Scris de designerul Tyler Sigman, pe „Gamasutra”. Mă refer cu afecțiune la el drept articolul „părul în nările unui orc”, dar acoperă destul de bine elementele de bază ale probabilităților din jocuri.
Tema acestei săptămâni
Până astăzi, aproape tot ce am vorbit a fost determinist, iar săptămâna trecută ne-am uitat mai atent la mecanica tranzitivă și am defalcat-o cât de mult am putut explica. Dar până acum nu am acordat atenție unui aspect uriaș al multor jocuri, și anume aspectele nedeterministe, cu alte cuvinte – aleatorietatea. Înțelegerea naturii aleatoriei este foarte importantă pentru designerii de jocuri, deoarece creăm sisteme care afectează experiența jucătorului într-un anumit joc, așa că trebuie să știm cum funcționează aceste sisteme. Dacă există aleatoriu în sistem, trebuie să înțelegeți natură această aleatorie și cum să o schimbăm pentru a obține rezultatele pe care le dorim.
Zaruri
Să începem cu ceva simplu: aruncarea zarurilor. Când majoritatea oamenilor se gândesc la zaruri, se gândesc la un zar cu șase fețe cunoscut sub numele de d6. Dar majoritatea jucătorilor au văzut multe alte zaruri: cu patru fețe (d4), cu opt fețe (d8), cu douăsprezece fețe (d12), cu douăzeci de fețe (d20) ... și dacă tu real tocilar, s-ar putea să ai niște zaruri cu 30 de fețe sau 100 de fețe undeva. Dacă nu sunteți familiarizat cu această terminologie, „d” înseamnă un zar, iar numărul de după acesta este câte fețe are. Dacă inainte de„d” înseamnă un număr, înseamnă Cantitate zaruri când sunt aruncate. De exemplu, în Monopoly, aruncați 2d6.
Deci, în acest caz, expresia „zaruri” este o denumire convențională. Există un număr imens de alți generatori de numere aleatoare care nu au forma unui bloc de plastic, dar îndeplinesc aceeași funcție de a genera un număr aleator de la 1 la n. O monedă obișnuită poate fi considerată și ca un zar diedr d2. Am văzut două modele de matriță cu șapte fețe: unul dintre ele arăta ca un zar, iar al doilea semăna mai mult cu un creion din lemn cu șapte fețe. Un dreidel tetraedric (cunoscut și ca titotum) este un analog al unui os tetraedric. Câmpul de joc săgeată care se rotește în jocul „Chutes & Ladders”, unde rezultatul poate fi de la 1 la 6, corespunde unui zar cu șase fețe. Generatorul de numere aleatorii din computer poate crea orice număr de la 1 la 19 dacă proiectantul dă o astfel de comandă, deși computerul nu are un zar cu 19 fețe (în general, voi vorbi mai mult despre probabilitatea ca numerele să cadă pe calculator la Următorul săptămână). Deși toate aceste elemente arată diferit, ele sunt de fapt echivalente: aveți șanse egale de a obține unul dintre mai multe rezultate.
Zarurile au câteva proprietăți interesante despre care trebuie să le cunoaștem. În primul rând, probabilitatea ca oricare dintre fețe să apară este aceeași (presupun că aruncați zarurile potrivite, nu geometria greșită). Deci dacă vrei să știi valoarea medie rola (cunoscută și printre probabiliști ca „așteptare matematică”), însumați valorile tuturor marginilor și împărțiți această sumă la Cantitate chipuri. Valoarea medie a unei aruncări pentru un zar standard cu șase fețe este 1+2+3+4+5+6 = 21, împărțit la numărul de fețe (6) și obținem valoarea medie de 21/6 = 3,5. Acesta este un caz special, deoarece presupunem că toate rezultatele sunt la fel de probabile.
Dacă ai zaruri speciale? De exemplu, am văzut un joc cu un zar cu șase fețe cu autocolante speciale pe fețe: 1, 1, 1, 2, 2, 3, așa că se comportă ca un zar ciudat cu trei fețe, care este mai probabil să arunce numărul 1 decât 2 și 2 decât 3. Care este valoarea medie a aruncării pentru acest zar? Deci 1+1+1+2+2+3 = 10 împărțit la 6 este egal cu 5/3 sau aproximativ 1,66. Deci, dacă aveți acest zar special și jucătorii aruncă trei zaruri și apoi adună rezultatele, știți că suma aproximativă a aruncărilor lor va fi de aproximativ 5 și puteți echilibra jocul pe baza acestei presupuneri.
Zaruri și independență
După cum am spus deja, pornim de la presupunerea că abandonul fiecărei fețe este la fel de probabilă. Nu depinde de câte zaruri arunci. Fiecare aruncare de zar indiferent, ceea ce înseamnă că rulourile anterioare nu afectează rezultatele rulajelor ulterioare. Cu un număr suficient de teste, cu siguranță o vei face înștiințare„seri” de numere, cum ar fi valorile mai mari sau mai mici, sau alte caracteristici, și vom vorbi despre asta mai târziu, dar asta nu înseamnă că zarurile sunt „fierbinți” sau „reci”. Dacă aruncați un zar standard cu șase fețe și numărul 6 apare de două ori la rând, probabilitatea ca următoarea aruncare să aibă ca rezultat un 6 este de asemenea 1/6. Probabilitatea nu este crescută de faptul că cubul este „încălzit”. Probabilitatea nu scade, deoarece numărul 6 a căzut deja de două ori la rând, ceea ce înseamnă că acum va cădea o altă față. (Desigur, dacă aruncați un zar de douăzeci de ori și numărul 6 apare de fiecare dată, șansa ca numărul 6 să apară pentru a douăzeci și una oară este destul de mare... deoarece ar putea însemna că aveți zarul greșit !) Dar dacă aveți zarul potrivit, probabilitatea de a cădea din fiecare dintre fețe este aceeași, indiferent de rezultatele altor aruncări. De asemenea, vă puteți imagina că de fiecare dată când schimbăm zarurile, așa că dacă numărul 6 s-a aruncat de două ori la rând, scoateți zarul „fierbinte” din joc și înlocuiți-l cu un nou zar cu șase fețe. Îmi cer scuze dacă cineva dintre voi știa deja despre asta, dar trebuia să clarific acest lucru înainte de a trece mai departe.
Cum să faci aruncarea zarurilor mai mult sau mai puțin aleatorie
Să vorbim despre cum să obținem rezultate diferite pe diferite zaruri. Dacă aruncați zarul doar o dată sau de mai multe ori, jocul se va simți mai aleatoriu dacă zarul are mai multe margini. Cu cât aruncați un zar de mai multe ori sau cu cât aruncați mai multe zaruri, cu atât rezultatele se apropie mai mult de medie. De exemplu, dacă aruncați 1d6+4 (adică un zar standard cu șase fețe o dată și adăugați 4 la rezultat), media va fi un număr între 5 și 10. Dacă aruncați 5d2, media va fi, de asemenea, un număr între 5 și 10. Dar atunci când aruncați un zar cu șase fețe, probabilitatea de a obține numerele 5, 8 sau 10 este aceeași. Rezultatul unei aruncări de 5d2 va fi în principal numerele 7 și 8, mai rar alte numere. Aceeași serie, chiar aceeași medie (7,5 în ambele cazuri), dar natura aleatoriei este diferită.
Așteptaţi un minut. Nu am spus doar că zarurile nu se încălzesc sau se răcesc? Și acum spun că dacă arunci multe zaruri, rezultatele aruncărilor sunt mai aproape de medie? De ce?
Lasă-mă să explic. Dacă arunci unu zar, probabilitatea de a cădea din fiecare dintre fețe este aceeași. Aceasta înseamnă că, dacă arunci o mulțime de zaruri, în timp, fiecare față va apărea de aproximativ același număr de ori. Cu cât aruncați mai multe zaruri, cu atât rezultatul total se va apropia de medie. Nu pentru că numărul rulat „determină” să se rostogolească un alt număr care nu a apărut încă. Pentru că o serie mică de 6s (sau 20 sau orice altceva) nu ajunge să fie mare lucru dacă mai arunci zarurile de zece mii de ori și mai ales apare la mijloc... poate că acum vei avea câteva numere cu o valoare mare, dar poate mai târziu câteva numere cu o valoare scăzută și în timp se vor apropia de valoarea medie. Nu pentru că aruncările anterioare afectează zarurile (serios, zarurile sunt făcute din plastic, ea nu are creier să gândească „oh, a trecut mult timp de când a apărut un 2”), ci pentru că așa se întâmplă de obicei cu multe aruncări de zaruri. O serie mică de numere care se repetă vor fi aproape invizibile într-un număr mare de rezultate.
Astfel, este destul de ușor de calculat pentru o aruncare aleatorie a unui zar, cel puțin în măsura în care se calculează valoarea medie a aruncării. Există și modalități de a calcula „cât de aleatoriu” este ceva, o modalitate de a spune că rezultatele unei aruncări de 1d6+4 vor fi „mai aleatorii” decât a unui 5d2, pentru un 5d2 distribuția rezultatelor aruncării va fi mai uniformă, de obicei, calculezi abaterea standard pentru aceasta și cu cât mai multă valoare, cu atât rezultatele vor fi mai aleatorii, dar acest lucru necesită mai multe calcule decât aș dori să dau astăzi (voi explica acest subiect mai târziu). Singurul lucru pe care vă cer să știți este că, ca regulă generală, cu cât sunt mai puține zaruri aruncate, cu atât mai aleatorii. Și încă o adăugare pe această temă: cu cât zarul are mai multe laturi, cu atât mai multă aleatorie, deoarece aveți mai multe opțiuni.
Cum se calculează probabilitatea folosind numărarea
Este posibil să aveți o întrebare: cum putem calcula probabilitatea exactă ca un anumit rezultat să apară? Acest lucru este de fapt destul de important pentru multe jocuri, deoarece dacă aruncați un zar, este probabil să existe un rezultat optim inițial. Răspunsul este: trebuie să calculăm două valori. Mai întâi, calculați numărul maxim de rezultate atunci când aruncați un zar (indiferent de rezultatul). Apoi numărați numărul de rezultate favorabile. Împărțind a doua valoare la prima, obțineți probabilitatea dorită. Pentru a obține un procent, înmulțiți rezultatul cu 100.
Exemple:
Iată un exemplu foarte simplu. Vrei să arunci un 4 sau mai mult și să arunci un zar cu șase fețe o dată. Numărul maxim de rezultate este 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Dintre acestea, 3 rezultate (4, 5, 6) sunt favorabile. Deci, pentru a calcula probabilitatea, împărțim 3 la 6 și obținem 0,5 sau 50%.
Iată un exemplu puțin mai complicat. Vrei un număr par pe o aruncare de 2d6. Numărul maxim de rezultate este 36 (6 pentru fiecare zar, iar din moment ce un zar nu îl afectează pe celălalt, înmulțim 6 rezultate cu 6 și obținem 36). Dificultatea cu acest tip de întrebare este că este ușor să numărați de două ori. De exemplu, există de fapt două rezultate posibile ale unui 3 la o aruncare de 2d6: 1+2 și 2+1. Arată la fel, dar diferența este numărul afișat pe primul zar și ce este pe al doilea. De asemenea, vă puteți imagina că zarurile sunt de diferite culori, deci de exemplu în acest caz un zar este roșu, iar celălalt este albastru. Apoi numărați numărul de opțiuni pentru obținerea unui număr par: 2 (1+1), 4 (1+3), 4 (2+2), 4 (3+1), 6 (1+5), 6 (2 +4), 6 (3+3), 6 (4+2), 6 (5+1), 8 (2+6), 8 (3+5), 8 (4+4), 8 (5+) 3), 8 (6+2), 10 (4+6), 10 (5+5), 10 (6+4), 12 (6+6). Se pare că există 18 opțiuni pentru un rezultat favorabil din 36, ca și în cazul precedent, probabilitatea va fi de 0,5 sau 50%. Poate neașteptat, dar destul de precis.
Simulare Monte Carlo
Ce se întâmplă dacă ai prea multe zaruri pentru acest calcul? De exemplu, vrei să știi care este probabilitatea de a arunca un total de 15 sau mai mult la o aruncare de 8d6. Există MULTE scoruri individuale diferite pentru opt zaruri și ar dura foarte mult timp pentru a le calcula manual. Chiar dacă găsim o soluție bună pentru a grupa diferite serii de aruncări de zaruri, va dura încă foarte mult timp pentru a număra. În acest caz, cel mai simplu mod de a calcula probabilitatea nu este să calculezi manual, ci să folosești un computer. Există două moduri de a calcula probabilitatea pe un computer.
Prima modalitate poate obține răspunsul exact, dar implică puțină programare sau scripting. În esență, computerul va parcurge fiecare posibilitate, va evalua și număra numărul total de iterații și numărul de iterații care corespund rezultatului dorit, apoi va oferi răspunsuri. Codul tău ar putea arăta cam așa:
int wincount=0, totalcount=0;
pentru (int i=1; i<=6; i++) {
pentru (int j=1; j<=6; j++) {
pentru (int k=1; k<=6; k++) {
… // inserați mai multe bucle aici
dacă (i+j+k+… >= 15) (
probabilitate float = wincount/totalcount;
Dacă nu ești programator și vrei doar un răspuns inexact, dar aproximativ, poți simula această situație în Excel, unde dai 8d6 de câteva mii de ori și obții răspunsul. Pentru a arunca 1d6 în Excel, utilizați următoarea formulă:
FLOOR(RAND()*6)+1
Există un nume pentru situația în care nu știi răspunsul și încerci de multe ori - Simulare Monte Carlo, și este o soluție grozavă la care să recurgeți atunci când încercați să calculați o probabilitate și este prea complicat. Lucrul grozav este că, în acest caz, nu trebuie să înțelegem cum funcționează matematica și știm că răspunsul va fi „destul de bun”, deoarece, după cum știm deja, cu cât mai multe role, cu atât rezultatul se apropie mai mult de valoarea medie.
Cum să combinați studiile independente
Dacă întrebați despre mai multe încercări repetate, dar independente, atunci rezultatul unei aruncări nu afectează rezultatul altor rulări. Există o altă explicație mai simplă pentru această situație.
Cum se face distincția între ceva dependent și independent? În principiu, dacă puteți izola fiecare aruncare a unui zar (sau serie de aruncări) ca un eveniment separat, atunci este independent. De exemplu, dacă dorim să aruncăm un total de 15 aruncând 8d6, acest caz nu poate fi împărțit în mai multe aruncări independente de zaruri. Deoarece calculați suma valorilor tuturor zarurilor pentru rezultat, rezultatul care este aruncat pe un zar afectează rezultatele care ar trebui să fie aruncate pe alte zaruri, deoarece numai prin însumarea tuturor valorilor veți obține rezultatul dorit.
Iată un exemplu de aruncări independente: jucați un joc de zaruri și aruncați zaruri cu șase fețe de mai multe ori. Pentru a rămâne în joc, trebuie să aruncați un 2 sau mai mult la prima aruncare. Pentru a doua rolă, 3 sau mai mare. Al treilea necesită 4 sau mai multe, al patrulea necesită 5 sau mai mult, al cincilea necesită 6. Dacă toate cele cinci aruncări au succes, câștigi. În acest caz, toate aruncările sunt independente. Da, dacă o aruncare eșuează, aceasta va afecta rezultatul întregului joc, dar o aruncare nu afectează o altă aruncare. De exemplu, dacă a doua aruncare a zarurilor este foarte reușită, acest lucru nu afectează probabilitatea ca următoarele aruncări să aibă succes la fel. Prin urmare, putem lua în considerare probabilitatea fiecărei aruncări de zaruri separat.
Dacă aveți probabilități separate, independente și doriți să știți care este probabilitatea ca Toata lumea vor veni evenimente, determinați fiecare probabilitate individuală și le înmulțiți. Alt mod: dacă folosiți conjuncția „și” pentru a descrie mai multe condiții (de exemplu, care este probabilitatea ca un eveniment întâmplător să apară și alt eveniment aleator independent?), calculați probabilitățile individuale și înmulțiți-le.
Nu contează ce crezi nu nu însumați probabilitățile independente. Aceasta este o greșeală comună. Pentru a înțelege de ce este greșit, imaginați-vă o situație în care aruncați o monedă 50/50 și doriți să știți care este probabilitatea de a obține capete de două ori la rând. Fiecare parte are o șansă de 50% să iasă în sus, așa că dacă adunăm cele două probabilități, ai șanse de 100% să apară capete, dar știm că nu este adevărat pentru că ar putea apărea două cozi consecutive. Dacă în schimb înmulți aceste două probabilități, obții 50% * 50% = 25%, care este răspunsul corect pentru calcularea probabilității de a obține capete de două ori la rând.
Exemplu
Să revenim la jocul cu zaruri cu șase fețe, unde trebuie să aruncați mai întâi un număr mai mare de 2, apoi mai mare de 3 și așa mai departe. până la 6. Care sunt șansele ca într-o serie dată de 5 aruncări, toate rezultatele să fie favorabile?
După cum am menționat mai sus, acestea sunt încercări independente, așa că calculăm probabilitatea pentru fiecare aruncare individuală și apoi le înmulțim. Probabilitatea ca rezultatul primei aruncări să fie favorabil este de 5/6. Al doilea - 4/6. Al treilea - 3/6. Al patrulea - 2/6, al cincilea - 1/6. Înmulțind toate aceste rezultate, obținem aproximativ 1,5%... Deci, câștigarea acestui joc este destul de rar, așa că dacă adăugați acest element în jocul dvs., veți avea nevoie de un jackpot destul de mare.
Negare
Iată un alt indiciu util: uneori este dificil să se calculeze probabilitatea ca un eveniment să se producă, dar este mai ușor să se determine care sunt șansele ca un eveniment să se producă. nu va veni.
De exemplu, să presupunem că avem un alt joc și tu arunci 6d6 și dacă cel puțin o dată da 6, câștigi. Care este probabilitatea de a câștiga?
În acest caz, există multe opțiuni de luat în considerare. Poate că un număr 6 va cădea, de exemplu. unul dintre zaruri va arunca un 6, iar ceilalți vor arunca un 1 la 5, și există 6 opțiuni pentru care dintre zaruri va arunca un 6. Apoi puteți arunca un 6 pe două zaruri, sau trei, sau chiar mai multe, și de fiecare dată trebuie să facem un calcul separat, așa că este ușor să ne confuzi.
Dar există o altă modalitate de a rezolva această problemă, să o privim din cealaltă parte. Tu pierde dacă nici unul nu va cădea din zar numărul 6. În acest caz, avem șase încercări independente, probabilitatea fiecăreia dintre ele este 5/6 (orice număr, altul decât 6, poate cădea pe zar). Înmulțiți-le și obțineți aproximativ 33%. Astfel, probabilitatea de a pierde este de la 1 la 3.
Prin urmare, probabilitatea de a câștiga este de 67% (sau 2 la 3).
Din acest exemplu este evident că dacă calculați probabilitatea ca un eveniment să nu aibă loc, scădeți rezultatul din 100%. Dacă probabilitatea de a câștiga este de 67%, atunci probabilitatea pierde — 100% minus 67%, sau 33%. Si invers. Dacă este dificil să calculați o probabilitate, dar ușor să calculați opusul, calculați opusul și apoi scădeți din 100%.
Condiții de conectare pentru un test independent
Am spus puțin mai devreme că nu trebuie niciodată să însumați probabilitățile în studii independente. Există cazuri în care poate sa suma probabilitatile? Da, într-o anumită situație.
Dacă doriți să calculați probabilitatea unor rezultate favorabile multiple, neînrudite, la același studiu, însumați probabilitățile fiecărui rezultat favorabil. De exemplu, probabilitatea de a obține un 4, 5 sau 6 pe 1d6 este sumă probabilitatea de a obține un 4, probabilitatea de a obține un 5 și probabilitatea de a obține un 6. De asemenea, vă puteți gândi la această situație după cum urmează: dacă utilizați conjuncția „sau” într-o întrebare despre probabilitate (de exemplu, ce este probabilitatea de sau rezultat diferit al unui eveniment aleatoriu?), calculați probabilitățile individuale și însumați-le.
Rețineți că atunci când însumați toate rezultatele posibile joc, suma tuturor probabilităților trebuie să fie egală cu 100%. Dacă suma nu este egală cu 100%, calculul dvs. a fost făcut incorect. Aceasta este o modalitate bună de a vă verifica din nou calculele. De exemplu, ați analizat probabilitatea de a obține toate combinațiile în poker, dacă adunați toate rezultatele, ar trebui să obțineți exact 100% (sau cel puțin o valoare destul de apropiată de 100%, dacă utilizați un calculator, este posibil să aveți o eroare mică de rotunjire, dar dacă adunați numerele exacte manual, totul ar trebui să se adună). Dacă suma nu converge, atunci cel mai probabil nu ați luat în considerare unele combinații sau ați calculat incorect probabilitățile unor combinații și atunci trebuie să vă verificați din nou calculele.
Probabilități inegale
Până acum, am presupus că fiecare față a matriței cade la aceeași frecvență, deoarece așa funcționează matrița. Dar uneori te confrunți cu o situație în care sunt posibile rezultate diferite și ele variat sanse de pierdere. De exemplu, într-una dintre expansiunile jocului de cărți „Războiul nuclear” există un teren de joc cu o săgeată, care determină rezultatul lansării unei rachete: practic provoacă daune normale, mai multe sau mai puține daune, dar uneori daunele sunt dublat sau triplat, sau racheta explodează pe rampa de lansare și vă face rău, sau are loc un alt eveniment. Spre deosebire de tabla cu săgeți din „Chutes & Ladders” sau „A Game of Life”, rezultatele tablei din „Nuclear War” sunt inegale. Unele secțiuni ale terenului de joc sunt mai mari și săgeata se oprește pe ele mult mai des, în timp ce alte secțiuni sunt foarte mici și săgeata se oprește pe ele rar.
Deci, la prima vedere, osul arată cam așa: 1, 1, 1, 2, 2, 3; am vorbit deja despre asta, este ceva ca un 1d3 ponderat, prin urmare, trebuie să împărțim toate aceste secțiuni în părți egale, să găsim cea mai mică unitate de măsură, care este un multiplu al acesteia, și apoi să reprezentăm situația ca d522 (sau unele altele), unde setul de fețe de zaruri va afișa aceeași situație, dar cu un număr mai mare de rezultate. Și aceasta este o modalitate de a rezolva problema și este fezabilă din punct de vedere tehnic, dar există o modalitate mai ușoară.
Să revenim la zarurile noastre standard cu șase fețe. Am spus că, pentru a calcula valoarea medie a unei aruncări pentru un zar normal, trebuie să însumați valorile de pe toate fețele și să le împărțiți la numărul de fețe, dar cum exact se face calculul? O poți exprima diferit. Pentru un zar cu șase fețe, probabilitatea ca fiecare față să apară este exact 1/6. Acum ne înmulțim Exod fiecare margine pe probabilitate acest rezultat (în acest caz, 1/6 pentru fiecare față), apoi însumați valorile rezultate. Deci, însumând (1*1/6) + (2*1/6) + (3*1/6) + (4*1/6) + (5*1/6) + (6*1/6 ), obținem același rezultat (3.5) ca în calculul de mai sus. De fapt, calculăm acest lucru de fiecare dată: înmulțim fiecare rezultat cu probabilitatea acelui rezultat.
Putem face același calcul pentru săgeata de pe terenul de joc din jocul „Războiul nuclear”? Bineînțeles că putem. Și dacă însumăm toate rezultatele găsite, obținem valoarea medie. Tot ce trebuie să facem este să calculăm probabilitatea fiecărui rezultat pentru săgeata de pe terenul de joc și să o înmulțim cu rezultatul.
Alt exemplu
Această metodă de calculare a mediei, prin înmulțirea fiecărui rezultat cu probabilitatea sa individuală, este, de asemenea, adecvată dacă rezultatele sunt la fel de probabile, dar au avantaje diferite, cum ar fi dacă arunci un zar și câștigi mai mult pe unele părți decât pe altele. De exemplu, să luăm un joc care se întâmplă într-un cazinou: pariezi și arunci 2d6. Dacă apar trei numere cu valoare mică (2, 3, 4) sau patru numere cu valoare mare (9, 10, 11, 12), vei câștiga o sumă egală cu pariul tău. Numerele cu cea mai mică și cea mai mare valoare sunt speciale: dacă 2 sau 12 role, câștigi de doua ori mai mult decât oferta dvs. Dacă apare orice alt număr (5, 6, 7, 8), vei pierde pariul. Acesta este un joc destul de simplu. Dar care este probabilitatea de a câștiga?
Să începem prin a număra de câte ori poți câștiga:
- Numărul maxim de rezultate la o aruncare de 2d6 este 36. Care este numărul de rezultate favorabile?
- Există 1 opțiune că doi vor cădea și 1 opțiune că doisprezece vor cădea.
- Există 2 opțiuni pentru rularea trei și unsprezece.
- Există 3 opțiuni pentru rularea patru și 3 opțiuni pentru rularea zece.
- Există 4 opțiuni pentru ca nouă să apară.
- Însumând toate opțiunile, obținem numărul de rezultate favorabile 16 din 36.
Astfel, în condiții normale, vei câștiga de 16 ori din 36 posibile... probabilitatea de a câștiga este puțin mai mică de 50%.
Dar în două cazuri din cele 16, vei câștiga de două ori mai mult, adică. este ca și cum ai câștiga de două ori! Dacă joci acest joc de 36 de ori, pariând 1 dolar de fiecare dată și fiecare dintre toate rezultatele posibile apare o dată, vei câștiga un total de 18 dolari (de fapt, câștigi de 16 ori, dar două dintre acele ori vor conta ca două câștiguri). Dacă joci de 36 de ori și câștigi 18 $, asta nu înseamnă că este o șansă egală?
Nu te grabi. Dacă numărați de câte ori puteți pierde, obțineți 20, nu 18. Dacă jucați de 36 de ori, pariând 1 $ de fiecare dată, veți câștiga un total de 18 $ cu toate șansele aruncate... dar veți pierde suma totală de 20 USD pentru toate cele 20 de rezultate proaste! Ca urmare, vei fi puțin în urmă: pierzi în medie 2 USD net pentru fiecare 36 de jocuri jucate (se poate spune și că pierzi în medie 1/18 USD pe zi). Acum vezi cât de ușor este să faci o greșeală în acest caz și să calculezi incorect probabilitatea!
permutare
Până acum, am presupus că ordinea în care sunt aruncate numerele nu contează la aruncarea zarurilor. O rolă de 2+4 este la fel cu o rolă de 4+2. În cele mai multe cazuri, numărăm manual numărul de rezultate favorabile, dar uneori această metodă este nepractică și este mai bine să folosiți o formulă matematică.
Un exemplu al acestei situații este din jocul de zaruri „Farkle”. Pentru fiecare rundă nouă, aruncați 6d6. Dacă ești norocos și apar toate rezultatele posibile ale 1-2-3-4-5-6 (Straight), vei primi un bonus mare. Care este probabilitatea ca acest lucru să se întâmple? În acest caz, există multe opțiuni pentru pierderea acestei combinații!
Soluția este următoarea: unul dintre zaruri (și doar unul) trebuie să arunce numărul 1! Câte moduri de a obține numărul 1 pe un zar? Șase, deoarece există 6 zaruri și oricare dintre ele poate obține numărul 1. Prin urmare, luați un zar și lăsați-l deoparte. Acum, numărul 2 ar trebui să cadă pe unul dintre zarurile rămase. Există cinci opțiuni pentru aceasta. Luați un alt zar și puneți-l deoparte. Apoi rezultă că patru dintre zarurile rămase pot arunca un 3, trei dintre zarurile rămase pot arunca un 4, două dintre zarurile rămase pot arunca un 5, iar tu ajungi cu un zar care trebuie să arunce un 6 (în cel din urmă). caz, există un singur zar și nu există de ales). Pentru a calcula numărul de rezultate favorabile pentru o combinație dreaptă, înmulțim toate opțiunile diferite, independente: 6x5x4x3x2x1 = 720 - se pare că există destul de multe opțiuni pentru ca această combinație să apară.
Pentru a calcula probabilitatea de a obține o combinație dreaptă, trebuie să împărțim 720 la numărul tuturor rezultatelor posibile pentru 6d6. Care este numărul tuturor rezultatelor posibile? Fiecare zar poate ateriza 6 fețe, așa că înmulțim 6x6x6x6x6x6 = 46656 (număr mult mai mare!). Împărțim 720/46656 și obținem o probabilitate egală cu aproximativ 1,5%. Dacă ați proiecta acest joc, ar fi util să știți acest lucru, astfel încât să puteți crea un sistem de punctare adecvat. Acum înțelegem de ce în jocul „Farkle” obțineți un bonus atât de mare dacă obțineți o combinație de „drept”, deoarece această situație este destul de rară!
Rezultatul este interesant și din alt motiv. Exemplul arată cât de rar cade într-o perioadă scurtă un rezultat corespunzător probabilității. Desigur, dacă am arunca câteva mii de zaruri, ar apărea destul de des părți diferite ale zarurilor. Dar când aruncăm doar șase zaruri, aproape nu nu se intampla ca fiecare dintre fete sa cada! Pornind de aici, devine clar că este o prostie să te aștepți ca acum să cadă o altă față, care încă nu a căzut „pentru că nu am scăpat de mult numărul 6, ceea ce înseamnă că va cădea acum. ”
Uite, generatorul tău de numere aleatorii este stricat...
Acest lucru ne aduce la o concepție greșită comună despre probabilitate: presupunerea că toate rezultatele apar cu aceeași frecvență. pe o perioadă scurtă de timp, ceea ce de fapt nu este cazul. Dacă aruncăm zarurile de mai multe ori, frecvența fiecăreia dintre fețe nu va fi aceeași.
Dacă ați mai lucrat vreodată la un joc online cu un fel de generator de numere aleatorii, cel mai probabil ați întâlnit o situație în care un jucător scrie suportului tehnic pentru a spune că generatorul dvs. de numere aleatoare este defect și nu afișează numere aleatoare, iar el a ajuns la această concluzie pentru că tocmai a ucis 4 monștri la rând și a primit 4 exact aceleași recompense, iar aceste recompense ar trebui să scadă doar 10% din timp, așa că asta Aproape niciodată nu ar trebui avea loc, ceea ce înseamnă evident că generatorul tău de numere aleatoare este defect.
Faci matematica. 1/10*1/10*1/10*1/10 este egal cu 1 din 10.000, ceea ce înseamnă că este destul de rar. Și asta încearcă să-ți spună jucătorul. Există vreo problemă în acest caz?
Totul depinde de circumstanțe. Câți jucători sunt acum pe serverul tău? Să presupunem că aveți un joc destul de popular și 100.000 de oameni îl joacă în fiecare zi. Câți jucători vor ucide patru monștri la rând? Orice este posibil, de mai multe ori pe zi, dar să presupunem că jumătate dintre ei doar fac schimb de articole diferite la licitații sau discută pe serverele RP sau fac alte activități de joc, așa că doar jumătate dintre ei vânează monștri. Care este probabilitatea ca cineva va pierde aceeași recompensă? În această situație, vă puteți aștepta ca aceeași recompensă să scadă de mai multe ori pe zi, cel puțin!
Apropo, de aceea se pare că cel puțin o dată la câteva săptămâni cineva câștigă la loterie, chiar dacă acel cineva nu tu sau prietenii tăi nu veniți. Dacă destui oameni joacă în fiecare săptămână, sunt șanse să existe cel puțin unu norocos... dar dacă tu joci la loterie, este mai puțin probabil să câștigi un loc de muncă la Infinity Ward.
Hărți și dependență
Am discutat despre evenimente independente, cum ar fi aruncarea unui zar, iar acum cunoaștem multe instrumente puternice pentru analiza aleatoriei în multe jocuri. Calculul probabilității este puțin mai complicat când vine vorba de tragerea de cărți din pachet, deoarece fiecare carte pe care o tragem afectează cărțile rămase în pachet. Dacă aveți un pachet standard de 52 de cărți și trageți 10 de inimi, de exemplu, și doriți să știți probabilitatea ca următoarea carte să fie de aceeași culoare, probabilitatea s-a schimbat deoarece ați scos deja o carte inimă din punte. Fiecare carte pe care o eliminați modifică probabilitatea următoarei cărți din pachet. Deoarece în acest caz evenimentul anterior îl afectează pe următorul, numim această probabilitate dependent.
Vă rugăm să rețineți că atunci când spun „cărți” mă refer orice mecanică de joc în care există un set de obiecte și scoți unul dintre obiecte fără a-l înlocui, un „pachet de cărți” în acest caz este analog cu un sac de jetoane din care scoți un cip și nu îl înlocuiești, sau o urna din care scoti bile colorate (de fapt nu am vazut niciodata un joc in care sa fie scoasa o urna cu bile colorate, dar se pare ca profesorii de probabilitate prefera acest exemplu din anumite motive).
Proprietăți de dependență
Aș dori să clarific că atunci când vine vorba de cărți, presupun că trageți cărți, vă uitați la ele și le scoateți din pachet. Fiecare dintre aceste acțiuni este o proprietate importantă.
Dacă aș avea un pachet de, să zicem, șase cărți numerotate de la 1 la 6, și le-aș amesteca și am tras o carte și apoi am amestecat din nou toate cele șase cărți, ar fi la fel cu a arunca un zar cu șase fețe; un rezultat nu îl afectează pe următorul. Doar dacă trag cărți și nu le înlocuiesc, rezultatul tragerii unei cărți cu numărul 1 va crește probabilitatea ca data viitoare când trag o carte cu numărul 6 (probabilitatea va crește până când în cele din urmă voi trage această carte sau până când Am amestecat cărțile).
Faptul că noi ne uitam pe cărți este, de asemenea, importantă. Dacă scot o carte din pachet și nu mă uit la ea, nu am nicio informație suplimentară și probabilitatea nu se schimbă de fapt. Acest lucru poate suna ilogic. Cum poate pur și simplu răsturnarea unei cărți să schimbe în mod magic șansele? Dar este posibil, deoarece puteți calcula probabilitatea pentru elemente necunoscute doar din faptul că dvs ştii. De exemplu, dacă amestecați un pachet standard de cărți, dezvăluiți 51 de cărți și niciuna dintre ele nu este regina trefurilor, veți ști cu 100% certitudine că cartea rămasă este o regină a trețurilor. Dacă amestecați un pachet standard de cărți și trageți 51 de cărți, în ciuda pe ele, atunci probabilitatea ca cartea rămasă să fie regina treftelor va fi tot 1/52. Pe măsură ce deschideți fiecare card, obțineți mai multe informații.
Calcularea probabilității pentru evenimentele dependente urmează aceleași principii ca și pentru evenimentele independente, cu excepția faptului că este puțin mai complicat, deoarece probabilitățile se schimbă atunci când dezvăluiți cărțile. Astfel, trebuie să înmulți mai multe valori diferite, în loc să înmulți aceeași valoare. De fapt, aceasta înseamnă că trebuie să combinăm toate calculele pe care le-am făcut într-o singură combinație.
Exemplu
Amesteci un pachet standard de 52 de cărți și trageți două cărți. Care este probabilitatea să scoți o pereche? Există mai multe modalități de a calcula această probabilitate, dar poate cea mai simplă este următoarea: care este probabilitatea ca, dacă trageți o carte, nu veți putea trage o pereche? Această probabilitate este zero, așa că nu contează cu adevărat ce prima carte trageți, atâta timp cât se potrivește cu a doua. Indiferent de cartea pe care o tragem prima, avem în continuare șansa de a trage o pereche, așa că probabilitatea ca după ce extragem prima carte să putem trage o pereche este de 100%.
Care este probabilitatea ca a doua carte să se potrivească cu prima? Au mai rămas 51 de cărți în pachet și 3 dintre ele se potrivesc cu prima carte (de fapt ar fi fost 4 din 52, dar ai eliminat deja una dintre cărțile potrivite când ai tras prima carte!), deci probabilitatea este 1 /17. (Așa că data viitoare când tipul de peste masă care joacă Texas Hold'em spune: „Foarte, altă pereche? Sunt norocos azi,” vei ști că există șanse destul de mari să cacealeze.)
Ce se întâmplă dacă adăugăm doi jokeri și acum avem 54 de cărți în pachet și vrem să știm care este probabilitatea de a extrage o pereche? Prima carte poate fi Joker, iar apoi pachetul va conține doar unu card, nu trei, care se vor potrivi. Cum să găsiți probabilitatea în acest caz? Împărțim probabilitățile și înmulțim fiecare posibilitate.
Prima noastră carte ar putea fi un joker sau o altă carte. Probabilitatea de a trage un joker este 2/54, probabilitatea de a trage o altă carte este 52/54.
Dacă prima carte este un joker (2/54), atunci probabilitatea ca a doua carte să se potrivească cu prima este 1/53. Înmulțirea valorilor (le putem înmulți pentru că sunt evenimente separate și ne dorim ambii evenimentele petrecute) și obținem 1/1431 - mai puțin de o zecime de procent.
Dacă trageți mai întâi o altă carte (52/54), probabilitatea de a se potrivi cu a doua carte este de 3/53. Înmulțim valorile și obținem 78/1431 (puțin mai mult de 5,5%).
Ce facem cu aceste două rezultate? Ele nu se intersectează și vrem să știm probabilitatea toata lumea dintre ele, așa că însumăm valorile! Obținem rezultatul final 79/1431 (încă aproximativ 5,5%).
Dacă dorim să fim siguri de acuratețea răspunsului, am putea calcula probabilitatea tuturor celorlalte rezultate posibile: tragerea unui joker și nepotrivirea celei de-a doua cărți, sau tragerea unei alte cărți și nepotrivirea celei de-a doua cărți și însumarea lor pe toate. cu probabilitatea de a câștiga, am primi exact 100%. Nu voi da matematica aici, dar puteți încerca matematica pentru a verifica.
Paradoxul Monty Hall
Acest lucru ne aduce la un paradox destul de faimos care adesea îi încurcă pe mulți, paradoxul Monty Hall. Paradoxul poartă numele lui Monty Hall, gazda emisiunii TV Let's Make a Deal. Dacă nu ați văzut niciodată această emisiune, a fost opusul emisiunii TV „The Price Is Right”. La „The Price Is Right”, gazda (fostul Bob Barker, acum este... Drew Carey? Oricum...) este prietenul tău. El vrea pentru a câștiga bani sau premii grozave. Încearcă să îți ofere toate oportunitățile de a câștiga, atâta timp cât poți ghici cât valorează de fapt articolele sponsorizate.
Monty Hall s-a comportat diferit. Era ca geamănul malefic al lui Bob Barker. Scopul lui era să te facă să arăți ca un idiot la televiziunea națională. Dacă erai în emisiune, el era adversarul tău, jucai împotriva lui și șansele erau în favoarea lui. Poate că sunt dur, dar când șansa de a fi ales ca adversar pare să fie direct proporțională cu faptul că porți sau nu un costum ridicol, ajung la concluzii similare.
Dar una dintre cele mai faimoase meme ale serialului a fost aceasta: erau trei uși în fața ta și se numeau Ușa Numărul 1, Ușa Numărul 2 și Ușa Numărul 3. Ai putea alege orice ușă... gratuit! În spatele uneia dintre aceste uși, era un premiu magnific, de exemplu, o mașină nouă. În spatele celorlalte uși nu existau premii, aceste două uși nu aveau nicio valoare. Scopul lor era să te umilească și deci nu e ca și cum nu ar fi nimic în spatele lor, era ceva în spatele lor care părea stupid, ca o capră în spatele lor sau un tub uriaș de pastă de dinți, sau ceva... ceva, ce anume era nu mașină nouă.
Ai ales una dintre uși și Monty era pe cale să o deschidă pentru a te anunța dacă ai câștigat sau nu... dar stai, inainte sa stim să ne uităm la una dintre acestea ușa tu nu ales. Din moment ce Monty știe la ce ușă se află premiul și există un singur premiu și Două uși pe care nu le-ați ales, indiferent de ce, el poate oricând deschide o ușă care nu are un premiu în spate. „Alegi Ușa numărul 3? Atunci să deschidem Ușa 1 pentru a arăta că în spatele ei nu a existat niciun premiu.” Și acum, din generozitate, îți oferă șansa de a schimba Ușa # 3 aleasă de tine cu cea din spatele Ușii # 2. Aici intervine problema probabilității: posibilitatea de a alege o altă ușă crește sau scade sansa de a castiga sau ramane aceeasi? Cum crezi?
Răspuns corect: capacitatea de a alege o altă ușă crește probabilitatea de a câștiga de la 1/3 la 2/3. Acest lucru este ilogic. Dacă nu ai mai întâlnit acest paradox până acum, sunt șanse să te gândești: stai, deschizând o ușă, am schimbat magic probabilitatea? Dar așa cum am văzut în exemplul hărții de mai sus, aceasta este exact ce se întâmplă când obținem mai multe informații. Este evident că probabilitatea de a câștiga prima dată când alegeți este 1/3 și cred că toată lumea va fi de acord cu asta. Când se deschide o ușă, nu schimbă deloc probabilitatea de a câștiga pentru prima alegere, probabilitatea este încă 1/3, dar asta înseamnă că probabilitatea ca o alta ușa corectă este acum 2/3.
Să privim acest exemplu din cealaltă parte. Tu alegi o uşă. Probabilitatea de a câștiga este de 1/3. Vă sugerez să vă schimbați Două alte uși, ceea ce Monty Hall își propune de fapt să facă. Bineînțeles, deschide una dintre uși pentru a arăta că în spate nu există niciun premiu, ci el mereu poate face asta, așa că nu schimbă nimic. Desigur, veți dori să alegeți o altă ușă!
Dacă nu înțelegeți prea bine această problemă și aveți nevoie de o explicație mai convingătoare, faceți clic pe acest link pentru a accesa o mică aplicație Flash, care vă va permite să explorați acest paradox mai detaliat. Puteți începe cu aproximativ 10 uși și apoi treceți treptat până la un joc cu trei uși; există și un simulator în care poți alege orice număr de uși de la 3 la 50 și poți juca sau rula câteva mii de simulări și vezi de câte ori ai câștiga dacă ai juca.
O notă de la un profesor de matematică superioară și un specialist în echilibru de joc Maxim Soldatov, pe care, desigur, Schreiber nu a avut-o, dar fără de care este destul de greu de înțeles această transformare magică:
Alegeți o ușă, una din trei, probabilitatea de a „câștiga” 1/3. Acum aveți 2 strategii: schimbați alegerea după ce ați deschis ușa greșită sau nu. Dacă nu vă schimbați alegerea, atunci probabilitatea va rămâne 1/3, deoarece alegerea este doar în prima etapă și trebuie să ghiciți imediat, dar dacă schimbați, atunci puteți câștiga dacă alegeți mai întâi ușa greșită ( apoi deschid altul greșit, va rămâne adevărat, schimbi decizia doar ia-o)
Probabilitatea de a alege ușa greșită la început este de 2/3, așa că reiese că schimbându-ți decizia faci probabilitatea de a câștiga de 2 ori mai mult
Revizuirea paradoxului Monty Hall
Cât despre spectacolul în sine, Monty Hall știa asta, pentru că, chiar dacă adversarii lui nu erau buni la matematică, este el o intelege bine. Iată ce a făcut pentru a schimba puțin jocul. Dacă ați ales ușa în spatele căreia se afla premiul, a cărei probabilitate este de 1/3, aceasta mereuți-a oferit opțiunea de a alege o altă ușă. Pentru că ai ales o mașină și apoi o schimbi într-o capră și arăți destul de prost, care este exact ceea ce are nevoie, pentru că este un fel de tip rău. Dar dacă alegi ușa în spatele căreia nu va exista nici un premiu, numai jumătateîn astfel de cazuri vă va îndemna să alegeți o altă ușă, iar în alte cazuri vă va arăta pur și simplu noua capră și veți părăsi scena. Să analizăm acest nou joc în care Monty Hall poate alege iti ofera sansa sa alegi sau nu alta usa.
Să presupunem că urmează acest algoritm: dacă alegi o ușă cu premiu, el îți oferă întotdeauna posibilitatea de a alege o altă ușă, altfel probabilitatea ca el să-ți ofere o altă ușă sau să-ți dea o capră este de 50/50. Care este probabilitatea de a câștiga?
Într-una dintre cele trei opțiuni, alegi imediat ușa în spatele căreia se află premiul, iar gazda te invită să alegi o altă ușă.
Dintre celelalte două opțiuni din trei (alegeți inițial o ușă fără premiu), jumătate din timp gazda vă va cere să alegeți o altă ușă, iar cealaltă jumătate nu o va face. Jumătate din 2/3 este 1/3, adică. într-un caz din trei vei primi o capră, într-un caz din trei vei alege ușa greșită și gazda te va cere să alegi alta și într-un caz din trei vei alege usa dreapta iar el vă va cere să alegeți o altă ușă.
Dacă gazda sugerează să alegem o altă ușă, știm deja că unul dintre cele trei cazuri când ne dă o capră și plecăm nu s-a întâmplat. Acestea sunt informații utile, deoarece înseamnă că șansele noastre de câștig s-au schimbat. De două din trei ori avem de ales, într-un caz înseamnă că am ghicit bine, iar în celălalt caz înseamnă că am ghicit greșit, deci dacă ni s-a oferit o alegere, asta înseamnă că probabilitatea de a câștiga este de 50/ 50, și nu există matematic beneficii, rămâneți cu alegerea dvs. sau alegeți altă ușă.
La fel ca pokerul, acum este un joc psihologic, nu unul matematic. Monty ți-a oferit o alegere pentru că crede că ești un prost care nu știe că alegerea unei uși diferite este decizia „corectă” și că vei rămâne cu alegerea ta pentru că din punct de vedere psihologic situația este atunci când alegi o mașină și apoi l-ai pierdut, mai greu? Sau crede că ești deștept și alegi altă ușă și îți oferă această șansă pentru că știe că ai ghicit bine prima dată și că vei fi prins și prins? Sau poate că este neobișnuit de amabil cu el însuși și te împinge să faci ceva în interesul tău personal pentru că nu a mai donat o mașină de multă vreme și producătorii lui îi spun că publicul se plictisește și ar fi bine să dea un premiu mare în curând. ca sa nu scadă ratingurile?
Astfel, Monty reușește să ofere o alegere (uneori) și probabilitatea globală de câștig rămâne 1/3. Amintiți-vă că probabilitatea de a pierde imediat este de 1/3. Există o șansă de 1/3 să ghicești imediat și 50% din aceste ori vei câștiga (1/3 x 1/2 = 1/6). Probabilitatea ca la început să ghiciți greșit, dar apoi să aveți șansa de a alege o altă ușă este de 1/3, iar în 50% din aceste cazuri veți câștiga (tot 1/6). Adaugă două posibilități independente de câștig și obții o probabilitate de 1/3, așa că fie că rămâi la alegerea ta sau alegi altă ușă, probabilitatea totală de a câștiga pe tot parcursul jocului este de 1/3... probabilitatea nu devine mai mare. decât într-o situație în care ai fi ghicit ușa și gazda ți-ar fi arătat ce se află în spatele acestei uși, fără posibilitatea de a alege o altă ușă! Deci, scopul oferirii opțiunii de a alege o altă ușă nu este de a schimba probabilitatea, ci de a face procesul de decizie mai distractiv de urmărit la televizor.
Apropo, acesta este chiar unul dintre motivele pentru care pokerul poate fi atât de interesant: în majoritatea formatelor între runde, când se fac pariuri (de exemplu, flop, turn și river în Texas Hold'em), cărțile sunt dezvăluite treptat. , iar dacă la începutul jocului aveți una probabilitatea de câștig, atunci după fiecare rundă de pariuri, când sunt deschise mai multe cărți, această probabilitate se schimbă.
Paradoxul băieților și fetelor
Acest lucru ne aduce la un alt paradox bine-cunoscut care tinde să ne încurce pe toată lumea, paradoxul băiat-fată. Singurul lucru despre care scriu astăzi, care nu are legătură directă cu jocurile (deși bănuiesc că asta înseamnă doar că ar trebui să vă împing să creați mecanici de joc relevante). Acesta este mai mult un puzzle, dar unul interesant și, pentru a-l rezolva, trebuie să înțelegeți probabilitatea condiționată despre care am vorbit mai sus.
Sarcină: am un prieten cu doi copii, cel puțin unul copilul este fata. Care este probabilitatea ca al doilea copil de asemenea fată? Să presupunem că în orice familie șansa de a avea o fată sau un băiat este de 50/50 și acest lucru este valabil pentru fiecare copil (de fapt, unii bărbați au mai multă spermă în spermatozoizii cu un cromozom X sau un cromozom Y, deci probabilitatea se schimbă ușor dacă știți că un copil este fată, probabilitatea de a avea o fată este puțin mai mare, în plus există și alte condiții, de exemplu, hermafroditismul, dar pentru rezolvarea acestei probleme, nu vom lua în considerare acest lucru și vom presupune că nașterea unui copil este un eveniment independent și probabilitatea de a avea un băiat sau fete este aceeași).
Deoarece vorbim despre o șansă de 1/2, ne așteptăm intuitiv ca răspunsul să fie probabil 1/2 sau 1/4, sau un alt număr rotund care este un multiplu de 2. Dar răspunsul este: 1/3 . Stai de ce?
Dificultatea în acest caz este că informațiile pe care le avem reduce numărul de posibilități. Să presupunem că părinții sunt fani Sesame Street și, indiferent dacă copilul s-a născut băiat sau fată, și-au numit copiii A și B. În circumstanțe normale, există patru posibilități la fel de probabile: A și B sunt doi băieți, A și B. sunt două fete, A este un băiat și B este o fată, A este o fată și B este un băiat. Din moment ce știm asta cel puțin unul copilul este fată, putem exclude posibilitatea ca A și B să fie doi băieți, lăsându-ne cu trei posibilități (încă la fel de probabile). Dacă toate posibilitățile sunt la fel de probabile și există trei dintre ele, știm că probabilitatea fiecăreia dintre ele este 1/3. Doar într-una dintre aceste trei opțiuni ambii copii sunt două fete, deci răspunsul este 1/3.
Și din nou despre paradoxul unui băiat și al unei fete
Soluția problemei devine și mai ilogică. Imaginează-ți că îți spun că prietenul meu are doi copii și un copil - fata nascuta marti. Să presupunem că în condiții normale probabilitatea de a avea un copil într-una dintre cele șapte zile ale săptămânii este aceeași. Care este probabilitatea ca al doilea copil să fie și fată? Ai putea crede că răspunsul ar fi totuși 1/3; Care este semnificația zilei de marți? Dar în acest caz, intuiția ne eșuează. Răspuns: 13/27 ceea ce nu este doar intuitiv, ci este foarte ciudat. Ce s-a întâmplat în acest caz,?
De fapt, marți schimbă probabilitatea pentru că nu știm care copilul s-a născut marți sau posibil doi copii s-au născut într-o zi de marți. În acest caz, folosim aceeași logică ca mai sus, numărăm toate combinațiile posibile când cel puțin un copil este o fată care s-a născut marți. Ca și în exemplul anterior, să presupunem că copiii sunt numiți A și B, combinațiile sunt după cum urmează:
- A este o fată care s-a născut marți, B este băiat (în această situație există 7 posibilități, câte una pentru fiecare zi a săptămânii în care s-ar putea naște un băiat).
- B este o fată care s-a născut marți, A este băiat (tot 7 posibilități).
- A este o fată care s-a născut marți, B este o fată care s-a născut pe o alta ziua săptămânii (6 posibilități).
- B este o fată care s-a născut marți, A este o fată care nu s-a născut marți (tot 6 probabilități).
- A și B sunt două fete care s-au născut marți (o posibilitate, trebuie să fii atent la asta pentru a nu număra de două ori).
Rezum și obținem 27 de combinații diferite la fel de posibile ale nașterii copiilor și zilelor cu cel puțin o posibilitate ca o fată să se nască marți. Dintre acestea, 13 posibilități sunt atunci când se nasc două fete. De asemenea, pare complet ilogic și se pare că această sarcină a fost creată doar pentru a provoca o durere de cap. Dacă ești încă nedumerit de acest exemplu, teoreticianul jocului Jesper Juhl are o explicație bună a problemei pe site-ul său.
Dacă lucrezi în prezent la un joc...
Dacă există aleatoriu în jocul pe care îl proiectați, aceasta este o oportunitate grozavă de a-l analiza. Selectați orice element pe care doriți să îl analizați. Mai întâi întreabă-te care este probabilitatea pentru acest element în funcție de așteptările tale, care ar trebui să fie, după părerea ta, în contextul jocului. De exemplu, dacă faci un RPG și te gândești cât de probabil ar fi ca un jucător să poată învinge un monstru în luptă, întreabă-te ce procent de câștiguri ti se pare potrivit. De obicei, atunci când joacă RPG-uri pe consolă, jucătorii devin foarte frustrați când pierd, așa că e mai bine să nu piardă des... poate 10% din timp sau mai puțin? Dacă ești un designer RPG, probabil că știi mai bine decât mine, dar trebuie să ai o idee de bază despre care ar trebui să fie probabilitatea.
Atunci întreabă-te dacă asta este ceva dependent(ca cardurile) sau independent(ca zarurile). Discutați toate rezultatele posibile și probabilitățile acestora. Asigurați-vă că suma tuturor probabilităților este de 100%. În cele din urmă, desigur, comparați rezultatele cu așteptările dvs. Indiferent dacă zarurile sunt aruncate sau cărțile sunt trase așa cum ați vrut sau vedeți că trebuie să ajustați valorile. Și bineînțeles dacă tu găsi ceea ce trebuie ajustat, puteți folosi aceleași calcule pentru a determina cât de mult să ajustați ceva!
Teme pentru acasă
„Temele” din această săptămână vă vor ajuta să vă perfecționați abilitățile de probabilitate. Iată două jocuri cu zaruri și un joc de cărți pe care le vei analiza folosind probabilitatea, precum și o mecanică ciudată de joc pe care am dezvoltat-o cândva, pe care vei testa metoda Monte Carlo.
Jocul #1 - Dragon Bones
Acesta este un joc de zaruri cu care eu și colegii mei am venit odată (mulțumită lui Jeb Havens și Jesse King!), și care sufla în mod deliberat mințile oamenilor cu probabilitățile sale. Acesta este un joc simplu de cazinou numit „Dragon Bones” și este o competiție de zaruri de jocuri de noroc între jucător și instituție. Vi se oferă un zar obișnuit de 1d6. Scopul jocului este să arunce un număr mai mare decât cel al casei. Lui Tom i se dă un 1d6 non-standard - același cu al tău, dar în loc de unul pe o parte - imaginea unui Dragon (astfel cazinoul are un zar Dragon-2-3-4-5-6). Dacă instituția primește un Dragon, acesta câștigă automat, iar tu pierzi. Dacă amândoi obțineți același număr, este o egalitate și aruncați din nou zarurile. Câștigă cel care obține cel mai mare număr.
Desigur, totul nu iese chiar în favoarea jucătorului, deoarece cazinoul are un avantaj sub forma feței Dragonului. Dar este chiar așa? Trebuie sa o calculezi. Dar înainte de asta, verifică-ți intuiția. Să presupunem că câștigul este 2 la 1. Deci, dacă câștigi, îți păstrezi pariul și primești dublul sumei. De exemplu, dacă pariezi 1 USD și câștigi, păstrezi acel dolar și primești 2 USD în plus, pentru un total de 3 USD. Dacă pierzi, vei pierde doar pariul. Te-ai juca? Deci, simți intuitiv că probabilitatea este mai mare decât 2 la 1 sau crezi totuși că este mai mică? Cu alte cuvinte, în medie peste 3 jocuri, te aștepți să câștigi de mai multe ori, sau mai puțin, sau o dată?
Odată ce v-ați ocupat de intuiție, aplicați matematica. Există doar 36 de poziții posibile pentru ambele zaruri, așa că le puteți număra cu ușurință pe toate. Dacă nu sunteți sigur de această ofertă 2-la-1, luați în considerare acest lucru: Să presupunem că ați jucat jocul de 36 de ori (pariând 1 USD de fiecare dată). Pentru fiecare câștig primești 2 USD, pentru fiecare pierdere pierzi 1 USD, iar o remiză nu schimbă nimic. Numără toate câștigurile și pierderile probabile și decide dacă vei pierde niște dolari sau vei câștiga. Apoi întreabă-te cât de corectă s-a dovedit a fi intuiția ta. Și apoi - realizezi ce răufăcător sunt.
Și, da, dacă v-ați gândit deja la această întrebare - vă confund în mod intenționat distorsionând mecanica reală a jocurilor cu zaruri, dar sunt sigur că puteți depăși acest obstacol doar cu un gând bun. Încercați să rezolvați singur această problemă. Voi posta toate răspunsurile aici săptămâna viitoare.
Jocul #2 - Roll of Luck
Acesta este un joc de zaruri numit Lucky Roll (numit și Birdcage deoarece uneori zarurile nu sunt aruncate, ci plasate într-o cușcă mare de sârmă, similar cușca Bingo). Este un joc simplu care sună cam așa: Pariați, să zicem, 1 $ pe un număr între 1 și 6. Apoi aruncați 3d6. Pentru fiecare zar care atinge numărul tău, primești 1 USD (și păstrezi pariul inițial). Dacă numărul tău nu ajunge pe niciunul dintre zaruri, cazinoul primește dolarul tău și tu nu primești nimic. Deci, dacă pariezi pe 1 și primești 1 pe față de trei ori, primești 3 dolari.
Intuitiv, se pare că în acest joc șansele sunt egale. Fiecare zar este o șansă individuală de câștig de 1 din 6, deci suma tuturor celor trei este 3 din 6. Cu toate acestea, rețineți, desigur, că adăugați trei zaruri separate și aveți voie să adăugați doar dacă vorbim despre combinații câștigătoare separate ale aceluiași zar. Ceva pe care va trebui să-l înmulți.
Odată ce ați calculat toate rezultatele posibile (probabil că este mai ușor să faceți acest lucru în Excel decât manual, sunt 216), jocul încă pare par-impar la prima vedere. Dar, în realitate, cazinoul are încă mai multe șanse să câștige - cu cât mai mult? În special, câți bani vă așteptați să pierdeți în medie pe rundă de joc? Tot ce trebuie să faceți este să adunați câștigurile și pierderile din toate cele 216 rezultate și apoi să împărțiți la 216, ceea ce ar trebui să fie destul de ușor... Dar după cum puteți vedea, există câteva capcane în care puteți cădea, motiv pentru care vă spun : Dacă crezi că acest joc are șanse egale de câștig, ai înțeles totul greșit.
Jocul #3 - 5 Card Stud
Dacă v-ați încălzit deja la jocurile anterioare, să verificăm ce știm despre probabilitatea condiționată folosind acest joc de cărți ca exemplu. În special, să ne imaginăm pokerul cu un pachet de 52 de cărți. Să ne imaginăm, de asemenea, 5 card stud unde fiecare jucător primește doar 5 cărți. Nu poți arunca o carte, nu poți trage una nouă, nici un pachet comun - primești doar 5 cărți.
O culoare regală este 10-J-Q-K-A într-o singură combinație, pentru un total de patru, așa că există patru moduri posibile de a obține o culoare regală. Calculați probabilitatea de a obține una dintre aceste combinații.
Am un lucru despre care să vă avertizez: amintiți-vă că puteți trage aceste cinci cărți în orice ordine. Adică, la început poți trage un as, sau un zece, nu contează. Deci, atunci când calculați acest lucru, rețineți că există de fapt mai mult de patru moduri de a obține o culoare regală, presupunând că cărțile au fost împărțite în ordine!
Jocul #4 - Loteria FMI
A patra sarcină nu va fi atât de ușor de rezolvat folosind metodele despre care am vorbit astăzi, dar puteți simula cu ușurință situația folosind programare sau Excel. Pe exemplul acestei probleme puteți elabora metoda Monte Carlo.
Am menționat mai devreme jocul „Chron X”, la care am lucrat cândva, și a existat o carte foarte interesantă - loteria FMI. Iată cum a funcționat: l-ați folosit într-un joc. După încheierea rundei, cărțile au fost redistribuite și au existat 10% șanse ca cartea să fie în afara jocului și ca un jucător aleatoriu să primească 5 din fiecare tip de resursă care avea un jeton pe acea carte. O carte a fost pusă în joc fără un singur jeton, dar de fiecare dată când a rămas în joc la începutul rundei următoare, a primit câte un jeton. Așa că existau șanse de 10% ca tu să o pui în joc, să se încheie runda, cartea să părăsească jocul și nimeni să nu primească nimic. Dacă nu (cu o șansă de 90%), există o șansă de 10% (de fapt 9%, deoarece este 10% din 90%) ca ea să părăsească jocul în runda următoare și cineva să primească 5 resurse. Dacă cartea părăsește jocul după o rundă (10% din cele 81% disponibile, deci 8,1% șanse), cineva va primi 10 unități, o altă rundă - 15, alte 20 și așa mai departe. Întrebare: care este valoarea așteptată a numărului de resurse pe care le veți primi de la această carte când va părăsi în sfârșit jocul?
De obicei, am încerca să rezolvăm această problemă găsind posibilitatea fiecărui rezultat și înmulțind cu numărul tuturor rezultatelor. Deci există o șansă de 10% să obțineți 0 (0,1*0 = 0). 9% că vei primi 5 resurse (9%*5 = 0,45 resurse). 8,1% din ceea ce primești este 10 (8,1%*10 = 0,81 resurse totale, valoare așteptată). etc. Și apoi am rezuma totul.
Și acum problema este evidentă pentru tine: există întotdeauna șansa ca cardul nu părăsește jocul ca să poată rămâne în joc pentru totdeauna, pentru un număr infinit de runde, astfel încât posibilitățile de calcul orice posibilitate nu exista. Metodele pe care le-am învățat astăzi nu ne permit să calculăm recursiunea infinită, așa că va trebui să o creăm artificial.
Dacă ești suficient de bun la programare, scrie un program care să simuleze acest card. Ar trebui să aveți o buclă de timp care să aducă variabila în poziția inițială de zero, să arate un număr aleatoriu și, cu o șansă de 10%, variabila să iasă din buclă. În caz contrar, adaugă 5 variabilei și bucla se repetă. Când în cele din urmă iese din buclă, creșteți numărul total de rulări de testare cu 1 și numărul total de resurse (cu cât depinde de locul în care s-a oprit variabila). Apoi resetați variabila și începeți de la capăt. Rulați programul de câteva mii de ori. În cele din urmă, împărțiți resursele totale la numărul total de rulări, iar aceasta este valoarea Monte Carlo estimată. Rulați programul de câteva ori pentru a vă asigura că numerele pe care le obțineți sunt aproximativ aceleași; dacă răspândirea este încă mare, creșteți numărul de repetări în bucla exterioară până când începeți să obțineți potriviri. Poți fi sigur că orice numere cu care vei ajunge vor fi aproximativ corecte.
Dacă sunteți nou în programare (sau chiar dacă sunteți), iată un mic exercițiu pentru a vă încălzi abilitățile Excel. Dacă ești un designer de jocuri, abilitățile Excel nu sunt niciodată de prisos.
Acum, funcțiile IF și RAND vă vor fi foarte utile. RAND nu necesită valori, doar produce un număr zecimal aleatoriu între 0 și 1. De obicei îl combinăm cu FLOOR și plusuri și minusuri pentru a simula o aruncare a zarului, despre care am menționat mai devreme. Cu toate acestea, în acest caz, lăsăm doar o șansă de 10% ca cardul să părăsească jocul, așa că putem doar să verificăm dacă valoarea RAND este mai mică de 0,1 și să nu ne mai facem griji.
IF are trei sensuri. În ordine, condiția care este adevărată sau nu, apoi valoarea care este returnată dacă condiția este adevărată și valoarea care este returnată dacă condiția este falsă. Deci următoarea funcție va returna 5% din timp și 0 în restul de 90% din timp:
=IF(RAND()<0.1,5,0)
Există multe moduri de a seta această comandă, dar aș folosi această formulă pentru celula care reprezintă prima rundă, să presupunem că este celula A1:
IF(RAND()<0.1,0,-1)
Aici folosesc o variabilă negativă care înseamnă „această carte nu a părăsit jocul și nu a oferit încă resurse”. Deci, dacă prima rundă s-a încheiat și cartea este în afara jocului, A1 este 0; altfel este -1.
Pentru următoarea celulă care reprezintă a doua rundă:
DACĂ(A1>-1, A1, DACĂ(RAND()<0.1,5,-1))
Deci, dacă prima rundă s-a încheiat și cardul a părăsit imediat jocul, A1 este 0 (număr de resurse) și această celulă va copia pur și simplu acea valoare. În caz contrar, A1 este -1 (cartea nu a părăsit încă jocul), iar această celulă continuă să se miște aleatoriu: 10% din timp va returna 5 unități de resurse, în restul timpului valoarea ei va fi în continuare - 1. Dacă aplicăm această formulă la celule suplimentare, vom obține runde suplimentare și, indiferent de celulă în care ajungeți, veți obține rezultatul final (sau -1 dacă cartea nu a părăsit jocul după toate rundele pe care le-ați jucat).
Luați acest rând de celule, care este singura rundă cu acest card, și copiați și lipiți câteva sute (sau mii) de rânduri. S-ar putea să nu putem face fără sfârşit test pentru Excel (există un număr limitat de celule în tabel), dar cel puțin putem acoperi majoritatea cazurilor. Apoi selectați o celulă în care veți pune media rezultatelor tuturor rundelor (Excel oferă cu amabilitate funcția AVERAGE() pentru aceasta).
Pe Windows, cel puțin puteți apăsa F9 pentru a recalcula toate numerele aleatorii. Ca și înainte, faceți acest lucru de câteva ori și vedeți dacă valorile pe care le obțineți sunt aceleași. Dacă răspândirea este prea mare, dublați numărul de rulări și încercați din nou.
Probleme nerezolvate
Dacă se întâmplă să ai o diplomă în Probabilitate și problemele de mai sus ți se par prea ușoare, iată două probleme peste care mă zgârie capul de ani de zile, dar, vai, nu mă pricep la matematică să le rezolv. Dacă știi dintr-o dată soluția, te rog să o postezi aici în comentarii, o voi citi cu plăcere.
Problema nerezolvată #1: LoteriaFMI
Prima problemă nerezolvată este temele anterioare. Pot folosi cu ușurință metoda Monte Carlo (folosind C++ sau Excel) și pot fi sigur de răspunsul la întrebarea „câte resurse va primi jucătorul”, dar nu știu exact cum să ofer un răspuns exact demonstrabil matematic (acest lucru). este o serie infinită). Dacă știți răspunsul, postați-l aici... după ce îl verificați Monte Carlo, desigur.
Problema #2 nerezolvată: Secvențe de forme
Această sarcină (și din nou depășește cu mult sarcinile rezolvate în acest blog) mi-a fost aruncată de un jucător familiar în urmă cu mai bine de 10 ani. El a observat o caracteristică interesantă în timp ce juca blackjack în Vegas: când a scos cărți dintr-un pantof cu 8 pachete, a văzut zece figuri la rând (o figură sau o carte de figură - 10, Joker, Rege sau Regina, deci sunt 16 dintre ele într-un pachet standard de 52 de cărți, deci sunt 128 într-un pantof de 416 cărți). Care este probabilitatea ca în acest pantof macar o secvență de zece sau mai mult cifre? Să presupunem că au fost amestecate sincer, în ordine aleatorie. (Sau, dacă preferați, care este probabilitatea ca nu se găsește nicăieri o succesiune de zece sau mai multe cifre?)
Putem simplifica sarcina. Iată o secvență de 416 părți. Fiecare parte este 0 sau 1. Există 128 de unități și 288 de zerouri împrăștiate aleatoriu în întreaga secvență. Câte moduri există pentru a intercala aleatoriu 128 1-uri cu 288 0-uri și de câte ori va exista cel puțin un grup de zece sau mai mulți 1-uri în aceste moduri?
De fiecare dată când mi-am asumat această sarcină, mi s-a părut ușor și evident, dar de îndată ce am pătruns în detalii, s-a prăbușit brusc și mi s-a părut pur și simplu imposibil. Așa că nu vă grăbiți să scoateți răspunsul: stați jos, gândiți-vă bine, studiați condițiile problemei, încercați să conectați numere reale, pentru că toți oamenii cu care am vorbit despre această problemă (inclusiv mai mulți absolvenți care lucrează în acest domeniu) a reacționat aproape în același mod: „Este destul de evident... oh, nu, stai, nu este evident deloc”. Acesta este chiar cazul pentru care nu am o metodă de calcul a tuturor opțiunilor. Cu siguranță aș putea problema cu forța brută printr-un algoritm computerizat, dar ar fi mult mai interesant să cunoaștem modalitatea matematică de a rezolva această problemă.
Traducere - Y. Tkachenko, I. Mikheeva
Afirmația lui Einstein că Dumnezeu nu joacă zaruri cu universul a fost interpretată greșit
Puține dintre sloganele lui Einstein au fost citate la fel de larg precum remarca lui că Dumnezeu nu joacă zaruri cu universul. Oamenii iau în mod firesc acest comentariu spiritual al lui ca o dovadă că el s-a opus în mod dogmatic mecanicii cuantice, care consideră aleatoriu o caracteristică a lumii fizice. Când nucleul unui element radioactiv se descompune, se întâmplă spontan, nu există nicio regulă care să vă spună exact când sau de ce se va întâmpla acest lucru. Când o particulă de lumină cade pe o oglindă translucidă, fie este reflectată de ea, fie trece prin. Rezultatul poate fi orice până în momentul în care a avut loc acest eveniment. Și nu trebuie să mergi la laborator pentru a vedea acest tip de proces: multe site-uri de internet arată fluxuri de numere aleatorii generate de contoare Geiger sau dispozitive cu optica cuantică. Fiind imprevizibile chiar și în principiu, astfel de numere sunt ideale pentru criptografie, statistică și turnee de poker online.
Einstein, după cum spune legenda standard. a refuzat să accepte faptul că unele evenimente sunt nedeterminate datorită naturii lor. - se întâmplă pur și simplu și nu se poate face nimic pentru a afla de ce. Rămânând aproape într-o izolare splendidă, înconjurat de egali, s-a lipit cu ambele mâini de Universul mecanic al fizicii clasice, măsurând mecanic secundele, în care fiecare moment predetermina ce se va întâmpla în următorul. Linia de zaruri a devenit un indicativ pentru cealaltă parte a vieții sale: tragedia unui revoluționar devenit reacționar care a revoluționat fizica cu teoria sa a relativității, dar - așa cum a spus Niels Bohr în mod diplomatic - s-a confruntat cu teoria cuantică, „a lăsat afară la cină”.
Cu toate acestea, de-a lungul anilor, mulți istorici, filozofi și fizicieni au pus sub semnul întrebării această interpretare a poveștii. Cufundându-se într-o mare a tot ceea ce a spus Einstein de fapt, ei au descoperit că judecățile sale cu privire la imprevizibilitate erau mai radicale și mai nuanțate decât sunt descrise de obicei. „Încercarea de a descoperi povestea adevărată devine un fel de misionar”, spune Don Howard (Don A. Howard), istoric la Universitatea Notre Dame. După cum au arătat el și alți istorici ai științei, Einstein a recunoscut natura nedeterministă a mecanicii cuantice - ceea ce nu este surprinzător, deoarece el a fost cel care a descoperit indeterminismul acesteia. Ceea ce nu a recunoscut niciodată este că indeterminismul este fundamental în natură. Toate acestea au indicat că problema apare la un nivel mai profund al realității, pe care teoria nu l-a reflectat. Critica sa nu a fost mistică, ci s-a concentrat pe probleme științifice specifice care rămân nerezolvate până în prezent.
Întrebarea dacă universul este un mecanism de ceas sau o masă de zaruri subminează fundamentele a ceea ce credem că este fizica: căutarea unor reguli simple care stau la baza diversității uluitoare a naturii. Dacă ceva se întâmplă fără motiv, pune capăt cercetării raționale. „Indeterminismul fundamental ar însemna sfârșitul științei”, a spus Andrew S. Friedman, un cosmolog la Institutul de Tehnologie din Massachusetts. Cu toate acestea, filozofii de-a lungul istoriei au crezut că indeterminismul este o condiție necesară pentru liberul arbitru uman. Fie suntem cu toții roți dințate ale unui mecanism de ceasornic și, prin urmare, tot ceea ce facem este predeterminat, fie suntem agentul propriului nostru destin, caz în care Universul încă nu ar trebui să fie determinist.
Această dihotomie a avut consecințe foarte reale în modul în care societatea îi trage pe oameni la răspundere pentru acțiunile lor. Sistemul nostru juridic se bazează pe presupunerea liberului arbitru; pentru ca inculpatul să fie găsit vinovat, trebuie să fi acționat cu intenție. Instanțele de judecată nedumerit în mod constant cu privire la întrebarea: ce se întâmplă dacă o persoană este nevinovată din cauza nebuniei, impulsivității tinerești sau a unui mediu social putred?
Cu toate acestea, ori de câte ori oamenii vorbesc despre o dihotomie, ei tind să încerce să o expună ca o concepție greșită. Într-adevăr, mulți filozofi cred că este lipsit de sens să vorbim despre dacă universul este determinist sau non-determinist. Poate fi ambele, în funcție de cât de mare sau complex este subiectul de studiu: particule, atomi, molecule, celule, organisme, psihic, comunități. „Diferența dintre determinism și indeterminism este o diferență în funcție de nivelul de studiu al problemei”, spune Christian List, un filozof la London School of Economics and Political Science, „Chiar dacă observați determinismul la un anumit nivel, acesta este destul de în concordanță cu indeterminismul atât la nivelurile superioare, cât și la cele inferioare.” Atomii din creierul nostru se pot comporta într-un mod complet determinist, lăsându-ne totuși liberi să acționăm ca atomii și organele funcționează la diferite niveluri.
În mod similar, Einstein căuta un nivel subcuantic determinist, dar în același timp nu neagă că nivelul cuantic este probabilist.
La ce a obiectat Einstein?
Cum a câștigat Einstein eticheta de teorie anti-cuantică este un mister aproape la fel de mare ca mecanica cuantică în sine. Însuși conceptul de cuantum - o unitate discretă de energie - a fost rodul reflecțiilor sale din 1905 și timp de un deceniu și jumătate l-a apărat aproape de unul singur. Einstein a sugerat asta. ceea ce fizicienii de astăzi consideră că sunt principalele trăsături ale fizicii cuantice, cum ar fi capacitatea ciudată a luminii de a acționa ca particulă și ca undă, și tocmai din reflecțiile sale asupra fizicii valurilor Erwin Schrödinger a dezvoltat cea mai larg acceptată formulare a cuanticei. teorie în anii 1920. Nici Einstein nu a fost un adversar al hazardului. În 1916, el a arătat că atunci când atomii emit fotoni, timpul și direcția de emisie sunt variabile aleatorii.
„Acest lucru este împotriva portretizării populare a lui Einstein, spre deosebire de abordarea probabilistică”, argumentează Jan von Plato de la Universitatea din Helsinki. Dar Einstein și contemporanii săi s-au confruntat cu o problemă serioasă. Fenomenele cuantice sunt aleatorii, dar teoria cuantică în sine nu este. Ecuația Schrödinger este 100% deterministă. Descrie o particulă sau un sistem de particule folosind așa-numita funcție de undă, care utilizează natura ondulatorie a particulelor și explică modelul de undă pe care îl formează o colecție de particule. Ecuația prezice ce se va întâmpla cu funcția de undă la un moment dat, cu deplină certitudine. În multe privințe, această ecuație este mai deterministă decât legile mișcării lui Newton: nu duce la confuzii precum singularitatea (unde cantitățile devin infinite și, prin urmare, de nedescris) sau haos (unde mișcarea devine imprevizibilă).
Problema este că determinismul ecuației Schrödinger este determinismul funcției de undă, iar funcția de undă nu poate fi observată direct, spre deosebire de locația și vitezele particulelor. În schimb, funcția de undă determină mărimile care pot fi observate și probabilitatea fiecăruia dintre rezultatele posibile. Teoria lasă deschise întrebările despre ce este funcția de undă în sine și dacă ar trebui să fie luată literalmente ca un val real în lumea noastră materială. În consecință, următoarea întrebare rămâne deschisă: este aleatorietatea observată o proprietate intrinsecă inerentă a naturii sau doar fațada ei? „Se pretinde că mecanica cuantică este nedeterministă, dar aceasta este o concluzie prea grăbită”, spune filozoful Christian Wuthrich de la Universitatea din Geneva din Elveția.
Werner Heisenberg, un altul dintre pionierii care a pus bazele teoriei cuantice, a conceput funcția de undă ca pe o ceață a existenței potențiale. Dacă nu este posibil să indicați în mod clar și fără ambiguitate unde se află particula, aceasta se datorează faptului că particula nu este cu adevărat localizată nicăieri într-un anumit loc. Numai când observi o particulă se materializează undeva în spațiu. Funcția de undă ar putea fi întinsă pe o regiune vastă a spațiului, dar în momentul în care se face o observație, se prăbușește instantaneu, se micșorează într-un punct îngust situat într-un singur loc specific și dintr-o dată apare acolo o particulă. Dar chiar și când te uiți la particulă, bang! - încetează brusc să se comporte determinist și sare în starea finală, ca un copil care apucă un scaun într-un joc de „scaune muzicale”. (Jocul constă în faptul că copiii merg într-un dans rotund pe muzica din jurul scaunelor, al căror număr este cu unul mai mic decât numărul de jucători, și încearcă să stea pe un loc gol de îndată ce muzica se oprește).
Nu există nicio lege care să guverneze acest colaps. Nu există o ecuație pentru asta. Pur și simplu se întâmplă - asta-i tot! Prăbușirea a devenit un element cheie al interpretării de la Copenhaga: o viziune asupra mecanicii cuantice numită după orașul în care Bohr și institutul său, împreună cu Heisenberg, au făcut cea mai mare parte a lucrării fundamentale. (În mod ironic, Bohr însuși nu a recunoscut niciodată prăbușirea funcției de undă.) Școala de la Copenhaga consideră aleatorietatea observată a fizicii cuantice ca fiind caracteristica sa nominală, nefiind susceptibilă de explicații ulterioare. Majoritatea fizicienilor sunt de acord cu aceasta, unul dintre motivele pentru aceasta este așa-numitul efect de ancorare cunoscut din psihologie, sau efectul de ancorare: aceasta este o explicație complet satisfăcătoare și a apărut prima. Deși Einstein nu a fost un oponent al mecanicii cuantice, el a fost cu siguranță un oponent al interpretării acesteia de la Copenhaga. El a plecat de la ideea că actul de măsurare provoacă o întrerupere în evoluția continuă a sistemului fizic și tocmai în acest context a început să-și exprime opoziția față de aruncarea divină a zarurilor. „Tocmai în acest punct se plânge Einstein în 1926, și nu asupra pretenției metafizice atotcuprinzătoare a determinismului ca o condiție absolut necesară”, argumentează Howard.
Pluralitatea realității.Și totuși, este lumea deterministă sau nu? Răspunsul la această întrebare depinde nu numai de legile de bază ale mișcării, ci și de nivelul la care descriem sistemul. Luați în considerare cinci atomi dintr-un gaz care se mișcă determinist (diagrama de sus). Ele pornesc din aproape aceeași locație și diverg treptat. Cu toate acestea, la nivel macroscopic (diagrama inferioară), nu atomii individuali sunt vizibili, ci un flux amorf în gaz. După ceva timp, gazul va fi probabil distribuit aleatoriu în mai multe fluxuri. Această aleatorie la nivel macro este un produs secundar al ignoranței observatorului cu privire la legile nivelului micro, este o proprietate obiectivă a naturii care reflectă modul în care atomii se unesc. În mod similar, Einstein a presupus că structura internă deterministă a universului duce la natura probabilistică a tărâmului cuantic.
Colapsul este puțin probabil să fie un proces real, a susținut Einstein. Acest lucru ar necesita o acțiune instantanee la distanță, un mecanism misterios prin care, să zicem, ambele părți din stânga și dreapta ale funcției de undă se prăbușesc în același punct minuscul, chiar și atunci când nicio forță nu le coordonează comportamentul. Nu numai Einstein, ci fiecare fizician din vremea lui credea că un astfel de proces era imposibil, ar trebui să aibă loc mai repede decât viteza luminii, ceea ce este în contradicție evidentă cu teoria relativității. De fapt, mecanica cuantică nu îți oferă doar zaruri, ea îți oferă perechi de zaruri care vin mereu cu aceeași față, chiar dacă arunci unul în Vegas și celălalt în Vega. Pentru Einstein, părea evident că zarurile trebuie încărcate, permițându-ți să influențezi rezultatul aruncărilor într-un mod ascuns în prealabil. Dar școala de la Copenhaga neagă orice astfel de posibilitate, sugerând că nodurile se influențează într-adevăr instantaneu una pe cealaltă pe întreaga întindere a spațiului. În plus, Einstein era îngrijorat de puterea pe care copenhaghenii o atribuiau actului de măsurare. Oricum, ce este o măsurătoare? Poate că este ceva ce numai ființele simțitoare îl pot face, sau chiar profesori titulari? Heisenberg și alți reprezentanți ai școlii de la Copenhaga nu au precizat niciodată acest concept. Unii au sugerat că noi creăm realitatea înconjurătoare în mintea noastră în actul de a o observa, o idee care sună poetică, poate prea poetică. De asemenea, Einstein a crezut că este culmea aroganței de la Copenhaga să spună că mecanica cuantică este completă, că este teoria supremă care nu va fi niciodată înlocuită de alta. El a considerat toate teoriile, inclusiv a lui, ca punți către ceva și mai mare.
De fapt. Howard susține că Einstein ar fi bucuros să accepte indeterminismul dacă ar putea răspunde la toate problemele sale care trebuie rezolvate - dacă, de exemplu, cineva ar putea spune clar ce este măsurarea și cum particulele pot rămâne sincronizate fără acțiune pe distanță lungă. Un indiciu că Einstein a privit indeterminismul ca o problemă secundară este că el a făcut aceleași solicitări cu privire la alternativele deterministe la școala de la Copenhaga și, de asemenea, le-a respins. Un alt istoric, Arthur Fine de la Universitatea din Washington. crede. Că Howard exagerează susceptibilitatea lui Einstein la indeterminism, dar este de acord că judecățile sale se bazează pe o bază mai puternică decât s-au obișnuit să creadă mai multe generații de fizicieni, pe baza unor fragmente din afirmațiile sale despre jocul de zaruri.
gânduri aleatorii
Dacă luați remorcherul de partea școlii de la Copenhaga, credea Einstein, veți descoperi că dezordinea cuantică este ca toate celelalte tipuri de tulburări din fizică: este produsul unei înțelegeri mai profunde. Dansul particulelor minuscule de praf într-un fascicul de lumină trădează mișcarea complexă a moleculelor, iar emisia de fotoni sau dezintegrarea radioactivă a nucleelor este un proces similar, credea Einstein. În opinia sa, mecanica cuantică este o teorie evaluativă care exprimă comportamentul general al blocurilor de construcție ale naturii, dar nu are o rezoluție suficientă pentru a surprinde detalii individuale.
O teorie mai profundă și mai completă va explica pe deplin mișcarea - fără sărituri misterioase. Din acest punct de vedere, funcția de undă este o descriere colectivă, ca o afirmație că un zar obișnuit, dacă este aruncat de mai multe ori, va cădea aproximativ de același număr de ori pe fiecare dintre părțile sale. Colapsul funcției de undă nu este un proces fizic, ci o dobândire de cunoștințe. Dacă aruncați un zar cu șase fețe și acesta apare, să zicem, un patru, gama de opțiuni de la unu la șase se micșorează, sau ați putea spune, se prăbușește la valoarea reală a „patru”. Un demon asemănător unui zeu care poate urmări detaliile structurii atomice care afectează rezultatul unui zar (adică să măsoare exact modul în care mâna ta împinge și învârte zarul înainte de a lovi masa) nu va vorbi niciodată despre colaps.
Intuiția lui Einstein a fost întărită de lucrările sale timpurii asupra efectului colectiv al mișcării moleculare, studiate într-un domeniu al fizicii numit mecanică statistică, în care a arătat că fizica poate fi probabilistică chiar și atunci când fenomenele se bazează pe realitatea deterministă. În 1935, Einstein i-a scris filosofului Karl Popper: „Nu cred că ai dreptate în afirmația ta că este imposibil să tragi concluzii statistice bazate pe teoria deterministă. Să luăm, de exemplu, mecanica statistică clasică (teoria gazelor sau teoria mișcării browniene)." Probabilitățile în înțelegerea lui Einstein erau la fel de reale ca și în interpretarea școlii de la Copenhaga. Manifestate în legile fundamentale ale mișcării, ele reflectă alte proprietăți ale lumii înconjurătoare, nu sunt doar artefacte ale ignoranței umane. Einstein i-a sugerat lui Popper, ca exemplu, să ia în considerare o particulă care se mișcă într-un cerc cu o viteză constantă; probabilitatea de a găsi o particulă într-un segment dat al unui arc circular reflectă simetria traiectoriei acesteia. De asemenea, probabilitatea ca un zar să aterizeze pe o față dată este de o șesime deoarece are șase fețe egale. „El a înțeles mai bine decât majoritatea la acea vreme că fizica importantă consta în detaliile probabilității statistico-mecanice”, spune Howard.
O altă lecție de mecanică statistică a fost că cantitățile pe care le observăm nu există neapărat la un nivel mai profund. De exemplu, un gaz are o temperatură, dar nu are sens să vorbim despre temperatura unei singure molecule de gaz. Prin analogie, Einstein a ajuns să creadă că era necesară o teorie subcuantică pentru a semnifica o ruptură radicală de mecanica cuantică. În 1936 el a scris: „Nu există nicio îndoială că mecanica cuantică a surprins frumosul element al adevărului.<...>Cu toate acestea, nu cred că mecanica cuantică va fi punctul de plecare în căutarea acestui fundament și nici, dimpotrivă, nu se poate trece de la termodinamică (respectiv, mecanica statistică) la bazele mecanicii.” Pentru a umple acest nivel mai profund, Einstein a condus căutarea în direcția unei teorii unificate a unui domeniu în care particulele sunt derivate ale structurilor care nu sunt deloc ca particulele. Pe scurt, înțelepciunea convențională conform căreia Einstein a refuzat să accepte natura probabilistică a fizicii cuantice este eronată. El a încercat să să explice aleatorietatea și să nu facă să pară că nu există deloc.
Faceți-vă nivelul cel mai bun
Deși proiectul de teorie unificată a lui Einstein a eșuat, principiile de bază ale abordării sale intuitive asupra aleatoriei sunt încă valabile: indeterminismul poate apărea din determinism. Nivelele cuantice și subcuantice - sau orice altă pereche de niveluri din ierarhia naturii - sunt alcătuite din diferite tipuri de structuri, așa că se supun diferitelor tipuri de legi. Legea care guvernează un nivel poate permite în mod natural un element de șansă, chiar dacă legile nivelului inferior sunt pe deplin reglementate. „Microfizica deterministă nu dă naștere macrofizicii deterministe”, spune filozoful Jeremy Butterfield de la Universitatea din Cambridge.
Imaginați-vă un zar la nivel atomic. Un cub poate fi format dintr-un număr inimaginabil de mare de configurații atomice care nu se pot distinge complet unele de altele cu ochiul liber. Dacă urmați oricare dintre aceste configurații în timp ce zarul se rotește, va duce la un rezultat specific - strict determinist. În unele configurații, matrița se va opri cu un punct pe fața de sus, în altele se va opri cu două. etc. Prin urmare, o singură stare macroscopică (dacă faceți rotirea cubului) poate duce la mai multe rezultate macroscopice posibile (una dintre cele șase fețe va fi în partea de sus). „Dacă descriem un zar la nivel macro, ne putem gândi la el ca la un sistem stocastic care permite aleatorietatea obiectivă”, spune Liszt, care studiază conjugarea nivelurilor cu Marcus Pivato, matematician la Universitatea Cergy-Pontoise din Franța.
Deși nivelul superior se bazează pe nivelul inferior, este autonom. Pentru a descrie zarurile, trebuie să lucrezi la nivelul la care zarurile există ca atare, iar când faci asta, nu poți să nu neglijezi atomii și dinamica lor. Dacă încrucișați un nivel cu altul, comiteți un truc de înlocuire a categoriei: este ca și cum ați întreba despre apartenența politică a unui sandviș cu somon (pentru a folosi exemplul filozofului de la Universitatea Columbia, David Albert). „Când avem un fenomen care poate fi descris la diferite niveluri, trebuie să fim foarte atenți din punct de vedere conceptual să nu amestecăm nivelurile”, spune List. Din acest motiv, rezultatul unei aruncări de zar nu arată doar aleatoriu. Este cu adevărat aleatoriu. Un demon asemănător zeului s-ar putea lăuda că știe exact ce se va întâmpla, dar știe doar ce se va întâmpla cu atomii. Nici măcar nu bănuiește ce este un zar, deoarece acestea sunt informații de un nivel superior. Demonul nu vede niciodată pădurea, doar copacii. Este ca protagonistul povestii scriitorului argentinian Jorge Luis Borges „Funes the memoryful” – un om care își amintește totul, dar nu înțelege nimic. „A gândi înseamnă a uita diferența, a generaliza, a abstractiza”, scrie Borges. Pentru ca demonul să știe pe ce parte va cădea zarul, este necesar să explice ce să caute. „Singurul mod în care un demon poate intra în ceea ce se întâmplă la nivelul superior este dacă i se oferă o descriere detaliată a modului în care definim granița dintre niveluri”, spune List. Într-adevăr, după aceasta, demonul va deveni probabil gelos că suntem muritori.
Logica nivelurilor funcționează și ea exact în direcția opusă. Microfizica nedeterministă poate duce la macrofizica deterministă. O minge de baseball poate fi făcută din particule care prezintă un comportament haotic, dar zborul său este complet previzibil; aleatoritate cuantică, medie. dispare. În mod similar, gazele sunt alcătuite din molecule care se mișcă în mișcări extrem de complexe - și într-adevăr nedeterministe -, dar temperatura și alte proprietăți ale acestora se supun unor legi care sunt la fel de simple ca două și două. Mai speculativ, unii fizicieni, cum ar fi Robert Laughlin de la Universitatea Stanford, sugerează că nivelul de jos nu contează deloc. Blocurile de construcție pot fi orice și totuși comportamentul lor colectiv va fi același. La urma urmei, sisteme la fel de diverse precum moleculele de apă, stelele dintr-o galaxie și mașinile de pe o autostradă urmează aceleași legi ale curgerii fluidelor.
În sfârșit liber
Când te gândești în termeni de niveluri, îngrijorarea că indeterminismul ar putea marca sfârșitul științei dispare. Nu există niciun zid înalt în jurul nostru, care să protejeze fragmentul nostru respectuos al Universului de restul de neînțeles și predispus la anarhie. De fapt, lumea este un tort stratificat de determinism și indeterminism. Clima Pământului, de exemplu, este guvernată de legile deterministe ale mișcării lui Newton, dar prognoza meteo este probabilistică, în timp ce tendințele climatice sezoniere și pe termen lung sunt din nou previzibile. Biologia rezultă și din fizica deterministă, dar organismele și ecosistemele necesită alte metode de descriere, precum evoluția darwiniană. „Determinismul nu explică absolut totul”, notează filozoful de la Universitatea Tufts Daniel Dennett. „De ce au apărut girafele? Pentru că cine a determinat: așa să fie?”
Oamenii sunt intercalate în interiorul acestui tort stratificat. Avem un puternic simț al liberului arbitru. Luăm adesea decizii imprevizibile și în mare parte vitale, înțelegem că am fi putut face altfel (și adesea regretăm că nu am făcut-o). De milenii, așa-zișii libertari, susținătorii doctrinei filozofice a liberului arbitru (a nu se confunda cu mișcarea politică!), au susținut că libertatea unei persoane necesită libertatea unei particule. Ceva trebuie să distrugă cursul determinist al evenimentelor, cum ar fi aleatorietatea cuantică sau „abaterile”, pe care, așa cum credeau unii filosofi antici, atomii le pot experimenta în timpul mișcării lor (conceptul unei abateri aleatorii imprevizibile a unui atom de la traiectoria sa originală a fost introdus în filozofia antică a lui Lucretius pentru a apăra doctrina atomistă a lui Epicur) .
Principala problemă cu această linie de raționament este că eliberează particulele, dar ne lasă ca niște sclavi. Nu contează dacă decizia ta a fost predeterminată în momentul Big Bang-ului sau de o particulă minusculă, încă nu este decizia ta. Pentru a fi liberi, avem nevoie de indeterminism, nu la nivel de particule, ci la nivel uman. Și acest lucru este posibil deoarece nivelul uman și nivelul particulelor sunt independente unul de celălalt. Chiar dacă tot ceea ce faci ar putea fi urmărit până la primii pași, tu ești stăpânul acțiunilor tale, pentru că nici tu, nici acțiunile tale nu există la nivelul materiei, ci doar la nivelul macro al conștiinței. „Acest macroindeterminism bazat pe microdeterminism este probabil cel care garantează liberul arbitru”, a spus Butterfield. Macroindeterminismul nu este motivul deciziilor tale. Aceasta este decizia ta.
Probabil că unii vor obiecta și îți vor spune că ești încă o păpușă, iar legile naturii acționează ca un păpușar și că libertatea ta nu este altceva decât o iluzie. Dar chiar cuvântul „iluzie” aduce în minte miraje în deșert și femei tăiate în jumătate: toate acestea nu există în realitate. Macroindeterminismul nu este același lucru. Este destul de real, doar nu fundamental. Poate fi comparat cu viața. Atomii individuali sunt materie absolut neînsuflețită, dar masa lor uriașă poate trăi și respira. „Tot ceea ce are de-a face cu agenți, stările lor de intenție, deciziile și alegerile lor – niciuna dintre aceste entități nu are nimic de-a face cu setul de instrumente conceptuale al fizicii fundamentale, dar asta nu înseamnă că aceste fenomene nu sunt reale”, notează List. . înseamnă pur și simplu că toate sunt fenomene de un nivel mult mai înalt.”
Ar fi o greșeală de categorie, dacă nu ignoranță totală, să descrii deciziile umane în termeni de mecanică a mișcării atomilor în capul tău. În schimb, este necesar să folosim toate conceptele psihologiei: dorință, posibilitate, intenții. De ce am băut apă și nu vin? Pentru că am vrut. Dorințele mele explică acțiunile mele. În cele mai multe cazuri, atunci când punem întrebarea „De ce?”, căutăm motivația individului, și nu mediul său fizic. Explicațiile psihologice permit tipul de indeterminism despre care vorbește List. De exemplu, teoreticienii jocului modelează luarea deciziilor umane prin prezentarea unei game de opțiuni și explicând pe care ați alege-o dacă ați acționa rațional. Libertatea ta de a alege o anumită opțiune guvernează alegerea ta, chiar dacă nu alegi niciodată acea opțiune.
Pentru a fi sigur, argumentele lui List nu explică pe deplin liberul arbitru. Ierarhia nivelurilor deschide spațiu liberului arbitru, separând psihologia de fizică și dându-ne capacitatea de a face lucruri neașteptate. Dar trebuie să profităm de această oportunitate. Dacă, de exemplu, am luat toate deciziile aruncând o monedă, acest lucru ar fi în continuare considerat macroindeterminism, dar cu greu s-ar califica drept liber arbitru în vreun sens semnificativ. Pe de altă parte, luarea deciziilor de către unii oameni poate fi atât de epuizantă încât nu se poate spune că acţionează liber.
O astfel de abordare a problemei determinismului dă sens interpretării teoriei cuantice, care a fost propusă la câțiva ani după moartea lui Einstein în 1955. A fost numită interpretarea multi-lumilor, sau interpretarea Everett. Susținătorii săi susțin că mecanica cuantică descrie o colecție de universuri paralele - un multivers care se comportă în general în mod determinist, dar ni se pare nedeterminist, deoarece putem vedea doar un singur univers. De exemplu, un atom poate emite un foton la dreapta sau la stânga; teoria cuantică lasă deschis rezultatul acestui eveniment. Conform interpretării cu mai multe lumi, o astfel de imagine este observată deoarece exact aceeași situație se întâmplă în nenumărate universuri paralele: în unele dintre ele, fotonul zboară determinist la stânga, iar în rest, la dreapta. Fără a putea spune exact în care dintre universuri ne aflăm, nu putem prezice ce se va întâmpla, așa că această situație pare inexplicabilă din interior. „Nu există o aleatorie adevărată în spațiu, dar evenimentele pot apărea aleatorii pentru ochiul observatorului”, explică cosmologul Max Tegmark de la Institutul de Tehnologie din Massachusetts, un susținător binecunoscut al acestui punct de vedere. „Alatorizarea reflectă incapacitatea ta de a determina unde tu esti."
Este ca și cum ai spune că un zar sau un creier poate fi construit din oricare dintre nenumăratele configurații de atomi. Această configurație în sine poate fi deterministă, dar din moment ce nu putem ști care dintre ele corespunde zarurilor sau creierului nostru, suntem forțați să presupunem că rezultatul este nedeterminist. Astfel, universurile paralele nu sunt o idee exotică care plutește într-o imaginație bolnavă. Corpul și creierul nostru sunt minuscule multiversuri, este diversitatea posibilităților care ne oferă libertate.
Care sunt cele trei legi ale aleatoriei și de ce imprevizibilitatea ne oferă capacitatea de a face cele mai fiabile predicții.
Mintea noastră rezistă cu toată puterea ideii de aleatorie. Pe parcursul evoluției noastre ca specie biologică, ne-am dezvoltat capacitatea de a căuta relații cauză-efect în orice. Cu mult înainte de apariția științei, știam deja că un apus de soare purpuriu prevestește o furtună periculoasă, iar un roșu febril pe fața unui copil înseamnă că mama lui va avea o noapte grea. Mintea noastră încearcă automat să structureze datele pe care le primește în așa fel încât să ne ajute să tragem concluzii din observațiile noastre și să folosim acele concluzii pentru a înțelege și a prezice evenimente.
Ideea de aleatorie este atât de greu de acceptat pentru că vine împotriva instinctului de bază care ne face să căutăm modele raționale în lumea din jurul nostru. Iar accidentele ne arată doar că astfel de modele nu există. Aceasta înseamnă că aleatorietatea ne limitează în mod fundamental intuiția, deoarece demonstrează că există procese al căror curs nu le putem prezice pe deplin. Acest concept nu este ușor de acceptat, deși este o parte esențială a mecanismului universului. Neînțelegând ce este aleatorietatea, ne aflăm în fundul unei lumi perfect previzibile care pur și simplu nu există în afara imaginației noastre.
Aș spune că numai atunci când învățăm cele trei aforisme - cele trei legi ale hazardului - ne putem elibera de dorința noastră primitivă de predictibilitate și putem accepta universul așa cum este, și nu așa cum ne-am dori să fie.
Aleatorietatea există
Folosim orice mecanism mental pentru a evita să ne confruntăm cu aleatoriu. Vorbim despre karma, despre acest egalizator cosmic care conectează lucruri aparent fără legătură. Credem în prevestiri bune și rele, că „Dumnezeu iubește o trinitate”, pretindem că suntem influențați de pozițiile stelelor, fazele lunii și mișcarea planetelor. Dacă suntem diagnosticați cu cancer, automat încercăm să dăm vina pe ceva (sau pe cineva) pentru asta.
Dar multe evenimente nu pot fi anticipate sau explicate pe deplin. Catastrofele se petrec imprevizibil și suferă atât oamenii buni, cât și cei răi, inclusiv cei care s-au născut „sub o stea norocoasă” sau „sub un semn de bun augur”. Uneori reușim să prezicem ceva, dar întâmplarea poate respinge cu ușurință chiar și cele mai fiabile previziuni. Nu fi surprins dacă vecinul tău, un motociclist obez, care fumează în lanț și nesăbuit, trăiește mai mult decât tine.
Mai mult, evenimentele aleatoare pot pretinde a fi non-aleatoare. Chiar și cel mai priceput om de știință poate avea dificultăți în a distinge între un efect real și o fluctuație aleatorie. Aleatorie poate transforma un placebo într-un medicament magic sau un compus inofensiv într-o otravă mortală; și poate chiar să creeze particule subatomice din nimic.
Unele evenimente sunt imprevizibile
Dacă mergi la un cazinou din Las Vegas și urmărești mulțimea de jucători de la mesele de joc, probabil vei vedea pe cineva care se crede norocos astăzi. A câștigat de mai multe ori la rând, iar creierul îi asigură că va câștiga în continuare, așa că jucătorul continuă să parieze. Veți vedea și pe cineva care tocmai a pierdut. Creierul învinsului, ca și creierul învingătorului, îl sfătuiește și el să continue jocul: din moment ce ai pierdut de atâtea ori la rând, înseamnă că acum probabil vei începe să ai noroc. Este o prostie să pleci acum și să ratezi această șansă.
Dar indiferent de ceea ce ne spune creierul nostru, nu există nicio forță misterioasă capabilă să ne ofere un „noroc” sau o justiție universală care să se asigure că învinsul începe în sfârșit să câștige. Universului nu-i pasă dacă câștigi sau pierzi; pentru ea, toate aruncările de zaruri sunt la fel.
Indiferent de cât de mult efort ai cheltui urmărind următoarea aruncare a zarurilor și oricât de atent te uiți la jucătorii care cred că au reușit să-și călărească norocul, nu vei primi absolut nicio informație despre următoarea aruncare. Rezultatul fiecărei aruncări este complet independent de istoricul rulajelor anterioare. Prin urmare, orice calcul că cineva poate obține un avantaj urmărind jocul este sortit eșecului. Astfel de evenimente - independente de orice și complet aleatorii - sfidează orice încercare de a găsi modele, deoarece aceste modele pur și simplu nu există.
Aleatorietatea pune o barieră în calea ingeniozității umane, deoarece demonstrează că toată logica noastră, toată știința și capacitatea noastră de raționament nu pot prezice pe deplin comportamentul universului. Indiferent de metodele pe care le folosești, de orice teorie ai inventa, de orice logică ai aplica pentru a prezice rezultatul unei aruncări de zaruri, de cinci din șase ori vei pierde. Este mereu.
Un set de evenimente aleatoare este previzibil, chiar dacă evenimentele individuale nu sunt.
Aleatorietatea este înspăimântătoare, limitează fiabilitatea chiar și a celor mai sofisticate teorii și ne ascunde anumite elemente ale naturii, oricât de persistent am încerca să pătrundem în esența lor. Cu toate acestea, nu se poate argumenta că aleatoriu este un sinonim pentru incognoscibil. Acest lucru nu este deloc adevărat.
Aleatoria se supune propriilor reguli, iar aceste reguli fac ca procesul aleatoriu să fie de înțeles și previzibil.
Legea numerelor mari afirmă că, deși evenimentele aleatoare individuale sunt complet imprevizibile, un eșantion suficient de mare din aceste evenimente poate fi destul de previzibil - și cu cât eșantionul este mai mare, cu atât predicția este mai precisă. Un alt instrument matematic puternic, teoremele limită centrale, arată, de asemenea, că suma unui număr suficient de mare de variabile aleatoare va avea o distribuție apropiată de normală. Cu aceste instrumente, putem prezice evenimentele destul de precis pe termen lung, indiferent cât de haotice, ciudate și aleatorii ar fi acestea pe termen scurt.
Regulile hazardului sunt atât de puternice încât formează baza celor mai neclintite și neschimbate legi ale fizicii. Deși atomii dintr-un recipient cu gaz se mișcă aleatoriu, comportamentul lor general este descris printr-un set simplu de ecuații. Chiar și legile termodinamicii provin din predictibilitatea unui număr mare de evenimente aleatorii; aceste legi sunt de nezdruncinat tocmai pentru că hazardul este atât de absolut.
În mod paradoxal, imprevizibilitatea evenimentelor întâmplătoare ne permite să facem cele mai fiabile predicții ale noastre.
Metoda compoziției muzicale cu text sonor liber; ca mod independent de compunere a muzicii a luat contur în secolul al XX-lea. A. înseamnă renunțarea totală sau parțială la controlul strict al compozitorului asupra textului muzical, sau chiar eliminarea categoriei însăși a compozitorului-autor în sens tradițional. Inovația lui A. constă în corelarea componentelor stabilite stabil ale unui text muzical cu aleatoritatea introdusă conștient, mobilitatea arbitrară a materiei muzicale. Conceptul de A. se poate referi atât la aspectul general al părților compoziției (la formă), cât și la structura țesăturii sale. Pa. Denisov, interacțiunea dintre stabilitatea și mobilitatea țesăturii și formă dă 4 tipuri principale de combinații, dintre care trei - a 2-a, a 3-a și a 4-a - sunt aleatorii: 1. Țesătură stabilă - formă stabilă (compoziție tradițională obișnuită, opus perfectum et absolutum; ca, de exemplu, 6 simfonii de Ceaikovski); 2. Tesatura stabila - forma mobila; după V. Lutoslavs, „A. forme” (P. Boulez, Sonata a III-a pentru pian, 1957); 3. Tesatura mobila - forma stabila; sau, potrivit lui Lutoslavsky, „A. texturi” (Lutoslavsky, String Quartet, 1964, Main Movement); 4. Tesatura mobila - forma mobila; sau „A. cuşcă"(cu improvizație colectivă a mai multor interpreți). Acestea sunt punctele nodale ale metodei lui A., în jurul cărora există multe tipuri și cazuri specifice diferite de structuri, diferite grade de imersare în A.; în plus, metabolele („modulațiile”) sunt și ele naturale - trecerea de la un tip sau tip la altul, de asemenea la un text stabil sau de la acesta.
A. s-a răspândit încă din anii 1950, apărând (împreună cu sonoră),în special, ca reacție la înrobirea extremă a structurii muzicale în serialul multi-parametri (vezi: dodecafonie).Între timp, principiul libertății de structură într-un fel sau altul are rădăcini străvechi. În esență, fluxul de sunet, și nu un opus structurat unic, este muzică populară. De aici instabilitatea, „non-opusul” muzicii populare, variația, variația și improvizația din ea. Imprevizibilitatea, improvizația formelor sunt caracteristice muzicii tradiționale din India, popoarele din Orientul Îndepărtat și Africa. Prin urmare, reprezentanții lui A. se bazează în mod activ și conștient pe principiile esențiale ale muzicii orientale și populare. Elementele săgeată au existat și în muzica clasică europeană. De exemplu, printre clasicii vienezi, care au eliminat principiul basului general și au făcut textul muzical complet stabil (simfonii și cvartete de I. Haydn), un contrast puternic a fost „cadența” sub forma unui concert instrumental - un solo virtuos, a cărui parte compozitorul nu a compus-o, dar a oferit-o la discreția interpretului (elementul A. formă). Metodele comice „aleatorice” de compunere a unor piese de teatru simple (minueturi) prin combinarea pieselor muzicale la jocul de zaruri (Würfelspiel) sunt cunoscute pe vremea lui Haydn și Mozart (tratat de I.F. Kirnberger „În orice moment un compozitor gata făcut de poloneze și menuete). ". Berlin, 1757).
În secolul XX. principiul „proiectului individual” în formă a început să sugereze admisibilitatea versiunilor textuale ale lucrării (adică A.). În 1907 compozitorul american C. Ives a compus cvintetul de pian „Hallwe” en (= „All Saints’ Eve”), al cărui text, atunci când este interpretat într-un concert, ar trebui interpretat diferit de patru ori la rând. D. cuşcă compusă în 1951 „Music of Changes” pentru pian, al cărei text l-a compilat prin „manipularea accidentelor” (cuvintele compozitorului), folosind pentru aceasta „Cartea Schimbărilor” chinezească. Clasi-
exemplu cal A. - "Piesă pentru pian XI" de K. Stockhausen, 1957. Pe o coală de hârtie ca. 0,5 mp într-o ordine aleatorie sunt 19 fragmente muzicale. Pianistul începe cu oricare dintre ele și le cântă în ordine aleatorie, urmând o privire casual; la sfârşitul pasajului precedent se scrie la ce tempo şi la ce volum să cânte următorul. Când pianistului i se pare că a cântat deja toate fragmentele în acest fel, ar trebui să fie redate a doua oară în aceeași ordine aleatorie, dar într-o sonoritate mai strălucitoare. După runda a doua, jocul se termină. Pentru un efect mai mare, se recomandă repetarea lucrării aleatorii într-un concert - ascultătorul va vedea o altă compoziție din același material. Metoda A. este utilizată pe scară largă de compozitorii moderni (Boulez, Stockhausen, Lutoslavsky, A. Volkonsky, Denisov, Schnittke si etc.).
O condiţie prealabilă pentru A. în secolul al XX-lea. au venit noi legi armonieși tendințele care decurg din acestea de a căuta noi forme care să corespundă noii stări a materialului muzical și sunt caracteristice pentru avangardă. Textura aleatorică era complet de neconceput înainte de emancipare disonanţă dezvoltarea muzicii atonale (vezi: dodecafonie). Un susținător al „limitat și controlat” A. Lutoslavsky vede în ea o valoare incontestabilă: „A. mi-a deschis perspective noi și neașteptate. În primul rând - o bogăție uriașă de ritm, de neatins cu ajutorul altor tehnici. Denisov, justificând „introducerea unor elemente aleatorii în muzică”, susține că „ne oferă o mare libertate în operarea cu materia muzicală și ne permite să obținem noi efecte sonore.<...>, dar ideile de mobilitate pot da rezultate bune numai dacă<... >dacă tendinţele distructive ascunse în mobilitate nu distrug constructivitatea necesară existenţei oricărei forme de artă.
Alte metode și forme de muzică se intersectează cu A. În primul rând, acestea sunt: 1. improvizatie - interpretarea unei opere compuse în timpul jocului; 2. muzica grafica, pe care interpretul le improviză după imaginile vizuale ale desenului pus în fața lui (de exemplu, I. Brown, Folio, 1952), transpunându-le în imagini sonore, sau după grafica aleatorie muzicală creată de compozitor din piese de text muzical pe o coală de hârtie (S. Bussotti, „Pasiunea pentru grădină”, 1966); 3. petrecându-se- acţiune improvizată (în acest sens, aleatorie). (Promovare) cu participarea muzicii cu un complot arbitrar (cvasi-) (de exemplu, „Replica” a lui A. Volkonsky de către ansamblul Madrigal în sezonul 1970/71); 4. forme deschise de muzică – adică cele al căror text nu este stabil fixat, dar se obține de fiecare dată în procesul de interpretare. Acestea sunt tipuri de compoziții care nu sunt în mod fundamental închise și permit o continuare infinită (de exemplu, cu fiecare nouă reprezentație), engleză. Lucrări în curs. Pentru P. Boulez, unul dintre stimulii care l-au transformat către o formă deschisă a fost opera lui J. Joyce(„Ulysses”) și S. Mallarmé („Le Livre”). Un exemplu de compoziție deschisă este „Available Forms II” a lui Earl Brown pentru 98 de instrumente și doi dirijori (1962). Brown însuși indică legătura dintre forma sa deschisă cu „mobilele” în artele vizuale (vezi: arta cinetica)în special, A. Calder („Calder Piece” pentru 4 bateri și mobilul lui Calder, 1965). În cele din urmă, acțiunea „Gesamtkunst” este pătrunsă de principii aleatorii (vezi: Gezamtkunstwerk). 5. Multimedia a cărui specificitate este sincronizarea instalatii mai multe arte (de exemplu: un concert + o expoziție de pictură și sculptură + o seară de poezie în orice combinație de forme de artă etc.). Astfel, esența lui A. este de a reconcilia ordinea artistică stabilită în mod tradițional și fermentul revigorant al impredictibilității, ale aleatoriei - o tendință caracteristică cultura artistică a secolului XX.în general şi estetică neclasică.
Lit.: Denisov E.V. Elemente stabile şi mobile ale formei muzicale şi interacţiunea lor// Probleme teoretice ale formelor şi genurilor muzicale. M., 1971; Kohoutek C. Tehnica compoziției în muzica secolului XX. M., 1976; Lutoslavsky V. Articole, fie-
păr gri, amintiri. M., 1995; Boulez P. Alea// Darmstädter Beiträge zur Neuen Musik. L, Mainz, 1958; Boulez R. Zu meiner III Sonate// Ibid, III. 1960; Schaffer B. Nowa muzyka (1958). Cracovia, 1969; Schaffer B. Malý informátor muzyki XX wieku (1958). Cracovia, 1975; Stockhausen K. Musik und Grafik (1960) // Texte, Bd.l, Köln, 1963; Böhmer K. Theorie der offenen Form in der Musik. Darmstadt, 1967.
