Włoski matematyk Leonardo Fibonacci żył w XIII wieku i jako jeden z pierwszych w Europie używał cyfr arabskich (indyjskich). Wymyślił nieco sztuczny problem dotyczący królików hodowanych na farmie, gdzie wszystkie są uważane za samice, a samce są ignorowane. Króliki rozpoczynają rozmnażanie po ukończeniu dwóch miesięcy, a następnie co miesiąc rodzą królika. Króliki nigdy nie umierają.

Konieczne jest ustalenie, ile królików będzie w gospodarstwie w n miesięcy, jeśli w początkowej chwili był tylko jeden nowonarodzony królik.

Oczywiście rolnik ma jednego królika w pierwszym miesiącu i jednego królika w drugim miesiącu. W trzecim miesiącu będą dwa króliki, w czwartym trzy i tak dalej. Oznaczmy liczbę królików w n miesiąc jak. W ten sposób,
,
,
,
,
, …

Możemy skonstruować algorytm do znalezienia dla każdego n.

W zależności od stanu problemu, całkowita liczba królików
w n+1 miesiąc rozkłada się na trzy składniki:

jednomiesięcznych królików niezdolnych do rozrodu w ilości

;

W ten sposób otrzymujemy

. (8.1)

Formuła (8.1) pozwala obliczyć ciąg liczb: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, . ..

Liczby w tej sekwencji nazywają się Liczby Fibonacciego .

Jeśli akceptujesz
oraz
, to za pomocą wzoru (8.1) można wyznaczyć wszystkie inne liczby Fibonacciego. Nazywa się formuła (8.1). nawracający formuła ( nawrót - „powrót” po łacinie).

Przykład 8.1. Załóżmy, że w środku są schody n kroki. Możemy się na nią wspiąć krokiem jednego stopnia lub stopniem dwóch stopni. Ile jest kombinacji różnych metod podnoszenia ciężarów?

Jeśli n= 1, istnieje tylko jedno rozwiązanie problemu. Do n= 2 są 2 opcje: dwa pojedyncze kroki lub jeden podwójny krok. Do n= 3 Dostępne są 3 opcje: trzy pojedyncze stopnie lub jeden pojedynczy i jeden podwójny lub jeden podwójny i jeden pojedynczy.

W następnym przypadku n= 4, mamy 5 możliwości (1+1+1+1, 2+1+1, 1+2+1, 1+1+2, 2+2).

Aby odpowiedzieć na zadane pytanie arbitralnie n, oznacz liczbę opcji jako i spróbuj ustalić
według słynnego oraz
. Jeśli zaczniemy od jednego kroku, to mamy kombinacje dla reszty n kroki. Jeśli zaczniemy od podwójnego kroku, to mamy
kombinacje dla reszty n-1 kroki. Łączna liczba opcji dla n+1 krok równa się

. (8.2)

Otrzymana formuła, podobnie jak bliźniak, przypomina formułę (8.1). Nie pozwala to jednak na określenie liczby kombinacji z liczbami Fibonacciego . Widzimy to np
, ale
. Istnieje jednak następujący związek:

.

To jest prawdziwe dla n= 1, 2 i jest również ważny dla każdego n. Liczby Fibonacciego i liczba kombinacji są obliczane przy użyciu tego samego wzoru, ale wartości początkowe
,
oraz
,
Różnią się.

Przykład 8.2. Ten przykład ma praktyczne znaczenie dla problemów kodowania z korekcją błędów. Znajdź liczbę wszystkich binarnych słów długości n, nie zawierające wielu zer w rzędzie. Oznaczmy tę liczbę przez . Oczywiście,
, a słowa o długości 2, które spełniają nasze ograniczenie to: 10, 01, 11, tj.
. Pozwalać
- słowo od n postacie. Jeśli symbol
, następnie
może być dowolne (
)-dosłowne słowo, które nie zawiera wielu zer w rzędzie. Więc liczba słów z jednostką na końcu to
.

Jeśli symbol
, to koniecznie
, i pierwszy
symbol
może być dowolna, biorąc pod uwagę rozważane ograniczenia. Dlatego istnieje
długość słowa n z zerem na końcu. Zatem łączna liczba interesujących nas słów wynosi

.

Biorąc pod uwagę fakt, że
oraz
, wynikowa sekwencja liczb to liczby Fibonacciego.

Przykład 8.3. W przykładzie 7.6 stwierdziliśmy, że liczba słów binarnych o stałej wadze t(i długość k) równa się . Teraz znajdźmy liczbę słów binarnych o stałej wadze t, nie zawierające wielu zer w rzędzie.

Możesz rozumować w ten sposób. Pozwalać
liczba zer w rozważanych słowach. Każde słowo ma
luki między najbliższymi zerami, z których każde zawiera jedną lub więcej jedynek. Zakłada się, że
. W przeciwnym razie nie ma ani jednego słowa bez sąsiednich zer.

Jeśli usuniemy dokładnie jedną jednostkę z każdego przedziału, otrzymamy słowo długości
zawierający zera. Każde takie słowo można uzyskać w określony sposób od niektórych (i tylko jednego) k-dosłowne słowo zawierające zerami, z których żadne dwa nie sąsiadują ze sobą. Stąd wymagana liczba pokrywa się z liczbą wszystkich słów długości
zawierające dokładnie zera, tj. równa się
.

Przykład 8.4. Udowodnijmy, że suma
równa się liczbom Fibonacciego dla dowolnej liczby całkowitej . Symbol
oznacza najmniejsza liczba całkowita większa lub równa . Na przykład, jeśli
, następnie
; i jeśli
, następnie
stropować("sufit"). Jest też symbol
, co oznacza największa liczba całkowita mniejsza lub równa . W języku angielskim ta operacja nazywa się podłoga ("podłoga").

Jeśli
, następnie
. Jeśli
, następnie
. Jeśli
, następnie
.

Zatem dla rozważanych przypadków suma jest rzeczywiście równa liczbom Fibonacciego. Podamy teraz dowód dla przypadku ogólnego. Ponieważ liczby Fibonacciego można uzyskać za pomocą równania rekurencyjnego (8.1), równość musi zachodzić:

.

I rzeczywiście:

Tutaj wykorzystaliśmy otrzymany wcześniej wzór (4.4):
.

Suma liczb Fibonacciego

Ustalmy sumę pierwszego n Liczby Fibonacciego.

0+1+1+2+3+5 = 12,

0+1+1+2+3+5+8 = 20,

0+1+1+2+3+5+8+13 = 33.

Łatwo zauważyć, że dodając jeden po prawej stronie każdego równania, ponownie otrzymujemy liczbę Fibonacciego. Ogólny wzór na określenie sumy pierwszego n Liczby Fibonacciego mają postać:

Udowodnimy to za pomocą metody indukcji matematycznej. W tym celu piszemy:

Kwota ta musi być równa
.

Zmniejszając lewą i prawą stronę równania o –1, otrzymujemy równanie (6.1).

Wzór na liczby Fibonacciego

Twierdzenie 8.1. Liczby Fibonacciego można obliczyć za pomocą wzoru

.

Dowód. Sprawdźmy poprawność tego wzoru dla n= 0, 1, a następnie udowodnimy poprawność tego wzoru dla dowolnego n przez indukcję. Obliczmy stosunek dwóch najbliższych liczb Fibonacciego:

Widzimy, że stosunek tych liczb oscyluje wokół wartości 1,618 (jeśli pominiemy kilka pierwszych wartości). Ta właściwość liczb Fibonacciego przypomina elementy postępu geometrycznego. Zaakceptować
, (
). Następnie wyrażenie

zamienione na

który po uproszczeniu wygląda tak

.

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe, którego pierwiastki są równe:

Teraz możemy napisać:

(gdzie c jest stałą). Obaj członkowie oraz nie podawaj na przykład liczb Fibonacciego
, podczas
. Jednak różnica
spełnia równanie rekurencyjne:

Do n=0 ta różnica daje , to znaczy:
. Jednak kiedy n=1 mamy
. Pozyskać
należy zaakceptować:
.

Teraz mamy dwa ciągi: oraz
, które zaczynają się od tych samych dwóch liczb i spełniają tę samą formułę rekurencyjną. Muszą być równe:
. Twierdzenie zostało udowodnione.

Ze zwiększającą się n członek staje się bardzo duży podczas
i roli członka jest zmniejszona w różnicy. Dlatego na wolności n możemy napisać w przybliżeniu

.

Ignorujemy 1/2 (ponieważ liczby Fibonacciego rosną do nieskończoności jako n do nieskończoności).

Nastawienie
zwany złoty podział, jest używany poza matematyką (na przykład w rzeźbie i architekturze). Złoty podział to stosunek przekątnej do boku regularny pięciokąt(Rys. 8.1).

Ryż. 8.1. Pięciokąt foremny i jego przekątne

Aby wskazać złoty podział, zwykle używa się litery
na cześć słynnego ateńskiego rzeźbiarza Fidiasza.

liczby pierwsze

Wszystkie liczby naturalne, duże, dzielą się na dwie klasy. Pierwsza obejmuje liczby, które mają dokładnie dwa dzielniki naturalne, jeden i samą siebie, druga zawiera całą resztę. Nazywa się numery pierwszej klasy prosty, i drugi składnik. Liczby pierwsze w pierwszych trzech dziesiątkach: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...

Właściwości liczb pierwszych i ich związek ze wszystkimi liczbami naturalnymi badał Euklides (III wiek pne). Jeśli wypiszesz liczby pierwsze z rzędu, zobaczysz, że ich względna gęstość maleje. Pierwsza dziesiątka z nich to 4, czyli 40%, na sto – 25, czyli 25%, na tysiąc - 168, tj. mniej niż 17%, na milion - 78498, tj. mniej niż 8% itd. Jednak ich łączna liczba jest nieskończona.

Wśród liczb pierwszych występują takie pary, których różnica wynosi dwa (tzw proste bliźniaki), ale skończoność lub nieskończoność takich par nie została udowodniona.

Euklides uznał za oczywiste, że mnożąc tylko liczby pierwsze, można otrzymać wszystkie liczby naturalne, a każdą liczbę naturalną można przedstawić jako iloczyn liczb pierwszych w unikalny sposób (z dokładnością do rzędu czynników). Zatem liczby pierwsze tworzą multiplikatywną podstawę szeregu naturalnego.

Badanie rozkładu liczb pierwszych doprowadziło do stworzenia algorytmu, który pozwala uzyskać tablice liczb pierwszych. Taki algorytm jest sito Eratostenesa(III wiek pne). Metoda ta polega na przesianiu (np. poprzez wykreślenie) tych liczb całkowitych danego ciągu
, które są podzielne przez co najmniej jedną z liczb pierwszych mniejszych niż
.

Twierdzenie 8 . 2 . (Twierdzenie Euklidesa). Liczba liczb pierwszych jest nieskończona.

Dowód. Twierdzenie Euklidesa o nieskończoności liczby liczb pierwszych zostanie udowodnione metodą zaproponowaną przez Leonharda Eulera (1707–1783). Euler rozważał iloczyn po wszystkich liczbach pierwszych p:

w
. Produkt ten jest zbieżny, a jeśli zostanie rozszerzony, to ze względu na wyjątkowość rozkładu liczb naturalnych na czynniki pierwsze okazuje się, że jest równy sumie szeregu , skąd wynika tożsamość Eulera:

.

Od godz
szereg po prawej stronie jest rozbieżny (szereg harmoniczny), to tożsamość Eulera implikuje twierdzenie Euklidesa.

Rosyjski matematyk P.L. Czebyszew (1821–1894) wyprowadził wzór określający granice, w których mieści się liczba liczb pierwszych
, nieprzekraczającej X:

,

gdzie
,
.

Ekologia życia. Poznawczo: Natura (w tym Człowiek) rozwija się zgodnie z prawami, które są określone w tej sekwencji numerycznej…

Liczby Fibonacciego - ciąg liczbowy, w którym każdy kolejny element ciągu jest równy sumie dwóch poprzednich, czyli: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 , 233, 377, 610, 987 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, .. 75025, .. 3478759200, 5628750625, .. 260993908980000, .. 422297015649625, .. 195810625, .. różnorodność zawodowych naukowców i amatorów matematyki.

W 1997 roku kilka dziwnych cech serii opisał badacz Władimir Michajłow, który był przekonany, że Przyroda (w tym Człowiek) rozwija się zgodnie z prawami, które są określone w tym ciągu liczbowym.

Niezwykłą właściwością ciągu liczb Fibonacciego jest to, że wraz ze wzrostem liczb tego szeregu stosunek dwóch sąsiednich członków tego szeregu asymptotycznie zbliża się do dokładnej proporcji Złotego Podziału (1: 1,618) - podstawy piękna i harmonii w otaczającej nas przyrody, w tym w stosunkach międzyludzkich.

Zauważmy, że sam Fibonacci odkrył swoją słynną serię, zastanawiając się nad problemem liczby królików, które powinny urodzić się z jednej pary w ciągu jednego roku. Okazało się, że w każdym kolejnym miesiącu po drugim liczba par królików dokładnie odpowiada serii cyfrowej, która teraz nosi jego imię. Dlatego nie jest przypadkiem, że sam człowiek jest ułożony według ciągu Fibonacciego. Każdy organ jest ułożony zgodnie z dwoistością wewnętrzną lub zewnętrzną.

Liczby Fibonacciego przyciągają matematyków ze względu na ich zdolność do pojawiania się w najbardziej nieoczekiwanych miejscach. Zauważono np., że stosunki liczb Fibonacciego, przejęte przez jedynkę, odpowiadają kątowi między sąsiednimi liśćmi na łodydze rośliny, a dokładniej mówią, jaką proporcją obrotu jest ten kąt: 1/2 - dla wiązu i lipy, 1/3 - dla buka, 2/5 - dla dębu i jabłoni, 3/8 - dla topoli i róży, 5/13 - dla wierzby i migdałowca itp. Te same liczby znajdziesz przy liczeniu nasion w słonecznikowych spiralach, w liczbie promieni odbitych od dwóch luster, w liczbie opcji czołgania się pszczół z jednej komórki do drugiej, w wielu matematycznych grach i sztuczkach.

Jaka jest różnica między spiralą Złotego Podziału a spiralą Fibonacciego? Spirala złotego podziału jest idealna. Odpowiada Pierwotnemu źródłu harmonii. Ta spirala nie ma ani początku, ani końca. Ona jest nieskończona. Spirala Fibonacciego ma początek, od którego zaczyna się „rozwijać”. To bardzo ważna właściwość. Pozwala Naturze, po kolejnym cyklu zamkniętym, przeprowadzić budowę nowej spirali od „zera”.

Należy powiedzieć, że spirala Fibonacciego może być podwójna. Istnieje wiele przykładów tych podwójnych helis znalezionych wszędzie. Tak więc spirale słonecznika zawsze korelują z szeregiem Fibonacciego. Nawet w zwykłej szyszce można zobaczyć tę podwójną spiralę Fibonacciego. Pierwsza spirala idzie w jednym kierunku, druga w drugim. Jeśli policzymy liczbę łusek w spirali obracającej się w jednym kierunku i liczbę łusek w drugiej spirali, to zobaczymy, że są to zawsze dwie kolejne liczby ciągu Fibonacciego. Liczba tych spiral to 8 i 13. W słonecznikach są pary spiral: 13 i 21, 21 i 34, 34 i 55, 55 i 89. I nie ma odchyleń od tych par!..

U człowieka w zestawie chromosomów komórki somatycznej (jest ich 23 pary) źródłem chorób dziedzicznych jest 8, 13 i 21 par chromosomów...

Ale dlaczego ta seria odgrywa decydującą rolę w Naturze? Wyczerpującą odpowiedź na to pytanie może dać koncepcja potrójności, która określa warunki jej samozachowania. Jeśli „równowaga interesów” triady zostanie naruszona przez jednego z jej „partnerów”, „opinie” pozostałych dwóch „partnerów” muszą zostać skorygowane. Pojęcie potrójności przejawia się szczególnie wyraźnie w fizyce, gdzie „prawie” wszystkie cząstki elementarne zbudowane są z kwarków. Jeśli przypomnimy sobie, że stosunki ładunków ułamkowych cząstek kwarków tworzą szereg, a są to pierwsze człony ciągu Fibonacciego, które są niezbędne do powstania innych cząstek elementarnych.

Niewykluczone, że spirala Fibonacciego może również odgrywać decydującą rolę w kształtowaniu się wzorca ograniczoności i domknięcia przestrzeni hierarchicznych. Rzeczywiście, wyobraź sobie, że na pewnym etapie ewolucji spirala Fibonacciego osiągnęła doskonałość (stała się nie do odróżnienia od spirali złotego podziału) iz tego powodu cząstka musi zostać przekształcona w kolejną „kategorię”.

Fakty te po raz kolejny potwierdzają, że prawo dwoistości daje nie tylko wyniki jakościowe, ale także ilościowe. Sprawiają, że myślimy, że otaczający nas Makrokosmos i Mikrokosmos ewoluują zgodnie z tymi samymi prawami - prawami hierarchii, i że te prawa są takie same dla materii żywej i nieożywionej.

Wszystko to na to wskazuje ciąg liczb Fibonacciego jest rodzajem zaszyfrowanego prawa natury.

Cyfrowy kod rozwoju cywilizacji można ustalić różnymi metodami numerologicznymi. Na przykład, konwertując liczby zespolone na pojedyncze cyfry (na przykład 15 to 1+5=6 itd.). Przeprowadzając podobną procedurę dodawania ze wszystkimi liczbami zespolonymi ciągu Fibonacciego, Michajłow otrzymał następujące serie tych liczb: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 9, 8 , 8, 7, 6, 4, 1, 5, 6, 8, 1, 9, potem wszystko się powtarza 1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 4, 8, 8, .. i powtarza się w kółko... Szereg ten ma również właściwości ciągu Fibonacciego, każdy nieskończenie kolejny wyraz jest równy sumie poprzednich. Na przykład suma wyrazów 13. i 14. wynosi 15, tj. 8 i 8=16, 16=1+6=7. Okazuje się, że ten szereg jest okresowy, z okresem 24 wyrazów, po których powtarza się cały porządek liczb. Po otrzymaniu tego okresu Michajłow przedstawił interesujące założenie - Czy zestaw 24 cyfr nie jest swego rodzaju cyfrowym kodem rozwoju cywilizacji? opublikowany

SUBSKRYBUJ NASZ kanał youtube Econet.ru, który umożliwia oglądanie online, pobieranie z YouTube za darmo wideo o leczeniu, odmładzaniu osoby. Miłość do innych i do siebiejako uczucie wysokich wibracji – ważny czynnik w leczeniu – miejscu

ciąg Fibonacciego, znany wszystkim z filmu „Kod Leonarda da Vinci” – serii liczb opisanych jako zagadka przez włoskiego matematyka Leonarda z Pizy, lepiej znanego pod pseudonimem Fibonacci, w XIII wieku. W skrócie esencja zagadki:

Ktoś umieścił parę królików w pewnej zamkniętej przestrzeni, aby dowiedzieć się, ile par królików urodzi się w ciągu roku, jeśli natura królików jest taka, że ​​co miesiąc para królików rodzi kolejną parę, a zdolność do produkowania potomstwo pojawia się po osiągnięciu drugiego miesiąca życia.

Wynikiem jest ciąg liczb: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 , gdzie przedstawiona jest liczba par królików w każdym z dwunastu miesięcy, oddzielona przecinkami. Można to kontynuować w nieskończoność. Jego istotą jest to, że każda kolejna liczba jest sumą dwóch poprzednich.

Ta seria ma kilka cech matematycznych, które należy poruszyć. Asymptotycznie (zbliżając się coraz wolniej) dąży do pewnego stałego stosunku. Jednak ten stosunek jest irracjonalny, to znaczy jest liczbą z nieskończonym, nieprzewidywalnym ciągiem cyfr dziesiętnych w części ułamkowej. Nie da się tego dokładnie wyrazić.

Tak więc stosunek dowolnego członka serii do poprzedzającego go oscyluje wokół liczby 1,618 , czasami ją przekraczając, czasami nie osiągając. Stosunek do poniższych podobnie zbliża się do liczby 0,618 , która jest odwrotnie proporcjonalna 1,618 . Jeśli podzielimy elementy przez jeden, otrzymamy liczby 2,618 oraz 0,382 , które są również odwrotnie proporcjonalne. Są to tak zwane współczynniki Fibonacciego.

Po co to wszystko? Zbliżamy się więc do jednego z najbardziej tajemniczych zjawisk natury. Sprytny Leonardo w rzeczywistości nie odkrył niczego nowego, po prostu przypomniał światu takie zjawisko jak Złota sekcja, co nie ma mniejszego znaczenia niż twierdzenie Pitagorasa.

Rozróżniamy wszystkie otaczające nas przedmioty, także w formie. Jedne podobają nam się bardziej, inne mniej, niektóre całkowicie odpychają wzrok. Czasem zainteresowanie może być podyktowane sytuacją życiową, a czasem pięknem obserwowanego obiektu. Symetryczny i proporcjonalny kształt przyczynia się do najlepszej percepcji wzrokowej i wywołuje poczucie piękna i harmonii. Holistyczny obraz zawsze składa się z części o różnej wielkości, które pozostają w pewnej relacji między sobą i całością. złoty podział- najwyższy przejaw doskonałości całości i jej części w nauce, sztuce i przyrodzie.

Jeśli na prostym przykładzie, to Złoty Podział to podział segmentu na dwie części w takim stosunku, w jakim większa część odnosi się do mniejszej, jak ich suma (cały odcinek) do większej.

Jeśli weźmiemy cały segment c za 1 , a następnie segment a będzie równy 0,618 , odcinek b - 0,382 , tylko w ten sposób zostanie spełniony warunek Złotego Podziału (0,618/0,382=1,618 ; 1/0,618=1,618 ) . Nastawienie c do a równa się 1,618 , a Z do b 2,618 . To wszystko te same, już nam znane współczynniki Fibonacciego.

Oczywiście jest złoty prostokąt, złoty trójkąt, a nawet złoty prostopadłościan. Proporcje ludzkiego ciała pod wieloma względami są zbliżone do złotego podziału.

Obraz: marcus-frings.de

Ale najciekawiej zaczyna się, gdy połączymy zdobytą wiedzę. Rysunek wyraźnie pokazuje związek między ciągiem Fibonacciego a Złotym Podziałem. Zaczynamy od dwóch kwadratów pierwszego rozmiaru. Z góry dodajemy kwadrat drugiego rozmiaru. Malujemy obok kwadratu o boku równym sumie boków dwóch poprzednich, trzeciego rozmiaru. Analogicznie pojawia się kwadrat piątego rozmiaru. I tak dalej, aż się znudzisz, najważniejsze jest to, aby długość boku każdego następnego kwadratu była równa sumie długości boków dwóch poprzednich. Widzimy serię prostokątów, których długości boków są liczbami Fibonacciego i co dziwne, nazywane są one prostokątami Fibonacciego.

Jeśli poprowadzimy gładką linię przez rogi naszych kwadratów, otrzymamy jedynie spiralę Archimedesa, której skok jest zawsze równomierny.

Czy ci to nic nie przypomina?

Zdjęcie: ethanhein na Flickrze

I nie tylko w skorupie mięczaka można znaleźć spirale Archimedesa, ale w wielu kwiatach i roślinach nie są one tak oczywiste.

Aloes wielolistny:

Zdjęcie: browary na Flickrze

A potem nadszedł czas, aby przypomnieć sobie Złotą Sekcję! Czy na tych fotografiach przedstawiono któreś z najpiękniejszych i najbardziej harmonijnych tworów natury? I to nie wszystko. Przyglądając się uważnie, można znaleźć podobne wzory w wielu formach.

Oczywiście stwierdzenie, że wszystkie te zjawiska są zbudowane na ciągu Fibonacciego brzmi zbyt głośno, ale trend jest widoczny. A poza tym ona sama jest daleka od doskonałości, jak wszystko inne na tym świecie.

Spekuluje się, że szereg Fibonacciego jest próbą przystosowania się natury do bardziej fundamentalnego i doskonałego ciągu logarytmicznego złotego podziału, który jest praktycznie taki sam, po prostu zaczyna się znikąd i zmierza donikąd. Natura natomiast zdecydowanie potrzebuje jakiegoś całego początku, od którego można się odepchnąć, nie może stworzyć czegoś z niczego. Stosunki pierwszych członków ciągu Fibonacciego są dalekie od Złotego Podziału. Ale im dalej się po niej poruszamy, tym bardziej te odchylenia się wygładzają. Aby określić dowolny szereg, wystarczy znać trzech jego członków, idąc jeden po drugim. Ale nie dla złotej sekwencji, wystarczą dwie, jest to jednocześnie postęp geometryczny i arytmetyczny. Można by pomyśleć, że jest to podstawa dla wszystkich innych sekwencji.

Każdy element złotego ciągu logarytmicznego jest potęgą Złotego Podziału ( z). Część wiersza wygląda mniej więcej tak: ...z-5; z-4; z-3; z-2; z-1; z0; z1; z2; z3; z4; z 5 ... Jeśli zaokrąglimy wartość złotego podziału do trzech miejsc po przecinku, otrzymamy z=1,618, wtedy wiersz wygląda następująco: ... 0,090 0,146; 0,236; 0,382; 0,618; 1; 1,618; 2,618; 4,236; 6,854; 11,090 ... Każdy kolejny wyraz można otrzymać nie tylko mnożąc poprzedni przez 1,618 , ale także dodając dwa poprzednie. W ten sposób wykładniczy wzrost osiąga się po prostu dodając dwa sąsiednie elementy. Jest to ciąg bez początku i końca i właśnie takim ciągiem Fibonacciego stara się być. Mając dobrze określony początek, dąży do ideału, nigdy go nie osiągając. Takie jest życie.

A jednak w związku ze wszystkim, co widziano i czytano, nasuwają się całkiem naturalne pytania:
Skąd wzięły się te liczby? Kim jest ten architekt wszechświata, który próbował uczynić go doskonałym? Czy kiedykolwiek było tak, jak chciał? A jeśli tak, to dlaczego się nie udało? Mutacje? Wolny wybór? Co będzie następne? Czy cewka skręca się lub rozkręca?

Znajdując odpowiedź na jedno pytanie, otrzymujesz następne. Jeśli go rozwiążesz, otrzymasz dwa nowe. Rozpraw się z nimi, pojawią się trzy kolejne. Po ich rozwiązaniu zdobędziesz pięć nierozwiązanych. Potem osiem, potem trzynaście, 21, 34, 55...

Źródła: ; ; ;

PAŃSTWOWA INSTYTUCJA EDUKACYJNA

„KRIVLYANSKAYA SZKOŁA ŚREDNIA”

OBWÓD ŻABINKO

LICZBY FIBONACCIEGO I ZŁOTY PODZIAŁ

Badania

Praca skończona:

uczeń 10 klasy

Ogrodnik Waleria Aleksiejewna

Kierownik:

Ławrieniuk Łarysa Nikołajewna,

nauczyciel informatyki i

matematyka 1 kwalifikacyjna

Liczby Fibonacciego i charakter

Cechą charakterystyczną budowy roślin i ich rozwoju jest spiralność. Nawet Goethe, który był nie tylko wielkim poetą, ale i przyrodnikiem, uważał spiralność za jedną z charakterystycznych cech wszystkich organizmów, za przejaw najgłębszej istoty życia. Wąsy roślin skręcają się spiralnie, tkanka rośnie spiralnie w pniach drzew, nasiona słonecznika układają się spiralnie, podczas wzrostu korzeni i pędów obserwuje się ruchy spiralne (nutacje).

Na pierwszy rzut oka może się wydawać, że liczba liści, kwiatów może zmieniać się w bardzo szerokim zakresie i przyjmować dowolne wartości. Ale taki wniosek okazuje się nie do utrzymania. Badania wykazały, że liczba narządów o tej samej nazwie w roślinach nie jest dowolna, istnieją wartości, które są często spotykane i wartości, które są bardzo rzadkie.

W dzikiej przyrodzie rozpowszechnione są formy oparte na symetrii pięciokątnej - rozgwiazdy, jeżowce, kwiaty.

Zdjęcie 13. Jaskier

Rumianek ma 55 lub 89 płatków.

Zdjęcie 14. Rumianek

Feverfew ma 34 płatki.

Fot. 15. złocień

Spójrzmy na szyszkę sosnową. Łuski na jego powierzchni są ułożone w ściśle regularny sposób - wzdłuż dwóch spiral, które przecinają się w przybliżeniu pod kątem prostym. Liczba takich spirali w szyszkach wynosi 8 i 13 lub 13 i 21.

Zdjęcie 16. Stożek

W koszyczkach słonecznika nasiona również układają się w dwie spirale, ich liczba to zazwyczaj 34/55, 55/89.

Zdjęcie 17. Słonecznik

Rzućmy okiem na muszle. Jeśli policzymy losowo liczbę „żeber usztywniających” dla pierwszej skorupy – okazało się, że jest ich 21. Weźmy drugą, trzecią, piątą, dziesiątą skorupę – wszystkie będą miały 21 żeber na powierzchni. Widać, że mięczaki były nie tylko dobrymi inżynierami, ale „znały” liczby Fibonacciego.

Zdjęcie 18. Skorupa

Tutaj znowu widzimy regularną kombinację liczb Fibonacciego ułożonych obok siebie: 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21, 21/34, 34/55, 55/89. Ich stosunek w limicie dąży do złotego podziału, wyrażonego liczbą 0,61803…

Liczby Fibonacciego i zwierzęta

Liczba promieni w rozgwiazdach odpowiada szeregowi liczb Fibonacciego lub jest im bardzo bliska i wynosi 5,8, 13.21.34.55.

Zdjęcie 19. Rozgwiazda

Współczesne stawonogi są bardzo różnorodne. Homar ma również pięć par nóg, pięć piór na ogonie, brzuch podzielony jest na pięć segmentów, a każda noga składa się z pięciu części.

Fot. 20. kolczasty homar

U niektórych owadów odwłok składa się z ośmiu segmentów, są trzy pary kończyn, składające się z ośmiu części, az otworu gębowego wyłania się osiem różnych narządów przypominających czułki. Nasz dobrze znany komar ma trzy pary nóg, odwłok podzielony jest na osiem segmentów, a na głowie pięć czułków. Larwa komara jest podzielona na 12 segmentów.

Fot. 21. Komar

U muchy kapuścianej odwłok jest podzielony na pięć części, są trzy pary nóg, a larwa jest podzielona na osiem segmentów. Każde z dwóch skrzydeł jest podzielone na osiem części cienkimi żyłkami.

Gąsienice wielu owadów są podzielone na 13 segmentów, na przykład u zjadacza skóry, zjadacza mąki, boogera mauretańskiego. U większości chrząszczy szkodników gąsienica jest podzielona na 13 segmentów. Struktura nóg chrząszczy jest bardzo charakterystyczna. Każda noga składa się z trzech części, podobnie jak u zwierząt wyższych - od łopatki, przedramienia i łapy. Cienkie, ażurowe łapy chrząszczy są podzielone na pięć części.

Ażurowe, przezroczyste, nieważkie skrzydła ważki to arcydzieło "inżynierskiej" umiejętności natury. Jakie proporcje leżą u podstaw projektu tego małego latającego samochodu typu muscle car? Stosunek rozpiętości skrzydeł do długości ciała u wielu ważek wynosi 4/3. Ciało ważki jest podzielone na dwie główne części: masywne ciało i długi, cienki ogon. Ciało podzielone jest na trzy części: głowę, klatkę piersiową, brzuch. Brzuch jest podzielony na pięć segmentów, a ogon składa się z ośmiu części. Tutaj nadal konieczne jest dodanie trzech par nóg z podziałem na trzy części.

Fot. 22. Ważka

Łatwo zauważyć w tej sekwencji dzielenia całości na części rozwinięcie szeregu liczb Fibonacciego. Długość ogona, ciała i całkowita długość ważki są połączone złotym podziałem: stosunek długości ogona i ciała jest równy stosunkowi długości całkowitej do długości ogona.

Nic dziwnego, że ważka wygląda tak idealnie, ponieważ jest tworzona zgodnie z prawami złotego podziału.

Widok żółwia na tle pękniętego takyru to niesamowite zjawisko. W centrum pancerza znajduje się duże owalne pole z dużymi zrośniętymi płytkami rogowymi, a wzdłuż brzegów obramowanie z mniejszych płytek.

Fot. 23. żółw

Weźmy dowolnego żółwia – od żółwia błotnego blisko nas po olbrzymiego żółwia morskiego, żółwia zupowego – a zobaczycie, że wzór na skorupie jest podobny: na owalnym polu znajduje się 13 zrośniętych płytek rogowych – 5 płytek w środku i 8 - wzdłuż krawędzi, a na obrzeżu około 21 płytek (żółw chilijski ma dokładnie 21 płytek wzdłuż obwodu skorupy). Żółwie mają 5 palców na łapach, a kręgosłup składa się z 34 kręgów. Łatwo zauważyć, że wszystkie te wielkości odpowiadają liczbom Fibonacciego. W konsekwencji rozwój żółwia, kształtowanie się jego ciała, podział całości na części odbywał się zgodnie z prawem ciągu liczb Fibonacciego.

Ssaki to najwyższy rodzaj zwierząt na planecie. Liczba żeber u wielu gatunków zwierząt jest równa lub zbliżona do trzynastu. U zupełnie różnych ssaków - wieloryba, wielbłąda, jelenia, wycieczki - liczba żeber wynosi 13 ± 1. Liczba kręgów jest bardzo zróżnicowana, zwłaszcza ze względu na ogony, które mogą mieć różną długość nawet u tego samego zwierzęcia gatunek. Ale w wielu z nich liczba kręgów jest równa lub zbliżona do 34 i 55. Tak więc 34 kręgi u olbrzymiego jelenia, 55 u wieloryba.

Szkielet kończyn zwierząt domowych składa się z trzech identycznych ogniw kostnych: kości ramiennej (miednicy), kości przedramienia (goleni) i kości łapy (stopy). Stopa z kolei składa się z trzech ogniw kostnych.

Liczba zębów u wielu zwierząt domowych zbliża się do liczb Fibonacciego: królik ma 14 par, pies, świnia, koń ma 21 ± 1 parę zębów. U dzikich zwierząt liczba zębów jest bardziej zróżnicowana: u jednego drapieżnika torbacza wynosi 54, u hieny - 34, u jednego z gatunków delfinów dochodzi do 233. Całkowita liczba kości w szkielecie zwierząt domowych (w tym zębów) w jednej grupie jest blisko 230, aw drugiej - do 300. Należy zauważyć, że kosteczki słuchowe małe i kosteczki nietrwałe nie są wliczane do liczby kości szkieletu. Biorąc je pod uwagę, łączna liczba kości szkieletowych u wielu zwierząt zbliży się do 233, podczas gdy u innych przekroczy 300. Jak widać podział ciała, któremu towarzyszy rozwój kośćca, charakteryzuje się dyskretna zmiana liczby kości w różnych narządach zwierząt, a liczby te odpowiadają liczbom Fibonacciego lub są im bardzo bliskie, tworząc ciąg 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 Stosunek wielkości większości jaj kurzych wynosi 4:3 (dla niektórych 3/2), pestek dyni - 3:2, pestek arbuza - 3/2. Stwierdzono, że stosunek długości szyszek sosnowych do ich średnicy wynosi 2:1. Średnio wielkość liści brzozy jest bardzo zbliżona, a żołędzi - 5:2.

Uważa się, że jeśli konieczne jest podzielenie trawnika kwiatowego na dwie części (trawę i kwiaty), wówczas paski te nie powinny mieć równej szerokości, będzie piękniej, jeśli weźmiesz je w stosunku 5: 8 lub 8:13, tj. użyj proporcji zwanej złotym podziałem.

Liczby Fibonacciego i fotografia

W sztuce fotograficznej zasada złotego podziału dzieli kadr dwiema poziomymi i dwiema pionowymi liniami na 9 nierównych prostokątów. Aby ułatwić sobie robienie zrównoważonych zdjęć, fotografowie nieco uprościli zadanie i zaczęli dzielić kadr na 9 równych prostokątów według liczb Fibonacciego. Tak więc reguła złotego podziału została przekształcona w regułę tercji, która nawiązuje do jednej z zasad kompozycji.

Fot. 24. Rama i złoty podział

W wizjerach nowoczesnych aparatów cyfrowych punkty ostrości znajdują się w pozycjach 2/8 lub na wyimaginowanych liniach dzielących kadr zgodnie z zasadą złotego podziału.

Zdjęcie 25. Aparat cyfrowy i punkty ostrości

Zdjęcie 26.

Zdjęcie 27. Fotografia i punkty ostrości

Zasada trójpodziału dotyczy wszystkich kompozycji tematycznych: fotografujesz krajobraz lub portret, martwą naturę lub reportaż. Dopóki poczucie harmonii nie zostało nabyte i nieuświadomione, przestrzeganie prostej zasady trójpodziału pozwoli na robienie zdjęć wyrazistych, harmonijnych, zrównoważonych.

Zdjęcie 28. Fotografia i stosunek nieba do ziemi 1 do 2.

Najbardziej udanym przykładem demonstracji jest krajobraz. Zasada kompozycji polega na tym, że niebo i ląd (lub powierzchnia wody) powinny mieć stosunek 1:2. Jedna trzecia kadru powinna znajdować się pod niebem, a dwie trzecie pod ziemią lub odwrotnie.

Zdjęcie 29. Zdjęcie spiralnego kwiatu

Fibonacciego i przestrzeń

Stosunek wody i lądu na planecie Ziemia wynosi 62% i 38%.

Wymiary Ziemi i Księżyca są w złotej proporcji.

Zdjęcie 30. Wymiary Ziemi i Księżyca

Rysunek przedstawia względne rozmiary Ziemi i Księżyca w skali.

Narysujmy promień Ziemi. Narysujmy odcinek od centralnego punktu Ziemi do centralnego punktu Księżyca, którego długość będzie równa). Narysujmy linię, aby połączyć te dwie linie, tworząc trójkąt. Otrzymujemy złoty trójkąt.

Saturn pokazuje złoty podział w kilku swoich wymiarach

Zdjęcie 31. Saturn i jego pierścienie

Średnica Saturna jest bardzo zbliżona do złotego podziału ze średnicą pierścieni, co pokazują zielone linie.Promień wwnętrze pierścieni jest w stosunku bardzo zbliżonym do zewnętrznej średnicy pierścieni, jak pokazano niebieską linią.

Odległość planet od Słońca również jest zgodna ze złotym podziałem.

Zdjęcie 32. Odległość planet od Słońca

Złota proporcja w życiu codziennym

Złoty podział jest również używany do dodawania stylu i atrakcyjności do marketingu i projektowania codziennych produktów konsumenckich. Przykładów jest wiele, ale zilustrujemy tylko kilka.

Zdjęcie 33. GodłoToyota

Zdjęcie 34. Złoty podział i ubrania

Zdjęcie 34. Złota proporcja i projektowanie samochodów

Zdjęcie 35. GodłoJabłko

Zdjęcie 36. GodłoGoogle

Badania praktyczne

Teraz zastosujemy zdobytą wiedzę w praktyce. Zróbmy najpierw pomiary wśród uczniów klasy 8.

Jeśli przyjrzysz się uważnie obrazowi telewizyjnemu, jego wymiary będą wynosić od 16 do 9 lub od 16 do 10, co również jest zbliżone do złotego podziału.

Wykonywanie pomiarów i konstrukcji w CorelDRAW X4 i korzystając z ramki z kanału informacyjnego Russia 24, można znaleźć:

a) stosunek długości do szerokości ramy wynosi 1,7.

b) osoba w kadrze znajduje się dokładnie w punktach ostrości znajdujących się w odległości 3/8.

Następnie przejdźmy do oficjalnego mikroblogu gazety Izvestia, innymi słowy, do strony na Twitterze. W przypadku ekranu monitora o bokach 4:3 widzimy, że „nagłówek” strony zajmuje 3/8 całej wysokości strony.

Przyglądając się uważnie czapkom wojskowym, można znaleźć:

a) czapka Ministra Obrony Federacji Rosyjskiej ma stosunek wskazanych części 21,73 do 15,52, równy 1,4.

b) czapka straży granicznej Republiki Białoruś ma wymiary wskazanych części od 44,42 do 21,33, co odpowiada 2,1.

c) czapka czasów ZSRR ma wymiary wskazanych części od 49,67 do 31,04, co odpowiada 1,6.

W przypadku tego modelu długość sukienki wynosi 113,13 mm.

Jeśli „wykończysz” sukienkę do „idealnej” długości, otrzymamy ten obraz.

Wszystkie pomiary są obarczone pewnym błędem, ponieważ zostały wzięte ze zdjęcia, co nie przeszkadza nam dostrzec trendu - wszystko, co idealne, zawiera złoty podział w takim czy innym stopniu.

Wniosek

Świat przyrody jawi się nam w zupełnie inny sposób – mobilny, zmienny i zaskakująco różnorodny. Życie pokazuje nam fantastyczny karnawał różnorodności i oryginalności kreatywnych połączeń! Świat przyrody nieożywionej to przede wszystkim świat symetrii, który nadaje jego twórczości stabilność i piękno. Świat natury to przede wszystkim świat harmonii, w którym działa „prawo złotego podziału”.

“Złota proporcja” wydaje się być tym momentem prawdy, bez którego w ogóle nic, co istnieje, nie jest możliwe. Cokolwiek weźmiemy za element badań, „złoty podział” będzie wszędzie; nawet jeśli nie ma tego widocznego przestrzegania, to koniecznie ma to miejsce na poziomie energetycznym, molekularnym lub komórkowym.

Rzeczywiście, natura okazuje się monotonna (a więc jednolita!) w manifestacji swoich podstawowych praw. „Najbardziej udane” rozwiązania, które znalazła, dotyczą najróżniejszych obiektów, najróżniejszych form organizacji. Ciągłość i nieciągłość organizacji bierze się z podwójnej jedności materii - jej korpuskularnej i falowej natury, przenika do chemii, gdzie daje prawa stechiometrii całkowitej, związki chemiczne o stałym i zmiennym składzie. W botanice ciągłość i nieciągłość znajdują swój specyficzny wyraz w filotaksji, kwantach nieciągłości, kwantach wzrostu, jedności nieciągłości i ciągłości organizacji czasoprzestrzennej. A teraz w liczbowych stosunkach narządów roślinnych pojawia się „zasada wielu stosunków” wprowadzona przez A. Gursky'ego - całkowite powtórzenie podstawowego prawa chemii.

Oczywiście stwierdzenie, że wszystkie te zjawiska są zbudowane na ciągu Fibonacciego brzmi zbyt głośno, ale trend jest wyraźny. A poza tym ona sama jest daleka od doskonałości, jak wszystko inne na tym świecie.

Spekuluje się, że szereg Fibonacciego jest próbą przystosowania się natury do bardziej fundamentalnego i doskonałego ciągu logarytmicznego złotego podziału, który jest praktycznie taki sam, po prostu zaczyna się znikąd i zmierza donikąd. Natura natomiast zdecydowanie potrzebuje jakiegoś całego początku, od którego można się odepchnąć, nie może stworzyć czegoś z niczego. Stosunki pierwszych członków ciągu Fibonacciego są dalekie od Złotego Podziału. Ale im dalej się po niej poruszamy, tym bardziej te odchylenia się wygładzają. Aby określić dowolny szereg, wystarczy znać trzech jego członków, idąc jeden po drugim. Ale nie dla złotej sekwencji, wystarczą dwie, jest to jednocześnie postęp geometryczny i arytmetyczny. Można by pomyśleć, że jest to podstawa dla wszystkich innych sekwencji.

Każdy element złotego ciągu logarytmicznego jest stopniem Złotego Podziału (). Część wiersza wygląda mniej więcej tak:... ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ... Jeśli zaokrąglimy wartość złotego podziału do trzech miejsc po przecinku, otrzymamy=1,618 , wtedy wiersz wygląda następująco:... 0,090 0,146; 0,236; 0,382; 0,618; 1; 1,618; 2,618; 4,236; 6,854; 11,090 ... Każdy kolejny wyraz można otrzymać nie tylko mnożąc poprzedni przez1,618 , ale także dodając dwa poprzednie. W ten sposób wykładniczy wzrost osiąga się po prostu dodając dwa sąsiednie elementy. Jest to ciąg bez początku i końca i właśnie takim ciągiem Fibonacciego stara się być. Mając dobrze określony początek, dąży do ideału, nigdy go nie osiągając. Takie jest życie.

A jednak w związku ze wszystkim, co widziano i czytano, nasuwają się całkiem naturalne pytania:
Skąd wzięły się te liczby? Kim jest ten architekt wszechświata, który próbował uczynić go doskonałym? Czy kiedykolwiek było tak, jak chciał? A jeśli tak, to dlaczego się nie udało? Mutacje? Wolny wybór? Co będzie następne? Czy cewka skręca się lub rozkręca?

Znajdując odpowiedź na jedno pytanie, otrzymujesz następne. Jeśli go rozwiążesz, otrzymasz dwa nowe. Rozpraw się z nimi, pojawią się trzy kolejne. Po ich rozwiązaniu zdobędziesz pięć nierozwiązanych. Potem osiem, potem trzynaście, 21, 34, 55...

Lista wykorzystanych źródeł

Vasyutinskiy, N. Złota proporcja / Vasyutinskiy N, Moskwa, Młoda Gwardia, 1990, - 238 s. - (Eureka).

Vorobyov, N.N. liczby Fibonacciego,

Tryb dostępu: . Data dostępu: 17.11.2015.

Tryb dostępu: . Data dostępu: 16.11.2015.

Tryb dostępu: . Data dostępu: 13.11.2015.

(liczby Fibonacciego, angielski ciąg Fibonacciego, liczby Fibonacciego) – ciąg liczb wyprowadzony przez słynnego matematyka Fibonacciego. Ma następującą postać: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181 itd.

Historia serii Fibonacciego

Leonardo z Pizy (Fibonacci) przyszedł do matematyki z powodu praktycznej potrzeby nawiązywania kontaktów biznesowych. W młodości Fibonacci dużo podróżował, towarzyszył ojcu w różnych podróżach służbowych, co pozwoliło mu komunikować się z lokalnymi naukowcami.

Szereg liczb, który dziś nosi jego imię, wywodzi się z problemu z królikami, który autor opisał w książce „Liber abacci” (1202): mężczyzna umieścił parę królików w zagrodzie otoczonej ze wszystkich stron ścianą . Pytanie: ile par królików może dać ta para królików w ciągu roku, jeśli wiadomo, że co miesiąc, począwszy od drugiego miesiąca, każda para rodzi kolejną parę królików.

W rezultacie Fibonacci ustalił, że liczba par królików w każdym z kolejnych dwunastu miesięcy wyniesie odpowiednio:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

Gdzie każda kolejna liczba jest sumą dwóch poprzednich. To jest ciąg (liczby) Fibonacciego. Sekwencja ta ma wiele właściwości, które są interesujące z matematycznego punktu widzenia. Na przykład, jeśli podzielisz linię na 2 odcinki, tak aby stosunek mniejszego i większego odcinka był proporcjonalny do stosunku większego odcinka do całej linii, otrzymasz współczynnik proporcjonalności zwany złotym podziałem. Jest to w przybliżeniu równe 0,618. Renesansowi naukowcy uważali, że właśnie ta proporcja, obserwowana w obiektach architektonicznych, jest najbardziej przyjemna dla oka.

Zastosowanie ciągu Fibonacciego

Ciąg Fibonacciego znalazł szerokie zastosowanie w różnych dziedzinach nauki i życia. Na przykład w naturze: w strukturze huraganów, muszli, a nawet galaktyk. Rynek walutowy Forex nie był wyjątkiem, gdzie sekwencyjne serie liczb zaczęto wykorzystywać do przewidywania trendów. Należy zauważyć, że istnieje niezmienna zależność między tymi liczbami. Na przykład, jak wspomniano powyżej, stosunek poprzedniej liczby do następnej asymptotycznie zbliża się do 0,618 (złoty podział). Stosunek pewnej liczby do poprzedniej również dąży do wartości 0,618.

Oprócz przewidywania trendów, liczby Fibonacciego na rynku Forex służą do przewidywania kierunku ruchu cen. Na przykład odwrócenie trendu wzdłuż złotego podziału następuje na poziomie około 61,8% poprzedniej zmiany ceny (patrz rys. 1). W związku z tym najbardziej opłacalną opcją w tym przypadku byłoby zamknięcie pozycji tuż poniżej tego poziomu. Na podstawie ciągu Fibonacciego możesz obliczyć najbardziej opłacalne momenty na zamykanie i otwieranie transakcji.

Również jednym ze sposobów wykorzystania kolejnych liczb ciągu Fibonacciego na rynku Forex jest budowanie łuków. Wybór środka takiego łuku następuje w punkcie ważnego dna lub sufitu. Promień łuków oblicza się mnożąc współczynniki Fibonacciego przez wartość poprzedniego znacznego wzrostu lub spadku cen.

Dostępne współczynniki to 0,333, 0,382, 0,4, 0,5, 0,6, 0,618, 0,666. Położenie łuków określa ich rolę: wsparcie lub opór. Aby uzyskać wyobrażenie o czasie wystąpienia ruchów cen, łuki są zwykle używane w połączeniu z liniami prędkości lub wachlarza.

Zasada ich budowy jest podobna: należy zaznaczyć punkty minionych ekstremów i narysować poziomą linię z wierzchołka pierwszego z nich i pionową z wierzchołka drugiego. Następnie należy podzielić powstały odcinek pionowy na części odpowiadające współczynnikom, narysować promienie przechodzące od pierwszego punktu przez nowo wybrane. Przy zastosowaniu przełożeń 2/3 i 1/3 uzyskuje się szybkie linie, z bardziej rygorystycznymi liniami wentylatorów 0,618, 0,5 i 0,382. Wszystkie służą jako linie wsparcia lub oporu dla trendu cenowego (patrz rysunek 2).

Przecięcia łuków wachlarzowych i linii służą jako sygnały do ​​określenia punktów zwrotnych trendu - zarówno w czasie, jak iw cenie.

(Ryc. 2 - Ciąg Fibonacciego, rysowanie łuków)

Bardziej zmienne pary walutowe charakteryzują się osiąganiem wyższych poziomów Fibonacciego w porównaniu z mniej zmiennymi. Maksymalne ruchy są rejestrowane dla par Dolar/Frank i Funt/Dolar, a następnie Dolar/Jen i Euro/Dolar.

Wykorzystanie ciągów Fibonacciego na rynku walutowym Forex ma jedną cechę – można je wykorzystać tylko do dobrych ruchów impulsowych.