Ten kalkulator online oblicza iloczyn krzyżowy wektorów. Podano szczegółowe rozwiązanie. Aby obliczyć iloczyn krzyżowy wektorów, wprowadź współrzędne wektorów w komórkach i kliknij przycisk „Oblicz”.

×

Ostrzeżenie

Wyczyścić wszystkie komórki?

Zamknij Wyczyść

Instrukcja wprowadzania danych. Liczby wprowadza się jako liczby całkowite (przykłady: 487, 5, -7623 itd.), dziesiętne (np. 67., 102,54 itd.) lub ułamki zwykłe. Ułamek należy wpisać w postaci a/b, gdzie aib (b>0) są liczbami całkowitymi lub dziesiętnymi. Przykłady 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 itd.

Iloczyn krzyżowy wektorów

Zanim przejdziemy do definicji iloczynu wektorów wektorów, rozważmy pojęcia uporządkowana trójka wektorów, lewa trójka wektorów, prawa trójka wektorów.

Definicja 1. Nazywa się trzy wektory zamówiony potrójnie(lub potrójny), jeśli wskazano, który z tych wektorów jest pierwszy, który jest drugim, a który jest trzecim.

Nagranie cba- oznacza - pierwszy jest wektorem c, drugi to wektor b a trzeci to wektor a.

Definicja 2. Trójka wektorów niewspółpłaszczyznowych ABC nazywany prawym (lewym), jeśli po sprowadzeniu do wspólnego początku wektory te są ułożone tak, jak odpowiednio znajduje się duży, wyprostowany palec wskazujący i środkowy prawej (lewej) ręki.

Definicja 2 może być sformułowana w inny sposób.

Definicja 2. Trójka wektorów niewspółpłaszczyznowych ABC nazywa się prawym (lewym), jeśli po sprowadzeniu do wspólnego początku wektor c znajduje się po drugiej stronie płaszczyzny wyznaczonej przez wektory a oraz b, skąd najkrótszy zakręt a do b wykonywane przeciwnie do ruchu wskazówek zegara (zgodnie z ruchem wskazówek zegara).

Wektorowe trio ABC pokazany na ryc. 1 ma rację i jest potrójny ABC pokazany na ryc. zostaje 2.

Jeśli dwie trójki wektorów są prawe lub lewe, to mówi się, że mają tę samą orientację. W przeciwnym razie mówi się, że mają przeciwną orientację.

Definicja 3. Kartezjański lub afiniczny układ współrzędnych nazywamy prawym (lewym), jeśli trzy wektory bazowe tworzą prawą (lewą) trójkę.

Dla pewności w dalszej części rozważymy tylko prawoskrętne układy współrzędnych.

Definicja 4. sztuka wektorowa wektor a na wektor b zwany wektorem Z, oznaczony symbolem c=[Ab] (lub c=[a, b], lub c=a×b) i spełniające następujące trzy wymagania:

• długość wektora Z jest równy iloczynowi długości wektorów a oraz b do sinusa kąta φ między nimi:

|c|=|[Ab]|=|a||b|grzech φ;

(1)

• wektor Z prostopadły do ​​każdego z wektorów a oraz b;
• wektor c skierowany tak, że trzy ABC jest w porządku.

Iloczyn krzyżowy wektorów ma następujące właściwości:

• [Ab]=−[ba] (przeciwstawność czynniki);
• [(λa)b]=λ [Ab] (zgodność względem czynnika liczbowego);
• [(a+b)c]=[ac]+[bc] (dystrybucja względem sumy wektorów);
• [aa]=0 dla dowolnego wektora a.

Własności geometryczne iloczynu krzyżowego wektorów

Twierdzenie 1. Aby dwa wektory były współliniowe, konieczne i wystarczające jest, aby ich iloczyn wektorowy był równy zeru.

Dowód. Konieczność. Niech wektory a oraz b współliniowy. Wtedy kąt między nimi wynosi 0 lub 180° i grzech φ=grzech180=grzech 0=0. Dlatego biorąc pod uwagę wyrażenie (1), długość wektora c równa się zeru. Następnie c wektor zerowy.

Adekwatność. Niech iloczyn krzyżowy wektorów a oraz b nawigacja do zera: [ Ab]=0. Udowodnijmy, że wektory a oraz b współliniowy. Jeśli co najmniej jeden z wektorów a oraz b zero, to wektory te są współliniowe (ponieważ wektor zerowy ma nieokreślony kierunek i można go uznać za współliniowy z dowolnym wektorem).

Jeśli oba wektory a oraz b niezerowe, to | a|>0, |b|>0. następnie z [ Ab]=0 iz (1) wynika, że grzech φ=0. Stąd wektory a oraz b współliniowy.

Twierdzenie zostało udowodnione.

Twierdzenie 2. Długość (moduł) iloczynu wektorowego [ Ab] równa się polu S równoległobok zbudowany na wektorach sprowadzonych do wspólnego początku a oraz b.

Dowód. Jak wiadomo, powierzchnia równoległoboku jest równa iloczynowi sąsiednich boków tego równoległoboku i sinusa kąta między nimi. W konsekwencji:

Wtedy iloczyn krzyżowy tych wektorów ma postać:

Rozszerzając wyznacznik na elementy pierwszego rzędu, otrzymujemy rozkład wektora a×b podstawa ja, j, k, co jest równoważne ze wzorem (3).

Dowód twierdzenia 3. Skomponuj wszystkie możliwe pary wektorów bazowych ja, j, k i obliczyć ich iloczyn wektorowy. Należy wziąć pod uwagę, że wektory bazowe są wzajemnie ortogonalne, tworzą trójkę prostokątną i mają jednostkową długość (innymi słowy możemy założyć, że ja={1, 0, 0}, j={0, 1, 0}, k=(0, 0, 1)). Następnie mamy:

Z ostatniej równości i relacji (4) otrzymujemy:

Skomponuj macierz 3×3, której pierwszy wiersz to wektory bazowe ja, j, k, a pozostałe wiersze są wypełnione elementami wektorów a oraz b.

7.1. Definicja iloczynu krzyżowego

Trzy niewspółpłaszczyznowe wektory a , b i c , wzięte we wskazanej kolejności, tworzą prawą trójkę, jeśli od końca trzeciego wektora c najkrótszy skręt od pierwszego wektora a do drugiego wektora b jest widziany w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, oraz lewy, jeśli jest zgodny z ruchem wskazówek zegara (patrz ryc. 16).

Iloczyn wektorowy wektora a i wektora b nazywamy wektorem c, który:

1. Prostopadłe do wektorów a i b, tj. c ^ a i c ^ b;

2. Ma długość liczbowo równą polu równoległoboku zbudowanego na wektorach aib jak po bokach (patrz rys. 17), tj.

3. Wektory a , b i c tworzą prawą trójkę.

Iloczyn wektorowy jest oznaczony jako x b lub [a, b]. Z definicji iloczynu wektorowego wynikają bezpośrednio następujące relacje między ortami, j oraz k(patrz rys. 18):

ja x j \u003d k, j x k \u003d ja, k x i \u003d j.
Udowodnijmy to np ja xj \u003d k.

1) k ^ ja , k ^ j;

2) |k |=1, ale | ja x j| = |i| |J| grzech(90°)=1;

3) wektory i , j i k utwórz prawą trójkę (patrz ryc. 16).

7.2. Właściwości produktów krzyżowych

1. Po przestawieniu czynników iloczyn wektorowy zmienia znak, tj. i xb \u003d (b xa) (patrz ryc. 19).

Wektory a xb i b xa są współliniowe, mają te same moduły (obszar równoległoboku pozostaje niezmieniony), ale są skierowane przeciwnie (potrójne a, b, a xb i a, b, b x a o przeciwnej orientacji). To znaczy axb = -(bxa).

2. Produkt wektorowy ma właściwość kombinacji w odniesieniu do współczynnika skalarnego, tj. l (a xb) \u003d (l a) x b \u003d a x (lb).

Niech l > 0. Wektor l (a xb) jest prostopadły do ​​wektorów aib. Wektor ( l topór b jest również prostopadła do wektorów a i b(wektory a, l leżeć w tej samej płaszczyźnie). Więc wektory l(axb) i ( l topór b współliniowy. Wyraźnie widać, że ich kierunki są zbieżne. Mają taką samą długość:

dlatego l(a xb)= l xb. Udowodniono to podobnie dla l<0.

3. Dwa niezerowe wektory a i b są współliniowe wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn wektorowy jest równy wektorowi zerowemu, tj. i ||b<=>i xb \u003d 0.

W szczególności ja *i =j *j =k *k =0 .

4. Iloczyn wektorowy ma właściwość dystrybucji:

(a+b) xs = a xs + b xs.

Akceptuj bez dowodu.

7.3. Wyrażenie iloczynu krzyżowego pod względem współrzędnych

Skorzystamy z tabeli iloczynów wektorowych i , j i k:

jeśli kierunek najkrótszej ścieżki od pierwszego wektora do drugiego pokrywa się z kierunkiem strzałki, to iloczyn jest równy trzeciemu wektorowi, jeśli nie pasuje, trzeci wektor jest brany ze znakiem minus.

Niech dwa wektory a =a x i +ay j+az k i b=bx ja+przez j+bz k. Znajdźmy iloczyn wektorowy tych wektorów, mnożąc je przez wielomiany (zgodnie z właściwościami iloczynu wektorowego):

Otrzymany wzór można zapisać jeszcze krócej:

ponieważ prawa strona równości (7.1) odpowiada rozwinięciu wyznacznika trzeciego rzędu pod względem elementów pierwszego rzędu Równość (7.2) jest łatwa do zapamiętania.

7.4. Niektóre zastosowania iloczynu krzyżowego

Wyznaczanie współliniowości wektorów

Znalezienie obszaru równoległoboku i trójkąta

Zgodnie z definicją iloczynu krzyżowego wektorów a oraz b |a xb | =| * |b |sin g , tj. S par = |a x b |. A zatem D S \u003d 1/2 | a x b |.

Wyznaczanie momentu siły względem punktu

Niech siła zostanie przyłożona w punkcie A F =AB Odpuść sobie O- jakiś punkt w przestrzeni (patrz rys. 20).

Z fizyki wiadomo, że moment obrotowy F względem punktu O zwany wektorem M , który przechodzi przez punkt O oraz:

1) prostopadła do płaszczyzny przechodzącej przez punkty O, A, B;

2) liczbowo równa iloczynowi siły i ramienia

3) tworzy prawą trójkę z wektorami OA i A B .

Dlatego M \u003d OA x F.

Znalezienie liniowej prędkości obrotowej

Prędkość w punkt M sztywnego ciała obracającego się z prędkością kątową w wokół ustalonej osi, jest określony wzorem Eulera v \u003d w x r, gdzie r \u003d OM, gdzie O jest pewnym stałym punktem osi (patrz ryc. 21).

Definicja. Iloczyn wektorowy wektora a (mnożnik) przez wektor (mnożnik), który nie jest z nim współliniowy, to trzeci wektor c (iloczyn), który jest zbudowany w następujący sposób:

1) jego moduł jest liczbowo równy powierzchni równoległoboku na ryc. 155), zbudowany na wektorach, czyli równy kierunkowi prostopadłemu do płaszczyzny wspomnianego równoległoboku;

3) w tym przypadku wybiera się kierunek wektora c (z dwóch możliwych) tak, aby wektory c tworzyły układ prawoskrętny (§ 110).

Oznaczenie: lub

Dodatek do definicji. Jeśli wektory są współliniowe, to biorąc pod uwagę figurę jako (warunkowo) równoległobok, naturalne jest przypisanie pola zerowego. Dlatego iloczyn wektorowy wektorów współliniowych jest uważany za równy wektorowi zerowemu.

Ponieważ wektorowi zerowemu można przypisać dowolny kierunek, konwencja ta nie jest sprzeczna z punktami 2 i 3 definicji.

Uwaga 1. W określeniu „iloczyn wektorowy” pierwsze słowo wskazuje, że wynikiem działania jest wektor (w przeciwieństwie do iloczynu skalarnego; por. § 104, uwaga 1).

Przykład 1. Znajdź iloczyn wektorowy, w którym znajdują się główne wektory prawego układu współrzędnych (ryc. 156).

1. Ponieważ długości głównych wektorów są równe jednostce skali, obszar równoległoboku (kwadratu) jest liczbowo równy jeden. Stąd moduł iloczynu wektorowego jest równy jeden.

2. Ponieważ oś jest prostopadła do płaszczyzny, pożądanym iloczynem wektorowym jest wektor współliniowy z wektorem k; a ponieważ oba mają moduł 1, wymaganym iloczynem krzyżowym jest k lub -k.

3. Spośród tych dwóch możliwych wektorów należy wybrać pierwszy, ponieważ wektory k tworzą układ prawy (a wektory układ lewy).

Przykład 2. Znajdź iloczyn krzyżowy

Decyzja. Tak jak w przykładzie 1, dochodzimy do wniosku, że wektorem jest k lub -k. Ale teraz musimy wybrać -k, ponieważ wektory tworzą prawy układ (a wektory tworzą lewy). Więc,

Przykład 3 Wektory mają długość odpowiednio 80 i 50 cm i tworzą kąt 30°. Przyjmując metr jako jednostkę długości, znajdź długość iloczynu wektorowego a

Decyzja. Obszar równoległoboku zbudowanego na wektorach jest równy Długość pożądanego produktu wektorowego jest równa

Przykład 4. Znajdź długość iloczynu krzyżowego tych samych wektorów, przyjmując centymetr za jednostkę długości.

Decyzja. Ponieważ pole równoległoboku zbudowanego na wektorach jest równe długości iloczynu wektorowego, wynosi 2000 cm, tj.

Porównanie przykładów 3 i 4 pokazuje, że długość wektora zależy nie tylko od długości czynników, ale także od wyboru jednostki długości.

Fizyczne znaczenie iloczynu wektorowego. Spośród wielu wielkości fizycznych reprezentowanych przez iloczyn wektorowy rozważymy tylko moment siły.

Niech A będzie punktem przyłożenia siły.Iloczynem wektorowym nazywa się moment siły względem punktu O. Ponieważ moduł tego iloczynu wektorowego jest liczbowo równy powierzchni równoległoboku (ryc. 157), moduł momentu jest równy iloczynowi podstawy i wysokości, tj. siły pomnożonej przez odległość od punktu O do prostej, wzdłuż której działa siła.

W mechanice udowodniono, że dla równowagi ciała sztywnego konieczne jest, aby nie tylko suma wektorów reprezentujących siły przyłożone do ciała, ale także suma momentów sił była równa zeru. W przypadku, gdy wszystkie siły są równoległe do tej samej płaszczyzny, dodawanie wektorów reprezentujących momenty można zastąpić dodawaniem i odejmowaniem ich modułów. Ale dla dowolnych kierunków sił taka zamiana jest niemożliwa. Zgodnie z tym iloczyn krzyżowy jest zdefiniowany dokładnie jako wektor, a nie jako liczba.

produkt wektorowy jest pseudowektorem prostopadłym do płaszczyzny zbudowanym z dwóch czynników, który jest wynikiem operacji binarnej „mnożenie wektorów” na wektorach w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej. Iloczyn wektorowy nie ma właściwości przemienności i asocjatywności (jest antyprzemienny) iw przeciwieństwie do iloczynu skalarnego wektorów jest wektorem. Szeroko stosowany w wielu zastosowaniach technicznych i fizycznych. Na przykład moment pędu i siła Lorentza są matematycznie zapisywane jako iloczyn krzyżowy. Iloczyn krzyżowy jest przydatny do „pomiaru” prostopadłości wektorów - moduł iloczynu krzyżowego dwóch wektorów jest równy iloczynowi ich modułów, jeśli są one prostopadłe, i spada do zera, jeśli wektory są równoległe lub antyrównoległe.

Iloczyn wektorowy można definiować na różne sposoby i teoretycznie w przestrzeni o dowolnym wymiarze n można obliczyć iloczyn n-1 wektorów, uzyskując jeden wektor prostopadły do ​​nich wszystkich. Ale jeśli iloczyn jest ograniczony do nietrywialnych iloczynów binarnych z wynikami wektorowymi, to tradycyjny iloczyn wektorowy jest definiowany tylko w przestrzeniach trójwymiarowych i siedmiowymiarowych. Wynik iloczynu wektorowego, podobnie jak iloczynu skalarnego, zależy od metryki przestrzeni euklidesowej.

W przeciwieństwie do wzoru na obliczenie iloczynu skalarnego ze współrzędnych wektorów w trójwymiarowym prostokątnym układzie współrzędnych, wzór na iloczyn wektorowy zależy od orientacji prostokątnego układu współrzędnych, czyli innymi słowy jego „chiralności”.

Definicja:
Iloczyn wektorowy wektora a i wektora b w przestrzeni R 3 nazywamy wektorem c, który spełnia następujące wymagania:
długość wektora c jest równa iloczynowi długości wektorów a i b oraz sinusa kąta φ między nimi:
|c|=|a||b|sin φ;
wektor c jest prostopadły do ​​każdego z wektorów aib;
wektor c jest skierowany tak, że trójka wektorów abc jest właściwa;
w przypadku przestrzeni R7 wymagana jest łączność trójki wektorów a,b,c.
Przeznaczenie:
c===a×b

Ryż. 1. Powierzchnia równoległoboku jest równa modułowi iloczynu poprzecznego

Własności geometryczne iloczynu krzyżowego:
Warunkiem koniecznym i wystarczającym współliniowości dwóch niezerowych wektorów jest równość ich iloczynu wektorowego do zera.

Moduł produktów krzyżowych równa się obszarowi S równoległobok zbudowany na wektorach sprowadzonych do wspólnego początku a oraz b(patrz rys. 1).

Jeśli mi- wektor jednostkowy prostopadły do ​​wektorów a oraz b i dobrany tak, że potrójny a, b, e- prawda i S- obszar zbudowanego na nich równoległoboku (zredukowany do wspólnego początku), wówczas dla iloczynu wektorowego prawdziwy jest następujący wzór:
=S e

Ryc.2. Objętość równoległościanu przy użyciu wektora i iloczynu skalarnego wektorów; linie przerywane pokazują rzuty wektora c na a × b i wektora a na b × c, pierwszym krokiem jest znalezienie iloczynów wewnętrznych

Jeśli c- dowolny wektor π - dowolna płaszczyzna zawierająca ten wektor, mi- wektor jednostkowy leżący na płaszczyźnie π i ortogonalne do c, g- wektor jednostkowy prostopadły do ​​płaszczyzny π i skierowany tak, że potrójna wektorów ekg ma rację, to dla każdego leżącego w samolocie π wektor a poprawna formuła to:
=Pr e a |c|g
gdzie Pr e a jest rzutem wektora e na a
|c|-moduł wektora c

Używając iloczynów wektorowych i skalarnych, możesz obliczyć objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach zredukowanych do wspólnego początku a, b oraz c. Taki iloczyn trzech wektorów nazywa się mieszanym.
V=|a (b×c)|
Rysunek pokazuje, że tę objętość można znaleźć na dwa sposoby: wynik geometryczny jest zachowywany nawet po zamianie iloczynów „skalarnych” i „wektorowych”:
V=a×b c=a b×c

Wartość iloczynu krzyżowego zależy od sinusa kąta między pierwotnymi wektorami, więc iloczyn krzyżowy można traktować jako stopień „prostopadłości” wektorów, tak jak iloczyn skalarny można traktować jako stopień "równoległość". Iloczyn krzyżowy dwóch wektorów jednostkowych jest równy 1 (wektor jednostkowy), jeśli wektory początkowe są prostopadłe, i równy 0 (wektor zerowy), jeśli wektory są równoległe lub antyrównoległe.

Wyrażenie iloczynu krzyżowego we współrzędnych kartezjańskich
Jeśli dwa wektory a oraz b są zdefiniowane przez ich prostokątne współrzędne kartezjańskie, a dokładniej, są reprezentowane w bazie ortonormalnej
a=(a x , a y , a z)
b=(bx ,b y ,b z)
a układ współrzędnych jest prawidłowy, to ich iloczyn wektorowy ma postać
=(a y b z -a z b y ,a z b x -a x b z ,a x b y -a y b x)
Aby zapamiętać tę formułę:
ja =∑ε ijk za j b k
gdzie ε ijk- symbol Levi-Civity.

W tej lekcji przyjrzymy się jeszcze dwóm operacjom na wektorach: iloczyn krzyżowy wektorów oraz produkt mieszany wektorów (bezpośredni link dla potrzebujących). W porządku, czasami zdarza się, że dla pełnego szczęścia, oprócz iloczyn skalarny wektorów, potrzeba coraz więcej. To jest uzależnienie od wektorów. Można odnieść wrażenie, że wkraczamy w dżunglę geometrii analitycznej. To nie jest prawda. W tej części wyższej matematyki jest generalnie mało drewna opałowego, z wyjątkiem być może wystarczającej ilości dla Pinokia. W rzeczywistości materiał jest bardzo powszechny i ​​prosty - niewiele trudniejszy od tego samego iloczyn skalarny, nawet będzie mniej typowych zadań. Najważniejszą rzeczą w geometrii analitycznej, jak wielu widzi lub już widziało, jest NIE MYLIĆ SIĘ W OBLICZENIACH. Powtarzaj jak zaklęcie, a będziesz szczęśliwy =)

Jeśli wektory błyszczą gdzieś daleko, jak błyskawica na horyzoncie, to nie ma znaczenia, zacznij od lekcji Wektory dla manekinów przywrócić lub odzyskać podstawową wiedzę o wektorach. Czytelnicy bardziej przygotowani mogą zapoznać się z informacjami wybiórczo, starałem się zebrać jak najpełniejszy zbiór przykładów często spotykanych w pracy praktycznej

Co cię uszczęśliwi? Kiedy byłem mały, umiałem żonglować dwiema, a nawet trzema piłkami. Udało się. Teraz w ogóle nie ma potrzeby żonglowania, ponieważ rozważymy tylko wektory kosmiczne, a płaskie wektory o dwóch współrzędnych zostaną pominięte. Czemu? Tak narodziły się te działania - wektor i iloczyn mieszany wektorów są zdefiniowane i działają w przestrzeni trójwymiarowej. Już łatwiejsze!

W tej operacji, podobnie jak w iloczynze skalarnym, dwa wektory. Niech to będą niezniszczalne litery.

Sama akcja oznaczony w następujący sposób: . Są inne opcje, ale ja jestem przyzwyczajony do oznaczania iloczynu wektorów w ten sposób, w nawiasach kwadratowych z krzyżykiem.

I natychmiast pytanie: jeśli w iloczyn skalarny wektorów zaangażowane są dwa wektory, a więc tutaj również dwa wektory są mnożone jaka jest różnica? Wyraźna różnica przede wszystkim w WYNIKU:

Wynikiem iloczynu skalarnego wektorów jest LICZBA:

Wynikiem iloczynu krzyżowego wektorów jest WEKTOR: , to znaczy mnożymy wektory i ponownie otrzymujemy wektor. Klub zamknięty. Właściwie stąd nazwa operacji. W różnej literaturze edukacyjnej oznaczenia również mogą się różnić, ja posłużę się literą .

Definicja iloczynu krzyżowego

Najpierw będzie definicja z obrazkiem, potem komentarze.

Definicja: iloczyn krzyżowy niewspółliniowe wektory , podjęte w tej kolejności, nazywa się WEKTOR, długość czyli liczbowo równe polu równoległoboku, zbudowany na tych wektorach; wektor ortogonalne do wektorów i jest skierowany tak, że podstawa ma właściwą orientację:

Analizujemy definicję według kości, jest wiele interesujących rzeczy!

Możemy więc wyróżnić następujące istotne punkty:

1) Wektory źródłowe, z definicji oznaczone czerwonymi strzałkami nie współliniowy. Właściwe będzie rozważenie przypadku wektorów współliniowych nieco później.

2) Pobrane wektory w ścisłym porządku: – „a” jest mnożone przez „być”, a nie „być” do „a”. Wynik mnożenia wektorów jest VECTOR , który jest oznaczony na niebiesko. Jeśli wektory zostaną pomnożone w odwrotnej kolejności, otrzymamy wektor równy długości i przeciwny kierunek (szkarłatny kolor). Czyli równość .

3) Teraz zapoznajmy się z geometrycznym znaczeniem iloczynu wektorowego. To bardzo ważny punkt! DŁUGOŚĆ wektora niebieskiego (a zatem wektora karmazynowego ) jest liczbowo równa POWIERZCHNI równoległoboku zbudowanego z wektorów . Na rysunku ten równoległobok jest zacieniowany na czarno.

Uwaga : rysunek jest schematyczny i oczywiście nominalna długość iloczynu poprzecznego nie jest równa polu równoległoboku.

Przypominamy jedną z formuł geometrycznych: powierzchnia równoległoboku jest równa iloczynowi sąsiednich boków i sinusowi kąta między nimi. Dlatego w oparciu o powyższe obowiązuje wzór na obliczenie DŁUGOŚCI iloczynu wektorowego:

Podkreślam, że we wzorze mówimy o DŁUGOŚCI wektora, a nie o samym wektorze. Jakie jest praktyczne znaczenie? A znaczenie jest takie, że w problemach geometrii analitycznej obszar równoległoboku często znajduje się dzięki koncepcji iloczynu wektorowego:

Otrzymujemy drugą ważną formułę. Przekątna równoległoboku (czerwona przerywana linia) dzieli go na dwa równe trójkąty. Dlatego pole trójkąta zbudowanego na wektorach (czerwone cieniowanie) można znaleźć według wzoru:

4) Równie ważnym faktem jest to, że wektor jest ortogonalny do wektorów , to znaczy . Oczywiście skierowany przeciwnie wektor (karmazynowa strzałka) jest również prostopadły do ​​pierwotnych wektorów.

5) Wektor jest skierowany tak, że podstawa To ma prawidłowy orientacja. Na lekcji nt przejść na nową bazę Mówiłem szczegółowo o orientacja płaszczyzny, a teraz dowiemy się, jaka jest orientacja przestrzeni. Wyjaśnię ci na palcach prawa ręka. Psychicznie kombinuj palec wskazujący z wektorem i środkowy palec z wektorem . Palec serdeczny i mały palec wciśnij w dłoń. W rezultacie kciuk- iloczyn wektorowy spojrzy w górę. To jest podstawa zorientowana w prawo (jest na rysunku). Teraz zamień wektory ( palce wskazujące i środkowe) w niektórych miejscach kciuk się obróci, a iloczyn wektorowy będzie już patrzył w dół. Jest to również podstawa zorientowana na prawo. Być może masz pytanie: jakie podstawy ma orientacja lewicowa? „Przypisz” te same palce lewa ręka wektory i uzyskaj lewą podstawę i lewą orientację przestrzenną (w tym przypadku kciuk będzie skierowany w kierunku dolnego wektora). Mówiąc obrazowo, podstawy te „skręcają” lub orientują przestrzeń w różnych kierunkach. I tej koncepcji nie należy uważać za coś naciąganego lub abstrakcyjnego - na przykład najzwyklejsze lustro zmienia orientację przestrzeni, a jeśli „wyciągniesz odbity przedmiot z lustra”, to ogólnie nie będzie możliwe połączyć go z „oryginałem”. Przy okazji zbliż trzy palce do lustra i przeanalizuj odbicie ;-)

... jak dobrze, że już o tym wiesz zorientowany na prawo i lewo podstaw, bo wypowiedzi niektórych wykładowców o zmianie orientacji są straszne =)

Iloczyn wektorowy wektorów współliniowych

Definicja została szczegółowo opracowana, pozostaje dowiedzieć się, co się dzieje, gdy wektory są współliniowe. Jeśli wektory są współliniowe, to można je umieścić na jednej prostej, a nasz równoległobok również „składa się” w jedną prostą. Obszar taki, jak mówią matematycy, zdegenerowany równoległobok wynosi zero. To samo wynika ze wzoru - sinus zera czyli 180 stopni jest równy zeru, co oznacza, że ​​pole wynosi zero

Zatem, jeśli, to oraz . Należy zauważyć, że sam iloczyn krzyżowy jest równy wektorowi zerowemu, ale w praktyce jest to często zaniedbywane i zapisywane, że jest również równe zeru.

Szczególnym przypadkiem jest iloczyn wektorowy wektora i samego siebie:

Za pomocą iloczynu krzyżowego można sprawdzić współliniowość wektorów trójwymiarowych, przeanalizujemy również ten problem m.in.

Aby rozwiązać praktyczne przykłady, może być konieczne tabela trygonometryczna znaleźć z niego wartości sinusów.

Cóż, rozpalmy ogień:

Przykład 1

a) Znajdź długość iloczynu wektorów wektorów, jeśli

b) Znajdź obszar równoległoboku zbudowanego na wektorach, jeśli

Decyzja: Nie, to nie jest literówka, celowo ujednoliciłem początkowe dane w elementach warunku. Ponieważ projekt rozwiązań będzie inny!

a) Zgodnie z warunkiem należy znaleźć długość wektor (produkt wektorowy). Zgodnie z odpowiednią formułą:

Odpowiedź:

Ponieważ pytano o długość, to w odpowiedzi podajemy wymiar - jednostki.

b) Zgodnie z warunkiem należy znaleźć powierzchnia równoległobok zbudowany na wektorach. Powierzchnia tego równoległoboku jest liczbowo równa długości iloczynu poprzecznego:

Odpowiedź:

Proszę zwrócić uwagę, że w odpowiedzi na temat iloczynu wektorowego nie ma w ogóle mowy o to, o co nas pytano obszar figury, odpowiednio, wymiar to jednostki kwadratowe.

Zawsze patrzymy na to, CO musi znaleźć warunek, i na tej podstawie formułujemy jasne odpowiedź. Może się to wydawać dosłownością, ale literalistów wśród nauczycieli jest wystarczająco dużo, a zadanie z dużymi szansami wróci do powtórki. Choć nie jest to specjalnie naciągany drobiazg – jeśli odpowiedź jest błędna, to można odnieść wrażenie, że dana osoba nie rozumie prostych rzeczy i/lub nie zrozumiała istoty zadania. Ten moment należy zawsze mieć pod kontrolą, rozwiązując każdy problem z matematyki wyższej, ale także z innych przedmiotów.

Gdzie podziała się duża litera „en”? W zasadzie można było dodatkowo dokleić do rozwiązania, ale żeby skrócić zapis, tego nie zrobiłem. Mam nadzieję, że wszyscy to rozumieją i jest to oznaczenie tego samego.

Popularny przykład rozwiązania typu „zrób to sam”:

Przykład 2

Znajdź obszar trójkąta zbudowanego na wektorach, jeśli

Wzór na znalezienie obszaru trójkąta przez iloczyn wektorowy podano w komentarzach do definicji. Rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

W praktyce zadanie jest naprawdę bardzo częste, trójkąty można ogólnie torturować.

Aby rozwiązać inne problemy, potrzebujemy:

Własności iloczynu krzyżowego wektorów

Rozważaliśmy już niektóre właściwości iloczynu wektorowego, jednak uwzględnię je na tej liście.

Dla dowolnych wektorów i dowolnej liczby prawdziwe są następujące właściwości:

1) W innych źródłach informacji pozycja ta zazwyczaj nie wyróżnia się właściwościami, ale jest bardzo ważna pod względem praktycznym. Niech tak zostanie.

2) - właściwość jest również omówiona powyżej, czasami nazywana jest antyprzemienność. Innymi słowy, kolejność wektorów ma znaczenie.

3) - kombinacja lub asocjacyjny prawa produktów wektorowych. Stałe można łatwo wyprowadzić z granic iloczynu wektorowego. Naprawdę, co oni tam robią?

4) - dystrybucja lub dystrybucja prawa produktów wektorowych. Nie ma też problemów z otwieraniem nawiasów.

Jako demonstrację rozważ krótki przykład:

Przykład 3

Znajdź jeśli

Decyzja: Warunkowo ponownie wymagane jest znalezienie długości iloczynu wektorowego. Pomalujmy naszą miniaturę:

(1) Zgodnie z prawami asocjacji wyprowadzamy stałe poza granice iloczynu wektorowego.

(2) Wyciągamy stałą z modułu, podczas gdy moduł „zjada” znak minus. Długość nie może być ujemna.

(3) To, co następuje, jest jasne.

Odpowiedź:

Czas dorzucić drewna do ognia:

Przykład 4

Oblicz pole trójkąta zbudowanego na wektorach, jeśli

Decyzja: Znajdź obszar trójkąta za pomocą wzoru . Szkopuł w tym, że wektory „ce” i „te” same są reprezentowane jako sumy wektorów. Algorytm tutaj jest standardowy i przypomina nieco przykłady nr 3 i 4 z lekcji. Iloczyn skalarny wektorów. Dla jasności podzielmy to na trzy etapy:

1) W pierwszym kroku wyrażamy iloczyn wektorowy za pomocą iloczynu wektorowego, w rzeczywistości wyraź wektor za pomocą wektora. Nie ma jeszcze słowa o długości!

(1) Podstawiamy wyrażenia wektorów .

(2) Korzystając z praw rozdzielności, otwieramy nawiasy zgodnie z zasadą mnożenia wielomianów.

(3) Korzystając z praw asocjacji, usuwamy wszystkie stałe poza iloczynami wektorowymi. Przy niewielkim doświadczeniu czynności 2 i 3 można wykonywać jednocześnie.

(4) Pierwszy i ostatni wyraz są równe zeru (wektor zerowy) ze względu na przyjemną właściwość . W drugim członie wykorzystujemy właściwość antyprzemienności iloczynu wektorowego:

(5) Przedstawiamy podobne warunki.

W rezultacie wektor okazał się być wyrażony przez wektor, co należało osiągnąć:

2) W drugim kroku znajdujemy długość potrzebnego nam iloczynu wektorowego. Ta czynność jest podobna do przykładu 3:

3) Znajdź obszar żądanego trójkąta:

Kroki 2-3 rozwiązania można ułożyć w jednej linii.

Odpowiedź:

Rozważany problem jest dość powszechny w testach, oto przykład niezależnego rozwiązania:

Przykład 5

Znajdź jeśli

Krótkie rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji. Zobaczmy, jak uważny byłeś podczas studiowania poprzednich przykładów ;-)

Iloczyn krzyżowy wektorów we współrzędnych

, podane w bazie ortonormalnej , wyraża się wzorem:

Formuła jest naprawdę prosta: w górnym wierszu wyznacznika zapisujemy wektory współrzędnych, w drugim i trzecim wierszu „pakujemy” współrzędne wektorów i umieszczamy w ścisłym porządku- najpierw współrzędne wektora "ve", następnie współrzędne wektora "double-ve". Jeśli wektory trzeba pomnożyć w innej kolejności, to należy również zamienić wiersze:

Przykład 10

Sprawdź, czy następujące wektory przestrzenne są współliniowe:
a)
b)

Decyzja: Test opiera się na jednym ze stwierdzeń z tej lekcji: jeśli wektory są współliniowe, to ich iloczyn krzyżowy wynosi zero (wektor zerowy): .

a) Znajdź iloczyn wektorowy:

Zatem wektory nie są współliniowe.

b) Znajdź iloczyn wektorowy:

Odpowiedź: a) nie współliniowe, b)

Być może tutaj znajdują się wszystkie podstawowe informacje o produkcie wektorowym wektorów.

Ta sekcja nie będzie zbyt obszerna, ponieważ istnieje niewiele problemów, gdy używany jest iloczyn mieszany wektorów. W rzeczywistości wszystko będzie opierać się na definicji, znaczeniu geometrycznym i kilku działających formułach.

Produkt mieszany wektorów jest iloczynem trzech wektorów:

W ten sposób ustawiają się w kolejce jak pociąg i czekają, nie mogą się doczekać, aż zostaną obliczone.

Najpierw znowu definicja i obraz:

Definicja: Produkt mieszany niewspółpłaszczyznowy wektory , podjęte w tej kolejności, nazywa się objętość równoległościanu, zbudowany na tych wektorach, wyposażony w znak „+”, jeśli podstawa jest właściwa, i znak „-”, jeśli podstawa jest lewa.

Zróbmy rysunek. Linie niewidoczne dla nas są rysowane linią kropkowaną:

Zagłębmy się w definicję:

2) Pobrane wektory w określonej kolejności, czyli permutacja wektorów w iloczynie, jak można się domyślić, nie pozostaje bez konsekwencji.

3) Zanim skomentuję znaczenie geometryczne, zwrócę uwagę na oczywisty fakt: iloczyn mieszany wektorów to LICZBA: . W literaturze edukacyjnej projekt może być nieco inny, kiedyś oznaczałem produkt mieszany, a wynik obliczeń literą „pe”.

A-priorytet zmieszany produkt to objętość równoległościanu, zbudowany na wektorach (rysunek jest rysowany czerwonymi wektorami i czarnymi liniami). Oznacza to, że liczba jest równa objętości danego równoległościanu.

Uwaga : Rysunek jest schematyczny.

4) Nie zawracajmy sobie ponownie głowy koncepcją orientacji podstawy i przestrzeni. Znaczenie ostatniej części polega na tym, że do woluminu można dodać znak minus. Mówiąc prościej, iloczyn mieszany może być ujemny: .

Wzór na obliczenie objętości równoległościanu zbudowanego na wektorach wynika bezpośrednio z definicji.