W tym artykule zajmiemy się koncepcją iloczynu krzyżowego dwóch wektorów. Podamy niezbędne definicje, zapiszemy wzór na znalezienie współrzędnych produktu wektorowego, wymienimy i uzasadnimy jego właściwości. Następnie zajmiemy się geometrycznym znaczeniem iloczynu krzyżowego dwóch wektorów i rozważymy rozwiązania różnych typowych przykładów.

Nawigacja po stronie.

Definicja iloczynu wektorowego.

Zanim podamy definicję iloczynu krzyżowego, zajmijmy się orientacją uporządkowanej trójki wektorów w przestrzeni trójwymiarowej.

Odłóżmy wektory z jednego punktu. W zależności od kierunku wektora trójka może być w prawo lub w lewo. Spójrzmy od końca wektora, jak najkrótszy zwrot z wektora do . Jeśli najkrótszy obrót jest przeciwny do ruchu wskazówek zegara, nazywana jest trójka wektorów Prawidłowy, Inaczej - lewo.

Teraz weźmy dwa niewspółliniowe wektory i . Odłóż wektory i od punktu A. Skonstruujmy pewien wektor, który jest prostopadły do ​​i i jednocześnie. Oczywiście, konstruując wektor, możemy zrobić dwie rzeczy, nadając mu albo jeden kierunek, albo przeciwny (patrz ilustracja).

W zależności od kierunku wektora uporządkowana trójka wektorów może być prawa lub lewa.

Zbliżyliśmy się więc do definicji iloczynu wektorowego. Jest ona podawana dla dwóch wektorów podanych w prostokątnym układzie współrzędnych przestrzeni trójwymiarowej.

Definicja.

Iloczyn wektorowy dwóch wektorów i , podane w prostokątnym układzie współrzędnych przestrzeni trójwymiarowej, nazywamy wektorem takim, że

Iloczyn krzyżowy wektorów i jest oznaczony jako .

Współrzędne iloczynu wektorowego.

Teraz podajemy drugą definicję iloczynu wektorowego, która pozwala nam znaleźć jego współrzędne ze współrzędnych podanych wektorów i.

Definicja.

W prostokątnym układzie współrzędnych przestrzeni trójwymiarowej iloczyn krzyżowy dwóch wektorów oraz jest wektorem , gdzie są wektorami współrzędnych.

Ta definicja daje nam iloczyn krzyżowy w postaci współrzędnych.

Wygodnie jest przedstawić iloczyn wektorowy jako wyznacznik macierzy kwadratowej trzeciego rzędu, której pierwszy wiersz to orty, drugi wiersz zawiera współrzędne wektora, a trzeci wiersz zawiera współrzędne wektora w dany prostokątny układ współrzędnych:

Jeśli rozszerzymy ten wyznacznik o elementy pierwszego rzędu, otrzymamy równość z definicji iloczynu wektorowego we współrzędnych (w razie potrzeby zapoznaj się z artykułem):

Należy zauważyć, że forma współrzędnych iloczynu krzyżowego jest w pełni zgodna z definicją podaną w pierwszym akapicie tego artykułu. Co więcej, te dwie definicje iloczynu krzyżowego są równoważne. Dowód tego faktu można znaleźć w książce wskazanej na końcu artykułu.

Właściwości iloczynu wektorowego.

Ponieważ iloczyn wektorowy we współrzędnych można przedstawić jako wyznacznik macierzy, można łatwo uzasadnić na podstawie właściwości produktu wektorowego:

Jako przykład udowodnijmy właściwość antyprzemienności iloczynu wektorowego.

A-priorytet oraz . Wiemy, że wartość wyznacznika macierzy odwraca się, gdy zamieniamy miejscami dwa wiersze, więc , co dowodzi antyprzemienności iloczynu wektorowego.

Produkt wektorowy - przykłady i rozwiązania.

Zasadniczo istnieją trzy rodzaje zadań.

W problemach pierwszego typu podane są długości dwóch wektorów i kąt między nimi, a wymagane jest znalezienie długości iloczynu krzyżowego. W tym przypadku stosowana jest formuła .

Przykład.

Znajdź długość iloczynu poprzecznego wektorów i jeśli jest znana .

Decyzja.

Wiemy z definicji, że długość iloczynu poprzecznego wektorów i jest równa iloczynowi długości wektorów i razy sinus kąta między nimi, dlatego .

Odpowiadać:

.

Zadania drugiego typu są związane ze współrzędnymi wektorów, w których iloczyn wektorowy, jego długość lub coś innego jest przeszukiwany przez współrzędne podanych wektorów oraz .

Dostępnych jest tutaj wiele różnych opcji. Na przykład nie współrzędne wektorów i , ale ich rozwinięcia we współrzędnych wektorów postaci i , lub wektory i mogą być określone przez współrzędne ich punktów początkowych i końcowych.

Rozważmy typowe przykłady.

Przykład.

W prostokątnym układzie współrzędnych podane są dwa wektory . Znajdź ich iloczyn wektorowy.

Decyzja.

Zgodnie z drugą definicją iloczyn krzyżowy dwóch wektorów we współrzędnych jest zapisywany jako:

Doszlibyśmy do tego samego wyniku, gdybyśmy zapisali iloczyn wektorowy przez wyznacznik

Odpowiadać:

.

Przykład.

Znajdź długość iloczynu poprzecznego wektorów i , gdzie są orty prostokątnego kartezjańskiego układu współrzędnych.

Decyzja.

Najpierw znajdź współrzędne iloczynu wektorowego w danym prostokątnym układzie współrzędnych.

Ponieważ wektory i mają odpowiednio współrzędne i (w razie potrzeby patrz współrzędne artykułu wektora w prostokątnym układzie współrzędnych), to zgodnie z drugą definicją iloczynu krzyżowego mamy

To znaczy iloczyn wektorowy ma współrzędne w danym układzie współrzędnych.

Długość iloczynu wektorowego znajdujemy jako pierwiastek kwadratowy z sumy kwadratów jego współrzędnych (ten wzór na długość wektora uzyskaliśmy w części dotyczącej znajdowania długości wektora):

Odpowiadać:

.

Przykład.

Współrzędne trzech punktów podane są w prostokątnym kartezjańskim układzie współrzędnych. Znajdź pewien wektor, który jest prostopadły i jednocześnie.

Decyzja.

Wektory i mają odpowiednio współrzędne i (patrz artykuł dotyczący znajdowania współrzędnych wektora przez współrzędne punktów). Jeśli znajdziemy iloczyn krzyżowy wektorów i , to z definicji jest to wektor prostopadły do ​​i do, czyli jest to rozwiązanie naszego problemu. Znajdźmy go

Odpowiadać:

jest jednym z prostopadłych wektorów.

W zadaniach trzeciego typu sprawdzana jest umiejętność wykorzystania właściwości iloczynu wektorów wektorów. Po zastosowaniu właściwości stosowane są odpowiednie formuły.

Przykład.

Wektory i są prostopadłe, a ich długości wynoszą odpowiednio 3 i 4. Znajdź długość iloczynu wektorowego .

Decyzja.

Na podstawie właściwości rozdzielności iloczynu wektorowego możemy napisać

Na mocy właściwości asocjacyjnej wyjmujemy współczynniki liczbowe dla znaku iloczynów wektorowych w ostatnim wyrażeniu:

Produkty wektorowe i są równe zeru, ponieważ oraz , następnie .

Ponieważ iloczyn wektorowy jest antyprzemienny, to .

Tak więc, korzystając z właściwości iloczynu wektorowego, doszliśmy do równości .

Warunkowo wektory i są prostopadłe, to znaczy kąt między nimi jest równy . Oznacza to, że mamy wszystkie dane, aby znaleźć wymaganą długość

Odpowiadać:

.

Geometryczne znaczenie iloczynu wektorowego.

Z definicji długość iloczynu wektorów wynosi . A z kursu geometrii w szkole średniej wiemy, że pole trójkąta jest równe połowie iloczynu długości dwóch boków trójkąta i sinusa kąta między nimi. Dlatego długość iloczynu krzyżowego jest równa dwukrotności pola trójkąta o bokach wektorów i , jeśli są one przesunięte z jednego punktu. Innymi słowy, długość iloczynu poprzecznego wektorów i jest równa polu równoległoboku o bokach i kąt między nimi równy . To jest geometryczne znaczenie iloczynu wektorowego.

Zanim podamy pojęcie iloczynu wektorowego, wróćmy do kwestii orientacji uporządkowanej trójki wektorów a → , b → , c → w przestrzeni trójwymiarowej.

Na początek odłóżmy na bok wektory a → , b → , c → z jednego punktu. Orientacja trójki a → , b → , c → jest w prawo lub w lewo, w zależności od kierunku wektora c → . Z kierunku, w którym wykonuje się najkrótszy obrót od wektora a → do b → od końca wektora c → , zostanie wyznaczona postać trójki a → , b → , c → .

Jeśli najkrótszy obrót odbywa się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, to nazywana jest trójka wektorów a → , b → , c → Prawidłowy jeśli zgodnie z ruchem wskazówek zegara - lewo.

Następnie weźmy dwa niewspółliniowe wektory a → i b → . Odłóżmy zatem wektory A B → = a → i A C → = b → od punktu A. Skonstruujmy wektor A D → = c → , który jest jednocześnie prostopadły do ​​A B → i A C → . Tak więc, konstruując wektor A D → = c →, możemy zrobić dwie rzeczy, nadając mu albo jeden kierunek, albo przeciwny (patrz ilustracja).

Uporządkowane trio wektorów a → , b → , c → może być, jak się dowiedzieliśmy, prawe lub lewe w zależności od kierunku wektora.

Z powyższego możemy wprowadzić definicję iloczynu wektorowego. Ta definicja jest podana dla dwóch wektorów zdefiniowanych w prostokątnym układzie współrzędnych przestrzeni trójwymiarowej.

Definicja 1

Iloczyn wektorowy dwóch wektorów a → i b → taki wektor nazwiemy w prostokątnym układzie współrzędnych przestrzeni trójwymiarowej, że:

• jeśli wektory a → i b → są współliniowe, będzie to zero;
• będzie prostopadła zarówno do wektora a →​​, jak i wektora b → tj. ∠ za → do → = ∠ b → do → = π 2 ;
• jego długość określa wzór: c → = a → b → sin ∠ a → , b → ;
• trójka wektorów a → , b → , c → ma taką samą orientację jak dany układ współrzędnych.

Iloczyn krzyżowy wektorów a → i b → ma następującą notację: a → × b → .

Krzyżowe współrzędne produktu

Ponieważ dowolny wektor ma określone współrzędne w układzie współrzędnych, możliwe jest wprowadzenie drugiej definicji iloczynu wektorowego, która pozwoli znaleźć jego współrzędne z podanych współrzędnych wektorów.

Definicja 2

W prostokątnym układzie współrzędnych przestrzeni trójwymiarowej iloczyn wektorowy dwóch wektorów a → = (a x ; a y ; a z) i b → = (b x ; b y ; b z) nazwijmy wektor c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , gdzie i → , j → , k → są wektorami współrzędnych.

Iloczyn wektorowy można przedstawić jako wyznacznik macierzy kwadratowej trzeciego rzędu, gdzie pierwszy rząd to wektory orta i → , j → , k → , drugi rząd zawiera współrzędne wektora a → , a trzeci to współrzędne wektora b → w danym prostokątnym układzie współrzędnych ten wyznacznik macierzowy wygląda następująco: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Rozciągając ten wyznacznik na elementy pierwszego rzędu, otrzymujemy równość: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b x b y k → = = a → × b → = ( a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Właściwości produktów krzyżowych

Wiadomo, że iloczyn wektorowy we współrzędnych jest reprezentowany jako wyznacznik macierzy c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , to na podstawie właściwości wyznacznika macierzy następujące właściwości iloczynu wektorowego:

1. antyprzemienność a → × b → = - b → × a → ;
2. rozdzielność a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → lub a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + za → × b (2) → ;
3. łączność λ a → × b → = λ a → × b → lub a → × (λ b →) = λ a → × b → , gdzie λ jest dowolną liczbą rzeczywistą.

Własności te nie mają skomplikowanych dowodów.

Na przykład możemy udowodnić właściwość antyprzemienności iloczynu wektorowego.

Dowód antyprzemienności

Z definicji za → × b → = ja → j → k → za x za y za z b x b y b z oraz b → × za → = ja → jot → k → b x b y b z za x za y za z . A jeśli dwa wiersze macierzy zostaną zamienione, to wartość wyznacznika macierzy powinna zmienić się na przeciwną, dlatego a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , co i dowodzi antyprzemienności iloczynu wektorowego.

Produkt wektorowy - przykłady i rozwiązania

W większości przypadków istnieją trzy rodzaje zadań.

W problemach pierwszego typu zwykle podaje się długości dwóch wektorów i kąt między nimi, ale trzeba znaleźć długość iloczynu krzyżowego. W takim przypadku użyj następującego wzoru c → = a → b → sin ∠ a → , b → .

Przykład 1

Znajdź długość iloczynu poprzecznego wektorów a → i b → jeśli a → = 3 , b → = 5 , ∠ a → , b → = π 4 jest znane.

Decyzja

Korzystając z definicji długości iloczynu wektorów wektorów a → i b →, rozwiązujemy ten problem: a → × b → = a → b → sin ∠ a → , b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2 .

Odpowiadać: 15 2 2 .

Zadania drugiego typu mają związek ze współrzędnymi wektorów, zawierają iloczyn wektorowy, jego długość itp. są przeszukiwane przez znane współrzędne podanych wektorów za → = (a x ; a y ; a z) oraz b → = (b x ; b y ; b z) .

W przypadku tego typu zadań możesz rozwiązać wiele opcji zadań. Na przykład nie współrzędne wektorów a → i b → , ale ich rozwinięcia w wektorach współrzędnych postaci b → = b x ja → + b y jot → + b z k → oraz c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , czyli wektory a → i b → mogą być dane przez współrzędne ich punkty początkowe i końcowe.

Rozważ następujące przykłady.

Przykład 2

Dwa wektory są ustawione w prostokątnym układzie współrzędnych a → = (2 ; 1 ; - 3) , b → = (0 ; - 1 ; 1) . Znajdź ich iloczyn wektorowy.

Decyzja

Zgodnie z drugą definicją, znajdujemy iloczyn wektorowy dwóch wektorów w danych współrzędnych: a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) ja → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 ja → - 2 j → - 2k → .

Jeśli zapiszemy iloczyn wektorowy przez wyznacznik macierzowy, to rozwiązanie tego przykładu jest następujące: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 ja → - 2 jot → - 2 k → .

Odpowiadać: za → × b → = - 2 ja → - 2 jot → - 2 k → .

Przykład 3

Znajdź długość iloczynu poprzecznego wektorów i → - j → oraz i → + j → + k → , gdzie i → , j → , k → - orty prostokątnego kartezjańskiego układu współrzędnych.

Decyzja

Najpierw znajdźmy współrzędne danego iloczynu wektorowego i → - j → × i → + j → + k → w danym prostokątnym układzie współrzędnych.

Wiadomo, że wektory i → - j → oraz i → + j → + k → mają odpowiednio współrzędne (1 ; - 1 ; 0) i (1 ; 1 ; 1). Znajdź długość iloczynu wektorowego za pomocą wyznacznika macierzy, wtedy mamy i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Zatem iloczyn wektorowy i → - j → × i → + j → + k → ma współrzędne (- 1 ; - 1 ; 2) w danym układzie współrzędnych.

Długość iloczynu wektorowego znajdujemy według wzoru (patrz sekcja dotycząca znajdowania długości wektora): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6 .

Odpowiadać: ja → - jot → × ja → + jot → + k → = 6 . .

Przykład 4

Współrzędne trzech punktów A(1 , 0 , 1) , B (0 , 2 , 3) ​​, C (1 , 4 , 2) podane są w prostokątnym kartezjańskim układzie współrzędnych. Znajdź wektor prostopadły do ​​A B → i A C → w tym samym czasie.

Decyzja

Wektory A B → i A C → mają odpowiednio następujące współrzędne (- 1 ; 2 ; 2) i (0 ; 4 ; 1). Po znalezieniu iloczynu wektorów wektorów A B → i A C → , jest oczywiste, że jest to wektor prostopadły z definicji zarówno do A B →, jak i A C → , czyli jest to rozwiązanie naszego problemu. Znajdź to ZA b → × ZA do → = ja → jot → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 ja → + jot → - 4 k → .

Odpowiadać: - 6 ja → + jot → - 4 k → . jest jednym z prostopadłych wektorów.

Problemy trzeciego typu skupiają się na wykorzystaniu właściwości iloczynu wektorów wektorów. Po zastosowaniu której uzyskamy rozwiązanie zadanego problemu.

Przykład 5

Wektory a → i b → są prostopadłe, a ich długości wynoszą odpowiednio 3 i 4. Znajdź długość iloczynu poprzecznego 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 za → × - 2 b → + - b → × za → + - b → × - 2 b → .

Decyzja

Przez właściwość rozdzielności iloczynu wektorowego możemy napisać 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 za → × za → + 3 za → × - 2 b → + - b → × za → + - b → × - 2 b →

Dzięki właściwości asocjatywności wyjmujemy współczynniki liczbowe poza znakiem iloczynów wektorowych w ostatnim wyrażeniu: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → = = 3 za → × za → + 3 (- 2) za → × b → + (- 1) b → × za → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 za → × za → - 6 za → × b → - b → × za → + 2 b → × b →

Iloczyny wektorowe a → × a → i b → × b → są równe 0, ponieważ a → × a → = a → a → sin 0 = 0 i b → × b → = b → b → sin 0 = 0 , wtedy 3 za → × za → - 6 za → × b → - b → × za → + 2 b → × b → = - 6 za → × b → - b → × za → . .

Z antyprzemienności iloczynu wektorowego wynika - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b → . .

Korzystając z własności iloczynu wektorowego, otrzymujemy równość 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

Warunkowo wektory a → i b → są prostopadłe, to znaczy kąt między nimi jest równy π 2 . Teraz pozostaje tylko zastąpić znalezione wartości odpowiednimi wzorami: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → grzech (a →, b →) = 5 3 4 grzech π 2 = 60.

Odpowiadać: 3 za → - b → × za → - 2 b → = 60 .

Długość iloczynu krzyżowego wektorów z definicji to a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Ponieważ wiadomo już (z kursu szkolnego), że pole trójkąta jest równe połowie iloczynu długości jego dwóch boków pomnożonej przez sinus kąta między tymi bokami. Dlatego długość iloczynu wektorowego jest równa polu równoległoboku - podwojonego trójkąta, a mianowicie iloczynu boków w postaci wektorów a → i b → , odsunięty od jednego punktu przez sinus kąta między nimi sin ∠ a → , b → .

To jest geometryczne znaczenie iloczynu wektorowego.

Fizyczne znaczenie iloczynu wektorowego

W mechanice, jednej z gałęzi fizyki, dzięki iloczynowi wektorowemu można wyznaczyć moment siły względem punktu w przestrzeni.

Definicja 3

Pod momentem siły F → , przyłożonej do punktu B względem punktu A, zrozumiemy następujący iloczyn wektorowy A B → × F → .

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

7.1. Definicja iloczynu krzyżowego

Trzy niewspółpłaszczyznowe wektory a , b i c , wzięte we wskazanej kolejności, tworzą prawą trójkę, jeśli od końca trzeciego wektora c najkrótszy skręt od pierwszego wektora a do drugiego wektora b jest widziany w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, oraz lewy, jeśli jest zgodny z ruchem wskazówek zegara (patrz ryc. 16).

Iloczyn wektorowy wektora a i wektora b nazywamy wektorem c, który:

1. Prostopadłe do wektorów a i b, tj. c ^ a i c ^ b;

2. Ma długość liczbowo równą polu równoległoboku zbudowanego na wektorach aib jak po bokach (patrz rys. 17), tj.

3. Wektory a , b i c tworzą prawą trójkę.

Iloczyn wektorowy jest oznaczony jako x b lub [a, b]. Z definicji iloczynu wektorowego wynikają bezpośrednio następujące relacje między ortami, j oraz k(patrz rys. 18):

ja x j \u003d k, j x k \u003d ja, k x i \u003d j.
Udowodnijmy to np ja xj \u003d k.

1) k ^ ja , k ^ j;

2) |k |=1, ale | ja x j| = |i| |J| grzech(90°)=1;

3) wektory i , j i k utwórz prawą trójkę (patrz ryc. 16).

7.2. Właściwości produktów krzyżowych

1. Po przestawieniu czynników iloczyn wektorowy zmienia znak, tj. i xb \u003d (b xa) (patrz ryc. 19).

Wektory a xb i b xa są współliniowe, mają te same moduły (obszar równoległoboku pozostaje niezmieniony), ale są skierowane przeciwnie (potrójne a, b, a xb i a, b, b x a o przeciwnej orientacji). To jest axb = -(bxa).

2. Produkt wektorowy ma właściwość kombinacji w odniesieniu do współczynnika skalarnego, tj. l (a xb) \u003d (l a) x b \u003d a x (lb).

Niech l > 0. Wektor l (a xb) jest prostopadły do ​​wektorów aib. Wektor ( l topór b jest również prostopadła do wektorów a i b(wektory a, l leżeć w tej samej płaszczyźnie). Więc wektory l(axb) i ( l topór b współliniowy. Wyraźnie widać, że ich kierunki są zbieżne. Mają taką samą długość:

Dlatego l(a xb)= l xb. Udowodniono to podobnie dla l<0.

3. Dwa niezerowe wektory a i b są współliniowe wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn wektorowy jest równy wektorowi zerowemu, tj. i ||b<=>i xb \u003d 0.

W szczególności ja *i =j *j =k *k =0 .

4. Iloczyn wektorowy ma właściwość dystrybucji:

(a+b) xs = a xs + b xs.

Akceptuj bez dowodu.

7.3. Wyrażenie iloczynu krzyżowego pod względem współrzędnych

Skorzystamy z tabeli iloczynów wektorowych i , j i k:

jeśli kierunek najkrótszej ścieżki od pierwszego wektora do drugiego pokrywa się z kierunkiem strzałki, to iloczyn jest równy trzeciemu wektorowi, jeśli nie pasuje, trzeci wektor jest brany ze znakiem minus.

Niech dwa wektory a =a x i +ay j+az k i b=bx ja+przez j+bz k. Znajdźmy iloczyn wektorowy tych wektorów, mnożąc je przez wielomiany (zgodnie z właściwościami iloczynu wektorowego):

Otrzymany wzór można zapisać jeszcze krócej:

ponieważ prawa strona równości (7.1) odpowiada rozwinięciu wyznacznika trzeciego rzędu pod względem elementów pierwszego rzędu Równość (7.2) jest łatwa do zapamiętania.

7.4. Niektóre zastosowania iloczynu krzyżowego

Wyznaczanie współliniowości wektorów

Znalezienie obszaru równoległoboku i trójkąta

Zgodnie z definicją iloczynu krzyżowego wektorów a oraz b |a xb | =| * |b |sin g , tj. S par = |a x b |. A zatem D S \u003d 1/2 | a x b |.

Wyznaczanie momentu siły względem punktu

Niech siła zostanie przyłożona w punkcie A F =AB Odpuść sobie O- jakiś punkt w przestrzeni (patrz rys. 20).

Z fizyki wiadomo, że moment obrotowy F względem punktu O zwany wektorem M , który przechodzi przez punkt O oraz:

1) prostopadła do płaszczyzny przechodzącej przez punkty O, A, B;

2) liczbowo równa iloczynowi siły i ramienia

3) tworzy prawą trójkę z wektorami OA i A B .

Dlatego M \u003d OA x F.

Znalezienie liniowej prędkości obrotowej

Prędkość w punkt M sztywnego ciała obracającego się z prędkością kątową w wokół ustalonej osi, jest określony wzorem Eulera v \u003d w x r, gdzie r \u003d OM, gdzie O jest pewnym stałym punktem osi (patrz ryc. 21).

MIESZANY PRODUKT TRZECH WEKTORÓW I JEGO WŁAŚCIWOŚCI

produkt mieszany trzy wektory nazywamy liczbą równą . oznaczone . Tutaj pierwsze dwa wektory są mnożone wektorowo, a następnie wynikowy wektor jest mnożony skalarnie przez trzeci wektor. Oczywiście taki produkt to jakaś liczba.

Rozważ właściwości zmieszanego produktu.

1. zmysł geometryczny produkt mieszany. Iloczyn mieszany 3 wektorów, do znaku, jest równy objętości równoległościanu zbudowanego na tych wektorach, jak na krawędziach, tj. .

   W ten sposób i .

   

   Dowód. Odłóżmy wektory ze wspólnego początku i zbudujmy na nich równoległościan. Oznaczmy i zauważmy, że . Z definicji iloczynu skalarnego

   Zakładając, że i oznaczając przez h wysokość równoległościanu, znajdujemy .

   Tym samym o godz

   Jeśli , to i . W konsekwencji, .

   Łącząc oba te przypadki, otrzymujemy lub .

   W szczególności z dowodu tej własności wynika, że ​​jeśli trójka wektorów jest właściwa, to iloczyn mieszany , a jeśli jest lewa, to .

2. Dla dowolnych wektorów , , równość

   Dowód tej własności wynika z własności 1. Rzeczywiście łatwo jest pokazać, że i . Co więcej, znaki „+” i „-” są przyjmowane jednocześnie, ponieważ kąty między wektorami i i i są zarówno ostre, jak i rozwarte.

3. Gdy dowolne dwa czynniki zostaną zamienione, produkt mieszany zmienia znak.

   Rzeczywiście, jeśli weźmiemy pod uwagę produkt mieszany, to na przykład lub

4. Produkt mieszany wtedy i tylko wtedy, gdy jeden z czynników jest równy zeru lub wektory są współpłaszczyznowe.

   Dowód.

   Zatem warunkiem koniecznym i wystarczającym zgodności 3 wektorów jest równość do zera ich iloczynu mieszanego. Ponadto wynika z tego, że trzy wektory tworzą bazę w przestrzeni, jeśli .

   Jeśli wektory są podane w postaci współrzędnych, można wykazać, że ich iloczyn mieszany można znaleźć za pomocą wzoru:

   .

   Zatem iloczyn mieszany jest równy wyznacznikowi trzeciego rzędu, którego pierwsza linia zawiera współrzędne pierwszego wektora, druga linia zawiera współrzędne drugiego wektora, a trzecia linia zawiera współrzędne trzeciego wektora.

   Przykłady.

GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI

Równanie F(x, y, z)= 0 definiuje w przestrzeni oksyz jakaś powierzchnia np. zbiór punktów, których współrzędne x, y, z spełnić to równanie. To równanie nazywa się równaniem powierzchni i x, y, z– aktualne współrzędne.

Jednak często powierzchnia nie jest definiowana przez równanie, ale jako zbiór punktów w przestrzeni, które mają taką czy inną właściwość. W takim przypadku wymagane jest znalezienie równania powierzchni na podstawie jej właściwości geometrycznych.

SAMOLOT.

NORMALNY WEKTOR PŁASKI.

RÓWNANIE PŁAszczyzny przelatującej przez dany punkt

Rozważmy dowolną płaszczyznę σ w przestrzeni. Jego położenie jest określane przez ustawienie wektora prostopadłego do tej płaszczyzny i pewnego stałego punktu M0(x0, y 0, z0) leżącego w płaszczyźnie σ.

Nazywamy wektor prostopadły do ​​płaszczyzny σ normalna wektor tej płaszczyzny. Niech wektor ma współrzędne .

Wyprowadzamy równanie dla płaszczyzny σ przechodzącej przez dany punkt M0 i mając wektor normalny . Aby to zrobić, weź dowolny punkt na płaszczyźnie σ M(x, y, z) i rozważ wektor .

Dla dowolnego punktu M wektor Î σ Dlatego ich iloczyn skalarny jest równy zeru. Ta równość jest warunkiem, że punkt MО σ. Obowiązuje on dla wszystkich punktów tej płaszczyzny i jest naruszany z chwilą przekroczenia punktu M będzie poza płaszczyzną σ.

Jeśli oznaczymy przez wektor promienia punkty M, jest wektorem promienia punktu M0, to równanie można zapisać jako

To równanie nazywa się wektor równanie płaszczyzny. Zapiszmy to w postaci współrzędnych. Od tego czasu

Otrzymaliśmy więc równanie płaszczyzny przechodzącej przez dany punkt. Aby więc ułożyć równanie płaszczyzny, trzeba znać współrzędne wektora normalnego i współrzędne jakiegoś punktu leżącego na płaszczyźnie.

Zauważ, że równanie płaszczyzny jest równaniem pierwszego stopnia względem aktualnych współrzędnych x, y oraz z.

Przykłady.

RÓWNANIE OGÓLNE SAMOLOTU

Można wykazać, że dowolne równanie pierwszego stopnia względem współrzędnych kartezjańskich x, y, z jest równaniem pewnej płaszczyzny. To równanie jest zapisane jako:

Topór+By+Cz+D=0

i zadzwoniłem równanie ogólne samolot i współrzędne A, B, C oto współrzędne wektora normalnego płaszczyzny.

Rozważmy poszczególne przypadki ogólnego równania. Dowiedzmy się, jak płaszczyzna jest położona względem układu współrzędnych, jeśli jeden lub więcej współczynników równania zniknie.

A jest długością odcinka odciętego przez płaszczyznę na osi Wół. Podobnie można to pokazać b oraz c to długości odcinków odciętych przez rozważaną płaszczyznę na osiach Ojej oraz Oz.

Do konstruowania płaszczyzn wygodnie jest używać równania płaszczyzny w segmentach.

W tej lekcji przyjrzymy się jeszcze dwóm operacjom na wektorach: iloczyn krzyżowy wektorów oraz produkt mieszany wektorów (bezpośredni link dla potrzebujących). W porządku, czasami zdarza się, że dla pełnego szczęścia, oprócz iloczyn skalarny wektorów, potrzeba coraz więcej. To jest uzależnienie od wektorów. Można odnieść wrażenie, że wkraczamy w dżunglę geometrii analitycznej. To nie jest prawda. W tej części wyższej matematyki jest generalnie mało drewna opałowego, z wyjątkiem być może wystarczającej ilości dla Pinokia. W rzeczywistości materiał jest bardzo powszechny i ​​prosty - niewiele trudniejszy od tego samego iloczyn skalarny, nawet będzie mniej typowych zadań. Najważniejszą rzeczą w geometrii analitycznej, jak wielu widzi lub już widziało, jest NIE MYLIĆ SIĘ W OBLICZENIACH. Powtarzaj jak zaklęcie, a będziesz szczęśliwy =)

Jeśli wektory błyszczą gdzieś daleko, jak błyskawica na horyzoncie, to nie ma znaczenia, zacznij od lekcji Wektory dla manekinów przywrócić lub odzyskać podstawową wiedzę o wektorach. Czytelnicy bardziej przygotowani mogą zapoznać się z informacjami wybiórczo, starałem się zebrać jak najpełniejszy zbiór przykładów często spotykanych w pracy praktycznej

Co cię uszczęśliwi? Kiedy byłem mały, umiałem żonglować dwiema, a nawet trzema piłkami. Udało się. Teraz w ogóle nie ma potrzeby żonglowania, ponieważ rozważymy tylko wektory kosmiczne, a płaskie wektory o dwóch współrzędnych zostaną pominięte. Czemu? Tak narodziły się te działania - wektor i iloczyn mieszany wektorów są zdefiniowane i działają w przestrzeni trójwymiarowej. Już łatwiejsze!

W tej operacji, podobnie jak w iloczynze skalarnym, dwa wektory. Niech to będą niezniszczalne litery.

Sama akcja oznaczony w następujący sposób: . Są inne opcje, ale ja jestem przyzwyczajony do oznaczania iloczynu wektorów w ten sposób, w nawiasach kwadratowych z krzyżykiem.

I natychmiast pytanie: jeśli w iloczyn skalarny wektorów zaangażowane są dwa wektory, a więc tutaj również dwa wektory są mnożone jaka jest różnica? Wyraźna różnica przede wszystkim w WYNIKU:

Wynikiem iloczynu skalarnego wektorów jest LICZBA:

Wynikiem iloczynu krzyżowego wektorów jest WEKTOR: , to znaczy mnożymy wektory i ponownie otrzymujemy wektor. Klub zamknięty. Właściwie stąd nazwa operacji. W różnej literaturze edukacyjnej oznaczenia również mogą się różnić, ja posłużę się literą .

Definicja iloczynu krzyżowego

Najpierw będzie definicja z obrazkiem, potem komentarze.

Definicja: iloczyn krzyżowy niewspółliniowe wektory , podjęte w tej kolejności, nazywa się WEKTOR, długość czyli liczbowo równe polu równoległoboku, zbudowany na tych wektorach; wektor ortogonalne do wektorów i jest skierowany tak, że podstawa ma właściwą orientację:

Analizujemy definicję według kości, jest wiele interesujących rzeczy!

Możemy więc wyróżnić następujące istotne punkty:

1) Wektory źródłowe, z definicji oznaczone czerwonymi strzałkami nie współliniowy. Właściwe będzie rozważenie przypadku wektorów współliniowych nieco później.

2) Pobrane wektory w ścisłym porządku: – „a” jest mnożone przez „być”, a nie „być” do „a”. Wynik mnożenia wektorów jest VECTOR , który jest oznaczony na niebiesko. Jeśli wektory zostaną pomnożone w odwrotnej kolejności, otrzymamy wektor równy długości i przeciwny kierunek (szkarłatny kolor). Czyli równość .

3) Teraz zapoznajmy się z geometrycznym znaczeniem iloczynu wektorowego. To bardzo ważny punkt! DŁUGOŚĆ wektora niebieskiego (a zatem wektora karmazynowego ) jest liczbowo równa POWIERZCHNI równoległoboku zbudowanego z wektorów . Na rysunku ten równoległobok jest zacieniowany na czarno.

Uwaga : rysunek jest schematyczny i oczywiście nominalna długość iloczynu poprzecznego nie jest równa polu równoległoboku.

Przypominamy jedną z formuł geometrycznych: powierzchnia równoległoboku jest równa iloczynowi sąsiednich boków i sinusowi kąta między nimi. Dlatego w oparciu o powyższe obowiązuje wzór na obliczenie DŁUGOŚCI iloczynu wektorowego:

Podkreślam, że we wzorze mówimy o DŁUGOŚCI wektora, a nie o samym wektorze. Jakie jest praktyczne znaczenie? A znaczenie jest takie, że w problemach geometrii analitycznej obszar równoległoboku często znajduje się dzięki koncepcji iloczynu wektorowego:

Otrzymujemy drugą ważną formułę. Przekątna równoległoboku (czerwona przerywana linia) dzieli go na dwa równe trójkąty. Dlatego pole trójkąta zbudowanego na wektorach (czerwone cieniowanie) można znaleźć według wzoru:

4) Równie ważnym faktem jest to, że wektor jest ortogonalny do wektorów , to znaczy . Oczywiście skierowany przeciwnie wektor (karmazynowa strzałka) jest również prostopadły do ​​pierwotnych wektorów.

5) Wektor jest skierowany tak, że podstawa To ma Prawidłowy orientacja. Na lekcji nt przejść na nową bazę Mówiłem szczegółowo o orientacja płaszczyzny, a teraz dowiemy się, jaka jest orientacja przestrzeni. Wyjaśnię ci na palcach prawa ręka. Psychicznie kombinuj palec wskazujący z wektorem i środkowy palec z wektorem . Palec serdeczny i mały palec wciśnij w dłoń. W rezultacie kciuk- iloczyn wektorowy spojrzy w górę. To jest podstawa zorientowana w prawo (jest na rysunku). Teraz zamień wektory ( palce wskazujące i środkowe) w niektórych miejscach kciuk się obróci, a iloczyn wektorowy będzie już patrzył w dół. Jest to również podstawa zorientowana na prawo. Być może masz pytanie: jakie podstawy ma orientacja lewicowa? „Przypisz” te same palce lewa ręka wektory i uzyskaj lewą podstawę i lewą orientację przestrzenną (w tym przypadku kciuk będzie skierowany w kierunku dolnego wektora). Mówiąc obrazowo, podstawy te „skręcają” lub orientują przestrzeń w różnych kierunkach. I tej koncepcji nie należy uważać za coś naciąganego lub abstrakcyjnego - na przykład najzwyklejsze lustro zmienia orientację przestrzeni, a jeśli „wyciągniesz odbity przedmiot z lustra”, to ogólnie nie będzie możliwe połączyć go z „oryginałem”. Przy okazji zbliż trzy palce do lustra i przeanalizuj odbicie ;-)

... jak dobrze, że już o tym wiesz zorientowany na prawo i lewo podstaw, bo wypowiedzi niektórych wykładowców o zmianie orientacji są straszne =)

Iloczyn wektorowy wektorów współliniowych

Definicja została szczegółowo opracowana, pozostaje dowiedzieć się, co się dzieje, gdy wektory są współliniowe. Jeśli wektory są współliniowe, to można je umieścić na jednej prostej, a nasz równoległobok również „składa się” w jedną prostą. Obszar taki, jak mówią matematycy, zdegenerowany równoległobok wynosi zero. To samo wynika ze wzoru - sinus zera czyli 180 stopni jest równy zeru, co oznacza, że ​​pole wynosi zero

Zatem, jeśli, to oraz . Należy zauważyć, że sam iloczyn krzyżowy jest równy wektorowi zerowemu, ale w praktyce jest to często zaniedbywane i zapisywane, że jest również równe zeru.

Szczególnym przypadkiem jest iloczyn wektorowy wektora i samego siebie:

Za pomocą iloczynu krzyżowego można sprawdzić współliniowość wektorów trójwymiarowych, przeanalizujemy również ten problem m.in.

Aby rozwiązać praktyczne przykłady, może być konieczne tabela trygonometryczna znaleźć z niego wartości sinusów.

Cóż, rozpalmy ogień:

Przykład 1

a) Znajdź długość iloczynu wektorów wektorów, jeśli

b) Znajdź obszar równoległoboku zbudowanego na wektorach, jeśli

Decyzja: Nie, to nie jest literówka, celowo ujednoliciłem początkowe dane w elementach warunku. Ponieważ projekt rozwiązań będzie inny!

a) Zgodnie z warunkiem należy znaleźć długość wektor (produkt wektorowy). Zgodnie z odpowiednią formułą:

Odpowiadać:

Ponieważ pytano o długość, to w odpowiedzi podajemy wymiar - jednostki.

b) Zgodnie z warunkiem należy znaleźć obszar równoległobok zbudowany na wektorach. Powierzchnia tego równoległoboku jest liczbowo równa długości iloczynu poprzecznego:

Odpowiadać:

Proszę zwrócić uwagę, że w odpowiedzi na temat iloczynu wektorowego nie ma w ogóle mowy o to, o co nas pytano obszar figury, odpowiednio, wymiar to jednostki kwadratowe.

Zawsze patrzymy na to, CO musi znaleźć warunek, i na tej podstawie formułujemy jasny odpowiadać. Może się to wydawać dosłownością, ale literalistów wśród nauczycieli jest wystarczająco dużo, a zadanie z dużymi szansami wróci do powtórki. Choć nie jest to specjalnie naciągany drobiazg – jeśli odpowiedź jest błędna, to można odnieść wrażenie, że dana osoba nie rozumie prostych rzeczy i/lub nie zrozumiała istoty zadania. Ten moment należy zawsze mieć pod kontrolą, rozwiązując każdy problem z matematyki wyższej, ale także z innych przedmiotów.

Gdzie podziała się duża litera „en”? W zasadzie można było dodatkowo dokleić do rozwiązania, ale żeby skrócić zapis, tego nie zrobiłem. Mam nadzieję, że wszyscy to rozumieją i jest to oznaczenie tego samego.

Popularny przykład rozwiązania typu „zrób to sam”:

Przykład 2

Znajdź obszar trójkąta zbudowanego na wektorach, jeśli

Wzór na znalezienie obszaru trójkąta przez iloczyn wektorowy podano w komentarzach do definicji. Rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

W praktyce zadanie jest naprawdę bardzo częste, trójkąty można ogólnie torturować.

Aby rozwiązać inne problemy, potrzebujemy:

Własności iloczynu krzyżowego wektorów

Rozważaliśmy już niektóre właściwości iloczynu wektorowego, jednak uwzględnię je na tej liście.

Dla dowolnych wektorów i dowolnej liczby prawdziwe są następujące właściwości:

1) W innych źródłach informacji pozycja ta zazwyczaj nie wyróżnia się właściwościami, ale jest bardzo ważna pod względem praktycznym. Niech tak zostanie.

2) - właściwość jest również omówiona powyżej, czasami nazywana jest antyprzemienność. Innymi słowy, kolejność wektorów ma znaczenie.

3) - kombinacja lub asocjacyjny prawa produktów wektorowych. Stałe można łatwo wyprowadzić z granic iloczynu wektorowego. Naprawdę, co oni tam robią?

4) - dystrybucja lub dystrybucja prawa produktów wektorowych. Nie ma też problemów z otwieraniem nawiasów.

Jako demonstrację rozważ krótki przykład:

Przykład 3

Znajdź jeśli

Decyzja: Warunkowo ponownie wymagane jest znalezienie długości iloczynu wektorowego. Pomalujmy naszą miniaturę:

(1) Zgodnie z prawami asocjacji wyprowadzamy stałe poza granice iloczynu wektorowego.

(2) Wyciągamy stałą z modułu, podczas gdy moduł „zjada” znak minus. Długość nie może być ujemna.

(3) To, co następuje, jest jasne.

Odpowiadać:

Czas dorzucić drewna do ognia:

Przykład 4

Oblicz pole trójkąta zbudowanego na wektorach, jeśli

Decyzja: Znajdź obszar trójkąta za pomocą wzoru . Szkopuł w tym, że wektory „ce” i „te” same są reprezentowane jako sumy wektorów. Algorytm tutaj jest standardowy i przypomina nieco przykłady nr 3 i 4 z lekcji. Iloczyn skalarny wektorów. Dla jasności podzielmy to na trzy etapy:

1) W pierwszym kroku wyrażamy iloczyn wektorowy za pomocą iloczynu wektorowego, w rzeczywistości wyraź wektor za pomocą wektora. Nie ma jeszcze słowa o długości!

(1) Podstawiamy wyrażenia wektorów .

(2) Korzystając z praw rozdzielności, otwórz nawiasy zgodnie z zasadą mnożenia wielomianów.

(3) Korzystając z praw asocjacji, usuwamy wszystkie stałe poza iloczynami wektorowymi. Przy niewielkim doświadczeniu czynności 2 i 3 można wykonywać jednocześnie.

(4) Pierwszy i ostatni wyraz są równe zeru (wektor zerowy) ze względu na przyjemną właściwość . W drugim członie wykorzystujemy właściwość antyprzemienności iloczynu wektorowego:

(5) Przedstawiamy podobne warunki.

W rezultacie wektor okazał się być wyrażony przez wektor, co należało osiągnąć:

2) W drugim kroku znajdujemy długość potrzebnego nam iloczynu wektorowego. Ta czynność jest podobna do przykładu 3:

3) Znajdź obszar wymaganego trójkąta:

Kroki 2-3 rozwiązania można ułożyć w jednej linii.

Odpowiadać:

Rozważany problem jest dość powszechny w testach, oto przykład niezależnego rozwiązania:

Przykład 5

Znajdź jeśli

Krótkie rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji. Zobaczmy, jak uważny byłeś podczas studiowania poprzednich przykładów ;-)

Iloczyn krzyżowy wektorów we współrzędnych

, podane w bazie ortonormalnej , wyraża się wzorem:

Formuła jest naprawdę prosta: w górnym wierszu wyznacznika zapisujemy wektory współrzędnych, w drugim i trzecim wierszu „pakujemy” współrzędne wektorów i umieszczamy w ścisłym porządku- najpierw współrzędne wektora "ve", następnie współrzędne wektora "double-ve". Jeśli wektory trzeba pomnożyć w innej kolejności, to należy również zamienić wiersze:

Przykład 10

Sprawdź, czy następujące wektory przestrzenne są współliniowe:
a)
b)

Decyzja: Test opiera się na jednym ze stwierdzeń z tej lekcji: jeśli wektory są współliniowe, to ich iloczyn krzyżowy wynosi zero (wektor zerowy): .

a) Znajdź iloczyn wektorowy:

Zatem wektory nie są współliniowe.

b) Znajdź iloczyn wektorowy:

Odpowiadać: a) nie współliniowe, b)

Być może tutaj znajdują się wszystkie podstawowe informacje o produkcie wektorowym wektorów.

Ta sekcja nie będzie zbyt obszerna, ponieważ istnieje niewiele problemów, gdy używany jest iloczyn mieszany wektorów. W rzeczywistości wszystko będzie opierać się na definicji, znaczeniu geometrycznym i kilku działających formułach.

Produkt mieszany wektorów jest iloczynem trzech wektorów:

W ten sposób ustawiają się w kolejce jak pociąg i czekają, nie mogą się doczekać, aż zostaną obliczone.

Najpierw znowu definicja i obraz:

Definicja: Produkt mieszany niewspółpłaszczyznowy wektory , podjęte w tej kolejności, nazywa się objętość równoległościanu, zbudowany na tych wektorach, wyposażony w znak „+”, jeśli podstawa jest właściwa, i znak „-”, jeśli podstawa jest lewa.

Zróbmy rysunek. Linie niewidoczne dla nas są rysowane linią kropkowaną:

Zagłębmy się w definicję:

2) Pobrane wektory w określonej kolejności, czyli permutacja wektorów w iloczynie, jak można się domyślić, nie pozostaje bez konsekwencji.

3) Zanim skomentuję znaczenie geometryczne, zwrócę uwagę na oczywisty fakt: iloczyn mieszany wektorów to LICZBA: . W literaturze edukacyjnej projekt może być nieco inny, kiedyś oznaczałem produkt mieszany, a wynik obliczeń literą „pe”.

A-priorytet zmieszany produkt to objętość równoległościanu, zbudowany na wektorach (rysunek jest rysowany czerwonymi wektorami i czarnymi liniami). Oznacza to, że liczba jest równa objętości danego równoległościanu.

Uwaga : Rysunek jest schematyczny.

4) Nie zawracajmy sobie ponownie głowy koncepcją orientacji podstawy i przestrzeni. Znaczenie ostatniej części polega na tym, że do woluminu można dodać znak minus. Mówiąc prościej, iloczyn mieszany może być ujemny: .

Wzór na obliczenie objętości równoległościanu zbudowanego na wektorach wynika bezpośrednio z definicji.