Aby poprawnie pomnożyć ułamek przez ułamek lub ułamek przez liczbę, musisz znać proste zasady. Przeanalizujemy teraz szczegółowo te zasady.
Mnożenie ułamka przez ułamek.
Aby pomnożyć ułamek przez ułamek, musisz obliczyć iloczyn liczników i iloczyn mianowników tych ułamków.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)
Rozważ przykład:
Mnożymy licznik pierwszego ułamka przez licznik drugiego ułamka, a także mnożymy mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego ułamka.
\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ razy 3)(7 \razy 3) = \frac(4)(7)\\\)
Ułamek \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\) został zmniejszony o 3.
Mnożenie ułamka przez liczbę.
Zacznijmy od reguły dowolną liczbę można przedstawić jako ułamek \(\bf n = \frac(n)(1)\) .
Użyjmy tej reguły do mnożenia.
\(5 \times \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \times \frac(4)(7) = \frac(5 \times 4)(1 \times 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)
Ułamek niewłaściwy \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) zamienione na ułamek mieszany.
Innymi słowy, Mnożąc liczbę przez ułamek, należy pomnożyć liczbę przez licznik, a mianownik pozostawić bez zmian. Przykład:
\(\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)
Mnożenie ułamków mieszanych.
Aby pomnożyć ułamki mieszane, musisz najpierw przedstawić każdy ułamek mieszany jako ułamek niewłaściwy, a następnie użyć reguły mnożenia. Licznik jest mnożony przez licznik, a mianownik przez mianownik.
Przykład:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \times 6) = \frac(3 \times \color(red) (3) \times 23)(4 \times 2 \times \color(red) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)
Mnożenie ułamków odwrotnych i liczb.
Ułamek \(\bf \frac(a)(b)\) jest odwrotnością ułamka \(\bf \frac(b)(a)\), pod warunkiem, że a≠0,b≠0.
Ułamki \(\bf \frac(a)(b)\) i \(\bf \frac(b)(a)\) nazywane są odwrotnościami. Iloczyn ułamków odwrotnych wynosi 1.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)
Przykład:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)
Powiązane pytania:
Jak pomnożyć ułamek przez ułamek?
Odpowiedź: iloczyn zwykłych ułamków to pomnożenie licznika przez licznik, mianownika przez mianownik. Aby otrzymać iloczyn ułamków mieszanych, należy je zamienić na ułamek niewłaściwy i pomnożyć zgodnie z zasadami.
Jak pomnożyć ułamki o różnych mianownikach?
Odpowiedź: nie ma znaczenia, czy mianowniki ułamków są takie same, czy różne, mnożenie odbywa się zgodnie z zasadą znajdowania iloczynu licznika z licznikiem, mianownika z mianownikiem.
Jak mnożyć ułamki mieszane?
Odpowiedź: przede wszystkim należy zamienić ułamek mieszany na ułamek niewłaściwy, a następnie znaleźć iloczyn zgodnie z zasadami mnożenia.
Jak pomnożyć liczbę przez ułamek?
Odpowiedź: Mnożymy liczbę przez licznik, a mianownik pozostawiamy bez zmian.
Przykład 1:
Oblicz iloczyn: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \ )
Decyzja:
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( czerwony) (5))(3 \times \color(red) (5) \times 13) = \frac(4)(39)\)
Przykład nr 2:
Oblicz iloczyn liczby i ułamka: a) \(3 \times \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \times 11\)
Decyzja:
a) \(3 \times \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \times \frac(17)(23) = \frac(3 \times 17)(1 \times 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
b) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)
Przykład nr 3:
Napisz odwrotność \(\frac(1)(3)\)?
Odpowiedź: \(\frac(3)(1) = 3\)
Przykład 4:
Oblicz iloczyn dwóch ułamków odwrotnych: a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)
Decyzja:
a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104) = 1\)
Przykład 5:
Czy ułamki wzajemnie odwrotne mogą być:
a) oba ułamki właściwe;
b) jednocześnie niewłaściwe ułamki;
c) liczby naturalne w tym samym czasie?
Decyzja:
a) Posłużmy się przykładem, aby odpowiedzieć na pierwsze pytanie. Ułamek \(\frac(2)(3)\) jest właściwy, jego odwrotność będzie równa \(\frac(3)(2)\) - ułamek niewłaściwy. Odpowiedź: nie.
b) w prawie wszystkich wyliczeniach ułamków ten warunek nie jest spełniony, ale są liczby, które jednocześnie spełniają warunek bycia ułamkiem niewłaściwym. Na przykład ułamek niewłaściwy to \(\frac(3)(3)\) , jego odwrotność to \(\frac(3)(3)\). Otrzymujemy dwa ułamki niewłaściwe. Odpowiedź: nie zawsze pod pewnymi warunkami, gdy licznik i mianownik są równe.
c) liczby naturalne to liczby, których używamy podczas liczenia, na przykład 1, 2, 3, .... Jeśli weźmiemy liczbę \(3 = \frac(3)(1)\), to jej odwrotność będzie równać się \(\frac(1)(3)\). Ułamek \(\frac(1)(3)\) nie jest liczbą naturalną. Jeśli przejrzymy wszystkie liczby, odwrotność jest zawsze ułamkiem, z wyjątkiem 1. Jeśli weźmiemy liczbę 1, to jej odwrotność będzie równać się \(\frac(1)(1) = \frac(1)(1) = 1\). Liczba 1 jest liczbą naturalną. Odpowiedź: mogą być jednocześnie liczbami naturalnymi tylko w jednym przypadku, jeśli ta liczba wynosi 1.
Przykład nr 6:
Wykonaj iloczyn ułamków mieszanych: a) \(4 \times 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7)\ )
Decyzja:
a) \(4 \times 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \times \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1 )(pięć)\\\\ \)
b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)
Przykład 7:
Czy dwie liczby odwrotne mogą być jednocześnie liczbami mieszanymi?
Spójrzmy na przykład. Weźmy ułamek mieszany \(1\frac(1)(2)\), znajdź jego odwrotność, w tym celu zamieniamy go na ułamek niewłaściwy \(1\frac(1)(2) = \frac(3)( 2) \) . Jego odwrotność będzie równa \(\frac(2)(3)\) . Ułamek \(\frac(2)(3)\) jest ułamkiem właściwym. Odpowiedź: Dwa wzajemnie odwrotne ułamki nie mogą być jednocześnie liczbami mieszanymi.
Ostatnim razem nauczyliśmy się dodawać i odejmować ułamki (patrz lekcja „Dodawanie i odejmowanie ułamków”). Najtrudniejszym momentem w tych działaniach było sprowadzenie ułamków do wspólnego mianownika.
Teraz pora zająć się mnożeniem i dzieleniem. Dobrą wiadomością jest to, że te operacje są nawet łatwiejsze niż dodawanie i odejmowanie. Na początek rozważmy najprostszy przypadek, gdy istnieją dwa ułamki dodatnie bez wyróżnionej części całkowitej.
Aby pomnożyć dwa ułamki, musisz osobno pomnożyć ich liczniki i mianowniki. Pierwsza liczba będzie licznikiem nowego ułamka, a druga mianownikiem.
Aby podzielić dwa ułamki, musisz pomnożyć pierwszy ułamek przez „odwróconą” drugą.
Przeznaczenie:
Z definicji wynika, że dzielenie ułamków sprowadza się do mnożenia. Aby odwrócić ułamek zwykły, wystarczy zamienić miejscami licznik i mianownik. Dlatego całą lekcję rozważymy głównie mnożenie.
W wyniku mnożenia może powstać ułamek zredukowany (i często powstaje) - oczywiście trzeba go pomniejszyć. Jeżeli po wszystkich redukcjach ułamek okazał się błędny, należy w nim wyróżnić całą część. Ale to, czego dokładnie nie da się zrobić z mnożeniem, to sprowadzenie do wspólnego mianownika: żadnych metod krzyżowych, maksymalnych współczynników i najmniejszych wspólnych wielokrotności.
Z definicji mamy:
Mnożenie ułamków zwykłych z częścią całkowitą i ułamków ujemnych
Jeśli w ułamkach występuje część całkowita, należy je zamienić na niewłaściwe - a dopiero potem pomnożyć zgodnie ze schematami przedstawionymi powyżej.
Jeśli w liczniku ułamka, w mianowniku lub przed nim występuje minus, można go wyjąć z granic mnożenia lub całkowicie usunąć zgodnie z następującymi zasadami:
- Plus razy minus daje minus;
- Dwa przeczenia dają odpowiedź twierdzącą.
Do tej pory zasady te spotykano tylko przy dodawaniu i odejmowaniu ułamków ujemnych, gdy trzeba było pozbyć się całej części. W przypadku produktu można je uogólnić, aby „spalić” kilka minusów jednocześnie:
- Minusy przekreślamy parami, aż całkowicie znikną. W skrajnym przypadku może przetrwać jeden minus - ten, który nie znalazł dopasowania;
- Jeśli nie ma już minusów, operacja jest zakończona - możesz zacząć mnożyć. Jeśli ostatni minus nie zostanie przekreślony, ponieważ nie znalazł pary, usuwamy go z granic mnożenia. Otrzymujesz ułamek ujemny.
Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia:
Tłumaczymy wszystkie ułamki na niewłaściwe, a następnie usuwamy minusy poza granicami mnożenia. To, co pozostaje, mnoży się zgodnie ze zwykłymi zasadami. Otrzymujemy:
Przypomnę raz jeszcze, że minus przed ułamkiem z zaznaczoną częścią całkowitą odnosi się konkretnie do całego ułamka, a nie tylko do jego części całkowitej (dotyczy to dwóch ostatnich przykładów).
Zwróć także uwagę na liczby ujemne: po pomnożeniu są one ujęte w nawiasy. Odbywa się to w celu oddzielenia minusów od znaków mnożenia i zwiększenia dokładności całego zapisu.
Zmniejszanie ułamków w locie
Mnożenie to bardzo pracochłonna operacja. Liczby tutaj są dość duże i aby uprościć zadanie, możesz spróbować jeszcze bardziej zmniejszyć ułamek przed mnożeniem. Rzeczywiście, w istocie liczniki i mianowniki ułamków są zwykłymi czynnikami, a zatem można je zredukować za pomocą podstawowej właściwości ułamka. Spójrz na przykłady:
Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia:
Z definicji mamy:
We wszystkich przykładach numery, które zostały zmniejszone i to, co z nich zostało, zaznaczono na czerwono.
Uwaga: w pierwszym przypadku mnożniki zostały całkowicie zredukowane. Jednostki pozostały na swoim miejscu, które w zasadzie można pominąć. W drugim przykładzie nie udało się osiągnąć całkowitej redukcji, ale łączna ilość obliczeń nadal malała.
Jednak w żadnym wypadku nie używaj tej techniki podczas dodawania i odejmowania ułamków! Tak, czasami są podobne liczby, które chcesz po prostu zmniejszyć. Tutaj, spójrz:
Nie możesz tego zrobić!
Błąd występuje z powodu faktu, że podczas dodawania ułamka suma pojawia się w liczniku ułamka, a nie w iloczynie liczb. Dlatego niemożliwe jest zastosowanie głównej właściwości ułamka, ponieważ ta właściwość dotyczy konkretnie mnożenia liczb.
Po prostu nie ma innego powodu, aby redukować ułamki, więc poprawne rozwiązanie poprzedniego problemu wygląda następująco:
Prawidłowe rozwiązanie:
Jak widać poprawna odpowiedź okazała się nie taka piękna. Ogólnie bądź ostrożny.
Zwykłe liczby ułamkowe po raz pierwszy spotykają uczniów w piątej klasie i towarzyszą im przez całe życie, ponieważ w życiu codziennym często konieczne jest rozważenie lub użycie jakiegoś przedmiotu nie w całości, ale w osobnych częściach. Początek badania tego tematu - udostępnij. Udziały są równymi częściami na jakie obiekt jest podzielony. W końcu nie zawsze da się wyrazić np. długość czy cenę produktu jako liczbę całkowitą, należy wziąć pod uwagę części lub udziały dowolnej miary. Utworzony z czasownika „zmiażdżyć” - podzielić na części i mający arabskie korzenie, w VIII wieku samo słowo „ułamek” pojawiło się w języku rosyjskim.
Wyrażenia ułamkowe od dawna uważane są za najtrudniejszą część matematyki. W XVII wieku, kiedy pojawiły się pierwsze podręczniki do matematyki, nazywano je „liczbami łamanymi”, co było bardzo trudne do zrozumienia dla ludzi.
Nowoczesną formę prostych reszt ułamkowych, których części oddzielone są precyzyjnie poziomą linią, po raz pierwszy propagował Fibonacci – Leonardo z Pizy. Jego pisma datowane są na 1202 rok. Ale celem tego artykułu jest proste i jasne wyjaśnienie czytelnikowi, w jaki sposób zachodzi mnożenie ułamków mieszanych o różnych mianownikach.
Mnożenie ułamków o różnych mianownikach
Na początek konieczne jest ustalenie odmiany ułamków:
- prawidłowy;
- źle;
- mieszany.
Następnie musisz pamiętać, jak mnożone są liczby ułamkowe o tych samych mianownikach. Sama zasada tego procesu jest łatwa do samodzielnego sformułowania: wynikiem mnożenia ułamków prostych o tych samych mianownikach jest wyrażenie ułamkowe, którego licznik jest iloczynem liczników, a mianownik jest iloczynem mianowników tych ułamków . Oznacza to, że w rzeczywistości nowy mianownik jest kwadratem jednego z istniejących początkowo.
Podczas mnożenia proste ułamki o różnych mianownikach dla dwóch lub więcej czynników reguła się nie zmienia:
a/b * c/d = a*c / b*d.
Jedyna różnica polega na tym, że utworzona liczba pod kreską ułamkową będzie iloczynem różnych liczb i oczywiście nie można jej nazwać kwadratem jednego wyrażenia liczbowego.
Warto rozważyć mnożenie ułamków o różnych mianownikach na przykładach:
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
Przykłady wykorzystują sposoby zmniejszania wyrażeń ułamkowych. Możesz zmniejszyć tylko liczby licznika liczbami mianownika; sąsiednie czynniki powyżej lub poniżej kreski ułamkowej nie mogą zostać zmniejszone.
Wraz z prostymi liczbami ułamkowymi istnieje koncepcja ułamków mieszanych. Liczba mieszana składa się z liczby całkowitej i części ułamkowej, czyli jest sumą tych liczb:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
Jak działa mnożenie?
Do rozważenia podano kilka przykładów.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
W przykładzie zastosowano mnożenie liczby przez część ułamkowa zwykła, możesz zapisać regułę dla tej akcji według wzoru:
a * b/c = a*b/c.
W rzeczywistości taki iloczyn jest sumą identycznych reszt ułamkowych, a liczba wyrazów wskazuje na tę liczbę naturalną. Szczególny przypadek:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
Istnieje inna opcja rozwiązania mnożenia liczby przez resztę ułamkową. Wystarczy podzielić mianownik przez tę liczbę:
d* mi/f = mi/f: d.
Przydatne jest użycie tej techniki, gdy mianownik jest podzielony przez liczbę naturalną bez reszty lub, jak mówią, całkowicie.
Zamień liczby mieszane na ułamki niewłaściwe i otrzymaj produkt w opisany wcześniej sposób:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
Ten przykład dotyczy sposobu przedstawienia ułamka mieszanego jako ułamka niewłaściwego, można go również przedstawić jako wzór ogólny:
a bc = a*b+ c / c, gdzie mianownik nowej frakcji jest tworzony przez pomnożenie części całkowitej przez mianownik i dodanie jej do licznika pierwotnej reszty ułamkowej, a mianownik pozostaje taki sam.
Proces ten działa również w odwrotną stronę. Aby wybrać część całkowitą i resztę ułamkową, musisz podzielić licznik niewłaściwego ułamka przez jego mianownik z „rogiem”.
Mnożenie ułamków niewłaściwych produkowane w zwykły sposób. Gdy wpis przechodzi pod pojedynczą kreskę ułamkową, w razie potrzeby należy pomniejszyć ułamki, aby zmniejszyć liczby tą metodą i łatwiej obliczyć wynik.
W Internecie jest wielu asystentów do rozwiązywania nawet skomplikowanych problemów matematycznych w różnych odmianach programu. Wystarczająca liczba takich serwisów oferuje pomoc w obliczaniu mnożenia ułamków zwykłych o różnych liczbach w mianownikach - tak zwane kalkulatory online do obliczania ułamków zwykłych. Potrafią nie tylko mnożyć, ale także wykonywać wszystkie inne proste operacje arytmetyczne na ułamkach zwykłych i liczbach mieszanych. Praca z nim nie jest trudna, odpowiednie pola są wypełnione na stronie witryny, wybrany jest znak działania matematycznego i wciśnięty jest przycisk „oblicz”. Program zlicza automatycznie.
Temat operacji arytmetycznych na liczbach ułamkowych jest istotny w całej edukacji uczniów szkół średnich i starszych. W liceum nie biorą już pod uwagę najprostszych gatunków, ale wyrażenia ułamkowe całkowite, ale zdobyta wcześniej znajomość zasad przekształceń i obliczeń jest stosowana w pierwotnej postaci. Dobrze przyswojona podstawowa wiedza daje pełne zaufanie do pomyślnego rozwiązania najbardziej skomplikowanych zadań.
Podsumowując, warto przytoczyć słowa Lwa Tołstoja, który napisał: „Człowiek jest ułamkiem. Nie jest w mocy człowieka zwiększać swojego licznika - własnych zasług, ale każdy może zmniejszyć swój mianownik - swoją opinię o sobie i przez to zmniejszenie zbliżyć się do swojej doskonałości.
Mnożenie ułamków zwykłych
Rozważ przykład.
Niech na talerzu znajdzie się $\frac(1)(3)$ część jabłka. Musimy znaleźć jego część $\frac(1)(2)$. Wymagana część jest wynikiem mnożenia ułamków $\frac(1)(3)$ i $\frac(1)(2)$. Wynik mnożenia dwóch ułamków zwykłych jest ułamkiem wspólnym.
Mnożenie dwóch ułamków zwykłych
Zasada mnożenia ułamków zwykłych:
Wynikiem pomnożenia ułamka przez ułamek jest ułamek, którego licznik jest równy iloczynowi liczników pomnożonych ułamków, a mianownik jest równy iloczynowi mianowników:
Przykład 1
Pomnóż ułamki zwykłe $\frac(3)(7)$ i $\frac(5)(11)$.
Decyzja.
Skorzystajmy z zasady mnożenia ułamków zwykłych:
\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]
Odpowiadać:$\frac(15)(77)$
Jeżeli w wyniku mnożenia ułamków uzyskuje się ułamek usuwalny lub niewłaściwy, należy go uprościć.
Przykład 2
Pomnóż ułamki zwykłe $\frac(3)(8)$ i $\frac(1)(9)$.
Decyzja.
Korzystamy z reguły mnożenia ułamków zwykłych:
\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]
W rezultacie otrzymaliśmy ułamek redukowalny (na podstawie dzielenia przez 3 $. Dzieląc licznik i mianownik ułamka przez 3 $, otrzymujemy:
\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]
Krótkie rozwiązanie:
\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]
Odpowiadać:$\frac(1)(24).$
Podczas mnożenia ułamków możesz zmniejszyć liczniki i mianowniki, aby znaleźć ich iloczyn. W tym przypadku licznik i mianownik ułamka są rozkładane na proste czynniki, po czym powtarzające się czynniki są redukowane i znajduje się wynik.
Przykład 3
Oblicz iloczyn ułamków $\frac(6)(75)$ i $\frac(15)(24)$.
Decyzja.
Skorzystajmy ze wzoru na pomnożenie ułamków zwykłych:
\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]
Oczywiście licznik i mianownik zawierają liczby, które można pomniejszyć parami o liczby $2$, $3$ i $5$. Rozkładamy licznik i mianownik na proste czynniki i dokonujemy redukcji:
\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]
Odpowiadać:$\frac(1)(20).$
Podczas mnożenia ułamków można zastosować prawo przemienności:
Mnożenie ułamka przez liczbę naturalną
Reguła mnożenia ułamka zwykłego przez liczbę naturalną:
Wynikiem pomnożenia ułamka przez liczbę naturalną jest ułamek, w którym licznik jest równy iloczynowi licznika ułamka pomnożonego przez liczbę naturalną, a mianownik jest równy mianownikowi pomnożonego ułamka:
gdzie $\frac(a)(b)$ jest ułamkiem zwykłym, $n$ jest liczbą naturalną.
Przykład 4
Pomnóż ułamek $\frac(3)(17)$ przez 4$.
Decyzja.
Skorzystajmy z zasady mnożenia ułamka zwykłego przez liczbę naturalną:
\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]
Odpowiadać:$\frac(12)(17).$
Nie zapomnij o sprawdzeniu wyniku mnożenia pod kątem kurczliwości ułamka lub dla ułamka niewłaściwego.
Przykład 5
Pomnóż ułamek $\frac(7)(15)$ przez 3$.
Decyzja.
Skorzystajmy ze wzoru na pomnożenie ułamka przez liczbę naturalną:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]
Stosując kryterium dzielenia przez liczbę $3$) można stwierdzić, że otrzymany ułamek można skrócić:
\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]
Wynikiem jest ułamek niewłaściwy. Weźmy całość:
\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]
Krótkie rozwiązanie:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (pięć)\]
Możliwe było również skrócenie ułamków poprzez zastąpienie liczb w liczniku i mianowniku ich rozwinięciami na czynniki pierwsze. W takim przypadku rozwiązanie można zapisać w następujący sposób:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]
Odpowiadać:$1\frac(2)(5).$
Mnożąc ułamek przez liczbę naturalną, możesz skorzystać z prawa przemienności:
Dzielenie ułamków zwykłych
Operacja dzielenia jest odwrotnością mnożenia, a jej wynikiem jest ułamek, przez który trzeba pomnożyć znany ułamek, aby otrzymać znany iloczyn dwóch ułamków.
Podział dwóch ułamków zwykłych
Zasada dzielenia ułamków zwykłych: Oczywiście licznik i mianownik wynikowego ułamka można rozłożyć na proste czynniki i zredukować:
\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]
W rezultacie otrzymaliśmy ułamek niewłaściwy, z którego wybieramy część całkowitą:
\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]
Odpowiadać:$1\frac(5)(9).$
§ 87. Dodawanie ułamków.
Dodawanie ułamków ma wiele podobieństw do dodawania liczb całkowitych. Dodawanie ułamków to czynność polegająca na tym, że kilka podanych liczb (wyrazów) łączy się w jedną liczbę (sumę), która zawiera wszystkie jednostki i ułamki jednostek wyrazów.
Rozpatrzymy po kolei trzy przypadki:
1. Dodawanie ułamków o tych samych mianownikach.
2. Dodawanie ułamków o różnych mianownikach.
3. Dodawanie liczb mieszanych.
1. Dodawanie ułamków o tych samych mianownikach.
Rozważmy przykład: 1 / 5 + 2 / 5 .
Weź odcinek AB (ryc. 17), weź go jako jednostkę i podziel na 5 równych części, wtedy część AC tego segmentu będzie równa 1/5 odcinka AB, a część tego samego segmentu CD będzie równy 2/5 AB.
Z rysunku widać, że jeśli weźmiemy odcinek AD, to będzie on równy 3/5 AB; ale odcinek AD jest dokładnie sumą odcinków AC i CD. Możemy więc napisać:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
Biorąc pod uwagę te warunki i otrzymaną kwotę, widzimy, że licznik sumy uzyskano przez dodanie liczników warunków, a mianownik pozostał niezmieniony.
Otrzymujemy stąd następującą regułę: Aby dodać ułamki o tych samych mianownikach, musisz dodać ich liczniki i pozostawić ten sam mianownik.
Rozważ przykład:
2. Dodawanie ułamków o różnych mianownikach.
Dodajmy ułamki: 3/4 + 3/8 Najpierw trzeba je sprowadzić do najniższego wspólnego mianownika:
Link pośredni 6/8 + 3/8 nie mógł zostać napisany; napisaliśmy to tutaj dla większej przejrzystości.
Tak więc, aby dodać ułamki o różnych mianownikach, należy najpierw doprowadzić je do najniższego wspólnego mianownika, dodać ich liczniki i podpisać wspólny mianownik.
Rozważmy przykład (na odpowiednich ułamkach napiszemy dodatkowe czynniki):
3. Dodawanie liczb mieszanych.
Dodajmy liczby: 2 3 / 8 + 3 5 / 6.
Najpierw sprowadźmy części ułamkowe naszych liczb do wspólnego mianownika i przepiszmy je ponownie:
Teraz dodaj kolejno części całkowite i ułamkowe:
§ 88. Odejmowanie ułamków zwykłych.
Odejmowanie ułamków jest definiowane w taki sam sposób jak odejmowanie liczb całkowitych. Jest to działanie, dzięki któremu, biorąc pod uwagę sumę dwóch wyrazów i jednego z nich, znajduje się inny wyraz. Rozpatrzmy po kolei trzy przypadki:
1. Odejmowanie ułamków o tych samych mianownikach.
2. Odejmowanie ułamków o różnych mianownikach.
3. Odejmowanie liczb mieszanych.
1. Odejmowanie ułamków o tych samych mianownikach.
Rozważ przykład:
13 / 15 - 4 / 15
Weźmy odcinek AB (ryc. 18), weźmy go jako jednostkę i podzielmy na 15 równych części; wtedy część AC tego odcinka będzie wynosić 1/15 AB, a część AD tego samego odcinka będzie odpowiadać 13/15 AB. Odłóżmy na bok kolejny odcinek ED, równy 4/15 AB.
Musimy odjąć 4/15 od 13/15. Na rysunku oznacza to, że odcinek ED należy odjąć od odcinka AD. W rezultacie pozostanie odcinek AE, który stanowi 9/15 segmentu AB. Możemy więc napisać:
Z wykonanego przez nas przykładu wynika, że licznik różnicy uzyskano przez odjęcie liczników, a mianownik pozostał ten sam.
Dlatego, aby odjąć ułamki o tych samych mianownikach, musisz odjąć licznik odejmowanej części od licznika odjętego i pozostawić ten sam mianownik.
2. Odejmowanie ułamków o różnych mianownikach.
Przykład. 3/4 - 5/8
Najpierw sprowadźmy te ułamki do najmniejszego wspólnego mianownika:
Link pośredni 6 / 8 - 5 / 8 jest tutaj zapisany dla jasności, ale można go pominąć w przyszłości.
Tak więc, aby odjąć ułamek od ułamka, należy najpierw doprowadzić je do najmniejszego wspólnego mianownika, następnie odjąć licznik odejmowania od licznika odliczenia i podpisać wspólny mianownik pod ich różnicą.
Rozważ przykład:
3. Odejmowanie liczb mieszanych.
Przykład. 10 3 / 4 - 7 2 / 3 .
Sprowadźmy części ułamkowe miniuendy i odejmowanej części do najniższego wspólnego mianownika:
Od całości odjęliśmy całość, a od ułamka ułamek. Ale zdarzają się przypadki, gdy ułamkowa część odejmowania jest większa niż ułamkowa część odejmowania. W takich przypadkach musisz wziąć jedną jednostkę z całkowitej części zredukowanej, podzielić ją na te części, w których wyrażona jest część ułamkowa, i dodać do części ułamkowej zredukowanej. Następnie odejmowanie zostanie wykonane w taki sam sposób, jak w poprzednim przykładzie:
§ 89. Mnożenie ułamków zwykłych.
Studiując mnożenie ułamków, rozważymy następujące pytania:
1. Mnożenie ułamka przez liczbę całkowitą.
2. Znalezienie ułamka podanej liczby.
3. Mnożenie liczby całkowitej przez ułamek.
4. Mnożenie ułamka przez ułamek.
5. Mnożenie liczb mieszanych.
6. Pojęcie interesu.
7. Znajdowanie procentów podanej liczby. Rozważmy je po kolei.
1. Mnożenie ułamka przez liczbę całkowitą.
Mnożenie ułamka przez liczbę całkowitą ma takie samo znaczenie jak mnożenie liczby całkowitej przez liczbę całkowitą. Mnożenie ułamka (mnożnika) przez liczbę całkowitą (mnożnik) oznacza złożenie sumy identycznych wyrazów, w których każdy wyraz jest równy mnożnikowi, a liczba wyrazów jest równa mnożnikowi.
Tak więc, jeśli chcesz pomnożyć 1/9 przez 7, możesz to zrobić w następujący sposób:
Wynik uzyskaliśmy z łatwością, ponieważ czynność została zredukowana do dodawania ułamków o tych samych mianownikach. W konsekwencji,
Rozważenie tego działania pokazuje, że pomnożenie ułamka przez liczbę całkowitą jest równoważne zwiększeniu tego ułamka tyle razy, ile jest jednostek w liczbie całkowitej. A ponieważ wzrost ułamka osiąga się albo przez zwiększenie jego licznika
lub zmniejszając jego mianownik 
, to możemy albo pomnożyć licznik przez liczbę całkowitą, albo podzielić przez nią mianownik, jeśli taki podział jest możliwy.
Stąd otrzymujemy regułę:
Aby pomnożyć ułamek przez liczbę całkowitą, musisz pomnożyć licznik przez tę liczbę całkowitą i pozostawić mianownik bez zmian lub, jeśli to możliwe, podzielić mianownik przez tę liczbę, pozostawiając licznik bez zmian.
Podczas mnożenia możliwe są skróty, na przykład:
2. Znalezienie ułamka podanej liczby. Istnieje wiele problemów, w których musisz znaleźć lub obliczyć część danej liczby. Różnica między tymi zadaniami a innymi polega na tym, że podają liczbę niektórych obiektów lub jednostki miary i musisz znaleźć część tej liczby, która jest tutaj również wskazana przez określony ułamek. Aby ułatwić zrozumienie, najpierw podamy przykłady takich problemów, a następnie przedstawimy metodę ich rozwiązania.
Zadanie 1. Miałem 60 rubli; 1/3 tych pieniędzy wydałam na zakup książek. Ile kosztowały książki?
Zadanie 2. Pociąg musi pokonać odległość między miastami A i B, równą 300 km. Pokonał już 2/3 tego dystansu. Ile to jest kilometrów?
Zadanie 3. We wsi jest 400 domów, z czego 3/4 to murowane, reszta to drewniane. Ile jest domów murowanych?
Oto niektóre z wielu problemów, z którymi musimy się uporać, aby znaleźć ułamek danej liczby. Nazywa się je zwykle problemami ze znalezieniem ułamka danej liczby.
Rozwiązanie problemu 1. Od 60 rubli. 1/3 wydałam na książki; Aby więc znaleźć koszt książek, musisz podzielić liczbę 60 przez 3:
Rozwiązanie zadania 2. Znaczenie problemu polega na tym, że musisz znaleźć 2/3 z 300 km. Oblicz pierwszą 1/3 z 300; osiąga się to dzieląc 300 km przez 3:
300: 3 = 100 (czyli 1/3 z 300).
Aby znaleźć dwie trzecie z 300, musisz podwoić wynikowy iloraz, czyli pomnożyć przez 2:
100 x 2 = 200 (czyli 2/3 z 300).
Rozwiązanie problemu 3. Tutaj musisz określić liczbę domów murowanych, które wynoszą 3/4 z 400. Najpierw znajdźmy 1/4 z 400,
400: 4 = 100 (czyli 1/4 z 400).
Aby obliczyć trzy czwarte z 400, wynikowy iloraz należy potroić, to znaczy pomnożyć przez 3:
100 x 3 = 300 (czyli 3/4 z 400).
Na podstawie rozwiązania tych problemów możemy wyprowadzić następującą regułę:
Aby znaleźć wartość ułamka danej liczby, należy podzielić tę liczbę przez mianownik ułamka i pomnożyć otrzymany iloraz przez jego licznik.
3. Mnożenie liczby całkowitej przez ułamek.
Wcześniej (§ 26) ustalono, że mnożenie liczb całkowitych należy rozumieć jako dodawanie identycznych wyrazów (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20). W tym akapicie (ust. 1) ustalono, że pomnożenie ułamka przez liczbę całkowitą oznacza znalezienie sumy identycznych wyrazów równej temu ułamkowi.
W obu przypadkach mnożenie polegało na znalezieniu sumy identycznych wyrazów.
Teraz przechodzimy do mnożenia liczby całkowitej przez ułamek. Tutaj spotkamy się np. z mnożeniem: 9 2/3. Jest całkiem oczywiste, że poprzednia definicja mnożenia nie ma zastosowania w tym przypadku. Wynika to jasno z faktu, że takiego mnożenia nie możemy zastąpić dodawaniem równych liczb.
Z tego powodu będziemy musieli podać nową definicję mnożenia, czyli innymi słowy odpowiedzieć na pytanie, co należy rozumieć przez mnożenie przez ułamek, jak należy rozumieć to działanie.
Znaczenie mnożenia liczby całkowitej przez ułamek wynika z następującej definicji: pomnożyć liczbę całkowitą (mnożnik) przez ułamek (mnożnik) oznacza znaleźć ten ułamek mnożnika.
Mianowicie pomnożenie 9 przez 2/3 oznacza znalezienie 2/3 z dziewięciu jednostek. W poprzednim akapicie takie problemy zostały rozwiązane; więc łatwo się domyślić, że otrzymamy 6.
Ale teraz pojawia się interesujące i ważne pytanie: dlaczego tak pozornie różne działania, jak znalezienie sumy równych liczb i znalezienie ułamka liczby, nazywane są tym samym słowem „mnożenie” w arytmetyce?
Dzieje się tak, ponieważ poprzednia czynność (kilkakrotne powtórzenie liczby z wyrazami) i nowa czynność (znalezienie ułamka liczby) dają odpowiedź na jednorodne pytania. Oznacza to, że wychodzimy tutaj z rozważań, że jednorodne pytania lub zadania rozwiązuje się za pomocą jednego i tego samego działania.
Aby to zrozumieć, rozważmy następujący problem: „1 m tkaniny kosztuje 50 rubli. Ile kosztują 4 metry takiej tkaniny?
Ten problem rozwiązuje się, mnożąc liczbę rubli (50) przez liczbę metrów (4), tj. 50 x 4 = 200 (rubli).
Weźmy ten sam problem, ale w nim ilość tkaniny zostanie wyrażona jako liczba ułamkowa: „1 m tkaniny kosztuje 50 rubli. Ile będzie kosztować 3/4 m takiego materiału?
Ten problem należy również rozwiązać, mnożąc liczbę rubli (50) przez liczbę metrów (3/4).
Możesz też kilka razy zmienić w nim liczby bez zmiany znaczenia problemu, na przykład wziąć 9/10 m lub 2 3/10 m itp.
Ponieważ problemy te mają tę samą treść i różnią się tylko liczbami, działania stosowane w ich rozwiązaniu nazywamy tym samym słowem - mnożeniem.
Jak mnoży się liczbę całkowitą przez ułamek?
Weźmy liczby napotkane w ostatnim zadaniu:
Zgodnie z definicją musimy znaleźć 3/4 z 50. Najpierw znajdujemy 1/4 z 50, a następnie 3/4.
1/4 z 50 to 50/4;
3/4 z 50 to .
W konsekwencji.
Rozważmy inny przykład: 12 5 / 8 = ?
1/8 z 12 to 12/8,
5/8 liczby 12 to .
W konsekwencji,
Stąd otrzymujemy regułę:
Aby pomnożyć liczbę całkowitą przez ułamek, musisz pomnożyć liczbę całkowitą przez licznik ułamka i uczynić ten iloczyn licznikiem, a mianownik danego ułamka podpisać jako mianownik.
Piszemy tę regułę za pomocą liter:
Aby ta zasada była całkowicie jasna, należy pamiętać, że ułamek można traktować jako iloraz. Dlatego warto porównać znalezioną regułę z regułą mnożenia liczby przez iloraz, o której mowa w § 38
Należy pamiętać, że przed wykonaniem mnożenia należy zrobić (jeśli to możliwe) cięcia, na przykład:
4. Mnożenie ułamka przez ułamek. Mnożenie ułamka przez ułamek ma takie samo znaczenie jak mnożenie liczby całkowitej przez ułamek, to znaczy mnożąc ułamek przez ułamek, musisz znaleźć ułamek w mnożniku z pierwszego ułamka (mnożnik).
Mianowicie pomnożenie 3/4 przez 1/2 (pół) oznacza znalezienie połowy z 3/4.
Jak pomnożyć ułamek przez ułamek?
Weźmy przykład: 3/4 razy 5/7. Oznacza to, że musisz znaleźć 5 / 7 z 3 / 4 . Znajdź najpierw 1/7 z 3/4, a następnie 5/7
1/7 z 3/4 byłoby wyrażone w ten sposób:
5/7 cyfry 3/4 wyrażą się następująco:
Zatem,
Inny przykład: 5/8 razy 4/9.
1/9 z 5/8 to ,
4/9 numery 5/8 są .
Zatem, 
Z tych przykładów można wywnioskować następującą regułę:
Aby pomnożyć ułamek przez ułamek, musisz pomnożyć licznik przez licznik, a mianownik przez mianownik i uczynić pierwszy iloczyn licznikiem, a drugi iloczyn mianownikiem iloczynu.
Regułę tę można ogólnie zapisać w następujący sposób:
Podczas mnożenia konieczne jest dokonanie (jeśli to możliwe) redukcji. Rozważ przykłady:
5. Mnożenie liczb mieszanych. Ponieważ liczby mieszane można łatwo zastąpić ułamkami niewłaściwymi, okoliczność ta jest zwykle stosowana przy mnożeniu liczb mieszanych. Oznacza to, że w przypadkach, gdy mnożnik, mnożnik lub oba czynniki są wyrażone jako liczby mieszane, wówczas są one zastępowane ułamkami niewłaściwymi. Pomnóż na przykład liczby mieszane: 2 1/2 i 3 1/5. Każdy z nich zamieniamy na ułamek niewłaściwy, a następnie otrzymane ułamki będziemy mnożyć zgodnie z zasadą mnożenia ułamka przez ułamek:
Reguła. Aby pomnożyć liczby mieszane, należy je najpierw zamienić na ułamki niewłaściwe, a następnie pomnożyć zgodnie z zasadą mnożenia ułamka przez ułamek.
Uwaga. Jeżeli jeden z czynników jest liczbą całkowitą, to mnożenie można przeprowadzić na podstawie prawa dystrybucji w następujący sposób:
6. Pojęcie interesu. Rozwiązując problemy i wykonując różne praktyczne obliczenia, używamy wszelkiego rodzaju ułamków. Trzeba jednak pamiętać, że wiele wielkości dopuszcza nie jakiekolwiek, ale naturalne podpodziały. Na przykład możesz wziąć jedną setną (1/100) rubla, będzie to grosz, dwie setne to 2 kopiejki, trzy setne to 3 kopiejki. Możesz wziąć 1/10 rubla, będzie to „10 kopiejek lub dziesięciocentówka. Możesz wziąć ćwierć rubla, tj. 25 kopiejek, pół rubla, tj. 50 kopiejek (pięćdziesiąt kopiejek). Ale oni praktycznie nie Weźmy na przykład 2/7 rubla, ponieważ rubel nie dzieli się na części siódme.
Jednostka miary wagi, czyli kilogram, pozwala przede wszystkim na podziały dziesiętne, np. 1/10 kg, czy 100 g. Oraz takie ułamki kilograma jak 1/6, 1/11, 1/ 13 to rzadkość.
Ogólnie rzecz biorąc, nasze (metryczne) miary są dziesiętne i pozwalają na podziały dziesiętne.
Należy jednak zauważyć, że niezwykle przydatne i wygodne w wielu różnych przypadkach jest stosowanie tej samej (jednolitej) metody podziału wielkości. Wieloletnie doświadczenie pokazało, że takim dobrze uzasadnionym podziałem jest podział „setkowy”. Rozważmy kilka przykładów związanych z najróżniejszymi obszarami ludzkiej praktyki.
1. Cena książek spadła o 12/100 poprzedniej ceny.
Przykład. Poprzednia cena książki to 10 rubli. Spadła o 1 rubel. 20 kop.
2. Kasy oszczędnościowe wypłacają w ciągu roku deponentom 2/100 kwoty włożonej na oszczędności.
Przykład. Do kasy wkłada się 500 rubli, dochód z tej kwoty za rok wynosi 10 rubli.
3. Liczba absolwentów jednej szkoły wynosiła 5/100 ogółu uczniów.
PRZYKŁAD W szkole uczyło się zaledwie 1200 uczniów, z czego 60 ukończyło szkołę.
Setna część liczby nazywa się procentem..
Słowo „procent” zostało zapożyczone z języka łacińskiego, a jego rdzeń „cent” oznacza sto. Wraz z przyimkiem (pro centum) słowo to oznacza „za sto”. Znaczenie tego wyrażenia wynika z faktu, że początkowo w starożytnym Rzymie oprocentowaniem były pieniądze, które dłużnik płacił pożyczkodawcy „za każdą setkę”. Słowo „cent” słychać w tak znanych słowach: centner (sto kilogramów), centymetr (mówią centymetr).
Na przykład, zamiast mówić, że fabryka wyprodukowała 1/100 wszystkich produktów wyprodukowanych przez nią w ciągu ostatniego miesiąca, powiemy tak: fabryka wyprodukowała jeden procent odrzutów w ciągu ostatniego miesiąca. Zamiast mówić: zakład wyprodukował o 4/100 więcej wyrobów niż zakładał plan, powiemy: zakład przekroczył plan o 4 proc.
Powyższe przykłady można wyrazić inaczej:
1. Cena książek spadła o 12 procent w stosunku do poprzedniej ceny.
2. Kasy oszczędnościowe wypłacają deponentom 2 procent rocznie od kwoty zgromadzonych oszczędności.
3. Liczba absolwentów jednej szkoły wynosiła 5 procent liczby wszystkich uczniów w szkole.
Aby skrócić literę, zwykle pisze się znak% zamiast słowa „procent”.
Należy jednak pamiętać, że znak % zwykle nie jest zapisywany w obliczeniach, można go zapisać w opisie zadania iw wyniku końcowym. Podczas wykonywania obliczeń należy zapisać ułamek o mianowniku 100 zamiast liczby całkowitej z tą ikoną.
Musisz umieć zamienić liczbę całkowitą z określoną ikoną na ułamek o mianowniku 100:
I odwrotnie, musisz przyzwyczaić się do pisania liczby całkowitej ze wskazaną ikoną zamiast ułamka o mianowniku 100:
7. Znajdowanie procentów podanej liczby.
Zadanie 1. Szkoła otrzymała 200 metrów sześciennych. m drewna opałowego, z czego drewno brzozowe stanowi 30%. Ile było drewna brzozowego?
Sens tego problemu polega na tym, że brzozowe drewno opałowe stanowiło tylko część drewna opałowego dostarczonego do szkoły i ta część jest wyrażona jako ułamek 30/100. Mamy więc do czynienia z zadaniem znalezienia ułamka liczby. Aby go rozwiązać, musimy pomnożyć 200 przez 30/100 (zadania polegające na znalezieniu ułamka liczby rozwiązuje się, mnożąc liczbę przez ułamek.).
Więc 30% z 200 równa się 60.
Występujący w tym problemie ułamek 30/100 można pomniejszyć o 10. Redukcję tę można by przeprowadzić od samego początku; rozwiązanie problemu nie uległoby zmianie.
Zadanie 2. W obozie przebywało 300 dzieci w różnym wieku. Dzieci w wieku 11 lat stanowiły 21%, dzieci w wieku 12 lat – 61%, a wreszcie 13-latków – 18%. Ile dzieci w każdym wieku było w obozie?
W tym zadaniu należy wykonać trzy obliczenia, czyli kolejno znaleźć liczbę dzieci w wieku 11 lat, następnie 12 lat, a na końcu 13 lat.
Tak więc tutaj konieczne będzie trzykrotne znalezienie ułamka liczby. Zróbmy to:
1) Ile dzieci miało 11 lat?
2) Ile dzieci miało 12 lat?
3) Ile dzieci miało 13 lat?
Po rozwiązaniu problemu warto dodać znalezione liczby; ich suma powinna wynosić 300:
63 + 183 + 54 = 300
Należy również zwrócić uwagę na to, że suma procentów podanych w warunku problemu wynosi 100:
21% + 61% + 18% = 100%
Sugeruje to, że ogólną liczbę dzieci w obozie przyjęto jako 100%.
3 da cha 3. Robotnik otrzymywał 1200 rubli miesięcznie. Z tego 65% wydał na jedzenie, 6% na mieszkanie i ogrzewanie, 4% na gaz, prąd i radio, 10% na potrzeby kulturalne, a 15% zaoszczędził. Ile pieniędzy wydano na potrzeby wskazane w zadaniu?
Aby rozwiązać ten problem, musisz 5 razy znaleźć ułamek liczby 1200. Zróbmy to.
1) Ile pieniędzy wydaje się na jedzenie? Zadanie mówi, że wydatek ten to 65% wszystkich zarobków, czyli 65/100 z liczby 1200. Zróbmy obliczenia:
2) Ile zapłacono za mieszkanie z ogrzewaniem? Argumentując podobnie jak poprzednio, dochodzimy do następującego obliczenia:
3) Ile zapłaciłeś za gaz, prąd i radio?
4) Ile pieniędzy wydaje się na potrzeby kulturalne?
5) Ile pieniędzy zaoszczędził pracownik?
W celu weryfikacji warto dodać liczby znalezione w tych 5 pytaniach. Kwota powinna wynosić 1200 rubli. Wszystkie zarobki są traktowane jako 100%, co łatwo sprawdzić, sumując wartości procentowe podane w opisie problemu.
Rozwiązaliśmy trzy problemy. Pomimo tego, że zadania te dotyczyły różnych rzeczy (dostawa drewna opałowego do szkoły, liczba dzieci w różnym wieku, wydatki pracownika), rozwiązywano je w ten sam sposób. Stało się tak, ponieważ we wszystkich zadaniach trzeba było znaleźć kilka procent podanych liczb.
§ 90. Dzielenie ułamków.
Studiując podział ułamków, rozważymy następujące pytania:
1. Podziel liczbę całkowitą przez liczbę całkowitą.
2. Dzielenie ułamka przez liczbę całkowitą
3. Dzielenie liczby całkowitej przez ułamek.
4. Dzielenie ułamka przez ułamek.
5. Dzielenie liczb mieszanych.
6. Znalezienie liczby na podstawie jej ułamka.
7. Znalezienie liczby według jej procentu.
Rozważmy je po kolei.
1. Podziel liczbę całkowitą przez liczbę całkowitą.
Jak wskazano w części dotyczącej liczb całkowitych, dzielenie jest działaniem polegającym na tym, że biorąc pod uwagę iloczyn dwóch czynników (dzielna) i jednego z tych czynników (dzielnik), znajduje się inny czynnik.
Dzielenie liczby całkowitej przez liczbę całkowitą rozważaliśmy w dziale liczb całkowitych. Spotkaliśmy tam dwa przypadki dzielenia: dzielenie bez reszty, czyli „całkowicie” (150: 10 = 15), oraz dzielenie z resztą (100: 9 = 11 i 1 w reszcie). Można zatem powiedzieć, że w dziedzinie liczb całkowitych dokładny podział nie zawsze jest możliwy, ponieważ dzielna nie zawsze jest iloczynem dzielnika i liczby całkowitej. Po wprowadzeniu mnożenia przez ułamek możemy uznać za możliwy dowolny przypadek dzielenia liczb całkowitych (wykluczone jest tylko dzielenie przez zero).
Na przykład dzielenie 7 przez 12 oznacza znalezienie liczby, której iloczyn razy 12 wyniósłby 7. Ta liczba jest ułamkiem 7/12, ponieważ 7/12 12 = 7. Inny przykład: 14: 25 = 14/25, ponieważ 14/25 25 = 14.
Tak więc, aby podzielić liczbę całkowitą przez liczbę całkowitą, musisz utworzyć ułamek, którego licznik jest równy dywidendzie, a mianownik jest dzielnikiem.
2. Dzielenie ułamka przez liczbę całkowitą.
Podziel ułamek 6/7 przez 3. Zgodnie z podaną powyżej definicją podziału mamy tutaj iloczyn (6/7) i jeden z dzielników (3); należy znaleźć taki drugi czynnik, który po pomnożeniu przez 3 dałby danemu produktowi 6/7. Oczywiście powinien być trzy razy mniejszy niż ten produkt. Oznacza to, że postawione przed nami zadanie polegało na 3-krotnym zmniejszeniu ułamka 6/7.
Wiemy już, że skrócenie ułamka można wykonać albo zmniejszając jego licznik, albo zwiększając jego mianownik. Dlatego możesz napisać:
W tym przypadku licznik 6 jest podzielny przez 3, więc licznik należy zmniejszyć 3 razy.
Weźmy inny przykład: 5 / 8 podzielone przez 2. Tutaj licznik 5 nie jest podzielny przez 2, co oznacza, że mianownik będzie musiał zostać pomnożony przez tę liczbę:
Na tej podstawie możemy sformułować regułę: Aby podzielić ułamek przez liczbę całkowitą, musisz podzielić licznik ułamka przez tę liczbę całkowitą(Jeśli to możliwe), pozostawiając ten sam mianownik lub pomnóż mianownik ułamka przez tę liczbę, pozostawiając ten sam licznik.
3. Dzielenie liczby całkowitej przez ułamek.
Niech trzeba będzie podzielić 5 przez 1/2, czyli znaleźć liczbę, która po pomnożeniu przez 1/2 da iloczyn 5. Oczywiście liczba ta musi być większa od 5, bo 1/2 to ułamek właściwy, a przy mnożeniu liczby przez ułamek właściwy iloczyn musi być mniejszy niż mnożna. Dla jasności napiszmy nasze działania w następujący sposób: 5: 1 / 2 = X , więc x 1/2 \u003d 5.
Musimy znaleźć taką liczbę X , co pomnożone przez 1/2 dałoby 5. Ponieważ pomnożenie pewnej liczby przez 1/2 oznacza znalezienie 1/2 tej liczby, to zatem 1/2 nieznanej liczby X to 5 i liczba całkowita X dwa razy więcej, tj. 5 2 \u003d 10.
Więc 5: 1/2 = 5 2 = 10
Sprawdźmy: 
Rozważmy jeszcze jeden przykład. Niech będzie wymagane dzielenie 6 przez 2 / 3 . Spróbujmy najpierw znaleźć pożądany wynik za pomocą rysunku (ryc. 19).
Ryc.19
Narysuj odcinek AB równy 6 pewnym jednostkom i podziel każdą jednostkę na 3 równe części. W każdej jednostce trzy trzecie (3/3) w całym segmencie AB jest 6 razy większe, tj. e. 18/3. Łączymy za pomocą małych nawiasów 18 uzyskanych segmentów po 2; Będzie tylko 9 segmentów. Oznacza to, że ułamek 2/3 jest zawarty w jednostkach b 9 razy, czyli innymi słowy ułamek 2/3 jest 9 razy mniejszy niż 6 jednostek całkowitych. W konsekwencji,
Jak uzyskać ten wynik bez rysunku za pomocą samych obliczeń? Będziemy argumentować w następujący sposób: wymagane jest podzielenie 6 przez 2/3, tj. Należy odpowiedzieć na pytanie, ile razy 2/3 zawiera się w 6. Dowiedzmy się najpierw: ile razy jest 1/3 zawarte w 6? W całej jednostce - 3 trzecie, aw 6 jednostkach - 6 razy więcej, tj. 18 trzecich; aby znaleźć tę liczbę, musimy pomnożyć 6 przez 3. Stąd 1/3 mieści się w jednostkach b 18 razy, a 2/3 mieści się w jednostkach b nie 18 razy, ale o połowę mniej, czyli 18: 2 = 9 Dlatego dzieląc 6 przez 2 / 3 zrobiliśmy co następuje:
Stąd otrzymujemy regułę dzielenia liczby całkowitej przez ułamek. Aby podzielić liczbę całkowitą przez ułamek, należy tę liczbę całkowitą pomnożyć przez mianownik danego ułamka i czyniąc ten iloczyn licznikiem podzielić przez licznik danego ułamka.
Piszemy regułę za pomocą liter:
Aby ta zasada była całkowicie jasna, należy pamiętać, że ułamek można traktować jako iloraz. Dlatego warto porównać znalezioną regułę z regułą dzielenia liczby przez iloraz, o której mowa w § 38. Zauważ, że uzyskano tam ten sam wzór.
Podczas dzielenia możliwe są skróty, na przykład:
4. Dzielenie ułamka przez ułamek.
Niech będzie wymagane podzielenie 3/4 przez 3/8. Co będzie oznaczać liczbę, która zostanie uzyskana w wyniku dzielenia? Odpowie na pytanie, ile razy ułamek 3/8 zawiera się w ułamku 3/4. Aby zrozumieć ten problem, zróbmy rysunek (ryc. 20).
Weź odcinek AB, weź go jako całość, podziel go na 4 równe części i zaznacz 3 takie części. Odcinek AC będzie równy 3/4 odcinka AB. Podzielmy teraz każdy z czterech początkowych odcinków na pół, wtedy odcinek AB zostanie podzielony na 8 równych części, a każda taka część będzie równa 1/8 odcinka AB. Łączymy 3 takie odcinki łukami, wtedy każdy z odcinków AD i DC będzie równy 3/8 odcinka AB. Rysunek pokazuje, że odcinek równy 3/8 zawiera się w odcinku równym 3/4 dokładnie 2 razy; Zatem wynik dzielenia można zapisać w następujący sposób:
3 / 4: 3 / 8 = 2
Rozważmy jeszcze jeden przykład. Niech będzie wymagane podzielenie 15/16 przez 3/32:
Możemy rozumować w ten sposób: musimy znaleźć liczbę, która po pomnożeniu przez 3/32 da iloczyn równy 15/16. Zapiszmy obliczenia w ten sposób:
15 / 16: 3 / 32 = X
3 / 32 X = 15 / 16
3/32 nieznany numer X makijaż 15/16
1/32 nieznany numer X jest ,
32/32 numery X makijaż .
W konsekwencji,
Zatem, aby podzielić ułamek przez ułamek, należy pomnożyć licznik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego, pomnożyć mianownik pierwszego ułamka przez licznik drugiego i zrobić pierwszy iloczyn licznikiem, a drugi mianownik.
Napiszmy regułę za pomocą liter:
Podczas dzielenia możliwe są skróty, na przykład:
5. Dzielenie liczb mieszanych.
Podczas dzielenia liczb mieszanych należy je najpierw zamienić na ułamki niewłaściwe, a następnie powstałe ułamki podzielić zgodnie z zasadami dzielenia liczb ułamkowych. Rozważ przykład:
Zamień liczby mieszane na ułamki niewłaściwe:
Teraz podzielmy się:
Zatem aby podzielić liczby mieszane, należy je zamienić na ułamki niewłaściwe, a następnie podzielić zgodnie z regułą dzielenia ułamków zwykłych.
6. Znalezienie liczby na podstawie jej ułamka.
Wśród różnych zadań na ułamkach zdarzają się czasem takie, w których podawana jest wartość jakiegoś ułamka nieznanej liczby i wymagane jest znalezienie tej liczby. Ten typ problemu będzie odwrotny do problemu znalezienia ułamka danej liczby; tam podano liczbę i należało znaleźć jakiś ułamek tej liczby, tutaj podano ułamek liczby i trzeba było znaleźć samą tę liczbę. Ta idea stanie się jeszcze jaśniejsza, jeśli przejdziemy do rozwiązania tego typu problemu.
Zadanie 1. Pierwszego dnia szklarze oszkleli 50 okien, co stanowi 1/3 wszystkich okien budowanego domu. Ile okien jest w tym domu?
Decyzja. Problem mówi, że 50 przeszklonych okien to 1/3 wszystkich okien w domu, co oznacza, że w sumie okien jest 3 razy więcej, tj.
Dom miał 150 okien.
Zadanie 2. W sklepie sprzedano 1500 kg mąki, co stanowi 3/8 całkowitego zapasu mąki w sklepie. Jaka była początkowa dostawa mąki do sklepu?
Decyzja. Ze stanu problemu wynika, że sprzedane 1500 kg mąki stanowi 3/8 całego zapasu; oznacza to, że 1/8 tego zapasu będzie 3 razy mniejsza, tj. aby to obliczyć, musisz zmniejszyć 1500 o 3 razy:
1500: 3 = 500 (to 1/8 akcji).
Oczywiście cały zapas będzie 8 razy większy. W konsekwencji,
500 8 \u003d 4000 (kg).
Początkowy zapas mąki w sklepie wynosił 4000 kg.
Z rozważań nad tym problemem można wywnioskować następującą regułę.
Aby znaleźć liczbę przez daną wartość jej ułamka, wystarczy podzielić tę wartość przez licznik ułamka i pomnożyć wynik przez mianownik ułamka.
Rozwiązaliśmy dwa zadania polegające na znalezieniu liczby z podaniem jej ułamka. Problemy takie, jak widać szczególnie dobrze z ostatniego, rozwiązuje się za pomocą dwóch działań: dzielenia (po znalezieniu jednej części) i mnożenia (po znalezieniu całej liczby).
Jednak po przestudiowaniu dzielenia ułamków, powyższe problemy można rozwiązać za pomocą jednej czynności, a mianowicie: dzielenia przez ułamek.
Na przykład ostatnie zadanie można rozwiązać w jednej akcji w następujący sposób:
W przyszłości rozwiążemy problem znalezienia liczby przez jej ułamek w jednej akcji - dzieleniu.
7. Znalezienie liczby według jej procentu.
W tych zadaniach będziesz musiał znaleźć liczbę, znając kilka procent tej liczby.
Zadanie 1. Na początku tego roku otrzymałem z kasy oszczędnościowej 60 rubli. dochód z kwoty, którą rok temu odłożyłem na oszczędności. Ile pieniędzy włożyłem do kasy oszczędnościowej? (Kasy dają deponentom 2% dochodu rocznie.)
Znaczenie problemu polega na tym, że pewna suma pieniędzy została przeze mnie włożona do kasy oszczędnościowej i leżała tam przez rok. Po roku otrzymałem od niej 60 rubli. dochód, który stanowi 2/100 wpłaconych przeze mnie pieniędzy. Ile pieniędzy wpłaciłem?
Dlatego znając część tych pieniędzy, wyrażoną na dwa sposoby (w rublach i ułamkach), musimy znaleźć całą, nieznaną jeszcze kwotę. Jest to zwykły problem polegający na znalezieniu liczby na podstawie jej ułamka. Następujące zadania są rozwiązywane przez podział:
Tak więc 3000 rubli zostało wrzuconych do kasy oszczędnościowej.
Zadanie 2. W ciągu dwóch tygodni rybacy zrealizowali miesięczny plan o 64%, przygotowując 512 ton ryb. Jaki był ich plan?
Ze stanu problemu wiadomo, że rybacy zrealizowali część planu. Ta część to 512 ton, co stanowi 64% planu. Ile ton ryb trzeba odłowić zgodnie z planem, nie wiemy. Rozwiązanie problemu będzie polegało na znalezieniu tej liczby.
Takie zadania rozwiązuje się, dzieląc:
Czyli zgodnie z planem trzeba przygotować 800 ton ryb.
Zadanie 3. Pociąg jechał z Rygi do Moskwy. Kiedy minął 276. kilometr, jeden z pasażerów zapytał przejeżdżającego konduktora, ile podróży już przebyli. Na to konduktor odpowiedział: „Przebyliśmy już 30% całej podróży”. Jaka jest odległość z Ryga do Moskwa?
Ze stanu problemu wynika, że 30% podróży z Rygi do Moskwy to 276 km. Musimy znaleźć całą odległość między tymi miastami, czyli dla tej części znaleźć całość:
§ 91. Liczby odwrotne. Zastąpienie dzielenia mnożeniem.
Weź ułamek 2/3 i przestaw licznik na miejsce mianownika, otrzymamy 3/2. Mamy ułamek, odwrotność tego.
Aby otrzymać ułamek odwrotny danego ułamka, należy w miejsce mianownika wstawić jego licznik, a w miejsce licznika mianownik. W ten sposób możemy otrzymać ułamek będący odwrotnością dowolnego ułamka. Na przykład:
3 / 4 , wstecz 4 / 3 ; 5 / 6 , odwróć 6 / 5
Nazywamy dwa ułamki, które mają tę właściwość, że licznik pierwszego jest mianownikiem drugiego, a mianownik pierwszego jest licznikiem drugiego wzajemnie odwrotne.
Zastanówmy się teraz, jaki ułamek będzie odwrotnością 1/2. Oczywiście będzie to 2/1 lub po prostu 2. Szukając odwrotności tego, otrzymaliśmy liczbę całkowitą. I ten przypadek nie jest odosobniony; wręcz przeciwnie, dla wszystkich ułamków o liczniku 1 (jeden) odwrotności będą liczbami całkowitymi, na przykład:
1/3, odwrotność 3; 1 / 5, odwróć 5
Ponieważ przy znajdowaniu odwrotności spotkaliśmy się również z liczbami całkowitymi, w przyszłości nie będziemy mówić o odwrotnościach, ale o odwrotnościach.
Zastanówmy się, jak napisać odwrotność liczby całkowitej. W przypadku ułamków jest to rozwiązane po prostu: musisz umieścić mianownik w miejscu licznika. W ten sam sposób możesz uzyskać odwrotność liczby całkowitej, ponieważ dowolna liczba całkowita może mieć mianownik 1. Dlatego odwrotność 7 będzie wynosić 1/7, ponieważ 7 \u003d 7/1; dla liczby 10 odwrotność wynosi 1/10, ponieważ 10 = 10/1
Pomysł ten można wyrazić w inny sposób: odwrotność danej liczby uzyskuje się dzieląc jedynkę przez daną liczbę. To stwierdzenie jest prawdziwe nie tylko dla liczb całkowitych, ale także dla ułamków zwykłych. Rzeczywiście, jeśli chcesz napisać liczbę będącą odwrotnością ułamka 5/9, to możemy wziąć 1 i podzielić przez 5/9, tj.
Teraz zwróćmy uwagę na jedną własność wzajemnie odwrotne liczby, które będą nam przydatne: iloczyn wzajemnie odwrotnych liczb jest równy jeden. Rzeczywiście:
Korzystając z tej właściwości, możemy znaleźć odwrotności w następujący sposób. Znajdźmy odwrotność liczby 8.
Oznaczmy to literą X , potem 8 X = 1, stąd X = 1 / 8 . Znajdźmy inną liczbę, odwrotność 7/12, oznaczmy ją literą X , potem 7 / 12 X = 1, stąd X = 1:7 / 12 lub X = 12 / 7 .
Wprowadziliśmy tutaj pojęcie liczb odwrotnych, aby nieco uzupełnić informacje o dzieleniu ułamków zwykłych.
Kiedy dzielimy liczbę 6 przez 3/5, wykonujemy następujące czynności:
Zwróć szczególną uwagę na wyrażenie i porównaj je z podanym: .
Jeśli weźmiemy wyrażenie osobno, bez związku z poprzednim, nie można rozwiązać pytania, skąd się wzięło: z dzielenia 6 przez 3/5 lub z mnożenia 6 przez 5/3. W obu przypadkach wynik jest taki sam. Więc możemy powiedzieć że dzielenie jednej liczby przez inną można zastąpić przez pomnożenie dzielnej przez odwrotność dzielnika.
Przykłady, które podajemy poniżej, w pełni potwierdzają ten wniosek.
