Na výpočet pravdepodobnosti P A udalosti A je potrebné zostrojiť matematický model skúmaného objektu, ktorý obsahuje udalosť A. Základom modelu je pravdepodobnostný priestor (,?,P), kde je priestor elementárnych diania, ? - trieda udalostí, na ktorých sú zavedené operácie skladania,

Pravdepodobnosť akejkoľvek udalosti A, ktorá má zmysel a je zahrnutá v triede udalostí? 25. Ak napr.

potom z axiómy 3, pravdepodobnosti, vyplýva, že

Výpočet pravdepodobnosti udalosti A sa teda redukuje na výpočet pravdepodobností elementárnych udalostí, ktoré ju tvoria, a keďže sú „základné“, metódy ich výpočtu nemusia závisieť od axiomatiky teórie pravdepodobnosti.

Uvažujú sa tu tri prístupy k výpočtu pravdepodobnosti elementárnych udalostí:

klasický;

geometrický;

štatistické alebo frekvenčné.

Klasická metóda výpočtu pravdepodobnosti

Z axiomatickej definície pravdepodobnosti vyplýva, že pravdepodobnosť existuje pre akýkoľvek jav A, ale nič sa nehovorí o tom, ako ju vypočítať, hoci je známe, že pre každý elementárny jav i existuje pravdepodobnosť pi taká, že súčet pravdepodobností všetkých elementárne udalosti v priestore sa rovná jednej, tzn

Na využití tohto faktu je založený klasický spôsob výpočtu pravdepodobnosti náhodných udalostí, ktorý svojou špecifickosťou poskytuje spôsob, ako zistiť pravdepodobnosti týchto udalostí priamo z axióm.

Nech je daný pevný pravdepodobnostný priestor (,?, P), v ktorom:

• a) pozostáva z konečného počtu n elementárnych dejov,
• b) každá elementárna udalosť i je spojená s pravdepodobnosťou

Uvažujme udalosť A, ktorá pozostáva z m základných udalostí:

potom z axiómy 3 pravdepodobností v dôsledku nezlučiteľnosti elementárnych udalostí vyplýva, že

Tak máme vzorec

čo možno interpretovať takto: pravdepodobnosť, že nastane udalosť A, sa rovná pomeru počtu elementárnych udalostí priaznivých pre vznik udalosti A k počtu všetkých elementárnych udalostí z.

Toto je podstata klasickej metódy výpočtu pravdepodobnosti udalostí.

Komentujte. Po priradení rovnakej pravdepodobnosti každej z elementárnych udalostí priestoru sme na jednej strane, majúc pravdepodobnostný priestor a spoliehajúc sa na axiómy teórie pravdepodobnosti, dostali pravidlo na výpočet pravdepodobnosti akýchkoľvek náhodných udalostí z vesmíru podľa vzorec (2), na druhej strane, to nám dáva dôvod považovať všetky elementárne udalosti za rovnako možné a výpočet pravdepodobnosti akýchkoľvek náhodných udalostí z redukcie na „urnovú“ schému bez ohľadu na axiómy.

Zo vzorca (2) vyplýva, že pravdepodobnosť udalosti A závisí len od počtu elementárnych udalostí, z ktorých pozostáva, a nezávisí od ich konkrétneho obsahu. Na použitie vzorca (2) je teda potrebné nájsť počet bodov v priestore a počet bodov, ktoré tvoria udalosť A, ale to je už úloha kombinatorickej analýzy.

Pozrime sa na pár príkladov.

Príklad 8. Urna s n loptičkami obsahuje k červených a (n - k) čiernych guľôčok. Náhodne vyžrebujeme r loptičiek bez vrátenia r loptičiek. Aká je pravdepodobnosť, že vo vzorke r guľôčok je s guľôčok červených?

Riešenie. Nech udalosť (A) (vo vzorke r guľôčok s je červená). Požadovaná pravdepodobnosť sa zistí podľa klasickej schémy, vzorca (2):

kde je počet možných vzoriek objemu r, ktoré sa líšia aspoň jedným číslom gule a m je počet vzoriek objemu r, v ktorých sú gule s červené. Jednoznačne pre číslo možné možnosti vzorka sa rovná a m, ako je uvedené v príklade 7, sa rovná

Požadovaná pravdepodobnosť sa teda rovná

Nech je súbor daný v pároch nezlučiteľné udalosti ako,

formovanie celá skupina, Potom

V tomto prípade hovoríme, že máme rozdelenie pravdepodobnosti udalostí As.

Rozdelenie pravdepodobnosti je jedným zo základných pojmov moderná teória pravdepodobnosti a tvorí základ Kolmagorovových axióm.

Definícia. Rozdelenia pravdepodobnosti

určí sa hypergeometrické rozdelenie.

Borovkov A.A. vo svojej knihe na príklade vzorca (3) vysvetľuje podstatu problémov v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike takto: ak poznáme zloženie všeobecnej populácie, môžeme použiť hypergeometrické rozdelenie, aby sme zistili, aké je zloženie vzorka môže byť - to je typický problém v teórii pravdepodobnosti (priamy problém). IN prírodné vedy vyriešiť inverzný problém: na základe zloženia vzoriek určujú povahu všeobecných populácií - to je inverzný problém a, obrazne povedané, tvorí obsah matematickej štatistiky.

Zovšeobecnením binomických koeficientov (kombinácií) sú polynomické koeficienty, ktoré za svoj názov vďačia expanzii polynómu v tvare

podľa právomocí podmienok.

Pri riešení kombinatorických úloh sa často používajú polynomické koeficienty (4).

Veta. Nech existuje k rôznych políčok, do ktorých sa umiestňujú očíslované loptičky. Potom počet loptičiek, ktoré sa majú umiestniť do krabíc tak, aby číslo krabice r obsahovalo gule ri,

je určená polynómovými koeficientmi (4).

Dôkaz. Keďže poradie boxov je dôležité, ale loptičky v boxoch nie sú dôležité, je možné použiť kombinácie na počítanie umiestnení loptičiek v ľubovoľnom boxe.

V prvom boxe r1 loptičky z n možno vyberať spôsobmi, v druhom r2 loptičiek, zo zvyšných (n - r1) možno vyberať spôsobmi a tak ďalej, v (k - 1) boxe rk-1 loptičky vyberieme

spôsoby; v kolónke k - zvyšné

Loptičky padajú automaticky, jedným spôsobom.

Celkový počet umiestnení teda bude

Príklad. n loptičiek je náhodne rozdelených do n boxov. Za predpokladu, že boxy a loptičky sú rozlíšiteľné, nájdite pravdepodobnosť nasledujúcich udalostí:

• a) všetky políčka nie sú prázdne = A0;
• b) jedno políčko je prázdne = A1;
• c) dve prázdne políčka = A2;
• d) tri prázdne polia = A3;
• e) (n-1) - políčko je prázdne = A4.

Vyriešte úlohu pre prípad n = 5.

Riešenie. Z podmienky vyplýva, že rozdelenie loptičiek medzi boxy je jednoduché náhodný výber, preto sú všetky možnosti nn.

Táto postupnosť znamená, že prvý, druhý a tretí box majú po tri loptičky, štvrtý a piaty box majú po dvoch loptičky a zvyšné (n - 5) boxy majú po jednej. Celkový počet takýchto umiestnení loptičiek do boxov bude

Keďže loptičky sú vlastne rozlíšiteľné, tak pre každú takúto kombináciu budeme mať

umiestnenia loptičiek. Takže možností bude celkom

Prejdime k riešeniu bod po bode v príklade:

a) keďže každý box obsahuje jednu guľu, máme postupnosť 111...11, pre ktorú je počet umiestnení n!/ n! = 1. Ak sú gule rozlíšiteľné, potom máme n!/ 1! umiestnení, preto je celkový počet možností m = 1n!= n!, teda

b) ak je jedno políčko prázdne, potom nejaké políčko obsahuje dve loptičky, potom máme postupnosť 211...10, pre ktorú je počet umiestnení n! (n-2)!. Keďže loptičky sú rozlíšiteľné, pre každú takúto kombináciu máme n!/ 2! umiestnenia. Celkové možnosti

c) ak sú dve polia prázdne, máme dve postupnosti: 311...100 a 221...100. Pri prvom je počet umiestnení rovný

n!/ (2! (n - 3)!).

Pre každú takúto kombináciu máme n!/ 3! umiestnenia loptičiek. Takže pre prvú sekvenciu je počet možností

Pre druhú sekvenciu bude celkový počet možností

Nakoniec máme

d) pre tri prázdne polia budú tri sekvencie: 411...1000, alebo 3211...1000, alebo 22211...1000.

Pre prvú sekvenciu máme

Pre druhú sekvenciu

Pre tretiu sekvenciu dostaneme

Celkové možnosti

m = k1 + k2 + k3,

Požadovaná pravdepodobnosť sa rovná

e) ak (n -1) je box prázdny, potom všetky loptičky musia byť v jednom z boxov. Je zrejmé, že počet kombinácií sa rovná

Pravdepodobnosť zodpovedajúca tejto udalosti sa rovná

Pre n = 5 máme

Všimnite si, že pre n = 5 udalostí by Аi malo tvoriť úplnú skupinu, čo je pravda. Naozaj

1. Vzorce na výpočet pravdepodobnosti udalostí

1.3.1. Postupnosť nezávislých testov (Bernoulliho obvod)

Predpokladajme, že nejaký experiment možno vykonať opakovane za rovnakých podmienok. Nechajte túto skúsenosť urobiť nčasy, t.j n testy.

Definícia. Následná sekvencia n testy sa nazývajú vzájomne nezávislé , ak je akákoľvek udalosť súvisiaca s daným testom nezávislá od akýchkoľvek udalostí súvisiacich s inými testami.

Predpokladajme, že nejaká udalosť A sa pravdepodobne stane p ako výsledok jedného testu alebo sa to pravdepodobne nestane q= 1- p.

Definícia . Postupnosť n testy tvoria Bernoulliho schému, ak sú splnené tieto podmienky:

podsekvencia n testy sú navzájom nezávislé,

2) pravdepodobnosť udalosti A sa nemení od pokusu k pokusu a nezávisí od výsledku v iných skúškach.

Udalosť A sa nazýva „úspech“ testu a opačná udalosť sa nazýva „neúspech“. Zvážte udalosť

=(in n testy prebehli presne m"úspech").

Na výpočet pravdepodobnosti tejto udalosti je platný Bernoulliho vzorec

p() =
, m = 1, 2, …, n , (1.6)

Kde - počet kombinácií n prvky podľa m :

=
=
.

Príklad 1.16. Kocka sa hodí trikrát. Nájsť:

a) pravdepodobnosť, že sa 6 bodov objaví dvakrát;

b) pravdepodobnosť, že počet šestiek sa neobjaví viac ako dvakrát.

Riešenie . Za „úspech“ testu budeme považovať, keď sa na kocke objaví strana s obrázkom 6 bodov.

a) Celkový počet testov – n=3, počet „úspechov“ – m = 2. Pravdepodobnosť „úspechu“ - p=, a pravdepodobnosť „zlyhania“ je q= 1 - =. Potom, podľa Bernoulliho vzorca, pravdepodobnosť, že v dôsledku trojnásobného hodu kockou sa strana so šiestimi bodmi objaví dvakrát, bude rovná

.

b) Označme podľa A udalosť, ktorá znamená, že strana so skóre 6 sa objaví maximálne dvakrát. Potom môže byť udalosť reprezentovaná ako súčet troch nezlučiteľných diania A=
,

Kde IN 3 0 – udalosť, kedy sa okraj záujmu nikdy neobjaví,

IN 3 1 - udalosť, keď sa okraj záujmu objaví raz,

IN 3 2 - udalosť, keď sa okraj záujmu objaví dvakrát.

Pomocou Bernoulliho vzorca (1.6) nájdeme

p(A) = p (
) = p(
)=
+
+
=

=
.

1.3.2. Podmienená pravdepodobnosť udalosti

Podmienená pravdepodobnosť odráža vplyv jednej udalosti na pravdepodobnosť inej. Ovplyvňuje to aj zmena podmienok, za ktorých sa experiment vykonáva

o pravdepodobnosti výskytu zaujímavej udalosti.

Definícia. Nechaj A A B– niektoré udalosti a pravdepodobnosť p(B)> 0.

Podmienená pravdepodobnosť diania A za predpokladu, že „udalosť Buž stalo“ je pomer pravdepodobnosti výskytu týchto udalostí k pravdepodobnosti udalosti, ktorá nastala skôr ako udalosť, ktorej pravdepodobnosť je potrebné nájsť. Podmienená pravdepodobnosť označené ako p(A B). Potom podľa definície

p (A  B) =
. (1.7)

Príklad 1.17. Hodia sa dve kocky. Priestor elementárnych udalostí pozostáva z usporiadaných dvojíc čísel

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6).

V príklade 1.16 sa určilo, že udalosť A=(počet bodov na prvej kocke > 4) a event C=(súčet bodov je 8) závislý. Urobme vzťah

.

Tento vzťah možno interpretovať nasledovne. Predpokladajme, že výsledok prvého hodu je známy tak, že počet bodov na prvej kocke je > 4. Z toho vyplýva, že hod druhou kockou môže viesť k jednému z 12 výsledkov, ktoré tvoria udalosť A:

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) .

Na tomto podujatí C iba dvaja z nich sa môžu zhodovať (5,3) (6,2). V tomto prípade pravdepodobnosť udalosti C budú rovné
. Teda informácie o výskyte udalosti A ovplyvnila pravdepodobnosť udalosti C.

Pravdepodobnosť udalostí

Veta o násobení

Pravdepodobnosť udalostíA 1 A 2  A n sa určuje podľa vzorca

p(A 1 A 2  A n)= p(A 1)p(A 2  A 1)) p(A n  A 1 A 2  A n- 1). (1.8)

Pre súčin dvoch udalostí z toho vyplýva, že

p(AB)= p(A B)p{B)= p(B A)p{A). (1.9)

Príklad 1.18. V dávke 25 produktov je 5 produktov chybných. 3 položky sú vybrané náhodne za sebou. Určte pravdepodobnosť, že všetky vybrané produkty sú chybné.

Riešenie. Označme udalosti:

A 1 = (prvý výrobok je chybný),

A 2 = (druhý výrobok je chybný),

A 3 = (tretí výrobok je chybný),

A = (všetky produkty sú chybné).

Udalosť A je výsledkom troch udalostí A = A 1 A 2 A 3 .

Z vety o násobení (1.6) dostaneme

p(A)= p( A 1 A 2 A 3 ) = p(A 1) p(A 2  A 1))p(A 3  A 1 A 2).

Klasická definícia pravdepodobnosti nám umožňuje nájsť p(A 1) je pomer počtu chybných výrobkov k celkový počet Produkty:

p(A 1)= ;

p(A 2) – Toto pomer počtu chybných výrobkov zostávajúcich po odstránení jedného k celkovému počtu zostávajúcich výrobkov:

p(A 2  A 1))= ;

p(A 3) – toto je pomer počtu chybných výrobkov, ktoré zostali po odstránení dvoch chybných výrobkov, k celkovému počtu zostávajúcich výrobkov:

p(A 3  A 1 A 2)=.

Potom pravdepodobnosť udalosti A budú rovné

p(A) ==
.

Chápem, že každý chce vopred vedieť, ako sa športové podujatie skončí, kto vyhrá a kto prehrá. S týmito informáciami môžete uzatvárať stávky športové udalosti. Je to však vôbec možné, a ak áno, ako vypočítať pravdepodobnosť udalosti?

Pravdepodobnosť je relatívna hodnota, preto nemôže s istotou hovoriť o žiadnej udalosti. Táto hodnota umožňuje analyzovať a vyhodnotiť potrebu staviť na konkrétnu súťaž. Stanovenie pravdepodobností je celá veda, ktorá si vyžaduje starostlivé štúdium a pochopenie.

Koeficient pravdepodobnosti v teórii pravdepodobnosti

V športových stávkach existuje niekoľko možností pre výsledok súťaže:

• víťazstvo prvého tímu;
• víťazstvo druhého tímu;
• kresliť;
• Celkom

Každý výsledok súťaže má svoju vlastnú pravdepodobnosť a frekvenciu, s akou k tejto udalosti dôjde, za predpokladu, že sa zachovajú počiatočné charakteristiky. Ako sme už povedali, nie je možné presne vypočítať pravdepodobnosť akejkoľvek udalosti - môže, ale nemusí sa zhodovať. Vaša stávka teda môže vyhrať alebo prehrať.

Nemôže byť 100% presná predpoveď výsledkov súťaže, pretože výsledok zápasu ovplyvňuje veľa faktorov. Stávkové kancelárie prirodzene nepoznajú výsledok zápasu vopred a iba predpokladajú výsledok, pričom sa rozhodujú pomocou svojho analytického systému a ponuky. určité koeficienty pre stávky.

Ako vypočítať pravdepodobnosť udalosti?

Predpokladajme, že kurz stávkovej kancelárie je 2,1/2 – dostaneme 50 %. Ukazuje sa, že koeficient 2 sa rovná pravdepodobnosti 50 %. Rovnakým princípom môžete získať koeficient zlomovej pravdepodobnosti - 1/pravdepodobnosť.

Mnoho hráčov si myslí, že po niekoľkých opakovaných prehrách určite príde k výhre – to je mylný názor. Pravdepodobnosť výhry stávky nezávisí od počtu prehier. Aj keď v mincovej hre prehodíte niekoľko hláv za sebou, pravdepodobnosť prehodenia chvostov zostáva rovnaká – 50 %.

Existuje celá trieda experimentov, pri ktorých sa dajú ľahko posúdiť pravdepodobnosti ich možných výsledkov priamo z podmienok samotného experimentu. Na to je potrebné, aby rôzne výsledky experimentu mali symetriu, a preto boli objektívne rovnako možné.

Zoberme si napríklad zážitok z hádzania kocky, t.j. symetrická kocka, na ktorej stranách je vyznačený rôzny počet bodov: od 1 do 6.

Vzhľadom na symetriu kocky je dôvod považovať všetkých šesť možných výsledkov experimentu za rovnako možných. To nám dáva právo predpokladať, že pri viacnásobnom hode kockou sa všetkých šesť strán objaví približne rovnako často. Tento predpoklad pre správne vyrobenú kosť je skutočne opodstatnený skúsenosťou; pri viacnásobnom hode kockou sa každá jej strana objaví približne v jednej šestine všetkých prípadov hodu a odchýlka tohto zlomku od 1/6 je menšia ako väčšie číslo boli uskutočnené experimenty. Vzhľadom na to, že sa predpokladá, že pravdepodobnosť spoľahlivej udalosti sa rovná jednej, je prirodzené priradiť stratu každej jednotlivej tváre pravdepodobnosť rovnajúcu sa 1/6. Toto číslo charakterizuje niektoré objektívne vlastnosti tohto náhodného javu, konkrétne vlastnosť symetrie šiestich možných výsledkov experimentu.

Pre každý experiment, v ktorom sú možné výsledky symetrické a rovnako možné, možno použiť podobnú techniku, ktorá sa nazýva priamy výpočet pravdepodobností.

Symetria možných výsledkov experimentu sa zvyčajne pozoruje iba pri umelo organizovaných experimentoch, ako je napríklad hazardné hry. Keďže teória pravdepodobnosti dostala svoj počiatočný vývoj práve v hazardných hrách, technika priameho výpočtu pravdepodobností, ktorá historicky vznikla spolu so vznikom matematickej teórie náhodných javov, na dlhú dobu bola považovaná za základnú a bola základom takzvanej „klasickej“ teórie pravdepodobnosti. Zároveň boli experimenty, ktoré nemali symetriu možných výsledkov, umelo zredukované na „klasickú“ schému.

Napriek obmedzenému rozsahu praktické aplikácie tejto schémy je stále zaujímavý, pretože práve cez experimenty, ktoré majú symetriu možných výsledkov a cez udalosti spojené s takýmito experimentmi, je najjednoduchšie zoznámiť sa so základnými vlastnosťami pravdepodobností. Budeme sa zaoberať predovšetkým týmito druhmi udalostí, ktoré umožňujú priamy výpočet pravdepodobnosti.

Najprv si predstavme niektoré pomocné pojmy.

1. Kompletná skupina udalostí.

O niekoľkých udalostiach v danom experimente sa hovorí, že tvoria ucelenú skupinu udalostí, ak sa aspoň jedna z nich musí nevyhnutne objaviť ako výsledok zážitku.

Príklady udalostí, ktoré tvoria kompletnú skupinu:

3) objavenie sa 1,2,3,4,5,6 bodov pri hode kockou;

4) vzhľad bielej gule a vzhľad čiernej gule, keď sa jedna guľa vyberie z urny obsahujúcej 2 biele a 3 čierne gule;

5) žiadne preklepy, jeden, dva, tri alebo viac ako tri preklepy pri kontrole strany tlačeného textu;

6) aspoň jeden zásah a aspoň jedno netrafenie s dvoma ranami.

2. Nezlučiteľné udalosti.

O niekoľkých udalostiach sa hovorí, že sú v danej skúsenosti nezlučiteľné, ak sa žiadne dve z nich nemôžu vyskytnúť spolu.

Príklady nekompatibilných udalostí:

1) strata erbu a strata čísel pri hode mincou;

2) zasiahnuť a minúť pri výstrele;

3) objavenie sa 1,3, 4 bodov jedným hodom kockou;

4) presne jedna porucha, presne dve poruchy, presne tri poruchy technického zariadenia za desať hodín prevádzky.

3. Rovnako možné udalosti.

Niekoľko udalostí v danom experimente sa nazýva rovnako možnými, ak podľa podmienok symetrie existuje dôvod domnievať sa, že žiadna z týchto udalostí nie je objektívne možnejšia ako druhá.

Príklady rovnako možných udalostí:

1) strata erbu a strata čísel pri hode mincou;

2) výskyt 1,3, 4, 5 bodov pri hode kockou;

3) vzhľad karty diamantov, sŕdc, palíc, keď je karta odstránená z balíčka;

4) vzhľad lopty s číslom 1, 2, 3 pri vyberaní jednej lopty z urny obsahujúcej 10 prečíslovaných lôpt.

Existujú skupiny udalostí, ktoré majú všetky tri vlastnosti: tvoria ucelenú skupinu, sú nezlučiteľné a rovnako možné; napríklad: vzhľad erbu a čísel pri hádzaní mince; vzhľad 1, 2, 3, 4, 5, 6 bodov pri hode kockou. Udalosti, ktoré tvoria takúto skupinu, sa nazývajú prípady (inak známe ako „šance“).

Ak má nejaká skúsenosť vo svojej štruktúre symetriu možných výsledkov, potom prípady predstavujú vyčerpávajúci systém rovnako možných a vzájomne sa vylučujúcich výsledkov skúsenosti. O takejto skúsenosti sa hovorí, že je „redukovaná na vzor prípadov“ (inak známy ako „vzor urien“).

Schéma prípadov sa odohráva prevažne v umelo organizovaných experimentoch, v ktorých je vopred a vedome zabezpečená rovnaká možnosť výsledkov experimentu (ako napr. hazardných hier). Pre takéto experimenty je možné priamo vypočítať pravdepodobnosti na základe posúdenia podielu tzv. „priaznivých“ prípadov na celkovom počte prípadov.

Prípad sa nazýva priaznivý (alebo „priaznivý“) pre určitú udalosť, ak výskyt tohto prípadu znamená výskyt tejto udalosti.

Napríklad pri hádzaní kockou je možných šesť prípadov: výskyt 1, 2, 3, 4, 5, 6 bodov. Z toho je udalosť - výskyt párneho počtu bodov - priaznivá v troch prípadoch: 2, 4, 6 a zvyšné tri sú nepriaznivé.

Ak sa skúsenosť zredukuje na vzor prípadov, potom možno pravdepodobnosť udalosti v danom experimente odhadnúť pomocou relatívneho podielu priaznivých prípadov. Pravdepodobnosť udalosti sa vypočíta ako pomer počtu priaznivých prípadov k celkovému počtu prípadov:

kde P(A) je pravdepodobnosť udalosti; – celkový počet prípady; – počet prípadov priaznivých pre udalosť.

Keďže počet priaznivých prípadov je vždy medzi 0 a (0 pre nemožnú udalosť a pre určitú udalosť), pravdepodobnosť udalosti vypočítaná pomocou vzorca (2.2.1) je vždy racionálny vlastný zlomok:

Vzorec (2.2.1), takzvaný „klasický vzorec“ na výpočet pravdepodobnosti, sa už dlho objavuje v literatúre ako definícia pravdepodobnosti. V súčasnosti pri definovaní (vysvetľovaní) pravdepodobnosti spravidla vychádzajú z iných princípov, pričom pojem pravdepodobnosti priamo spájajú s empirickým pojmom frekvencie; vzorec (2.2.1) je zachovaný len ako vzorec na priamy výpočet pravdepodobností, vhodný práve vtedy, ak sa skúsenosť zredukuje na schému prípadov, t.j. má symetriu možných výsledkov.

TÉMA 1 . Klasický vzorec na výpočet pravdepodobnosti.

Základné definície a vzorce:

Experiment, ktorého výsledok nemožno predpovedať, sa nazýva náhodný experiment(SE).

Udalosť, ktorá môže, ale nemusí nastať v danom SE sa nazýva náhodná udalosť.

Elementárne výsledky udalosti, ktoré spĺňajú požiadavky, sa nazývajú:

1.pri každej implementácii SE dochádza k jedinému základnému výsledku;

2. každá udalosť je určitá kombinácia, určitý súbor elementárnych výsledkov.

Súbor všetkých možných elementárnych výsledkov úplne opisuje SE. Takáto zostava je zvyčajne tzv priestor elementárnych výsledkov(PEI). Výber PEI na popis daného SE je nejednoznačný a závisí od riešeného problému.

P(A) = n(A)/n,

kde n je celkový počet rovnako možných výsledkov,

n (A) – počet výsledkov, ktoré tvoria udalosť A, ako sa tiež hovorí, priaznivé pre udalosť A.

Slová „náhodne“, „náhodne“, „náhodne“ zaručujú rovnakú možnosť základných výsledkov.

Riešenie typických príkladov

Príklad 1 Z urny obsahujúcej 5 červených, 3 čierne a 2 biele loptičky sa náhodne vyžrebujú 3 loptičky. Nájdite pravdepodobnosti udalostí:

A– „všetky vytiahnuté loptičky sú červené“;

IN– „všetky vytiahnuté loptičky sú rovnakej farby“;

S– „medzi vyťaženými sú presne 2 čierne.“

Riešenie:

Základným výsledkom tohto SE je trojitý (neusporiadaný!) guľôčok. Celkový počet výsledkov je teda počet kombinácií: n == 120 (10 = 5 + 3 + 2).

Udalosť A pozostáva len z tých trojíc, ktoré boli vyžrebované z piatich červených guličiek, t.j. n(A)==10.

Udalosť IN Okrem 10 červených trojok sú priaznivé aj čierne trojky, ktorých počet je = 1. Preto: n (B)=10+1=11.

Udalosť S Uprednostňujú sa tie tri loptičky, ktoré obsahujú 2 čierne a jednu nečiernu. Každý spôsob výberu dvoch čiernych guľôčok je možné kombinovať s výberom jednej nečiernej gule (zo siedmich). Preto: n (C) = = 3 * 7 = 21.

Takže: P(A) = 10/120; P(B) = 11/120; R(S) = 21/120.

Príklad 2 V podmienkach predchádzajúcej úlohy budeme predpokladať, že gule každej farby majú svoje vlastné číslovanie, počnúc od 1. Nájdite pravdepodobnosti udalostí:

D– „maximálny extrahovaný počet je 4“;

E- "Maximálny počet extrahovaných je 3."

Riešenie:

Pre výpočet n(D) môžeme predpokladať, že urna má jednu guľu s číslom 4, jednu guľu s vyšším číslom a 8 guľôčok (3k+3h+2b) s nižšími číslami. Udalosť D Uprednostňujú sa tie trojky loptičiek, ktoré nevyhnutne obsahujú loptičku s číslom 4 a 2 loptičky s nižšími číslami. Preto: n(D) =

P(D) = 28/120.

Na výpočet n (E) uvažujeme: v urne sú dve gule s číslom 3, dve s veľké čísla a šesť loptičiek s nižšími číslami (2k+2h+2b). Udalosť E pozostáva z trojíc dvoch typov:

1. jedna loptička s číslom 3 a dve s nižšími číslami;

2.dve loptičky s číslom 3 a jedna s nižším číslom.

Preto: n(E)=

P(E) = 36/120.

Príklad 3 Každá z M rôznych častíc je náhodne hodená do jednej z N buniek. Nájdite pravdepodobnosti udalostí:

A– všetky častice spadli do druhej bunky;

IN– všetky častice spadli do jednej bunky;

S– každá bunka neobsahuje viac ako jednu časticu (M £ N);

D– všetky bunky sú obsadené (M =N +1);

E– druhá bunka obsahuje presne Komu častice.

Riešenie:

Pre každú časticu existuje N spôsobov, ako sa dostať do konkrétnej bunky. Podľa základného princípu kombinatoriky pre M častice máme N *N *N *…*N (M-krát). Takže celkový počet výsledkov v tomto SE n = N M .

Pre každú časticu máme jednu príležitosť dostať sa do druhej bunky, preto n (A) = 1*1*…*1= 1 M = 1 a P(A) = 1/ N M.

Dostať sa do jednej bunky (pre všetky častice) znamená dostať každého do prvej, alebo každého do druhej, alebo atď. všetci v N. Ale každá z týchto N možností môže byť implementovaná jedným spôsobom. Preto n (B)=1+1+…+1(N-krát)=N a Р(В)=N/N M.

Udalosť C znamená, že každá častica má o jeden menší počet možností umiestnenia ako predchádzajúca častica a prvá môže spadať do ktorejkoľvek z N buniek. Preto:

n (C) = N *(N-1)*...*(N +M-1) a Р(С) =

V konkrétnom prípade s M =N: Р(С)=

Udalosť D znamená, že jedna z buniek obsahuje dve častice a každá z (N-1) zostávajúcich buniek obsahuje jednu časticu. Na nájdenie n (D) uvažujeme takto: vyberte bunku, v ktorej budú dve častice, dá sa to urobiť =N spôsobmi; potom vyberieme dve častice pre túto bunku, existujú spôsoby, ako to urobiť. Potom rozdeľujeme zvyšné (N -1) častice jednu po druhej do zostávajúcich (N -1) buniek, na to existuje (N -1)! spôsoby.

Takže n(D) =

.

Číslo n(E) možno vypočítať takto: Komu častice pre druhú bunku je možné urobiť spôsobmi, pričom zvyšné (M – K) častice sú distribuované náhodne po (N -1) bunke (N -1) M-K spôsobmi. Preto: