Równania zadań trygonometrycznych dla rozwiązania niezależnego. Prace badawcze na temat „równań trygonometrycznych w zadaniach egzaminacyjnych”

MBOU „Szkoła średnia Mordovsko-Paevskaya” okręgu Insar Republiki Mołdowy

Ukończyli: Pantyleikina Nadieżda,

Uczennica 11 klasy

Kierownik: Kadyshkina N.V.,

nauczyciel matematyki

Spis treści

Wprowadzenie…………………………………………………………………………….

Rozdział I. O równaniach trygonometrycznych……………………………………..…5

1) Główne typy równań trygonometrycznych i metody ich rozwiązywania:

1. Równania sprowadzające się do najprostszych. …………………………………..pięć

2. Równania redukujące się do kwadratów…………………………………….5

3. Równania jednorodne acosx + b sin x = 0………………………………...6

4. Równania postaci acosx + b sin x \u003d c, c≠ 0……………………………………7

5. Równania rozwiązywane przez faktoryzację……………………….7

6. Równania niestandardowe…………………….8

Rozdział II. Podstawowe pojęcia i wzory trygonometrii…………………….8-10

Rozdział II I. Równania oferowane na jednolitym egzaminie państwowym z lat ubiegłych…………………10-14

Podsumowanie……………………………………………………………………………….14

Wniosek………………..……………………….15-17

Literatura…………………………………………………………………………..18

Wprowadzenie

„Jedyną drogą prowadzącą do wiedzy jest aktywność…”

Wystawa Bernarda

Znaczenie pracy.

Za kilka miesięcy kończę szkołę.

Aby uniknąć problemów z dalszym wyborem drogi życiowej, jest to konieczne uzyskać świadectwo dojrzałości, a aby otrzymać świadectwo do szkoły należy zdać dwa obowiązkowe egzaminy w postaci Jednolitego Egzaminu Państwowego – i jeden z nichmatematyka. Cóż mogę powiedzieć, egzaminy maturalne to kluczowy okres w życiu każdego studenta, od którego zależy nie tylko ocena końcowa na świadectwie, ale także jego przyszłość zawodowa, dochody i kariera.

Jednolity egzamin państwowy jest ważnym testem przed rozpoczęciem nowego życia i wstąpieniem na uniwersytet lub do college'u. Szczególnie ważne jest, aby zaliczyć go z dobrymi wynikami.USE z matematyki to poważny sprawdzian i bez dobrej bazy uczeń nie będzie mógł pochwalić się przyzwoitym wynikiem.

Jak nie zdać egzaminu i uzyskać dobre wyniki? Aby to zrobić, musisz dobrze rozwiązywać problemy. Nie pretenduję do maksymalnej punktacji, niemniej sumiennie się przygotowuję. I zauważyłem, że nawet w pierwszym zadaniu części C, a mianowicie w rozwiązywaniu równań trygonometrycznych i ich układów, popełniam błędy.Na pierwszy rzut oka problem C1 jest stosunkowo prostym równaniem lub układem równań, który może zawierać funkcje trygonometryczne,jedno z głównych podejść do rozwiązywania, które polega na ich sukcesywnym upraszczaniu w celu sprowadzenia ich do jednego lub kilku prostych.Dlaczego więc się mylę?

Trafność tematu determinuje fakt, że studenci muszą rozumieć pewne metody rozwiązywania równań trygonometrycznych.

Dlatego przede mną stawiam następującebramka:

Usystematyzować, poszerzyć wiedzę i umiejętności związane z wykorzystaniem metod rozwiązywania równań trygonometrycznych.

Przedmiot badań jest nauka równań trygonometrycznych w zadaniach egzaminacyjnych.

Przedmiot badań- jest rozwiązaniem równań trygonometrycznych

W ten sposób, główny cel pisanie tej pracy semestralnej jest badaniem równań trygonometrycznych i ich układów, sposobów ich rozwiązywania.

Zgodnie z celami, przedmiotem i przedmiotem badania, co następuje zadania:

1). Przestudiować wszystkie zadania związane z rozwiązywaniem równań trygonometrycznych oferowanych podczas Jednolitego Badania Państwowego prac z poprzednich lat i podczas wykonywania prac diagnostycznych;

2) Badanie metod rozwiązywania równań trygonometrycznych.

3). Zidentyfikuj główne możliwe błędy w rozwiązywaniu takich równań;

cztery). Znajdź przyczynę takich błędów.

6). Wyciągać wnioski.

W swojej pracy rozwiążę kilka równań trygonometrycznych, pokażę możliwe błędy w ich rozwiązaniu oraz spróbuję odpowiedzieć na następujące pytania:

1). Czy można uniknąć błędów przy wykonywaniu zadań typu C1

2) Jeśli ćwiczę rozwiązywanie równań tego typu, to mogę

Czy takie zadania można wykonywać bez błędów?

W tym celu przestudiowałem wszystkie prowadzone z nami zadania demonstracyjne i szkoleniowe, materiały USE z poprzednich lat;

przestudiowane źródła referencyjne;

samodzielnie rozwiązane zadania z Internetu;

w razie trudności konsultowała się z nauczycielem;

Nauczyłem się analizować i poprawnie sporządzać wyniki.

Rozdział I. O równaniach trygonometrycznych.

1) Definicja 1. Równanie trygonometryczne to równanie zawierające zmienną pod znakiem funkcji trygonometrycznych.

Najprostsze równania trygonometryczne to równania postaci sin x = a,

cos x=a, tg x=a, ctg x = a.

W takich równaniach zmienna jest pod znakiem funkcji trygonometrycznej i jest podaną liczbą.

Rozwiązanie równania trygonometrycznego składa się z dwóch etapów: przekształcenia równania do jego najprostszej postaci oraz rozwiązania otrzymanego najprostszego równania trygonometrycznego.

2) Podstawowe typy równań trygonometrycznych.

Równania zredukowane do najprostszych.

Rozwiązać równanie

Decyzja:

Odpowiedź:

Równania redukujące się do kwadratu.

1) Rozwiąż równanie 2 sin 2 x - cosx -1 = 0.

Odpowiedź:

Równania jednorodne: asinx + bcosx = 0

a grzech 2x+ b sinxcosx + c cos 2x = 0.

Rozwiąż równanie 2sinx - 3cosx = 0

Rozwiązanie: Niech cosx = 0, to 2sinx = 0 i sinx = 0 - sprzeczność z

że sin 2 x + cos 2 x = 1. Więc cosx ≠ 0 i możemy podzielić równanie przez cosx.

Dostawać

Odpowiedź:

Przykład: Rozwiązać równanie

Decyzja:

Odpowiedź:

Równania rozwiązane przez faktoring.

Prywatny: Rozwiąż równanie sin2x - sinx = 0.

Rozwiązanie: Korzystając ze wzoru sin2x = 2sinxcosx, otrzymujemy

2sinxcosx – sinx = 0,

sinx(2cosx - 1) = 0.

Iloczyn jest równy zeru, jeśli co najmniej jeden z czynników jest równy zeru.

Odpowiedź:

Niestandardowe równania.

Rozwiąż równanie cosx = X 2 + 1.

Decyzja:

Rozważ funkcje

Rozdział II. Podstawowe pojęcia i wzory trygonometrii.

Równania trygonometryczne są obowiązkowym tematem każdego egzaminu z matematyki.

Ox, ile męki sprawia studentom nauka trygonometrii.

Pewne trudności pojawiają się nawet wtedy, gdy w pobliżu znajduje się nauczycielmatematyka i wyjaśnia każdą drobnostkę. Jest to zrozumiałe, samych podstawowych formuł jest ponad dwadzieścia. A jeśli weźmiemy pod uwagę ich pochodne… Uczeń gubi się w obliczeniach i nie pamięta mechanizmów, dzięki którym te wzory umożliwiają znalezienie np. .

Znasz formuły - łatwo Ci zdecydować. Jeśli nie wiesz, nie zrozumiesz, nawet jeśli dadzą ci wzór.Musisz znać formułę nie tylko głupio, ale także wiedzieć, gdzie można ją zastosować, jak ujawnić i jaka jest istota formuły, a do tego musisz rozwiązywać przykłady dokładnie tych zadań, które są trudne.

Na początku wydawało mi siętrygonometria to nudny zestaw wzorów i wykresów. Jednak zapoznając się z nowymi koncepcjami trygonometrii i metodami rozwiązywania równań trygonometrycznych, za każdym razem byłem przekonany, jak ciekawy i fascynujący jest świat trygonometrii.

Po pierwsze, aby z powodzeniem rozwiązywać równania trygonometryczne, trzeba dobrze znać wzory trygonometryczne, i to nie tylko podstawowe, ale również dodatkowe (przeliczanie sumy funkcji trygonometrycznych na iloczyn i iloczynów na sumę, wzory na obniżanie stopni i inne),ponieważ korzystanie z ściągawek i telefonów komórkowych na egzaminie jest zabronione

(Załącznik 1)

Po drugie , musimy wyraźnie znać standardowe wzory na pierwiastki najprostszych równań trygonometrycznych (przydatne jest zapamiętanie lub umiejętność uzyskania uproszczonych wzorów na pierwiastki równań za pomocą koła trygonometrycznego)

Każde z tych równań jest rozwiązywane za pomocą wzorów, które powinieneś znać. Oto formuły:

funkcjay= grzechx. Ograniczona funkcja: w granicach [-1; 1]. Oznacza to, że przy rozwiązywaniu równań typusinx=2 lubsinxsinx

1) sinx \u003d a,x= (-1) n łuksin a +n,n Z

2) sinx = - a,x= (-1) n+1 łuksin a +n,n Z

Musisz także znać przypadki szczególne: 1) sinx =- 1,

2)sinx =0,

3)sinx = a,

Trzeba też umieć rozwiązywaćw postaci dwóch serii korzeni

2. Funkcjonować y = sałata x . Ograniczona funkcja: w granicach [-1; 1]. Oznacza to, że przy rozwiązywaniu równań typusałatax=2 lubsałatax=-5 w odpowiedzi okazuje się: nie ma korzeni. Formuły dla funkcji y=sałatax:

1. cosx=a, X=± arccos a+2n,n Z

2.cosx=-a, X=±(  - arccos a)+2n,n Z

Przypadki specjalne: 1. cosx =-1, X=  +2 n, n Z

2. sternik=0,

3. cosx=1, X= 2n,n Z

3. Funkcjonowaćy= tgx.

Jest tylko jedna formuła, bez szczególnych przypadków:tgx = ± a .

X = ± arctg a+n,n Z

Po trzecie, trzeba znać wartości funkcji trygonometrycznych;

(Załącznik 2)

Czwarty, Jeśli w równaniu funkcja trygonometryczna jest pod znakiem pierwiastka, to takie równanie trygonometryczne będzie niewymierne. W takich równaniach należy przestrzegać wszystkich zasad stosowanych przy rozwiązywaniu zwykłych równań irracjonalnych (brany jest pod uwagę zakres dopuszczalnych wartości zarówno samego równania, jak i przy uwalnianiu od pierwiastka parzystego stopnia).

V. Równania zaproponowane na ujednoliconym egzaminie państwowym z ostatnich lat.

„Metoda rozwiązania jest dobra, jeśli od samego początku możemy przewidzieć – a następnie to potwierdzić – że stosując tę ​​metodę osiągniemy cel”.

Leibniza

1. Równania redukujące do kwadratu.

C1. Rozwiązać równanie:

Rozwiązanie: Korzystając z podstawowej tożsamości trygonometrycznej,przepisz równanie w postaci

wymianasałata= trównanie sprowadza się do kwadratu: 2t 2 + 9 t-5 = 0, który ma pierwiastkit 1 = ½ it 2 = -5. Wracając do zmiennej x, otrzymujemy
,

Drugie równanie nie ma pierwiastków, ponieważ |cosx |≥1, az pierwszego x =± +6k, k Z

Odpowiedź: =± +6k, k Z

Wniosek: wprowadzając nową zmienną należy wziąć pod uwagę, że wartości sin x i cos x są ograniczone przedziałem
, w przeciwnym razie pojawią się obce korzenie.

2. Równania rozwiązane przez faktoring

Zadanie C1 (2011)

a) Rozwiąż równanie

b) Wskaż pierwiastki równania należącego do odcinka

Rozwiązanie: a) rozwiąż rozkładając lewą stronę na czynniki:

grupujemy i usuwamy wspólny czynnik z nawiasów, otrzymujemy

Równanie 1) nie ma rozwiązań.

Drugie równanie jest jednorodne, rozwiązuje się je dzieląc wyraz po wyrazie przez cosx ≠0, otrzymujemy
, gdzie

b)

odpowiedź:
b)

Wniosek:

1. Rozwiązując takie równanie, po pierwsze, trzeba wiedzieć, że |sin x|≤1 i |cosx |≤1, a równanie sinx =-2 nie ma rozwiązań;

2. Po drugie, uzasadnij dzielenie przez cosx ≠o (bo jeśli cosx = 0, to sin x = 0, a to jest niemożliwe;

po trzecie, zasadne jest dokonanie selekcji pierwiastków należących do tego przedziału

3
.Równanie zastosowania wzorów redukcyjnych

C1 (2010) Równanie podane

a) rozwiązać równanie;

b
) Określ pierwiastki należące do segmentu

Rozwiązanie: Korzystając ze wzorów redukcyjnych, otrzymujemy:

grzech 2 x - cos x \u003d 0,

2 sinx cosx - cosx =0,

Z osx (2 sinx -1)=0, skąd cosx= 0 lub sinx =½,

b) Znajdź wartości k, do których będą należeć korzenie

podany interwał. Aby zrywać korzenie. należący do danego przedziału, rozwiązanie można przedstawić jako:

b

) Znajdź wartości k, dla których pierwiastki będą należeć do określonego przedziału.

2)

Rozwiązanie tej nierówności, całość

nie otrzymamy wartości k.

odpowiedź:

b)

Wniosek:

Rozwiązując równanie tego rodzaju, należy znać wzory powyższego równania i poprawnie je zastosować; móc przedstawić rozwiązanie
na dwie serie korzeni; poprawnie wybrać pierwiastki należące do danego segmentu.

4. Układy równań trygonometrycznych

C1 (2010). Rozwiąż układ równań

Rozwiązanie: O.D.Z

Ułamek jest równy zero, jeśli licznik jest równy 0, a mianownik nie jest równy 0.

Z równania 2sin 2 x - 3 sinx +1 \u003d 0, rozwiązując metodą wprowadzania nowej zmiennej, znajdujemy

lub sinx=1.

1) Niech
, następnie
i y = cos x = ›0 (przy użyciu podstawowej tożsamości trygonometrycznej)

lub
oraz
- nie ma decyzji.

2) Niech sinx \u003d 1, wtedy y \u003d cos x \u003d 0 - nie ma rozwiązania.

Odpowiedź:
i y =

Wniosek: 1) należy wziąć pod uwagę ograniczenia trygonometryczne

Funkcje

2) Zapisz i uwzględnij O.D.Z.

5. C1 (USE 2011) Rozwiąż równanie:

ODZ - sałata x ≥ 0, grzech x ≤ 0.

4sin 2 x + 12 sinx + 5 = 0 lub cos x = 0

sinx=t

4 t 2 + 12 t + 5=0, skąd t 1 \u003d -½, t 2 \u003d -

sinx = -½ sinx=- - nie ma rozwiązania

x =

x =

biorąc pod uwagę O.D.Z. x =

Odpowiedź: x =

Wniosek: Zapisz odpowiedź, biorąc pod uwagę O.D.Z.

WNIOSEK

W mojej pracy zbadano rozwiązania równań trygonometrycznych, rozważono zalecenia dotyczące rozwiązywania równań trygonometrycznych, rozważono metody rozwiązywania równań trygonometrycznych oraz rozważono błędy, które są możliwe podczas ich rozwiązywania.

Doszedłem do następujących wniosków:

1. Zadania typu C1 sprawdzają umiejętność rozwiązywania równań trygonometrycznych. Te zadania są naprawdę proste, co dodaje pewności siebie i usypia uwagę. Jedyną trudnością tych zadań jest to, że po rozwiązaniu równania lub układu równań konieczne jest odrzucenie obcych pierwiastków.

2. Problem C1 jest najprostszym problemem grupy C. Podczas jego rozwiązywania nie powinny występować uciążliwe przekształcenia i skomplikowane obliczenia. Jeśli się pojawią, musisz natychmiast zatrzymać się, sprawdzić rozwiązanie i spróbować zrozumieć, co tu jest nie tak.

3. Ostatecznie,głównym wymaganiem jest, aby rozwiązanie było matematyczne, a tok rozumowania musiał być z niego jasny.Musisz spróbować krótko i jasno zapisać swoją decyzję, ale co najważniejsze - poprawnie!

4. A co najważniejsze - aby nauczyć się rozwiązywać równania bez błędów, musisz je rozwiązywać! W końcu, jak powiedział Poya, „Jeśli chcesz nauczyć się pływać, odważnie wskocz do wody, a jeśli chcesz nauczyć się rozwiązywać problemy, musisz je rozwiązywać!”

Dodatek 1 (podstawowe wzory trygonometrii)

1) podstawowa tożsamość trygonometrycznagrzech 2 α + sałata 2 α= 1,

Dzieląc to równanie przez kwadrat odpowiednio cosinusa i sinusa, mamy

2) formuły z podwójnym argumentemgrzech2α =2grzechα sałata α,

cos 2α = cos 2 α -grzech 2 α ,

Cos 2α = 1- 2sin 2 α,

3) formuły obniżające:

4) wzory na sumę i różnicę dwóch argumentów:

grzech(α+ β )= grzechα sałataβ + sałata α grzechβ

grzech(α- β )= grzechα sałata β - sałata α grzech β

sałata(α+ β )= sałataα sałata β + grzech α grzech β

sałata(α- β )= grzechα sałata β + grzechα grzech β

5) Odlewane formuły

Formuły redukcyjne nazywane są formułami o następującej postaci:

Sumy sum i różnic równań trygonometrycznych

Parytet

Cosinus-parzysty, sinus, tangens i cotangens, to znaczy:

Ciągłość

Sinus i cosinus - . Styczna i ma

,kotangens 0; ±π; ±2π;…

Okresowość

Funkcjey = sałatax, y = grzechx -

Twoja prywatność jest dla nas ważna. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje informacje. Przeczytaj naszą politykę prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe odnoszą się do danych, które mogą być wykorzystane do zidentyfikowania lub skontaktowania się z konkretną osobą.

W każdym momencie kontaktu z nami możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych.

Poniżej przedstawiono kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić, oraz sposobów ich wykorzystania.

Jakie dane osobowe zbieramy:

• Kiedy składasz wniosek na stronie, możemy gromadzić różne informacje, w tym imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

• Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą i informować Cię o wyjątkowych ofertach, promocjach oraz innych wydarzeniach i nadchodzących wydarzeniach.
• Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i wiadomości.
• Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różne badania w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i przedstawiania rekomendacji dotyczących naszych usług.
• Jeśli weźmiesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnej promocji, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje do administrowania takimi programami.

Ujawnienie osobom trzecim

Nie ujawniamy otrzymanych od Ciebie informacji osobom trzecim.

Wyjątki:

• W przypadku, gdy jest to konieczne - zgodnie z prawem, nakazem sądowym, postępowaniem sądowym i / lub na podstawie publicznych żądań lub żądań organów państwowych na terytorium Federacji Rosyjskiej - ujawnij swoje dane osobowe. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub właściwe ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów interesu publicznego.
• W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniemu następcy zewnętrznemu.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności — w tym administracyjne, techniczne i fizyczne — w celu ochrony danych osobowych przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także przed nieautoryzowanym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Zachowanie Twojej prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, informujemy naszych pracowników o praktykach w zakresie prywatności i bezpieczeństwa oraz ściśle egzekwujemy praktyki w zakresie prywatności.

Twoja prywatność jest dla nas ważna. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje informacje. Przeczytaj naszą politykę prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe odnoszą się do danych, które mogą być wykorzystane do zidentyfikowania lub skontaktowania się z konkretną osobą.

W każdym momencie kontaktu z nami możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych.

Poniżej przedstawiono kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić, oraz sposobów ich wykorzystania.

Jakie dane osobowe zbieramy:

• Kiedy składasz wniosek na stronie, możemy gromadzić różne informacje, w tym imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

• Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą i informować Cię o wyjątkowych ofertach, promocjach oraz innych wydarzeniach i nadchodzących wydarzeniach.
• Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i wiadomości.
• Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różne badania w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i przedstawiania rekomendacji dotyczących naszych usług.
• Jeśli weźmiesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnej promocji, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje do administrowania takimi programami.

Ujawnienie osobom trzecim

Nie ujawniamy otrzymanych od Ciebie informacji osobom trzecim.

Wyjątki:

• W przypadku, gdy jest to konieczne - zgodnie z prawem, nakazem sądowym, postępowaniem sądowym i / lub na podstawie publicznych żądań lub żądań organów państwowych na terytorium Federacji Rosyjskiej - ujawnij swoje dane osobowe. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub właściwe ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów interesu publicznego.
• W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniemu następcy zewnętrznemu.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności — w tym administracyjne, techniczne i fizyczne — w celu ochrony danych osobowych przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także przed nieautoryzowanym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Zachowanie Twojej prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, informujemy naszych pracowników o praktykach w zakresie prywatności i bezpieczeństwa oraz ściśle egzekwujemy praktyki w zakresie prywatności.