń zna. Stąd pożądane prawdopodobieństwo, przy założeniu, że pojawienie się dowolnego biletu jest równie możliwe i nie wracają, wynosi .

1. Prawdopodobieństwo produktu

Relacja (1.11), zakładając, że rocznie) lub p(B) nie są równe zero, można zapisać w postaci

Ten stosunek nazywa się twierdzenie o prawdopodobieństwie iloczynu dwóch zdarzeń , które można uogólnić na dowolną liczbę czynników, np. dla trzech ma postać

Przykład. W warunkach z poprzedniego przykładu znajdź prawdopodobieństwo pomyślnego zdania egzaminu, jeśli w tym celu uczeń musi odpowiedzieć na pierwszy bilet lub, nie odpowiadając na pierwszy, koniecznie odpowiedz na drugi.

Decyzja. Niech wydarzenia A oraz B czy odpowiednio pierwszy i drugi bilet są „dobre”. Potem – pojawienie się po raz pierwszy „złego” biletu. Egzamin zostanie zdany w przypadku wystąpienia zdarzenia A lub jednocześnie i B. Oznacza to, że pożądane zdarzenie C - pomyślne zdanie egzaminu - wyraża się następująco: C = A+ .Stąd

Tutaj skorzystaliśmy z niezgodności A a co za tym idzie niezgodność A i , twierdzenia o prawdopodobieństwie sumy i iloczynu oraz klasyczna definicja prawdopodobieństwa w obliczeniach rocznie) oraz .

Ten problem można rozwiązać jeszcze prościej, jeśli użyjemy twierdzenia o prawdopodobieństwie zdarzenia przeciwnego:

1. Niezależność zdarzeń

Zdarzenia losowe A i Bzadzwońmyniezależny, jeśli

Dla zdarzeń niezależnych z (1.11) wynika, że ​​; odwrotność jest również prawdziwa.

Niezależność zdarzeńoznacza, że ​​zajście zdarzenia A nie zmienia prawdopodobieństwa zajścia zdarzenia B, czyli prawdopodobieństwo warunkowe jest równe bezwarunkowemu .

Przykład. Rozważmy poprzedni przykład z urną zawierającą N kul, z których n jest białych, ale zmieńmy doświadczenie: po wyjęciu piłki wkładamy ją z powrotem i dopiero wtedy wyjmujemy następną ( pobrać ze zwrotem ).

A to zdarzenie, w którym bila biała została wylosowana jako pierwsza, zdarzenie, w którym kula czarna została wylosowana jako pierwsza, a B to zdarzenie, w którym bila biała została wylosowana jako druga; następnie

to znaczy w tym przypadku zdarzenia A i B są niezależne.

Tak więc, przy próbkowaniu z powrotem, zdarzenia przy drugim losowaniu piłki są niezależne od zdarzeń przy pierwszym losowaniu, ale przy próbkowaniu bez zwracania tak nie jest. Jednak dla dużych N i n te prawdopodobieństwa są bardzo do siebie zbliżone. Stosuje się to, ponieważ czasami przeprowadza się pobieranie próbek bez zastępowania (na przykład w kontroli jakości, gdy testowanie obiektu prowadzi do jego zniszczenia), a obliczenia są przeprowadzane przy użyciu prostszych wzorów pobierania próbek z zastępowaniem.

W praktyce przy obliczaniu prawdopodobieństw często stosuje się regułę, zgodnie z którą z fizycznej niezależności zdarzeń wynika ich niezależność w sensie probabilistycznym .

Przykład. Prawdopodobieństwo, że osoba w wieku 60 lat nie umrze w następnym roku, wynosi 0,91. Firma ubezpieczeniowa ubezpiecza życie dwóch osób w wieku 60 lat na rok.

Prawdopodobieństwo, że żaden z nich nie umrze: 0,91 × 0,91 = 0,8281.

Prawdopodobieństwo śmierci obojga:

(1 – 0,91)×(1 – 0,91) = 0,09 × 0,09 = 0,0081.

Prawdopodobieństwo śmierci przynajmniej jeden:

1 – 0,91 × 0,91 = 1 – 0,8281 = 0,1719.

Prawdopodobieństwo śmierci jeden:

0,91 x 0,09 + 0,09 x 0,91 = 0,1638.

System zdarzeń ZA 1 , ZA 2 ,..., ZA n nazywamy niezależnymi w agregacie, jeśli prawdopodobieństwo iloczynu jest równe iloczynowi prawdopodobieństw dla dowolnej kombinacji czynników z tego układu. W tym przypadku w szczególności

Przykład. Kod sejfu składa się z siedmiu cyfr dziesiętnych. Jakie jest prawdopodobieństwo, że złodziej zrobi to dobrze za pierwszym razem?

Na każdej z 7 pozycji można wybrać dowolną z 10 cyfr 0,1,2,...,9, co daje w sumie 10 7 numerów, zaczynając od 0000000 i kończąc na 9999999.

Przykład. Kod sejfu składa się z rosyjskiej litery (jest ich 33) i trzech cyfr. Jakie jest prawdopodobieństwo, że złodziej zrobi to dobrze za pierwszym razem?

P. = (1/33) × (1/10) 3 .

Przykład. W bardziej ogólnej postaci problem ubezpieczeniowy: prawdopodobieństwo, że osoba w wieku ... lat nie umrze w następnym roku, jest równe p. Firma ubezpieczeniowa ubezpiecza życie n osób w tym wieku na rok.

Prawdopodobieństwo, że nikt z nich nie umrze: pn (nie trzeba nikomu płacić składki ubezpieczeniowej).

Prawdopodobieństwo śmierci przynajmniej jeden: 1 - p n (nadchodzą płatności).

Prawdopodobieństwo, że oni Wszyscy kostka: (1 – p) n (największe wypłaty).

Prawdopodobieństwo śmierci jeden: n × (1 – p) × p n-1 (jeśli ludzie są ponumerowani, to ten, który umiera, może być ponumerowany 1, 2,…,n – to jest n różnych zdarzeń, z których każde ma prawdopodobieństwo (1 – p) × pn-1).

1. Wzór na całkowite prawdopodobieństwo

Niech wydarzenia H 1 , H 2 , ... , H n spełniać warunki

Jeśli .

Taki zbiór nazywa się pełna grupa imprez.

Załóżmy, że znamy prawdopodobieństwa p(Cześć), p(A/H i). W tym przypadku ma zastosowanie wzór na prawdopodobieństwo całkowite

. (1.14)

Dowód. Użyjmy czego Cześć(zwykle są to tzw hipotezy ) są parami niespójne (stąd niespójne i Cześć× A), a ich suma jest pewnym zdarzeniem

Schemat ten ma miejsce zawsze wtedy, gdy można mówić o podziale całej przestrzeni zdarzeń na kilka, najogólniej mówiąc, heterogenicznych regionów. W ekonomii jest to podział kraju lub obszaru na regiony o różnej wielkości i różnych warunkach, gdy znany jest udział każdego regionu p(Cześć) oraz prawdopodobieństwo (udział) jakiegoś parametru w każdym regionie (np. odsetek bezrobotnych - w każdym regionie jest inny) - p(A/Cześć). Magazyn może zawierać produkty z trzech różnych fabryk, dostarczających różne ilości produktów o różnych procentach wad itp.

Przykład. Odrzucanie trzody pochodzi z dwóch sklepów do trzeciego: 70% z pierwszego i 30% z drugiego. Jednocześnie produkty pierwszego warsztatu mają 10% wad, a drugiego - 20%. Znajdź prawdopodobieństwo, że jeden losowo wybrany dysk ma wadę.

Decyzja: p(H1) = 0,7; p(H2) = 0,3; p(A/H1) = 0,1; p(A/H2)=0,2;

P = 0,7 × 0,1 + 0,3 × 0,2 = 0,13 (średnio 13% wykrojów w trzecim sklepie jest wadliwych).

Model matematyczny może wyglądać na przykład następująco: istnieje kilka urn o różnym składzie; w pierwszej urnie jest n 1 kul, z których m 1 jest białych itd. Wzór na całkowite prawdopodobieństwo jest używany do znalezienia prawdopodobieństwa, wybierając losowo urnę, aby uzyskać z niej białą kulę.

Problemy rozwiązuje się w ten sam sposób w przypadku ogólnym.

Przykład. Wróćmy do przykładu z urną zawierającą N kul, z których n jest białych. Wyciągamy z niego (bez powrotu) dwie kule. Jakie jest prawdopodobieństwo, że druga kula jest biała?

Decyzja. H 1 - pierwsza kula jest biała; p(H1)=n/N;

H 2 - pierwsza kula jest czarna; p(H2)=(N-n)/N;

B - druga kula jest biała; p(B|H 1)=(n-1)/(N-1); p(B|H2)=n/(N-1);

Ten sam model można zastosować do rozwiązania następującego problemu: z N biletów uczeń nauczył się tylko n. Co jest dla niego bardziej opłacalne - wyciągnąć bilet za pierwszym czy drugim? Okazuje się, że w każdym razie jest to z prawdopodobieństwem n/n wylosuje dobry los iz prawdopodobieństwem ( N-n)/N- zły.

Przykład. Wyznacz prawdopodobieństwo, że podróżny opuszczający punkt A trafi do punktu B, jeśli na rozwidleniu dróg wybierze losowo dowolną drogę (oprócz drogi powrotnej). Mapa drogowa jest pokazana na ryc. 1.3.

Decyzja. Niech przybycie podróżnika do punktów H 1 , H 2 , H 3 i H 4 będzie odpowiednimi hipotezami. Oczywiście tworzą one kompletną grupę zdarzeń i, w zależności od stanu problemu,

p(H 1) = p(H 2) = p(H 3) = p(H 4) = 0,25.

(Wszystkie kierunki z punktu A są jednakowo możliwe dla podróżującego). Zgodnie ze schematem drogowym, warunkowe prawdopodobieństwa trafienia B, przy założeniu, że podróżny przejeżdżał przez H i , są równe:

Stosując formułę całkowitego prawdopodobieństwa, otrzymujemy

1. Formuła Bayesa

Załóżmy, że warunki z poprzedniego akapitu są spełnione i dodatkowo wiadomo, że zdarzenie A wystąpił. Znajdź prawdopodobieństwo, że hipoteza została zrealizowana H k. Z definicji prawdopodobieństwa warunkowego

. (1.15)

Otrzymany stosunek nazywa się Formuła Bayesa. Daje znać
(przed eksperymentem) prawdopodobieństwa a priori hipotez p(Cześć) i prawdopodobieństwa warunkowe p(A|Cześć) określić prawdopodobieństwo warunkowe p(H k |A), który jest nazywany a posteriori (to znaczy uzyskany pod warunkiem, że w wyniku doświadczenia zdarzenie A już się stało).

Przykład. 30% pacjentów przyjmowanych do szpitala należy do pierwszej grupy społecznej, 20% do drugiej i 50% do trzeciej. Prawdopodobieństwo zachorowania na gruźlicę dla przedstawiciela każdej grupy społecznej wynosi odpowiednio 0,02, 0,03 i 0,01. Badania wykonane u losowo wybranego pacjenta wykazały obecność gruźlicy. Znajdź prawdopodobieństwo, że jest to przedstawiciel trzeciej grupy.

Jest mało prawdopodobne, aby wiele osób zastanawiało się, czy możliwe jest obliczenie zdarzeń, które są mniej lub bardziej losowe. Mówiąc prościej, czy realistycznie jest wiedzieć, która strona kości wypadnie jako następna? To pytanie zadali dwaj wielcy naukowcy, którzy położyli podwaliny pod taką naukę, jak teoria prawdopodobieństwa, w której prawdopodobieństwo zdarzenia jest badane dość obszernie.

Pochodzenie

Jeśli spróbujesz zdefiniować takie pojęcie jako teorię prawdopodobieństwa, otrzymasz następujące stwierdzenie: jest to jedna z gałęzi matematyki, która bada stałość zdarzeń losowych. Oczywiście ta koncepcja tak naprawdę nie ujawnia całej istoty, dlatego konieczne jest rozważenie jej bardziej szczegółowo.

Chciałbym zacząć od twórców teorii. Jak wspomniano powyżej, było ich dwóch i to oni jako jedni z pierwszych próbowali obliczyć wynik wydarzenia za pomocą wzorów i obliczeń matematycznych. W sumie początki tej nauki pojawiły się w średniowieczu. W tamtym czasie różni myśliciele i naukowcy próbowali przeanalizować hazard, taki jak ruletka, kości itp., ustalając w ten sposób wzorzec i procent wypadania określonej liczby. Fundamenty położyli w XVII wieku wspomniani naukowcy.

Początkowo ich pracy nie można było przypisać wielkim osiągnięciom w tej dziedzinie, ponieważ wszystko, co robili, było po prostu faktami empirycznymi, a eksperymenty były wykonywane wizualnie, bez użycia formuł. Z czasem okazało się, że osiąga świetne wyniki, które pojawiły się w wyniku obserwacji rzucania kostką. To właśnie to narzędzie pomogło wyprowadzić pierwsze zrozumiałe formuły.

Ludzie myślący podobnie

Nie sposób nie wspomnieć o takiej osobie jak Christian Huygens, w trakcie studiowania tematu zwanego „teorią prawdopodobieństwa” (prawdopodobieństwo zdarzenia jest właśnie przedmiotem tej nauki). Ta osoba jest bardzo interesująca. On, podobnie jak przedstawieni powyżej naukowcy, starał się wyprowadzić regularność zdarzeń losowych w postaci wzorów matematycznych. Warto zauważyć, że nie robił tego razem z Pascalem i Fermatem, to znaczy wszystkie jego prace nie krzyżowały się w żaden sposób z tymi umysłami. Wyszedł Huygens

Ciekawostką jest to, że jego praca ukazała się na długo przed wynikami prac odkrywców, a raczej dwadzieścia lat wcześniej. Wśród wyznaczonych koncepcji najbardziej znane to:

• pojęcie prawdopodobieństwa jako wielkości przypadku;
• oczekiwanie matematyczne dla przypadków dyskretnych;
• twierdzenia o mnożeniu i dodawaniu prawdopodobieństw.

Nie sposób też nie pamiętać, kto również wniósł znaczący wkład w badanie problemu. Przeprowadzając własne, niezależne od nikogo testy, udało mu się przedstawić dowód prawa wielkich liczb. Z kolei naukowcom Poissonowi i Laplace'owi, którzy pracowali na początku XIX wieku, udało się udowodnić oryginalne twierdzenia. Od tego momentu zaczęto wykorzystywać teorię prawdopodobieństwa do analizy błędów w toku obserwacji. Rosyjscy naukowcy, a raczej Markow, Czebyszew i Diapunow, również nie mogli ominąć tej nauki. Opierając się na pracy wykonanej przez wielkich geniuszy, ustalili ten przedmiot jako gałąź matematyki. Figury te działały już pod koniec XIX wieku i dzięki ich wkładowi powstały takie zjawiska jak:

• prawo wielkich liczb;
• teoria łańcuchów Markowa;
• centralne twierdzenie graniczne.

Tak więc z historią narodzin nauki i głównymi ludźmi, którzy na nią wpłynęli, wszystko jest mniej więcej jasne. Teraz pora skonkretyzować wszystkie fakty.

Podstawowe koncepcje

Zanim przejdziemy do praw i twierdzeń, warto przestudiować podstawowe pojęcia teorii prawdopodobieństwa. Wydarzenie odgrywa w nim wiodącą rolę. Ten temat jest dość obszerny, ale bez niego nie będzie można zrozumieć wszystkiego innego.

Zdarzenie w teorii prawdopodobieństwa to dowolny zestaw wyników eksperymentu. Nie ma tak wielu koncepcji tego zjawiska. Tak więc naukowiec Łotman, który pracuje w tej dziedzinie, powiedział, że w tym przypadku mówimy o tym, co „stało się, choć mogło się nie wydarzyć”.

Zdarzenia losowe (teoria prawdopodobieństwa zwraca na nie szczególną uwagę) to pojęcie, które implikuje absolutnie każde zjawisko, które ma zdolność zajścia. Lub odwrotnie, ten scenariusz może się nie wydarzyć, gdy spełnionych jest wiele warunków. Warto też wiedzieć, że to zdarzenia losowe obejmują cały wolumen zjawisk, które miały miejsce. Teoria prawdopodobieństwa wskazuje, że wszystkie warunki mogą być stale powtarzane. To ich zachowanie nazwano „eksperymentem” lub „testem”.

Pewne zdarzenie to takie, które na 100% wystąpi w danym teście. W związku z tym zdarzenie niemożliwe to takie, które się nie wydarzy.

Połączenie pary działań (warunkowo przypadek A i przypadek B) jest zjawiskiem występującym jednocześnie. Są one oznaczone jako AB.

Suma par zdarzeń A i B to C, innymi słowy, jeśli zdarzy się co najmniej jedno z nich (A lub B), wówczas otrzymamy C. Formuła opisywanego zjawiska jest zapisana w następujący sposób: C \u003d A + B.

Zdarzenia rozłączne w teorii prawdopodobieństwa oznaczają, że te dwa przypadki wzajemnie się wykluczają. Nigdy nie mogą wystąpić w tym samym czasie. Wspólne wydarzenia w teorii prawdopodobieństwa są ich antypodem. Oznacza to, że jeśli zdarzyło się A, to w żaden sposób nie zapobiega to B.

Zdarzenia przeciwne (teoria prawdopodobieństwa zajmuje się nimi bardzo szczegółowo) są łatwe do zrozumienia. Najlepiej radzić sobie z nimi w porównaniu. Są prawie tym samym, co niezgodne zdarzenia w teorii prawdopodobieństwa. Ale ich różnica polega na tym, że w każdym przypadku musi wystąpić jedno z wielu zjawisk.

Zdarzeniami równie prawdopodobnymi są te działania, których prawdopodobieństwo powtórzenia się jest równe. Aby było to jaśniejsze, możemy sobie wyobrazić rzut monetą: utrata jednej ze stron równie często pociąga za sobą wypadnięcie z drugiej.

Korzystne zdarzenie łatwiej zobaczyć na przykładzie. Powiedzmy, że jest odcinek B i odcinek A. Pierwszy to rzut kostką z pojawieniem się liczby nieparzystej, a drugi to pojawienie się liczby pięć na kostce. Wtedy okazuje się, że A faworyzuje B.

Niezależne zdarzenia w teorii prawdopodobieństwa są rzutowane tylko na dwa lub więcej przypadków i implikują niezależność jakiegokolwiek działania od innego. Na przykład A - upuszczenie reszki podczas rzucania monetą, a B - zdobycie waleta z talii. Są to niezależne zdarzenia w teorii prawdopodobieństwa. W tym momencie sprawa się wyjaśniła.

Zdarzenia zależne w teorii prawdopodobieństwa są również dopuszczalne tylko dla ich zbioru. Implikują one zależność jednego od drugiego, to znaczy zjawisko B może wystąpić tylko wtedy, gdy A już się wydarzyło lub przeciwnie, nie nastąpiło, gdy jest to główny warunek B.

Wynikiem losowego eksperymentu składającego się z jednego składnika są zdarzenia elementarne. Teoria prawdopodobieństwa wyjaśnia, że ​​jest to zjawisko, które zdarzyło się tylko raz.

Podstawowe formuły

Tak więc powyżej rozważono pojęcia „zdarzenia”, „teorii prawdopodobieństwa”, podano również definicję głównych terminów tej nauki. Teraz czas na bezpośrednie zapoznanie się z ważnymi formułami. Wyrażenia te matematycznie potwierdzają wszystkie główne pojęcia w tak trudnym temacie, jakim jest teoria prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo zdarzenia również odgrywa tutaj ogromną rolę.

Lepiej zacząć od głównych, a przed przystąpieniem do nich warto zastanowić się, co to jest.

Kombinatoryka jest przede wszystkim gałęzią matematyki, zajmuje się badaniem ogromnej liczby liczb całkowitych, a także różnymi permutacjami zarówno samych liczb, jak i ich elementów, różnymi danymi itp., prowadzącymi do pojawienia się szeregu kombinacji. Oprócz teorii prawdopodobieństwa ta gałąź jest ważna dla statystyki, informatyki i kryptografii.

Teraz możesz przejść do prezentacji samych formuł i ich definicji.

Pierwszy z nich będzie wyrażeniem na liczbę permutacji, wygląda to tak:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

Równanie ma zastosowanie tylko wtedy, gdy elementy różnią się tylko kolejnością.

Teraz rozważymy formułę rozmieszczenia, wygląda to tak:

A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n - m)!

To wyrażenie ma zastosowanie nie tylko do kolejności elementu, ale także do jego składu.

Trzecie równanie z kombinatoryki, i zarazem ostatnie, nazywa się wzorem na liczbę kombinacji:

C_n^m = n ! : ((n - m))! :m!

Kombinacja nazywana jest wyborem, który nie jest odpowiednio uporządkowany i ta reguła ma do nich zastosowanie.

Okazało się, że łatwo było wymyślić formuły kombinatoryki, teraz możemy przejść do klasycznej definicji prawdopodobieństw. To wyrażenie wygląda następująco:

We wzorze tym m to liczba warunków sprzyjających zdarzeniu A, a n to liczba absolutnie wszystkich jednakowo możliwych i elementarnych wyników.

Wyrażeń jest bardzo dużo, w artykule nie wszystkie zostaną omówione, ale zostaną poruszone najważniejsze z nich, takie jak np. prawdopodobieństwo sumy zdarzeń:

P(A + B) = P(A) + P(B) - to twierdzenie służy do dodawania tylko niekompatybilnych zdarzeń;

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - a ten służy do dodawania tylko kompatybilnych.

Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzeń:

P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - to twierdzenie dotyczy zdarzeń niezależnych;

(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) - a ten jest dla osób na utrzymaniu.

Formuła zdarzenia zakończy listę. Teoria prawdopodobieństwa mówi nam o twierdzeniu Bayesa, które wygląda następująco:

P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)) : (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,..., n

W tym wzorze H 1 , H 2 , …, H n to pełna grupa hipotez.

Przykłady

Jeśli dokładnie przestudiujesz jakąkolwiek gałąź matematyki, nie obejdzie się ona bez ćwiczeń i przykładowych rozwiązań. Podobnie jest z teorią prawdopodobieństwa: zdarzenia, przykłady są tutaj integralnym elementem potwierdzającym obliczenia naukowe.

Wzór na liczbę permutacji

Załóżmy, że w talii jest trzydzieści kart, zaczynając od wartości nominalnej jeden. Następne pytanie. Na ile sposobów można ułożyć talię tak, aby karty o wartości nominalnej 1 i 2 nie leżały obok siebie?

Zadanie jest ustawione, teraz przejdźmy do jego rozwiązania. Najpierw musisz określić liczbę permutacji trzydziestu elementów, w tym celu bierzemy powyższy wzór, okazuje się, że P_30 = 30!.

Na podstawie tej zasady dowiemy się, ile jest opcji złożenia talii na różne sposoby, ale musimy odjąć od nich te, w których pierwsza i druga karta są następne. Aby to zrobić, zacznijmy od opcji, gdy pierwsza jest nad drugą. Okazuje się, że pierwsza karta może zająć dwadzieścia dziewięć miejsc - od pierwszego do dwudziestego dziewiątego, a druga karta od drugiego do trzydziestego, okazuje się, że tylko dwadzieścia dziewięć miejsc na parę kart. Z kolei reszta może zająć dwadzieścia osiem miejsc i to w dowolnej kolejności. Oznacza to, że dla permutacji dwudziestu ośmiu kart istnieje dwadzieścia osiem opcji P_28 = 28!

W rezultacie okazuje się, że jeśli weźmiemy pod uwagę rozwiązanie, w którym pierwsza karta jest nad drugą, jest 29 ⋅ 28 dodatkowych możliwości! = 29!

Korzystając z tej samej metody, musisz obliczyć liczbę zbędnych opcji dla przypadku, gdy pierwsza karta jest pod drugą. Okazuje się również 29 ⋅ 28! = 29!

Z tego wynika, że ​​jest 2 ⋅ 29! dodatkowych opcji, podczas gdy istnieje 30 niezbędnych sposobów na zbudowanie talii! - 2 ⋅ 29!. Pozostaje tylko policzyć.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Teraz musisz pomnożyć wszystkie liczby od jednego do dwudziestu dziewięciu między sobą, a na końcu pomnożyć wszystko przez 28. Odpowiedź to 2,4757335 ⋅〖10〗^32

Przykładowe rozwiązanie. Wzór na numer miejsca docelowego

W tym zadaniu musisz dowiedzieć się, na ile sposobów można ustawić piętnaście tomów na jednej półce, ale pod warunkiem, że w sumie będzie trzydzieści tomów.

W tym problemie rozwiązanie jest nieco prostsze niż w poprzednim. Korzystając ze znanego już wzoru, należy obliczyć całkowitą liczbę aranżacji z trzydziestu tomów po piętnaście.

A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 360 000

Odpowiedź będzie odpowiednio równa 202 843 204 931 727 360 000.

Teraz zadanie będzie trochę trudniejsze. Musisz dowiedzieć się, na ile sposobów można ułożyć trzydzieści książek na dwóch półkach, pod warunkiem, że na jednej półce może znajdować się tylko piętnaście tomów.

Przed rozpoczęciem rozwiązania chciałbym wyjaśnić, że niektóre problemy rozwiązuje się na kilka sposobów, więc w tym przypadku są dwa sposoby, ale w obu zastosowano tę samą formułę.

W tym zadaniu możesz wziąć odpowiedź z poprzedniego, ponieważ tam obliczyliśmy, ile razy można zapełnić półkę piętnastoma książkami na różne sposoby. Okazało się, że A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16.

Drugą półkę obliczamy według formuły permutacji, ponieważ umieszcza się na niej piętnaście książek, a pozostaje tylko piętnaście. Korzystamy ze wzoru P_15 = 15!.

Okazuje się, że w sumie będzie A_30^15 ⋅ P_15 sposobów, ale dodatkowo iloczyn wszystkich liczb od trzydziestu do szesnastu trzeba będzie pomnożyć przez iloczyn liczb od jednego do piętnastu, w wyniku czego otrzymamy iloczyn wszystkich liczb od jednego do trzydziestu, czyli odpowiedź równa się 30!

Ale ten problem można rozwiązać w inny sposób - łatwiejszy. Aby to zrobić, możesz sobie wyobrazić, że jest jedna półka na trzydzieści książek. Wszystkie są umieszczone na tej płaszczyźnie, ale ponieważ warunek wymaga dwóch półek, przecinamy jedną długą na pół, okazuje się, że dwie piętnaście. Z tego wynika, że ​​opcje rozmieszczenia mogą wynosić P_30 = 30!.

Przykładowe rozwiązanie. Wzór na liczbę kombinacji

Teraz rozważymy wariant trzeciego problemu z kombinatoryki. Musisz dowiedzieć się, na ile sposobów można ułożyć piętnaście książek, pod warunkiem, że musisz wybrać spośród trzydziestu absolutnie identycznych.

Do rozwiązania oczywiście zastosowany zostanie wzór na liczbę kombinacji. Z warunku staje się jasne, że kolejność identycznych piętnastu ksiąg nie jest ważna. Dlatego początkowo musisz znaleźć całkowitą liczbę kombinacji trzydziestu ksiąg po piętnaście.

C_30^15 = 30! : ((30-15)) ! : 15! = 155 117 520

To wszystko. Korzystając z tej formuły, w jak najkrótszym czasie udało się rozwiązać taki problem, odpowiedź to odpowiednio 155 117 520.

Przykładowe rozwiązanie. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa

Korzystając z powyższego wzoru, możesz znaleźć odpowiedź w prostym problemie. Ale pomoże to wizualnie zobaczyć i prześledzić przebieg działań.

Problem polega na tym, że w urnie jest dziesięć absolutnie identycznych kul. Spośród nich cztery są żółte, a sześć niebieskich. Z urny wyciągamy jedną kulę. Musisz dowiedzieć się, jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania koloru niebieskiego.

Aby rozwiązać problem, należy wyznaczyć otrzymanie niebieskiej kuli jako zdarzenie A. To doświadczenie może mieć dziesięć wyników, które z kolei są elementarne i równie prawdopodobne. Jednocześnie sześć na dziesięć sprzyja zdarzeniu A. Rozwiązujemy za pomocą wzoru:

P(A) = 6: 10 = 0,6

Stosując ten wzór, dowiedzieliśmy się, że prawdopodobieństwo otrzymania niebieskiej kuli wynosi 0,6.

Przykładowe rozwiązanie. Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń

Teraz zostanie przedstawiony wariant, który rozwiązuje się za pomocą wzoru na prawdopodobieństwo sumy zdarzeń. Tak więc, pod warunkiem, że są dwa pudełka, pierwsze zawiera jedną szarą i pięć białych kul, a drugie zawiera osiem szarych i cztery białe kule. W rezultacie jeden z nich został zabrany z pierwszego i drugiego pudełka. Należy ustalić, jaka jest szansa, że ​​wyjęte kule będą szare i białe.

Aby rozwiązać ten problem, konieczne jest wyznaczenie zdarzeń.

• Więc A - weź szarą kulę z pierwszego pudełka: P(A) = 1/6.
• A '- wzięli białą bilę również z pierwszego pudełka: P (A ") \u003d 5/6.
• B - szara kula została już wyciągnięta z drugiego pudełka: P(B) = 2/3.
• B' - wzięli szarą kulę z drugiego pudełka: P(B") = 1/3.

W zależności od stanu problemu konieczne jest wystąpienie jednego ze zjawisk: AB' lub A'B. Korzystając ze wzoru, otrzymujemy: P(AB") = 1/18, P(A"B) = 10/18.

Teraz zastosowano wzór na pomnożenie prawdopodobieństwa. Następnie, aby znaleźć odpowiedź, musisz zastosować równanie ich dodania:

P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18.

Tak więc, używając formuły, możesz rozwiązać podobne problemy.

Wynik

Artykuł dostarczył informacji na temat „Teorii prawdopodobieństwa”, w której prawdopodobieństwo zdarzenia odgrywa kluczową rolę. Oczywiście nie wszystko zostało wzięte pod uwagę, ale na podstawie przedstawionego tekstu można teoretycznie zapoznać się z tym działem matematyki. Przedmiotowa nauka może być przydatna nie tylko w pracy zawodowej, ale również w życiu codziennym. Z jego pomocą możesz obliczyć dowolną możliwość dowolnego zdarzenia.

W tekście poruszono także ważne daty w historii kształtowania się teorii prawdopodobieństwa jako nauki oraz nazwiska osób, których prace zostały w nią zainwestowane. W ten sposób ludzka ciekawość doprowadziła do tego, że ludzie nauczyli się liczyć nawet zdarzenia losowe. Kiedyś po prostu się tym interesowali, ale dziś wszyscy już o tym wiedzą. I nikt nie powie, co nas czeka w przyszłości, jakie inne genialne odkrycia związane z rozważaną teorią zostaną dokonane. Ale jedno jest pewne - badania nie stoją w miejscu!

Potrzeba operacji na prawdopodobieństwach pojawia się, gdy znane są prawdopodobieństwa niektórych zdarzeń i konieczne jest obliczenie prawdopodobieństw innych zdarzeń, które są z nimi związane.

Dodawanie prawdopodobieństwa stosuje się, gdy konieczne jest obliczenie prawdopodobieństwa kombinacji lub sumy logicznej zdarzeń losowych.

Suma zdarzeń A oraz B wyznaczyć A + B lub A ∪ B. Suma dwóch zdarzeń to zdarzenie, które ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi co najmniej jedno ze zdarzeń. To znaczy, że A + B- zdarzenie, które ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy zdarzenie ma miejsce podczas obserwacji A lub zdarzenie B lub w tym samym czasie A oraz B.

Jeśli wydarzenia A oraz B są wzajemnie sprzeczne i podane są ich prawdopodobieństwa, to prawdopodobieństwo wystąpienia jednego z tych zdarzeń w wyniku jednej próby oblicza się metodą sumowania prawdopodobieństw.

Twierdzenie o dodawaniu prawdopodobieństw. Prawdopodobieństwo wystąpienia jednego z dwóch wzajemnie niekompatybilnych zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń:

Na przykład podczas polowania padły dwa strzały. Wydarzenie ORAZ– trafienie kaczki od pierwszego strzału, zdarzenie W– trafienie z drugiego strzału, zdarzenie ( ORAZ+ W) - trafienie z pierwszego lub drugiego strzału lub z dwóch strzałów. Więc jeśli dwa zdarzenia ORAZ oraz W są zdarzeniami nie do pogodzenia ORAZ+ W- wystąpienia co najmniej jednego z tych zdarzeń lub dwóch zdarzeń.

Przykład 1 W pudełku jest 30 kul tego samego rozmiaru: 10 czerwonych, 5 niebieskich i 15 białych. Oblicz prawdopodobieństwo, że kolorowa (nie biała) kula zostanie wybrana bez patrzenia.

Decyzja. Załóżmy, że zdarzenie ORAZ– „czerwona bila jest zajęta” i zdarzenie W- "Niebieska piłka jest zajęta." Następnie wydarzenie to „zabiera się kolorową (nie białą) bilę”. Znajdź prawdopodobieństwo zdarzenia ORAZ:

i wydarzenia W:

Rozwój ORAZ oraz W- wzajemnie niezgodne, ponieważ jeśli zostanie wzięta jedna kula, nie można wziąć kul o różnych kolorach. Dlatego używamy dodawania prawdopodobieństw:

Twierdzenie o dodawaniu prawdopodobieństw kilku niekompatybilnych zdarzeń. Jeśli zdarzenia składają się na pełny zestaw zdarzeń, to suma ich prawdopodobieństw jest równa 1:

Suma prawdopodobieństw zdarzeń przeciwstawnych jest również równa 1:

Zdarzenia przeciwstawne tworzą pełny zestaw zdarzeń, a prawdopodobieństwo pełnego zestawu zdarzeń wynosi 1.

Prawdopodobieństwa zdarzeń przeciwnych są zwykle oznaczane małymi literami. p oraz q. W szczególności,

z czego wynikają następujące wzory na prawdopodobieństwo zdarzeń przeciwnych:

Przykład 2 Cel w kresce jest podzielony na 3 strefy. Prawdopodobieństwo, że dany strzelec strzeli do celu w pierwszej strefie wynosi 0,15, w drugiej strefie - 0,23, w trzeciej strefie - 0,17. Znajdź prawdopodobieństwo, że strzelec trafi w cel i prawdopodobieństwo, że strzelec nie trafi w cel.

Rozwiązanie: Znajdź prawdopodobieństwo, że strzelec trafi w cel:

Znajdź prawdopodobieństwo, że strzelec nie trafi w cel:

Trudniejsze zadania, w których musisz zastosować zarówno dodawanie, jak i mnożenie prawdopodobieństw - na stronie „Różne zadania dodawania i mnożenia prawdopodobieństw” .

Dodawanie prawdopodobieństw wzajemnie połączonych zdarzeń

Mówimy, że dwa zdarzenia losowe są połączone, jeśli wystąpienie jednego zdarzenia nie wyklucza wystąpienia drugiego zdarzenia w tej samej obserwacji. Na przykład podczas rzucania kostką zdarzenie ORAZ uważa się za wystąpienie liczby 4 i zdarzenia W- opuszczanie liczby parzystej. Ponieważ liczba 4 jest liczbą parzystą, oba zdarzenia są zgodne. W praktyce istnieją zadania obliczania prawdopodobieństw wystąpienia jednego ze wzajemnie połączonych zdarzeń.

Twierdzenie o dodawaniu prawdopodobieństw zdarzeń wspólnych. Prawdopodobieństwo wystąpienia jednego ze wspólnych zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń, od której odejmuje się prawdopodobieństwo wspólnego wystąpienia obu zdarzeń, czyli iloczyn prawdopodobieństw. Wzór na prawdopodobieństwa wspólnych zdarzeń jest następujący:

Ponieważ wydarzenia ORAZ oraz W zgodny, zdarzenie ORAZ+ W występuje, jeżeli zachodzi jedno z trzech możliwych zdarzeń: lub AB. Zgodnie z twierdzeniem o dodawaniu zdarzeń niekompatybilnych obliczamy następująco:

Wydarzenie ORAZ występuje, jeśli wystąpi jedno z dwóch niekompatybilnych zdarzeń: lub AB. Jednak prawdopodobieństwo wystąpienia jednego zdarzenia z kilku niekompatybilnych zdarzeń jest równe sumie prawdopodobieństw wszystkich tych zdarzeń:

Podobnie:

Podstawiając wyrażenia (6) i (7) do wyrażenia (5), otrzymujemy wzór na prawdopodobieństwo zdarzeń łącznych:

Korzystając ze wzoru (8) należy wziąć pod uwagę, że zdarzenia ORAZ oraz W może być:

• wzajemnie niezależne;
• wzajemnie zależne.

Wzór na prawdopodobieństwo zdarzeń wzajemnie niezależnych:

Wzór na prawdopodobieństwo zdarzeń wzajemnie zależnych:

Jeśli wydarzenia ORAZ oraz W są niespójne, to ich zbieżność jest przypadkiem niemożliwym, a zatem P(AB) = 0. Czwarty wzór prawdopodobieństwa dla niekompatybilnych zdarzeń jest następujący:

Przykład 3 W wyścigach samochodowych podczas jazdy pierwszym samochodem prawdopodobieństwo wygranej podczas jazdy drugim samochodem. Odnaleźć:

• prawdopodobieństwo, że oba samochody wygrają;
• prawdopodobieństwo, że przynajmniej jeden samochód wygra;

1) Prawdopodobieństwo, że pierwszy samochód wygra, nie zależy od wyniku drugiego samochodu, a więc od zdarzeń ORAZ(pierwszy samochód wygrywa) i W(wygrywa drugi samochód) - imprezy niezależne. Znajdź prawdopodobieństwo, że oba samochody wygrają:

2) Znajdź prawdopodobieństwo, że jeden z dwóch samochodów wygra:

Trudniejsze zadania, w których musisz zastosować zarówno dodawanie, jak i mnożenie prawdopodobieństw - na stronie „Różne zadania dodawania i mnożenia prawdopodobieństw” .

Rozwiąż samodzielnie problem dodawania prawdopodobieństw, a następnie spójrz na rozwiązanie

Przykład 4 Rzuca się dwiema monetami. Wydarzenie A- utrata herbu na pierwszej monecie. Wydarzenie B- utrata herbu na drugiej monecie. Znajdź prawdopodobieństwo zdarzenia C = A + B .

Mnożenie prawdopodobieństwa

Mnożenie prawdopodobieństw stosuje się, gdy należy obliczyć prawdopodobieństwo logicznego iloczynu zdarzeń.

W takim przypadku zdarzenia losowe muszą być niezależne. Mówimy, że dwa zdarzenia są wzajemnie niezależne, jeśli zajście jednego zdarzenia nie wpływa na prawdopodobieństwo zajścia drugiego.

Twierdzenie o mnożeniu prawdopodobieństwa dla zdarzeń niezależnych. Prawdopodobieństwo równoczesnego wystąpienia dwóch niezależnych zdarzeń ORAZ oraz W jest równy iloczynowi prawdopodobieństw tych zdarzeń i jest obliczany według wzoru:

Przykład 5 Moneta jest rzucana trzy razy z rzędu. Znajdź prawdopodobieństwo, że herb wypadnie trzy razy.

Decyzja. Prawdopodobieństwo, że herb wypadnie przy pierwszym rzucie monetą, przy drugim i trzecim rzucie. Znajdź prawdopodobieństwo, że herb wypadnie trzy razy:

Rozwiąż samodzielnie problemy z mnożeniem prawdopodobieństw, a następnie spójrz na rozwiązanie

Przykład 6 Jest pudełko z dziewięcioma nowymi piłkami tenisowymi. Do gry pobierane są trzy kule, po zakończeniu gry są odkładane. Przy wyborze piłek nie rozróżniają piłek zagranych i nie zagranych. Jakie jest prawdopodobieństwo, że po trzech grach w pudełku nie będzie niegranych piłek?

Przykład 7 Na wyciętych kartach alfabetu zapisane są 32 litery rosyjskiego alfabetu. Losuje się pięć kart, jedną po drugiej i umieszcza na stole w kolejności, w jakiej się pojawiają. Znajdź prawdopodobieństwo, że litery utworzą słowo „koniec”.

Przykład 8 Z pełnej talii kart (52 arkusze) wyjmowane są jednocześnie cztery karty. Znajdź prawdopodobieństwo, że wszystkie cztery karty są tego samego koloru.

Przykład 9 Ten sam problem, co w przykładzie 8, ale każda karta jest zwracana do talii po dobraniu.

Bardziej złożone zadania, w których musisz zastosować zarówno dodawanie, jak i mnożenie prawdopodobieństw, a także obliczyć iloczyn kilku zdarzeń - na stronie „Różne zadania dodawania i mnożenia prawdopodobieństw” .

Prawdopodobieństwo zajścia przynajmniej jednego z wzajemnie niezależnych zdarzeń można obliczyć odejmując od 1 iloczyn prawdopodobieństw przeciwstawnych zdarzeń, czyli według wzoru:

Przykład 10Ładunki dostarczane są trzema rodzajami transportu: rzecznym, kolejowym i drogowym. Prawdopodobieństwo, że ładunek zostanie dostarczony transportem rzecznym wynosi 0,82, koleją 0,87, transportem drogowym 0,90. Znajdź prawdopodobieństwo, że towary zostaną dostarczone co najmniej jednym z trzech rodzajów transportu.

Kiedy rzucono monetą, można powiedzieć, że wypadnie orzeł lub prawdopodobieństwo z tego jest 1/2. Oczywiście nie oznacza to, że jeśli rzucimy monetą 10 razy, koniecznie wyląduje na orzeł 5 razy. Jeśli moneta jest „uczciwa” i jest rzucana wiele razy, w połowie przypadków orzeł wypadnie bardzo blisko. Istnieją więc dwa rodzaje prawdopodobieństw: eksperymentalny oraz teoretyczny .

Prawdopodobieństwo doświadczalne i teoretyczne

Jeśli rzucimy monetą dużą liczbę razy – powiedzmy 1000 – i policzymy, ile razy wypadnie orzeł, możemy określić prawdopodobieństwo, że wypadnie orzeł. Jeśli wypadnie orzeł 503 razy, możemy obliczyć prawdopodobieństwo jego wypadnięcia:
503/1000 lub 0,503.

to eksperymentalny definicja prawdopodobieństwa. Ta definicja prawdopodobieństwa wynika z obserwacji i badania danych i jest dość powszechna i bardzo użyteczna. Na przykład, oto kilka prawdopodobieństw, które zostały określone eksperymentalnie:

1. Prawdopodobieństwo zachorowania na raka piersi u kobiety wynosi 1/11.

2. Jeśli pocałujesz kogoś, kto jest przeziębiony, prawdopodobieństwo, że ty też się przeziębisz, wynosi 0,07.

3. Osoba, która właśnie wyszła z więzienia, ma 80% szans na powrót do więzienia.

Jeśli weźmiemy pod uwagę rzut monetą i biorąc pod uwagę, że wypadnięcie orła lub reszki jest równie prawdopodobne, możemy obliczyć prawdopodobieństwo wypadnięcia orła: 1 / 2. Jest to teoretyczna definicja prawdopodobieństwa. Oto kilka innych prawdopodobieństw, które zostały teoretycznie określone za pomocą matematyki:

1. Jeśli w pokoju jest 30 osób, prawdopodobieństwo, że dwie z nich mają urodziny tego samego dnia (bez roku) wynosi 0,706.

2. Podczas podróży spotykasz kogoś iw trakcie rozmowy odkrywasz, że masz wspólnego znajomego. Typowa reakcja: „To niemożliwe!” W rzeczywistości to zdanie nie pasuje, ponieważ prawdopodobieństwo takiego zdarzenia jest dość wysokie - nieco ponad 22%.

Dlatego prawdopodobieństwo eksperymentalne jest określane na podstawie obserwacji i zbierania danych. Teoretyczne prawdopodobieństwa są określane przez rozumowanie matematyczne. Przykłady prawdopodobieństw eksperymentalnych i teoretycznych, takie jak te omówione powyżej, a zwłaszcza te, których się nie spodziewamy, prowadzą nas do znaczenia badania prawdopodobieństwa. Możesz zapytać: „Co to jest prawdziwe prawdopodobieństwo?” Właściwie nie ma żadnego. Eksperymentalnie możliwe jest wyznaczenie prawdopodobieństw w określonych granicach. Mogą, ale nie muszą, pokrywać się z prawdopodobieństwem, które otrzymujemy teoretycznie. Istnieją sytuacje, w których o wiele łatwiej jest zdefiniować jeden typ prawdopodobieństwa niż inny. Na przykład wystarczyłoby znaleźć prawdopodobieństwo złapania przeziębienia za pomocą prawdopodobieństwa teoretycznego.

Obliczanie prawdopodobieństw doświadczalnych

Rozważ najpierw eksperymentalną definicję prawdopodobieństwa. Podstawowa zasada, której używamy do obliczania takich prawdopodobieństw, jest następująca.

Zasada P (eksperymentalna)

Jeśli w eksperymencie, w którym dokonuje się n obserwacji, sytuacja lub zdarzenie E występuje m razy w n obserwacjach, to mówi się, że eksperymentalne prawdopodobieństwo zdarzenia wynosi P (E) = m/n.

Przykład 1 Ankieta socjologiczna. Przeprowadzono eksperymentalne badanie mające na celu określenie liczby osób leworęcznych, praworęcznych oraz osób, u których obie ręce są jednakowo rozwinięte.Wyniki przedstawiono na wykresie.

a) Określ prawdopodobieństwo, że osoba jest praworęczna.

b) Określ prawdopodobieństwo, że dana osoba jest leworęczna.

c) Określ prawdopodobieństwo, że dana osoba równie biegle włada obiema rękami.

d) W większości turniejów PBA bierze udział 120 graczy. Na podstawie tego eksperymentu, ilu graczy może być leworęcznych?

Decyzja

a) Liczba osób praworęcznych wynosi 82, liczba leworęcznych wynosi 17, a liczba osób równie płynnie posługujących się obiema rękami wynosi 1. Całkowita liczba obserwacji wynosi 100. Zatem prawdopodobieństwo że dana osoba jest praworęczna to P
P = 82/100 lub 0,82 lub 82%.

b) Prawdopodobieństwo, że dana osoba jest leworęczna wynosi P, gdzie
P = 17/100 lub 0,17 lub 17%.

c) Prawdopodobieństwo, że dana osoba równie płynnie posługuje się obiema rękami, wynosi P, gdzie
P = 1/100 lub 0,01 lub 1%.

d) 120 meloników iz (b) możemy spodziewać się, że 17% będzie leworęcznych. Stąd
17% ze 120 = 0,17,120 = 20,4,
czyli możemy spodziewać się około 20 graczy leworęcznych.

Przykład 2 Kontrola jakości . Dla producenta bardzo ważne jest utrzymywanie jakości swoich produktów na wysokim poziomie. W rzeczywistości firmy zatrudniają inspektorów kontroli jakości, aby zapewnić ten proces. Celem jest wypuszczenie jak najmniejszej liczby wadliwych produktów. Ale ponieważ firma produkuje codziennie tysiące przedmiotów, nie może sobie pozwolić na sprawdzenie każdego elementu w celu ustalenia, czy jest wadliwy, czy nie. Aby dowiedzieć się, jaki procent produktów jest wadliwych, firma testuje znacznie mniej produktów.
USDA wymaga, aby 80% nasion sprzedawanych przez hodowców wykiełkowało. Aby określić jakość nasion produkowanych przez firmę rolniczą, sadzi się 500 nasion z tych, które zostały wyprodukowane. Następnie obliczono, że wykiełkowało 417 nasion.

a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że ziarno wykiełkuje?

b) Czy nasiona spełniają normy rządowe?

Decyzja a) Wiemy, że z 500 zasianych nasion 417 wykiełkowało. Prawdopodobieństwo kiełkowania nasion P i
P = 417/500 = 0,834, czyli 83,4%.

b) Ponieważ procent kiełkujących nasion przekraczał 80% na żądanie, nasiona spełniają normy państwowe.

Przykład 3 Oceny telewizji. Według statystyk w Stanach Zjednoczonych jest 105 500 000 gospodarstw domowych z telewizją. Co tydzień zbierane i przetwarzane są informacje o przeglądanych programach. W ciągu tygodnia 7 815 000 gospodarstw domowych obejrzało przebojowy serial komediowy CBS „Wszyscy kochają Raymonda”, a 8 302 000 gospodarstw domowych – przebój NBC „Prawo i porządek” (źródło: Nielsen Media Research). Jakie jest prawdopodobieństwo, że telewizor w jednym domu jest nastawiony na „Wszyscy kochają Raymonda” w danym tygodniu? na „Prawo i porządek”?

Rozwiązanie Prawdopodobieństwo, że telewizor w jednym gospodarstwie domowym jest ustawiony na „Wszyscy kochają Raymonda” wynosi P i
P = 7,815,000/105,500,000 ≈ 0,074 ≈ 7,4%.
Prawdopodobieństwo, że telewizor w gospodarstwie domowym został ustawiony na „Prawo i porządek”, to P i
P = 8,302,000/105,500,000 ≈ 0,079 ≈ 7,9%.
Te wartości procentowe nazywane są ocenami.

prawdopodobieństwo teoretyczne

Załóżmy, że przeprowadzamy eksperyment, taki jak rzucanie monetą lub rzutką, losowanie karty z talii lub testowanie przedmiotów na linii montażowej. Nazywa się każdy możliwy wynik takiego eksperymentu Exodus . Zbiór wszystkich możliwych wyników nazywa się przestrzeń wynikowa . Wydarzenie jest zbiorem wyników, czyli podzbiorem przestrzeni wyników.

Przykład 4 Rzucanie rzutkami. Załóżmy, że w eksperymencie „rzucanie strzałkami” strzałka trafia w cel. Znajdź każdy z następujących elementów:

b) Przestrzeń wyniku

Decyzja
a) Wyniki to: trafienie czarnego (H), trafienie czerwonego (K) i trafienie białego (B).

b) Istnieje pole wynikowe (trafienie czarne, trafienie czerwone, trafienie białe), które można zapisać po prostu jako (B, R, B).

Przykład 5 Rzucanie kostkami. Kostka to sześcian o sześciu bokach, z których każdy ma od jednej do sześciu kropek.


Załóżmy, że rzucamy kostką. Odnaleźć
a) Wyniki
b) Przestrzeń wyniku

Decyzja
a) Wyniki: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Miejsce wyniku (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia E oznaczamy jako P(E). Na przykład „moneta wyląduje na reszce” można oznaczyć przez H. Wtedy P(H) jest prawdopodobieństwem, że moneta wyląduje na reszce. Kiedy wszystkie wyniki eksperymentu mają takie samo prawdopodobieństwo wystąpienia, mówi się, że są jednakowo prawdopodobne. Aby zobaczyć różnicę między zdarzeniami, które są równie prawdopodobne, a zdarzeniami, które nie są jednakowo prawdopodobne, rozważ cel pokazany poniżej.

Dla celu A, czarne, czerwone i białe trafienia są równie prawdopodobne, ponieważ czarne, czerwone i białe sektory są takie same. Jednak w przypadku celu B strefy z tymi kolorami nie są takie same, to znaczy trafienie w nie nie jest równie prawdopodobne.

Zasada P (teoretyczna)

Jeśli zdarzenie E może się zdarzyć na m sposobów z n możliwych wyników z przestrzeni wyników S, to wtedy prawdopodobieństwo teoretyczne zdarzenie, P(E) jest
P(E) = m/n.

Przykład 6 Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia 3, rzucając kostką?

Decyzja Na kostce jest 6 równie prawdopodobnych wyników i jest tylko jedna możliwość wyrzucenia liczby 3. Wtedy prawdopodobieństwo P wyniesie P(3) = 1/6.

Przykład 7 Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby parzystej na kostce?

Decyzja Zdarzenie polega na rzuceniu liczby parzystej. Może się to zdarzyć na 3 sposoby (jeśli wyrzucisz 2, 4 lub 6). Liczba równie prawdopodobnych wyników wynosi 6. Wtedy prawdopodobieństwo P (parzyste) = 3/6 lub 1/2.

Będziemy używać wielu przykładów związanych ze standardową talią 52 kart. Taka talia składa się z kart pokazanych na poniższym rysunku.

Przykład 8 Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania asa z dobrze potasowanej talii kart?

Decyzja Istnieją 52 wyniki (liczba kart w talii), są one równie prawdopodobne (jeśli talia jest dobrze wymieszana), a asa można wyciągnąć na 4 sposoby, więc zgodnie z zasadą P prawdopodobieństwo
P (dobranie asa) = 4/52 lub 1/13.

Przykład 9 Załóżmy, że wybieramy bez patrzenia jedną kulkę z worka zawierającego 3 kulki czerwone i 4 kulki zielone. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy kulę czerwoną?

Decyzja Istnieje 7 równie prawdopodobnych wyników, aby uzyskać dowolną kulę, a ponieważ liczba sposobów wylosowania czerwonej kuli wynosi 3, otrzymujemy
P(wybór czerwonej piłki) = 3/7.

Poniższe stwierdzenia wynikają z zasady P.

Właściwości prawdopodobieństwa

a) Jeżeli zdarzenie E nie może się zdarzyć, to P(E) = 0.
b) Jeśli zdarzenie E musi się wydarzyć, to P(E) = 1.
c) Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia E jest liczbą z przedziału od 0 do 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Na przykład podczas rzucania monetą prawdopodobieństwo, że moneta wyląduje na krawędzi, jest zerowe. Prawdopodobieństwo, że moneta wypadnie orzeł lub reszka, wynosi 1.

Przykład 10 Załóżmy, że z talii 52 kart losujemy 2 karty. Jakie jest prawdopodobieństwo, że obaj są pikami?

Decyzja Liczba n sposobów dobrania 2 kart z dobrze potasowanej talii 52 kart wynosi 52 C 2 . Ponieważ 13 z 52 kart to piki, liczba m sposobów dobrania 2 pik wynosi 13 C 2 . Następnie,
P(rozciąganie 2 szczytów) \u003d m / n \u003d 13 C 2 / 52 C 2 \u003d 78/1326 \u003d 1/17.

Przykład 11 Załóżmy, że z grupy 6 mężczyzn i 4 kobiet losowo wybrano 3 osoby. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowanych zostanie 1 mężczyzna i 2 kobiety?

Decyzja Liczba sposobów wyboru trzech osób z grupy 10 osób 10 C 3 . Jednego mężczyznę można wybrać na 6 C 1 sposobów, a 2 kobiety na 4 C 2 sposobów. Zgodnie z podstawową zasadą liczenia liczba sposobów wyboru pierwszego mężczyzny i dwóch kobiet wynosi 6 C 1 . 4C2. Wtedy prawdopodobieństwo, że zostanie wybrany 1 mężczyzna i 2 kobiety wynosi
P = 6 do 1 . 4 C 2 / 10 C 3 \u003d 3/10.

Przykład 12 Rzucanie kostkami. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia w sumie 8 na dwóch kostkach?

Decyzja Na każdej kości jest 6 możliwych wyników. Wyniki są podwojone, to znaczy istnieje 6,6 lub 36 możliwych sposobów, w jakie liczby na dwóch kostkach mogą spaść. (Lepiej, jeśli kostki są różne, powiedzmy, że jedna jest czerwona, a druga niebieska - to pomoże zwizualizować wynik).

Pary liczb, które sumują się do 8, pokazano na poniższym rysunku. Istnieje 5 możliwych sposobów uzyskania sumy równej 8, stąd prawdopodobieństwo wynosi 5/36.