ლოგიკური მეთოდები და მათემატიკური ლოგიკა. მათემატიკური ლოგიკის განვითარების ისტორია

შესავალი

სასწავლო კითხვები:

მათემატიკური ლოგიკის ცნებები და განმარტებები.

წინადადების ალგებრის ძირითადი მოქმედებები.

ბულის ალგებრის კანონები და შედეგები.

დასკვნა

შესავალი

კომპიუტერების აგების თეორიულ საფუძველს წარმოადგენს სპეციალური მათემატიკური დისციპლინები. ერთ-ერთი მათგანია ლოგიკის ალგებრა, ანუ ბულის ალგებრა (ჯ. ბული არის მე-19 საუკუნის ინგლისელი მათემატიკოსი, ამ დისციპლინის ფუძემდებელი). მისი აპარატი ფართოდ გამოიყენება კომპიუტერული სქემების, მათი დიზაინისა და ოპტიმიზაციის აღსაწერად.

1. მათემატიკური ლოგიკის ცნებები და განმარტებები.

ლოგიკა- მეცნიერება, რომელიც სწავლობს აზროვნების კანონებსა და ფორმებს; მსჯელობისა და მტკიცებულებების მეთოდების დოქტრინა.

მათემატიკური ლოგიკა (თეორიული ლოგიკა, სიმბოლური ლოგიკა) არის მათემატიკის ფილიალი, რომელიც სწავლობს მათემატიკის საფუძვლების მტკიცებულებებსა და კითხვებს. „თანამედროვე მათემატიკური ლოგიკის საგანი მრავალფეროვანია“. P.S. Poretsky-ის განმარტებით, „მათემატიკური ლოგიკა არის ლოგიკა საგნით, მათემატიკა მეთოდით“. კონდაკოვის განმარტებით, ”მათემატიკური ლოგიკა არის მეორე, ტრადიციული ლოგიკის შემდეგ, მეორე ეტაპი ფორმალური ლოგიკის განვითარებაში, მათემატიკური მეთოდებისა და სიმბოლოების სპეციალური აპარატის გამოყენებით და აზროვნების შესწავლით კალკულუსის (ფორმალიზებული ენების) დახმარებით”. ეს განსაზღვრება შეესაბამება S. K. Kleene-ს განმარტებას: მათემატიკური ლოგიკა არის „მათემატიკური მეთოდების დახმარებით განვითარებული ლოგიკა“. ასევე, A. A. Markov განსაზღვრავს თანამედროვე ლოგიკას, როგორც "ზუსტ მეცნიერებას, რომელიც იყენებს მათემატიკურ მეთოდებს". ყველა ეს განმარტება არ ეწინააღმდეგება, მაგრამ ავსებს ერთმანეთს.

მათემატიკური მეთოდების გამოყენება ლოგიკაში შესაძლებელი ხდება მაშინ, როდესაც განსჯა ფორმულირებულია რაიმე ზუსტ ენაზე. ასეთ ზუსტ ენებს ორი მხარე აქვთ: სინტაქსი და სემანტიკა. სინტაქსი არის წესების ნაკრები ენის ობიექტების ასაგებად (ჩვეულებრივ, ფორმულებს უწოდებენ). სემანტიკა არის კონვენციების ერთობლიობა, რომელიც აღწერს ჩვენს გაგებას ფორმულების (ან ზოგიერთი მათგანის) შესახებ და საშუალებას გვაძლევს მივიჩნიოთ ზოგიერთი ფორმულა ჭეშმარიტად, ზოგი კი არა.

მათემატიკური ლოგიკა სწავლობს ლოგიკურ კავშირებსა და ურთიერთობებს ლოგიკური (დედუქციური) დასკვნა, მათემატიკის ენის გამოყენებით.

სამყაროს კანონებს, საგნების არსს, მათში საერთოს, აბსტრაქტული აზროვნებით ვსწავლობთ. აბსტრაქტული აზროვნების ძირითადი ფორმებია ცნებები, განსჯა და დასკვნები.

შინაარსი- აზროვნების ფორმა, რომელიც ასახავს ცალკეული ობიექტის ან ერთგვაროვანი ობიექტების კლასის არსებით მახასიათებლებს. ენაში ცნებები გამოხატულია სიტყვებით.

კონცეფციის ფარგლები- ობიექტების ნაკრები, რომელთაგან თითოეულს აქვს ატრიბუტები, რომლებიც ქმნიან კონცეფციის შინაარსს. გამოიყოფა ზოგადი და მხოლობითი ცნებები.

მოცულობით გამოირჩევა ცნებების შემდეგი მიმართებები:

ვინაობაან ტომთა დამთხვევა, რაც ნიშნავს, რომ ერთი ცნების მოცულობა უდრის სხვა ცნების მოცულობას;

დაქვემდებარებაან ტომების ჩართვა: ერთ-ერთი ცნების მოცულობა სრულად შედის მეორის მოცულობაში;

გამონაკლისიტომები - შემთხვევა, რომელშიც არ არის ერთი თვისება, რომელიც იქნება ორ ტომად;

კვეთაან ტომების ნაწილობრივი დამთხვევა;

დაქვემდებარებატომები - შემთხვევა, როდესაც ორი ცნების ტომი, ერთმანეთის გამოკლებით, შედის მესამე ტომში.

განაჩენი- ეს არის აზროვნების ფორმა, რომლის დროსაც ხდება რაღაცის დადასტურება ან უარყოფა საგნების, ნიშნების ან მათი ურთიერთობის შესახებ.

დასკვნა- აზროვნების ფორმა, რომლის მეშვეობითაც ერთი ან რამდენიმე განსჯიდან, რომელსაც ეწოდება წინაპირობა, ჩვენ, დასკვნის გარკვეული წესების მიხედვით, ვიღებთ განსჯა-დასკვნას.

Ალგებრაამ სიტყვის ფართო გაგებით, ზოგადი ოპერაციების მეცნიერება, რომელიც მსგავსია შეკრებისა და გამრავლების შესახებ, რომელიც შეიძლება შესრულდეს არა მხოლოდ რიცხვებზე, არამედ სხვა მათემატიკურ ობიექტებზეც.

ლოგიკის ალგებრა (პროპოზიციური ალგებრა, ლოგიკური ალგებრა 1 ) - მათემატიკური ლოგიკის ფილიალი, რომელიც სწავლობს ლოგიკურ მოქმედებებს განცხადებებზე. ყველაზე ხშირად ვარაუდობენ (ე.წ. ორობითი ან ორობითი ლოგიკა, განსხვავებით, მაგალითად, სამეული ლოგიკისაგან), რომ განცხადებები შეიძლება იყოს მხოლოდ ჭეშმარიტი ან მცდარი.

ალგებრების მაგალითები: ნატურალური რიცხვების ალგებრა, რაციონალური რიცხვების ალგებრა, მრავალწევრების ალგებრა, ვექტორების ალგებრა, მატრიცების ალგებრა, სიმრავლეთა ალგებრა და ა.შ. ლოგიკის ან ლოგის ალგებრის ობიექტები წინადადებებია.

განცხადება- ეს არის ნებისმიერი ენის (განცხადების) ნებისმიერი წინადადება, რომლის შინაარსი შეიძლება განისაზღვროს როგორც ჭეშმარიტი ან მცდარი.

რაიმე განცხადება ან მართალია, ან ყალბი; ეს არ შეიძლება იყოს ორივე ერთდროულად.

ბუნებრივ ენაში გამონათქვამები გამოხატულია დეკლარაციული წინადადებებით. ძახილის და კითხვითი წინადადებები არ არის განცხადებები.

განცხადებები შეიძლება გამოითქვას მათემატიკური, ფიზიკური, ქიმიური და სხვა ნიშნების გამოყენებით. ორი რიცხვითი გამონათქვამიდან შეიძლება გაკეთდეს განცხადებები მათი ტოლობის ან უტოლობის ნიშნებთან დაკავშირებით.

განცხადებას ე.წ მარტივი(ელემენტარული) თუ მისი არცერთი ნაწილი არ არის თავად განცხადება.

მარტივი განცხადებებისგან შედგენილ განცხადებას ეწოდება კომპოზიტური(რთული).

ლოგიკის ალგებრაში მარტივი განცხადებები აღინიშნება დიდი ლათინური ასოებით:

და= (არისტოტელე არის ლოგიკის ფუძემდებელი),

AT= (ბანანი იზრდება ვაშლის ხეებზე).

მარტივი დებულებების სიმართლის ან მცდარობის დასაბუთება წყდება ლოგიკის ალგებრის მიღმა. მაგალითად, ჭეშმარიტება ან მცდარი დებულების: „სამკუთხედის კუთხეების ჯამი 180 გრადუსია“ დგინდება გეომეტრიით და - ევკლიდეს გეომეტრიაში ეს დებულება მართალია, ხოლო ლობაჩევსკის გეომეტრიაში მცდარი.

ჭეშმარიტ განცხადებას ენიჭება 1, მცდარს - 0. ამრიგად, და = 1, AT = 0.

ლოგიკის ალგებრა აბსტრაქტულია განცხადებების სემანტიკური შინაარსიდან. მას აინტერესებს მხოლოდ ერთი ფაქტი - მოცემული დებულება არის ჭეშმარიტი ან მცდარი, რაც შესაძლებელს ხდის ალგებრული მეთოდებით დადგინდეს რთული განცხადებების ჭეშმარიტება ან მცდარი.

შესავალი

ტესტის თემაა „მათემატიკური ლოგიკა“.

BOOL ან BOOL, ისევე როგორც BUUL, George (1815-1864) - ინგლისელი მათემატიკოსი, რომელიც ითვლება მათემატიკური ლოგიკის ფუძემდებლად.

მათემატიკური ლოგიკა არის მათემატიკის დარგი, რომელიც ეძღვნება მსჯელობის მეთოდების ანალიზს, ხოლო, უპირველეს ყოვლისა, იკვლევენ მსჯელობის ფორმებს და არა მათ შინაარსს, ე.ი. შესწავლილია მსჯელობის ფორმალიზაცია.

მსჯელობის ფორმალიზება არისტოტელემდე მიდის. არისტოტელეურმა (ფორმალურმა) ლოგიკამ თანამედროვე ფორმა შეიძინა მე-19 საუკუნის მეორე ნახევარში ჯორჯ ბულის ნაშრომში „აზროვნების კანონები“.

ინტენსიურად მათემატიკური ლოგიკა დაიწყო განვითარება XX საუკუნის 50-იან წლებში ციფრული ტექნოლოგიების სწრაფ განვითარებასთან დაკავშირებით.

1. მათემატიკური ლოგიკის ელემენტები

მათემატიკური ლოგიკის ძირითადი განშტოებებია წინადადებათა კალკულუსი და პრედიკატის გამოთვლა.

წინადადება არის წინადადება, რომელიც შეიძლება იყოს ჭეშმარიტი ან მცდარი.

წინადადებების გაანგარიშება არის მათემატიკური ლოგიკის შესავალი ნაწილი, რომელიც ეხება წინადადებებზე ლოგიკურ ოპერაციებს.

პრედიკატი არის n ცვლადის ლოგიკური ფუნქცია, რომელიც იღებს true ან false მნიშვნელობებს.

პრედიკატების გამოთვლა მათემატიკური ლოგიკის დარგია, რომლის ობიექტს წარმოადგენს წინადადებების კალკულუსის შემდგომი შესწავლა და განზოგადება.

ლოგიკური ალგებრების თეორია (ბულის ფუნქციები) არის ანალიზისა და სინთეზის ზუსტი მეთოდების საფუძველი კომპიუტერული სისტემების დიზაინში გადართვის სქემების თეორიაში.

1.1 ლოგიკის ალგებრის ძირითადი ცნებები

ლოგიკის ალგებრა არის მათემატიკური ლოგიკის ფილიალი, რომელიც სწავლობს ლოგიკურ მოქმედებებს წინადადებებზე.

ალგებრაში ლოგიკოსებს მხოლოდ წინადადებების სიმართლის მნიშვნელობა აინტერესებთ. სიმართლის მნიშვნელობები ჩვეულებრივ აღინიშნება:

1 (მართალი) 0 (მცდარი).

თითოეული ლოგიკური ოპერაცია შეესაბამება ფუნქციას, რომელიც იღებს მნიშვნელობებს 1 ან 0, რომლის არგუმენტები ასევე იღებს მნიშვნელობებს 1 ან 0.

ასეთ ფუნქციებს ეწოდება ლოგიკური ან ლოგიკური, ან ლოგიკის ალგებრის ფუნქციები (FAL). ამ შემთხვევაში, ლოგიკური (ლოგიკური) ცვლადი xშეიძლება მხოლოდ ორი მნიშვნელობის მიღება:

.

ამრიგად,

- ლოგიკური ფუნქცია, რომელშიც ლოგიკური ცვლადები არის განცხადებები. მაშინ ლოგიკური ფუნქცია თავისთავად რთული წინადადებაა.

ამ შემთხვევაში, ლოგიკის ალგებრა შეიძლება განისაზღვროს, როგორც ლოგიკური ფუნქციების ერთობლიობა, მასში მითითებული ყველა სახის ლოგიკური მოქმედებით. ისეთი ლოგიკური ოპერაციები, როგორიცაა შეერთება (წაიკითხეთ და), დისუნქცია ( ან), იმპლიკამენტი, ეკვივალენტობა, უარყოფა ( არა), შეესაბამება ლოგიკურ ფუნქციებს, რისთვისაც მიღებულია აღნიშვნები

(&, ), ~, - (), და არის ჭეშმარიტების ცხრილი:

						x~y
0	0	0	0	1	1	1
0	1	0	1	1	1	0
1	0	0	1	0	0	0
1	1	1	1	1	0	1

ეს არის ცხრილის მეთოდი FAL-ის დასაყენებლად. მათთან ერთად, ფუნქციები მითითებულია ფორმულების გამოყენებით ცვლადების შემცველ ენაზე. x , წ , …, ზ(შესაძლოა ინდექსირებული) და ზოგიერთი კონკრეტული ფუნქციის სიმბოლოები - FAL-ის დაყენების ანალიტიკური გზა.

ყველაზე გავრცელებული არის ენა, რომელიც შეიცავს ლოგიკურ სიმბოლოებს

~, –. ამ ენის ფორმულები განისაზღვრება შემდეგნაირად:

1) ყველა ცვლადი არის ფორმულები;

2) თუ პდა ქ- ფორმულები, მაშინ

პ ~ ქ, - ფორმულები.

მაგალითად, გამოხატულება

~ - ფორმულა. თუ ცვლადი x , წ , ზმიანიჭეთ მნიშვნელობები ორობითი ნაკრებიდან 0, 1 და შეასრულეთ გამოთვლები ფორმულაში მითითებული ოპერაციების შესაბამისად, შემდეგ მივიღებთ მნიშვნელობას 0 ან 1.

ამას ამბობენ ფორმულა ახორციელებს ფუნქციას.ასე რომ, ფორმულა

~ ახორციელებს ფუნქციას თ (x , წ , ზ):

x	წ	ზ	თ (x, y, z)
0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	0
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	0

დაე იყოს პდა ქ- ფორმულები, რომლებიც ახორციელებენ ფუნქციებს ვ (x 1 , x 2 , …, x n) და გ (x 1 , x 2 , …, x n). ფორმულებია: პ = ქთუ ფუნქციები ვდა გმატჩი, ე.ი. მათი სიმართლის ცხრილები ემთხვევა. ალგებრას, რომლის მთავარი სიმრავლე არის ლოგიკური ფუნქციების მთელი სიმრავლე და რომლის მოქმედებებია დისუნქცია, შეერთება და უარყოფა, ეწოდება ლოგიკური ფუნქციების ლოგიკური ალგებრა.

მოდით წარმოვადგინოთ კანონები და იდენტობები, რომლებიც განსაზღვრავენ ოპერაციებს

– და მათი კავშირი ოპერაციებთან, ~:

1. შეერთებისა და განცალკევების იდემპოტენცია:

.

2. კავშირისა და დისიუნქციის ურთიერთმიმართება:

.

3. კავშირისა და დისიუნქციის ასოციაციურობა:

.

4. კავშირის განაწილება კავშირთან მიმართებაში და დისიუნქცია კავშირთან მიმართებაში:

.

5. ორმაგი უარყოფა:

.

6. დე მორგანის კანონები:

=, =.

7. შეკვრა:

.

8. აბსორბცია

.

9. მოქმედებები 0 და 1 მუდმივებით.

მათემატიკური ლოგიკის მთავარი იდეა არის ცოდნისა და მსჯელობის ფორმალიზაცია. ცნობილია, რომ ყველაზე ადვილად ფორმალიზებული ცოდნა მათემატიკურია. ამრიგად, მათემატიკური ლოგიკა არსებითად არის მათემატიკის მეცნიერება, ანუ მეტამათემატიკა. მათემატიკური ლოგიკის ცენტრალური კონცეფცია არის ``მათემატიკური მტკიცებულება''. მართლაც, „დამტკიცების“ (სხვა სიტყვებით, დედუქციური) მსჯელობა არის მსჯელობის ერთადერთი სახეობა, რომელიც აღიარებულია მათემატიკაში. მათემატიკური ლოგიკაში მსჯელობა სწავლობს ფორმის და არა მნიშვნელობის მიხედვით. არსებითად, მსჯელობა მოდელირებულია ტექსტის (ფორმულების) გადაწერის წმინდა ``მექანიკური'' პროცესით. ამ პროცესს გაყვანა ეწოდება. ისინი ასევე ამბობენ, რომ მათემატიკური ლოგიკა მოქმედებს მხოლოდ სინტაქსური ცნებებით. თუმცა, როგორც წესი, ჯერ კიდევ მნიშვნელოვანია, თუ როგორ უკავშირდება მსჯელობა რეალობას (ან ჩვენს იდეებს). ამიტომ, ჯერ კიდევ უნდა გვახსოვდეს ფორმულებისა და წარმოშობის გარკვეული მნიშვნელობა. ამ შემთხვევაში გამოიყენება ტერმინი სემანტიკა (სინონიმი სიტყვის ``გრძნობა““) და სინტაქსი და სემანტიკა მკაფიოდ არის გამიჯნული. როდესაც ადამიანებს მხოლოდ სინტაქსი აინტერესებთ, ხშირად გამოიყენება ტერმინი `ფორმალური სისტემა~. ჩვენ გამოვიყენებთ ამ ტერმინის სინონიმს - ``კალკულუსი““ (ტერმინები ``ფორმალური თეორია“” და ``აქსიომატიკა“) ასევე გამოიყენება. ფორმალური სისტემების ობიექტია ტექსტის ხაზები (სიმბოლოების თანმიმდევრობა), რომელთა დახმარებით იწერება ფორმულები.

ფორმალური სისტემა განისაზღვრება, თუ:

მითითებულია ანბანი (სიმბოლოების ნაკრები, რომელიც გამოიყენება ფორმულების შესაქმნელად).

გამოიყო ფორმულების ნაკრები, რომელსაც აქსიომები ეწოდება. ეს არის ამოსავალი წერტილები დასკვნებში.

მოცემულია დასკვნის წესების ნაკრები, რომელიც საშუალებას აძლევს ადამიანს მიიღოს ახალი ფორმულა ზოგიერთი ფორმულიდან (ან ფორმულების ნაკრებიდან).

ოპერაციების ძირითადი პრინციპები

უარყოფა

ლოგიკური წინადადების უარყოფა არის ლოგიკური წინადადება, რომელიც იღებს მნიშვნელობას "true", თუ ორიგინალური წინადადება მცდარია და პირიქით. ეს არის სპეციალური ლოგიკური ოპერაცია. მდებარეობიდან გამომდინარე, განასხვავებენ გარე და შინაგან უარყოფას, რომელთა თვისებები და როლები მნიშვნელოვნად განსხვავდება.

1. გარეგანი უარყოფა (პროპოზიციური) ემსახურება რთული დებულების ფორმირებას სხვა (აუცილებლად მარტივი) დებულებიდან. იგი ადასტურებს უარყოფილ განცხადებაში აღწერილი მდგომარეობის არარსებობას. ტრადიციულად, უარყოფით წინადადებას ჭეშმარიტად ამბობენ, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ უარყოფილი წინადადება მცდარია. ბუნებრივ ენაში, უარყოფა, როგორც წესი, გამოიხატება "ეს ასე არ არის", რასაც მოჰყვება უარყოფითი განცხადება.

ფორმალური თეორიების ენებში, უარყოფა არის სპეციალური უნივერსალური წინადადება, რომელიც გამოიყენება ერთი ფორმულიდან სხვა, უფრო რთული ფორმულის შესაქმნელად. უარყოფის აღნიშვნებისთვის ჩვეულებრივ გამოიყენება სიმბოლოები "უარყოფა", "-" ან "-- 1". კლასიკურ წინადადებათა ლოგიკაში ფორმულა -A არის ჭეშმარიტი, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ფორმულა A მცდარია.

თუმცა, არაკლასიკურ ლოგიკაში უარყოფას შეიძლება არ ჰქონდეს კლასიკური უარყოფის ყველა თვისება. ამასთან დაკავშირებით, სრულიად ლოგიკური კითხვა ჩნდება თვისებათა მინიმალური ნაკრების შესახებ, რომელიც უნდა აკმაყოფილებდეს გარკვეულმა ერთეულმა ოპერაციამ, რათა უარყოფითად ჩაითვალოს, ასევე არაკლასიკურ ფორმალურ თეორიებში სხვადასხვა უარყოფის კლასიფიკაციის პრინციპების შესახებ (იხ.: Dunn J.M. and Hardegree G.M. Algebraic Methods in Philosophical Logic, Oxford, 2001).

ფაქტობრივად, გარეგანი (პროპოზიციური) უარყოფის ზემოაღნიშნული ტრადიციული გაგება შეიძლება გამოიხატოს შემდეგი მოთხოვნების სისტემის მეშვეობით: (I) თუ A არის ჭეშმარიტი (მცდარი), მაშინ არა-A არის მცდარი (true); (II) თუ არა-A არის ჭეშმარიტი (მცდარი), მაშინ A არის მცდარი (true). ფორმალურად, მოთხოვნები (I) და (II) შეიძლება გამოიხატოს პირობით (1) თუმცა, ირკვევა, რომ პირობა (1) შეიძლება დაიშალოს ორ სუსტ პირობად: (2) "საპირისპირო პოზიცია" და "ორმაგი უარყოფის დანერგვა". შედეგად, შესაძლებელი ხდება სუბმინიმალური უარყოფის იდენტიფიცირება, რომელიც აკმაყოფილებს (2) პირობას, მაგრამ არ აკმაყოფილებს (3). ორმაგი უარყოფა": (4) --.- A = A. მინიმალურ უარყოფას (ანუ, დამაკმაყოფილებელი პირობა (1) ან პირობები (2) და (3) ერთად), რომლის პირობაც (4) დაკმაყოფილებულია, დე მორგანის უარყოფა ეწოდება. მინიმალური უარყოფა, რომელიც აკმაყოფილებს დამატებით თვისებას (5): თუ A -- * B, მაშინ ნებისმიერი C-სთვის მართალია, რომ A p C ("აბსურდის თვისება") -- ეწოდება ინტუიციურს. უარყოფა. შესაძლებელია ჩამოვაყალიბოთ პრინციპი (6), რომელიც ორმაგია აბსურდის პრინციპთან: თუ B |=Au - S p A, მაშინ ნებისმიერი C-სთვის მართალია C p A. უარყოფის ამ პრინციპის დაკმაყოფილება. არის ნეგატივის ფორმა პარაკონსისტენტურ ლოგიკაში. და ბოლოს, დე მორგანის უარყოფას (თვისებები (2), (3), (4)), რომლისთვისაც მოქმედებს (5) ან (6), ეწოდება ორთო-უარყოფა. უარყოფას ეწოდება ბულის უარყოფა, ან კლასიკური უარყოფა.

2. შინაგანი უარყოფა მარტივი განცხადების ნაწილია. განასხვავებენ უარყოფას შეკვრის შემადგენლობაში (უარყოფითი შეკვრა) და ტერმინალური უარყოფა.

რგოლის შემადგენლობაში უარყოფა გამოიხატება ნაწილაკით „არა“ ბმული-ზმნის წინ (ასეთის არსებობის შემთხვევაში) ან სემანტიკური ზმნის წინ. ის ემსახურება რაიმე სახის ურთიერთობის არარსებობის შესახებ მსჯელობის გამოთქმას („ივანე არ იცნობს პეტრეს“), ან ნეგატიური პრედიკატიული კავშირის ფორმირებას, როგორც კატეგორიული ატრიბუტიული განსჯის ნაწილი.

ტერმინის უარყოფა გამოიყენება უარყოფითი ტერმინების ფორმირებისთვის. იგი გამოიხატება პრეფიქსით "არა" ან მასთან ახლოს მნიშვნელობით ("ყველა მოუმწიფებელი ვაშლი მწვანეა").

შეერთება

ორი ლოგიკური დებულების შეერთება არის ლოგიკური განცხადება, ჭეშმარიტი მხოლოდ მაშინ, როდესაც ისინი ერთდროულად ჭეშმარიტია (ლათინური კავშირებიდან - კავშირი, კავშირი), ფართო გაგებით - რთული დებულება, რომელიც ჩამოყალიბებულია კავშირის "და"-ს დახმარებით. პრინციპში, შეიძლება საუბარი უსასრულო რაოდენობის წინადადებების შეერთებაზე (მაგალითად, მათემატიკაში ყველა ჭეშმარიტი წინადადების შეერთებაზე). ლოგიკაში კავშირი არის ლოგიკური შეერთება (ოპერაცია, ფუნქცია; აღინიშნება: &,); მისი დახმარებით ჩამოყალიბებული რთული განცხადება ჭეშმარიტია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მისი კომპონენტები თანაბრად ჭეშმარიტია. კლასიკურ წინადადებათა ლოგიკაში შეერთება უარყოფასთან ერთად წარმოადგენს წინადადებათა კავშირების ფუნქციურად სრულ სისტემას. ეს ნიშნავს, რომ ნებისმიერი სხვა წინადადების დამაკავშირებელი შეიძლება განისაზღვროს მათი მეშვეობით. შეერთების ერთ-ერთი თვისებაა კომუტატიულობა (ანუ A & B და B & A-ის ეკვივალენტობა). თუმცა, ხანდახან ისინი საუბრობენ არაკომუტაციური, ანუ მოწესრიგებული კავშირის შესახებ (ასეთი შეერთებიდან გამოთქმის მაგალითია: „კაკი უსტვენდა და ცხენები გალოპდნენ“).

დისჯუნქცია

ორი ლოგიკური განცხადების განცალკევება არის ლოგიკური განცხადება, რომელიც ჭეშმარიტია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მათგან ერთი მაინც არის ჭეშმარიტი.

(ლათინური disjunctio - განცალკევება, იზოლაცია), ფართო გაგებით - რთული განცხადება, რომელიც წარმოიქმნება ორი ან მეტი წინადადებისგან კავშირის "ან" გამოყენებით, გამოხატავს ალტერნატიულობას ან არჩევანს.

სიმბოლურ ლოგიკაში დისიუნქცია არის ლოგიკური შემაერთებელი (ოპერაცია, ფუნქცია), რომელიც ქმნის კომპლექსურ დებულებას A და B წინადადებებიდან, რომლებიც ჩვეულებრივ აღინიშნება როგორც A V B, რაც მართალია, თუ ორი დისიუნგციური ტერმინიდან ერთი მაინც მართალია: დაან შიგნით.

კლასიკურ ლოგიკაში დისუნქცია უარყოფასთან ერთად ქმნის წინადადებათა კავშირების ფუნქციურად სრულ სისტემას, რაც შესაძლებელს ხდის მათი მეშვეობით განისაზღვროს სხვა წინადადებათა კავშირები.

ტრადიციულად, მიღებულია განხილული (არამკაცრი) განცალკევება მკაცრი (განცალკევებული) განცალკევებისგან განასხვავოთ, რაც ხასიათდება იმით, რომ შესაბამისი განცხადება არის ჭეშმარიტი იმ პირობით, რომ ერთი და მხოლოდ ერთი განმასხვავებელი ტერმინი არის ჭეშმარიტი.

იმპლიკამენტი

ორი ლოგიკური დებულების მნიშვნელობა A და B არის ლოგიკური დებულება, რომელიც მცდარია მხოლოდ მაშინ, როდესაც B არის მცდარი და A არის ჭეშმარიტი (ლათინურიდან implicatio - plexus, implico-დან - მე მჭიდროდ ვაკავშირებ) - ლოგიკური კავშირი, რომელიც შეესაბამება გრამატიკულ კონსტრუქციას „თუ .., შემდეგ ... ”, რომლის დახმარებით ყალიბდება რთული დებულება ორი მარტივი დებულებიდან. იმპლიკაციურ დებულებაში განასხვავებენ წინამორბედს (ფუძეს) - დებულებას, რომელიც მოდის სიტყვის „თუ“-ს შემდეგ, და თანმიმდევრული (შედეგი) - განცხადება, რომელიც მოჰყვება სიტყვას „მაშინ“. იმპლიკაციური დებულება ლოგიკის ენაზე წარმოადგენს ჩვეულებრივი ენის პირობით განცხადებას. ეს უკანასკნელი განსაკუთრებულ როლს თამაშობს როგორც ყოველდღიურ, ისე მეცნიერულ მსჯელობაში, მისი მთავარი ფუნქციაა ერთის დასაბუთება სხვა რამის მითითებით.

გამამართლებელსა და გამართლებულს შორის, პირობითი დებულებით გამოხატული კავშირი ძნელი დასახასიათებელია ზოგადი სახით და მხოლოდ ხანდახან არის შედარებით ნათელი მისი ბუნება. ეს კავშირი შეიძლება იყოს, კერძოდ, ლოგიკური შედეგის კავშირი, რომელიც ხდება შენობებსა და სწორი დასკვნის დასკვნას შორის („თუ ყველა ცოცხალი მრავალუჯრედიანი არსება მოკვდავია და მედუზა ასეთი არსებაა, მაშინ ის მოკვდავია“). კავშირი შეიძლება იყოს ბუნების კანონი („თუ სხეული ექვემდებარება ხახუნს, ის დაიწყებს გაცხელებას“) ან მიზეზობრივი კავშირი („თუ მთვარე ახალ მთვარეზე თავის ორბიტაზე არის კვანძში, მზის დაბნელება. ხდება“). განხილულ კავშირს ასევე შეიძლება ჰქონდეს სოციალური ნიმუშის, წესების, ტრადიციების და ა.შ. („თუ იცვლება ეკონომიკა, იცვლება პოლიტიკაც“, „თუ დაპირება გაცემულია, ის უნდა შესრულდეს“).

პირობითად გამოხატული კავშირი ვარაუდობს, რომ თანმიმდევრობა აუცილებლად „მოჰყვება“ წინამორბედს და რომ არსებობს რაიმე ზოგადი კანონი, რომელსაც შეუძლია ჩამოაყალიბოს, ლოგიკურად შეგვიძლია გამოვიტანოთ შედეგი წინამორბედიდან. მაგალითად, პირობითი დებულება „თუ ბისმუტი მეტალია, ის პლასტიკურია“ გულისხმობს ზოგად კანონს „ყველა ლითონი პლასტიკურია“, რაც ამ განცხადების შედეგს მისი წინამორბედის ლოგიკურ შედეგად აქცევს.

როგორც ჩვეულებრივ ენაზე, ისე მეცნიერების ენაზე პირობით დებულებას, გარდა დასაბუთების ფუნქციისა, შეუძლია შეასრულოს სხვა რიგი დავალებაც. მას შეუძლია ჩამოაყალიბოს მდგომარეობა, რომელიც არ არის დაკავშირებული c.-l-თან. ნაგულისხმევი ზოგადი კანონი ან წესი ("თუ მინდა, მოვიჭრი ჩემს მოსასხამს"), გარკვეული თანმიმდევრობის დასაფიქსირებლად ("თუ შარშანდელი ზაფხული მშრალი იყო, მაშინ წელს წვიმს"), გამოთქვას ურწმუნოება თავისებური. ფორმა („თუ პრობლემას მოაგვარებ, მე დავამტკიცებ ფერმას დიდ თეორემას“), ოპოზიციას („თუ ბაღში კომბოსტო იზრდება, მაშინ ბაღში ვაშლის ხე იზრდება“) და ა.შ. პირობითი დებულების ფუნქციების სიმრავლე და ჰეტეროგენულობა მნიშვნელოვნად ართულებს მის ანალიზს.

ლოგიკურ სისტემებში აბსტრაქტდება პირობითი განცხადების ჩვეულებრივი გამოყენების თავისებურებებიდან, რაც იწვევს სხვადასხვა იმპლიკაციებს. მათგან ყველაზე ცნობილია მატერიალური იმპლიკა, მკაცრი იმპლიკა და შესაბამისი (შესაბამისი) იმპლიკაცია.

მატერიალური იმპლიკაცია კლასიკური ლოგიკის ერთ-ერთი მთავარი რგოლია. იგი შემდეგნაირად არის განსაზღვრული: იმპლიკამენტი მცდარია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ წინამორბედი არის ჭეშმარიტი და შედეგი არის მცდარი და ჭეშმარიტი ყველა სხვა შემთხვევაში. პირობითი „თუ A, მაშინ B“ გულისხმობს გარკვეულ რეალურ კავშირს A-სა და B-ში ნათქვამს შორის; გამოთქმა "A მატერიალურად გულისხმობს B" არ გულისხმობს ასეთ კავშირს.

მკაცრი იმპლიკაციით განისაზღვრება (ლოგიკური) შეუძლებლობის მოდალური ცნება: „A მკაცრად გულისხმობს B“ ნიშნავს „შეუძლებელია A იყოს ჭეშმარიტი და B მცდარი“.

შესაბამის ლოგიკაში იმპლიკაცია გაგებულია როგორც პირობითი კავშირი მისი ჩვეულებრივი გაგებით. შესაბამისი იმპლიკაციის შემთხვევაში, არ შეიძლება ითქვას, რომ ჭეშმარიტი წინადადება შეიძლება გამართლდეს რომელიმე წინადადებაზე მითითებით და რომ ნებისმიერი წინადადება შეიძლება გამართლდეს მცდარი წინადადებით.

ეკვივალენტობა

ორი ლოგიკური განცხადების ეკვივალენტობა არის ლოგიკური განცხადება, რომელიც ჭეშმარიტია მხოლოდ მაშინ, როდესაც ისინი ორივე ჭეშმარიტია ან მცდარი (გვიანი ლათინური ეკვივალენტებიდან - ექვივალენტი) - ზოგადი სახელწოდება ყველა სახის მიმართებისთვის, როგორიცაა თანასწორობა, ე.ი. რეფლექსური, სიმეტრიული და გარდამავალი ორობითი ურთიერთობები. მაგალითები: ეკვივალენტობა (მნიშვნელობის, მნიშვნელობის, შინაარსის, გამომსახველობითი და (ან) დედუქციური შესაძლებლობების დამთხვევა ცნებებს, ცნებებს, მეცნიერულ თეორიებს ან მათ ფორმალურ სისტემას შორის) გეომეტრიის, ფიგურების თანხვედრა ან მსგავსება; იზომორფიზმი; კომპლექტების ეკვივალენტობა და ნებისმიერი ობიექტის სხვა ეკვივალენტობა ნიშნავს მათ თანასწორობას (იდენტურობას) გარკვეული თვალსაზრისით

(მაგალითად, იზომორფული სიმრავლეები არ განსხვავდებიან თავიანთი "სტრუქტურით", თუ "სტრუქტურაში" ვგულისხმობთ იმ თვისებების მთლიანობას, რომელთა მიმართაც ეს სიმრავლეები იზომორფულია). ნებისმიერი ეკვივალენტური მიმართება წარმოქმნის სიმრავლის ნაწილს, რომელზედაც იგი განისაზღვრება წყვილ-წყვილად, არაგადაკვეთის "ეკვივალენტურ კლასებად" ერთ კლასში, ამ სიმრავლის ეკვივალენტური ელემენტები ენიჭება ერთმანეთს.

ეკვივალენტურობის კლასების ახალ ობიექტებად გათვალისწინება არის აბსტრაქტული ცნებების გენერირების (დანერგვის) ერთ-ერთი მთავარი გზა ლოგიკურ-მათემატიკურ (და ზოგადად საბუნებისმეტყველო მეცნიერებებში) თეორიებში. მაშ ასე, a/b და c/d წილადების გათვალისწინება მთელი რიცხვითი მრიცხველებითა და მნიშვნელების ეკვივალენტით, თუ ad=bc, რაციონალური რიცხვები განიხილება, როგორც ეკვივალენტური წილადების კლასები; ეკვივალენტური სიმრავლეების გათვალისწინებით, რომელთა შორის შესაძლებელია ერთი-ერთზე კორესპონდენციის დადგენა, შემოგვთავაზებენ კომპლექტის კარდინალურობის (კარდინალური რიცხვის) ცნებას (როგორც ერთმანეთის ექვივალენტური სიმრავლეთა კლასი); მატერიის ორი ეკვივალენტის გათვალისწინებით, თანაბარ პირობებში იდენტურ ქიმიურ რეაქციებში შესვლისას, ისინი მიდიან ქიმიური შემადგენლობის აბსტრაქტულ კონცეფციამდე და ა.შ.

ტერმინი "ეკვივალენტობა" ხშირად გამოიყენება არა (მხოლოდ) როგორც ზოგადი, არამედ როგორც სინონიმი მისი ზოგიერთი კონკრეტული მნიშვნელობისთვის ("თეორიების ეკვივალენტობა" ნაცვლად "ეკვივალენტობა", "სიმრავლეების ეკვივალენტობა" ნაცვლად "ეკვივალენტობა", "ეკვივალენტობა". სიტყვების“ აბსტრაქტულ ალგებრაში „იდენტობის“ ნაცვლად და ა.შ.).

რაოდენობრივი განცხადება

რაოდენობრივი მაჩვენებელი უნივერსალური კვანტიფიკატორით.

რაოდენობრივი ლოგიკური წინადადება უნივერსალური კვანტიფიკატორით ("xA(x))" არის ლოგიკური წინადადება, რომელიც ჭეშმარიტია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მოცემულ კრებულში თითოეული x ობიექტისთვის წინადადება A(x) არის ჭეშმარიტი.

კვანტიფიკატორი ეგზისტენციალური კვანტიფიკატორით.

რაოდენობრივი ლოგიკური წინადადება ეგზისტენციალური კვანტიფიკატორით ($xA(x)) არის ლოგიკური წინადადება, რომელიც ჭეშმარიტია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მოცემულ კრებულში არსებობს ობიექტი x ისეთი, რომ წინადადება A(x) არის ჭეშმარიტი.

მათემატიკური ლოგიკის სტრუქტურა

განყოფილება „მათემატიკური ლოგიკა“ შედგება სამი ნაწილისაგან: არაფორმალური აქსიომატიური მეთოდის შესახებ, წინადადებების ლოგიკაზე და პრედიკატების ლოგიკაზე (პირველი რიგის). აგების აქსიომური მეთოდი პირველი ნაბიჯია თეორიის ფორმალიზაციისკენ. მათემატიკური ლოგიკაში განხილული ამოცანების უმეტესობა შედგება გარკვეული განცხადებების დადასტურებაში. მათემატიკურ ლოგიკას მრავალი განშტოება აქვს. იგი იყენებს წინადადებათა ლოგიკის ტაბულურ კონსტრუქციას, იყენებს წინადადებების ლოგიკის სიმბოლოებისა და ფორმულების სპეციალურ ენას.

არაფორმალური აქსიომური მეთოდი

აქსიომატური მეთოდი, რომელიც არ აფიქსირებს მკაცრად გამოყენებულ ენას და, შესაბამისად, არ აფიქსირებს საგნის აზრობრივი გაგების საზღვრებს, მაგრამ მოითხოვს ყველა ცნების აქსიომატიურ განსაზღვრას, რომელიც სპეციალურად არის მოცემული სასწავლო საგნისთვის. ამ ტერმინს არ აქვს ზოგადად მიღებული განმარტება.

აქსიომური მეთოდის განვითარების ისტორია ხასიათდება ფორმალიზების მუდმივად მზარდი ხარისხით. არაფორმალური აქსიომატური მეთოდი არის გარკვეული ნაბიჯი ამ პროცესში.

ევკლიდეს მიერ მოცემული ორიგინალი, გეომეტრიის აქსიომატური კონსტრუქცია გამოირჩეოდა პრეზენტაციის დედუქციური ხასიათით, რომელიც ეფუძნებოდა განმარტებებს (ახსნას) და აქსიომებს (აშკარა განცხადებები). მათგან მიღებული იყო შედეგები საღი აზრისა და მტკიცებულებების საფუძველზე. ამავდროულად, დერივაცია ზოგჯერ ირიბად იყენებდა გეომეტრიის, ხასიათის დაშვებებს, რომლებიც არ არის დაფიქსირებული აქსიომებში, განსაკუთრებით მათ შორის, რომლებიც დაკავშირებულია სივრცეში მოძრაობასთან და ხაზებისა და წერტილების ურთიერთგანლაგებასთან. შემდგომში გამოვლინდა გეომეტრია, ცნებები და მათი გამოყენების მარეგულირებელი აქსიომები, რომლებიც ირიბად გამოიყენეს ევკლიდემ და მისმა მიმდევრებმა. ამ შემთხვევაში გაჩნდა კითხვა, მართლაც გამოვლინდა თუ არა ყველა აქსიომა. ამ საკითხის გადაწყვეტის სახელმძღვანელო პრინციპი ჩამოაყალიბა დ. ჰილბერტმა: „უზრუნველყოფილი უნდა იყოს, რომ მაგიდებზე, სკამებსა და ლუდის ჭიქებზე წერტილების, ხაზებისა და სიბრტყეების ნაცვლად თანაბარი წარმატებით შეიძლება საუბარი“. თუ მტკიცებულება არ კარგავს თავის დამამტკიცებელ ძალას ასეთი ჩანაცვლების შემდეგ, მაშინ მართლაც ყველა სპეციალური დაშვება, რომელიც გამოიყენება ამ მტკიცებულებაში, ფიქსირდება აქსიომებში. ამ მიდგომით მიღწეული ფორმალიზაციის ხარისხი არის არაფორმალური აქსიომური მეთოდისთვის დამახასიათებელი ფორმალიზების დონე. აქ სტანდარტად შეიძლება გამოდგეს დ.ჰილბერტის კლასიკური ნაშრომი „გეომეტრიის საფუძვლები“.

არაფორმალური აქსიომური მეთოდი გამოიყენება არა მხოლოდ აქსიომატიურად ახსნილი კონკრეტული თეორიისთვის გარკვეული სისრულის მისაცემად. ეს არის ეფექტური ინსტრუმენტი მათემატიკური კვლევისთვის. ვინაიდან ამ მეთოდით ობიექტების სისტემის შესწავლისას მათი სპეციფიკა ან „ბუნება“ არ გამოიყენება, დადასტურებული განცხადებები გადადის ობიექტების ნებისმიერ სისტემაში, რომელიც აკმაყოფილებს განხილულ აქსიომებს. არაფორმალური აქსიომური მეთოდის მიხედვით, აქსიომები არის ორიგინალური ცნებების იმპლიციტური განმარტებები (და არა აშკარა ჭეშმარიტება). რა არის შესწავლილი ობიექტები - არ აქვს მნიშვნელობა. ყველაფერი, რაც თქვენ უნდა იცოდეთ მათ შესახებ, ჩამოყალიბებულია აქსიომებში. აქსიომური თეორიის შესწავლის საგანია მისი ნებისმიერი ინტერპრეტაცია.

არაფორმალურ აქსიომატიურ მეთოდს, გარდა ყველა სპეციალური ცნების შეუცვლელი აქსიომური განსაზღვრისა, აქვს კიდევ ერთი დამახასიათებელი თვისება. ეს არის იდეებისა და ცნებების თავისუფალი, არააქსიომური, შინაარსზე დაფუძნებული გამოყენება, რომელიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას ნებისმიერ წარმოსახვით ინტერპრეტაციაზე, მიუხედავად მისი შინაარსისა. კერძოდ, ფართოდ გამოიყენება სიმრავლე-თეორიული და ლოგიკური ცნებები და პრინციპები, აგრეთვე ცნებები, რომლებიც დაკავშირებულია დათვლის იდეასთან და ა.შ., რომლებზეც ჩამოყალიბებულია და დადასტურებულია ობიექტების აქსიომატიურად მოცემული სისტემის თვისებები. ენის დაფიქსირება იწვევს ფორმალური აქსიომური სისტემის კონცეფციას და ქმნის მატერიალურ საფუძველს მისაღები ლოგიკური პრინციპების იდენტიფიკაციისა და მკაფიოდ აღწერისთვის, საკვლევი სფეროსთვის სიმრავლე-თეორიული და სხვა ზოგადი ან არასპეციალური ცნებების კონტროლირებადი გამოყენებისათვის. თუ ენაში არ არის საშუალება (სიტყვები) სიმრავლე-თეორიული ცნებების გადმოსაცემად, მაშინ ასეთი საშუალებების გამოყენებაზე დაფუძნებული ყველა მტკიცებულება აღმოფხვრილია. თუ ენას აქვს გარკვეული სიმრავლე-თეორიული ცნებების გამოხატვის საშუალებები, მაშინ მათი გამოყენება მტკიცებულებებში შეიძლება შემოიფარგლოს გარკვეული წესებით ან აქსიომებით.

ენის სხვადასხვა გზით დაფიქსირებით მიიღება განხილვის მთავარი ობიექტის განსხვავებული თეორიები. მაგალითად, ჯგუფის თეორიისთვის ვიწრო პრედიკატის გაანგარიშების ენის გათვალისწინებით, მიიღება ელემენტარული ჯგუფის თეორია, რომელშიც არ შეიძლება ჩამოყალიბდეს რაიმე განცხადება ქვეჯგუფების შესახებ. თუ გადავალთ მეორე საფეხურის პრედიკატების გაანგარიშების ენაზე, მაშინ შესაძლებელი გახდება ისეთი თვისებების გათვალისწინება, რომლებშიც ჩნდება ქვეჯგუფის ცნება. არაფორმალური აქსიომური მეთოდის ფორმალიზაცია ჯგუფურ თეორიაში არის გადასვლა ზერმელო-ფრენკელის სისტემის ენაზე თავისი აქსიომატიკით.

აქსიომური მეთოდი

აქსიომატური მეთოდი არის მეცნიერული თეორიის აგების მეთოდი, რომელშიც ის ემყარება ზოგიერთ თავდაპირველ დებულებას (განსჯას) - აქსიომებს, ან პოსტულატებს, საიდანაც ამ თეორიის ყველა სხვა დებულება წმინდა ლოგიკური გზით, მტკიცებულებების მეშვეობით უნდა იყოს მიღებული. აქსიომატიურ მეთოდზე დაფუძნებული მეცნიერების აგებას ჩვეულებრივ დედუქციურს უწოდებენ. დედუქციური თეორიის ყველა ცნება (გარდა საწყისის ფიქსირებული რაოდენობისა) შემოტანილია განმარტებების საშუალებით, რომლებიც გამოხატავს მათ ადრე დანერგილი ცნებებით. ამა თუ იმ ხარისხით, აქსიომური მეთოდისთვის დამახასიათებელი დედუქციური მტკიცებულებები გამოიყენება ბევრ მეცნიერებაში, მაგრამ მისი გამოყენების ძირითადი სფეროა მათემატიკა, ლოგიკა და ასევე ფიზიკის ზოგიერთი ფილიალი.

აქსიომური მეთოდის იდეა პირველად გამოითქვა ძველ საბერძნეთში გეომეტრიის აგებასთან დაკავშირებით (პითაგორა, პლატონი, არისტოტელე, ევკლიდე). აქსიომატური მეთოდის განვითარების თანამედროვე საფეხურს ახასიათებს ჰილბერტის მიერ წამოყენებული ფორმალური აქსიომატური მეთოდის კონცეფცია, რომელიც ადგენს აქსიომებიდან თეორემების გამოყვანის ლოგიკური საშუალებების ზუსტად აღწერის ამოცანას. ჰილბერტის მთავარი იდეა არის მეცნიერების ენის სრული ფორმალიზაცია, რომელშიც მისი განსჯა განიხილება, როგორც ნიშნების თანმიმდევრობა (ფორმულები), რომლებიც მნიშვნელობას იძენენ მხოლოდ გარკვეული სპეციფიკური ინტერპრეტაციით. აქსიომებიდან (და ზოგადად ზოგიერთი ფორმულა სხვებისგან) თეორემების გამოსატანად ფორმულირებულია სპეციალური ფორმულები. დასკვნის წესები. მტკიცებულება ასეთ თეორიაში (კალკულუსი, ან ფორმალური სისტემა) არის ფორმულების გარკვეული თანმიმდევრობა, რომელთაგან თითოეული ან აქსიომაა, ან მიიღება მიმდევრობის წინა ფორმულებიდან ზოგიერთი დასკვნის მიხედვით. ასეთი ფორმალური მტკიცებულებებისგან განსხვავებით, შესწავლილია თავად ფორმალური სისტემის თვისებები, როგორც მთლიანობაში. მეტათეორიის საშუალებით. აქსიომური ფორმალური სისტემების ძირითადი მოთხოვნებია აქსიომების თანმიმდევრულობა, სისრულე და დამოუკიდებლობა. ჰილბერტის პროგრამა, რომელიც ითვალისწინებდა ყველა კლასიკური მათემატიკის თანმიმდევრულობისა და სისრულის დადასტურების შესაძლებლობას, მთლიანობაში გამოუვალი აღმოჩნდა. 1931 წელს გოდელმა დაამტკიცა საკმარისად განვითარებული სამეცნიერო თეორიების (მაგალითად, ნატურალური რიცხვების არითმეტიკა) სრული აქსიომატიზაციის შეუძლებლობა, რაც მოწმობს აქსიომური მეთოდის შეზღუდულობაზე. აქსიომური მეთოდების ძირითადი პრინციპები გააკრიტიკეს ინტუიციონიზმისა და კონსტრუქციული მიმართულების მომხრეებმა.

თანამედროვე სამყაროში ჩვენ სულ უფრო ხშირად ვიყენებთ სხვადასხვა მანქანებსა და გაჯეტებს. და არა მხოლოდ მაშინ, როდესაც აუცილებელია ფაქტიურად არაადამიანური ძალის გამოყენება: ტვირთის გადატანა, აწევა სიმაღლეზე, გათხრა გრძელი და ღრმა თხრილი და ა.შ. დღეს რობოტები აწყობენ მანქანებს, მულტიქუკერები ამზადებენ საჭმელს და კალკულატორები ასრულებენ ელემენტარულ არითმეტიკულ გამოთვლებს. სულ უფრო ხშირად გვესმის გამოთქმა „ბულის ალგებრა“. ალბათ დადგა დრო, გავიგოთ ადამიანის როლი რობოტების შექმნაში და მანქანების უნარი ამოხსნან არა მხოლოდ მათემატიკური, არამედ

ლოგიკა

ბერძნულიდან თარგმნილი, ლოგიკა არის აზროვნების მოწესრიგებული სისტემა, რომელიც ქმნის კავშირებს მოცემულ პირობებს შორის და საშუალებას გაძლევთ გამოიტანოთ დასკვნები წინაპირობებისა და ვარაუდების საფუძველზე. ხშირად ვეკითხებით ერთმანეთს: "ლოგიკურია?" მიღებული პასუხი ადასტურებს ჩვენს ვარაუდებს ან აკრიტიკებს აზროვნების მატარებელს. მაგრამ პროცესი არ ჩერდება: ჩვენ ვაგრძელებთ მსჯელობას.

ზოგჯერ პირობების რაოდენობა (შესავალი) იმდენად დიდია და მათ შორის ურთიერთობა იმდენად რთული და რთულია, რომ ადამიანის ტვინს არ ძალუძს ყველაფრის ერთბაშად „მონელება“. შესაძლოა ერთ თვეზე მეტი (კვირა, წელი) დასჭირდეს იმის გაგებას, თუ რა ხდება. მაგრამ თანამედროვე ცხოვრება არ გვაძლევს ასეთ დროის ინტერვალებს გადაწყვეტილების მისაღებად. და ჩვენ მივმართავთ კომპიუტერების დახმარებას. და აქ ჩნდება ლოგიკის ალგებრა, თავისი კანონებითა და თვისებებით. ყველა საწყისი მონაცემის ჩატვირთვის შემდეგ, ჩვენ კომპიუტერს საშუალებას ვაძლევთ ამოიცნოს ყველა ურთიერთობა, აღმოფხვრას წინააღმდეგობები და იპოვოთ დამაკმაყოფილებელი გამოსავალი.

მათემატიკა და ლოგიკა

ცნობილმა გოტფრიდ ვილჰელმ ლაიბნიცმა ჩამოაყალიბა „მათემატიკური ლოგიკის“ ცნება, რომლის პრობლემები მხოლოდ მეცნიერთა ვიწრო წრისთვის იყო გასაგები. ამ მიმართულებამ განსაკუთრებული ინტერესი არ გამოიწვია და მე-19 საუკუნის შუა ხანებამდე ცოტამ თუ იცოდა მათემატიკური ლოგიკის შესახებ.

სამეცნიერო საზოგადოებაში დიდი ინტერესი გამოიწვია დავა, რომელშიც ინგლისელმა ჯორჯ ბულმა გამოაცხადა თავისი განზრახვა შექმნას მათემატიკის ფილიალი, რომელსაც აბსოლუტურად არ აქვს პრაქტიკული გამოყენება. როგორც ისტორიიდან გვახსოვს, იმ დროს აქტიურად ვითარდებოდა სამრეწველო წარმოება, ვითარდებოდა ყველა სახის დამხმარე მანქანა-დანადგარები, ანუ ყველა სამეცნიერო აღმოჩენას პრაქტიკული ორიენტაცია ჰქონდა.

წინ რომ ვიხედოთ, ვთქვათ, რომ ლოგიკური ალგებრა მათემატიკის ყველაზე ხშირად გამოყენებული ნაწილია თანამედროვე მსოფლიოში. ასე რომ, ბულმა დაკარგა კამათი.

ჯორჯ ბული

ავტორის პიროვნება განსაკუთრებულ ყურადღებას იმსახურებს. იმის გათვალისწინებით, რომ წარსულში ხალხი ჩვენზე ადრე იზრდებოდა, ჯერ კიდევ შეუძლებელია არ აღინიშნოს, რომ 16 წლის ასაკში ჯ.ბული ასწავლიდა სოფლის სკოლაში, ხოლო 20 წლის ასაკში მან გახსნა საკუთარი სკოლა ლინკოლნში. მათემატიკოსი თავისუფლად ფლობდა ხუთ უცხო ენას, თავისუფალ დროს კი ნიუტონისა და ლაგრანჟის ნაწარმოებებს კითხულობდა. და ეს ყველაფერი უბრალო მუშის შვილზეა!

1839 წელს ბულმა პირველად წარადგინა თავისი სამეცნიერო ნაშრომები კემბრიჯის მათემატიკურ ჟურნალში. მეცნიერი 24 წლისაა. ბულის შრომამ იმდენად დააინტერესა სამეფო საზოგადოების წევრები, რომ 1844 წელს მან მიიღო მედალი განვითარებაში შეტანილი წვლილისთვის. შეგახსენებთ, რომ თავად ბულს განათლება არ ჰქონდა.

იდეა

პრინციპში, ლოგიკური ალგებრა ძალიან მარტივია. არის გამოთქმები), რომლებიც, მათემატიკის თვალსაზრისით, შეიძლება განისაზღვროს მხოლოდ ორი სიტყვით: „მართალი“ ან „მცდარი“. მაგალითად, გაზაფხულზე ხეები ყვავის - მართალია, ზაფხულში თოვს - ტყუილია. ამ მათემატიკის სილამაზე იმაში მდგომარეობს, რომ არ არის მკაცრი საჭიროება მხოლოდ ციფრების გამოყენება. განსჯის ალგებრასთვის, ცალსახა მნიშვნელობის ნებისმიერი განცხადება საკმაოდ შესაფერისია.

ამრიგად, ლოგიკის ალგებრა შეიძლება გამოყენებულ იქნას სიტყვასიტყვით ყველგან: ინსტრუქციების დაგეგმვისა და წერისას, მოვლენების შესახებ ურთიერთგამომრიცხავი ინფორმაციის გაანალიზებისა და მოქმედებების თანმიმდევრობის განსაზღვრაში. მთავარია გვესმოდეს, რომ სრულიად უმნიშვნელოა, როგორ განვსაზღვროთ განცხადების სიმართლე ან სიცრუე. ეს „როგორ“ და „რატომ“ უნდა იყოს აბსტრაქტული. მხოლოდ ფაქტის განცხადებას აქვს მნიშვნელობა: მართალია-მცდარი.

რა თქმა უნდა, პროგრამირებისთვის მნიშვნელოვანია ლოგიკის ალგებრის ფუნქციები, რომლებიც იწერება შესაბამისი ნიშნებითა და სიმბოლოებით. და მათი სწავლა ნიშნავს ახალი უცხო ენის დაუფლებას. Შეუძლებელი არაფერია.

ძირითადი ცნებები და განმარტებები

სიღრმისეულად შევეხოთ ტერმინოლოგიას. ასე რომ, ლოგიკური ალგებრა ვარაუდობს არსებობას:

• განცხადებები;
• ლოგიკური ოპერაციები;
• ფუნქციები და კანონები.

განცხადებები არის ნებისმიერი დადებითი გამონათქვამი, რომელიც არ შეიძლება იყოს ორაზროვანი ინტერპრეტაცია. ისინი იწერება რიცხვების სახით (5 > 3) ან ჩამოყალიბებულია ნაცნობი სიტყვებით (სპილო ყველაზე დიდი ძუძუმწოვარია). ამავდროულად, ფრაზას "ჟირაფს კისერი არ აქვს" ასევე აქვს არსებობის უფლება, მხოლოდ ლოგის ალგებრა განსაზღვრავს მას როგორც "ცრუ".

ყველა განცხადება უნდა იყოს ცალსახა, მაგრამ ისინი შეიძლება იყოს ელემენტარული და რთული. ეს უკანასკნელი იყენებს ლოგიკურ კავშირებს. ანუ მსჯელობათა ალგებრაში რთული დებულებები ყალიბდება ელემენტარული დებულებების მიმატებით ლოგიკური მოქმედებების საშუალებით.

ლოგიკური ალგებრის ოპერაციები

ჩვენ უკვე გვახსოვს, რომ განსჯის ალგებრაში მოქმედებები ლოგიკურია. ისევე როგორც რიცხვების ალგებრა იყენებს არითმეტიკულ ოპერაციებს რიცხვების დასამატებლად, გამოკლებისთვის ან შესადარებლად, მათემატიკური ლოგიკის ელემენტები საშუალებას გაძლევთ გააკეთოთ რთული განცხადებები, მისცეთ უარყოფა ან გამოთვალოთ საბოლოო შედეგი.

ფორმალიზაციისა და სიმარტივისთვის, ლოგიკური ოპერაციები იწერება არითმეტიკაში ჩვენთვის ნაცნობი ფორმულებით. ბულის ალგებრის თვისებები შესაძლებელს ხდის განტოლებების დაწერას და უცნობების გამოთვლას. ჩვეულებრივ იწერება სიმართლის ცხრილის გამოყენებით. მისი სვეტები განსაზღვრავს გაანგარიშების ელემენტებს და მათზე შესრულებულ ოპერაციას, ხოლო რიგები აჩვენებს გაანგარიშების შედეგს.

ძირითადი ლოგიკური მოქმედებები

ლოგიკური ალგებრაში ყველაზე გავრცელებული ოპერაციებია უარყოფა (NOT) და ლოგიკური AND და OR. განსჯების ალგებრაში თითქმის ყველა მოქმედება შეიძლება ასე იყოს აღწერილი. მოდით უფრო დეტალურად განვიხილოთ სამივე ოპერაცია.

უარყოფა (არა) ეხება მხოლოდ ერთ ელემენტს (ოპერანდს). მაშასადამე, უარყოფის ოპერაციას უნარი ეწოდება. "არა A" ცნების დასაწერად გამოიყენეთ შემდეგი სიმბოლოები: ¬A, A¯¯¯ ან!A. ცხრილის სახით, ასე გამოიყურება:

უარყოფის ფუნქციისთვის დამახასიათებელია შემდეგი დებულება: თუ A არის ჭეშმარიტი, მაშინ B არის მცდარი. მაგალითად, მთვარე დედამიწის გარშემო ბრუნავს - მართალია; დედამიწა ბრუნავს მთვარის გარშემო - სიცრუე.

ლოგიკური გამრავლება და შეკრება

ლოგიკურ AND-ს ეწოდება შეერთების ოპერაცია. Რას ნიშნავს? პირველი, რომ ის შეიძლება გამოყენებულ იქნას ორ ოპერანდზე, ანუ AND არის ორობითი ოპერაცია. მეორეც, რომ მხოლოდ ორივე ოპერანდის ჭეშმარიტების შემთხვევაში (როგორც A და B) არის თავად გამოთქმა ჭეშმარიტი. ანდაზა „მოთმინება და შრომა ყველაფერს დაფქვავს“ ვარაუდობს, რომ მხოლოდ ორივე ფაქტორი დაეხმარება ადამიანს სირთულეებთან გამკლავებაში.

წერისთვის გამოყენებული სიმბოლოები: A∧B, A⋅B ან A&&B.

კავშირი არითმეტიკაში გამრავლების მსგავსია. ზოგჯერ ასე ამბობენ - ლოგიკური გამრავლება. თუ ცხრილის ელემენტებს გავამრავლებთ მწკრივებზე, მივიღებთ ლოგიკური მსჯელობის მსგავს შედეგს.

დისუნქცია არის ლოგიკური ან ოპერაცია. იგი იღებს ჭეშმარიტების მნიშვნელობას, როდესაც ერთ-ერთი მაინც (A ან B). იწერება ასე: A∨B, A+B ან A||B. ამ ოპერაციების სიმართლის ცხრილებია:

დისჯუნქცია ჰგავს არითმეტიკულ მიმატებას. ლოგიკური შეკრების ოპერაციას აქვს მხოლოდ ერთი შეზღუდვა: 1+1=1. მაგრამ ჩვენ გვახსოვს, რომ ციფრულ ფორმატში, მათემატიკური ლოგიკა შემოიფარგლება 0-ით და 1-ით (სადაც 1 მართალია, 0 არის მცდარი). მაგალითად, განცხადება "მუზეუმში შეგიძლიათ ნახოთ შედევრი ან შეხვდეთ საინტერესო თანამოსაუბრეს" ნიშნავს, რომ თქვენ შეგიძლიათ ნახოთ ხელოვნების ნიმუშები, ან შეგიძლიათ შეხვდეთ საინტერესო ადამიანს. ამავე დროს, არ არის გამორიცხული ორივე მოვლენის ერთდროული მიღწევის ვარიანტი.

ფუნქციები და კანონები

ასე რომ, ჩვენ უკვე ვიცით, რა ლოგიკურ ოპერაციებს იყენებს ლოგიკური ალგებრა. ფუნქციები აღწერს მათემატიკური ლოგიკის ელემენტების ყველა თვისებას და საშუალებას გაძლევთ გაამარტივოთ ამოცანების რთული რთული პირობები. როგორც ჩანს, ყველაზე გასაგები და მარტივი თვისებაა მიღებული ოპერაციების უარყოფა. წარმოებულები არის ექსკლუზიური OR, მნიშვნელობა და ეკვივალენტობა. ვინაიდან ჩვენ შევისწავლეთ მხოლოდ ძირითადი ოპერაციები, განვიხილავთ მხოლოდ მათ თვისებებს.

ასოციაციურობანიშნავს, რომ განცხადებებში, როგორიცაა "და A, და B, და C", ოპერანდების ჩამონათვალს მნიშვნელობა არ აქვს. ფორმულა ასე დაწერს:

(A∧B)∧V=A∧(B∧V)=A∧B∧V,

(A∨B)∨C=A∨(B∨C)=A∨B∨C.

როგორც ხედავთ, ეს დამახასიათებელია არა მხოლოდ შეერთებისთვის, არამედ დისიუნქციისთვისაც.

კომუტატიურობააცხადებს, რომ შეერთების ან დისიუნქციის შედეგი არ არის დამოკიდებული იმაზე, თუ რომელი ელემენტი იქნა განხილული პირველი:

A∧B=B∧A; A∨B=B∨A.

განაწილებასაშუალებას გაძლევთ გააფართოვოთ ფრჩხილები რთულ ლოგიკურ გამონათქვამებში. წესები მსგავსია ალგებრაში გამრავლებისა და შეკრების ფრჩხილების გახსნის:

A∧(B∨B)=A∧B∨A∧B; A∨B∧B=(A∨B)∧(A∨B).

ერთი და ნულოვანი თვისებები, რომელიც შეიძლება იყოს ერთ-ერთი ოპერანდი, ასევე ანალოგიურია ალგებრული გამრავლების ნულზე ან ერთზე და შეკრების ერთზე:

A∧0=0,A∧1=A; A∨0=A,A∨1=1.

იმპოტენციაგვეუბნება, რომ თუ ორ თანაბარ ოპერანდთან მიმართებაში მოქმედების შედეგი მსგავსი აღმოჩნდება, მაშინ ჩვენ შეგვიძლია „გავაგდოთ“ ზედმეტი ოპერანდები, რომლებიც ართულებენ მსჯელობის მიმდინარეობას. შეერთებაც და დისიუნქციაც იდემპოტენტური ოპერაციებია.

B∧B=B; B∨B=B.

აბსორბციაასევე საშუალებას გვაძლევს გავამარტივოთ განტოლებები. აბსორბცია აცხადებს, რომ როდესაც იგივე ელემენტის სხვა ოპერაცია გამოიყენება გამოხატულებაზე ერთი ოპერანდით, შედეგი არის შთანთქმის ოპერაციიდან მიღებული ოპერანდი.

A∧B∨B=B; (A∨B)∧B=B.

ოპერაციების თანმიმდევრობა

ოპერაციების თანმიმდევრობას არ აქვს მცირე მნიშვნელობა. სინამდვილეში, რაც შეეხება ალგებრას, არსებობს ფუნქციების პრიორიტეტი, რომელსაც იყენებს ლოგიკური ალგებრა. ფორმულების გამარტივება შესაძლებელია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ დაკვირვებული იქნება ოპერაციების მნიშვნელობა. რანჟირება ყველაზე მნიშვნელოვანიდან უმცირესამდე, მივიღებთ შემდეგ თანმიმდევრობას:

1. უარყოფა.

2. შეერთება.

3. Disjunction, ექსკლუზიური OR.

4. იმპლიკაცია, ეკვივალენტობა.

როგორც ხედავთ, მხოლოდ უარყოფას და კავშირს არ აქვს თანაბარი პრიორიტეტები. და განშორების პრიორიტეტი და XOR თანაბარია, ისევე როგორც იმპლიკაციისა და ეკვივალენტობის პრიორიტეტები.

იმპლიკაციისა და ეკვივალენტობის ფუნქციები

როგორც უკვე ვთქვით, ძირითადი ლოგიკური ოპერაციების გარდა, მათემატიკური ლოგიკა და ალგორითმების თეორია იყენებს წარმოებულებს. ყველაზე ხშირად გამოყენებული არის იმპლიკამენტი და ეკვივალენტობა.

იმპლიკამენტი ან ლოგიკური შედეგი არის განცხადება, რომელშიც ერთი მოქმედება არის პირობა, ხოლო მეორე არის მისი განხორციელების შედეგი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს არის წინადადება "თუ ... მაშინ" წინადადებებით. "თუ გიყვართ სიარული, გიყვართ ციგების ტარება." ანუ, თხილამურებით სრიალისთვის საჭიროა გორაკზე სასწავლებლის გამკაცრება. თუ მთაზე გადაადგილების სურვილი არ გაქვთ, მაშინ არ გჭირდებათ სასწავლებლის ტარება. იწერება ასე: A→B ან A⇒B.

ეკვივალენტობა გულისხმობს, რომ მიღებული მოქმედება ხდება მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ორივე ოპერანდი მართალია. მაგალითად, ღამე დღედ იქცევა, როცა (და მხოლოდ მაშინ) როცა მზე ამოდის ჰორიზონტზე. მათემატიკური ლოგიკის ენაზე ეს დებულება ასე იწერება: A≡B, A⇔B, A==B.

ბულის ალგებრის სხვა კანონები

განსჯის ალგებრა ვითარდება და ბევრმა დაინტერესებულმა მეცნიერმა ჩამოაყალიბა ახალი კანონები. ყველაზე ცნობილად ითვლება შოტლანდიელი მათემატიკოსის ო. დე მორგანის პოსტულატები. მან შენიშნა და განსაზღვრა ისეთი თვისებები, როგორიცაა ახლო უარყოფა, კომპლიმენტი და ორმაგი უარყოფა.

მჭიდრო უარყოფავარაუდობს, რომ არ არის არც ერთი უარყოფა ფრჩხილის წინ: არა (A ან B) = არა A ან NOT B.

როდესაც ოპერანდი უარყოფილია, მიუხედავად მისი მნიშვნელობისა, საუბარია დამატება:

B∧¬B=0; B∨¬B=1.

Და ბოლოს ორჯერ არაანაზღაურებს თავის თავს. იმათ. ან უარყოფა ქრება ოპერანდამდე, ან რჩება მხოლოდ ერთი.

როგორ მოვაგვაროთ ტესტები

მათემატიკური ლოგიკა გულისხმობს მოცემული განტოლებების გამარტივებას. ისევე, როგორც ალგებრაში, ჯერ უნდა შეამსუბუქოთ მდგომარეობა მაქსიმალურად (გაათავისუფლოთ რთული შეყვანები და ოპერაციები მათთან ერთად), შემდეგ კი გააგრძელოთ სწორი პასუხის ძებნა.

რა შეიძლება გაკეთდეს გასამარტივებლად? გადაიყვანეთ ყველა მიღებული ოპერაცია მარტივზე. შემდეგ გახსენით ყველა ფრჩხილი (ან პირიქით, ამოიღეთ იგი ფრჩხილებიდან ამ ელემენტის შესამცირებლად). შემდეგი ნაბიჯი უნდა იყოს ლოგიკური ალგებრის თვისებების პრაქტიკაში გამოყენება (შთანთქმა, ნულის და ერთის თვისებები და ა.შ.).

საბოლოო ჯამში, განტოლება უნდა შედგებოდეს უცნობების მინიმალური რაოდენობისგან, რომლებიც გაერთიანებულია მარტივი ოპერაციებით. გამოსავლის პოვნის უმარტივესი გზა არის დიდი რაოდენობის ახლო უარყოფითის მიღწევა. შემდეგ პასუხი თავისთავად გამოჩნდება.

თანამედროვე ლოგიკის ერთ-ერთი სახელი, რომელიც მეორეში მოვიდა. იატაკი. 19 ადრე მე -20 საუკუნე ტრადიციული ლოგიკის ნაცვლად. ტერმინი სიმბოლური ლოგიკა ასევე გამოიყენება ლოგიკის მეცნიერების განვითარების თანამედროვე ეტაპის სხვა სახელად. განმარტება…… ფილოსოფიური ენციკლოპედია

მათემატიკური ლოგიკა- სიმბოლური ლოგიკა, მათემატიკური ლოგიკა, თეორიული ლოგიკა, ლოგიკის არეალი, რომელშიც ლოგიკური დასკვნები გამოკვლეულია მკაცრი სიმბოლური ენის საფუძველზე ლოგიკური გაანგარიშების საშუალებით. ტერმინი ლ. თან." როგორც ჩანს, პირველად იყო ... ... ეპისტემოლოგიისა და მეცნიერების ფილოსოფიის ენციკლოპედია

მათემატიკური ლოგიკა- სიმბოლურ ლოგიკასაც უწოდებენ. მ.ლ. ეს არის იგივე არისტოტელესური სილოგისტიკური ლოგიკა, მაგრამ მასში მხოლოდ უხერხული სიტყვიერი დასკვნებია ჩანაცვლებული მათემატიკური სიმბოლოებით. ეს მიიღწევა, პირველ რიგში, სიმოკლეს, მეორეც, სიცხადეს, ... ... კულტურული კვლევების ენციკლოპედია

მათემატიკური ლოგიკა- მათემატიკური ლოგიკა, დედუქციური ლოგიკა, მსჯელობის ხერხების შესასწავლად მათემატიკური მეთოდების გამოყენება (დასკვნა); მსჯელობის დედუქციური გზების მათემატიკური თეორია ... თანამედროვე ენციკლოპედია

მათემატიკური ლოგიკა- დედუქციური ლოგიკა, მსჯელობის მეთოდების შესწავლის მათემატიკური მეთოდების ჩათვლით (დასკვნა); დედუქციური მსჯელობის მეთოდების მათემატიკური თეორია. მათემატიკურ ლოგიკას ასევე უწოდებენ მათემატიკაში გამოყენებულ ლოგიკას ... დიდი ენციკლოპედიური ლექსიკონი

მათემატიკური ლოგიკა- (სიმბოლური ლოგიკა), ლოგიკის ანალიტიკური მონაკვეთი, კლასიკური ლოგიკის ამოცანებზე მათემატიკური მეთოდების გამოყენების შედეგი. განიხილავს ცნებებს, რომლებიც შეიძლება იყოს ჭეშმარიტი ან მცდარი, ცნებებს შორის ურთიერთობას და მათ მოქმედებას, მათ შორის ... ... სამეცნიერო და ტექნიკური ენციკლოპედიური ლექსიკონი

მათემატიკური ლოგიკა- თანამედროვე ლოგიკისა და მათემატიკის ერთ-ერთი წამყვანი განყოფილება. ჩამოყალიბდა 1920 წელს ხელოვნება. როგორც მათემატიკური ნიშნის მსგავსი ნიშნების ენაზე ყველა საწყისი ვარაუდის ჩაწერის შესაძლებლობის იდეის განხორციელება და ამით მსჯელობის ჩანაცვლება გამოთვლებით. ... ... უახლესი ფილოსოფიური ლექსიკონი

მათემატიკური ლოგიკა- არსებითი სახელი, სინონიმების რაოდენობა: 1 ლოგისტიკა (9) ASIS სინონიმების ლექსიკონი. ვ.ნ. ტრიშინი. 2013... სინონიმური ლექსიკონი

მათემატიკური ლოგიკა- - სატელეკომუნიკაციო თემები, EN მათემატიკური ლოგიკის ძირითადი ცნებები ... ტექნიკური მთარგმნელის სახელმძღვანელო

მათემატიკური ლოგიკა- თეორიული ლოგიკა, სიმბოლური ლოგიკა, მათემატიკის ფილიალი, რომელიც ეძღვნება მათემატიკის შესწავლას. მათემატიკის საფუძვლების მტკიცებულებები და კითხვები. ისტორიული ნარკვევი. უნივერსალური ენის აშენების იდეა ყველა მათემატიკისთვის და ფორმალიზაციის საფუძველზე ... ... მათემატიკური ენციკლოპედია

წიგნები

• მათემატიკური ლოგიკა, ერშოვი იური ლეონიდოვიჩი, პალიუტინი ევგენი ანდრეევიჩი. წიგნში ასახულია მათემატიკური ლოგიკის მთავარი კლასიკური გამოთვლა: წინადადების გამოთვლა და პრედიკატის გამოთვლა; არის სიმრავლეების თეორიისა და თეორიის ძირითადი ცნებების შეჯამება ... შეიძინეთ 1447 UAH (მხოლოდ უკრაინაში)
• მათემატიკური ლოგიკა, ი.ლ. არსებობს სიმრავლეების თეორიისა და თეორიის ძირითადი ცნებების შეჯამება ...