Aby obliczyć prawdopodobieństwo P A zdarzenia A, należy zbudować model matematyczny badanego obiektu, który zawiera zdarzenie A. Podstawą modelu jest przestrzeń prawdopodobieństwa (,?,P), gdzie jest przestrzenią elementarną wydarzenia, ? - klasa zdarzeń z wprowadzonymi na nich operacjami kompozycyjnymi,

Prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia A, które ma sens i jest zawarte w klasie zdarzeń? 25. Jeżeli np.

to z aksjomatu 3, prawdopodobieństwa wynika, że

Zatem obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia A sprowadza się do obliczenia prawdopodobieństw elementarnych zdarzeń, które na nie składają się, a ponieważ są one „podstawowe”, metody ich obliczania nie muszą zależeć od aksjomatyki teorii prawdopodobieństwa.

Rozważane są tutaj trzy podejścia do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń elementarnych:

klasyczny;

geometryczny;

statystyczne lub częstotliwościowe.

Klasyczna metoda obliczania prawdopodobieństw

Z aksjomatycznej definicji prawdopodobieństwa wynika, że ​​prawdopodobieństwo istnieje dla każdego zdarzenia A, ale nie ma mowy o tym, jak je obliczyć, chociaż wiadomo, że dla każdego zdarzenia elementarnego i istnieje prawdopodobieństwo pi takie, że suma prawdopodobieństw wszystkich czyli zdarzenia elementarne w przestrzeni są równe jeden

Klasyczna metoda obliczania prawdopodobieństw zdarzeń losowych opiera się na wykorzystaniu tego faktu, który ze względu na swoją specyfikę pozwala znaleźć prawdopodobieństwa tych zdarzeń bezpośrednio z aksjomatów.

Niech będzie dana przestrzeń stałego prawdopodobieństwa (,?,P), w której:

• a) składa się ze skończonej liczby n zdarzeń elementarnych,
• b) każde zdarzenie elementarne i jest powiązane z prawdopodobieństwem

Rozważmy zdarzenie A, które składa się z m zdarzeń elementarnych:

wówczas z aksjomatu 3 prawdopodobieństw, ze względu na niezgodność zdarzeń elementarnych, wynika, że

W ten sposób mamy formułę

co można zinterpretować następująco: prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A jest równe stosunkowi liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających zaistnieniu zdarzenia A do liczby wszystkich zdarzeń elementarnych z.

Na tym polega istota klasycznej metody obliczania prawdopodobieństw zdarzeń.

Komentarz. Przypisując to samo prawdopodobieństwo każdemu z elementarnych zdarzeń w przestrzeni, z jednej strony, mając przestrzeń probabilistyczną i opierając się na aksjomatach teorii prawdopodobieństwa, otrzymaliśmy regułę obliczania prawdopodobieństw dowolnych zdarzeń losowych z przestrzeni według wzór (2), daje nam to jednak podstawę do uznania, że ​​wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo możliwe i obliczenia prawdopodobieństw dowolnych zdarzeń losowych z redukcji do schematu „urny”, niezależnie od aksjomatów.

Ze wzoru (2) wynika, że ​​prawdopodobieństwo zdarzenia A zależy jedynie od liczby zdarzeń elementarnych, z których się ono składa i nie zależy od ich konkretnej treści. Zatem, aby skorzystać ze wzoru (2), należy znaleźć liczbę punktów w przestrzeni i liczbę punktów tworzących zdarzenie A, ale wtedy jest to już zadanie analizy kombinatorycznej.

Spójrzmy na kilka przykładów.

Przykład 8. W urnie n kul znajduje się k czerwonych i (n - k) czarnych. Losujemy r kulek bez zwracania r kul. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w próbie r kul, s kul jest czerwonych?

Rozwiązanie. Niech zdarzenie (A) (w próbce r kulek będzie czerwone). Wymagane prawdopodobieństwo wyznacza się według klasycznego schematu, wzoru (2):

gdzie to liczba możliwych próbek o objętości r, które różnią się co najmniej jedną liczbą kul, a m to liczba próbek o objętości r, w których s kule są czerwone. Bo oczywiście numer możliwe opcje próbka jest równa, a m, jak wynika z Przykładu 7, jest równe

Zatem wymagane prawdopodobieństwo jest równe

Niech zestaw będzie podany parami niekompatybilne zdarzenia Jak,

formowanie pełna grupa, Następnie

W tym przypadku mówimy, że mamy rozkład prawdopodobieństwa zdarzeń As.

Rozkłady prawdopodobieństwa są jednym z podstawowych pojęć współczesna teoria prawdopodobieństw i stanowi podstawę aksjomatów Kołmagorowa.

Definicja. Rozkład prawdopodobieństwa

wyznacza się rozkład hipergeometryczny.

Borovkov A.A. w swojej książce na przykładzie wzoru (3) wyjaśnia naturę problemów teorii prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej w następujący sposób: znając skład populacji ogólnej, możemy skorzystać z rozkładu hipergeometrycznego, aby dowiedzieć się, jaki jest skład populacji próbką może być - jest to typowy problem teorii prawdopodobieństwa (problem bezpośredni). W nauki przyrodnicze rozwiązać problem odwrotny: na podstawie składu próbek określają naturę populacji ogólnych - jest to problem odwrotny i, mówiąc w przenośni, stanowi treść statystyki matematycznej.

Uogólnieniem współczynników dwumianowych (kombinacji) są współczynniki wielomianowe, które swoją nazwę zawdzięczają rozwinięciu wielomianu postaci

przez potęgi terminów.

Współczynniki wielomianu (4) są często używane przy rozwiązywaniu problemów kombinatorycznych.

Twierdzenie. Niech będzie k różnych pudełek, w których umieszcza się ponumerowane kule. Następnie liczbę piłek, które należy umieścić w pudełkach, tak aby pudełko o numerze r zawierało kule ri,

wyznacza się za pomocą współczynników wielomianu (4).

Dowód. Ponieważ kolejność pudełek jest ważna, ale kule w pudełkach nie są ważne, można zastosować kombinacje, aby policzyć rozmieszczenie piłek w dowolnym pudełku.

W pierwszym okienku r1 kulki z n można wybierać w dowolny sposób, w drugim okienku r2 kulki, z pozostałych (n - r1) można wybierać w dowolny sposób itd., w okienku (k - 1) rk-1 kulki wybieramy

sposoby; w polu k - pozostałe

Kulki spadają automatycznie, w jedną stronę.

Zatem całkowita liczba miejsc docelowych będzie wynosić

Przykład. n kulek rozmieszczono losowo w n pudełkach. Zakładając, że pudełka i kule można rozróżnić, znajdź prawdopodobieństwa następujących zdarzeń:

• a) nie wszystkie pola są puste = A0;
• b) jedno pole jest puste = A1;
• c) dwa puste pudełka = A2;
• d) trzy puste pudełka = A3;
• e) (n-1) - pudełko jest puste = A4.

Rozwiąż zadanie dla przypadku n = 5.

Rozwiązanie. Wynika to z warunku, że rozkład kulek pomiędzy pudełkami jest prosty losowy wybór dlatego wszystkie opcje są nn.

Ta sekwencja oznacza, że ​​w pierwszym, drugim i trzecim pudełku znajdują się po trzy kule, w czwartym i piątym polu znajdują się po dwie kule, a w pozostałych (n - 5) pudełkach znajduje się po jednej piłce. Łączna liczba takich umieszczenia piłek w pudełkach będzie wynosić

Ponieważ kule są w rzeczywistości rozróżnialne, to dla każdej takiej kombinacji będziemy mieli

rozmieszczenie piłek. Zatem będzie w sumie opcji

Przejdźmy do rozwiązania punkt po punkcie w przykładzie:

a) ponieważ w każdym pudełku znajduje się jedna kula, mamy ciąg 111...11, dla którego liczba miejsc wynosi n!/n! = 1. Jeśli kule można rozróżnić, to mamy n!/ 1! miejsc docelowych, zatem całkowita liczba opcji wynosi m = 1n!= n!, stąd

b) jeśli jedno pudełko jest puste, to w jakimś pudełku znajdują się dwie kule, to mamy ciąg 211...10, dla którego liczba miejsc wynosi n! (n-2)!. Ponieważ kule są rozróżnialne, dla każdej takiej kombinacji mamy n!/ 2! miejsca docelowe. Całkowite opcje

c) jeśli dwa pola są puste, to mamy dwa ciągi: 311...100 i 221...100. W przypadku pierwszego liczba miejsc docelowych jest równa

n!/ (2! (n - 3)!).

Dla każdej takiej kombinacji mamy n!/ 3! rozmieszczenie piłek. Zatem dla pierwszej sekwencji liczba opcji wynosi

W przypadku drugiej sekwencji łączna liczba opcji będzie wynosić

Wreszcie mamy

d) dla trzech pustych pól będą trzy ciągi: 411...1000 lub 3211...1000 lub 22211...1000.

Dla pierwszej sekwencji mamy

Dla drugiej sekwencji

Dla trzeciego ciągu otrzymujemy

Całkowite opcje

m = k1 + k2 + k3,

Wymagane prawdopodobieństwo jest równe

e) jeśli (n -1) pudełko jest puste, to wszystkie kule muszą znajdować się w jednym z pudełek. Oczywiście liczba kombinacji jest równa

Prawdopodobieństwo odpowiadające temu zdarzeniu jest równe

Dla n = 5 mamy

Należy zauważyć, że dla n = 5 zdarzeń Аi powinno tworzyć kompletną grupę, co jest prawdą. Rzeczywiście

1. Wzory obliczania prawdopodobieństwa zdarzeń

1.3.1. Sekwencja niezależnych testów (obwód Bernoulliego)

Załóżmy, że pewne doświadczenie można przeprowadzić wielokrotnie w tych samych warunkach. Niech to doświadczenie się dokona N razy, tj. sekwencję N testy.

Definicja. Podciąg N nazywają się testy wzajemnie niezależne , jeżeli jakiekolwiek zdarzenie dotyczące danego testu jest niezależne od jakichkolwiek zdarzeń związanych z innymi testami.

Załóżmy, że jakieś wydarzenie A może się zdarzyć P w wyniku jednego testu lub prawdopodobnie nie nastąpi Q= 1- P.

Definicja . Sekwencja N testy tworzą schemat Bernoulliego, jeśli spełnione są następujące warunki:

podsekwencja N testy są od siebie niezależne,

2) prawdopodobieństwo zdarzenia A nie zmienia się z próby na próbę i nie zależy od wyniku w innych próbach.

Wydarzenie A nazywa się „sukcesem” testu, a zdarzenie odwrotne nazywa się „porażką”. Rozważ wydarzenie

=(w N testy odbyły się dokładnie M"powodzenie").

Aby obliczyć prawdopodobieństwo tego zdarzenia, obowiązuje wzór Bernoulliego

P() =
, M = 1, 2, …, N , (1.6)

Gdzie - liczba kombinacji N elementy wg M :

=
=
.

Przykład 1.16. Kością rzucamy trzykrotnie. Znajdować:

a) prawdopodobieństwo, że 6 punktów pojawi się dwukrotnie;

b) prawdopodobieństwo, że liczba szóstek nie pojawi się więcej niż dwukrotnie.

Rozwiązanie . Za „sukces” testu uznamy pojawienie się na kostce strony z obrazem 6 punktów.

a) Łączna liczba testów – N=3, liczba „sukcesów” – M = 2. Prawdopodobieństwo „sukcesu” - P=, a prawdopodobieństwo „porażki” wynosi Q= 1 - =. Wówczas, zgodnie ze wzorem Bernoulliego, prawdopodobieństwo, że w wyniku trzykrotnego rzutu kostką wypadnie dwukrotnie strona z sześcioma punktami, będzie równe

.

b) Oznaczmy przez A wydarzenie, które oznacza, że ​​strona z wynikiem 6 pojawi się nie więcej niż dwa razy. Następnie wydarzenie można przedstawić jako suma trzech niekompatybilna wydarzenia A=
,

Gdzie W 3 0 – zdarzenie, w którym granica zainteresowania nigdy się nie pojawia,

W 3 1 - zdarzenie, gdy krawędź zainteresowania pojawi się jednokrotnie,

W 3 2 - zdarzenie, gdy krawędź zainteresowania pojawi się dwukrotnie.

Korzystając ze wzoru Bernoulliego (1.6) znajdujemy

P(A) = p (
) = P(
)=
+
+
=

=
.

1.3.2. Prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia

Prawdopodobieństwo warunkowe odzwierciedla wpływ jednego zdarzenia na prawdopodobieństwo innego. Wpływ ma również zmiana warunków, w jakich przeprowadzany jest eksperyment

od prawdopodobieństwa wystąpienia interesującego Cię zdarzenia.

Definicja. Pozwalać A I B– niektóre zdarzenia i prawdopodobieństwo P(B)> 0.

Warunkowe prawdopodobieństwo wydarzenia A pod warunkiem, że „zdarzenie Bjuż się wydarzyło” to stosunek prawdopodobieństwa wystąpienia tych zdarzeń do prawdopodobieństwa zdarzenia, które nastąpiło wcześniej niż zdarzenie, którego prawdopodobieństwo należy znaleźć. Warunkowe prawdopodobieństwo oznaczony jako P(A B). Wtedy z definicji

P (A  B) =
. (1.7)

Przykład 1.17. Rzucamy dwiema kostkami. Przestrzeń zdarzeń elementarnych składa się z uporządkowanych par liczb

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6).

W przykładzie 1.16 ustalono, że zdarzenie A=(liczba punktów na pierwszej kości > 4) i zdarzenie C=(suma punktów wynosi 8) zależna. Stwórzmy relację

.

Zależność tę można interpretować w następujący sposób. Załóżmy, że wiadomo, że wynikiem pierwszego rzutu jest liczba punktów na pierwszej kości > 4. Wynika z tego, że rzut drugą kostką może prowadzić do jednego z 12 wyników składających się na wydarzenie A:

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) .

Na tym wydarzeniu C tylko dwa z nich mogą pasować do (5,3) (6,2). W tym przypadku prawdopodobieństwo zdarzenia C będzie równe
. Zatem informacja o wystąpieniu zdarzenia A wpływa na prawdopodobieństwo zdarzenia C.

Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzeń

Twierdzenie o mnożeniu

Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzeńA 1 A 2  A N określa się na podstawie wzoru

P(A 1 A 2  A N)= str(A 1)P(A 2  A 1)) P(A N  A 1 A 2  A N- 1). (1.8)

Wynika z tego, że jest to iloczyn dwóch zdarzeń

P(AB)= str(A B)str{B)= str(B A)P{A). (1.9)

Przykład 1.18. W partii 25 produktów 5 produktów jest wadliwych. Wybierane są kolejno 3 pozycje. Określ prawdopodobieństwo, że wszystkie wybrane produkty są wadliwe.

Rozwiązanie. Oznaczmy zdarzenia:

A 1 = (pierwszy produkt jest wadliwy),

A 2 = (drugi produkt jest uszkodzony),

A 3 = (trzeci produkt jest uszkodzony),

A = (wszystkie produkty są wadliwe).

Wydarzenie A jest wypadkową trzech zdarzeń A = A 1 A 2 A 3 .

Z twierdzenia o mnożeniu (1.6) dostajemy

P(A)= p( A 1 A 2 A 3 ) = P(A 1) P(A 2  A 1))P(A 3  A 1 A 2).

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa pozwala nam znaleźć P(A 1) to stosunek liczby wadliwych produktów do Łączna produkty:

P(A 1)= ;

P(A 2) – Ten stosunek liczby wadliwych produktów pozostałych po usunięciu jednego do całkowitej liczby pozostałych produktów:

P(A 2  A 1))= ;

P(A 3) – to jest stosunek liczby produktów wadliwych pozostałych po usunięciu dwóch wadliwych do całkowitej liczby pozostałych produktów:

P(A 3  A 1 A 2)=.

Następnie prawdopodobieństwo zdarzenia A będzie równe

P(A) ==
.

Rozumiem, że każdy chce wiedzieć z wyprzedzeniem, jak zakończy się wydarzenie sportowe, kto wygra, a kto przegra. Dzięki tym informacjom możesz obstawiać zakłady wydarzenia sportowe. Ale czy jest to w ogóle możliwe, a jeśli tak, to jak obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia?

Prawdopodobieństwo jest wartością względną, dlatego nie może mówić z pewnością o żadnym zdarzeniu. Ta wartość pozwala na analizę i ocenę konieczności postawienia zakładu na dane zawody. Określanie prawdopodobieństw to cała nauka wymagająca dokładnych badań i zrozumienia.

Współczynnik prawdopodobieństwa w teorii prawdopodobieństwa

W zakładach sportowych istnieje kilka możliwości wyniku zawodów:

• zwycięstwo pierwszej drużyny;
• zwycięstwo drugiej drużyny;
• rysować;
• całkowity

Każdy wynik konkursu ma swoje własne prawdopodobieństwo i częstotliwość występowania tego zdarzenia, pod warunkiem zachowania początkowych cech. Jak powiedzieliśmy wcześniej, niemożliwe jest dokładne obliczenie prawdopodobieństwa jakiegokolwiek zdarzenia - może się ono pokrywać lub nie. Zatem Twój zakład może albo wygrać, albo przegrać.

Nie można przewidzieć w 100% dokładnego wyniku zawodów, ponieważ na wynik meczu wpływa wiele czynników. Naturalnie bukmacherzy nie znają z góry wyniku meczu i jedynie zakładają wynik, podejmując decyzję na podstawie swojego systemu analiz i oferty określone współczynniki na zakłady.

Jak obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia?

Załóżmy, że kursy bukmachera wynoszą 2,1/2 – otrzymamy 50%. Okazuje się, że współczynnik 2 jest równy prawdopodobieństwu 50%. Stosując tę ​​samą zasadę, można uzyskać współczynnik prawdopodobieństwa progu rentowności - 1/prawdopodobieństwo.

Wielu graczy uważa, że ​​po kilku powtarzających się porażkach na pewno dojdzie do zwycięstwa – jest to błędna opinia. Prawdopodobieństwo wygranej zakładu nie zależy od liczby przegranych. Nawet jeśli w grze na monety rzucisz kilka orłów z rzędu, prawdopodobieństwo wyrzucenia reszki pozostaje takie samo – 50%.

Istnieje cała klasa eksperymentów, dla których prawdopodobieństwo ich możliwych wyników można łatwo ocenić bezpośrednio na podstawie warunków samego eksperymentu. Aby to osiągnąć, konieczne jest, aby różne wyniki eksperymentu miały symetrię, a zatem były obiektywnie jednakowo możliwe.

Rozważmy na przykład doświadczenie rzucania kostka do gry, tj. symetryczny sześcian, na którego bokach zaznaczono różną liczbę punktów: od 1 do 6.

Ze względu na symetrię sześcianu można uznać wszystkie sześć możliwych wyników eksperymentu za jednakowo możliwe. To daje nam prawo założyć, że przy wielokrotnym rzucie kostką wszystkie sześć stron pojawi się mniej więcej jednakowo często. To założenie, w przypadku prawidłowo wykonanej kości, jest rzeczywiście uzasadnione doświadczeniem; przy wielokrotnym rzucie kostką każda z jej ścianek pojawia się w przybliżeniu w jednej szóstej wszystkich przypadków rzucania, a odchylenie tego ułamka od 1/6 jest mniejsze niż większa liczba przeprowadzono eksperymenty. Mając na uwadze, że prawdopodobieństwo wiarygodnego zdarzenia przyjmuje się za równe jedności, naturalnym jest przypisanie prawdopodobieństwa równego 1/6 utracie każdej indywidualnej twarzy. Liczba ta charakteryzuje pewne obiektywne właściwości tego losowego zjawiska, a mianowicie właściwość symetrii sześciu możliwych wyników eksperymentu.

W przypadku każdego eksperymentu, w którym możliwe wyniki są symetryczne i równie możliwe, można zastosować podobną technikę, zwaną bezpośrednim obliczeniem prawdopodobieństw.

Symetrię możliwych wyników eksperymentu obserwuje się zwykle tylko w sztucznie zorganizowanych eksperymentach, takich jak hazard. Ponieważ teoria prawdopodobieństwa początkowo rozwinęła się właśnie w schematach hazardowych, technika bezpośredniego obliczania prawdopodobieństw, która historycznie powstała wraz z pojawieniem się matematycznej teorii zjawisk losowych, przez długi czas uznano za fundamentalne i stanowiło podstawę tzw. „klasycznej” teorii prawdopodobieństwa. Jednocześnie eksperymenty, które nie miały symetrii możliwych wyników, zostały sztucznie sprowadzone do schematu „klasycznego”.

Pomimo ograniczonego zakresu praktyczne zastosowania tego schematu, jest to nadal pewne zainteresowanie, ponieważ właśnie poprzez eksperymenty posiadające symetrię możliwych wyników i poprzez zdarzenia związane z takimi eksperymentami najłatwiej jest zapoznać się z podstawowymi właściwościami prawdopodobieństw. Zajmiemy się przede wszystkim tego typu zdarzeniami, które pozwalają na bezpośrednie obliczenie prawdopodobieństw.

Wprowadźmy najpierw kilka pojęć pomocniczych.

1. Kompletna grupa wydarzeń.

Mówi się, że kilka zdarzeń w danym eksperymencie tworzy kompletną grupę zdarzeń, jeśli przynajmniej jedno z nich musi koniecznie wystąpić w wyniku doświadczenia.

Przykłady wydarzeń tworzących kompletną grupę:

3) pojawienie się 1,2,3,4,5,6 punktów przy rzucie kostką;

4) pojawienie się kuli białej i pojawienie się kuli czarnej w przypadku wyjęcia jednej kuli z urny zawierającej 2 kule białe i 3 czarne;

5) brak literówek, jedna, dwie, trzy lub więcej niż trzy literówki podczas sprawdzania strony drukowanego tekstu;

6) co najmniej jedno trafienie i co najmniej jedno chybienie dwoma strzałami.

2. Niekompatybilne zdarzenia.

Mówi się, że kilka zdarzeń jest niezgodnych w danym doświadczeniu, jeśli żadne dwa z nich nie mogą wystąpić razem.

Przykłady niezgodnych zdarzeń:

1) utraty herbu i utraty numerów przy rzucie monetą;

2) trafienie i chybienie przy strzale;

3) uzyskanie 1,3, 4 punktów za jeden rzut kostką;

4) dokładnie jedna awaria, dokładnie dwie awarie, dokładnie trzy awarie urządzenia technicznego w ciągu dziesięciu godzin pracy.

3. Równie możliwe zdarzenia.

Kilka zdarzeń w danym doświadczeniu nazywa się równie możliwymi, jeśli zgodnie z warunkami symetrii istnieje powód, aby sądzić, że żadne z tych zdarzeń nie jest obiektywnie bardziej możliwe od drugiego.

Przykłady równie możliwych zdarzeń:

1) utraty herbu i utraty numerów przy rzucie monetą;

2) pojawienie się 1,3, 4, 5 punktów przy rzucie kostką;

3) pojawienie się karty karo, kier, trefl po wyjęciu karty z talii;

4) pojawienie się kuli o numerach 1, 2, 3 przy pobieraniu jednej kuli z urny zawierającej 10 przenumerowanych kul.

Istnieją grupy zdarzeń, które mają wszystkie trzy właściwości: tworzą kompletną grupę, są niezgodne i równie możliwe; na przykład: pojawienie się herbu i cyfr podczas rzucania monetą; pojawienie się 1, 2, 3, 4, 5, 6 punktów przy rzucie kostką. Zdarzenia tworzące taką grupę nazywane są przypadkami (inaczej „szansami”).

Jeśli jakiekolwiek doświadczenie w swojej strukturze ma symetrię możliwych wyników, to przypadki reprezentują wyczerpujący system równie możliwych i wzajemnie wykluczających się wyników doświadczenia. Mówi się, że takie doświadczenie „sprowadza się do wzoru przypadków” (inaczej zwanego „wzorem urn”).

Schemat przypadków ma miejsce przeważnie w eksperymentach sztucznie zorganizowanych, w których z góry i świadomie zapewniona jest ta sama możliwość wyników eksperymentu (jak np. hazard). W przypadku takich eksperymentów możliwe jest bezpośrednie obliczenie prawdopodobieństw na podstawie oceny proporcji tzw. przypadków „korzystnych” w ogólnej liczbie przypadków.

Przypadek nazywa się korzystnym (lub „korzystnym”) dla określonego zdarzenia, jeśli wystąpienie tego przypadku pociąga za sobą wystąpienie tego zdarzenia.

Na przykład podczas rzucania kostką możliwych jest sześć przypadków: pojawienie się 1, 2, 3, 4, 5, 6 punktów. Spośród nich zdarzenie - pojawienie się parzystej liczby punktów - jest korzystne w trzech przypadkach: 2, 4, 6, a pozostałe trzy są niekorzystne.

Jeśli doświadczenie sprowadzić do wzoru przypadków, wówczas prawdopodobieństwo zdarzenia w danym eksperymencie można oszacować na podstawie względnej proporcji korzystnych przypadków. Prawdopodobieństwo zdarzenia oblicza się jako stosunek liczby korzystnych przypadków do całkowitej liczby przypadków:

gdzie P(A) jest prawdopodobieństwem zdarzenia; – Łączna sprawy; – liczba przypadków sprzyjających zdarzeniu.

Ponieważ liczba korzystnych przypadków zawsze mieści się w przedziale od 0 do (0 dla zdarzenia niemożliwego i dla określonego zdarzenia), prawdopodobieństwo zdarzenia obliczone ze wzoru (2.2.1) jest zawsze wymiernym ułamkiem właściwym:

Wzór (2.2.1), tzw. „klasyczny wzór” do obliczania prawdopodobieństwa, od dawna pojawia się w literaturze jako definicja prawdopodobieństwa. Obecnie przy definiowaniu (wyjaśnianiu) prawdopodobieństwa wychodzą zazwyczaj z innych zasad, bezpośrednio łącząc pojęcie prawdopodobieństwa z empirycznym pojęciem częstotliwości; wzór (2.2.1) zachowuje się jedynie jako wzór do bezpośredniego obliczania prawdopodobieństw, odpowiedni wtedy i tylko wtedy, gdy doświadczenie sprowadzi się do schematu przypadków, tj. ma symetrię możliwych wyników.

TEMAT 1 . Klasyczny wzór na obliczanie prawdopodobieństwa.

Podstawowe definicje i wzory:

Eksperyment, którego wyniku nie można przewidzieć, nazywa się losowy eksperyment(SE).

Zdarzenie, które może, ale nie musi wystąpić w danym SE, nazywa się Zdarzenie losowe.

Wyniki elementarne zdarzenia spełniające wymagania nazywane są:

1. przy każdym wdrożeniu SE pojawia się jeden i tylko jeden elementarny wynik;

2. każde zdarzenie jest pewną kombinacją, pewnym zestawem elementarnych wyników.

Zbiór wszystkich możliwych wyników elementarnych całkowicie opisuje SE. Taki zestaw jest zwykle nazywany przestrzeń wyników elementarnych(PEI). Wybór PEI do opisu danej SE jest niejednoznaczny i zależy od rozwiązywanego problemu.

P(A) = n(A)/n,

gdzie n jest całkowitą liczbą równie możliwych wyników,

n (A) – liczba wyników składających się na zdarzenie A, jak to się mówi, korzystnych dla zdarzenia A.

Słowa „losowo”, „losowo”, „losowo” gwarantują jednakową możliwość wyników elementarnych.

Rozwiązywanie typowych przykładów

Przykład 1. Z urny zawierającej 5 kul czerwonych, 3 czarne i 2 białe, losujemy 3 kule. Znajdź prawdopodobieństwa zdarzeń:

A– „wszystkie wylosowane kule są czerwone”;

W– „wszystkie wylosowane kule są tego samego koloru”;

Z– „wśród wydobytych są dokładnie 2 czarne”.

Rozwiązanie:

Podstawowym wynikiem tego SE jest potrójna (nieuporządkowana!) kula. Zatem całkowita liczba wyników to liczba kombinacji: n == 120 (10 = 5 + 3 + 2).

Wydarzenie A składa się tylko z tych trojaczków, które zostały wylosowane z pięciu czerwonych kul, tj. n(A)==10.

Wydarzenie W Oprócz 10 czerwonych trójek korzystne są także czarne trójki, których liczba wynosi = 1. Zatem: n (B)=10+1=11.

Wydarzenie Z Preferowane są te trójki kul, które zawierają 2 czarne i jedną nieczarną. Każdą metodę wybrania dwóch czarnych kul można połączyć z wybraniem jednej nieczarnej bili (z siedmiu). Dlatego: n (C) = = 3 * 7 = 21.

Więc: ROCZNIE) = 10/120; P(B) = 11/120; R(S) = 21/120.

Przykład 2. W warunkach poprzedniego zadania założymy, że kule każdego koloru mają własną numerację, zaczynając od 1. Znajdź prawdopodobieństwa zdarzeń:

D– „maksymalna wyodrębniona liczba to 4”;

mi– „Maksymalna wylosowana liczba to 3.”

Rozwiązanie:

Aby obliczyć n(D), możemy założyć, że w urnie znajduje się jedna kula o numerze 4, jedna kula o wyższym numerze i 8 kul (3k+3h+2b) o niższych liczbach. Wydarzenie D Preferowane są te trójki piłek, które koniecznie zawierają kulę z numerem 4 i 2 kule z niższymi numerami. Zatem: n(D) =

P(D) = 28/120.

Aby obliczyć n (E), rozważamy: w urnie znajdują się dwie kule z liczbą 3, dwie z duże liczby i sześć piłek z niższymi numerami (2k+2h+2b). Wydarzenie mi składa się z trójek dwóch typów:

1. jedna kula z numerem 3 i dwie z niższymi numerami;

2.dwie kule z numerem 3 i jedna z niższym numerem.

Zatem: n(E)=

P(E) = 36/120.

Przykład 3. Każda z M różnych cząstek jest losowo wrzucana do jednej z N komórek. Znajdź prawdopodobieństwa zdarzeń:

A– wszystkie cząstki wpadły do ​​drugiej celi;

W– wszystkie cząstki wpadły do ​​jednej komórki;

Z– każda komórka zawiera nie więcej niż jedną cząstkę (M £ N);

D– wszystkie komórki są zajęte (M =N +1);

mi– druga komórka zawiera dokładnie Do cząsteczki.

Rozwiązanie:

Dla każdej cząstki istnieje N sposobów dostania się do określonej komórki. Zgodnie z podstawową zasadą kombinatoryki dla cząstek M mamy N *N *N **…*N (M razy). Zatem całkowita liczba wyników w tym SE n = N M .

Dla każdej cząstki mamy jedną szansę, aby dostać się do drugiej komórki, zatem n (A) = 1*1**…*1= 1 M = 1, oraz P(A) = 1/ N M.

Dostanie się do jednej komórki (dla wszystkich cząstek) oznacza umieszczenie wszystkich w pierwszej, wszystkich w drugiej, itd. wszyscy w N. Ale każdą z tych N opcji można wdrożyć w jeden sposób. Zatem n (B)=1+1+…+1(N -times)=N i Р(В)=N/N M.

Zdarzenie C oznacza, że ​​każda cząstka ma o jedną liczbę możliwości umieszczenia mniej niż poprzednia cząstka, a pierwsza może wpaść do dowolnej z N komórek. Dlatego:

n (C) = N *(N -1)*…*(N +M -1) i Р(С) =

W szczególnym przypadku z M =N: Р(С)=

Zdarzenie D oznacza, że ​​jedna z komórek zawiera dwie cząstki, a każda z pozostałych (N -1) komórek zawiera jedną cząstkę. Aby znaleźć n (D), rozumujemy w ten sposób: wybierz komórkę, w której będą dwie cząstki, można to zrobić na =N sposobów; następnie wybierzemy dwie cząstki dla tej komórki, są na to sposoby. Następnie rozprowadzamy pozostałe (N -1) cząstki pojedynczo do pozostałych (N -1) komórek, w tym celu jest (N -1)! sposoby.

Zatem n(D) =

.

Liczbę n(E) można obliczyć w następujący sposób: Do cząstki dla drugiej komórki można wykonać na różne sposoby, pozostałe cząstki (M – K) są rozmieszczone losowo w komórce (N -1) (N -1) na sposoby M-K. Dlatego: