სქემის კონვერტაცია.
ფუნქციის სიტყვიერი აღწერა.
გრაფიკული გზა.
ფუნქციის დაზუსტების გრაფიკული გზა ყველაზე საილუსტრაციოა და ხშირად გამოიყენება ინჟინერიაში. მათემატიკური ანალიზისას ილუსტრაციად გამოიყენება ფუნქციების დაზუსტების გრაფიკული გზა.
ფუნქციის გრაფიკი f არის კოორდინატთა სიბრტყის ყველა წერტილის (x; y) სიმრავლე, სადაც y=f(x) და x „გადის“ მოცემული ფუნქციის მთელ დომენზე.
კოორდინატთა სიბრტყის ქვესიმრავლე არის რაიმე ფუნქციის გრაფიკი, თუ მას აქვს მაქსიმუმ ერთი საერთო წერტილი Oy ღერძის პარალელურად რომელიმე წრფესთან.
მაგალითი. არის თუ არა ქვემოთ მოცემული ფიგურები ფუნქციების გრაფიკები?
გრაფიკული ამოცანის უპირატესობა მისი სიცხადეა. თქვენ შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ ნახოთ, როგორ იქცევა ფუნქცია, სად იზრდება, სად მცირდება. გრაფიკიდან შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ გაიგოთ ფუნქციის რამდენიმე მნიშვნელოვანი მახასიათებელი.
ზოგადად, ფუნქციის განსაზღვრის ანალიტიკური და გრაფიკული გზები ერთმანეთთან მიდის. ფორმულასთან მუშაობა გეხმარებათ გრაფიკის აგებაში. და გრაფიკი ხშირად გვთავაზობს გადაწყვეტილებებს, რომლებსაც ვერ შეამჩნევთ ფორმულაში.
თითქმის ნებისმიერმა სტუდენტმა იცის ფუნქციის განსაზღვრის სამი გზა, რომელიც ჩვენ ახლახან განვიხილეთ.
შევეცადოთ ვუპასუხოთ კითხვას: "არსებობს თუ არა ფუნქციის განსაზღვრის სხვა გზები?"
არსებობს ასეთი გზა.
ფუნქცია შეიძლება საკმაოდ ცალსახად განისაზღვროს სიტყვებით.
მაგალითად, ფუნქცია y=2x შეიძლება განისაზღვროს შემდეგი სიტყვიერი აღწერით: x არგუმენტის თითოეულ რეალურ მნიშვნელობას ენიჭება მისი გაორმაგებული მნიშვნელობა. წესი დაყენებულია, ფუნქცია დაყენებულია.
უფრო მეტიც, შესაძლებელია ფუნქციის სიტყვიერად დაზუსტება, რომლის დაზუსტება ფორმულით ძალიან რთულია, თუ არა შეუძლებელი.
მაგალითად: x ბუნებრივი არგუმენტის თითოეული მნიშვნელობა ასოცირდება იმ ციფრების ჯამთან, რომლებიც ქმნიან x-ის მნიშვნელობას. მაგალითად, თუ x=3, მაშინ y=3. თუ x=257, მაშინ y=2+5+7=14. და ა.შ. ამის ფორმულით დაწერა რთულია. მაგრამ მაგიდის გაკეთება მარტივია.
სიტყვიერი აღწერის მეთოდი საკმაოდ იშვიათად გამოყენებული მეთოდია. მაგრამ ზოგჯერ ეს ხდება.
თუ x-სა და y-ს შორის არსებობს ერთი-ერთთან შესაბამისობის კანონი, მაშინ არის ფუნქცია. რა კანონი, რა ფორმით არის გამოხატული - ფორმულით, ტაბლეტით, გრაფიკით, სიტყვებით - არ ცვლის საკითხის არსს.
განვიხილოთ ფუნქციები, რომელთა განსაზღვრის სფეროები სიმეტრიულია კოორდინატების წარმოშობის მიმართ, ე.ი. ვინმესთვის Xფარგლებს გარეთ ნომერი (- X) ასევე განეკუთვნება განმარტების სფეროს. ამ ფუნქციებს შორისაა ლუწი და კენტი.
განმარტება.ფუნქცია f ეწოდება თუნდაც, თუ რომელიმესთვის Xმისი დომენის გარეთ
მაგალითი.განიხილეთ ფუნქცია 
ის კი არის. მოდით შევამოწმოთ.
Ვინმესთვის Xთანასწორობებს
ამრიგად, ჩვენთვის ორივე პირობა დაკმაყოფილებულია, რაც ნიშნავს, რომ ფუნქცია თანაბარია. ქვემოთ მოცემულია ამ ფუნქციის გრაფიკი.
განმარტება.ფუნქცია f ეწოდება უცნაური, თუ რომელიმესთვის Xმისი დომენის გარეთ 
მაგალითი. განიხილეთ ფუნქცია 
ის უცნაურია. მოდით შევამოწმოთ.
განმარტების დომენი არის მთელი რიცხვითი ღერძი, რაც ნიშნავს, რომ ის სიმეტრიულია წერტილის მიმართ (0; 0).
Ვინმესთვის Xთანასწორობებს
ამრიგად, ჩვენთვის ორივე პირობა დაკმაყოფილებულია, რაც ნიშნავს, რომ ფუნქცია კენტია. ქვემოთ მოცემულია ამ ფუნქციის გრაფიკი.
პირველ და მესამე ფიგურებზე ნაჩვენები გრაფიკები სიმეტრიულია y-ღერძის მიმართ, ხოლო მეორე და მეოთხე ფიგურებში ნაჩვენებია სიმეტრიული საწყისის მიმართ.
რომელი ფუნქციებიდან, რომელთა გრაფიკები ნაჩვენებია ფიგურებზე, რომელია ლუწი და რომელია კენტი?
თუნდაც ფუნქცია.
თუნდაცფუნქცია, რომლის ნიშანიც არ იცვლება ნიშნის შეცვლისას, ეწოდება x.
xთანასწორობა ვ(–x) = ვ(x). Ნიშანი xნიშანზე გავლენას არ ახდენს წ.
ლუწი ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია კოორდინატთა ღერძის მიმართ (ნახ. 1).
ფუნქციის მაგალითებიც კი:
წ= cos x
წ = x 2
წ = –x 2
წ = x 4
წ = x 6
წ = x 2 + x
ახსნა:
ავიღოთ ფუნქცია წ = x 2 ან წ = –x 2 .
ნებისმიერი ღირებულებისთვის xფუნქცია დადებითია. Ნიშანი xნიშანზე გავლენას არ ახდენს წ. გრაფიკი სიმეტრიულია კოორდინატთა ღერძის მიმართ. ეს თანაბარი ფუნქციაა.
უცნაური ფუნქცია.
უცნაურიარის ფუნქცია, რომლის ნიშანი იცვლება ნიშნის შეცვლისას x.
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ნებისმიერი ღირებულებისთვის xთანასწორობა ვ(–x) = –ვ(x).
კენტი ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია საწყისის მიმართ (ნახ. 2).
უცნაური ფუნქციის მაგალითები:
წ= ცოდვა x
წ = x 3
წ = –x 3
ახსნა:
აიღეთ ფუნქცია y = - x 3 .
ყველა ღირებულება ზეექნება მინუს ნიშანი. ეს არის ნიშანი xგავლენას ახდენს ნიშანზე წ. თუ დამოუკიდებელი ცვლადი დადებითი რიცხვია, მაშინ ფუნქცია დადებითია; თუ დამოუკიდებელი ცვლადი უარყოფითი რიცხვია, მაშინ ფუნქცია უარყოფითია: ვ(–x) = –ვ(x).
ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია წარმოშობის მიმართ. ეს უცნაური ფუნქციაა.
ლუწი და კენტი ფუნქციების თვისებები:
ᲨᲔᲜᲘᲨᲕᲜᲐ:
ყველა მახასიათებელი არ არის ლუწი ან კენტი. არის ფუნქციები, რომლებიც არ ექვემდებარება ასეთ გრადაციას. მაგალითად, root ფუნქცია ზე = √Xარ ვრცელდება არც ლუწ და არც კენტ ფუნქციებზე (ნახ. 3). ასეთი ფუნქციების თვისებების ჩამოთვლისას უნდა იყოს შესაბამისი აღწერა: არც ლუწი და არც კენტი.
პერიოდული ფუნქციები.
მოგეხსენებათ, პერიოდულობა არის გარკვეული პროცესების გამეორება გარკვეული ინტერვალით. ფუნქციები, რომლებიც აღწერს ამ პროცესებს, ე.წ პერიოდული ფუნქციები. ანუ ეს არის ფუნქციები, რომელთა გრაფიკებში არის ელემენტები, რომლებიც მეორდება გარკვეული რიცხვითი ინტერვალებით.
ლუწი და კენტი ფუნქციების გრაფიკებს აქვთ შემდეგი მახასიათებლები:
თუ ფუნქცია ლუწია, მაშინ მისი გრაფიკი სიმეტრიულია y-ღერძის მიმართ. თუ ფუნქცია კენტია, მაშინ მისი გრაფიკი სიმეტრიულია წარმოშობის მიმართ.
მაგალითი.დახაზეთ ფუნქცია \(y=\left|x \მარჯვნივ|\).გადაწყვეტილება.განვიხილოთ ფუნქცია: \(f\left(x \right)=\left|x \right|\) და ჩაანაცვლეთ \(x \) საპირისპირო \(-x \). მარტივი გარდაქმნების შედეგად ვიღებთ: $$f\left(-x \right)=\left|-x \right|=\left|x \right|=f\left(x \right)$$ In სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ არგუმენტი ჩანაცვლდება საპირისპირო ნიშნით, ფუნქცია არ შეიცვლება.
ეს ნიშნავს, რომ ეს ფუნქცია ლუწია და მისი გრაფიკი სიმეტრიული იქნება y-ღერძის მიმართ (ვერტიკალური ღერძი). ამ ფუნქციის გრაფიკი ნაჩვენებია მარცხნივ სურათზე. ეს ნიშნავს, რომ გრაფიკის შედგენისას შეგიძლიათ ააგოთ მხოლოდ ნახევარი, ხოლო მეორე ნაწილი (ვერტიკალური ღერძის მარცხნივ, უკვე სიმეტრიულად დახაზეთ მარჯვენა მხარეს). ფუნქციის სიმეტრიის განსაზღვრით, სანამ დაიწყებთ მისი გრაფიკის შედგენას, შეგიძლიათ მნიშვნელოვნად გაამარტივოთ ფუნქციის აგების ან შესწავლის პროცესი. თუ ძნელია შემოწმების გაკეთება ზოგადი ფორმით, შეგიძლიათ ამის გაკეთება უფრო ადვილია: შეცვალეთ სხვადასხვა ნიშნების იგივე მნიშვნელობები განტოლებაში. მაგალითად -5 და 5. თუ ფუნქციის მნიშვნელობები იგივეა, მაშინ შეგვიძლია ვიმედოვნებთ, რომ ფუნქცია ლუწი იქნება. მათემატიკური თვალსაზრისით ეს მიდგომა მთლად სწორი არ არის, მაგრამ პრაქტიკული თვალსაზრისით მოსახერხებელია. შედეგის საიმედოობის გასაზრდელად, შეგიძლიათ შეცვალოთ ასეთი საპირისპირო მნიშვნელობების რამდენიმე წყვილი.
მაგალითი.დახაზეთ ფუნქცია \(y=x\left|x \მარჯვნივ|\).
გადაწყვეტილება.მოდით შევამოწმოთ იგივე, რაც წინა მაგალითში: $$f\left(-x \right)=x\left|-x \right|=-x\left|x \right|=-f\left(x \მარჯვნივ ) $$ ეს ნიშნავს, რომ ორიგინალური ფუნქცია კენტია (ფუნქციის ნიშანი შებრუნებულია).
დასკვნა: ფუნქცია სიმეტრიულია საწყისის მიმართ. თქვენ შეგიძლიათ ააგოთ მხოლოდ ერთი ნახევარი, ხოლო მეორე ნახევარი სიმეტრიულად დახატოთ. ამ სიმეტრიის დახატვა უფრო რთულია. ეს ნიშნავს, რომ თქვენ უყურებთ სქემას ფურცლის მეორე მხრიდან და თავდაყირაც კი. თქვენ ასევე შეგიძლიათ გააკეთოთ ეს: აიღეთ დახატული ნაწილი და დაატრიალეთ იგი საწყისის გარშემო 180 გრადუსით საათის ისრის საწინააღმდეგოდ.
მაგალითი.დახაზეთ ფუნქცია \(y=x^3+x^2\).
გადაწყვეტილება.მოდით შევასრულოთ იგივე ნიშნის შეცვლის შემოწმება, როგორც წინა ორ მაგალითში. $$f\მარცხენა(-x \მარჯვნივ)=\მარცხნივ(-x \მარჯვნივ)^3+\მარცხნივ(-x \მარჯვნივ)^2=-x^2+x^2$$$f\მარცხნივ( -x \right)\not=f\left(x \right),f\left(-x \right)\not=-f\left(x \right)$$ რაც ნიშნავს, რომ ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი .
დასკვნა: ფუნქცია არ არის სიმეტრიული კოორდინატთა სისტემის არც წარმოშობის და არც ცენტრის მიმართ. ეს იმიტომ მოხდა, რომ ეს არის ორი ფუნქციის ჯამი: ლუწი და კენტი. იგივე სიტუაცია იქნება, თუ გამოაკლებთ ორ განსხვავებულ ფუნქციას. მაგრამ გამრავლება ან გაყოფა გამოიწვევს სხვა შედეგს. მაგალითად, ლუწი და კენტი ფუნქციის ნამრავლი იძლევა კენტს. ან ორი კენტის კოეფიციენტს მივყავართ ლუწი ფუნქციამდე.
ლუწი და კენტი ფუნქციები მისი ერთ-ერთი მთავარი თვისებაა და პარიტეტი მათემატიკაში სასკოლო კურსის შთამბეჭდავ ნაწილს იკავებს. ის დიდწილად განსაზღვრავს ფუნქციის ქცევის ხასიათს და დიდად უწყობს ხელს შესაბამისი გრაფიკის აგებას.
მოდით განვსაზღვროთ ფუნქციის პარიტეტი. ზოგადად რომ ვთქვათ, შესასწავლი ფუნქცია განიხილება მაშინაც კი, თუ მის დომენში მდებარე დამოუკიდებელი ცვლადის (x) საპირისპირო მნიშვნელობებისთვის, y (ფუნქციის) შესაბამისი მნიშვნელობები ტოლია.
მოდით მივცეთ უფრო მკაცრი განმარტება. განვიხილოთ ზოგიერთი ფუნქცია f (x), რომელიც განსაზღვრულია D დომენში. ეს იქნება თუნდაც ნებისმიერი x წერტილისთვის, რომელიც მდებარეობს განსაზღვრების დომენში:
- -x (საპირისპირო წერტილი) ასევე დევს მოცემულ ზონაში,
- f(-x) = f(x).
ზემოაღნიშნული განმარტებიდან გამომდინარეობს ასეთი ფუნქციის განსაზღვრის დომენისთვის აუცილებელი პირობა, კერძოდ, სიმეტრია O წერტილის მიმართ, რომელიც არის კოორდინატების საწყისი, რადგან თუ b წერტილი შეიცავს an-ის განმარტების დომენს. ლუწი ფუნქცია, მაშინ შესაბამისი წერტილი - b ასევე დევს ამ დომენში. აქედან გამომდინარე, ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარეობს დასკვნა: ლუწი ფუნქციას აქვს ფორმა, რომელიც სიმეტრიულია ორდინატთა ღერძის მიმართ (Oy).
როგორ განვსაზღვროთ ფუნქციის პარიტეტი პრაქტიკაში?
მიეცით იგი h(x)=11^x+11^(-x) ფორმულის გამოყენებით. იმ ალგორითმის მიხედვით, რომელიც უშუალოდ განსაზღვრებიდან გამომდინარეობს, ჩვენ პირველ რიგში ვსწავლობთ მის განმარტების სფეროს. ცხადია, ის განსაზღვრულია არგუმენტის ყველა მნიშვნელობისთვის, ანუ პირველი პირობა დაკმაყოფილებულია.
შემდეგი ნაბიჯი არის არგუმენტის (x) ჩანაცვლება მისი საპირისპირო მნიშვნელობით (-x).
ჩვენ ვიღებთ:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
ვინაიდან შეკრება აკმაყოფილებს კომუტატიურ (გადაადგილების) კანონს, აშკარაა, რომ h(-x) = h(x) და მოცემული ფუნქციური დამოკიდებულება ლუწია.
შევამოწმოთ h(x)=11^x-11^(-x) ფუნქციის თანასწორობა. იგივე ალგორითმის მიხედვით ვიღებთ h(-x) = 11^(-x) -11^x. მინუსის ამოღება, შედეგად, გვაქვს
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). აქედან გამომდინარე, h(x) არის კენტი.
სხვათა შორის, უნდა გავიხსენოთ, რომ არის ფუნქციები, რომელთა კლასიფიკაცია ამ კრიტერიუმების მიხედვით შეუძლებელია, მათ არც ლუწი და არც კენტი ეწოდება.
ფუნქციებსაც კი აქვთ მრავალი საინტერესო თვისება:
- მსგავსი ფუნქციების დამატების შედეგად მიიღება ლუწი;
- ასეთი ფუნქციების გამოკლების შედეგად მიიღება ლუწი;
- თანაც, თანაც;
- ორი ასეთი ფუნქციის გამრავლების შედეგად მიიღება ლუწი;
- კენტი და ლუწი ფუნქციების გამრავლების შედეგად მიიღება კენტი;
- კენტი და ლუწი ფუნქციების გაყოფის შედეგად მიიღება კენტი;
- ასეთი ფუნქციის წარმოებული არის კენტი;
- თუ კენტი ფუნქციას კვადრატში გამოვყოფთ, მივიღებთ ლუწს.
ფუნქციის პარიტეტი შეიძლება გამოყენებულ იქნას განტოლებების ამოხსნისას.
ისეთი განტოლების ამოსახსნელად, როგორიც არის g(x) = 0, სადაც განტოლების მარცხენა მხარე არის ლუწი ფუნქცია, საკმარისი იქნება მისი ამოხსნის პოვნა ცვლადის არაუარყოფითი მნიშვნელობებისთვის. განტოლების მიღებული ფესვები უნდა იყოს შერწყმული საპირისპირო რიცხვებთან. ერთ-ერთი მათგანი გადამოწმებას ექვემდებარება.
იგივე წარმატებით გამოიყენება პარამეტრით არასტანდარტული პრობლემების გადასაჭრელად.
მაგალითად, არის თუ არა პარამეტრის რაიმე მნიშვნელობა, რომელიც განტოლებას 2x^6-x^4-ax^2=1 ექნება სამი ფესვი?
თუ გავითვალისწინებთ, რომ ცვლადი განტოლებაში შედის ლუწი ხარისხებით, მაშინ ცხადია, რომ x-ით ჩანაცვლება არ შეცვლის მოცემულ განტოლებას. აქედან გამომდინარეობს, რომ თუ გარკვეული რიცხვი არის მისი ფესვი, მაშინ ასევე არის საპირისპირო რიცხვი. დასკვნა აშკარაა: განტოლების ფესვები, გარდა ნულისა, შედის მისი ამონახსნების სიმრავლეში "წყვილებში".
ცხადია, რომ რიცხვი 0 არ არის, ანუ ასეთი განტოლების ფესვების რაოდენობა შეიძლება იყოს მხოლოდ ლუწი და, ბუნებრივია, პარამეტრის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის მას არ შეიძლება ჰქონდეს სამი ფესვი.
მაგრამ 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 განტოლების ფესვების რაოდენობა შეიძლება იყოს კენტი და პარამეტრის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის. მართლაც, ადვილია იმის შემოწმება, რომ მოცემული განტოლების ფესვთა სიმრავლე შეიცავს ამონახსნებს „წყვილებში“. მოდით შევამოწმოთ არის თუ არა 0 ფესვი. განტოლებაში მისი ჩანაცვლებისას მივიღებთ 2=2. ამრიგად, გარდა "დაწყვილებული" 0-ისა, არის ფესვიც, რომელიც ადასტურებს მათ კენტ რიცხვს.
რომლებიც ამა თუ იმ ხარისხით თქვენთვის ნაცნობი იყო. იქვე აღინიშნა, რომ ფუნქციური თვისებების მარაგი ეტაპობრივად შეივსება. ამ განყოფილებაში ორი ახალი თვისება იქნება განხილული.
განმარტება 1.
ფუნქცია y \u003d f (x), x є X, იწოდება მაშინაც კი, თუ X სიმრავლიდან რომელიმე x მნიშვნელობისთვის f (-x) \u003d f (x) ტოლობა მართალია.
განმარტება 2.
ფუნქცია y \u003d f (x), x є X, ეწოდება კენტი, თუ X სიმრავლიდან რომელიმე x მნიშვნელობისთვის f (-x) \u003d -f (x) ტოლობა მართალია.
დაამტკიცეთ, რომ y = x 4 არის ლუწი ფუნქცია.
გადაწყვეტილება. გვაქვს: f (x) \u003d x 4, f (-x) \u003d (-x) 4. მაგრამ (-x) 4 = x 4 . აქედან გამომდინარე, ნებისმიერი x-ისთვის ტოლობა f (-x) = f (x), ე.ი. ფუნქცია თანაბარია.
ანალოგიურად, შეიძლება დადასტურდეს, რომ ფუნქციები y - x 2, y \u003d x 6, y - x 8 ლუწია.
დაამტკიცეთ, რომ y = x 3 არის უცნაური ფუნქცია.
გადაწყვეტილება. გვაქვს: f (x) \u003d x 3, f (-x) \u003d (-x) 3. მაგრამ (-x) 3 = -x 3 . აქედან გამომდინარე, ნებისმიერი x-ისთვის ტოლობა f (-x) \u003d -f (x), ე.ი. ფუნქცია უცნაურია.
ანალოგიურად, შეიძლება დადასტურდეს, რომ ფუნქციები y \u003d x, y \u003d x 5, y \u003d x 7 არის უცნაური.
მე და თქვენ არაერთხელ დავრწმუნდით, რომ მათემატიკაში ახალ ტერმინებს ყველაზე ხშირად „მიწიერი“ წარმოშობა აქვთ, ე.ი. მათი ახსნა შეიძლება გარკვეულწილად. ეს ეხება როგორც ლუწ, ასევე კენტ ფუნქციებს. იხილეთ: y - x 3, y \u003d x 5, y \u003d x 7 არის უცნაური ფუნქციები, ხოლო y \u003d x 2, y \u003d x 4, y \u003d x 6 არის ლუწი ფუნქციები. და ზოგადად, y \u003d x " ფორმის ნებისმიერი ფუნქციისთვის (ქვემოთ ჩვენ კონკრეტულად შევისწავლით ამ ფუნქციებს), სადაც n არის ნატურალური რიცხვი, შეგვიძლია დავასკვნათ: თუ n არის უცნაური რიცხვი, მაშინ ფუნქცია y \u003d x "უცნაურია; თუ n არის ლუწი რიცხვი, მაშინ ფუნქცია y = xn არის ლუწი.
ასევე არის ფუნქციები, რომლებიც არც ლუწია და არც კენტი. ასეთია, მაგალითად, ფუნქცია y \u003d 2x + 3. მართლაც, f (1) \u003d 5, და f (-1) \u003d 1. როგორც ხედავთ, აქ აქედან გამომდინარე, არც იდენტურობა f (-x ) \u003d f ( x), არც იდენტურობა f(-x) = -f(x).
ამრიგად, ფუნქცია შეიძლება იყოს ლუწი, კენტი ან არცერთი.
კითხვას, არის თუ არა მოცემული ფუნქცია ლუწი თუ კენტი, ჩვეულებრივ უწოდებენ ფუნქციის შესწავლას პარიტეტისათვის.
1 და 2 განმარტებები ეხება ფუნქციის მნიშვნელობებს x და -x წერტილებში. ეს ვარაუდობს, რომ ფუნქცია განისაზღვრება x წერტილში და -x წერტილში. ეს ნიშნავს, რომ წერტილი -x ეკუთვნის ფუნქციის დომენს ამავე დროს, როგორც x წერტილი. თუ X რიცხვითი სიმრავლე x მის თითოეულ ელემენტთან ერთად შეიცავს საპირისპირო ელემენტს -x, მაშინ X ეწოდება სიმეტრიულ სიმრავლეს. ვთქვათ (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) არის სიმეტრიული სიმრავლეები, ხოლო )
