ავტორის მიდგომა ამ თემისადმი შემთხვევითი არ არის. ორი ცვლადის მქონე განტოლებები პირველად გვხვდება მე-7 კლასის კურსში. ერთ განტოლებას ორი ცვლადით აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა. ეს ნათლად ჩანს წრფივი ფუნქციის გრაფიკით, რომელიც მოცემულია როგორც ax + by=c. სკოლის კურსზე სტუდენტები სწავლობენ ორი განტოლების სისტემებს ორი ცვლადით. შედეგად, პრობლემების მთელი სპექტრი, განტოლების კოეფიციენტზე შეზღუდული პირობებით, ასევე მათი ამოხსნის მეთოდებით, ცდება მასწავლებლის ხედვის სფეროდან და, შესაბამისად, მოსწავლეც.

საუბარია ორი უცნობით განტოლების ამოხსნაზე მთელი ან ნატურალური რიცხვებით.

სკოლაში მე-4-6 კლასებში სწავლობენ ნატურალურ და მთელ რიცხვებს. სანამ ისინი ტოვებენ სკოლას, ყველა მოსწავლეს არ ახსოვს განსხვავება ამ რიცხვების სიმრავლეს შორის.

თუმცა, ისეთი დავალება, როგორიც არის "ax + by=c ფორმის განტოლების ამოხსნა მთელ რიცხვებში" სულ უფრო ხშირია უნივერსიტეტის მისაღებ გამოცდებში და USE მასალებში.

განუსაზღვრელი განტოლებების ამოხსნა ავითარებს ლოგიკურ აზროვნებას, გამომგონებლობას და ანალიზის ყურადღებას.

მე გთავაზობთ რამდენიმე გაკვეთილის შემუშავებას ამ თემაზე. მე არ მაქვს მკაფიო რეკომენდაციები ამ გაკვეთილების დროზე. ცალკეული ელემენტების გამოყენება შესაძლებელია მე-7 კლასში (ძლიერი კლასისთვის). ეს გაკვეთილები შეიძლება ჩაითვალოს საფუძვლად და შეიმუშაოს მცირე არჩევითი კურსი მე-9 კლასში წინასწარ პროფილის მომზადების შესახებ. და, რა თქმა უნდა, ამ მასალის გამოყენება შესაძლებელია 10-11 კლასებში გამოცდებისთვის მოსამზადებლად.

გაკვეთილის მიზანი:

• ცოდნის გამეორება და განზოგადება თემაზე "პირველი და მეორე რიგის განტოლებები"
• საგნის მიმართ შემეცნებითი ინტერესის განათლება
• ანალიზის, განზოგადების, ცოდნის ახალ სიტუაციაში გადაცემის უნარების ჩამოყალიბება

Გაკვეთილი 1.

გაკვეთილების დროს.

1) ორგ. მომენტი.

2) საბაზისო ცოდნის აქტუალიზაცია.

განმარტება. წრფივი განტოლება ორი ცვლადით არის ფორმის განტოლება

mx + ny = k, სადაც m, n, k რიცხვებია, x, y ცვლადები.

მაგალითი: 5x+2y=10

განმარტება. ორი ცვლადის მქონე განტოლების ამონახსნი არის ცვლადების მნიშვნელობების წყვილი, რომელიც ამ განტოლებას ნამდვილ ტოლობაში აქცევს.

განტოლებებს ორი ცვლადის მქონე ერთნაირი ამონახსნებით ეწოდება ეკვივალენტური.

1.5x+2y=12 (2)y=-2.5x+6

ამ განტოლებას შეიძლება ჰქონდეს ნებისმიერი რაოდენობის ამონახსნები. ამისათვის საკმარისია აიღოთ ნებისმიერი x მნიშვნელობა და იპოვოთ შესაბამისი y მნიშვნელობა.

მოდით x = 2, y = -2,5 2+6 = 1

x = 4, y = -2.5 4+6 =- 4

რიცხვთა წყვილები (2;1); (4;-4) - (1) განტოლების ამონახსნები.

ამ განტოლებას აქვს უსასრულოდ ბევრი ამონახსნები.

3) ისტორიული ფონი

განუსაზღვრელი (დიოფანტინი) განტოლებები არის განტოლებები, რომლებიც შეიცავს ერთზე მეტ ცვლადს.

III საუკუნეში. ახ.წ - დიოფანტე ალექსანდრიელმა დაწერა "არითმეტიკა", რომელშიც მან გააფართოვა რიცხვების სიმრავლე რაციონალურ რიცხვებამდე, შემოიტანა ალგებრული სიმბოლიზმი.

ასევე, დიოფანტმა განიხილა განუსაზღვრელი განტოლებების ამოხსნის ამოცანები და მისცა მეთოდები მეორე და მესამე ხარისხის განუსაზღვრელი განტოლებების ამოხსნისათვის.

4) ახალი მასალის შესწავლა.

განმარტება: პირველი რიგის დიოფანტინის არაჰომოგენური განტოლება ორი უცნობით x, y არის განტოლება mx + ny = k, სადაც m, n, k, x, y Z k0.

განცხადება 1.

თუ თავისუფალი წევრი k განტოლებაში (1) არ იყოფა m და n რიცხვების უდიდეს საერთო გამყოფზე (GCD), მაშინ განტოლებას (1) არ აქვს მთელი რიცხვი ამონახსნები.

მაგალითი: 34x - 17y = 3.

GCD (34; 17) = 17, 3 არ იყოფა 17-ზე, არ არსებობს ამონახსნი მთელ რიცხვებში.

დაე, k იყოფა gcd(m, n)-ზე. ყველა კოეფიციენტის გაყოფით შეიძლება მივაღწიოთ იმას, რომ m და n თანაპრაიმები გახდებიან.

განცხადება 2.

თუ (1) განტოლების m და n არის თანაპირველი რიცხვები, მაშინ ამ განტოლებას აქვს მინიმუმ ერთი ამონახსნი.

განცხადება 3.

თუ (1) განტოლების m და n კოეფიციენტები შედარებით მარტივი რიცხვებია, მაშინ ამ განტოლებას აქვს უსასრულოდ ბევრი ამონახსნები:

სადაც (;) არის (1) განტოლების ნებისმიერი ამონახსნი, t Z

განმარტება. პირველი რიგის დიოფანტინის ერთგვაროვანი განტოლება ორი უცნობით x, y არის განტოლება ფორმის mx + ny = 0, სადაც (2)

განცხადება 4.

თუ m და n შედარებით მარტივი რიცხვებია, მაშინ (2) განტოლების ნებისმიერ ამონახსანს აქვს ფორმა

5) საშინაო დავალება. ამოხსენით განტოლება მთელი რიცხვებით:

1. 9x - 18y = 5
2. x+y=xy
3. რამდენიმე ბავშვი ვაშლს კრეფდა. თითოეულმა ბიჭმა 21 კგ მოაგროვა, ხოლო გოგონამ 15 კგ. ჯამში მათ 174 კგ მოაგროვეს. რამდენი ბიჭი და რამდენი გოგო კრეფდა ვაშლს?

კომენტარი. ამ გაკვეთილში არ არის მოყვანილი განტოლებების ამოხსნის მაგალითები მთელი რიცხვებით. ამიტომ ბავშვები წყვეტენ საშინაო დავალებას 1-ლი დებულებისა და შერჩევის საფუძველზე.

გაკვეთილი 2

1) ორგანიზაციული მომენტი

2) საშინაო დავალების შემოწმება

1) 9x - 18y = 5

5 არ იყოფა 9-ზე, არ არის ამონახსნები მთელ რიცხვებში.

შერჩევის მეთოდს შეუძლია გამოსავლის პოვნა

პასუხი: (0;0), (2;2)

3) მოდით გავაკეთოთ განტოლება:

მოდით ბიჭები x, x Z და გოგოები y, y Z, მაშინ შეგვიძლია დავწეროთ განტოლება 21x + 15y = 174

ბევრი სტუდენტი, რომელმაც შეადგინა განტოლება, ვერ შეძლებს მის ამოხსნას.

პასუხი: 4 ბიჭი, 6 გოგო.

3) ახალი მასალის შესწავლა

საშინაო დავალების შესრულებისას სირთულეების წინაშე მყოფი მოსწავლეები დარწმუნდნენ განუსაზღვრელი განტოლებების ამოხსნის მათი მეთოდების შესწავლის აუცილებლობაში. განვიხილოთ ზოგიერთი მათგანი.

I. გაყოფის ნაშთების განხილვის მეთოდი.

მაგალითი. ამოხსენით განტოლება მთელი რიცხვებით 3x – 4y = 1.

განტოლების მარცხენა მხარე იყოფა 3-ზე, ამიტომ მარჯვენა მხარეც უნდა იყოს გაყოფილი. განვიხილოთ სამი შემთხვევა.

პასუხი: სადაც m Z.

აღწერილი მეთოდი მოსახერხებელია გამოსაყენებლად, თუ რიცხვები m და n არ არის მცირე, მაგრამ იშლება მარტივ ფაქტორებად.

მაგალითი: ამოხსენით განტოლებები მთელ რიცხვებში.

მოდით y = 4n, მაშინ 16 - 7y = 16 - 7 4n = 16 - 28n = 4*(4-7n) იყოფა 4-ზე.

y = 4n+1, შემდეგ 16 - 7y = 16 - 7 (4n + 1) = 16 - 28n - 7 = 9 - 28n არ იყოფა 4-ზე.

y = 4n+2, შემდეგ 16 - 7y = 16 - 7 (4n + 2) = 16 - 28n - 14 = 2 - 28n არ იყოფა 4-ზე.

y = 4n+3, შემდეგ 16 - 7y = 16 - 7 (4n + 3) = 16 - 28n - 21 = -5 - 28n არ იყოფა 4-ზე.

ამიტომ, y = 4n, მაშინ

4x = 16 – 7 4n = 16 – 28n, x = 4 – 7n

პასუხი: , სადაც n Z.

II. მე-2 ხარისხის განუსაზღვრელი განტოლებები

დღეს გაკვეთილზე შევეხებით მხოლოდ მეორე რიგის დიოფანტინის განტოლებების ამოხსნას.

და ყველა ტიპის განტოლებიდან, განიხილეთ შემთხვევა, როდესაც შეგიძლიათ გამოიყენოთ კვადრატების სხვაობის ფორმულა ან ფაქტორინგის სხვა გზა.

მაგალითი: ამოხსენით განტოლება მთელი რიცხვებით.

13 არის მარტივი რიცხვი, ამიტომ მისი გაანგარიშება შესაძლებელია მხოლოდ ოთხი გზით: 13 = 13 1 = 1 13 = (-1) (-13) = (-13) (-1)

განვიხილოთ ეს შემთხვევები

პასუხი: (7;-3), (7;3), (-7;3), (-7;-3).

4) საშინაო დავალება.

მაგალითები. ამოხსენით განტოლება მთელი რიცხვებით:

(x - y)(x + y)=4

2x=4	2x=5	2x=5
x=2	x=5/2	x=5/2
y=0	არაშესაფერისი	არაშესაფერისი
2x = -4	არაშესაფერისი	არაშესაფერისი
x=-2
y=0

პასუხი: (-2;0), (2;0).

პასუხები: (-10;9), (-5;3), (-2;-3), (-1;-9), (1;9), (2;3), (5;-3) , (10;-9).

in)

პასუხი: (2;-3), (-1;-1), (-4;0), (2;2), (-1;3), (-4;5).

შედეგები. რას ნიშნავს განტოლების ამოხსნა მთელი რიცხვებით?

განუსაზღვრელი განტოლებების ამოხსნის რა მეთოდები იცით?

განაცხადი:

სავარჯიშოები ვარჯიშისთვის.

1) ამოხსენი მთელი რიცხვებით.

ა) 8x + 12y = 32	x = 1 + 3n, y = 2 - 2n, n Z
ბ) 7x + 5y = 29	x = 2 + 5n, y = 3 – 7n, n Z
გ) 4x + 7y = 75	x = 3 + 7n, y = 9 – 4n, n Z
დ) 9x – 2y = 1	x = 1 – 2m, y = 4 + 9m, m Z
ე) 9x - 11y = 36	x = 4 + 11n, y = 9n, nZ
ვ) 7x - 4y = 29	x = 3 + 4n, y = -2 + 7n, n Z
ზ) 19x - 5y = 119	x = 1 + 5p, y = -20 + 19p, pZ
თ) 28x - 40y = 60	x = 45 + 10t, y = 30 + 7t, t Z

2) იპოვნეთ განტოლების მთელი რიცხვი არაუარყოფითი ამონახსნები.

Თანასწორობა f(x; y) = 0წარმოადგენს განტოლებას ორი ცვლადით. ასეთი განტოლების გამოსავალი არის ცვლადი მნიშვნელობების წყვილი, რომელიც აქცევს ორ ცვლადის განტოლებას ნამდვილ ტოლობაში.

თუ გვაქვს განტოლება ორი ცვლადით, მაშინ მის ჩანაწერში, ტრადიციის ძალით, პირველ ადგილზე უნდა დავაყენოთ x, ხოლო მეორეში y.

განვიხილოთ განტოლება x - 3y \u003d 10. წყვილები (10; 0), (16; 2), (-2; -4) განსახილველი განტოლების ამონახსნებია, ხოლო წყვილი (1; 5) არ არის ამონახსნი. .

ამ განტოლების ამონახსნების სხვა წყვილის საპოვნელად საჭიროა ერთი ცვლადის გამოხატვა მეორის მიხედვით - მაგალითად, x-დან y-მდე. შედეგად, ჩვენ ვიღებთ განტოლებას
x = 10 + 3 წ. გამოთვალეთ x მნიშვნელობები თვითნებური y მნიშვნელობების არჩევით.

თუ y \u003d 7, მაშინ x \u003d 10 + 3 ∙ 7 \u003d 10 + 21 \u003d 31.

თუ y \u003d -2, მაშინ x \u003d 10 + 3 ∙ (-2) \u003d 10 - 6 \u003d 4.

ამრიგად, წყვილები (31; 7), (4; -2) ასევე არის მოცემული განტოლების ამონახსნები.

თუ ორი ცვლადის მქონე განტოლებებს აქვთ ერთი და იგივე ფესვები, მაშინ ასეთ განტოლებებს ექვივალენტი ეწოდება.

ორი ცვლადის მქონე განტოლებისთვის მართებულია თეორემები განტოლებების ეკვივალენტური გარდაქმნების შესახებ.

განვიხილოთ განტოლების გრაფიკი ორი ცვლადით.

მიეცით განტოლება ორი ცვლადით f(x; y) = 0. მისი ყველა ამონახსნები შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წერტილებით კოორდინატულ სიბრტყეზე, სიბრტყის წერტილების გარკვეული სიმრავლის მიღებით. სიბრტყეში წერტილების ამ სიმრავლეს ეწოდება f(x; y) = 0 განტოლების გრაფიკი.

ასე რომ, y - x 2 \u003d 0 განტოლების გრაფიკი არის პარაბოლა y \u003d x 2; განტოლების გრაფიკი y - x \u003d 0 არის სწორი ხაზი; განტოლების გრაფიკი y - 3 \u003d 0 არის სწორი ხაზი x ღერძის პარალელურად და ა.შ.

ax + by = c ფორმის განტოლებას, სადაც x და y არის ცვლადები და a, b და c რიცხვები, ეწოდება წრფივი; a, b რიცხვებს ეწოდება ცვლადების კოეფიციენტები, c არის თავისუფალი წევრი.

ხაზოვანი განტოლების გრაფიკი ax + by = c არის:

მოდით გამოვსახოთ განტოლება 2x - 3y = -6.

1. იმიტომ ცვლადების არცერთი კოეფიციენტი არ არის ნულის ტოლი, მაშინ ამ განტოლების გრაფიკი იქნება სწორი ხაზი.

2. სწორი ხაზის ასაგებად მისი ორი წერტილი მაინც უნდა ვიცოდეთ. ჩაანაცვლეთ x-ის მნიშვნელობები განტოლებებში და მიიღეთ y-ის მნიშვნელობები და პირიქით:

თუ x = 0, მაშინ y = 2; (0 ∙ x - 3y \u003d -6);

თუ y \u003d 0, მაშინ x \u003d -3; (2x - 3 ∙ 0 \u003d -6).

ამრიგად, ჩვენ მივიღეთ გრაფიკის ორი წერტილი: (0; 2) და (-3; 0).

3. მივიღოთ სწორი ხაზი მიღებულ წერტილებში და მივიღოთ განტოლების გრაფიკი
2x - 3y \u003d -6.

თუ ხაზოვან განტოლებას ax + by = c აქვს ფორმა 0 ∙ x + 0 ∙ y = c, მაშინ უნდა განვიხილოთ ორი შემთხვევა:

1. c \u003d 0. ამ შემთხვევაში, ნებისმიერი წყვილი (x; y) აკმაყოფილებს განტოლებას და, შესაბამისად, განტოლების გრაფიკი არის მთელი კოორდინატთა სიბრტყე;

2. c ≠ 0. ამ შემთხვევაში განტოლებას ამონახსნი არ აქვს, რაც ნიშნავს, რომ მისი გრაფიკი არ შეიცავს ერთ წერტილს.

blog.site, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.

ამ მათემატიკური პროგრამით თქვენ შეგიძლიათ ამოხსნათ ორი წრფივი განტოლების სისტემა ორი ცვლადით ჩანაცვლების მეთოდისა და მიმატების მეთოდის გამოყენებით.

პროგრამა არა მხოლოდ იძლევა პასუხს პრობლემაზე, არამედ იძლევა დეტალურ გადაწყვეტას ამოხსნის ეტაპების ახსნა-განმარტებით ორი გზით: ჩანაცვლების მეთოდით და დამატების მეთოდით.

ეს პროგრამა შეიძლება გამოადგეს საშუალო სკოლის მოსწავლეებს ტესტებისა და გამოცდებისთვის მოსამზადებლად, ცოდნის ტესტირებისას ერთიანი სახელმწიფო გამოცდამდე, მშობლებისთვის მათემატიკასა და ალგებრაში მრავალი პრობლემის გადაწყვეტის გასაკონტროლებლად. ან იქნებ ძალიან ძვირი დაგიჯდებათ დამრიგებლის აყვანა ან ახალი სახელმძღვანელოების ყიდვა? ან უბრალოდ გსურთ რაც შეიძლება სწრაფად დაასრულოთ საშინაო დავალება მათემატიკაში ან ალგებრაში? ამ შემთხვევაში, თქვენ ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ ჩვენი პროგრამები დეტალური გადაწყვეტით.

ამ გზით თქვენ შეგიძლიათ ჩაატაროთ საკუთარი ტრენინგი ან/და უმცროსი ძმების ან დების ტრენინგი, ხოლო განათლების დონე გადასაჭრელი ამოცანების სფეროში იზრდება.

განტოლებათა შეყვანის წესები

ნებისმიერი ლათინური ასო შეიძლება იყოს ცვლადის როლი.
მაგალითად: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) და ა.შ.

განტოლებების შეყვანისას შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფრჩხილები. ამ შემთხვევაში, განტოლებები ჯერ გამარტივებულია. გამარტივებების შემდეგ განტოლებები უნდა იყოს წრფივი, ე.ი. ax+by+c=0 ფორმის ელემენტების რიგის სიზუსტით.
მაგალითად: 6x+1 = 5(x+y)+2

განტოლებებში შეგიძლიათ გამოიყენოთ არა მხოლოდ მთელი რიცხვები, არამედ წილადი რიცხვები ათობითი და ჩვეულებრივი წილადების სახით.

ათობითი წილადების შეყვანის წესები.
ათობითი წილადებში მთელი და წილადი ნაწილები შეიძლება გამოიყოს წერტილით ან მძიმით.
მაგალითად: 2.1n + 3.5m = 55

ჩვეულებრივი წილადების შეყვანის წესები.
მხოლოდ მთელ რიცხვს შეუძლია წილადის მრიცხველის, მნიშვნელის და მთელი რიცხვის ნაწილის როლი.
მნიშვნელი არ შეიძლება იყოს უარყოფითი.
რიცხვითი წილადის შეყვანისას მრიცხველი გამოყოფილია მნიშვნელისგან გაყოფის ნიშნით: /
მთელი ნაწილი გამოყოფილია წილადისგან ამპერსანტით: &

მაგალითები.
-1&2/3წ + 5/3x = 55
2.1p + 55 = -2/7(3.5p - 2&1/8q)

განტოლებათა სისტემის ამოხსნა

აღმოჩნდა, რომ ამ ამოცანის გადასაჭრელად საჭირო ზოგიერთი სკრიპტი არ იყო ჩატვირთული და შესაძლოა პროგრამამ არ იმუშაოს.
შეიძლება ჩართული გქონდეთ AdBlock.
ამ შემთხვევაში გამორთეთ და განაახლეთ გვერდი.

თქვენს ბრაუზერში JavaScript გამორთული გაქვთ.
გამოსავლის გამოსაჩენად ჩართული უნდა იყოს JavaScript.
აქ მოცემულია ინსტრუქციები, თუ როგორ უნდა ჩართოთ JavaScript თქვენს ბრაუზერში.

იმიტომ რომ ბევრია პრობლემის გადაწყვეტის მსურველი, თქვენი მოთხოვნა რიგში დგას.
რამდენიმე წამის შემდეგ, გამოსავალი გამოჩნდება ქვემოთ.
Გთხოვთ მოიცადოთ წამი...

Თუ შენ შენიშნა შეცდომა გამოსავალშიამის შესახებ შეგიძლიათ დაწეროთ უკუკავშირის ფორმაში.
Არ დაგავიწყდეს მიუთითეთ რომელი დავალებათქვენ გადაწყვიტეთ რა შედი ველებში.

ჩვენი თამაშები, თავსატეხები, ემულატორები:

ცოტა თეორია.

წრფივი განტოლებათა სისტემების ამოხსნა. ჩანაცვლების მეთოდი

მოქმედებების თანმიმდევრობა წრფივი განტოლებათა სისტემის ჩანაცვლების მეთოდით ამოხსნისას:
1) სისტემის ზოგიერთი განტოლებიდან ერთი ცვლადის გამოხატვა მეორის თვალსაზრისით;
2) ამ ცვლადის ნაცვლად შეცვალეთ მიღებული გამოხატულება სისტემის სხვა განტოლებაში;

$$ \left\( \დაწყება(მასივი)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(მასივი) \მარჯვნივ. $$

გამოვსახოთ პირველი განტოლებიდან y x-მდე: y = 7-3x. გამოთქმა 7-3x y-ის ნაცვლად მეორე განტოლებაში ჩანაცვლებით, მივიღებთ სისტემას:
$$ \left\( \begin(მასივი)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(მასივი) \მარჯვნივ. $$

ადვილია იმის ჩვენება, რომ პირველ და მეორე სისტემებს აქვთ იგივე გადაწყვეტილებები. მეორე სისტემაში მეორე განტოლება შეიცავს მხოლოდ ერთ ცვლადს. მოდით ამოვხსნათ ეს განტოლება:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \მარჯვენა-5x+14-6x=3 \მარჯვენა ისარი -11x=-11 \მარჯვენა ისარი x=1 $$

x-ის ნაცვლად რიცხვი 1 y=7-3x განტოლებაში ჩანაცვლებით, ვპოულობთ y-ის შესაბამის მნიშვნელობას:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

წყვილი (1;4) - სისტემის ამოხსნა

განტოლებათა სისტემები ორ ცვლადში, რომლებსაც აქვთ იგივე ამონახსნები, ეწოდება ექვივალენტი. სისტემები, რომლებსაც არ აქვთ ამონახსნები, ასევე განიხილება ეკვივალენტურად.

წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნა მიმატებით

განვიხილოთ წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნის კიდევ ერთი გზა - მიმატების მეთოდი. სისტემების ამგვარად ამოხსნისას, ისევე როგორც ჩანაცვლების მეთოდით ამოხსნისას, მოცემული სისტემიდან გადავდივართ მის ეკვივალენტურ სისტემაზე, რომელშიც ერთ-ერთი განტოლება შეიცავს მხოლოდ ერთ ცვლადს.

მოქმედებების თანმიმდევრობა წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნისას დამატების მეთოდით:
1) გაამრავლეთ სისტემის განტოლებები ტერმინებით, შეარჩიეთ ფაქტორები ისე, რომ ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები საპირისპირო რიცხვებად იქცეს;
2) ვამატებთ სისტემის განტოლებების მარცხენა და მარჯვენა ნაწილებს ტერმინით;
3) მიღებული განტოლების ამოხსნა ერთი ცვლადით;
4) იპოვეთ მეორე ცვლადის შესაბამისი მნიშვნელობა.

მაგალითი. მოდით ამოხსნათ განტოლებათა სისტემა:
$$ \left\( \begin(მასივი)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(მასივი) \მარჯვნივ. $$

ამ სისტემის განტოლებებში y-ის კოეფიციენტები საპირისპირო რიცხვებია. განტოლებების მარცხენა და მარჯვენა ნაწილების ტერმინით ვამატებით მივიღებთ განტოლებას ერთი ცვლადით 3x=33. შევცვალოთ სისტემის ერთ-ერთი განტოლება, მაგალითად პირველი, განტოლებით 3x=33. მოდით მივიღოთ სისტემა
$$ \left\( \begin(მასივი)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(მასივი) \მარჯვნივ. $$

3x=33 განტოლებიდან ვხვდებით, რომ x=11. ამ x მნიშვნელობის ჩანაცვლებით განტოლებაში \(x-3y=38 \) მივიღებთ განტოლებას y ცვლადით: \(11-3y=38 \). მოდით ამოვხსნათ ეს განტოლება:
\(-3y=27 \მარჯვენა ისარი y=-9 \)

ამრიგად, ჩვენ ვიპოვნეთ განტოლებათა სისტემის ამონახსნი მიმატებით: \(x=11; y=-9 \) ან \((11; -9) \)

ისარგებლეთ იმით, რომ y-ის კოეფიციენტები სისტემის განტოლებებში საპირისპირო რიცხვებია, მისი ამონახსნები შევამცირეთ ეკვივალენტური სისტემის ამონახსნით (პირველი სიმემის თითოეული განტოლების ორივე ნაწილის შეჯამებით), რომელშიც ერთი განტოლებები შეიცავს მხოლოდ ერთ ცვლადს.

წიგნები (სახელმძღვანელოები) აბსტრაქტები ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისა და OGE ტესტების ონლაინ თამაშები, თავსატეხები ფუნქციების გრაფიკების აგება ახალგაზრდული ჟარგონის რუსული ენის ლექსიკონის ორთოგრაფიული ლექსიკონი რუსული სკოლების დირექტორია რუსეთის საშუალო სკოლების კატალოგი რუსეთის უნივერსიტეტების კატალოგი ამოცანების ჩამონათვალი

მე-7 კლასის მათემატიკის კურსზე პირველად ხვდებიან განტოლებები ორი ცვლადით, მაგრამ ისინი შესწავლილია მხოლოდ ორი უცნობის მქონე განტოლებათა სისტემების კონტექსტში. სწორედ ამიტომ მხედველობიდან ამოვარდება რიგი პრობლემები, რომლებშიც გარკვეული პირობებია შემოტანილი განტოლების კოეფიციენტებზე, რომლებიც ზღუდავს მათ. გარდა ამისა, იგნორირებულია ისეთი ამოცანების გადაჭრის მეთოდები, როგორიცაა „განტოლების ამოხსნა ბუნებრივ ან მთელ რიცხვებში“, თუმცა მსგავსი პრობლემები სულ უფრო ხშირად გვხვდება USE-ის მასალებში და მისაღებ გამოცდებზე.

რომელ განტოლებას დაერქმევა განტოლება ორი ცვლადით?

მაგალითად, განტოლებები 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20, ან xy = 12 არის ორცვლადიანი განტოლებები.

განვიხილოთ განტოლება 2x - y = 1. ის იქცევა ნამდვილ ტოლობაში x = 2 და y = 3, ამიტომ ცვლადი მნიშვნელობების ეს წყვილი არის განსახილველი განტოლების ამოხსნა.

ამრიგად, ნებისმიერი განტოლების ორი ცვლადით ამონახსნი არის მოწესრიგებული წყვილების სიმრავლე (x; y), ცვლადების მნიშვნელობები, რომლებსაც ეს განტოლება აქცევს ნამდვილ რიცხვობრივ ტოლობაში.

ორი უცნობის მქონე განტოლებას შეუძლია:

ა) აქვს ერთი გამოსავალი.მაგალითად, განტოლებას x 2 + 5y 2 = 0 აქვს უნიკალური ამონახსნები (0; 0);

ბ) აქვს მრავალი გადაწყვეტა.მაგალითად, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 აქვს 4 ამონახსნი: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

in) არ აქვს გადაწყვეტილებები.მაგალითად, განტოლებას x 2 + y 2 + 1 = 0 არ აქვს ამონახსნები;

გ) აქვს უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი.მაგალითად, x + y = 3. ამ განტოლების ამონახსნები იქნება რიცხვები, რომელთა ჯამი არის 3. ამ განტოლების ამონახსნების სიმრავლე შეიძლება დაიწეროს როგორც (k; 3 - k), სადაც k არის ნებისმიერი რეალური რიცხვი.

ორი ცვლადით განტოლებების ამოხსნის ძირითადი მეთოდებია მეთოდები, რომლებიც დაფუძნებულია ფაქტორინგის გამოსახულებებზე, სრული კვადრატის ხაზგასმა, კვადრატული განტოლების თვისებების, შემოსაზღვრული გამოსახულებების და შეფასების მეთოდების გამოყენებით. განტოლება, როგორც წესი, გარდაიქმნება ფორმად, საიდანაც შეიძლება მიღებულ იქნეს უცნობის საპოვნელ სისტემაში.

ფაქტორიზაცია

მაგალითი 1

ამოხსენით განტოლება: xy - 2 = 2x - y.

გადაწყვეტილება.

ჩვენ ვაჯგუფებთ პირობებს ფაქტორინგის მიზნით:

(xy + y) - (2x + 2) = 0. ამოიღეთ საერთო ფაქტორი თითოეული ფრჩხილიდან:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y - 2) = 0. გვაქვს:

y = 2, x არის ნებისმიერი რეალური რიცხვი ან x = -1, y არის ნებისმიერი რეალური რიცხვი.

ამრიგად, პასუხი არის ფორმის ყველა წყვილი (x; 2), x € R და (-1; y), y € R.

არაუარყოფითი რიცხვების ნულის ტოლობა

მაგალითი 2

ამოხსენით განტოლება: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

გადაწყვეტილება.

დაჯგუფება:

(9x 2 - 12x + 4) + (4y 2 - 12y + 9) = 0. ახლა თითოეული ფრჩხილის კოლაფსი შესაძლებელია კვადრატული სხვაობის ფორმულის გამოყენებით.

(3x - 2) 2 + (2y - 3) 2 = 0.

ორი არაუარყოფითი გამონათქვამის ჯამი ნულია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ 3x - 2 = 0 და 2y - 3 = 0.

ასე რომ x = 2/3 და y = 3/2.

პასუხი: (2/3; 3/2).

შეფასების მეთოდი

მაგალითი 3

ამოხსენით განტოლება: (x 2 + 2x + 2) (y 2 - 4y + 6) = 2.

გადაწყვეტილება.

თითოეულ ფრჩხილში აირჩიეთ სრული კვადრატი:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. შეფასება ფრჩხილებში გამოსახულებების მნიშვნელობა.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 და (y - 2) 2 + 2 ≥ 2, მაშინ განტოლების მარცხენა მხარე ყოველთვის არის მინიმუმ 2. ტოლობა შესაძლებელია, თუ:

(x + 1) 2 + 1 = 1 და (y - 2) 2 + 2 = 2, ამიტომ x = -1, y = 2.

პასუხი: (-1; 2).

გავეცნოთ მეორე ხარისხის ორი ცვლადით განტოლებების ამოხსნის სხვა მეთოდს. ეს მეთოდი არის ის, რომ განტოლება განიხილება როგორც კვადრატი ზოგიერთი ცვლადის მიმართ.

მაგალითი 4

ამოხსენით განტოლება: x 2 - 6x + y - 4√y + 13 = 0.

გადაწყვეტილება.

განტოლება ამოხსნათ როგორც კვადრატული x-ის მიმართ. მოდი ვიპოვოთ დისკრიმინანტი:

D = 36 - 4(y - 4√y + 13) = -4y + 16√y - 16 = -4(√y - 2) 2 . განტოლებას გამოსავალი ექნება მხოლოდ მაშინ, როდესაც D = 0, ანუ, თუ y = 4. ჩვენ ვცვლით y-ის მნიშვნელობას თავდაპირველ განტოლებაში და ვპოულობთ, რომ x = 3.

პასუხი: (3; 4).

ხშირად ორი უცნობის მქონე განტოლებებში მიუთითებს შეზღუდვები ცვლადებზე.

მაგალითი 5

ამოხსენით განტოლება მთელი რიცხვებით: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

გადაწყვეტილება.

გადავიწეროთ განტოლება სახით x 2 = -5y 2 + 20x + 2. შედეგად მიღებული განტოლების მარჯვენა მხარე 5-ზე გაყოფისას იძლევა ნაშთს 2-ზე. ამიტომ x 2 არ იყოფა 5-ზე. მაგრამ კვადრატი რიცხვი, რომელიც არ იყოფა 5-ზე, იძლევა ნაშთს 1-ის ან 4-ის. ამრიგად, ტოლობა შეუძლებელია და არ არსებობს ამონახსნები.

პასუხი: არ არის ფესვები.

მაგალითი 6

ამოხსენით განტოლება: (x 2 - 4|x| + 5) (y 2 + 6y + 12) = 3.

გადაწყვეტილება.

მოდით ავირჩიოთ სრული კვადრატები თითოეულ ფრჩხილში:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. განტოლების მარცხენა მხარე ყოველთვის მეტია ან ტოლია 3-ზე. ტოლობა შესაძლებელია, თუ |x| – 2 = 0 და y + 3 = 0. ამრიგად, x = ± 2, y = -3.

პასუხი: (2; -3) და (-2; -3).

მაგალითი 7

განტოლების დამაკმაყოფილებელი უარყოფითი მთელი რიცხვების თითოეული წყვილისთვის (x; y).
x 2 - 2xy + 2y 2 + 4y = 33, გამოთვალეთ ჯამი (x + y). უპასუხეთ ყველაზე მცირე რაოდენობას.

გადაწყვეტილება.

აირჩიეთ სრული კვადრატები:

(x 2 - 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x - y) 2 + (y + 2) 2 = 37. ვინაიდან x და y მთელი რიცხვებია, მათი კვადრატებიც მთელი რიცხვებია. ორი მთელი რიცხვის კვადრატების ჯამი, რომელიც უდრის 37-ს, მივიღებთ თუ დავამატებთ 1 + 36. ამიტომ:

(x - y) 2 = 36 და (y + 2) 2 = 1

(x - y) 2 = 1 და (y + 2) 2 = 36.

ამ სისტემების ამოხსნით და იმის გათვალისწინებით, რომ x და y უარყოფითია, ვპოულობთ ამონახსნებს: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

პასუხი: -17.

არ დაიდარდოთ, თუ გაგიჭირდებათ ორი უცნობით განტოლების ამოხსნისას. მცირე პრაქტიკით თქვენ შეძლებთ დაეუფლოთ ნებისმიერ განტოლებას.

გაქვთ რაიმე შეკითხვები? არ იცით როგორ ამოხსნათ განტოლებები ორი ცვლადით?
დამრიგებლის დახმარების მისაღებად - დარეგისტრირდით.
პირველი გაკვეთილი უფასოა!

საიტი, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.

ორცვლადიანი წრფივი განტოლება არის ნებისმიერი განტოლება, რომელსაც აქვს შემდეგი ფორმა: a*x + b*y =c.აქ x და y არის ორი ცვლადი, a,b,c არის რამდენიმე რიცხვი.

ქვემოთ მოცემულია რამდენიმე ხაზოვანი განტოლებების მაგალითები.

1. 10*x + 25*y = 150;

ერთი უცნობის მქონე განტოლებების მსგავსად, წრფივ განტოლებას ორი ცვლადით (უცნობები) ასევე აქვს ამონახსნი. მაგალითად, წრფივი განტოლება x-y=5, x=8 და y=3, იქცევა სწორ იდენტურობაში 8-3=5. ამ შემთხვევაში x=8 და y=3 რიცხვების წყვილი არის x-y=5 წრფივი განტოლების ამონახსნი. ასევე შეიძლება ითქვას, რომ x=8 და y=3 რიცხვების წყვილი აკმაყოფილებს x-y=5 წრფივ განტოლებას.

წრფივი განტოლების ამოხსნა

ამრიგად, a * x + b * y = c წრფივი განტოლების ამონახსნი არის რიცხვების ნებისმიერი წყვილი (x, y), რომელიც აკმაყოფილებს ამ განტოლებას, ანუ ის აქცევს განტოლებას x და y ცვლადებთან სწორ რიცხვად. თანასწორობა. დააკვირდით, როგორ იწერება x და y რიცხვების წყვილი აქ. ასეთი ჩანაწერი უფრო მოკლე და მოსახერხებელია. მხოლოდ უნდა გვახსოვდეს, რომ ასეთ ჩანაწერში პირველი ადგილია x ცვლადის მნიშვნელობა, ხოლო მეორე არის y ცვლადის მნიშვნელობა.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ რიცხვები x=11 და y=8, x=205 და y=200 x= 4.5 და y= -0.5 ასევე აკმაყოფილებენ წრფივ განტოლებას x-y=5 და, შესაბამისად, არიან ამ წრფივი განტოლების ამონახსნები.

წრფივი განტოლების ამოხსნა ორ უცნობში არ არის ერთადერთი.ყველა წრფივ განტოლებას ორ უცნობში აქვს უსასრულოდ ბევრი განსხვავებული ამონახსნები. ანუ არსებობს უსასრულო რაოდენობა განსხვავებულიორი რიცხვი x და y, რომლებიც ხაზოვან განტოლებას ნამდვილ იდენტურად აქცევს.

თუ ორ ცვლადში რამდენიმე განტოლებას აქვს იგივე ამონახსნები, მაშინ ასეთ განტოლებებს ექვივალენტური განტოლებები ეწოდება. უნდა აღინიშნოს, რომ თუ ორი უცნობის მქონე განტოლებებს არ აქვთ ამონახსნები, მაშინ ისინი ასევე განიხილება ეკვივალენტად.

წრფივი განტოლებების ძირითადი თვისებები ორ უცნობში

1. განტოლების ნებისმიერი ტერმინი შეიძლება გადავიდეს ერთი ნაწილიდან მეორეზე, მაშინ როცა აუცილებელია მისი ნიშნის საპირისპიროდ შეცვლა. შედეგად მიღებული განტოლება ორიგინალის ექვივალენტური იქნება.

2. განტოლების ორივე მხარე შეიძლება დაიყოს ნებისმიერ რიცხვზე, რომელიც არ არის ნული. შედეგად, ჩვენ ვიღებთ ორიგინალის ექვივალენტურ განტოლებას.