Taliansky matematik Leonardo Fibonacci žil v 13. storočí a ako jeden z prvých v Európe začal používať arabské (indické) číslice. Prišiel s trochu umelým problémom o králikoch, ktoré sa chovajú na farme, pričom všetky sú považované za samice, samci sú ignorovaní. Králiky začínajú s chovom po dosiahnutí veku dvoch mesiacov a potom každý mesiac rodia králika. Králiky nikdy nezomrú.

Je potrebné určiť, koľko králikov bude na farme v n mesiacov, ak v počiatočnom okamihu bol iba jeden novonarodený králik.

Je zrejmé, že farmár má jedného králika v prvom mesiaci a jedného králika v druhom mesiaci. V treťom mesiaci budú dva králiky, vo štvrtom mesiaci tri atď. Označme počet králikov v n mesiac ako . teda
,
,
,
,
, …

Môžeme vytvoriť algoritmus na nájdenie pre akékoľvek n.

Podľa stavu problému, celkového počtu králikov
v n+1 mesiac sa rozkladá na tri zložky:

mesačné králiky, neschopné reprodukcie, v množstve

;

Tak dostaneme

. (8.1)

Vzorec (8.1) umožňuje vypočítať sériu čísel: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, . ..

Čísla v tomto poradí sa volajú Fibonacciho čísla .

Ak prijmete
a
, potom pomocou vzorca (8.1) možno určiť všetky ostatné Fibonacciho čísla. Vzorec (8.1) sa nazýva opakujúci vzorec ( opakovanie - "návrat" v latinčine).

Príklad 8.1. Predpokladajme, že je tam schodisko n kroky. Môžeme naň vyliezť s krokom jedného kroku, alebo s krokom dvoch krokov. Koľko kombinácií rôznych liftingových metód existuje?

Ak n= 1, existuje len jedno riešenie problému. Pre n= 2 sú 2 možnosti: dva jednoduché kroky alebo jeden dvojitý krok. Pre n= 3 sú 3 možnosti: tri jednoduché schodíky alebo jeden jednoduchý a jeden dvojitý, alebo jeden dvojitý a jeden jednoduchý.

V ďalšom prípade n= 4, máme 5 možností (1+1+1+1, 2+1+1, 1+2+1, 1+1+2, 2+2).

S cieľom odpovedať na danú otázku ľubovoľným n, označte počet možností ako a skúste určiť
podľa slávneho a
. Ak začneme od jedného kroku, tak máme kombinácie pre zvyšok n kroky. Ak začneme dvojitým krokom, tak máme
kombinácie pre zvyšok n- 1 krok. Celkový počet možností pre n+1 krok sa rovná

. (8.2)

Výsledný vzorec, podobne ako dvojča, pripomína vzorec (8.1). To však neumožňuje identifikovať počet kombinácií s Fibonacciho číslami . Vidíme to napríklad
, ale
. Existuje však nasledujúci vzťah:

.

Toto platí pre n= 1, 2 a platí aj pre každú z nich n. Fibonacciho čísla a počet kombinácií sa vypočítajú pomocou rovnakého vzorca, ale počiatočné hodnoty
,
a
,
líšia sa.

Príklad 8.2. Tento príklad má praktický význam pre problémy kódovania na opravu chýb. Nájdite počet všetkých binárnych slov dĺžky n, ktorý neobsahuje viacero núl za sebou. Označme toto číslo pomocou . samozrejme,
, a slová dĺžky 2, ktoré spĺňajú naše obmedzenie, sú: 10, 01, 11, t.j.
. Nechať byť
- slovo z n postavy. Ak je symbol
, potom
môže byť ľubovoľné (
)-doslovné slovo, ktoré neobsahuje viacero núl za sebou. Počet slov s jednotkou na konci je teda
.

Ak je symbol
, potom nevyhnutne
, a prvý
symbol
môže byť ľubovoľné, berúc do úvahy uvažované obmedzenia. Preto existuje
dĺžka slova n s nulou na konci. Celkový počet slov, ktoré nás zaujímajú, je teda

.

Berúc do úvahy skutočnosť, že
a
, výsledná postupnosť čísel sú Fibonacciho čísla.

Príklad 8.3. V príklade 7.6 sme zistili, že počet binárnych slov s konštantnou hmotnosťou t(a dĺžka k) sa rovná . Teraz nájdime počet binárnych slov s konštantnou hmotnosťou t, ktorý neobsahuje viacero núl za sebou.

Môžete uvažovať takto. Nechať byť
počet núl v uvažovaných slovách. Každé slovo má
medzery medzi najbližšími nulami, z ktorých každá obsahuje jednu alebo viacero jednotiek. Predpokladá sa, že
. Inak neexistuje ani jedno slovo bez susedných núl.

Ak z každého intervalu odstránime práve jednu jednotku, dostaneme slovo dĺžky
obsahujúce nuly. Každé takéto slovo je možné získať určeným spôsobom od niektorých (a iba jedného) k-spisovné slovo obsahujúce nuly, z ktorých žiadne dve nesusedia. Požadovaný počet sa teda zhoduje s počtom všetkých slov dĺžky
obsahujúce presne nuly, t.j. rovná sa
.

Príklad 8.4. Dokážme, že súčet
sa rovná Fibonacciho číslam pre akékoľvek celé číslo . Symbol
znamenať najmenšie celé číslo väčšie alebo rovné . Napríklad, ak
, potom
; A keď
, potom
strop("strop"). Je tam aj symbol
, čo znamená najväčšie celé číslo menšie alebo rovné . V angličtine sa táto operácia nazýva poschodie ("podlaha").

Ak
, potom
. Ak
, potom
. Ak
, potom
.

Pre uvažované prípady sa teda súčet skutočne rovná Fibonacciho číslam. Teraz uvádzame dôkaz pre všeobecný prípad. Keďže Fibonacciho čísla možno získať pomocou rekurzívnej rovnice (8.1), musí platiť rovnosť:

.

A v skutočnosti to robí:

Tu sme použili predtým získaný vzorec (4.4):
.

Súčet Fibonacciho čísel

Určme súčet prvého n Fibonacciho čísla.

0+1+1+2+3+5 = 12,

0+1+1+2+3+5+8 = 20,

0+1+1+2+3+5+8+13 = 33.

Je ľahké vidieť, že pridaním jednotky na pravú stranu každej rovnice opäť dostaneme Fibonacciho číslo. Všeobecný vzorec na určenie súčtu prvého n Fibonacciho čísla majú tvar:

Dokážeme to pomocou metódy matematickej indukcie. Za týmto účelom napíšeme:

Táto suma sa musí rovnať
.

Zmenšením ľavej a pravej strany rovnice o –1 dostaneme rovnicu (6.1).

Vzorec pre Fibonacciho čísla

Veta 8.1. Fibonacciho čísla možno vypočítať pomocou vzorca

.

Dôkaz. Overme si platnosť tohto vzorca pre n= 0, 1 a potom dokážeme platnosť tohto vzorca pre ľubovoľný n indukciou. Vypočítajme pomer dvoch najbližších Fibonacciho čísel:

Vidíme, že pomer týchto čísel kolíše okolo hodnoty 1,618 (ak ignorujeme prvých pár hodnôt). Táto vlastnosť Fibonacciho čísel pripomína členov geometrickej progresie. súhlasiť
, (
). Potom výraz

prevedené na

ktorý po zjednodušení vyzerá takto

.

Získali sme kvadratickú rovnicu, ktorej korene sa rovnajú:

Teraz môžeme napísať:

(kde c je konštanta). Obaja členovia a neuvádzajte napríklad Fibonacciho čísla
, zatiaľ čo
. Avšak rozdiel
spĺňa rekurzívnu rovnicu:

Pre n= 0 dáva tento rozdiel , teda:
. Avšak, kedy n= 1 máme
. Získať
treba akceptovať:
.

Teraz máme dve sekvencie: a
, ktoré začínajú rovnakými dvoma číslami a spĺňajú rovnaký rekurzívny vzorec. Musia byť rovnaké:
. Veta bola dokázaná.

S pribúdajúcimi nčlenom sa stáva veľmi veľkým
a úloha člena sa znižuje rozdiel. Preto na slobode n môžeme písať približne

.

Ignorujeme 1/2 (pretože Fibonacciho čísla sa zvyšujú do nekonečna n do nekonečna).

Postoj
volal Zlatý pomer, používa sa mimo matematiky (napríklad v sochárstve a architektúre). Zlatý rez je pomer medzi uhlopriečkou a stranou pravidelný päťuholník(obr. 8.1).

Ryža. 8.1. Pravidelný päťuholník a jeho uhlopriečky

Na označenie zlatého rezu je zvykom používať písmeno
na počesť slávneho aténskeho sochára Phidiasa.

základné čísla

Všetky prirodzené čísla, veľké, spadajú do dvoch tried. Prvý zahŕňa čísla, ktoré majú práve dvoch prirodzených deliteľov, jedného a samého seba, druhý zahŕňa všetky ostatné. Volajú sa čísla prvej triedy jednoduché a druhý zložka. Prvočísla v rámci prvých troch desiatok: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...

Vlastnosti prvočísel a ich súvislosť so všetkými prirodzenými číslami skúmal Euklides (3. storočie pred Kristom). Ak napíšete prvočísla za sebou, môžete vidieť, že ich relatívna hustota klesá. Na prvých desať z nich pripadá 4, teda 40 %, na sto - 25, t.j. 25 %, promile - 168, t.j. menej ako 17 %, na milión - 78498, t.j. menej ako 8% atď. Ich celkový počet je však nekonečný.

Medzi prvočíslami existujú dvojice takých, medzi ktorými je rozdiel rovný dvom (tzv jednoduché dvojčatá), ale konečnosť alebo nekonečnosť takýchto párov nebola dokázaná.

Euklides považoval za samozrejmé, že vynásobením iba prvočísel možno získať všetky prirodzené čísla a každé prirodzené číslo možno znázorniť ako súčin prvočísel jedinečným spôsobom (až do poradia faktorov). Prvočísla teda tvoria multiplikatívny základ prirodzeného radu.

Štúdium distribúcie prvočísel viedlo k vytvoreniu algoritmu, ktorý umožňuje získať tabuľky prvočísel. Takýto algoritmus je sito Eratosthenes(3. storočie pred Kristom). Táto metóda spočíva v preosievaní (napríklad prečiarknutím) tých celých čísel danej postupnosti
, ktoré sú deliteľné aspoň jedným z prvočísel menším ako
.

Veta 8 . 2 . (Euklidova veta). Počet prvočísel je nekonečný.

Dôkaz. Euklidovu vetu o nekonečnosti počtu prvočísel dokážeme metódou navrhnutou Leonhardom Eulerom (1707–1783). Euler zvažoval súčin nad všetkými prvočíslami p:

pri
. Tento súčin konverguje a ak sa rozšíri, potom sa v dôsledku jedinečnosti rozkladu prirodzených čísel na prvočísla ukáže, že sa rovná súčtu radu , odkiaľ Eulerova identita vyplýva:

.

Od hod
rad vpravo diverguje (harmonický rad), potom Eulerova identita implikuje Euklidovu vetu.

Ruský matematik P.L. Čebyšev (1821 – 1894) odvodil vzorec, ktorý určuje hranice, v ktorých sa nachádza počet prvočísel
, nepresahujúci X:

,

kde
,
.

Ekológia života. Kognitívne: Príroda (vrátane človeka) sa vyvíja podľa zákonov, ktoré sú stanovené v tejto číselnej postupnosti...

Fibonacciho čísla - číselná postupnosť, kde sa každý nasledujúci člen radu rovná súčtu dvoch predchádzajúcich, to znamená: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 , 233, 377, 610, 987 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, .. 75025, .. 3478759200, 5628750625, .. 26093908980000, .. 422297016626 .. rôznych profesionálnych vedcov a amatérov matematiky.

V roku 1997 opísal niekoľko zvláštnych čŕt série výskumník Vladimir Michajlov, ktorý bol presvedčený, že Príroda (vrátane človeka) sa vyvíja podľa zákonov, ktoré sú stanovené v tomto číselnom poradí.

Pozoruhodnou vlastnosťou Fibonacciho číselného radu je, že so zvyšujúcim sa počtom čísel sa pomer dvoch susedných členov tohto radu asymptoticky približuje k presnému pomeru Zlatého rezu (1:1,618) - základu krásy a harmónie v prírody okolo nás, a to aj v medziľudských vzťahoch.

Všimnite si, že sám Fibonacci objavil svoju slávnu sériu, zamýšľajúc sa nad problémom počtu králikov, ktorí by sa mali narodiť z jedného páru do jedného roka. Ukázalo sa, že v každom nasledujúcom mesiaci po druhom sa počet párov králikov presne riadi digitálnou sériou, ktorá teraz nesie jeho meno. Preto nie je náhoda, že sám človek je usporiadaný podľa Fibonacciho radu. Každý orgán je usporiadaný podľa vnútornej alebo vonkajšej duality.

Fibonacciho čísla priťahujú matematikov kvôli ich schopnosti objaviť sa na najneočakávanejších miestach. Zistilo sa napríklad, že pomery Fibonacciho čísel, brané cez jeden, zodpovedajú uhlu medzi susednými listami na stonke rastlín, presnejšie hovoria, aký podiel otočenia je tento uhol: 1/2 - pre brest a lipu, 1/3 - pre buk, 2/5 - pre dub a jabloň, 3/8 - pre topoľ a ružu, 5/13 - pre vŕbu a mandle atď. Rovnaké čísla nájdete pri počítaní semien v slnečnicových špirálach, v počte lúčov odrazených od dvoch zrkadiel, v množstve možností preliezania včiel z jednej bunky do druhej, v mnohých matematických hrách a trikoch.

Aký je rozdiel medzi špirálami zlatého pomeru a Fibonacciho špirálou? Špirála zlatého rezu je dokonalá. Zodpovedá Primárnemu zdroju harmónie. Táto špirála nemá začiatok ani koniec. Tá je nekonečná. Fibonacciho špirála má začiatok, od ktorého sa začína „odvíjať“. Toto je veľmi dôležitá vlastnosť. Umožňuje prírode po ďalšom uzavretom cykle vykonať stavbu novej špirály od „nuly“.

Treba povedať, že Fibonacciho špirála môže byť dvojitá. Existuje mnoho príkladov týchto dvojitých špirál, ktoré sa nachádzajú všade. Takže slnečnicové špirály vždy korelujú so sériou Fibonacci. Aj v obyčajnej šiške môžete vidieť túto dvojitú Fibonacciho špirálu. Prvá špirála ide jedným smerom, druhá - druhým. Ak spočítame počet stupníc v špirále otáčajúcej sa jedným smerom a počet stupníc v druhej špirále, vidíme, že ide vždy o dve po sebe idúce čísla Fibonacciho radu. Počet týchto špirál je 8 a 13. V slnečniciach sú páry špirál: 13 a 21, 21 a 34, 34 a 55, 55 a 89. A od týchto párov nie sú žiadne odchýlky!..

U človeka v súbore chromozómov somatickej bunky (je ich 23 párov) je zdrojom dedičných chorôb 8, 13 a 21 párov chromozómov ...

Prečo však táto séria hrá rozhodujúcu úlohu v prírode? Na túto otázku môže dať vyčerpávajúcu odpoveď pojem triplicita, ktorý určuje podmienky jej sebazáchovy. Ak „rovnovážnosť záujmov“ triády naruší jeden z jej „partnerov“, treba opraviť „názory“ ďalších dvoch „partnerov“. Pojem triplicity sa prejavuje obzvlášť zreteľne vo fyzike, kde „takmer“ všetky elementárne častice boli postavené z kvarkov. Ak si pripomenieme, že pomery zlomkových nábojov kvarkových častíc tvoria sériu a sú to prvé členy Fibonacciho radu, ktoré sú potrebné na vznik ďalších elementárnych častíc.

Je možné, že Fibonacciho špirála môže zohrávať rozhodujúcu úlohu aj pri formovaní vzoru obmedzenosti a uzavretosti hierarchických priestorov. Skutočne si predstavte, že v určitom štádiu evolúcie dosiahla Fibonacciho špirála dokonalosť (stala sa na nerozoznanie od špirály zlatého rezu) az tohto dôvodu sa častica musí transformovať do ďalšej „kategórie“.

Tieto fakty opäť potvrdzujú, že zákon duality dáva nielen kvalitatívne, ale aj kvantitatívne výsledky. Nútia nás myslieť si, že Makrokozmos a Mikrokozmos okolo nás sa vyvíjajú podľa rovnakých zákonov – zákonov hierarchie, a že tieto zákony sú rovnaké pre živú aj neživú hmotu.

Toto všetko tomu nasvedčuje séria Fibonacciho čísel je akýmsi zašifrovaným prírodným zákonom.

Digitálny kód rozvoja civilizácie možno určiť pomocou rôznych metód v numerológii. Napríklad prevodom komplexných čísel na jednotlivé číslice (napríklad 15 je 1+5=6 atď.). Vykonaním podobného postupu sčítania so všetkými komplexnými číslami Fibonacciho série dostal Michajlov nasledujúcu sériu týchto čísel: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 9, 8 , 8, 7, 6, 4, 1, 5, 6, 8, 1, 9, potom sa všetko opakuje 1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 4, 8, 8, .. a opakuje sa znova a znova... Aj tento rad má vlastnosti Fibonacciho radu, každý nekonečne nasledujúci člen sa rovná súčtu predchádzajúcich. Napríklad súčet 13. a 14. termínu je 15, t.j. 8 a 8=16, 16=1+6=7. Ukazuje sa, že tento rad je periodický s periódou 24 termínov, po ktorých sa celé poradie čísel opakuje. Po prijatí tohto obdobia Michajlov predložil zaujímavý predpoklad - Nie je súbor 24 číslic akýmsi digitálnym kódom pre rozvoj civilizácie? publikovaný

PRIHLÁSTE SA na ODBER NÁŠHO youtube kanála Econet.ru, ktorý vám umožňuje sledovať online, sťahovať z YouTube zadarmo video o liečení, omladzovaní človeka. Láska k druhým a k sebeako pocit vysokých vibrácií – dôležitý faktor pri hojení – mieste

Fibonacciho sekvencia, všetkým známym z filmu „Da Vinciho kód“ – séria čísel, ktorú ako hádanku opísal taliansky matematik Leonardo z Pisy, známejší pod prezývkou Fibonacci, v 13. storočí. Stručne povedané, podstata hádanky:

Niekto umiestnil pár králikov do určitého uzavretého priestoru, aby zistil, koľko párov králikov sa počas roka narodí, ak je povaha králikov taká, že každý mesiac pár králikov vyprodukuje ďalší pár, a schopnosť produkovať potomstvo sa objaví po dosiahnutí veku dvoch mesiacov.

Výsledkom je séria čísel: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 , kde je uvedený počet párov králikov v každom z dvanástich mesiacov oddelených čiarkami. Dá sa pokračovať donekonečna. Jeho podstatou je, že každé ďalšie číslo je súčtom predchádzajúcich dvoch.

Táto séria má niekoľko matematických prvkov, ktorých sa treba dotknúť. Asymptoticky (približuje sa čoraz pomalšie) má tendenciu k nejakému konštantnému pomeru. Tento pomer je však iracionálny, to znamená, že ide o číslo s nekonečnou, nepredvídateľnou postupnosťou desatinných číslic v zlomkovej časti. Nedá sa to presne vyjadriť.

Takže pomer ktoréhokoľvek člena radu k tomu, ktorý mu predchádza, kolíše okolo čísla 1,618 , niekedy ju prekoná, inokedy nedosiahne. Pomer k nasledujúcim sa podobne blíži k číslu 0,618 , ktorá je nepriamo úmerná 1,618 . Ak rozdelíme prvky jedným, dostaneme čísla 2,618 a 0,382 , ktoré sú tiež nepriamo úmerné. Ide o takzvané Fibonacciho pomery.

Prečo toto všetko? Blížime sa teda k jednému z najzáhadnejších úkazov prírody. Dômyselný Leonardo v skutočnosti neobjavil nič nové, len pripomenul svetu taký fenomén ako napr. Zlatý rez, ktorá nie je o nič menej dôležitá ako Pytagorova veta.

Rozlišujeme všetky objekty okolo nás, vrátane formy. Niektoré sa nám páčia viac, niektoré menej, niektoré úplne odpudzujú oko. Niekedy môže záujem diktovať životná situácia a niekedy krása pozorovaného objektu. Symetrický a proporcionálny tvar prispieva k najlepšiemu vizuálnemu vnímaniu a navodzuje pocit krásy a harmónie. Holistický obraz sa vždy skladá z častí rôznych veľkostí, ktoré sú v určitom vzťahu medzi sebou a celkom. Zlatý pomer- najvyšší prejav dokonalosti celku a jeho častí vo vede, umení a prírode.

Ak na jednoduchom príklade, tak Zlatý rez je rozdelenie segmentu na dve časti v takom pomere, v ktorom väčšia časť pripadá na menšiu, ako ich súčet (celý segment) k väčšej.

Ak vezmeme celý segment c pozadu 1 , potom segment a sa bude rovnať 0,618 , sekcia b - 0,382 , len tak bude splnená podmienka Zlatého rezu (0,618/0,382=1,618 ; 1/0,618=1,618 ) . Postoj c do a rovná sa 1,618 , a s do b 2,618 . Toto sú všetky rovnaké, nám už známe, Fibonacciho koeficienty.

Samozrejmosťou je zlatý obdĺžnik, zlatý trojuholník a dokonca aj zlatý kváder. Proporcie ľudského tela sa v mnohých ohľadoch blížia Zlatému rezu.

Obrázok: marcus-frings.de

Ale to najzaujímavejšie začína, keď spojíme získané poznatky. Obrázok jasne ukazuje vzťah medzi Fibonacciho postupnosťou a zlatým rezom. Začneme dvoma štvorcami prvej veľkosti. Zhora pridáme štvorec druhej veľkosti. Maľujeme vedľa štvorca so stranou rovnajúcou sa súčtu strán predchádzajúcich dvoch, tretej veľkosti. Analogicky sa objaví štvorec piatej veľkosti. A tak ďalej, kým sa nebudete nudiť, hlavné je, že dĺžka strany každého ďalšieho štvorca sa rovná súčtu dĺžok strán dvoch predchádzajúcich. Vidíme sériu obdĺžnikov, ktorých dĺžky strán sú Fibonacciho čísla a napodiv sa nazývajú Fibonacciho obdĺžniky.

Ak nakreslíme hladkú čiaru cez rohy našich štvorcov, nedostaneme nič iné ako Archimedovu špirálu, ktorej nárast je vždy rovnomerný.

Nič vám to nepripomína?

foto: ethanhein na Flickri

Archimedove špirály nájdete nielen v ulite mäkkýšov, ale v mnohých kvetoch a rastlinách nie sú také zrejmé.

Viaclistá aloe:

foto: pivovarnícke knihy na Flickri

A potom je čas pripomenúť si Zlatý rez! Sú na týchto fotografiách zobrazené niektoré z najkrajších a najharmonickejších výtvorov prírody? A to nie je všetko. Pri bližšom pohľade môžete nájsť podobné vzory v mnohých podobách.

Samozrejme, tvrdenie, že všetky tieto javy sú postavené na Fibonacciho sekvencii, znie príliš nahlas, ale trend je v tvári. A okrem toho, ona sama ani zďaleka nie je dokonalá, ako všetko ostatné na tomto svete.

Existujú špekulácie, že séria Fibonacci je pokusom prírody prispôsobiť sa zásadnejšej a dokonalejšej logaritmickej sekvencii zlatého rezu, ktorá je prakticky rovnaká, len začína odnikiaľ a nikam nevedie. Príroda na druhej strane určite potrebuje nejaký úplný začiatok, z ktorého sa dá odsýpať, nedokáže z ničoho niečo vytvoriť. Pomery prvých členov Fibonacciho postupnosti majú ďaleko od zlatého rezu. Ale čím ďalej sa po nej pohybujeme, tým viac sa tieto odchýlky vyhladzujú. Na určenie akejkoľvek série stačí poznať troch jej členov, idúcich jeden po druhom. Ale nie na zlatú postupnosť, stačia na ňu dve, je to geometrický a aritmetický postup zároveň. Možno si myslíte, že je základom pre všetky ostatné sekvencie.

Každý člen zlatej logaritmickej postupnosti je mocnosťou Zlatého pomeru ( z). Časť riadku vyzerá asi takto: ... z-5; z-4; z-3; z-2; z-1; z0; z1; z2; z3; z4; z 5... Ak zaokrúhlime hodnotu Zlatého pomeru na tri desatinné miesta, dostaneme z = 1,618, riadok potom vyzerá takto: ... 0,090 0,146; 0,236; 0,382; 0,618; 1; 1,618; 2,618; 4,236; 6,854; 11,090 ... Každý ďalší výraz možno získať nielen vynásobením predchádzajúceho 1,618 , ale aj pridaním dvoch predchádzajúcich. Exponenciálny rast sa teda dosiahne jednoduchým pridaním dvoch susedných prvkov. Ide o sériu bez začiatku a konca a presne týmto sa Fibonacciho sekvencia snaží byť. S dobre definovaným začiatkom sa usiluje o ideál, ale nikdy ho nedosahuje. Taký je život.

A predsa sa v súvislosti so všetkým videným a čítaným vynárajú celkom prirodzené otázky:
Odkiaľ sa vzali tieto čísla? Kto je tento architekt vesmíru, ktorý sa ho snažil urobiť dokonalým? Bolo to niekedy tak, ako chcel, aby to bolo? A ak áno, prečo sa to nepodarilo? Mutácie? Slobodná voľba? čo bude ďalej? Krúti sa cievka alebo sa krúti?

Keď nájdeš odpoveď na jednu otázku, dostaneš ďalšiu. Ak ho vyriešite, získate dva nové. Vyrovnajte sa s nimi, objavia sa ďalšie tri. Po ich vyriešení získate päť nevyriešených. Potom osem, potom trinásť, 21, 34, 55...

Zdroje: ; ; ;

ŠTÁTNA VZDELÁVACIA INŠTITÚCIA

"STREDNÁ ŠKOLA KRIVĽANSKAYA"

OKRES ZHABINKO

FIBONACCIHO ČÍSLA A ZLATÝ POMER

Výskum

Práca dokončená:

Žiak 10. ročníka

Záhradkárka Valeria Alekseevna

vedúci:

Lavrenyuk Larisa Nikolaevna,

učiteľ informatiky a

matematika 1 kvalifikácia

Fibonacciho čísla a povaha

Charakteristickým znakom stavby rastlín a ich vývoja je helicita. Aj Goethe, ktorý bol nielen veľkým básnikom, ale aj prírodovedcom, považoval helicitu za jednu z charakteristických čŕt všetkých organizmov, za prejav najvnútornejšej podstaty života. Úponky rastlín sa špirálovito krútia, v kmeňoch stromov špirálovito rastie pletivo, špirálovito sú usporiadané semená v slnečnici, pri raste koreňov a výhonkov sa pozorujú špirálovité pohyby (nutácie).

Na prvý pohľad sa môže zdať, že počet listov, kvetov sa môže meniť vo veľmi širokom rozmedzí a nadobúdať akékoľvek hodnoty. Takýto záver sa však ukazuje ako neudržateľný. Štúdie ukázali, že počet orgánov s rovnakým názvom v rastlinách nie je ľubovoľný, existujú hodnoty, ktoré sa často vyskytujú, a hodnoty, ktoré sú veľmi zriedkavé.

Vo voľnej prírode sú rozšírené formy založené na päťuholníkovej symetrii - hviezdice, morské ježovky, kvety.

Fotografia 13. Maslák

Harmanček má 55 alebo 89 okvetných lístkov.

Fotografia 14. Harmanček

Feverfew má 34 okvetných lístkov.

Phot. pätnásť. Pyrethrum

Pozrime sa na šišku. Šupiny na jeho povrchu sú usporiadané striktne pravidelne - pozdĺž dvoch špirál, ktoré sa pretínajú približne v pravom uhle. Počet takýchto špirál v šiškách je 8 a 13 alebo 13 a 21.

Fotografia 16. Kužeľ

V slnečnicových košíkoch sú semená tiež usporiadané do dvoch špirál, ich počet je zvyčajne 34/55, 55/89.

Fotografia 17. Slnečnica

Poďme sa pozrieť na mušle. Ak spočítame počet „spevňujúcich rebier“ pre prvú náhodne odobranú škrupinu – vyšlo nám 21. Zoberme si druhú, tretiu, piatu, desiatu škrupinu – všetky budú mať na povrchu 21 rebier. Je vidieť, že mäkkýše neboli len dobrými inžiniermi, ale „poznali“ Fibonacciho čísla.

Fotografia 18. Shell

Opäť tu vidíme pravidelnú kombináciu Fibonacciho čísel umiestnených vedľa seba: 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21, 21/34, 34/55, 55/89. Ich pomer v limite smeruje k zlatému rezu, vyjadrený číslom 0,61803 ...

Fibonacciho čísla a zvieratá

Počet lúčov u hviezdice zodpovedá sérii Fibonacciho čísel alebo im veľmi blízkych a rovná sa 5,8, 13.21.34.55.

Fotografia 19. Hviezdica

Moderné článkonožce sú veľmi rozmanité. Homár má tiež päť párov nôh, päť pierok na chvoste, brucho je rozdelené na päť segmentov a každá noha sa skladá z piatich častí.

Phot. dvadsať. homára ostnatého

U niektorých druhov hmyzu pozostáva brucho z ôsmich segmentov, má tri páry končatín pozostávajúce z ôsmich častí a z ústneho otvoru vystupuje osem rôznych anténovitých orgánov. Náš známy komár má tri páry nôh, brucho je rozdelené na osem segmentov a na hlave je päť tykadiel. Larva komára je rozdelená na 12 segmentov.

Phot. 21. Komár

U kapustovej mušky je brucho rozdelené na päť častí, tri páry nôh a larva je rozdelená na osem segmentov. Každé z dvoch krídel je rozdelené na osem častí tenkými žilami.

Húsenice mnohých druhov hmyzu sú rozdelené do 13 segmentov, napríklad kožojed, múčnik, mauritánsky booger. Vo väčšine škodcov je húsenica rozdelená na 13 segmentov. Štruktúra nôh chrobákov je veľmi charakteristická. Každá noha pozostáva z troch častí, ako u vyšších zvierat - z ramena, predlaktia a labky. Tenké, prelamované labky chrobákov sú rozdelené do piatich častí.

Prelamované, priehľadné, beztiažové krídla vážky sú majstrovským dielom "inžinierskych" schopností prírody. Aké proporcie sú základom dizajnu tohto malého lietajúceho svalového auta? Pomer rozpätia krídel k dĺžke tela u mnohých vážok je 4/3. Telo vážky je rozdelené na dve hlavné časti: masívne telo a dlhý tenký chvost. Telo je rozdelené na tri časti: hlava, hrudník, brucho. Brucho je rozdelené na päť segmentov a chvost pozostáva z ôsmich častí. Tu je ešte potrebné pridať tri páry nôh s ich rozdelením na tri časti.

Phot. 22. Vážka

V tejto postupnosti rozdelenia celku na časti je ľahké vidieť rozšírenie radu Fibonacciho čísel. Dĺžka chvosta, tela a celková dĺžka vážky sú vzájomne prepojené zlatým rezom: pomer dĺžok chvosta a tela sa rovná pomeru celkovej dĺžky k dĺžke chvosta.

Nie je prekvapujúce, že vážka vyzerá tak dokonale, pretože je vytvorená podľa zákonov zlatého rezu.

Pohľad na korytnačku na pozadí prasknutého takyra je úžasný jav. V strede panciera je veľké oválne pole s veľkými zrastenými rohovitými platňami a po okrajoch je okraj menších platničiek.

Phot. 23. Korytnačka

Vezmite si akúkoľvek korytnačku - od močiarnej korytnačky blízko nás po obrovskú morskú korytnačku - polievkovú korytnačku - a uvidíte, že vzor na pancieri je podobný: na oválnom poli je 13 tavených rohov - 5 v strede a 8 - pozdĺž okrajov a na obvodovom okraji asi 21 dosiek (korytnačka čilská má presne 21 dosiek po obvode panciera). Korytnačky majú na labkách 5 prstov a chrbtica pozostáva z 34 stavcov. Je ľahké vidieť, že všetky tieto množstvá zodpovedajú Fibonacciho číslam. V dôsledku toho sa vývoj korytnačky, formovanie jej tela, rozdelenie celku na časti uskutočňovali podľa zákona série Fibonacciho čísel.

Cicavce sú najvyšším druhom zvierat na planéte. Počet rebier v mnohých živočíšnych druhoch sa rovná alebo sa blíži k trinástim. U úplne iných cicavcov - veľryba, ťava, jeleň, túra - je počet rebier 13 ± 1. Počet stavcov sa veľmi líši, najmä kvôli chvostom, ktoré môžu byť rôzne dlhé aj u toho istého zvieraťa druhov. Ale v mnohých z nich je počet stavcov rovný alebo blízky 34 a 55. Takže 34 stavcov u obrovského jeleňa, 55 u veľryby.

Kostra končatín domácich zvierat pozostáva z troch rovnakých kostných článkov: ramenná (panvová) kosť, kosť predlaktia (holeň) a kosť labky (chodidlo). Chodidlo sa zase skladá z troch kostených článkov.

Počet zubov mnohých domácich zvierat má tendenciu k Fibonacciho číslam: králik má 14 párov, pes, prasa, kôň má 21 ± 1 párov zubov. U voľne žijúcich zvierat sa počet zubov líši viac: u jedného vačnatého predátora je to 54, u hyeny - 34, u jedného z druhov delfínov dosahuje 233. Celkový počet kostí v kostre domácich zvierat (vrátane zuby) v jednej skupine je takmer 230 a druhá - 300. Treba poznamenať, že malé sluchové kostičky a nestále kostičky nie sú zahrnuté v počte kostí kostry. Ak ich vezmeme do úvahy, celkový počet kostrových kostí u mnohých zvierat sa priblíži k 233, zatiaľ čo u iných presiahne 300. Ako vidíte, delenie tela sprevádzané vývojom kostry sa vyznačuje diskrétna zmena v počte kostí v rôznych orgánoch zvierat a tieto čísla zodpovedajú Fibonacciho číslam alebo im sú veľmi blízke a tvoria sériu 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 Pomer veľkostí pre väčšinu kuracích vajec je 4:3 (u niektorých 3/2), tekvicové semienka - 3:2, semienka melónu - 3/2. Pomer dĺžky borovicových šišiek k ich priemeru bol zistený 2:1. Veľkosť brezových listov je v priemere veľmi blízka a žalude - 5: 2.

Predpokladá sa, že ak je potrebné rozdeliť kvetinový trávnik na dve časti (tráva a kvety), potom by tieto pásy nemali mať rovnakú šírku, bude krajšie, ak ich vezmete v pomere 5: 8 alebo 8:13, t.j. použite pomer nazývaný zlatý rez.

Fibonacciho čísla a fotografie

Ako sa používa vo fotografickom umení, pravidlo zlatého rezu rozdeľuje rám pomocou dvoch horizontálnych a dvoch vertikálnych čiar na 9 nerovnakých obdĺžnikov. Aby si fotografi uľahčili fotografovanie vyvážených záberov, trochu zjednodušili túto úlohu a začali rozdeľovať záber na 9 rovnakých obdĺžnikov podľa Fibonacciho čísel. Takže pravidlo zlatého rezu sa pretransformovalo na pravidlo tretín, ktoré odkazuje na jeden z princípov kompozície.

Phot. 24. Rám a zlatý rez

V hľadáčikoch moderných digitálnych fotoaparátov sú zaostrovacie body umiestnené na pozíciách 2/8 alebo na pomyselných čiarach rozdeľujúcich rám podľa pravidla zlatého rezu.

Fotografia 25. Digitálny fotoaparát a zaostrovacie body

Fotografia 26.

Fotografia 27. Fotografia a zaostrovacie body

Pravidlo tretín platí pre všetky kompozície objektu: fotíte krajinu alebo portrét, zátišie alebo reportáž. Pokiaľ sa váš zmysel pre harmóniu nestane nadobudnutým a nevedomým, dodržiavanie jednoduchého pravidla tretín vám umožní robiť snímky, ktoré sú výrazné, harmonické, vyvážené.

Fotografia 28. Fotografia a pomer neba a zeme 1 ku 2.

Najúspešnejším príkladom na ukážku je krajina. Princíp kompozície je taký, že obloha a zem (alebo vodná hladina) by mali mať pomer 1:2. Jedna tretina rámu by sa mala odoberať pod oblohou a dve tretiny pod zemou alebo naopak.

Fotografia 29. Fotografia špirálovitého kvetu

Fibonacci a vesmír

Pomer vody a pôdy na planéte Zem je 62 % a 38 %.

Rozmery Zeme a Mesiaca sú v zlatom reze.

Fotografia 30. Rozmery Zeme a Mesiaca

Obrázok ukazuje relatívne veľkosti Zeme a Mesiaca v mierke.

Nakreslíme polomer Zeme. Nakreslíme úsečku z centrálneho bodu Zeme do centrálneho bodu Mesiaca, ktorého dĺžka bude rovnaká). Nakreslíme čiaru, ktorá spojí tieto dve čiary a vytvorí trojuholník. Získame zlatý trojuholník.

Saturn ukazuje zlatý rez vo viacerých svojich rozmeroch

Fotografia 31. Saturn a jeho prstence

Priemer Saturnu je veľmi blízko k zlatému rezu s priemerom prstencov, ako ukazujú zelené čiary.Polomer invnútro krúžkov je v pomere veľmi blízkom k vonkajšiemu priemeru krúžkov, ako je znázornené modrou čiarou.

Vzdialenosť planét od Slnka sa tiež riadi zlatým rezom.

Fotografia 32. Vzdialenosť planét od Slnka

Zlatý rez v každodennom živote

Zlatý rez sa používa aj na dodanie štýlu a príťažlivosti marketingu a dizajnu produktov každodennej spotreby. Príkladov je veľa, ale uvedieme len niektoré.

Fotografia 33. EmblémToyota

Fotografia 34. Zlatý rez a oblečenie

Fotografia 34. Zlatý pomer a automobilový dizajn

Fotografia 35. EmblémApple

Fotografia 36. EmblémGoogle

Praktický výskum

Teraz získané poznatky uplatníme v praxi. Najprv urobme merania medzi žiakmi v 8. ročníku.

Ak sa pozriete pozorne na televízny obraz, jeho rozmery budú 16 až 9 alebo 16 až 10, čo je tiež blízko zlatého rezu.

Vykonávanie meraní a stavieb v CorelDRAW X4 a pomocou rámca zo spravodajského kanála Russia 24 môžete nájsť nasledovné:

a) pomer dĺžky k šírke rámu je 1,7.

b) osoba v zábere sa nachádza presne v bodoch zaostrenia umiestnených vo vzdialenosti 3/8.

Ďalej sa obráťme na oficiálny mikroblog novín Izvestija, inými slovami, na stránku Twitter. Na obrazovke monitora so stranami 4:3 vidíme, že „hlavička“ stránky je 3/8 celej výšky stránky.

Pri bližšom pohľade na vojenské čiapky nájdete nasledovné:

a) čiapka ministra obrany Ruskej federácie má pomer uvedených častí 21,73 ku 15,52, čo sa rovná 1,4.

b) čiapka pohraničnej stráže Bieloruskej republiky má rozmery uvedených častí 44,42 až 21,33, čo sa rovná 2,1.

c) čiapka z čias ZSSR má rozmery uvedených častí 49,67 až 31,04, čo sa rovná 1,6.

U tohto modelu je dĺžka šiat 113,13 mm.

Ak „dokončíte“ šaty na „ideálnu“ dĺžku, dostaneme tento obrázok.

Všetky merania majú určitú chybu, pretože boli prevzaté z fotografie, čo nám nebráni vidieť trend - všetko, čo je ideálne, obsahuje v tej či onej miere zlatý rez.

Záver

Svet divokej prírody sa nám javí úplne inak – mobilný, premenlivý a prekvapivo rozmanitý. Život nám ukazuje fantastický karneval rozmanitosti a originality kreatívnych kombinácií! Svet neživej prírody je predovšetkým svetom symetrie, ktorá dáva jeho výtvorom stabilitu a krásu. Svet prírody je predovšetkým svetom harmónie, v ktorom funguje „zákon zlatého rezu“.

“Zlatý pomer“ sa javí ako moment pravdy, bez ktorého vo všeobecnosti nie je možné čokoľvek, čo existuje. Čokoľvek berieme ako prvok výskumu, „zlatý rez“ bude všade; aj keď to nie je viditeľné, potom sa to nevyhnutne deje na energetickej, molekulárnej alebo bunkovej úrovni.

Príroda sa skutočne ukazuje ako monotónna (a teda jednotná!) v prejavovaní svojich základných zákonov. „Najúspešnejšie“ riešenia, ktoré našla, sa vzťahujú na najrozmanitejšie objekty, na najrozmanitejšie formy organizácie. Kontinuita a diskrétnosť organizácie vychádza z duálnej jednoty hmoty – jej korpuskulárnej a vlnovej povahy, preniká do chémie, kde dáva zákony celočíselnej stechiometrie, chemické zlúčeniny konštantného a premenlivého zloženia. V botanike nachádza kontinuita a diskrétnosť svoje špecifické vyjadrenie vo fylotaxii, kvantách diskrétnosti, rastových kvantách, jednote diskrétnosti a kontinuite organizácie časopriestoru. A teraz sa v číselných pomeroch rastlinných orgánov objavuje „princíp viacnásobných pomerov“, ktorý zaviedol A. Gursky – úplné zopakovanie základného zákona chémie.

Samozrejme, tvrdenie, že všetky tieto javy sú postavené na Fibonacciho sekvencii, znie príliš nahlas, ale trend je jasný. A okrem toho, ona sama ani zďaleka nie je dokonalá, ako všetko ostatné na tomto svete.

Existujú špekulácie, že séria Fibonacci je pokusom prírody prispôsobiť sa zásadnejšej a dokonalejšej logaritmickej sekvencii zlatého rezu, ktorá je prakticky rovnaká, len začína odnikiaľ a nikam nevedie. Príroda na druhej strane určite potrebuje nejaký úplný začiatok, z ktorého sa dá odsýpať, nedokáže z ničoho niečo vytvoriť. Pomery prvých členov Fibonacciho postupnosti majú ďaleko od zlatého rezu. Ale čím ďalej sa po nej pohybujeme, tým viac sa tieto odchýlky vyhladzujú. Na určenie akejkoľvek série stačí poznať troch jej členov, idúcich jeden po druhom. Ale nie na zlatú postupnosť, stačia na ňu dve, je to geometrický a aritmetický postup zároveň. Možno si myslíte, že je základom pre všetky ostatné sekvencie.

Každý člen zlatej logaritmickej postupnosti je stupňom zlatého pomeru (). Časť riadku vyzerá asi takto:... ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ... Ak zaokrúhlime hodnotu Zlatého pomeru na tri desatinné miesta, dostaneme=1,618 , riadok potom vyzerá takto:... 0,090 0,146; 0,236; 0,382; 0,618; 1; 1,618; 2,618; 4,236; 6,854; 11,090 ... Každý ďalší výraz možno získať nielen vynásobením predchádzajúceho1,618 , ale aj pridaním dvoch predchádzajúcich. Exponenciálny rast sa teda dosiahne jednoduchým pridaním dvoch susedných prvkov. Ide o sériu bez začiatku a konca a presne týmto sa Fibonacciho sekvencia snaží byť. S dobre definovaným začiatkom sa usiluje o ideál, ale nikdy ho nedosahuje. Taký je život.

A predsa sa v súvislosti so všetkým videným a čítaným vynárajú celkom prirodzené otázky:
Odkiaľ sa vzali tieto čísla? Kto je tento architekt vesmíru, ktorý sa ho snažil urobiť dokonalým? Bolo to niekedy tak, ako chcel, aby to bolo? A ak áno, prečo sa to nepodarilo? Mutácie? Slobodná voľba? čo bude ďalej? Krúti sa cievka alebo sa krúti?

Keď nájdeš odpoveď na jednu otázku, dostaneš ďalšiu. Ak ho vyriešite, získate dva nové. Vyrovnajte sa s nimi, objavia sa ďalšie tri. Po ich vyriešení získate päť nevyriešených. Potom osem, potom trinásť, 21, 34, 55...

Zoznam použitých zdrojov

Vasyutinskiy, N. Zlatý podiel / Vasyutinskiy N, Moskva, Mladá garda, 1990, - 238 s. - (Heuréka).

Vorobyov, N.N. Fibonacciho čísla,

Režim prístupu: . Dátum prístupu: 17.11.2015.

Režim prístupu: . Dátum prístupu: 16.11.2015.

Režim prístupu: . Dátum prístupu: 13. 11. 2015.

(Fibonacciho čísla, anglická Fibonacciho postupnosť, Fibonacciho čísla) - séria čísel odvodených slávnym matematikom Fibonaccim. Má nasledujúci tvar: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181 atď.

História Fibonacciho série

Leonardo z Pisy (Fibonacci) prišiel k matematike z praktickej potreby nadväzovania obchodných kontaktov. V mladosti Fibonacci veľa cestoval, sprevádzal svojho otca na rôznych služobných cestách, čo mu umožnilo komunikovať s miestnymi vedcami.

Séria čísel, ktorá dnes nesie jeho meno, bola odvodená od problému s králikmi, ktorý autor opísal v knihe s názvom „Liber abacci“ (1202): muž vložil pár králikov do ohrady obklopenej zo všetkých strán stenou. . Otázka: Koľko párov králikov môže tento pár vyprodukovať za rok, ak je známe, že každý mesiac, počnúc druhým mesiacom, každý pár vyprodukuje ďalší pár králikov.

V dôsledku toho Fibonacci určil, že počet párov králikov v každom z nasledujúcich dvanástich mesiacov bude:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

Kde každé nasledujúce číslo je súčtom predchádzajúcich dvoch. Toto je séria (čísla) Fibonacciho. Táto postupnosť má mnoho vlastností, ktoré sú zaujímavé z matematického hľadiska. Ak napríklad rozdelíte čiaru na 2 segmenty tak, že pomer medzi menším a väčším segmentom je úmerný pomeru medzi väčším segmentom a celou čiarou, získate faktor proporcionality známy ako zlatý rez. Približne sa rovná 0,618. Renesanční vedci verili, že práve tento podiel, ak je pozorovaný v architektonických štruktúrach, je pre oči najpríjemnejší.

Aplikácia Fibonacciho série

Séria Fibonacci našla široké uplatnenie v rôznych oblastiach vedy a života. Napríklad v prírode: v štruktúre hurikánov, mušlí a dokonca aj galaxií. Výnimkou nebol ani devízový trh, kde sa na predpovedanie trendov začal používať postupný rad čísel. Treba poznamenať, že medzi týmito číslami existuje nemenný vzťah. Napríklad, ako je uvedené vyššie, pomer predchádzajúceho čísla k nasledujúcemu sa asymptoticky blíži k 0,618 (zlatý pomer). Pomer určitého čísla k predchádzajúcemu tiež smeruje k hodnote 0,618.

Okrem predpovedania trendov sa Fibonacciho čísla na Forexe používajú na predpovedanie smeru pohybu cien. Napríklad obrat trendu pozdĺž zlatého rezu nastáva na úrovni približne 61,8 % predchádzajúcej zmeny ceny (pozri obr. 1). Preto by najziskovejšou možnosťou v tomto prípade bolo zatvorenie pozície tesne pod touto úrovňou. Na základe Fibonacciho série môžete vypočítať najziskovejšie momenty pre uzatváranie a otváranie obchodov.

Jedným zo spôsobov, ako použiť po sebe idúce čísla Fibonacciho série na Forexovom trhu, je stavať oblúky. Výber stredu pre takýto oblúk nastáva v bode dôležitého dna alebo stropu. Polomer oblúkov sa vypočíta vynásobením Fibonacciho pomerov hodnotou predchádzajúceho výrazného nárastu alebo poklesu cien.

Voliteľné koeficienty sú 0,333, 0,382, 0,4, 0,5, 0,6, 0,618, 0,666. Umiestnenie oblúkov určuje ich úlohu: podpora alebo odpor. Pre predstavu aj o čase výskytu cenových pohybov sa zvyčajne používajú oblúky v spojení s rýchlostnými alebo vejárovými čiarami.

Princíp ich konštrukcie je podobný: musíte vybrať body minulých extrémov a nakresliť vodorovnú čiaru z hornej časti prvého z nich a zvislú čiaru z vrcholu druhého. Potom by ste mali rozdeliť výsledný vertikálny segment na časti zodpovedajúce koeficientom, nakresliť lúče prichádzajúce z prvého bodu cez novo vybrané. Pri použití pomerov 2/3 a 1/3 sa získajú vysokorýchlostné vedenia, s prísnejšími 0,618, 0,5 a 0,382 - ventilátorové vedenia. Všetky slúžia ako línie podpory alebo odporu pre cenový trend (pozri obrázok 2).

Križovanie oblúkov a línií ventilátora slúži ako signály pre určenie bodov obratu trendu - v čase aj v cene.

(Obr. 2 - Fibonacciho séria, kreslenie oblúkov)

Viac volatilné menové páry sa vyznačujú dosahovaním vyšších Fibonacciho úrovní v porovnaní s menej volatilnými. Maximálne pohyby sa zaznamenávajú pre páry dolár/frank a libra/dolár, za ktorými nasledujú dolár/jen a euro/dolár.

Použitie série Fibonacci na menovom trhu Forex má jednu vlastnosť - možno ich použiť iba na dobré impulzné pohyby.