Obliczanie prawdopodobieństwa teoretycznego. Teoria prawdopodobieństwa: wzory i przykłady rozwiązywania problemów

„Przypadkowość nie jest przypadkowa”... Brzmi to tak, jak powiedział filozof, ale w rzeczywistości badanie przypadków jest przeznaczeniem wielkiej nauki matematycznej. W matematyce przypadek jest teorią prawdopodobieństwa. W artykule zostaną przedstawione formuły i przykłady zadań, a także główne definicje tej nauki.

Czym jest teoria prawdopodobieństwa?

Teoria prawdopodobieństwa to jedna z dyscyplin matematycznych zajmująca się badaniem zdarzeń losowych.

Aby było trochę jaśniej, podajmy mały przykład: jeśli rzucisz monetą, może spaść orła lub reszka. Dopóki moneta jest w powietrzu, obie te możliwości są możliwe. Oznacza to, że prawdopodobieństwo możliwych konsekwencji jest skorelowane 1:1. Jeśli zostanie wylosowany z talii z 36 kartami, to prawdopodobieństwo zostanie wskazane jako 1:36. Wydawałoby się, że nie ma co badać i przewidywać, zwłaszcza za pomocą wzorów matematycznych. Niemniej jednak, jeśli powtarzasz daną czynność wiele razy, możesz zidentyfikować pewien wzorzec i na jego podstawie przewidzieć wynik zdarzeń w innych warunkach.

Podsumowując powyższe, teoria prawdopodobieństwa w sensie klasycznym bada możliwość wystąpienia jednego z możliwych zdarzeń w sensie liczbowym.

Z kart historii

Teoria prawdopodobieństwa, wzory i przykłady pierwszych zadań pojawiły się w odległym średniowieczu, kiedy pojawiły się próby przewidywania wyników gier karcianych.

Początkowo teoria prawdopodobieństwa nie miała nic wspólnego z matematyką. Uzasadniano to faktami empirycznymi lub właściwościami zdarzenia, które można było odtworzyć w praktyce. Pierwsze prace z tej dziedziny jako dyscypliny matematycznej pojawiły się w XVII wieku. Założycielami byli Blaise Pascal i Pierre Fermat. Przez długi czas studiowali hazard i widzieli pewne wzorce, o których postanowili opowiedzieć opinii publicznej.

Tę samą technikę wynalazł Christian Huygens, choć nie znał wyników badań Pascala i Fermata. Wprowadził on pojęcie „teorii prawdopodobieństwa”, formuły i przykłady, które uważane są za pierwsze w historii dyscypliny.

Nie bez znaczenia są prace Jacoba Bernoulliego, twierdzenia Laplace'a i Poissona. Uczynili teorię prawdopodobieństwa bardziej dyscypliną matematyczną. Teoria prawdopodobieństwa, wzory i przykłady podstawowych zadań uzyskały swoją obecną postać dzięki aksjomatom Kołmogorowa. W wyniku tych wszystkich zmian teoria prawdopodobieństwa stała się jedną z gałęzi matematycznych.

Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa. Rozwój

Główną koncepcją tej dyscypliny jest „wydarzenie”. Zdarzenia są trzech typów:

• Wiarygodny. Te, które i tak się wydarzą (moneta spadnie).
• Niemożliwy. Wydarzenia, które nie nastąpią w żadnym scenariuszu (moneta pozostanie w powietrzu).
• Losowy. Te, które się wydarzą lub nie. Mogą na nie wpływać różne czynniki, które są bardzo trudne do przewidzenia. Jeśli mówimy o monecie, to czynniki losowe, które mogą wpłynąć na wynik: fizyczne cechy monety, jej kształt, pozycja początkowa, siła rzutu itp.

Wszystkie zdarzenia w przykładach są oznaczone dużymi literami łacińskimi, z wyjątkiem R, który ma inną rolę. Na przykład:

• A = „uczniowie przyszli na wykład”.
• Ā = "uczniowie nie przyszli na wykład".

W zadaniach praktycznych zdarzenia są zwykle zapisywane słowami.

Jedną z najważniejszych cech wydarzeń jest ich równość szans. Oznacza to, że jeśli rzucisz monetą, wszystkie warianty początkowego upadku są możliwe, dopóki nie spadnie. Ale wydarzenia też nie są równie prawdopodobne. Dzieje się tak, gdy ktoś celowo wpływa na wynik. Na przykład „zaznaczone” karty do gry lub kości, w których środek ciężkości jest przesunięty.

Wydarzenia są również kompatybilne i niekompatybilne. Zdarzenia kompatybilne nie wykluczają zaistnienia siebie nawzajem. Na przykład:

• A = "uczeń przyszedł na wykład".
• B = „uczeń przyszedł na wykład”.

Zdarzenia te są od siebie niezależne, a pojawienie się jednego z nich nie wpływa na wygląd drugiego. Zdarzenia niezgodne są definiowane przez fakt, że wystąpienie jednego wyklucza wystąpienie drugiego. Jeśli mówimy o tej samej monecie, to utrata „ogonów” uniemożliwia pojawienie się „orzełków” w tym samym eksperymencie.

Działania na wydarzeniach

Zdarzenia można mnożyć i dodawać, w dyscyplinie wprowadza się odpowiednio spójniki logiczne „AND” i „LUB”.

Kwota zależy od faktu, że albo zdarzenie A, B, albo oba mogą wystąpić w tym samym czasie. W przypadku, gdy są niezgodne, ostatnia opcja jest niemożliwa, odpadnie albo A, albo B.

Multiplikacja zdarzeń polega na jednoczesnym pojawieniu się A i B.

Teraz możesz podać kilka przykładów, aby lepiej zapamiętać podstawy, teorię prawdopodobieństwa i wzory. Poniżej przykłady rozwiązywania problemów.

Ćwiczenie 1: Firma ubiega się o kontrakty na trzy rodzaje prac. Możliwe zdarzenia, które mogą wystąpić:

• A = „firma otrzyma pierwszy kontrakt”.
• A 1 = „firma nie otrzyma pierwszego kontraktu”.
• B = „firma otrzyma drugi kontrakt”.
• B 1 = "firma nie otrzyma drugiego kontraktu"
• C = „firma otrzyma trzeci kontrakt”.
• C 1 = „firma nie otrzyma trzeciego kontraktu”.

Spróbujmy wyrazić następujące sytuacje za pomocą działań na zdarzeniach:

• K = „firma otrzyma wszystkie kontrakty”.

W postaci matematycznej równanie będzie wyglądać tak: K = ABC.

• M = „firma nie otrzyma ani jednego kontraktu”.

M \u003d A 1 B 1 C 1.

Komplikujemy zadanie: H = „firma otrzyma jeden kontrakt”. Ponieważ nie wiadomo, jaki kontrakt otrzyma firma (pierwszy, drugi czy trzeci), konieczne jest zarejestrowanie całej gamy możliwych zdarzeń:

H \u003d A 1 pne 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

A 1 pne 1 to seria wydarzeń, w których firma nie otrzymuje pierwszego i trzeciego kontraktu, ale otrzymuje drugi. Inne możliwe zdarzenia są również rejestrowane za pomocą odpowiedniej metody. Symbol υ w dyscyplinie oznacza wiązkę „LUB”. Jeśli powyższy przykład przetłumaczymy na ludzki język, to firma otrzyma albo trzeci kontrakt, albo drugi, albo pierwszy. Podobnie możesz napisać inne warunki w dyscyplinie „Teoria prawdopodobieństwa”. Przedstawione powyżej formuły i przykłady rozwiązywania problemów pomogą Ci zrobić to samemu.

Właściwie prawdopodobieństwo

Być może w tej matematycznej dyscyplinie prawdopodobieństwo zdarzenia jest centralnym pojęciem. Istnieją 3 definicje prawdopodobieństwa:

• klasyczny;
• statystyczny;
• geometryczny.

Każdy ma swoje miejsce w badaniu prawdopodobieństw. Teoria prawdopodobieństwa, wzory i przykłady (klasa 9) w większości wykorzystują klasyczną definicję, która brzmi tak:

• Prawdopodobieństwo wystąpienia sytuacji A jest równe stosunkowi liczby skutków sprzyjających jej wystąpieniu do liczby wszystkich możliwych skutków.

Formuła wygląda tak: P (A) \u003d m / n.

A właściwie wydarzenie. Jeśli występuje przeciwieństwo A, można je zapisać jako Ā lub A 1 .

m to liczba możliwych korzystnych przypadków.

n - wszystkie zdarzenia, które mogą się wydarzyć.

Na przykład A \u003d „wyciągnij kartę koloru serca”. W standardowej talii znajduje się 36 kart, 9 z nich to kiery. W związku z tym formuła rozwiązania problemu będzie wyglądać tak:

P(A)=9/36=0,25.

W rezultacie prawdopodobieństwo, że z talii zostanie wylosowana karta w kolorze serca, wyniesie 0,25.

do wyższej matematyki

Teraz mało wiadomo, czym jest teoria prawdopodobieństwa, formuły i przykłady rozwiązywania zadań, które pojawiają się w szkolnym programie nauczania. Jednak teorię prawdopodobieństwa można znaleźć również w matematyce wyższej, której naucza się na uniwersytetach. Najczęściej operują one geometrycznymi i statystycznymi definicjami teorii oraz złożonymi formułami.

Bardzo interesująca jest teoria prawdopodobieństwa. Wzory i przykłady (wyższa matematyka) lepiej zacząć uczyć się od małego - od statystycznej (lub częstotliwościowej) definicji prawdopodobieństwa.

Podejście statystyczne nie jest sprzeczne z podejściem klasycznym, ale je nieco rozszerza. Jeżeli w pierwszym przypadku konieczne było określenie, z jakim prawdopodobieństwem wystąpi zdarzenie, to w tej metodzie należy wskazać, jak często będzie ono występować. Tutaj wprowadza się nowe pojęcie „częstotliwości względnej”, którą można oznaczyć jako W n (A). Formuła nie różni się od klasycznej:

Jeżeli do prognozowania obliczona jest formuła klasyczna, to statystyczna jest wyliczana na podstawie wyników eksperymentu. Weźmy na przykład małe zadanie.

Dział kontroli technologicznej sprawdza produkty pod kątem jakości. Spośród 100 produktów 3 okazały się złej jakości. Jak znaleźć prawdopodobieństwo częstotliwości produktu wysokiej jakości?

A = „wygląd produktu wysokiej jakości”.

Wn (A)=97/100=0,97

Tak więc częstotliwość produktu wysokiej jakości wynosi 0,97. Skąd wziąłeś 97? Na 100 sprawdzonych produktów 3 okazały się złej jakości. Od 100 odejmujemy 3, otrzymujemy 97, to jest ilość produktu wysokiej jakości.

Trochę o kombinatoryce

Inna metoda teorii prawdopodobieństwa nazywa się kombinatoryką. Jego podstawową zasadą jest to, że jeśli pewnego wyboru A można dokonać na m różnych sposobów, a wyboru B na n różnych sposobów, to wyboru A i B można dokonać mnożąc.

Na przykład istnieje 5 dróg z miasta A do miasta B. Istnieją 4 trasy z miasta B do miasta C. Na ile sposobów można dostać się z miasta A do miasta C?

To proste: 5x4 = 20, czyli jest dwadzieścia różnych sposobów na przejście z punktu A do punktu C.

Ułatwmy zadanie. Na ile sposobów można grać w karty w pasjansie? W talii 36 kart jest to punkt wyjścia. Aby poznać liczbę sposobów, musisz „odjąć” jedną kartę od punktu początkowego i pomnożyć.

Oznacza to, że 36x35x34x33x32…x2x1= wynik nie mieści się na ekranie kalkulatora, więc można go po prostu oznaczyć jako 36!. Podpisać "!" obok liczby wskazuje, że cały ciąg liczb jest mnożony między sobą.

W kombinatoryce istnieją takie pojęcia, jak permutacje, rozmieszczenie i kombinacje. Każdy z nich ma swoją własną formułę.

Uporządkowany zestaw elementów zestawu nazywany jest układem. Miejsca docelowe mogą się powtarzać, co oznacza, że ​​jeden element może być użyty wiele razy. I bez powtórzeń, gdy elementy się nie powtarzają. n to wszystkie elementy, m to elementy, które uczestniczą w plasowaniu. Wzór na umieszczenie bez powtórzeń będzie wyglądał następująco:

A n m = n!/(n-m)!

Połączenia n elementów, które różnią się tylko kolejnością umieszczania, nazywane są permutacjami. W matematyce wygląda to tak: P n = n!

Kombinacje n pierwiastków przez m to takie związki, w których ważne jest, jakie to pierwiastki i jaka jest ich łączna liczba. Formuła będzie wyglądać tak:

A n m =n!/m!(n-m)!

Formuła Bernoulliego

W teorii prawdopodobieństwa, jak iw każdej dyscyplinie, znajdują się prace wybitnych badaczy w swojej dziedzinie, którzy przenieśli ją na nowy poziom. Jedną z tych prac jest formuła Bernoulliego, która pozwala określić prawdopodobieństwo wystąpienia określonego zdarzenia w niezależnych warunkach. Sugeruje to, że pojawienie się A w eksperymencie nie zależy od pojawienia się lub niewystąpienia tego samego zdarzenia w poprzednich lub późniejszych testach.

Równanie Bernoulliego:

P n (m) = C n m × p m × q n-m .

Prawdopodobieństwo (p) wystąpienia zdarzenia (A) pozostaje niezmienione dla każdej próby. Prawdopodobieństwo, że sytuacja zdarzy się dokładnie m razy w liczbie n eksperymentów zostanie obliczone według wzoru przedstawionego powyżej. W związku z tym pojawia się pytanie, jak znaleźć liczbę q.

Jeśli zdarzenie A wystąpi p razy, odpowiednio, może nie wystąpić. Jednostka to liczba używana do oznaczenia wszystkich wyników sytuacji w dyscyplinie. Dlatego q jest liczbą wskazującą na możliwość nie zajścia zdarzenia.

Teraz znasz wzór Bernoulliego (teoria prawdopodobieństwa). Przykłady rozwiązywania problemów (poziom pierwszy) zostaną omówione poniżej.

Zadanie 2: Odwiedzający sklep dokona zakupu z prawdopodobieństwem 0,2. 6 odwiedzających weszło do sklepu niezależnie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że odwiedzający dokona zakupu?

Rozwiązanie: Ponieważ nie wiadomo, ilu odwiedzających powinno dokonać zakupu, jednego lub wszystkich sześciu, konieczne jest obliczenie wszystkich możliwych prawdopodobieństw za pomocą wzoru Bernoulliego.

A = „odwiedzający dokona zakupu”.

W tym przypadku: p = 0,2 (jak wskazano w zadaniu). W związku z tym q=1-0,2 = 0,8.

n = 6 (ponieważ w sklepie jest 6 klientów). Liczba m zmieni się z 0 (żaden klient nie dokona zakupu) na 6 (wszyscy odwiedzający sklep coś kupią). W rezultacie otrzymujemy rozwiązanie:

P 6 (0) \u003d C 0 6 × p 0 × q 6 \u003d q 6 \u003d (0,8) 6 \u003d 0,2621.

Żaden z kupujących nie dokona zakupu z prawdopodobieństwem 0,2621.

Jak jeszcze stosuje się wzór Bernoulliego (teorię prawdopodobieństwa)? Przykłady rozwiązywania problemów (drugi poziom) poniżej.

Po powyższym przykładzie pojawiają się pytania o to, gdzie zniknęły C i p. W odniesieniu do p liczba do potęgi 0 będzie równa jeden. Jeśli chodzi o C, można go znaleźć wzorem:

Cnm = n! /m!(n-m)!

Ponieważ w pierwszym przykładzie odpowiednio m = 0, C=1, co w zasadzie nie wpływa na wynik. Korzystając z nowej formuły spróbujmy dowiedzieć się, jakie jest prawdopodobieństwo zakupu towaru przez dwóch odwiedzających.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Teoria prawdopodobieństwa nie jest tak skomplikowana. Bezpośrednim tego dowodem jest formuła Bernoulliego, której przykłady przedstawiono powyżej.

Wzór Poissona

Równanie Poissona służy do obliczania mało prawdopodobnych sytuacji losowych.

Podstawowa formuła:

Pn(m)=λm/m! ×e (-λ) .

W tym przypadku λ = n x p. Oto taki prosty wzór Poissona (teoria prawdopodobieństwa). Przykłady rozwiązywania problemów zostaną omówione poniżej.

Zadanie 3 O: Fabryka wyprodukowała 100 000 części. Pojawienie się wadliwej części = 0,0001. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w partii będzie 5 wadliwych części?

Jak widać, małżeństwo jest mało prawdopodobnym wydarzeniem, dlatego do obliczeń stosuje się wzór Poissona (teoria prawdopodobieństwa). Przykłady rozwiązywania tego typu problemów nie różnią się od innych zadań dyscypliny, potrzebne dane podstawiamy do powyższego wzoru:

A = "losowo wybrana część będzie uszkodzona."

p = 0,0001 (zgodnie z warunkiem przypisania).

n = 100000 (liczba części).

m = 5 (wadliwe części). Podstawiamy dane we wzorze i otrzymujemy:

R 100000 (5) = 10 5 / 5! Xe-10 = 0,0375.

Podobnie jak formuła Bernoulliego (teoria prawdopodobieństwa), przykłady rozwiązań, które są napisane powyżej, równanie Poissona ma nieznane e. W istocie można je znaleźć za pomocą wzoru:

e -λ = lim n -> ∞ (1-λ/n) n .

Istnieją jednak specjalne tabele, które zawierają prawie wszystkie wartości m.in.

Twierdzenie De Moivre-Laplace'a

Jeżeli w schemacie Bernoulliego liczba prób jest wystarczająco duża, a prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A we wszystkich schematach jest takie samo, to prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A określoną liczbę razy w serii prób może być znaleziona przez formułę Laplace'a:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

Xm = m-np/√npq.

Aby lepiej zapamiętać formułę Laplace'a (teoria prawdopodobieństwa), przykłady zadań do pomocy poniżej.

Najpierw znajdujemy X m , podstawiamy dane (wszystkie są wskazane powyżej) do wzoru i otrzymujemy 0,025. Korzystając z tabel, znajdujemy liczbę ϕ (0,025), której wartość wynosi 0,3988. Teraz możesz podstawić wszystkie dane we wzorze:

P 800 (267) \u003d 1 / √ (800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 \u003d 3/40 x 0,3988 \u003d 0,03.

Zatem prawdopodobieństwo, że ulotka trafi dokładnie 267 razy, wynosi 0,03.

Formuła Bayesa

Formuła Bayesa (teoria prawdopodobieństwa), której przykłady rozwiązywania zadań za pomocą których zostaną podane poniżej, jest równaniem opisującym prawdopodobieństwo zdarzenia w oparciu o okoliczności, które mogą być z nim związane. Główna formuła wygląda następująco:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A i B to określone zdarzenia.

P(A|B) - prawdopodobieństwo warunkowe, czyli zdarzenie A może wystąpić pod warunkiem, że zdarzenie B jest prawdziwe.

Р (В|А) - warunkowe prawdopodobieństwo zdarzenia В.

Tak więc ostatnią częścią krótkiego kursu „Teoria prawdopodobieństwa” jest formuła Bayesa, której przykłady rozwiązywania problemów znajdują się poniżej.

Zadanie 5: Do magazynu przywieziono telefony z trzech firm. Jednocześnie część telefonów produkowanych w pierwszej fabryce to 25%, w drugiej 60%, w trzeciej 15%. Wiadomo również, że średni odsetek wadliwych produktów w pierwszej fabryce wynosi 2%, w drugiej - 4%, aw trzeciej - 1%. Konieczne jest ustalenie prawdopodobieństwa uszkodzenia losowo wybranego telefonu.

A = „losowo zabrany telefon”.

B 1 - telefon wyprodukowany przez pierwszą fabrykę. W związku z tym pojawią się wprowadzające B 2 i B 3 (dla drugiej i trzeciej fabryki).

W rezultacie otrzymujemy:

P (B 1) \u003d 25% / 100% \u003d 0,25; P (B 2) \u003d 0,6; P (B 3) \u003d 0,15 - więc znaleźliśmy prawdopodobieństwo każdej opcji.

Teraz musisz znaleźć warunkowe prawdopodobieństwa pożądanego zdarzenia, czyli prawdopodobieństwo wadliwych produktów w firmach:

P (A / B 1) \u003d 2% / 100% \u003d 0,02;

P (A / B 2) \u003d 0,04;

P (A / B 3) \u003d 0,01.

Teraz podstawiamy dane do formuły Bayesa i otrzymujemy:

P (A) \u003d 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 \u003d 0,0305.

Artykuł przedstawia teorię prawdopodobieństwa, wzory i przykłady rozwiązywania problemów, ale to tylko wierzchołek góry lodowej ogromnej dyscypliny. A po tym wszystkim, co zostało napisane, logiczne będzie zadanie pytania, czy teoria prawdopodobieństwa jest potrzebna w życiu. Prostej osobie trudno jest odpowiedzieć, lepiej zapytać kogoś, kto z jej pomocą trafił w dziesiątkę więcej niż raz.

Gdy moneta zostanie rzucona, można powiedzieć, że wyląduje orła w górę lub prawdopodobieństwo z tego jest 1/2. Oczywiście nie oznacza to, że jeśli moneta zostanie rzucona 10 razy, to koniecznie wyląduje na głowie 5 razy. Jeśli moneta jest „uczciwa” i jeśli jest rzucana wiele razy, to w połowie przypadków orły podejdą bardzo blisko. Tak więc istnieją dwa rodzaje prawdopodobieństw: eksperymentalny oraz teoretyczny .

Eksperymentalne i teoretyczne prawdopodobieństwo

Jeśli rzucimy monetą dużą liczbę razy – powiedzmy 1000 – i policzymy, ile razy wypadnie reszki, możemy określić prawdopodobieństwo, że wypadnie reszki. Jeśli reszki wypadną 503 razy, możemy obliczyć prawdopodobieństwo ich pojawienia się:
503/1000 lub 0,503.

to eksperymentalny definicja prawdopodobieństwa. Ta definicja prawdopodobieństwa wynika z obserwacji i badania danych i jest dość powszechna i bardzo użyteczna. Na przykład, oto kilka prawdopodobieństw, które zostały określone eksperymentalnie:

1. Prawdopodobieństwo zachorowania na raka piersi u kobiety wynosi 1/11.

2. Jeśli całujesz kogoś, kto jest przeziębiony, prawdopodobieństwo, że również się przeziębisz, wynosi 0,07.

3. Osoba, która właśnie została zwolniona z więzienia, ma 80% szans na powrót do więzienia.

Jeśli weźmiemy pod uwagę rzut monetą i biorąc pod uwagę, że jest równie prawdopodobne, że wypadnie rewers lub reszek, możemy obliczyć prawdopodobieństwo wyrzucenia reszki: 1/2. To jest teoretyczna definicja prawdopodobieństwa. Oto kilka innych prawdopodobieństw, które zostały teoretycznie określone za pomocą matematyki:

1. Jeśli w pokoju jest 30 osób, prawdopodobieństwo, że dwie z nich mają urodziny w tym samym roku (bez roku) wynosi 0,706.

2. Podczas podróży spotykasz kogoś i w trakcie rozmowy odkrywasz, że masz wspólnego znajomego. Typowa reakcja: „To niemożliwe!” W rzeczywistości to zdanie nie pasuje, bo prawdopodobieństwo takiego zdarzenia jest dość wysokie – nieco ponad 22%.

Dlatego prawdopodobieństwo eksperymentalne jest określane przez obserwację i zbieranie danych. Prawdopodobieństwa teoretyczne są określane przez rozumowanie matematyczne. Przykłady prawdopodobieństw eksperymentalnych i teoretycznych, takie jak te omówione powyżej, a zwłaszcza te, których się nie spodziewamy, prowadzą nas do wagi badania prawdopodobieństwa. Możesz zapytać: „Czym jest prawdziwe prawdopodobieństwo?” Właściwie nie ma. Eksperymentalnie możliwe jest określenie prawdopodobieństw w pewnych granicach. Mogą, ale nie muszą pokrywać się z prawdopodobieństwami, które uzyskujemy teoretycznie. Są sytuacje, w których o wiele łatwiej jest zdefiniować jeden rodzaj prawdopodobieństwa niż inny. Na przykład wystarczyłoby obliczyć prawdopodobieństwo złapania przeziębienia na podstawie prawdopodobieństwa teoretycznego.

Obliczanie prawdopodobieństw eksperymentalnych

Rozważmy najpierw eksperymentalną definicję prawdopodobieństwa. Podstawowa zasada, którą stosujemy do obliczania takich prawdopodobieństw, jest następująca.

Zasada P (eksperymentalna)

Jeżeli w eksperymencie, w którym wykonano n obserwacji, sytuacja lub zdarzenie E występuje m razy w n obserwacjach, to prawdopodobieństwo eksperymentalne zdarzenia jest określane jako P (E) = m/n.

Przykład 1 Badanie socjologiczne. Przeprowadzono badanie eksperymentalne w celu określenia liczby osób leworęcznych, praworęcznych oraz osób, u których obie ręce są jednakowo rozwinięte, a wyniki przedstawiono na wykresie.

a) Określ prawdopodobieństwo, że dana osoba jest praworęczna.

b) Określ prawdopodobieństwo, że dana osoba jest leworęczna.

c) Określ prawdopodobieństwo, że dana osoba równie płynnie posługuje się obiema rękami.

d) W większości turniejów PBA bierze udział 120 graczy. Na podstawie tego eksperymentu, ilu graczy może być leworęcznych?

Rozwiązanie

a) Liczba osób praworęcznych to 82, liczba leworęcznych to 17, a tych, którzy są równie biegli w obu rękach to 1. Łączna liczba obserwacji to 100. Zatem prawdopodobieństwo że osoba jest praworęczna to P
P = 82/100 lub 0,82 lub 82%.

b) Prawdopodobieństwo, że dana osoba jest leworęczna wynosi P, gdzie
P = 17/100 lub 0,17 lub 17%.

c) Prawdopodobieństwo, że dana osoba jest równie płynna obiema rękami, wynosi P, gdzie
P = 1/100 lub 0,01 lub 1%.

d) 120 meloników, a od (b) 17% może być leworęcznych. Stąd
17% ze 120 = 0,17,120 = 20,4,
to znaczy, możemy spodziewać się, że około 20 graczy będzie leworęcznych.

Przykład 2 Kontrola jakości . Dla producenta bardzo ważne jest utrzymywanie jakości swoich produktów na wysokim poziomie. W rzeczywistości firmy zatrudniają inspektorów kontroli jakości, aby zapewnić ten proces. Celem jest uwolnienie minimalnej możliwej liczby wadliwych produktów. Ale ponieważ firma produkuje codziennie tysiące przedmiotów, nie może sobie pozwolić na sprawdzenie każdego przedmiotu w celu ustalenia, czy jest wadliwy, czy nie. Aby dowiedzieć się, jaki procent produktów jest wadliwy, firma testuje znacznie mniej produktów.
USDA wymaga, aby 80% nasion sprzedawanych przez hodowców kiełkowało. Aby określić jakość nasion, które produkuje firma rolnicza, sadzi się 500 nasion z tych, które zostały wyprodukowane. Następnie obliczono, że wykiełkowało 417 nasion.

a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że ziarno wykiełkuje?

b) Czy nasiona spełniają normy rządowe?

Rozwiązanie a) Wiemy, że na 500 zasadzonych nasion 417 wykiełkowało. Prawdopodobieństwo kiełkowania nasion P i
P = 417/500 = 0,834 lub 83,4%.

b) Ponieważ procent kiełkujących nasion przekroczył 80% na żądanie, nasiona spełniają normy państwowe.

Przykład 3 Oceny telewizji. Według statystyk w Stanach Zjednoczonych jest 105 500 000 gospodarstw domowych z telewizją. Co tydzień zbierane i przetwarzane są informacje o oglądanych programach. W ciągu jednego tygodnia 7 815 000 gospodarstw domowych obejrzało przebojowy serial komediowy CBS Wszyscy kochają Raymonda, a 8 302 000 gospodarstw domowych obejrzało hit NBC Prawo i porządek (źródło: Nielsen Media Research). Jakie jest prawdopodobieństwo, że telewizor w jednym domu będzie w danym tygodniu nastawiony na „Wszyscy kochają Raymonda”?

Rozwiązanie Prawdopodobieństwo, że telewizor w jednym gospodarstwie domowym jest ustawiony na „Wszyscy kochają Raymonda” wynosi P, a
P = 7,815,000/105,500,000 0,074 ≈ 7,4%.
Prawdopodobieństwo, że telewizor w gospodarstwie domowym został ustawiony na „Prawo i porządek” to P, a
P = 8.302.00/105.5500.000 0,079 ≈ 7,9%.
Te wartości procentowe nazywane są ocenami.

teoretyczne prawdopodobieństwo

Załóżmy, że przeprowadzamy eksperyment, taki jak rzucanie monetą lub rzutką, wyciąganie karty z talii lub testowanie przedmiotów na linii montażowej. Każdy możliwy wynik takiego eksperymentu nazywa się Exodus . Zbiór wszystkich możliwych wyników nazywa się miejsce na wynik . Wydarzenie jest to zbiór wyników, czyli podzbiór przestrzeni wyników.

Przykład 4 Rzucanie rzutkami. Załóżmy, że w eksperymencie „rzucanie rzutkami” lotka trafia w cel. Znajdź każde z poniższych:

b) Przestrzeń na wynik

Rozwiązanie
a) Wyniki to: trafienie czarnego (H), trafienie czerwonego (K) i trafienie białego (B).

b) Jest miejsce na wynik (czarne trafienie, trafienie czerwone, trafienie białe), które można zapisać po prostu jako (B, R, B).

Przykład 5 Rzucanie kostkami. Kość to sześcian z sześcioma bokami, z których każdy ma od jednej do sześciu kropek.


Załóżmy, że rzucamy kostką. Odnaleźć
a) Wyniki
b) Przestrzeń na wynik

Rozwiązanie
a) Wyniki: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Przestrzeń wynikowa (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Oznaczamy prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia E jako P(E). Na przykład „moneta wyląduje na rewersie” może być oznaczona przez H. Wtedy P(H) jest prawdopodobieństwem, że moneta wyląduje na rewersie. Kiedy prawdopodobieństwo wystąpienia wszystkich wyników eksperymentu jest takie samo, mówi się, że są one równie prawdopodobne. Aby zobaczyć różnicę między zdarzeniami, które są równie prawdopodobne, a zdarzeniami, które nie są równie prawdopodobne, rozważ cel pokazany poniżej.

W przypadku celu A zdarzenia trafienia czarnego, czerwonego i białego są równie prawdopodobne, ponieważ sektory czarny, czerwony i biały są takie same. Jednak w przypadku celu B strefy z tymi kolorami nie są takie same, co oznacza, że ​​trafienie w nie jest mniej prawdopodobne.

Zasada P (teoretyczna)

Jeśli zdarzenie E może zajść na m sposobów z n możliwych równoprawdopodobnych wyników z przestrzeni wyników S, wtedy teoretyczne prawdopodobieństwo zdarzenie, P(E) to
P(E) = m/n.

Przykład 6 Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia 3 rzucając kostką?

Rozwiązanie Na kostce jest 6 równie prawdopodobnych wyników i jest tylko jedna możliwość wyrzucenia liczby 3. Wtedy prawdopodobieństwo P wyniesie P(3) = 1/6.

Przykład 7 Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia parzystej liczby na kostce?

Rozwiązanie Wydarzeniem jest rzucenie liczby parzystej. Może się to zdarzyć na 3 sposoby (jeśli wyrzucisz 2, 4 lub 6). Liczba równoprawdopodobnych wyników wynosi 6. Wtedy prawdopodobieństwo P(parzyste) = 3/6 lub 1/2.

Posłużymy się kilkoma przykładami związanymi ze standardową talią 52 kart. Taka talia składa się z kart pokazanych na poniższym rysunku.

Przykład 8 Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania asa z dobrze potasowanej talii kart?

Rozwiązanie Są 52 wyniki (liczba kart w talii), są one jednakowo prawdopodobne (jeśli talia jest dobrze wymieszana) i istnieją 4 sposoby na dobranie asa, więc zgodnie z zasadą P prawdopodobieństwo
P(rysowanie asa) = 4/52 lub 1/13.

Przykład 9 Załóżmy, że wybieramy bez patrzenia jedną kulkę z worka 3 czerwonych kulek i 4 zielonych kulek. Jakie jest prawdopodobieństwo wyboru czerwonej piłki?

Rozwiązanie Istnieje 7 równie prawdopodobnych wyników, aby uzyskać dowolną piłkę, a ponieważ liczba sposobów na narysowanie czerwonej piłki wynosi 3, otrzymujemy
P(wybór czerwonej kuli) = 3/7.

Poniższe stwierdzenia wynikają z zasady P.

Właściwości prawdopodobieństwa

a) Jeżeli zdarzenie E nie może się zdarzyć, to P(E) = 0.
b) Jeżeli zdarzenie E ma się wydarzyć, to P(E) = 1.
c) Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia E jest liczbą z zakresu od 0 do 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

Na przykład w przypadku rzucania monetą zdarzenie, w którym moneta wyląduje na jej krawędzi, ma zerowe prawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo, że moneta jest orłem lub orzełkiem, wynosi 1.

Przykład 10 Załóżmy, że z talii zawierającej 52 karty dobierane są 2 karty. Jakie jest prawdopodobieństwo, że oba są pikami?

Rozwiązanie Liczba sposobów n dobrania 2 kart z dobrze potasowanej 52-kartowej talii to 52 C 2 . Ponieważ 13 z 52 kart to pik, liczba m sposobów na dobranie 2 pik to 13 C 2 . Następnie,
P(rozciąganie 2 pików) \u003d m / n \u003d 13 C 2 / 52 C 2 \u003d 78/1326 \u003d 1/17.

Przykład 11 Załóżmy, że losowo wybiera się 3 osoby z grupy 6 mężczyzn i 4 kobiet. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zostanie wybrany 1 mężczyzna i 2 kobiety?

Rozwiązanie Ilość sposobów wyboru trzech osób z grupy 10 osób 10 C 3 . Jeden mężczyzna może być wybrany na 6 sposobów C1, a 2 kobiety można wybrać na 4 sposoby C2. Zgodnie z podstawową zasadą liczenia, liczba sposobów wyboru pierwszego mężczyzny i 2 kobiet wynosi 6 C 1 . 4C2. Wtedy prawdopodobieństwo, że zostanie wybrany 1 mężczyzna i 2 kobiety, wynosi
P = 6 C1 . 4 C 2 / 10 C 3 \u003d 3/10.

Przykład 12 Rzucanie kostkami. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia 8 na dwie kości?

Rozwiązanie Na każdej kostce jest 6 możliwych wyników. Wyniki są podwojone, co oznacza, że ​​istnieje 6,6 lub 36 możliwych sposobów, w jakie liczby na dwóch kostkach mogą spaść. (Lepiej, jeśli kostki są różne, powiedzmy, że jeden jest czerwony, a drugi niebieski - pomoże to zwizualizować wynik.)

Pary liczb, które sumują się do 8, pokazano na poniższym rysunku. Istnieje 5 możliwych sposobów na otrzymanie sumy równej 8, stąd prawdopodobieństwo wynosi 5/36.

Umiejętność oszacowania prawdopodobieństwa zdarzenia na podstawie kursów jest niezbędna do wyboru właściwego zakładu. Jeśli nie wiesz, jak przełożyć kursy na zakłady na kursy, nigdy nie będziesz w stanie określić, jak kursy na zakłady mają się do rzeczywistych kursów na dane wydarzenie. Należy rozumieć, że jeśli prawdopodobieństwo zdarzenia według bukmacherów jest niższe niż prawdopodobieństwo tego samego zdarzenia według własnej wersji, zakład na to wydarzenie będzie cenny. Możesz porównać kursy na różne wydarzenia na stronie Odds.ru.

1.1. Typy współczynników

Bukmacherzy zazwyczaj oferują trzy rodzaje kursów – dziesiętny, ułamkowy i amerykański. Przyjrzyjmy się każdej z odmian.

1.2. Kursy dziesiętne

Kursy dziesiętne, pomnożone przez wielkość zakładu, pozwalają obliczyć całą kwotę, którą otrzymasz na rękę, jeśli wygrasz. Na przykład, jeśli postawisz 1 USD po kursie 1,80, jeśli wygrasz, otrzymasz 1,80 USD (1 USD to zwrócona kwota zakładu, 0,80 USD to wygrana z zakładu, co jest również Twoim zyskiem netto).

Oznacza to, że prawdopodobieństwo wyniku, według bukmacherów, wynosi 55%.

1.3. Kursy ułamkowe

Kursy ułamkowe to najbardziej tradycyjny rodzaj kursów. Licznik pokazuje potencjalną kwotę wygranych netto. Mianownik to kwota zakładu, którą należy postawić, aby uzyskać tę samą wygraną. Na przykład kurs 7/2 oznacza, że ​​aby otrzymać wygraną netto w wysokości 7 USD, musisz postawić 2 USD.

W celu obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia na podstawie współczynnika dziesiętnego należy wykonać proste obliczenie - mianownik dzieli się przez sumę licznika i mianownika. Dla powyższego współczynnika 7/2 obliczenia będą następujące:

2 / (7+2) = 2 / 9 = 0,22

Oznacza to, że prawdopodobieństwo wyniku, według bukmacherów, wynosi 22%.

1.4. Kursy amerykańskie

Ten rodzaj kursów jest popularny w Ameryce Północnej. Na pierwszy rzut oka wydają się dość skomplikowane i niezrozumiałe, ale nie bój się. Zrozumienie amerykańskich kursów może być przydatne na przykład podczas gry w amerykańskich kasynach, aby zrozumieć cytaty pokazywane w północnoamerykańskich transmisjach sportowych. Zastanówmy się, jak ocenić prawdopodobieństwo wyniku na podstawie kursów amerykańskich.

Przede wszystkim musisz zrozumieć, że kursy amerykańskie są dodatnie i ujemne. Ujemne kursy amerykańskie są zawsze w formacie, na przykład „-150”. Oznacza to, że aby otrzymać 100 zł zysku netto (wygranej), musisz postawić 150 zł.

Dodatni współczynnik amerykański jest obliczany odwrotnie. Na przykład mamy współczynnik „+120”. Oznacza to, że aby otrzymać 120$ zysku netto (wygranej), musisz postawić 100$.

Obliczenie prawdopodobieństwa na podstawie ujemnych kursów amerykańskich odbywa się za pomocą następującego wzoru:

(-(ujemny kurs amerykański)) / ((-(ujemny kurs amerykański)) + 100)

(-(-150)) / ((-(-150)) + 100) = 150 / (150 + 100) = 150 / 250 = 0,6

Oznacza to, że prawdopodobieństwo zdarzenia, dla którego podano ujemny amerykański współczynnik „-150”, wynosi 60%.

Rozważmy teraz podobne obliczenia dla dodatniego współczynnika amerykańskiego. Prawdopodobieństwo w tym przypadku oblicza się za pomocą następującego wzoru:

100 / (dodatni kurs USA + 100)

100 / (120 + 100) = 100 / 220 = 0.45

Oznacza to, że prawdopodobieństwo zdarzenia, dla którego podano dodatni amerykański współczynnik „+120”, wynosi 45%.

1.5. Jak przekonwertować współczynniki z jednego formatu na inny?

Możliwość przełożenia kursów z jednego formatu na inny może ci się później przydać. Co dziwne, wciąż istnieją bukmacherzy, w których kursy nie są przeliczane i są pokazywane tylko w jednym formacie, co jest dla nas nietypowe. Spójrzmy na przykłady, jak to zrobić. Ale najpierw musimy nauczyć się obliczać prawdopodobieństwo wyniku na podstawie podanego nam współczynnika.

1.6. Jak obliczyć współczynnik dziesiętny na podstawie prawdopodobieństwa?

Tutaj wszystko jest bardzo proste. Konieczne jest podzielenie 100 przez prawdopodobieństwo zdarzenia w procentach. Oznacza to, że jeśli szacowane prawdopodobieństwo zdarzenia wynosi 60%, musisz:

Przy szacowanym prawdopodobieństwie zdarzenia wynoszącym 60%, kursy dziesiętne wyniosłyby 1,66.

1.7. Jak obliczyć współczynnik ułamkowy na podstawie prawdopodobieństwa?

W takim przypadku należy podzielić 100 przez prawdopodobieństwo zdarzenia i odjąć jedynkę od uzyskanego wyniku. Na przykład prawdopodobieństwo zdarzenia wynosi 40%:

(100 / 40) — 1 = 2,5 — 1 = 1,5

Oznacza to, że otrzymujemy współczynnik ułamkowy 1,5/1 lub dla wygody liczenia - 3/2.

1.8. Jak obliczyć współczynnik amerykański na podstawie prawdopodobnego wyniku?

Tutaj wiele będzie zależało od prawdopodobieństwa zdarzenia – czy będzie ono większe niż 50%, czy mniejsze. Jeżeli prawdopodobieństwo zdarzenia jest większe niż 50%, obliczenia zostaną wykonane według następującego wzoru:

- ((prawdopodobieństwo) / (100 - prawdopodobieństwo)) * 100

Na przykład, jeśli prawdopodobieństwo zdarzenia wynosi 80%, to:

— (80 / (100 — 80)) * 100 = — (80 / 20) * 100 = -4 * 100 = (-400)

Przy szacowanym prawdopodobieństwie zdarzenia na 80% otrzymaliśmy ujemny amerykański współczynnik „-400”.

Jeśli prawdopodobieństwo zdarzenia jest mniejsze niż 50 procent, wzór będzie następujący:

((100 - prawdopodobieństwo) / prawdopodobieństwo) * 100

Na przykład, jeśli prawdopodobieństwo zdarzenia wynosi 40%, to:

((100-40) / 40) * 100 = (60 / 40) * 100 = 1,5 * 100 = 150

Przy szacowanym prawdopodobieństwie zdarzenia na 40% otrzymaliśmy dodatni amerykański współczynnik „+150”.

Te obliczenia pomogą Ci lepiej zrozumieć pojęcie zakładów i kursów, nauczyć się, jak ocenić prawdziwą wartość konkretnego zakładu.

Z praktycznego punktu widzenia prawdopodobieństwo zdarzenia jest stosunkiem liczby tych obserwacji, w których wystąpiło dane zdarzenie, do łącznej liczby obserwacji. Taka interpretacja jest dopuszczalna w przypadku wystarczająco dużej liczby obserwacji lub eksperymentów. Na przykład, jeśli około połowa osób, które spotykasz na ulicy, to kobiety, to możesz powiedzieć, że prawdopodobieństwo, że osoba, którą spotykasz na ulicy, jest kobietą wynosi 1/2. Innymi słowy, częstość jego występowania w długiej serii niezależnych powtórzeń losowego eksperymentu może służyć jako oszacowanie prawdopodobieństwa zdarzenia.

Prawdopodobieństwo w matematyce

We współczesnym podejściu matematycznym klasyczne (czyli nie kwantowe) prawdopodobieństwo jest podane przez aksjomatykę Kołmogorowa. Prawdopodobieństwo jest miarą P, który jest ustawiony na planie X, zwany przestrzenią prawdopodobieństwa. Ta miara musi mieć następujące właściwości:

Z tych warunków wynika, że ​​miara prawdopodobieństwa P posiada również nieruchomość addytywność: jeśli zestawy A 1 i A 2 nie przecinają się, to . Aby to udowodnić, musisz włożyć wszystko A 3 , A 4 , … równy zestawowi pustemu i zastosować własność przeliczalnej addytywności.

Miara prawdopodobieństwa nie może być zdefiniowana dla wszystkich podzbiorów zbioru X. Wystarczy zdefiniować go na sigma-algebrze składającej się z niektórych podzbiorów zbioru X. W tym przypadku zdarzenia losowe definiuje się jako mierzalne podzbiory przestrzeni X, czyli jako elementy algebry sigma.

Zmysł prawdopodobieństwa

Kiedy stwierdzimy, że powody, dla których jakiś możliwy fakt rzeczywiście wystąpił, przeważają nad przyczynami przeciwstawnymi, rozważamy ten fakt prawdopodobny, Inaczej - niesamowite. Ta przewaga podstaw pozytywnych nad negatywnymi i odwrotnie może reprezentować nieokreślony zestaw stopni, w wyniku czego prawdopodobieństwo(oraz nieprawdopodobieństwo) dzieje się jeszcze lub mniej .

Skomplikowane pojedyncze fakty nie pozwalają na dokładne obliczenie ich stopni prawdopodobieństwa, ale nawet tutaj ważne jest ustalenie kilku dużych podziałów. I tak np. w dziedzinie prawa, gdy fakt osobowy podlegający procesowi jest ustalany na podstawie zeznań świadków, zawsze pozostaje on, ściśle rzecz biorąc, tylko prawdopodobny i trzeba wiedzieć, jak istotne jest to prawdopodobieństwo; w prawie rzymskim przyjęto tu podział poczwórny: próba sądowa(gdzie prawdopodobieństwo praktycznie zamienia się w autentyczność), Dalej - probatio minus plena, następnie - probatio semiplena major i w końcu probatio semiplena minor .

Oprócz pytania o prawdopodobieństwo sprawy może powstać, zarówno na polu prawa, jak i na polu moralności (z pewnym etycznym punktem widzenia), pytanie, na ile jest prawdopodobne, że dany fakt stanowi naruszenie powszechnie obowiązującego prawa. To pytanie, które służy jako główny motyw religijnego orzecznictwa Talmudu, dało początek rzymskokatolickiej teologii moralnej (zwłaszcza od końca XVI wieku) bardzo złożonym systematycznym konstrukcjom i ogromnej literaturze dogmatycznej i polemicznej (zob. Probabilizm). ).

Pojęcie prawdopodobieństwa dopuszcza określone wyrażenie liczbowe w zastosowaniu tylko do takich faktów, które są częścią pewnego jednorodnego szeregu. Czyli (w najprostszym przykładzie), gdy ktoś rzuca monetą sto razy z rzędu, znajdujemy tutaj jedną wspólną lub dużą serię (suma wszystkich upadków monety), która składa się z dwóch prywatnych lub mniejszych, w tym wielkość liter jest równa liczbowo, seria (spada „orzeł” i opadające „ogony”); Prawdopodobieństwo, że tym razem moneta wypadnie ogonem, to znaczy, że ten nowy element ogólnej serii będzie należał do tej z dwóch mniejszych serii, jest równe ułamkowi wyrażającemu stosunek liczbowy między tą małą serią a dużą, mianowicie 1/2, czyli takie samo prawdopodobieństwo należy do jednego lub drugiego z dwóch szeregów prywatnych. W mniej prostych przykładach wniosku nie można wyciągnąć bezpośrednio z danych samego problemu, ale wymaga uprzedniej indukcji. Na przykład pyta się: jakie jest prawdopodobieństwo, że dany noworodek dożyje 80 lat? Tutaj musi istnieć szereg ogólny lub duży o znanej liczbie osób urodzonych w podobnych warunkach i umierających w różnym wieku (liczba ta musi być na tyle duża, aby wyeliminować przypadkowe odchylenia i na tyle mała, aby zachować jednorodność szeregu, ponieważ dla osoba, urodzona np. w Petersburgu w zamożnej rodzinie kulturalnej, cała milionowa populacja miasta, której znaczną część stanowią osoby z różnych grup, które mogą umrzeć przedwcześnie - żołnierze, dziennikarze , pracownicy wykonujący niebezpieczne zawody – stanowią grupę zbyt niejednorodną, ​​aby można było naprawdę zdefiniować prawdopodobieństwo); niech ta ogólna seria składa się z dziesięciu tysięcy ludzkich istnień; zawiera mniejsze wiersze przedstawiające liczbę osób, które dożyły tego lub innego wieku; jeden z tych mniejszych wierszy przedstawia liczbę osób dożywających 80 lat. Nie da się jednak określić wielkości tej mniejszej serii (jak i wszystkich innych). apriorycznie; odbywa się to w sposób czysto indukcyjny, poprzez statystykę. Załóżmy, że badania statystyczne wykazały, że na 10 000 mieszkańców Petersburga z klasy średniej tylko 45 dożywa 80 lat; zatem ten mniejszy rząd jest powiązany z większym jako 45 do 10 000, a prawdopodobieństwo, że dana osoba będzie należała do tego mniejszego rzędu, czyli dożyje 80 lat, jest wyrażone jako ułamek 0,0045. Badanie prawdopodobieństwa z matematycznego punktu widzenia stanowi szczególną dyscyplinę, teorię prawdopodobieństwa.

Zobacz też

Uwagi

Literatura

Fundacja Wikimedia. 2010 .

Antonimy:

Zobacz, co „Prawdopodobieństwo” znajduje się w innych słownikach:

Ogólnonaukowe i filozoficzne. kategoria oznaczająca ilościowy stopień możliwości wystąpienia masowych zdarzeń losowych w ustalonych warunkach obserwacji, charakteryzująca stabilność ich względnych częstości. W logice stopień semantyczny ... ... Encyklopedia filozoficzna

PRAWDOPODOBIEŃSTWO, liczba w zakresie od zera do jednego włącznie, reprezentująca możliwość zajścia tego zdarzenia. Prawdopodobieństwo zdarzenia definiuje się jako stosunek liczby szans, że zdarzenie może wystąpić do całkowitej liczby możliwych ... ... Naukowy i techniczny słownik encyklopedyczny

Najprawdopodobniej .. Słownik rosyjskich synonimów i wyrażeń o podobnym znaczeniu. pod. wyd. N. Abramova, M.: Słowniki rosyjskie, 1999. prawdopodobieństwo, możliwość, prawdopodobieństwo, szansa, obiektywna możliwość, maza, dopuszczalność, ryzyko. Mrówka. niemożliwość... ... Słownik synonimów

prawdopodobieństwo- Miara, że ​​zdarzenie może wystąpić. Uwaga Matematyczna definicja prawdopodobieństwa to „liczba rzeczywista od 0 do 1 związana ze zdarzeniem losowym”. Liczba może odzwierciedlać względną częstotliwość w serii obserwacji ... ... Podręcznik tłumacza technicznego

Prawdopodobieństwo- „matematyczną, liczbową charakterystykę stopnia prawdopodobieństwa wystąpienia dowolnego zdarzenia w określonych warunkach, które można powtarzać nieograniczoną liczbę razy”. Na podstawie tego klasycznego… … Słownik ekonomiczny i matematyczny

- (prawdopodobieństwo) Możliwość wystąpienia zdarzenia lub określonego wyniku. Można ją przedstawić w skali z podziałkami od 0 do 1. Jeżeli prawdopodobieństwo zdarzenia wynosi zero, jego wystąpienie jest niemożliwe. Z prawdopodobieństwem równym 1 początek ... Słowniczek pojęć biznesowych

Wybór odpowiedniego zakładu zależy nie tylko od intuicji, wiedzy sportowej, kursów na zakłady, ale także od ilorazu szans zdarzenia. Umiejętność obliczenia takiego wskaźnika w zakładach jest kluczem do sukcesu w przewidywaniu nadchodzącego wydarzenia, na które ma zostać postawiony zakład.
W bukmacherach istnieją trzy rodzaje kursów (więcej szczegółów w artykule), których różnorodność określa sposób obliczania prawdopodobieństwa zdarzenia dla gracza.

Kursy dziesiętne

Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia w tym przypadku odbywa się według wzoru: 1/współczynnik zdarzenia. = v.i, gdzie współczynnik szlochu. jest współczynnikiem zdarzenia, a c.i jest prawdopodobieństwem wyniku. Na przykład, bierzemy kurs zdarzenia 1,80 przy zakładzie 1 dolara, wykonując działanie matematyczne według wzoru, gracz otrzymuje, że prawdopodobieństwo wyniku zdarzenia według bukmachera wynosi 0,55 procent.

Kursy ułamkowe

W przypadku kursów ułamkowych wzór na obliczenie prawdopodobieństwa będzie inny. Czyli przy współczynniku 7/2, gdzie pierwsza cyfra oznacza możliwą wysokość zysku netto, a druga wielkość wymaganej stawki, aby uzyskać ten zysk, równanie będzie wyglądało tak: . Tutaj zn.coef jest mianownikiem współczynnika, chs.coef jest licznikiem współczynnika, s.i jest prawdopodobieństwem wyniku. Tak więc dla kursu ułamkowego 7/2 równanie wygląda tak: 2 / (7+2) = 2 / 9 = 0,22, a więc 0,22 procent prawdopodobieństwa wyniku zdarzenia według bukmachera.

Kursy amerykańskie

Kursy amerykańskie nie cieszą się dużą popularnością wśród graczy i zazwyczaj są stosowane wyłącznie w USA, ponieważ mają złożoną i zawiłą strukturę. Aby odpowiedzieć na pytanie: „Jak obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia w ten sposób?”, Musisz wiedzieć, że takie współczynniki mogą być ujemne i dodatnie.

Współczynnik ze znakiem „-”, taki jak -150, wskazuje, że gracz musi postawić 150 USD, aby osiągnąć zysk netto w wysokości 100 USD. Prawdopodobieństwo zdarzenia jest obliczane na podstawie wzoru, w którym należy podzielić ujemny współczynnik przez sumę ujemnego współczynnika i 100. To wygląda jak przykład zakładu o wartości -150, więc (-(-150)) / ((-(-150)) + 100) = 150 / (150 + 100) = 150 / 250 = 0,6, gdzie 0,6 jest pomnożone przez 100, a wynik zdarzenia to 60 procent. Ta sama formuła dotyczy dodatnich kursów amerykańskich.