Като се има предвид права циркулярна. Пресечна точка на цилиндър и конус

Диагностичната работа се състои от две части, включващи 19 задачи. Част 1 съдържа 8 задачи с основно ниво на сложност с кратък отговор. Част 2 съдържа 4 задачи с повишено ниво на сложност с кратък отговор и 7 задачи с повишено и високо ниво на сложност с подробен отговор.
За извършване на диагностична работа по математика се отделят 3 часа 55 минути (235 минути).
Отговорите на задачи 1-12 се записват като цяло число или крайна десетична дроб. Напишете числата в полетата за отговори в текста на работата и след това ги прехвърлете в листа за отговори № 1. Когато изпълнявате задачи 13-19, трябва да запишете пълното решение и отговора на листа за отговори № 1. 2.
Всички формуляри са попълнени с ярко черно мастило. Разрешено е използването на гел, капилярни или писалки.
Когато изпълнявате задачи, можете да използвате чернова. Черновите не се зачитат за оценка на работата.
Точките, които получавате за изпълнени задачи се сумират.
Желаем Ви успех!

Условия на задачата

1. Намерете дали
2. За получаване на уголемен образ на електрическа крушка на екрана в лабораторията се използва събирателна леща с главно фокусно разстояние = 30 см. Разстоянието от лещата до електрическата крушка може да варира от 40 до 65 см, а разстоянието от обектива до екрана - в диапазона от 75 до 100 см. Изображението на екрана ще бъде ясно, ако съотношението е спазено. Посочете най-голямото разстояние от лещата, на което може да се постави електрическата крушка, така че изображението й на екрана да е ясно. Изразете отговора си в сантиметри.
3. Корабът преминава по реката до местоназначението в продължение на 300 км и след паркиране се връща в точката на отплаване. Намерете скоростта на течението, ако скоростта на кораба в неподвижна вода е 15 km / h, паркирането продължава 5 часа и корабът се връща в точката на тръгване 50 часа след като я напусне. Дайте своя отговор в км/ч.
4. Намерете най-малката стойност на функция върху отсечка
5. а) Решете уравнението б) Намерете всички корени на това уравнение, които принадлежат на отсечката
6. Даден е прав кръгов конус с връх М. Аксиално сечение на конуса - триъгълник с ъгъл 120 ° на върха М. Конусният генератор е. Чрез точката Мчаст от конуса е начертана перпендикулярно на една от образуващите.
   а) Докажете, че полученият триъгълник е тъп триъгълник.
   б) Намерете разстоянието от центъра Оосновата на конуса към равнината на сечението.
7. Решете уравнението
8. Кръг с център Одокосва отстрани ABравнобедрен триъгълник abc,странични разширения ACи продължение на основата слънцев точката н. Точка М- средата на основата слънце
   а) Докажете това MN=AC.
   б) Намерете ОПЕРАЦИОННА СИСТЕМА,ако страните на триъгълника ABCса 5, 5 и 8.
9. Бизнес проект "А" предполага увеличение на инвестираните в него суми с 34,56% годишно през първите две години и с 44% годишно през следващите две години. Проект B предполага растеж с постоянно цяло число нпроцента годишно. Намерете най-малката стойност н, при който за първите четири години проект „Б” ще бъде по-доходоносен от проект „А”.
10. Намерете всички стойности на параметъра , , за всяка от които системата от уравнения има единственото решение
11. Аня играе игра: две различни естествени числа са написани на дъската и , и двете са по-малки от 1000. Ако и двете са естествени числа, тогава Аня прави ход - тя заменя предишните с тези две числа. Ако поне едно от тези числа не е естествено число, тогава играта приключва.
    а) Може ли играта да продължи точно три хода?
    б) Има ли две начални числа, така че играта да продължи поне 9 хода?
    в) Аня направи първия ход в играта. Намерете възможно най-голямото отношение на произведението на получените две числа към произведението

Нека е даден прав кръгъл цилиндър, хоризонталната равнина на проекциите е успоредна на основата му. Когато цилиндърът е пресечен от равнина в общо положение (приемаме, че равнината не пресича основите на цилиндъра), пресечната линия е елипса, самото сечение има формата на елипса, хоризонталната му проекция съвпада с проекция на основата на цилиндъра, а предната също има формата на елипса. Но ако режещата равнина сключва ъгъл, равен на 45 ° с оста на цилиндъра, тогава сечението, което има формата на елипса, се проектира от кръг върху тази равнина на проекциите, към която сечението е наклонено по същия начин ъгъл.

Ако режещата равнина пресича страничната повърхност на цилиндъра и една от неговите основи (фиг. 8.6), тогава линията на пресичане има формата на непълна елипса (част от елипса). Хоризонталната проекция на сечението в този случай е част от окръжността (проекция на основата), а фронталната е част от елипсата. Равнината може да бъде разположена перпендикулярно на всяка проекционна равнина, тогава сечението ще бъде проектирано върху тази проекционна равнина чрез права линия (част от следата на секущата равнина).

Ако цилиндърът е пресечен от равнина, успоредна на генератора, тогава линиите на пресичане със страничната повърхност са прави, а самото сечение има формата на правоъгълник, ако цилиндърът е прав, или паралелограм, ако цилиндърът е наклонен.

Както знаете, както цилиндърът, така и конусът са образувани от линейчати повърхности.

Линията на пресичане (линия на срязване) на линейката и равнината в общия случай е известна крива, която се изгражда от точките на пресичане на образуващите със секущата равнина.

Нека се даде прав кръгъл конус.При пресичането й с равнина линията на пресичане може да приеме формата на: триъгълник, елипса, окръжност, парабола, хипербола (фиг. 8.7) в зависимост от местоположението на равнината.

Триъгълник се получава, когато сечащата равнина, пресичаща конуса, минава през неговия връх. В този случай линиите на пресичане със страничната повърхност са прави линии, пресичащи се в горната част на конуса, които заедно с линията на пресичане на основата образуват триъгълник, проектиран върху проекционните равнини с изкривяване. Ако равнината пресича оста на конуса, то в сечението се получава триъгълник, в който ъгълът с върха, съвпадащ с върха на конуса, ще бъде максимален за триъгълните сечения на дадения конус. В този случай сечението се проектира върху хоризонталната проекционна равнина (тя е успоредна на нейната основа) чрез сегмент с права линия.

Линията на пресичане на равнина и конус ще бъде елипса, ако равнината не е успоредна на нито една от образуващите на конуса. Това е еквивалентно на факта, че равнината пресича всички образуващи (цялата странична повърхност на конуса). Ако режещата равнина е успоредна на основата на конуса, тогава пресечната линия е кръг, самото сечение се проектира върху хоризонталната проекционна равнина без изкривяване, а върху челната равнина - като сегмент с права линия.

Линията на пресичане ще бъде парабола, когато секущата равнина е успоредна само на една образуваща на конуса. Ако режещата равнина е успоредна на две образуващи едновременно, тогава пресечната линия е хипербола.

Пресечен конус се получава, ако прав кръгов конус се пресече с равнина, успоредна на основата и перпендикулярна на оста на конуса, и горната част се изхвърли. В случай, че хоризонталната проекционна равнина е успоредна на основите на пресечения конус, тези основи се проектират върху хоризонталната проекционна равнина без изкривяване от концентрични окръжности, а фронталната проекция е трапец. Когато пресечен конус е пресечен от равнина, в зависимост от местоположението му, линията на срязване може да приеме формата на трапец, елипса, кръг, парабола, хипербола или част от една от тези криви, чиито краища са свързани с права.

V цилиндър \u003d S основен. ч

Пример 2Даден е прав кръгъл конус ABC, равностранен, BO = 10. Намерете обема на конуса.

Решение

Намерете радиуса на основата на конуса. C \u003d 60 0, B \u003d 30 0,

Нека OS = а, тогава BC = 2 а. Според теоремата на Питагор:

Отговор: .

Пример 3. Изчислете обемите на фигурите, образувани от въртенето на площите, ограничени от посочените линии.

y2=4x; y=0; х=4.

Граници на интегриране a = 0, b = 4.

V= | =32π

Задачи

Опция 1

1. Аксиалното сечение на цилиндъра е квадрат, чийто диагонал е 4 dm. Намерете обема на цилиндъра.

2. Външният диаметър на кухата сфера е 18 см, дебелината на стената е 3 см. Намерете обема на стените на сферата.

х фигура, ограничена от прави y 2 =x, y=0, x=1, x=2.

Вариант 2

1. Радиусите на три топки са 6 см, 8 см, 10 см. Определете радиуса на топката, чийто обем е равен на сбора от обемите на тези топки.

2. Площта на основата на конуса е 9 cm 2, общата му повърхност е 24 cm 2. Намерете обема на конуса.

3. Изчислете обема на тялото, образувано от въртене около оста O хфигура, ограничена от прави y 2 =2x, y=0, x=2, x=4.

Контролни въпроси:

1. Напишете свойствата на обемите на телата.

2. Напишете формула за изчисляване на обема на въртеливо тяло около оста Oy.

Въведение

Съответствие на темата на изследването.Коничните сечения вече са били известни на математиците от Древна Гърция (например Менехмус, 4 век пр.н.е.); с помощта на тези криви бяха решени някои строителни проблеми (удвояване на куба и т.н.), които се оказаха недостъпни при използване на най-простите чертожни инструменти - пергели и линийки. В първите изследвания, достигнали до нас, гръцките геометри са получили конични сечения чрез начертаване на режеща равнина, перпендикулярна на една от образуващите, докато в зависимост от ъгъла на отваряне на върха на конуса (т.е. най-големият ъгъл между образуващите на една кухина), линията на пресичане се оказа елипса, ако този ъгъл е остър, той е парабола, ако е прав ъгъл, и хипербола, ако е тъп. Най-пълната работа, посветена на тези криви, е "Коничните сечения" на Аполоний от Перга (около 200 г. пр. н. е.). По-нататъшният напредък в теорията на коничните сечения е свързан със създаването през 17 век. нови геометрични методи: проективни (френските математици Ж. Дезарг, Б. Паскал) и особено координатни (френските математици Р. Декарт, П. Ферма).

Интересът към коничните сечения винаги е бил подкрепян от факта, че тези криви често се срещат в различни природни явления и в човешката дейност. В науката коничните сечения придобиха особено значение, след като немският астроном И. Кеплер откри от наблюдения, а английският учен И. Нютон теоретично обоснова законите на движението на планетите, един от които гласи, че планетите и кометите на Слънчевата система се движат по конична участъци, в един от фокусите на които е Слънцето. Следните примери се отнасят за определени видове конични сечения: снаряд или камък, хвърлен наклонено към хоризонта, описва парабола (правилната форма на кривата е донякъде изкривена от съпротивлението на въздуха); в някои механизми се използват елиптични зъбни колела („елиптични зъбни колела“); хиперболата служи като графика на обратна пропорционалност, често наблюдавана в природата (например законът на Бойл-Мариот).

Цел на работата:

Изучаване на теорията на коничните сечения.

Тема на изследването:

Конични сечения.

Цел на изследването:

Теоретично изучавайте характеристиките на коничните сечения.

Обект на изследване:

Конични сечения.

Предмет на изследване:

Историческо развитие на коничните сечения.

1. Образуване на конични сечения и техните видове

Коничните сечения са прави, които се образуват в сечението на прав кръгов конус с различни равнини.

Обърнете внимание, че коничната повърхност е повърхност, образувана от движението на права линия, която минава през цялото време през фиксирана точка (върха на конуса) и пресича през цялото време фиксирана крива - водач (в нашия случай кръг ).

Класифицирайки тези линии според естеството на местоположението на секущите равнини спрямо генераторите на конуса, се получават три вида криви:

I. Криви, образувани от сечение на конус с равнини, които не са успоредни на нито една от образуващите. Такива криви ще бъдат различни кръгове и елипси. Тези криви се наричат ​​елиптични криви.

II. Криви, образувани от сечение на конус с равнини, всяка от които е успоредна на една от образуващите на конуса (фиг. 1б). Само параболите ще бъдат такива криви.

III. Криви, образувани от сечение на конус с равнини, всяка от които е успоредна на две образуващи (фиг. 1в). такива криви ще бъдат хиперболи.

Вече не може да има криви от тип IV, тъй като не може да има равнина, успоредна на три образуващи на конус едновременно, тъй като самите три образуващи на конус не лежат в една и съща равнина.

Имайте предвид, че конусът може да бъде пресечен от равнини и така, че да се получат две прави линии в сечението. За да направите това, секущите равнини трябва да бъдат начертани през върха на конуса.

2. Елипса

Две теореми са важни за изучаване на свойствата на коничните сечения:

Теорема 1. Нека е даден прав кръгъл конус, който е разсечен от равнини b 1, b 2, b 3, перпендикулярни на неговата ос. Тогава всички сегменти на образуващите конус между всяка двойка окръжности (получени в сечение с дадените равнини) са равни помежду си, т.е. A 1 B 1 \u003d A 2 B 2 \u003d и т.н. и B 1 C 1 \u003d B 2 C 2 \u003d и т.н. Теорема 2. Ако е дадена сферична повърхност и някаква точка S е извън нея, тогава сегментите на допирателните, изтеглени от точката S към сферичната повърхност, ще бъдат равни една на друга, т.е. SA 1 = SA 2 = SA 3 и т.н.

2.1 Основно свойство на елипсата

Изрязваме прав кръгов конус с равнина, пресичаща всичките му образуващи.В сечението получаваме елипса. Нека начертаем равнина, перпендикулярна на равнината през оста на конуса.

Вписваме две топки в конуса, така че, разположени от противоположните страни на равнината и докосвайки коничната повърхност, всяка от тях докосва равнината в дадена точка.

Нека едната топка докосне равнината в точка F 1 и докосне конуса по окръжността C 1, а другата в точка F 2 и докосне конуса по окръжността C 2 .

Вземете произволна точка P върху елипсата.

Това означава, че всички изводи, направени за нея, ще бъдат валидни за всяка точка от елипсата. Нека начертаем образуващата на OR на конуса и отбележим точките R 1 и R 2, в които той се допира до построените топки.

Свържете точка P с точки F 1 и F 2 . Тогава PF 1 = PR 1 и PF 2 = PR 2, тъй като PF 1, PR 1 са допирателни, прекарани от точка P към една топка, а PF 2, PR 2 са допирателни, прекарани от точка P към друга топка (теорема 2 ) . Събирайки двете равенства член по член, намираме

PF 1 + PF 2 = PR 1 + PR 2 = R 1 R 2 (1)

Тази зависимост показва, че сумата от разстоянията (РF 1 и РF 2) на произволна точка P от елипсата до две точки F 1 и F 2 е постоянна стойност за тази елипса (т.е. не зависи от позицията на точка P на елипсата).

Точките F 1 и F 2 се наричат ​​фокуси на елипсата. Точките, в които правата F 1 F 2 пресича елипсата, се наричат ​​върхове на елипсата. Отсечката между върховете се нарича голяма ос на елипсата.

Сегментът на образуващата R 1 R 2 е равен по дължина на голямата ос на елипсата. Тогава основното свойство на елипсата се формулира по следния начин: сумата от разстоянията на произволна точка P на елипсата до нейните фокуси F 1 и F 2 е постоянна стойност за тази елипса, равна на дължината на нейната голяма ос.

Имайте предвид, че ако фокусите на елипсата съвпадат, тогава елипсата е кръг, т.е. кръгът е специален случай на елипса.

2.2 Уравнение на елипса

За да напишем уравнението на елипса, трябва да разглеждаме елипсата като геометрично място на точки, които имат някакво свойство, което характеризира това геометрично място. Нека приемем основното свойство на елипсата като нейна дефиниция: Елипса е геометричното място на точки в равнина, за която сумата от разстоянията до две фиксирани точки F 1 и F 2 на тази равнина, наречени фокуси, е постоянна стойност, равна на дължината на голямата му ос.

Нека дължината на сегмента F 1 F 2 \u003d 2c, а дължината на голямата ос е 2a. За да изведем каноничното уравнение на елипсата, избираме началото O на декартовата координатна система в средата на сегмента F 1 F 2 и насочваме осите Ox и Oy, както е показано на фигура 5. (Ако фокусите съвпадат, тогава O съвпада с F 1 и F 2, а отвъд оста Ox може да се приеме всяка ос, минаваща през O). След това в избраната координатна система точките F 1 (c, 0) и F 2 (-c, 0). Очевидно е, че 2a > 2c, т.е. a>c. Нека M(x, y) е точка от равнината, принадлежаща на елипсата. Нека МF 1 =r 1 , МF 2 =r 2 . Според определението за елипса, равенството

r 1 +r 2 =2a (2) е необходимо и достатъчно условие за местоположението на точката M (x, y) върху дадена елипса. Използвайки формулата за разстоянието между две точки, получаваме

r 1 =, r 2 =. Да се ​​върнем към равенството (2):

Нека преместим един корен от дясната страна на равенството и го повдигнем на квадрат:

Намалявайки, получаваме:

Даваме подобни, намаляваме с 4 и изолираме радикала:

Ние квадрат

Отворете скобите и съкратете до:

откъде получаваме:

(a 2 -c 2) x 2 + a 2 y 2 \u003d a 2 (a 2 -c 2). (3)

Забележете, че a 2 -c 2 >0. Действително, r 1 +r 2 е сумата от двете страни на триъгълника F 1 MF 2 , а F 1 F 2 е неговата трета страна. Следователно r 1 +r 2 > F 1 F 2 , или 2а>2с, т.е. a>c. Означаваме a 2 -c 2 \u003d b 2. Уравнение (3) ще изглежда така: b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 . Нека извършим трансформация, която привежда уравнението на елипсата до каноничната (буквално: взета като проба) форма, а именно, разделяме двете части на уравнението на a 2 b 2:

(4) - канонично уравнение на елипса.

Тъй като уравнение (4) е алгебрично следствие от уравнение (2*), тогава координатите x и y на всяка точка M от елипсата също ще отговарят на уравнение (4). Тъй като „допълнителни корени“ могат да се появят по време на алгебрични трансформации, свързани с премахването на радикалите, е необходимо да се уверите, че всяка точка M, чиито координати отговарят на уравнение (4), е разположена на тази елипса. За да направите това, достатъчно е да докажете, че величините r 1 и r 2 за всяка точка удовлетворяват съотношението (2). И така, нека координатите x и y на точката M удовлетворяват уравнение (4). Замествайки стойността на y 2 от (4) в израза r 1 , след прости трансформации намираме, че r 1 =. Тъй като тогава r 1 =. По същия начин откриваме, че r 2 =. Така за разглежданата точка M r 1 =, r 2 =, т.е. r 1 + r 2 \u003d 2a, следователно точката M е разположена на елипса. Величините a и b се наричат ​​съответно голяма и малка полуос на елипсата.

2.3 Изследване на формата на елипса според нейното уравнение

Нека установим формата на елипсата, използвайки нейното канонично уравнение.

1. Уравнение (4) съдържа x и y само в четни степени, така че ако точката (x, y) принадлежи на елипсата, тогава точките (x, - y), (-x, y), (-x, - y). От това следва, че елипсата е симетрична спрямо осите Ox и Oy, а също и спрямо точката O (0,0), която се нарича център на елипсата.

2. Намерете точките на пресичане на елипсата с координатните оси. Поставяйки y \u003d 0, намираме две точки A 1 (a, 0) и A 2 (-a, 0), в които оста Ox пресича елипсата. Поставяйки x=0 в уравнение (4), намираме пресечните точки на елипсата с оста Oy: B 1 (0, b) и. B 2 (0, - b) Точките A 1 , A 2 , B 1 , B 2 се наричат ​​върхове на елипса.

3. От уравнение (4) следва, че всеки член от лявата страна не превишава единица, т.е. има неравенства и или и. Следователно всички точки на елипсата лежат вътре в правоъгълника, образуван от правите линии, .

4. В уравнение (4) сумата от неотрицателните членове и е равна на единица. Следователно, когато един член се увеличава, другият ще намалява, т.е. Ако x нараства, тогава y намалява и обратно.

От казаното следва, че елипсата има формата, показана на фиг. 6 (овална затворена крива).

Обърнете внимание, че ако a = b, тогава уравнение (4) ще приеме формата x 2 + y 2 = a 2 . Това е уравнението на кръга. Елипса може да се получи от кръг с радиус a, ако се компресира веднъж по оста Oy. При такова свиване точката (x; y) ще отиде до точката (x; y 1), където. Замествайки кръга в уравнението, получаваме уравнението на елипсата: .

Нека въведем още една величина, която характеризира формата на елипсата.

Ексцентричността на елипса е отношението на фокусното разстояние 2c към дължината 2a на нейната голяма ос.

Ексцентричността обикновено се означава с e: e = Тъй като c< a, то. Заметив, что c 2 = a 2 - b 2 , находим: , отсюда.

От последното равенство е лесно да се получи геометрична интерпретация на ексцентричността на елипсата. За много малки числа a и b са почти равни, тоест елипсата е близка до кръг. Ако е близо до единица, тогава числото b е много малко в сравнение с числото a и елипсата е силно удължена по голямата ос. По този начин ексцентричността на елипсата характеризира мярката за удължението на елипсата.

3. Хипербола

3.1 Основното свойство на хиперболата

Изследвайки хиперболата с помощта на конструкции, подобни на конструкциите, извършени за изследване на елипсата, откриваме, че хиперболата има свойства, подобни на тези на елипсата.

Нека изрежем прав кръгъл конус с равнина b, пресичаща двете му равнини, т.е. успоредно на два от неговите генератори. Напречното сечение е хипербола. Нека прекараме през оста ST на конуса равнината ASB, перпендикулярна на равнината b.

Нека впишем две топки в конуса - едната в едната му кухина, другата в другата, така че всяка от тях да докосва коничната повърхност и секущата. Нека първата топка докосне равнината b в точката F 1 и докосне коничната повърхност по окръжността UґVґ. Нека втората топка докосне равнината b в точка F 2 и докосне коничната повърхност по окръжността UV.

Избираме върху хиперболата произволна точка M. Нека прекараме през нея образуващата на конуса MS и отбележим точките d и D, в които той се допира до първата и втората топка. Свързваме точката M с точките F 1 , F 2 , които ще наричаме фокуси на хиперболата. Тогава MF 1 =Md, тъй като и двете отсечки са допирателни към първата топка, изтеглена от точката M. По същия начин MF 2 =MD. Изваждайки член по член от първото равенство, второто, намираме

MF 1 -MF 2 \u003d Md-MD \u003d dD,

където dD е постоянна стойност (като образуваща на конус с основи UґVґ и UV), независеща от избора на точка M върху хиперболата. Означаваме с P и Q точките, в които правата F 1 F 2 пресича хиперболата. Тези точки P и Q се наричат ​​върхове на хиперболата. Отсечката PQ се нарича реална ос на хиперболата. В курса по елементарна геометрия се доказва, че dD=PQ. Следователно, MF1-MF2=PQ.

Ако точката M ще бъде на този клон на хиперболата, близо до който се намира фокусът F 1, тогава MF 2 -MF 1 = PQ. Тогава накрая получаваме МF 1 -MF 2 =PQ.

Модулът на разликата между разстоянията на произволна точка M на хипербола от нейните фокуси F 1 и F 2 е постоянна стойност, равна на дължината на реалната ос на хиперболата.

3.2 Уравнение на хипербола

Нека приемем основното свойство на хипербола като нейно определение: Хиперболата е геометрично място на точки в равнина, за която модулът на разликата в разстоянията до две фиксирани точки F 1 и F 2 от тази равнина, наречени фокуси, е константа стойност, равна на дължината на реалната му ос.

Нека дължината на сегмента F 1 F 2 \u003d 2c, а дължината на реалната ос е 2a. За да изведем каноничното уравнение на хиперболата, избираме началото O на декартовата координатна система в средата на сегмента F 1 F 2 и насочваме осите Ox и Oy, както е показано на фигура 5. След това в избраната координатна система, точките F 1 (c, 0) и F 2 ( -s, 0). Очевидно 2а<2с, т.е. а<с. Пусть М (х, у) - точка плоскости, принадлежащая гиперболе. Пусть МF 1 =r 1 , МF 2 =r 2 . Согласно определению гиперболы равенство

r 1 -r 2 \u003d 2a (5) е необходимо и достатъчно условие за местоположението на точката M (x, y) върху тази хипербола. Използвайки формулата за разстоянието между две точки, получаваме

r 1 =, r 2 =. Да се ​​върнем към равенството (5):

Нека повдигнем на квадрат двете страни на уравнението

(x + s) 2 + y 2 \u003d 4a 2 ± 4a + (x-c) 2 + y 2

Намалявайки, получаваме:

2 хс=4а 2 ±4а-2 хс

±4a=4a 2 -4 xs

a 2 x 2 -2a 2 xc + a 2 c 2 + a 2 y 2 \u003d a 4 -2a 2 xc + x 2 c 2

x 2 (c 2 -a 2) - a 2 y 2 \u003d a 2 (c 2 -a 2) (6)

Забележете, че c 2 -a 2 >0. Означаваме c 2 -a 2 =b 2 . Уравнение (6) ще изглежда така: b 2 x 2 -a 2 y 2 =a 2 b 2 . Извършваме трансформация, която привежда уравнението на хиперболата до каноничната форма, а именно, разделяме двете части на уравнението на a 2 b 2: (7) - каноничното уравнение на хиперболата, величините a и b са съответно реалната и въображаемата полуос на хиперболата.

Трябва да се уверим, че уравнение (7), получено чрез алгебрични трансформации на уравнение (5*), не е придобило нови корени. За да направите това, достатъчно е да се докаже, че за всяка точка M, чиито координати x и y отговарят на уравнение (7), стойностите r 1 и r 2 отговарят на връзката (5). Провеждайки аргументи, подобни на тези, които бяха направени при извличането на формулата на елипсата, намираме следните изрази за r 1 и r 2:

Така за разглежданата точка M имаме r 1 -r 2 =2a и следователно тя се намира на хиперболата.

3.3 Изследване на уравнението на хиперболата

Сега нека се опитаме, въз основа на разглеждането на уравнение (7), да добием представа за местоположението на хиперболата.
1. Първо, уравнение (7) показва, че хиперболата е симетрична спрямо двете оси. Това се обяснява с факта, че в уравнението на кривата са включени само четни степени на координати. 2. Сега маркираме областта на равнината, където ще лежи кривата. Уравнението на хипербола, разрешено по отношение на y, има формата:

Това показва, че y винаги съществува, когато x 2? a 2 . Това означава, че за x? a и за x? - и y-ординатата ще бъде реална, и за - a

Освен това, с увеличаване на x (и по-голямо a), y-ординатата също ще расте през цялото време (по-специално, от това се вижда, че кривата не може да бъде вълнообразна, т.е. такава, че с нарастването на абсцисата на x, y-ординатата се увеличава или намалява) .

3. Центърът на хипербола е точка, по отношение на която всяка точка от хиперболата има точка върху себе си, симетрична на себе си. Точката O(0,0), началото, както за елипсата, е центърът на хиперболата, дадена от каноничното уравнение. Това означава, че всяка точка от хиперболата има симетрична точка на хиперболата спрямо точка O. Това следва от симетрията на хиперболата спрямо осите Ox и Oy. Всяка хорда на хипербола, минаваща през нейния център, се нарича диаметър на хиперболата.

4. Пресечните точки на хиперболата с правата, върху която лежат нейните фокуси, се наричат ​​върхове на хиперболата, а отсечката между тях се нарича реална ос на хиперболата. В този случай реалната ос е оста x. Обърнете внимание, че реалната ос на хиперболата често се нарича както сегмент 2а, така и самата права линия (оста Ox), върху която тя лежи.

Намерете пресечните точки на хиперболата с оста Oy. Уравнението на оста y е x=0. Като заместим x = 0 в уравнение (7), получаваме, че хиперболата няма пресечни точки с оста Oy. Това е разбираемо, тъй като в лента с ширина 2a, покриваща оста Oy, няма точки на хипербола.

Правата, перпендикулярна на реалната ос на хиперболата и минаваща през нейния център, се нарича въображаема ос на хиперболата. В този случай тя съвпада с оста y. И така, в знаменателите на членовете с x 2 и y 2 в уравнението на хиперболата (7) са квадратите на реалната и въображаемата полуос на хиперболата.

5. Хиперболата пресича правата y = kx за k< в двух точках. Если k то общих точек у прямой и гиперболы нет.

Доказателство

За да се определят координатите на точките на пресичане на хиперболата и правата линия y = kx, е необходимо да се реши системата от уравнения

Елиминирайки y, получаваме

или За b 2 -k 2 a 2 0, тоест за k, полученото уравнение и следователно системата от решения няма.

Правите линии с уравненията y= и y= - се наричат ​​асимптоти на хиперболата.

За b 2 -k 2 a 2 >0, тоест за k< система имеет два решения:

Следователно всяка права линия, минаваща през началото, с наклон k< пересекает гиперболу в двух точках. При k = 0 получаем точки пересечения (a; 0) и (- a; 0) - вершины гиперболы.

6. Оптично свойство на хиперболата: оптичните лъчи, излизащи от единия фокус на хиперболата, отразени от нея, изглежда, че излизат от втория фокус.

Ексцентрицитетът на хиперболата е съотношението на фокусното разстояние 2c към дължината 2a на нейната реална ос?
тези. от страната на вдлъбнатината му.

3.4 Спренна хипербола

Наред с хиперболата (7) се разглежда т. нар. спрегната хипербола по отношение на нея. Конюгираната хипербола се определя от каноничното уравнение.

На фиг. 10 показва хиперболата (7) и свързаната с нея хипербола. Конюгираната хипербола има същите асимптоти като дадената, но F 1 (0, c),

4. Парабола

4.1 Основно свойство на парабола

Нека установим основните свойства на парабола. Нека изрежем прав кръгов конус с връх S с равнина, успоредна на една от неговите образуващи. В разреза получаваме парабола. Нека прекараме през оста ST на конуса равнината ASB, перпендикулярна на равнината (фиг. 11). Образуващата SA, лежаща в него, ще бъде успоредна на равнината. Нека впишем в конуса сферична повърхност, допирателна към конуса по окръжността UV и допирателна към равнината в точка F. Начертайте права през точката F, успоредна на образуващата SA. Точката на нейното пресичане с образуващата SB означаваме с P. Точката F се нарича фокус на параболата, точката P е нейният връх, а правата PF, минаваща през върха и фокуса (и успоредна на образуващата SA ) се нарича оста на параболата. Параболата няма да има втори връх - точката на пресичане на оста PF с генератора SA: тази точка "отива в безкрайност". Нека наречем директриса (в превод означава "водач") линията q 1 q 2 на пресечната точка на равнината с равнината, в която лежи окръжността UV. Вземете произволна точка M на параболата и я свържете с върха на конуса S. Правата MS докосва топката в точка D, разположена върху окръжността UV. Свързваме точката M с фокуса F и пускаме перпендикуляра MK от точката M към директрисата. Тогава се оказва, че разстоянията на произволна точка M на параболата до фокуса (MF) и до директрисата (MK) са равни едно на друго (основното свойство на параболата), т.е. MF=MK.

Доказателство: МF=MD (като допирателни към топка от една точка). Нека означим ъгъла между която и да е от образуващите на конуса и оста ST като q. Нека проектираме отсечките MD и MK върху оста ST. Сегментът MD образува проекция върху оста ST, равна на MDcosc, тъй като MD лежи върху образуващата на конуса; сегментът MK образува проекция върху оста ST, равна на MKsoc, тъй като сегментът MK е успореден на образуващата SA. (В действителност директрисата q 1 q 1 е перпендикулярна на равнината ASB. Следователно правата PF пресича директрисата в точката L под прав ъгъл. Но правите MK и PF лежат в една и съща равнина и MK също е перпендикулярна към директрисата). Проекциите на двата сегмента MK и MD върху оста ST са равни една на друга, тъй като единият им край - точката M - е общ, а другите две D и K лежат в равнина, перпендикулярна на оста ST (фиг. ). Тогава МDcosц= MKsоsц или МD= MK. Следователно MF=MK.

Имот 1.(Фокално свойство на парабола).

Разстоянието от всяка точка на параболата до средата на главната хорда е равно на нейното разстояние до директрисата.

Доказателство.

Точка F - пресечната точка на линията QR и основната хорда. Тази точка лежи на оста на симетрия Oy. Наистина, триъгълниците RNQ и ROF са еднакви, точно като правоъгълните триъгълници

триъгълници с ранни крака (NQ=OF, OR=RN). Следователно, независимо коя точка N вземем, линията QR, построена по нея, ще пресича главната хорда в нейната среда F. Сега е ясно, че триъгълникът FMQ е равнобедрен. Наистина, отсечката MR е едновременно медианата и височината на този триъгълник. Това означава, че MF=MQ.

Имот 2.(Оптично свойство на парабола).

Всяка допирателна към параболата прави равни ъгли с фокалния радиус, начертан към допирателната точка, и лъча, идващ от допирателната точка и сънасочен с оста (или лъчите, излизащи от един фокус, отразени от параболата, ще преминат успоредно на оста).

Доказателство. За точка N, лежаща върху самата парабола, е вярно равенството |FN|=|NH|, а за точка N", лежаща във вътрешната област на параболата, |FN"|<|N"H"|. Если теперь провести биссектрису l угла FМК, то для любой отличной от М точки M" прямой l найдём:

|FM"|=|M"K"|>|M"K"|, тоест точката M" лежи във външната област на параболата. И така, цялата права l, с изключение на точката M, лежи във външната област, тоест вътрешната област на параболата лежи от едната страна на l, което означава, че l е допирателна към параболата. Това дава доказателство за оптичните свойства на параболата: ъгъл 1 е равен на ъгъл 2, тъй като l е ъглополовящата на ъгъл FMK.

4.2 Уравнение на парабола

Въз основа на основното свойство на параболата формулираме нейната дефиниция: парабола е набор от всички точки в равнината, всяка от които е еднакво отдалечена от дадена точка, наречена фокус, и дадена права линия, наречена директриса . Разстоянието от фокуса F до директрисата се нарича параметър на параболата и се обозначава с p (p> 0).

За да изведем уравнението на параболата, избираме координатната система Oxy така, че оста Ox да минава през фокуса F перпендикулярно на директрисата в посока от директрисата към F, а началото O да се намира в средата между фокуса и директрисата (фиг. 12). В избраната система фокусът е F(, 0), а уравнението на директрисата има формата x = - или x + = 0. Нека m (x, y) е произволна точка от параболата. Свържете точката M с F. Начертайте отсечката MH перпендикулярно на директрисата. Според дефиницията на парабола, MF = MH. Използвайки формулата за разстоянието между две точки, намираме:

Следователно, повдигайки на квадрат двете страни на уравнението, получаваме

тези. (8) Уравнение (8) се нарича канонично уравнение на парабола.

4.3 Изследване на формите на парабола според нейното уравнение

1. В уравнение (8) променливата y е включена в четна степен, което означава, че параболата е симетрична спрямо оста Ox; оста x е оста на симетрия на параболата.

2. Тъй като c > 0, от (8) следва, че x>0. Следователно параболата е разположена вдясно от оста y.

3. Нека x \u003d 0, тогава y \u003d 0. Следователно параболата минава през началото.

4. При неограничено нарастване на x, модулът y също нараства неограничено. Параболата y 2 \u003d 2 px има формата (формата), показана на фигура 13. Точката O (0; 0) се нарича връх на параболата, сегментът FM \u003d r се нарича фокален радиус на точката M , Уравненията y 2 \u003d -2 px, x 2 \u003d - 2 py, x 2 =2 py (p>0) също определят параболи.

1.5. Директорско свойство на коничните сечения .

Тук доказваме, че всяко некръгло (неизродено) конично сечение може да се дефинира като набор от точки M, съотношението на разстоянието MF от които от фиксирана точка F към разстоянието MP от фиксирана линия d, която не минава през точката F е равна на постоянна стойност e: където F - фокусът на коничното сечение, правата d е директрисата, а отношението e е ексцентрицитетът. (Ако точката F принадлежи на правата d, тогава условието определя множеството от точки, което е двойка прави, т.е. изродено конично сечение; за e = 1 тази двойка прави се слива в една права. За да докажем това, помислете за конуса, образуван от въртенето на правата l около пресичащата я в точката O на правата линия p, съставлявайки с l ъгъла b< 90є; пусть плоскость р не проходит через вершину конуса и образует с его осью p угол в < 90є (если в = 90є, то плоскость р пересекает конус по окружности).

Нека впишем топка K в конуса, докосващ равнината p в точка F и докосващ конуса по окръжността S. Означаваме пресечната линия на равнината p с равнината y на окръжността S с d.

Нека сега свържем произволна точка M, лежаща на правата A на пресечната точка на равнината p и конуса, с върха O на конуса и с точката F и пуснем перпендикуляра MP от M на правата d; също означаваме с E точката на пресичане на образуващата MO на конуса с окръжността S.

Освен това MF = ME, като отсечки от две допирателни на топката K, изтеглени от една точка M.

Освен това сегментът ME образува с оста p на конуса постоянен (т.е. независим от избора на точка M) ъгъл 6, а сегментът MP образува постоянен ъгъл β; следователно проекциите на тези два сегмента върху оста p са съответно равни на ME cos b и MP cos c.

Но тези проекции съвпадат, тъй като сегментите ME и MP имат общ произход M и техните краища лежат в y-равнината, перпендикулярна на p-оста.

Следователно ME cos b = MP cos c, или тъй като ME = MF, MF cos b = MP cos c, откъдето следва, че

Също така е лесно да се покаже, че ако точката M от равнината p не принадлежи на конуса, тогава. По този начин всяко сечение на десен кръгов конус може да бъде описано като набор от точки в равнината, за които. От друга страна, чрез промяна на стойностите на ъглите b и c, можем да дадем на ексцентрицитета всяка стойност e> 0; Освен това, от съображения за сходство, не е трудно да се разбере, че разстоянието FQ от фокуса до директрисата е право пропорционално на радиуса r на топката K (или разстоянието d на равнината p от върха O на конусът). Може да се покаже, че по този начин, като изберем разстоянието d по подходящ начин, можем да дадем на разстоянието FQ произволна стойност. Следователно всеки набор от точки M, за които съотношението на разстоянията от M до фиксирана точка F и до фиксирана линия d има постоянна стойност, може да се опише като крива, получена в сечението на прав кръгов конус от самолет. Това доказва, че (неизродените) конични сечения също могат да бъдат определени от свойството, обсъдено в този подраздел.

Това свойство на коничните сечения се нарича тях свойство на директорията. Ясно е, че ако c > b, тогава e< 1; если в = б, то е = 1; наконец, если в < б, то е >1. От друга страна, лесно е да се види, че ако s > 6, тогава равнината p пресича конуса по затворена ограничена линия; ако c = b, тогава равнината p пресича конуса по неограничена права; ако в< б, то плоскость р пересекает обе полы конуса и, следовательно, линия пересечения этой плоскости и конуса состоит из двух (неограниченных) частей или ветвей (рис. 17).

Коничното сечение, за което e< 1, называется эллипсом; коническое сечение с эксцентриситетом е = 1 называется параболой; коническое сечение, для которого е >1 се нарича хипербола. Елипсите също включват кръг, който не може да бъде определен от свойство на директория; тъй като за кръг съотношението се превръща в 0 (тъй като в този случай β \u003d 90º), условно се счита, че кръгът е конично сечение с ексцентричност 0.

6. Елипса, хипербола и парабола като конични сечения

конично сечение елипса хипербола

Древногръцкият математик Менехмус, който открива елипсата, хиперболата и параболата, ги определя като сечения на кръгъл конус от равнина, перпендикулярна на една от образуващите. Той нарича получените криви сечения на конуси с остър, правоъгълен и тъпоъгълен конус в зависимост от аксиалния ъгъл на конуса. Първият, както ще видим по-долу, е елипса, вторият е парабола, третият е един клон на хипербола. Имената "елипса", "хипербола" и "парабола" са въведени от Аполоний. Почти изцяло (7 от 8 книги) работата на Аполоний „За коничните сечения“ е достигнала до нас. В тази работа Аполоний разглежда двата етажа на конуса и пресича конуса с равнини, които не са непременно перпендикулярни на една от образуващите.

Теорема.Сечението на всеки прав кръгъл конус с равнина (която не минава през неговия връх) определя крива, която може да бъде само хипербола (фиг. 4), парабола (фиг. 5) или елипса (фиг. 6). Освен това, ако равнината пресича само една равнина на конуса и по протежение на затворена крива, тогава тази крива е елипса; ако една равнина пресича само една равнина по отворена крива, тогава тази крива е парабола; ако режещата равнина пресича двете равнини на конуса, тогава в сечението се образува хипербола.

Елегантно доказателство на тази теорема е предложено през 1822 г. от Данделин с помощта на сфери, които сега се наричат ​​сфери на Данделин. Нека да разгледаме това доказателство.

Нека впишем в конус две сфери, докосващи равнината на сечение П от различни страни. Да означим с F1 и F2 допирните точки между тази равнина и сферите. Нека вземем произволна точка M на сечението на конуса с равнината P. На образуващата на конуса, минаваща през M, отбелязваме точките P1 и P2, лежащи на окръжността k1 и k2, по които сферите се допират до конус.

Ясно е, че MF1=MP1 като отсечките на две допирателни към първата сфера, излизащи от M; по подобен начин MF2=MP2. Следователно MF1+MF2=MP1+MP2=P1P2. Дължината на сегмента P1P2 е една и съща за всички точки M от нашето сечение: това е образуващата на пресечен конус, ограничен от успоредни равнини 1 и 11, в който лежат окръжностите k1 и k2. Следователно сечението на конуса с равнината P е елипса с фокуси F1 и F2. Валидността на тази теорема може да се установи и въз основа на общото положение, че пресечната точка на повърхност от втори ред с равнина е права от втори ред.

Литература

1. Атанасян Л.С., Базилев В.Т. Геометрия. В 2 ч. Част 1. Учебник за студенти по физика и математика. пед. другар-М.: Просвещение, 1986.

2. Базилев В.Т. и др. Геометрия. Proc. помощ за студенти от 1-ва година по физика. - мат. факти пед. в. - другар-М .: Образование, 1974.

3. Погорелов А.В. Геометрия. Proc. за 7-11 клетки. ср. училище - 4-то изд.-М .: Просвещение, 1993.

4. История на математиката от древността до началото на 19 век. Юшкевич А.П. - М.: Наука, 1970.

5. Болтянски В.Г. Оптични свойства на елипсата, хиперболата и параболата. // Квантов. - 1975. - № 12. - с. 19 - 23.

6. Ефремов Н.В. Кратък курс по аналитична геометрия. - М: Наука, 6-то издание, 1967. - 267 с.

Подобни документи

Концепцията за коничните сечения. Конични сечения - пресечни точки на равнини и конуси. Видове конични сечения. Изграждане на конични сечения. Коничното сечение е геометричното място на точките, които удовлетворяват уравнение от втори ред.

резюме, добавено 05.10.2008


„Конични сечения“ на Аполоний. Извеждане на уравнението на кривата за сечение от правоъгълен конус на въртене. Извеждане на уравнението за парабола, за елипса и хипербола. Инвариантност на коничните сечения. По-нататъшно развитие на теорията за коничните сечения в трудовете на Аполоний.

резюме, добавено на 02/04/2010


Концепцията и историческата информация за конуса, характеристиките на неговите елементи. Характеристики на образуването на конус и видове конични сечения. Конструкция на сферата на Данделин и нейните параметри. Приложение на свойствата на коничните сечения. Изчисляване на площите на повърхнините на конуса.

презентация, добавена на 08.04.2012 г


Математическа концепция за крива. Общото уравнение на кривата от втори ред. Уравнения на окръжност, елипса, хипербола и парабола. Оси на симетрия на хипербола. Изучаване на формата на парабола. Криви от трети и четвърти ред. Anjesi curl, декартов лист.

дисертация, добавена на 14.10.2011 г


Преглед и характеристика на различни методи за конструиране на сечения от полиедри, определяне на техните силни и слаби страни. Методът на спомагателните сечения като универсален метод за конструиране на сечения на полиедри. Примери за решаване на проблеми по темата на изследването.

презентация, добавена на 19.01.2014 г


Общото уравнение на кривата от втори ред. Съставяне на уравнения на елипса, окръжност, хипербола и парабола. Ексцентричността на хипербола. Фокус и директриса на парабола. Преобразуване на общото уравнение в каноничен вид. Зависимост на вида на кривата от инвариантите.

презентация, добавена на 10.11.2014 г


Елементи на геометрията на триъгълника: изогонално и изотомично спрежение, забележителни точки и линии. Коники, свързани с триъгълник: свойства на коничните сечения; коники, описани около триъгълник и вписани в него; приложение за решаване на проблеми.

курсова работа, добавена на 17.06.2012 г


Елипса, хипербола, парабола като криви от втори ред, използвани във висшата математика. Концепцията за крива от втори ред е линия в равнина, която в някаква декартова координатна система се определя от уравнение. Теорема на Паскамъл и теорема на Брианшон.

резюме, добавено на 26.01.2011 г


За произхода на проблема за удвояването на куба (един от петте известни проблема на древността). Първият известен опит за решаване на проблема е решението на Архит от Тарент. Решаване на проблеми в древна Гърция след Архит. Решения, използващи коничните сечения на Менехмус и Ератостен.

резюме, добавено на 13.04.2014 г


Основните видове сечение на конуса. Сечение, образувано от равнина, минаваща през оста на конуса (аксиална) и през неговия връх (триъгълник). Образуването на сечение от равнина, успоредна (парабола), перпендикулярна (окръжност) и неперпендикулярна (елипса) на оста.

ТЕКСТ ОБЯСНЕНИЕ НА УРОКА:

Продължаваме да изучаваме раздела на твърдата геометрия "Тялото на революцията".

Телата на въртене включват: цилиндри, конуси, топки.

Да си припомним дефинициите.

Височината е разстоянието от върха на фигура или тяло до основата на фигурата (тялото). В противен случай, сегмент, свързващ горната и долната част на фигурата и перпендикулярен на нея.

Не забравяйте, че за да намерите площта на кръг, умножете pi по квадрата на радиуса.

Площта на кръга е равна.

Спомнете си как да намерите площта на кръг, знаейки диаметъра? защото

нека го поставим във формулата:

Конусът също е тяло на въртене.

Конус (по-точно кръгъл конус) е тяло, което се състои от кръг - основата на конуса, точка, която не лежи в равнината на този кръг - върха на конуса и всички сегменти, свързващи върха на конуса с върховете на основата.

Нека се запознаем с формулата за намиране на обема на конус.

Теорема. Обемът на конус е равен на една трета от площта на основата, умножена по височината.

Нека докажем тази теорема.

Дадено е: конус, S е площта на основата му,

h е височината на конуса

Докажете: V=

Доказателство: Да разгледаме конус с обем V, радиус на основата R, височина h и връх в точка O.

Нека въведем оста Ox през OM, оста на конуса. Произволно сечение на конус с равнина, перпендикулярна на оста x, е окръжност с център в точката

M1 - пресечната точка на тази равнина с оста Ox. Нека означим радиуса на тази окръжност като R1, а площта на напречното сечение като S(x), където x е абсцисата на точката M1.

От подобието на правоъгълни триъгълници OM1A1 и OMA (ے OM1A1 = ے OMA - прави, ےMOA-общи, което означава, че триъгълниците са подобни в два ъгъла) следва, че

Фигурата показва, че OM1=x, OM=h

или откъдето по свойството пропорция намираме R1 = .

Тъй като секцията е кръг, тогава S (x) \u003d πR12, заместваме предишния израз вместо R1, площта на сечението е равна на съотношението на произведението на пиера квадрат на квадрат x към квадрата на височината:

Нека приложим основната формула

изчислявайки обемите на телата, с a=0, b=h, получаваме израза (1)

Тъй като основата на конуса е кръг, площта S на основата на конуса ще бъде равна на пиер квадрат

във формулата за изчисляване на обема на тялото заместваме стойността на пиер квадрат с площта на основата и получаваме, че обемът на конуса е равен на една трета от произведението на площта от основата и височината

Теоремата е доказана.

Следствие от теоремата (формула за обем на пресечен конус)

Обемът V на пресечен конус, чиято височина е h, и площите на основите S и S1 се изчисляват по формулата

Ve е равно на една трета от пепелта, умножена по сумата от площите на основите и квадратния корен от произведението на площите на основата.

Разрешаване на проблем

Правоъгълен триъгълник с катети 3 cm и 4 cm се върти около хипотенузата. Определете обема на полученото тяло.

Когато триъгълникът се върти около хипотенузата, получаваме конус. При решаването на този проблем е важно да се разбере, че са възможни два случая. Във всеки от тях прилагаме формулата за намиране на обема на конус: обемът на конус е равен на една трета от произведението на основата и височината

В първия случай чертежът ще изглежда така: даден е конус. Нека радиус r = 4, височина h = 3

Площта на основата е равна на произведението на π по квадрата на радиуса

Тогава обемът на конуса е равен на една трета от произведението на π по квадрата на радиуса по височината.

Заместете стойността във формулата, оказва се, че обемът на конуса е 16π.

Във втория случай, така: даден е конус. Нека радиус r = 3, височина h = 4

Обемът на конус е равен на една трета от основната площ, умножена по височината:

Площта на основата е равна на произведението на π по квадрата на радиуса:

Тогава обемът на конуса е равен на една трета от произведението на π по квадрата на радиуса по височината:

Заместете стойността във формулата, оказва се, че обемът на конуса е 12π.

Отговор: Обемът на конуса V е 16 π или 12 π

Задача 2. Даден е прав кръгов конус с радиус 6 cm, ъгъл BCO = 45 .

Намерете обема на конуса.

Решение: Към тази задача е даден готов чертеж.

Нека напишем формулата за намиране на обема на конус:

Изразяваме го чрез радиуса на основата R:

Намираме h \u003d BO по конструкция, - правоъгълна, защото ъгъл BOC=90 (сумата от ъглите на триъгълник), ъглите при основата са равни, така че триъгълникът ΔBOC е равнобедрен и BO=OC=6 cm.