Czworościan ma wszystkie boki równe. Czworościan

W tej lekcji przyjrzymy się czworościanowi i jego elementom (krawędź czworościanu, powierzchnia, ściany, wierzchołki). I rozwiążemy kilka problemów związanych z konstruowaniem przekrojów w czworościanie, używając ogólnej metody konstruowania przekrojów.

Temat: Równoległość prostych i płaszczyzn

Lekcja: czworościan. Problemy konstruowania przekrojów w czworościanie

Jak zbudować czworościan? Weź dowolny trójkąt ABC. Dowolny punkt D nie leży w płaszczyźnie tego trójkąta. Otrzymujemy 4 trójkąty. Powierzchnia utworzona przez te 4 trójkąty nazywana jest czworościanem (ryc. 1.). Wewnętrzne punkty ograniczone przez tę powierzchnię są również częścią czworościanu.

Ryż. 1. Czworościan ABCD

Elementy czworościanu
ORAZ,B, C, D - wierzchołki czworościanu.
AB, AC, OGŁOSZENIE, pne, BD, płyta CD - krawędzie czworościanu.
ABC, ABD, bdc, ADC - twarze czworościanu.

Komentarz: możesz polecieć samolotem ABC za podstawa czworościanu, a następnie punkt D jest wierzchołek czworościanu. Każda krawędź czworościanu jest przecięciem dwóch płaszczyzn. Na przykład żebro AB jest przecięciem płaszczyzn ABD oraz ABC. Każdy wierzchołek czworościanu jest przecięciem trzech płaszczyzn. Wierzchołek ORAZ leży w samolotach ABC, ABD, ORAZDOD. Kropka ORAZ jest przecięciem trzech zaznaczonych płaszczyzn. Fakt ten jest zapisany w następujący sposób: ORAZ= ABC ∩ ABD ∩ ACD.

Definicja czworościanu

Więc, czworościan jest powierzchnią utworzoną przez cztery trójkąty.

Krawędź czworościanu- linia przecięcia dwóch płaszczyzn czworościanu.

Utwórz 4 równe trójkąty z 6 dopasowań. Nie da się rozwiązać problemu w samolocie. A w kosmosie jest to łatwe. Weźmy czworościan. 6 zapałek to jego krawędzie, cztery ściany czworościanu i będą to cztery równe trójkąty. Problem rozwiązany.

Dan czworościan ABCD. Kropka M należy do krawędzi czworościanu AB, kropka N należy do krawędzi czworościanu WD i kropka R należy do krawędzi DOD(Rys. 2.). Skonstruuj przekrój czworościanu za pomocą płaszczyzny MNP.

Ryż. 2. Rysunek do zadania 2 - Skonstruuj przekrój czworościanu za pomocą płaszczyzny

Decyzja:
Rozważ oblicze czworościanu DSłońce. Na tej krawędzi punktu N oraz P należą twarze DSłońce, a stąd czworościan. Ale pod warunkiem punktu N, P należą do płaszczyzny cięcia. Oznacza, NP jest linią przecięcia dwóch płaszczyzn: płaszczyzn twarzy DSłońce i płaszczyzny cięcia. Załóżmy, że linie NP oraz Słońce nie są równoległe. Leżą w tej samej płaszczyźnie DSłońce. Znajdź punkt przecięcia prostych NP oraz Słońce. Oznaczmy to mi(Rys. 3.).

Ryż. 3. Rysunek do zadania 2. Znalezienie punktu E

Kropka mi należy do płaszczyzny przekroju MNP, ponieważ leży na linii NP, a linia prosta NP leży całkowicie w płaszczyźnie przekroju MNP.

Również kropka mi leży w samolocie ABC ponieważ leży na linii Słońce wyjść z samolotu ABC.

Rozumiemy to JEŚĆ- linia przecięcia płaszczyzn ABC oraz MNP, bo punkty mi oraz M leżeć jednocześnie w dwóch płaszczyznach - ABC oraz MNP. Połącz kropki M oraz mi i kontynuuj linię JEŚĆ do skrzyżowania z linią AC. punkt przecięcia linii JEŚĆ oraz AC oznaczać Q.

Więc w tym przypadku NPQM- żądana sekcja.

Ryż. 4. Rysowanie problemu 2. Rozwiązanie problemu 2

Rozważmy teraz przypadek, gdy NP równoległy pne. Jeśli prosto NP równolegle do jakiejś linii, na przykład linii Słońce wyjść z samolotu ABC, potem linia prosta NP równolegle do całej płaszczyzny ABC.

Pożądana płaszczyzna przekroju przechodzi przez linię prostą NP, równolegle do płaszczyzny ABC i przecina płaszczyznę w linii prostej MQ. A więc linia przecięcia MQ równolegle do linii prostej NP. dostajemy NPQM- żądana sekcja.

Kropka M leży na boku ORAZDW czworościan ABCD. Skonstruuj przekrój czworościanu za pomocą płaszczyzny przechodzącej przez punkt M równolegle do podstawy ABC.

Ryż. 5. Rysunek do zadania 3 Skonstruuj przekrój czworościanu za pomocą płaszczyzny

Decyzja:
płaszczyzna cięcia φ równolegle do płaszczyzny ABC pod warunkiem, to ten samolot φ równoległe do linii prostych AB, AC, Słońce.
W samolocie ABD przez punkt M narysujmy linię prostą PQ równoległy AB(Rys. 5). Proste PQ leży w samolocie ABD. Podobnie w samolocie ACD przez punkt R narysujmy linię prostą PR równoległy AC. mam punkt R. Dwie przecinające się linie PQ oraz PR samolot PQR są odpowiednio równoległe do dwóch przecinających się linii AB oraz AC samolot ABC stąd samoloty ABC oraz PQR są równoległe. PQR- żądana sekcja. Problem rozwiązany.

Dan czworościan ABCD. Kropka M- punkt wewnętrzny, punkt ściany czworościanu ABD. N- punkt wewnętrzny odcinka DOD(Rys. 6.). Skonstruuj punkt przecięcia prostej NM i samolot ABC.

Ryż. 6. Rysunek do zadania 4

Decyzja:
Aby rozwiązać, konstruujemy płaszczyznę pomocniczą DMN. Niech linia DM przecina prostą AB w punkcie Do(Rys. 7.). Następnie, SCD jest przekrojem płaszczyzny DMN i czworościan. W samolocie DMN kłamie i prosto NM i wynikową linię SC. Więc jeśli NM nie równolegle SC, to w pewnym momencie przecinają się R. Kropka R i będzie pożądanym punktem przecięcia prostej NM i samolot ABC.

Ryż. 7. Rysowanie problemu 4. Rozwiązanie problemu 4

Dan czworościan ABCD. M- wewnętrzny punkt twarzy ABD. R- wewnętrzny punkt twarzy ABC. N- punkt wewnętrzny krawędzi DOD(Rys. 8.). Skonstruuj przekrój czworościanu za pomocą płaszczyzny przechodzącej przez punkty M, N oraz R.

Ryż. 8. Rysunek do zadania 5 Skonstruuj przekrój czworościanu za pomocą płaszczyzny

Decyzja:
Rozważmy pierwszy przypadek, gdy linia MN nie równolegle do płaszczyzny ABC. W poprzednim zadaniu znaleźliśmy punkt przecięcia prostej MN i samolot ABC. O to chodzi Do, uzyskuje się go za pomocą płaszczyzny pomocniczej DMN, tj. my robimy DM i zdobyć punkt F. Spędzamy CF i na skrzyżowaniu MN zdobyć punkt Do.

Ryż. 9. Rysunek do zadania 5. Znalezienie punktu K

Narysujmy linię prostą KR. Proste KR leży zarówno w płaszczyźnie przekroju, jak iw płaszczyźnie ABC. Zdobywanie punktów R 1 oraz R2. Złączony R 1 oraz M i po kontynuacji otrzymujemy punkt M 1. Łączenie kropki R2 oraz N. W rezultacie uzyskujemy pożądany przekrój R 1 R 2 NM 1. Problem w pierwszym przypadku został rozwiązany.
Rozważmy drugi przypadek, gdy linia MN równolegle do płaszczyzny ABC. Samolot MNP przechodzi przez linię prostą MN równolegle do płaszczyzny ABC i przecina samolot ABC wzdłuż jakiejś linii R 1 R 2, potem linia prosta R 1 R 2 równolegle do tej linii MN(Rys. 10.).

Ryż. 10. Rysunek do zadania 5. Pożądany przekrój

Teraz narysujmy linię R 1 M i zdobyć punkt M 1.R 1 R 2 NM 1- żądana sekcja.

Więc rozważyliśmy czworościan, rozwiązaliśmy kilka typowych zadań na czworościanie. W następnej lekcji przyjrzymy się pudełku.

1. IM Smirnova, VA Smirnov. - wydanie 5, poprawione i uzupełnione - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s. : chory. Geometria. Klasa 10-11: podręcznik dla uczniów szkół ogólnokształcących (poziom podstawowy i profilowy)

2. Sharygin I. F. - M .: Drop, 1999. - 208 s.: chory. Geometria. Klasa 10-11: Podręcznik dla ogólnokształcących instytucji edukacyjnych

3. EV Potoskuev, LI Zvalich. - 6. edycja, stereotyp. - M.: Drop, 008. - 233 s. :chory. Geometria. Klasa 10: Podręcznik dla szkół ogólnokształcących z pogłębionym i profilowym studium matematyki

Dodatkowe zasoby internetowe

2. Jak zbudować przekrój czworościanu. Matematyka ().

3. Festiwal idei pedagogicznych ().

Wykonaj zadania domowe na temat „Czworościanu”, jak znaleźć krawędź czworościanu, ściany czworościanu, wierzchołki i powierzchnię czworościanu

1. Geometria. Klasa 10-11: podręcznik dla uczniów placówek oświatowych (poziom podstawowy i profilowy) I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - wydanie V, poprawione i uzupełnione - M.: Mnemozina, 2008. - 288 s.: il. Zadania 18, 19, 20 s. 50

2. Punkt miżyłka MAMA czworościan IAWS. Skonstruuj przekrój czworościanu za pomocą płaszczyzny przechodzącej przez punkty PNE oraz mi.

3. W czworościanie MAVS punkt M należy do ściany AMB, punkt P do ściany BMC, a punkt K do krawędzi AC. Skonstruuj przekrój czworościanu za pomocą płaszczyzny przechodzącej przez punkty M, R, K.

4. Jakie liczby można uzyskać w wyniku przecięcia czworościanu płaszczyzną?

Czworościan, czyli trójkątna piramida, jest najprostszym z wielościanów, tak jak trójkąt jest najprostszym z wielokątów na płaszczyźnie. Słowo „czworościan” powstało z połączenia dwóch greckich słów: tetra – „cztery” i hedra – „podstawa”, „twarz”. Czworościan jest określony przez jego cztery wierzchołki - punkty, które nie leżą w tej samej płaszczyźnie; ściany czworościanu - cztery trójkąty; Czworościan ma sześć krawędzi. W przeciwieństwie do dowolnej piramidy kątowej (w ), dowolną jej ścianę można wybrać jako podstawę czworościanu.

Wiele właściwości czworościanów jest podobnych do właściwości trójkątów. W szczególności 6 płaszczyzn poprowadzonych przez środki krawędzi czworościanu prostopadłych do nich przecina się w jednym punkcie. W tym samym punkcie przecinają się 4 linie proste poprowadzone przez środki okręgów opisanych w pobliżu ścian prostopadłych do płaszczyzn tych ścian i jest środkiem kuli opisanej w pobliżu czworościanu (ryc. 1). Podobnie 6 dwusiecznych półpłaszczyzn czworościanu, tj. dotyka wszystkich czterech ścian czworościanu. Każdy trójkąt ma, oprócz wpisanego, 3 dodatkowe okręgi (patrz Trójkąt), ale czworościan może mieć dowolną liczbę - od 4 do 7 - okręgów, tj. kule stykające się z płaszczyznami wszystkich czterech ścian czworościanu. Zawsze są 4 sfery wpisane w ścięte kąty trójścienne, z których jedna jest pokazana na ryc. 2, prawda. W ścięte kąty dwuścienne na krawędziach czworościanu można wpisać (nie zawsze!) kolejne 3 sfery - jedną z nich pokazano na ryc. zostały 2.

Dla czworościanu istnieje jeszcze jedna możliwość jego wzajemnego ułożenia z kulą – kontakt z pewną kulą wszystkimi jej krawędziami (ryc. 3). Taka kula – nazywana czasem „półwpisaną” – istnieje tylko wtedy, gdy sumy długości przeciwległych krawędzi czworościanu są sobie równe: (ryc. 3).

Dla dowolnego czworościanu obowiązuje analogia twierdzenia o przecięciu środkowych trójkąta w jednym punkcie. Mianowicie 6 płaszczyzn poprowadzonych przez krawędzie czworościanu i środki przeciwległych krawędzi przecinają się w jednym punkcie - w środku ciężkości czworościanu (ryc. 4). 3 „linie środkowe” również przechodzą przez środek ciężkości - segmenty łączące punkty środkowe trzech par przeciwległych krawędzi i są podzielone przez punkt na pół. Ostatecznie przechodzą również 4 „środkowe” czworościanu - segmenty łączące wierzchołki ze środkami ciężkości przeciwległych ścian, które są podzielone w punkcie w stosunku 3:1, licząc od wierzchołków.

Najważniejsza właściwość trójkąta - równość (lub) - nie ma rozsądnego „czworościennego” odpowiednika: suma wszystkich 6 dwuściennych kątów czworościanu może przyjąć dowolną wartość między a. (Oczywiście suma wszystkich 12 kątów płaskich czworościanu – 3 w każdym wierzchołku – jest niezależna od czworościanu i równa się .)

Trójkąty są zwykle klasyfikowane według stopnia symetrii: trójkąty foremne lub równoboczne mają trzy osie symetrii, równoramienne - jedną. Klasyfikacja czworościanów według stopnia symetrii jest bogatsza. Najbardziej symetryczny czworościan jest regularny, ograniczony czterema regularnymi trójkątami. Ma 6 płaszczyzn symetrii - przechodzą one przez każdą krawędź prostopadle do przeciwległej krawędzi - oraz 3 osie symetrii przechodzące przez środki przeciwległych krawędzi (ryc. 5). Mniej symetryczne są regularne piramidy trójkątne (3 płaszczyzny symetrii, ryc. 6) i czworościany izoedryczne (tj. czworościany o równych ścianach - 3 osie symetrii, ryc. 7).

2) ,

gdzie jest kątem dwuściennym na krawędzi. Istnieją inne wzory do obliczania objętości czworościanu.

Tetrahedron w języku greckim oznacza „czworościan”. Ta figura geometryczna ma cztery ściany, cztery wierzchołki i sześć krawędzi. Krawędzie są trójkątami. W rzeczywistości czworościan jest Pierwsza wzmianka o wielościanach pojawiła się na długo przed istnieniem Platona.

Dzisiaj porozmawiamy o elementach i właściwościach czworościanu, a także poznamy wzory na znalezienie powierzchni, objętości i innych parametrów dla tych elementów.

Elementy czworościanu

Segment uwolniony z dowolnego wierzchołka czworościanu i opuszczony do punktu przecięcia środkowych przeciwległej ściany nazywa się medianą.

Wysokość wielokąta to odcinek normalny upuszczony z przeciwległego wierzchołka.

Bimediana to odcinek łączący środki przecinających się krawędzi.

Właściwości czworościanu

1) Równoległe płaszczyzny przechodzące przez dwie skośne krawędzie tworzą opisany równoległościan.

2) Charakterystyczną właściwością czworościanu jest to, że środkowe i dwuśrodkowe figury spotykają się w jednym punkcie. Co ważne, ten ostatni dzieli mediany w stosunku 3:1, a bimediany – na pół.

3) Płaszczyzna dzieli czworościan na dwie części o równej objętości, jeżeli przechodzi przez środek dwóch przecinających się krawędzi.

Rodzaje czworościanu

Różnorodność gatunkowa postaci jest dość szeroka. Czworościan może być:

• poprawnie, to znaczy u podstawy jest trójkąt równoboczny;
• izoedryczny, w którym wszystkie ściany mają taką samą długość;
• ortocentryczny, gdy wysokości mają wspólny punkt przecięcia;
• prostokątny, jeśli płaskie kąty u góry są normalne;
• proporcjonalne, wszystkie wysokości bi są równe;
• model szkieletowy, jeśli istnieje kula dotykająca krawędzi;
• niecentryczny, to znaczy segmenty opuszczone od wierzchołka do środka wpisanego okręgu przeciwległej ściany mają wspólny punkt przecięcia; punkt ten nazywany jest środkiem ciężkości czworościanu.

Zatrzymajmy się szczegółowo na regularnym czworościanie, którego właściwości praktycznie się nie różnią.

Na podstawie nazwy można zrozumieć, że nazywa się to tak, ponieważ twarze są regularnymi trójkątami. Wszystkie krawędzie tej figury mają przystającą długość, a ściany są przystające pod względem powierzchni. Regularny czworościan jest jednym z pięciu podobnych wielościanów.

Formuły czworościanu

Wysokość czworościanu jest równa iloczynowi pierwiastka z 2/3 i długości krawędzi.

Objętość czworościanu oblicza się w taki sam sposób, jak objętość piramidy: pierwiastek kwadratowy z 2 podzielony przez 12 i pomnożony przez długość krawędzi sześcianu.

Pozostałe wzory do obliczania powierzchni i promieni okręgów przedstawiono powyżej.

Plan przygotowania i przeprowadzenia lekcji:

I. Etap przygotowawczy:

1. Powtórzenie znanych właściwości piramidy trójkątnej.
2. Stawianie hipotez na temat możliwych, nie branych wcześniej pod uwagę cech czworościanu.
3. Tworzenie grup do prowadzenia badań nad tymi hipotezami.
4. Podział zadań dla każdej grupy (z uwzględnieniem chęci).
5. Podział odpowiedzialności za zadanie.

II. Scena główna:

1. Rozwiązanie hipotezy.
2. Konsultacje z nauczycielem.
3. Forma pracy.

III. Ostatni etap:

1. Prezentacja i obrona hipotezy.

Cele Lekcji:

• uogólniać i systematyzować wiedzę i umiejętności uczniów; przestudiować dodatkowy materiał teoretyczny na określony temat; uczyć stosowania wiedzy w rozwiązywaniu niestandardowych problemów, dostrzegać w nich proste składowe;
• kształtować umiejętność pracy uczniów z dodatkową literaturą, doskonalić umiejętność analizowania, uogólniania, znajdowania najważniejszej rzeczy w tym, co czytają, udowadniania nowych rzeczy; rozwijać umiejętności komunikacyjne uczniów;
• pielęgnować kulturę graficzną.

Etap przygotowawczy (1 lekcja):

1. Wiadomość ucznia „Tajemnice Wielkich Piramid”.
2. Przemówienie wprowadzające nauczyciela na temat różnorodności typów piramid.
3. Pytania do dyskusji:

• Na jakiej podstawie można łączyć nieregularne trójkątne piramidy
• Co rozumiemy przez ortocentrum trójkąta i co można nazwać ortocentrum czworościanu
• Czy prostokątny czworościan ma ortocentrum?
• Który czworościan nazywa się izoedrycznym Jakie właściwości może mieć

1. W wyniku rozważenia różnych czworościanów, przedyskutowania ich właściwości, pojęcia zostają wyjaśnione i pojawia się pewna struktura:

1. Rozważ właściwości czworościanu foremnego (dodatek).

Właściwości 1-4 są udowadniane ustnie za pomocą Slajdu 1.

Właściwość 1: Wszystkie krawędzie są równe.

Właściwość 2: Wszystkie kąty płaskie mają miarę 60°.

Właściwość 3: Suma kątów płaskich w dowolnych trzech wierzchołkach czworościanu wynosi 180°.

Właściwość 4: Jeśli czworościan jest regularny, to każdy z jego wierzchołków jest rzutowany na ortocentrum przeciwległej ściany.

Dany:

ABCD jest czworościanem foremnym

AH - wysokość

Udowodnić:

H - ortocentrum

Dowód:

1) punkt H może pokrywać się z dowolnym punktem A, B, C. Niech H = B, H = C

2) AH + (ABC) => AH + BH, AH + CH, AH + DH,

3) Rozważ ABH, BCH, ADH

AD - ogólnie => ABH, BCH, ADH => BH = CH = DH

AB \u003d AC \u003d AD t. H - jest ortocentrum ABC

co było do okazania

1. Na pierwszej lekcji Właściwości 5-9 są formułowane jako hipotezy wymagające dowodu.

Każda grupa otrzymuje swoją pracę domową:

Udowodnij jedną z własności.

Przygotuj uzasadnienie wraz z prezentacją.

II. Scena główna (w ciągu tygodnia):

1. Rozwiązanie hipotezy.
2. Konsultacje z nauczycielem.
3. Forma pracy.

III. Etap końcowy (1-2 lekcje):

Reprezentacja i obrona hipotezy za pomocą prezentacji.

Przygotowując materiał do ostatniej lekcji, uczniowie dochodzą do wniosku o cechach punktu przecięcia wysokości, zgadzamy się, że nazywamy go punktem „niesamowitym”.

Właściwość 5: Środki opisanych i wpisanych sfer pokrywają się.

Dany:

DABC jest regularnym czworościanem

Około 1 - środek opisywanej kuli

O - środek wpisanej kuli

N jest punktem styku wpisanej kuli ze ścianą ABC

Udowodnij: O 1 = O

Dowód:

Niech OA = OB = OD = OC będą promieniami opisanego okręgu

Upuść NA + (ABC)

AON = CON - prostokątny, wzdłuż nogi i przeciwprostokątnej => AN = CN

Pomiń OM + (BCD)

COM DOM - prostokątny, wzdłuż nogi i przeciwprostokątnej => CM = DM

Z paragrafu 1 CON COM => ON = OM

ОN + (ABC) => ON,OM - promienie okręgu wpisanego.

Twierdzenie zostało udowodnione.

Dla czworościanu foremnego istnieje możliwość jego wzajemnego ułożenia z kulą - kontaktu z pewną kulą wszystkimi jej krawędziami. Taka kula jest czasami nazywana kulą „częściowo wpisaną”.

Właściwość 6: Segmenty łączące punkty środkowe przeciwległych krawędzi i prostopadłe do tych krawędzi są promieniami półwpisanej kuli.

Dany:

ABCD to czworościan foremny;

AL=BL, AK=CK, AS=DS,

BP=CP, BM=DM, CN=DN.

Udowodnić:

LO=OK=OS=OM=ON=OP

Dowód.

Czworościan ABCD - regularny => AO= BO = CO = DO

Rozważ trójkąty AOB, AOC, COD, BOD, BOC, AOD.

AO=BO=>?AOB – równoramienny =>
OL - mediana, wysokość, dwusieczna
AO=CO=>?AOC– równoramienny =>
OK - mediana, wysokość, dwusieczna
CO=DO=>?ChZT– równoramienny =>
ON– mediana, wysokość, dwusieczna AOB=> AOC= COD=
BO=DO=>?BOD – równoramienny => BOD=BOC=AOD
OM– środkowa, wysokość, dwusieczna
AO=DO=>?AOD– równoramienny =>
OS - mediana, wzrost, dwusieczna
BO=CO=>?BOC– równoramienny =>
OP– środkowa, wysokość, dwusieczna
AO=BO=CO=ZROBIĆ
AB=AC=AD=BC=BD=CD

3) OL, OK, ON, OM, OS, OP - wysokości w równych promieniach OL,OK,ON,OM,OS, OP

trójkąty równoramienne sfery

Konsekwencja:

Regularny czworościan zawiera częściowo wpisaną kulę.

Obiekt 7: jeśli czworościan jest regularny, to co dwie przeciwległe krawędzie czworościanu są wzajemnie prostopadłe.

Dany:

DABC to czworościan foremny;

H - ortocentrum

Udowodnić:

Dowód:

DABC - czworościan foremny =>?ADB - równoboczny

(ADB) (EDC) = ED

ED - ADB wysokość => ED +AB,

AB + CE ,=> AB+ (EDC) => AB + CD.

Podobnie dowodzi się prostopadłości pozostałych krawędzi.

Właściwość 8: Sześć płaszczyzn symetrii przecina się w jednym punkcie. Cztery linie proste przecinają się w punkcie O, poprowadzonym przez środki okręgów opisanych w pobliżu ścian prostopadłych do płaszczyzn tych ścian, a punkt O jest środkiem opisanej kuli.

Dany:

ABCD jest czworościanem foremnym

Udowodnić:

O jest środkiem opisywanej kuli;

6 płaszczyzn symetrii przecina się w punkcie O;

Dowód.

CG + BD BCD - równoboczny => GO + BD (z twierdzenia o trzech prostopadłych GO + BD)

BG = GD, ponieważ AG – mediana ABD

ABD (ABD)=> ? BOD - równoramienny => BO=DO

ED + AB, as ABD - równoboczny => OE + AD (z twierdzenia o trzech prostopadłych)

BE = AE, ponieważ DE - mediana?ABD

ABD (ABD) =>?AOB - równoramienny =>BO=AO

(AOB) (ABD) = AB

ON + (ABC) OF + AC (przez trzy

BF + AC, ponieważ ABC - prostopadłe równoboczne)

AF = FC, ponieważ BF - mediana ?ABC

ABC (ABC) => AOC - równoramienne => AO = CO

(AOC) ?(ABC) = AC

BO = AO =>AO = BO = CO = DO to promienie sfer,

AO = CO opisany na czworościanie ABCD

(ABR) (ACG) = AO

(BCT) (ABR) = BO

(ACG) (BCT) = CO

(ADH) (CED) = ZROBIĆ

AB + (ABR)(ABR)(BCT)(ACG)(ADH)(CED) (BDF)

W konsekwencji:

Punkt O jest środkiem opisanej kuli,

6 płaszczyzn symetrii przecina się w punkcie O.

Obiekt 9: Kąt rozwarty między prostopadłymi przechodzącymi przez wierzchołki czworościanu do ortocentrów wynosi 109°28"

Dany:

ABCD to czworościan foremny;

O jest środkiem opisywanej kuli;

Udowodnić:

Dowód:

1)AS - wysokość

ASB = 90 o OSB prostokątny

2) (zgodnie z właściwością czworościanu foremnego)

3)AO=BO - promienie opisanej kuli

4) 70°32"

6) AO=BO=CO=DO =>?AOD=?AOC=?AOD=?ChZT=?BZT=?BOC

(zgodnie z właściwością czworościanu foremnego)

=>AOD=AOC=AOD=ChZT=BZT=BOC=109°28"

To właśnie należało udowodnić.

Ciekawostką jest to, że niektóre substancje organiczne mają właśnie taki kąt: krzemiany i węglowodory.

W wyniku pracy nad właściwościami czworościanu foremnego uczniowie wpadli na pomysł, aby nazwać pracę „Niesamowity punkt w czworościanie”. Pojawiły się propozycje rozważenia właściwości czworościanów prostokątnych i izoedrycznych. Tak więc praca wykraczała poza lekcję.

Wyniki:

„Zaskakujący” punkt czworościanu foremnego ma następujące cechy:

• jest punktem przecięcia trzech osi symetrii
• jest punktem przecięcia się sześciu płaszczyzn symetrii
• jest punktem przecięcia wysokości czworościanu foremnego
• jest środkiem kuli wpisanej
• jest środkiem kuli częściowo wpisanej
• jest środkiem opisanej sfery
• jest środkiem ciężkości czworościanu
• jest wierzchołkiem czterech równych regularnych trójkątnych piramid o podstawach - ścianach czworościanu.

Wniosek.

(Nauczyciel i uczniowie podsumowują lekcję. Jeden z uczniów mówi krótkim raportem na temat czworościanów, jako jednostki strukturalnej pierwiastków chemicznych.)

Badane są właściwości czworościanu foremnego i jego „zaskakujący” punkt.

Stwierdzono, że kształt tylko takiego czworościanu, który posiada wszystkie powyższe właściwości, a także punkt „idealny”, mogą zajmować cząsteczki krzemianów i węglowodorów. Lub cząsteczki mogą składać się z kilku regularnych czworościanów. Obecnie czworościan znany jest nie tylko jako przedstawiciel starożytnej cywilizacji, matematyki, ale także jako podstawa budowy substancji.

Krzemiany to substancje podobne do soli zawierające związki krzemu z tlenem. Ich nazwa pochodzi od łacińskiego słowa „silex” – „krzemień”. Podstawą cząsteczek krzemianu są rodniki atomowe, mające postać czworościanów.

Krzemiany to piasek, glina, cegła, szkło, cement, emalia, talk, azbest, szmaragd i topaz.

Krzemiany stanowią ponad 75% skorupy ziemskiej (a razem z kwarcem około 87%) i ponad 95% skał magmowych.

Ważną cechą krzemianów jest zdolność do wzajemnego łączenia (polimeryzacji) dwóch lub więcej tetraedrów krzemowo-tlenowych poprzez wspólny atom tlenu.

Węglowodory nasycone mają tę samą formę cząsteczek, ale składają się one, w przeciwieństwie do krzemianów, z węgla i wodoru. Ogólny wzór cząsteczek

Węglowodory obejmują gaz ziemny.

Konieczne jest rozważenie właściwości czworościanów prostokątnych i izoedrycznych.

Literatura.

• Potapov V.M., Tatarinchik S.N. „Chemia organiczna”, Moskwa 1976.
• Babarin wiceprezes „Tajemnice wielkich piramid”, Petersburg, 2000
• Sharygin I. F. „Problemy geometrii”, Moskwa, 1984
• Duży słownik encyklopedyczny.
• „Katalog szkolny”, Moskwa, 2001.